Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие для 10класса по алгебре
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие для 10класса по алгебре

библиотека
материалов















Методическое пособие

по алгебре

для 10 класса

СОШ №21 г.Экибастуза








Составила:учитель математики

Бигельдинова Асель Жумабаевна








Пояснительная записка


Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся, повышение уровня подготовки к ЕНТ. Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса.

В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса:

  1. ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА

  2. ТРИГОНОМЕТРИЯ

  3. ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

  4. ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

  5. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ

  6. КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ

  7. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

  8. КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА


Каждая тема представлена кратким справочным материалом, примерами с решениями, дидактическим материалом, тематическими тестами.


В результате использования пособия учащиеся должны уметь:

точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;

применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

преобразовывать выражения, содержащие тригонометрические выражения;

решать тригонометрические уравнения и неравенства;

Разнообразный дидактический материал дает возможность отработать теоретические знания на практике. Все занятия направлены на расширение представлений об изучаемом материале, на отработку тестовых задач с целью более качественной подготовки к ЕНТ.





Тема1: ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Определение: Закономерность, при которой каждому значению х из множества Х соответствует единственное значение у из множества Y, называется функцией.

Обозначение функции: y=f (x).y=g(x). y=hello_html_m43f76bd5.gif(x).., где х - независимая переменная, или аргумент; у- зависимая переменная ,или функция.

Множество значений переменной, при которых функция имеет смысл, называют областью определения функции, обозначение Д (f), а значение функции, соответствующее каждому значению независимой переменной из области определения, называют множеством значения функции, обозначение Е(f).



Понятие о четности, нечетности функции

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f (-x)= f (x)

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f (-x)= - f (x)

Понятие периодичности функции

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Тhello_html_396b4ed7.gif0, если для любого х из области определения значение этой функции в точке х,

х-Т, х+Т равны, т.е. f (х+Т)= f(х)= f(х-Т)

Определение периода любой периодической функции основано на следующем свойстве: если функция f (x) является периодической и ее период равен числу Т, то периодической будет функция у=kf`(ax+b), (где khello_html_396b4ed7.gif0, аhello_html_396b4ed7.gif0 и b – постоянные) и ее период равен числу hello_html_m1f67738c.gif.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ



Пример 1. Найдите область определения функции

а) у=2hello_html_62df2a8e.gif б) у= hello_html_564f331f.gif в)у= hello_html_m20549f3e.gif г) у= hello_html_3276c402.gif + hello_html_m1235a0fc.gif

Решение:

а) у=2hello_html_62df2a8e.gif функция заданная в виде многочлена, поэтому можно вычислять ее значения при любых значениях аргумента. Область определения все действительные числа.

Ответ: Д(f) =R



б) у= hello_html_564f331f.gif функция дробно-рациональная hello_html_m713c643e.gif х hello_html_4365f3e4.gif.

Ответ: Д(f) =(hello_html_1f9cc790.gif)hello_html_595fa6eb.gif

в)у= hello_html_m20549f3e.gif, необходимо взять подкоренное выражение неотрицательным, т.е. 2х-1hello_html_2c330d.gif.

Ответ: Д(f) =hello_html_65eb340b.gif;+hello_html_m7f090a94.gif

г) у= hello_html_3276c402.gif + hello_html_m1235a0fc.gif найдем область определения для hello_html_3276c402.gif хhello_html_m7dcf82cb.gif т.е hello_html_m60924d69.gif;+hello_html_m7f090a94.gif

для hello_html_m24da735d.gif знаменатель х+2hello_html_55c0dd28.gif хhello_html_7f919a60.gif т.е (hello_html_37747ff1.gif)hello_html_m60817213.gif

Д(f)=hello_html_26148c50.gif;+hello_html_7238d709.gif(hello_html_37747ff1.gif)hello_html_m60817213.gif=hello_html_26148c50.gif;+hello_html_m7f090a94.gif.



Ответ: Д(f)=hello_html_5e44e3b6.gif;+hello_html_m7f090a94.gif





Пример 2. Найдем множество значений функций у=2hello_html_7ad7889b.gif

Решение: Известно, что Е(f) для у= hello_html_75e30b0e.gif есть отрезок hello_html_6a82b1e7.gif

Рассмотрим -1hello_html_m47b1ee87.gif / умножим на 2

-2hello_html_14647204.gif / прибавим -5

-7hello_html_m49cc003c.gif

Ответ: Д(f)=hello_html_46a110a0.gif





Пример 3. Определим четность или нечетность функций:

а) f(х)= hello_html_79849d27.gif б) f(х)=- hello_html_mc7cc37.gif+х в) f(х)=hello_html_2e1cd4e3.gif+hello_html_1edd72aa.gif

Решение: а) f(-х)= hello_html_435dd947.gifhello_html_79849d27.gif = f(х) – четная функция



б) f(-х)=- hello_html_m2161fe9f.gif+(-х)= hello_html_mc7cc37.gif-х = - (- hello_html_mc7cc37.gif+х )= - f(х)- нечетная функция



в) f(-х)=hello_html_37fb154b.gif+hello_html_3bd85720.gif=-hello_html_2e1cd4e3.gif+hello_html_1edd72aa.gif функция ни четная, ни нечетная (общего вида)





Пример 4. Найдем период для функции у=hello_html_4482b563.gif

Решение: Период функции у=hello_html_58ca71c9.gif, а по условию а=2 Тогда по формуле hello_html_m1f67738c.gif получаем, что hello_html_1436baf2.gif=hello_html_1bfc1af9.gif. Следовательно период данной функции равен hello_html_1bfc1af9.gif.

Ответ: hello_html_4550f894.gif





Пример 5. Найдем наименьший положительный период функции у=tg hello_html_m60a6a792.gif

Решение: По определению период функции у=tg х равен hello_html_4550f894.gif по условию

а =hello_html_780be5d7.gif, тогда по формуле hello_html_m1f67738c.gif получаем, что hello_html_m1f67738c.gif=hello_html_mfc55dc0.gif=3hello_html_7d4d87f9.gif .

Ответ: 3hello_html_4550f894.gif



































ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Найдите область определения функции:

а) у=hello_html_3a40821d.gif б) у=hello_html_m2515414d.gif

Ответ: Д(f) = (-2hello_html_2c038407.gif) Ответ: Д(f) hello_html_m52176e1d.gif;0)hello_html_268df04.gif


в) у = arcsin (2х-5)

Ответ: Д(f) = (2hello_html_3c09063a.gif)


2. Найдите множество значений функции:

а) у=2hello_html_1913844a.gif б) у=hello_html_4e06c8bc.gif

Ответ: Е(f)=hello_html_779f439d.gifОтвет: Е(f)=hello_html_m9444113.gif

в) у= 1-2hello_html_67ed3dba.gif

Ответ: Е(f)=hello_html_6a82b1e7.gif



3. Найдите область определения и множество значений функции:

а) у = hello_html_m18d34951.gif б) у= hello_html_41a632db.gif

Ответ: Д(f)= hello_html_5193b8c8.gif, Е(f)= (0;+hello_html_m1f21f78.gif) Ответ: Д(f)= R, Е(f)=hello_html_559069c5.gif

в) у =- hello_html_68a059c8.gif

Ответ: Д(f)=(-hello_html_m6f977aaf.gif)hello_html_268df04.gif, Е(f)= (-hello_html_m6f977aaf.gif)hello_html_268df04.gif


4. Выясните четность, или нечетность следующих функций:

а) у = hello_html_m35b35860.gif б) у =3+hello_html_m77ddfb54.gif в) у =hello_html_1edd72aa.gif+tgх

г) у = hello_html_532285d1.gif д) у = х -hello_html_m8fec644.gif


5. Найдите наименьший положительный период функций

а) у = hello_html_1eb88657.gif б) у = 5tghello_html_m6f53c2e4.gif в) у = hello_html_698f55e0.gif

Ответ: hello_html_7d4d87f9.gifОтвет: hello_html_15a9be0f.gifОтвет: 16hello_html_7d4d87f9.gif

г) у =ctg (5х - hello_html_1875ff73.gif) д) у = tg(2-5х) е) у = 2hello_html_m708721eb.gif

Ответ: hello_html_76df461f.gifОтвет:hello_html_76df461f.gifОтвет: hello_html_76df461f.gif












ТЕСТ №1


1. Какая из функций в области определения является нечетной?

hello_html_m5298cb7b.gifhello_html_m54aa3f50.gifhello_html_1c25a83a.gif

hello_html_m5c1a05e.gifhello_html_5021eac6.gif


2. Что можно сказать о функции: hello_html_5ae33b62.gif

А) Ни четная, ни нечетная. В) Четная. С) Периодическая.

D) Нечетная. Е) Общего вида.


3. Найдите наименьший положительный период функции hello_html_3759f4f0.gif

hello_html_4b9e6a67.gif

4. Найдите область определения функции hello_html_2324482d.gif

hello_html_m4509813d.gif



5. Найдите множество значений функции hello_html_ebafd81.gif

hello_html_m445e5ee.gif



6. Найдите функцию, обратную данной hello_html_m513d631d.gif

hello_html_m3b8008d9.gifhello_html_47bc49f8.gifhello_html_m30cc20dd.gifhello_html_m351b8a70.gifhello_html_m6fc49582.gif


7. Найдите наименьшее значение функции у = х2 - 6х + 11

hello_html_m1453822c.gif



8. Найдите область определения функции: hello_html_m6387ce70.gif

hello_html_2bff0b70.gif


9. Найдите множество значений функции hello_html_m32795963.gif

hello_html_82cf99b.gif


10. Найдите область определения функции: hello_html_m6bbefc51.gif

hello_html_m105ba34f.gifhello_html_45769be1.gifhello_html_4908000f.gif

hello_html_m4afa1e7b.gifhello_html_m71a08a13.gif







ТЕСТ №2


1. Какая из функций является нечетной?

hello_html_med6efaf.gifhello_html_7ce05e33.gifhello_html_m3c979ea.gif

hello_html_63844c9f.gifhello_html_m4e4d5b19.gif


2. Какая из функций является четной?

hello_html_m68566e5f.gifhello_html_mb7fd265.gifhello_html_3841e251.gif

hello_html_m14f12314.gifhello_html_841826d.gif



3. Найдите наименьший положительный период функции hello_html_m44a96fa9.gif

hello_html_55db549f.gif


4. Найдите область определения функции: hello_html_m61544acd.gif

hello_html_m53ebff04.gif



5. Найдите множество значений функции hello_html_m47a46342.gif

hello_html_7b266e91.gif



6. Дана функция у = 5 – 4х. Найдите ей обратную.

hello_html_3a51335e.gifhello_html_729e423f.gifhello_html_7233f66f.gifhello_html_m7c740ee.gifhello_html_m3a8133ac.gif

7. Дана функция у = х2-4х+3. Найдите значение х, при котором функция

принимает наименьшее значение.

hello_html_40c72655.gif


8. Найдите область определения функции: hello_html_m7442c3cd.gif

hello_html_m2de9d430.gif



9. Найдите наименьшее значение функции hello_html_23687c85.gif

hello_html_485a4b46.gif


10 .Найдите область определения функции: hello_html_m95e3d02.gif

hello_html_53fe0ff6.gif




Тема2: ТРИГОНОМЕТРИЯ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


1)Значение тригонометрических функций


Угол

Функция


00


0


300


hello_html_m6ceedaf2.gif


450


hello_html_m2d9fb03b.gif


600


hello_html_m59084932.gif


900


hello_html_m488fb785.gif


1800


hello_html_m428def4d.gif



2700


hello_html_m7c1de562.gif


3600


hello_html_m5fd4f81a.gif


sinα


hello_html_m56c2a4dd.gif


hello_html_m7121505c.gif


hello_html_2268cba1.gif


hello_html_m33610a6a.gif


1


0


-1


0


cosα


1


hello_html_390456f0.gif


hello_html_2268cba1.gif


hello_html_m3907a0ac.gif


0


-1


0


1


tgα


0


hello_html_m5a24acab.gif


1


hello_html_774d1622.gif


-


0


-


0


ctgα



hello_html_774d1622.gif


1


hello_html_m5a24acab.gif


0


-


0


-


2)Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в каждой из координатных четвертей.


Знаки синуса Знаки косинуса Знаки тангенса и

hello_html_m610381e2.gifкотангенса

+ + - + - +

- - - + + -




3) sin(-α) = -sinα нечетная функции

tg (-α) = -tgα нечетная функции

ctg (-α) = -ctgα нечетная функции

cos (-α) = cosα} – четная функция



Формулы тригонометрии



Основные тригонометрические тождества

Формулы двойного угла

sin2α +cos2α=1

hello_html_m1f396c01.gif

hello_html_77f40e2f.gif

hello_html_8272371.gif

hello_html_21cb792b.gif

tgαctgα =1

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2αsin2α

cos2α = 1-sin2α

cos2α =2cos2α -1

hello_html_1498ffa4.gif




Формулы половинного угла


Формулы сложения



hello_html_759e692b.gif

sin (α+β) =sinα cosβ +cosα sinβ

sin (α-β) =sinα cosβ-cosα sinβ

cos (α+β) = cosα cosβ -sinα sinβ

cos (α-β) = cosα cosβ +sinα sinβ

hello_html_da15dfd.gif



Формулы суммы и разност

hello_html_78c611f7.gif




Тема: ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение:


1hello_html_m5157ba51.gif. arcsin(-a) = -arcsin a arcsin hello_html_m42b4b80b.gif = hello_html_55c4f23d.gif ; arcsin(- hello_html_m42b4b80b.gif) = - hello_html_55c4f23d.gif

2. arccos(-a) = π – arccos a arccoshello_html_m42b4b80b.gif = hello_html_m3e080c89.gif ; arccos(- hello_html_m42b4b80b.gif) = π - hello_html_m43203c3c.gif = hello_html_m2233273b.gif π

3. arctg(-a) = -arctg a arctg1 = hello_html_m2883d996.gif ; arctg(-1) = - hello_html_m2883d996.gif

4. arcctg(-a) = π – arcctg a arcctg1 = hello_html_m2883d996.gif ; arcctg(-1) = π - hello_html_m2883d996.gif = hello_html_2f24a7e8.gif π

hello_html_2b326bb7.gifhello_html_m2fb83a6a.gif

5. sin (arcsin a) = a hello_html_m72b82e7.gif

cos (arccos a) = a hello_html_m6b17e795.gif

6. arcsin (sin х) = х

arccos (cos х) = х

7 .tg (arctg a) = a

arctg (tg х) = х, если хhello_html_7bf2d475.gif


Найдите значение выражения:


a) arcsin 1 г) arctg 0 ж) arccos (-hello_html_14ad5ea.gif)

б) arcsin (- hello_html_mad19bc2.gif) д) arctg (-hello_html_m80a5ed.gif) з) arcctg (-hello_html_m80a5ed.gif)

в) arccos hello_html_14ad5ea.gif е) arcctg (hello_html_559ccfd3.gif)


Тема3: ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Уравнения вида hello_html_m53d4ecad.gifsin x = a, cos x = a, tg x = a, ctg x =a называются простейшими тригонометрическими уравнениями. Любое другое тригонометрическое уравнение с помощью преобразований можно привести к простейшим.

1) sin x = a, -1 ≤ a ≤ 1


х = (-1)k arcsin a + πk, k€z


Частные случаи

sinx = 0; x = πk, kz

sinx = 1; x = hello_html_m3e080c89.gif + 2πk, kz

sinx = -1; x = - hello_html_m3e080c89.gif + 2πk, kz

sin2x = a; x = ±arcsinhello_html_m120d1537.gif + πn

2) cos x = a, -1 ≤ a ≤ 1

х = ±arccos a + 2πk, k€z


Частные случаи

cosx = 0; x = - hello_html_m3e080c89.gif + πk, kz

cosx = 1; х=2πk, kz

cosx = -1; х= π + 2πk, kz

cos2x = ±arccoshello_html_m120d1537.gif + πn, n€z


3) tg x = a

х = arctg a + πk, k€z


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Решить уравнение:

sinx = - hello_html_14ad5ea.gif

x = (-1)k arcsin (- hello_html_14ad5ea.gif) + πk, k€z

x = (-1)k+1 hello_html_m43203c3c.gif + πk, k€z

Ответ: x = (-1)k+1 hello_html_m43203c3c.gif + πk, k€z




Пример 3. Решить уравнение:

sin2x = hello_html_mad19bc2.gif

2x = (-1)k arcsinhello_html_mad19bc2.gif + πk, k€z

2x = (-1)k hello_html_m2883d996.gif + πk, k€z

х = (-1)k hello_html_m13af9fc8.gif + hello_html_m3e080c89.gifk, k€z

Ответ: х = (-1)k hello_html_m13af9fc8.gif + hello_html_m3e080c89.gifk, k€z


Пример 2. Решить уравнение:

2 cosx + 1 = 0

2cosx = -1

cosx = - hello_html_m42b4b80b.gif

x = ±arccos(- hello_html_m42b4b80b.gif) + 2πk, kz

x = ±(hello_html_m62e84850.gif) + 2πk, kz

Ответ: x = ±(hello_html_m62e84850.gif) + 2πk, kz


Пример 4. Решить уравнение:

3tgx -1 = 0

tgx = hello_html_1e0937.gif

x = arctg hello_html_1e0937.gif + πk, kz

Ответ: x = arctg hello_html_1e0937.gif + πk, kz


















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнения:


1. cos x = hello_html_mad19bc2.gif 7. sin x = -0,6

2. cos x = -1 8. cos (-4x )= 0

3. sin(- x) = 0,5 9. cos hello_html_19943c00.gif = - hello_html_m42b4b80b.gif

4. 2 sin x = 0 10. tg( x+π/4) = hello_html_m80a5ed.gif

5. ctg х + 1 = 0 11. 2 sin x + hello_html_m80a5ed.gif = 0

6. sin 3x = hello_html_mad19bc2.gif 12. cos x = 3



Тема: РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

(Виды уравнений: а sin2x + b sinx + c= 0, а cos2x + b sinx + c = 0)

Алгоритм решения:

а) Выполнить преобразования, приводящие к уравнению с одной функцией

б) Решить квадратное уравнение относительно данной функции

в) Решить простейшие тригонометрические уравнения


hello_html_m2fb83a6a.gifПример: 2 sin2 x + 5 sin x – 3 = 0

Замена: sinx = t , |t| ≤ 1

2 t2 + 5 t – 3 = 0 , t = -3

t = hello_html_m42b4b80b.gifОбратная замена: sin x=-3 нет решения,

sinx = hello_html_m42b4b80b.gif (простейшее уравнение)

(см. таблицу)


2) Уравнения вида a sinx + b cosx = 0 (однородное уравнение первого порядка)

Решается делением на sin x ≠ 0 или cos х ≠ 0

Например: поделим на cos x, получим уравнение а tgx + b = 0

tgx = - hello_html_410acf3e.gif (простое тригонометрическое уравнение)


  1. Уравнения, решаемые разложением левой части на множители, если справа 0

(левую часть уравнения раскладываем на множители, затем каждый из сомножителей приравниваем к нулю)


а sin2x + b sinxcosx = 0 (вынесем за скобки sin х)

sinx (a sinx + b cosx) = 0 (данное уравнение распадается на 2 уравнения:

1) sinx = 0 (прост. триг. уравнение) . 2) а sinx + b cosx = 0 (однородное триг. уравнение 1-го порядка, смотри пункт 2)


4) Однородные тригонометрические уравнения 2-го порядка

hello_html_m75498e95.gif

а sin2 x + b sinx cosx + c cos2x = 0 Примечание: если уравнение имеет вид

а sin2 x + bsinx cosx + c cos2x = d, то правую часть

уравнения умножаем на 1, т.е.

hello_html_d4baf13.gifРешается делением на сos2 х≠ 0

a tg2x + b tgx + c = 0 (смотри пункт 1)

замена: tgx = t

at2 + bt + c =0 …


ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


Решите уравнение

1.2 cos2x + 9 sinx + 3 = 0, (указание: hello_html_2c49a88b.gif заменить на 1-sin2x) 2.hello_html_m80a5ed.gifsinx + cosx = 0

Ответ: - hello_html_55c4f23d.gif + πn, n€z Ответ: (-1)n+1 hello_html_55c4f23d.gif + πn, nz



3. 2sin cosx – sinx = 0 4. 3 sin2x + sinxcosx = 2cos2x

Ответ: x = - hello_html_m2883d996.gif + πn, x = arctg hello_html_m2233273b.gif + πn, n€z Ответ: x = ± hello_html_m43203c3c.gif + 2πn, n€z, x = πn, n€z



ТЕСТ № 1


1. Решите уравнение: sinx = hello_html_14ad5ea.gif

А) (-1)k hello_html_m43203c3c.gif + πk, k€z B) ± hello_html_m43203c3c.gif + 2πk C) (-1)k hello_html_55c4f23d.gif + πk D) (-1)k hello_html_55c4f23d.gif + 2πk


2. Решите уравнение: 2 cos2x = hello_html_5ba16e74.gif

A) hello_html_m13af9fc8.gif + 2πk B) ± hello_html_m13af9fc8.gif + πk C) hello_html_m2883d996.gif + πk D) ± hello_html_m2883d996.gif + 2πk



3. Решите уравнение: 3tg3x = 3

A) hello_html_m43203c3c.gif + hello_html_270ddb94.gifk B) - hello_html_270ddb94.gif + πk C)hello_html_m9db4bcd.gifk D) hello_html_55c4f23d.gif + hello_html_m7d1e4bde.gif



4. Решите уравнение: 2cos2x – 5cosx = -3

A) 2πn, nz B) нет решения C) πn, nz D) π + 2πn, nz

5. Решите уравнение: sin2x – 2sinx = 0

A) πn, nz B) (-1)khello_html_m3e080c89.gif + πк C) ± hello_html_m3e080c89.gif + 2πn D) π + 2πn, nz

6. Решите уравнение: hello_html_m6182f41a.gif

A) нет решения B) hello_html_m39923e3d.gifC) hello_html_m38cf5ad4.gifD) ± hello_html_m3e080c89.gif + 2πn, nz

7. Решите уравнение: 2sin hello_html_4c794e32.gif + hello_html_m80a5ed.gif = 0

A) (-1)k hello_html_m43203c3c.gif + 2πk B) (-1)k + 1 hello_html_m62e84850.gif + 2πk C) (-1)k hello_html_55c4f23d.gif + πk D) (-1)k + 1 hello_html_m62e84850.gif + πk


8. Решите уравнение: hello_html_m80a5ed.gif sinx – cosx = 0

A) hello_html_55c4f23d.gif + πn B) hello_html_m43203c3c.gif + πn C) ± hello_html_55c4f23d.gif +2 πn D) ± hello_html_m43203c3c.gif + πn


9. Решите уравнение: sin2 hello_html_4c794e32.gif + sin hello_html_4c794e32.gif cos hello_html_4c794e32.gif = 0

A) - hello_html_m3e080c89.gif + 2 πn, n€z, 2πn, n€z B) hello_html_m3e080c89.gif + 2 πn, n€z C) hello_html_m3e080c89.gif + πn, n€z D) - hello_html_m3e080c89.gif + πn, n€z, πn, n€z


10. Решите уравнение: 3tg6x + hello_html_m80a5ed.gif = 0

A) hello_html_55c4f23d.gif + πn, n€z B) hello_html_7bc40702.gif + 6 πn, n€z C) hello_html_m3e080c89.gif + 3 πn, n€z D) - hello_html_m20caa5a1.gifn, n€z





ТЕСТ №2

1. Решите уравнение:hello_html_mbf2896.gif

А) hello_html_5bef0238.gif В)hello_html_m1717c17.gif С)hello_html_51ec183c.gifD)hello_html_54da0b7f.gif

2. Решите уравнение hello_html_34d89401.gifесли hello_html_m7725f208.gif

А)hello_html_m539d77c1.gif В)hello_html_m430f6418.gif С)hello_html_m7979b681.gif D)hello_html_552bd1b4.gif


3. Решите уравнение: hello_html_m7d24a04e.gif

А)hello_html_m521a4800.gif; В)hello_html_6da40db0.gif;

С)hello_html_47cd2c87.gif; D)hello_html_m586e6c6.gif.

4. Решите уравнение: hello_html_m6e261ba8.gif.

А)hello_html_5bef0238.gif; В)hello_html_m1717c17.gif; С)hello_html_54da0b7f.gif; D)hello_html_m48a77dc4.gif.

5. Найдите корень уравнение hello_html_m4e8d77f.gifпринадлежащий [hello_html_39261af6.gif]

А)300; В)450; С)200; D)150.


6. Решите уравнение: hello_html_338e0521.gif.

А)hello_html_m56e269e3.gif В)hello_html_m1eec9cab.gif С)hello_html_1f6a74e3.gifD)hello_html_7a7a735d.gif


7. Решите уравнение: hello_html_m2536915e.gif

А)hello_html_m76d7c1ef.gif В)hello_html_23ae957d.gif С) hello_html_m3a564cb9.gifD)hello_html_f25a975.gif

8. Решите уравнение: hello_html_110bd831.gif.

А)hello_html_m7fd25068.gif; В)hello_html_54da0b7f.gif; С) hello_html_1c7fc0d8.gif; D)hello_html_m4575e03d.gif.

9. Решите уравнение: hello_html_m51f5787a.gif.

А)hello_html_56a4050.gif; В)hello_html_m1ec1419f.gifhello_html_m60ad3262.gif;

С) hello_html_56363be8.gif; D)hello_html_mbbb00b9.gif.


10. Решите уравнение: hello_html_m618aeb0a.gif

А) hello_html_m7fb71650.gif; В) hello_html_128d6535.gif;

С) hello_html_m2edaf129.gif; D) hello_html_m65e3a333.gif.




Тема4: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ




Функция


Производная




Функция


Производная



Функция



Производная

1

hello_html_m6963b5ed.gif

hello_html_500726e3.gif

9

hello_html_55622e42.gif

hello_html_m56c2a4dd.gif

17


hello_html_18551a5e.gif


hello_html_m56be4e3d.gif

2


hello_html_m3f444ce3.gif


hello_html_m79bed303.gif

10

hello_html_2b8a2485.gif

hello_html_m5a4ccc1c.gif

18


hello_html_m55b250fa.gif


hello_html_7aecbc14.gif

3

hello_html_53bd0c42.gif

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m6f1e692e.gifhello_html_m53d4ecad.gif

11

hello_html_m1ae526dd.gif


hello_html_4fa4f979.gif

19


hello_html_m3bc2a181.gif


hello_html_60ce5c0c.gif

4

hello_html_m1df7a8c3.gif

hello_html_4b8795d4.gif

12

hello_html_m2d45d8c8.gif, hello_html_m246e5300.gif

hello_html_m6b72f80.gif

20

hello_html_m1d644017.gif

hello_html_7d7afc39.gif

5

hello_html_4b8795d4.gif

- hello_html_m1df7a8c3.gif

13

hello_html_6f02259.gif, hello_html_59440497.gif

hello_html_m3119b8d7.gif

21


hello_html_69d8df0b.gif


hello_html_3867233a.gif

6

hello_html_7134fea6.gif

hello_html_m366897fb.gif

14

hello_html_2a6c63b8.gif


hello_html_m248a7f9c.gif


22


hello_html_m35abf1c0.gif

hello_html_23904f2f.gif

7

hello_html_13d749fa.gif

hello_html_m4c027c66.gif

15

hello_html_629ebdcd.gif

hello_html_34ced06c.gif

23


hello_html_m67f6d428.gif

-hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_23904f2f.gif

8

hello_html_5232bc61.gif

hello_html_5232bc61.gif

16

hello_html_m3de0d159.gif

hello_html_m55ed27b4.gif

24


hello_html_m1eca34fc.gif

hello_html_m3603a107.gif



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ




Пример 1. Найдите производную функции hello_html_4d2bb298.gif

Решение: hello_html_m5abe089d.gif




Пример 2. Найдите производную функции: hello_html_m3ae8abaf.gif

Решение:

hello_html_m34849fca.gif






Пример 3. Найдите производную функции hello_html_72d20b.gif

Решение:

Обозначим hello_html_m558bb7f5.gif, тогда hello_html_674eb8f2.gif Воспользуемся формулой hello_html_m16bcc06d.gif Найдем: hello_html_m2f4b178e.gif

hello_html_6c408eaf.gifТогда hello_html_m1ac79089.gif И вообще hello_html_m4d59bb7.gif Производную данной функции находим сразу как произведение производной степенной функции hello_html_32e2983c.gif на производную от функции hello_html_557b94b0.gif: hello_html_79144702.gif



Пример 4. Найти производную функции: hello_html_m3318c6f5.gif

Решение: Заменим кубический корень дробным показателем и по формуле: hello_html_m3b490ce2.gif найдем производную степени: hello_html_m74fd548e.gif.



Пример 5. Найти производную функции: hello_html_m1e3a912e.gif

Решение: hello_html_1226de45.gif




Пример 6. Найти производную функции: hello_html_2ff951dd.gif

Решение: hello_html_m3f35688.gif




Пример 7. Найти производную функции hello_html_m7c22018e.gif

Решение: hello_html_2eddbd54.gif
















ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


  1. Найдите производную каждой из данных функций:


а) у=х3; б) у=sinx; в) у=tgx; г) у=ех; д) у=2х.


2. Найдите производную каждой из данных функций в указанной точке:

а) f(x)=lnx f '(½); б) f(x)=log3x f '(1); в) f(x)=hello_html_45443a93.giff '(¼);

г) f(x)=cosx f '(hello_html_m3b951ab5.gif); д) f(x)=ctgx f '(hello_html_m3b951ab5.gif);

3. Вычислите производные:

а) у=3х2; б) у=4х4; в) у=hello_html_3c42f008.gif; г) у=hello_html_m1e503600.gif ; д) у=hello_html_m3368d283.gif; е) у=х+hello_html_4ad233eb.gif ; ж) у=hello_html_m20a35169.gif .

4. Вычислите производные:

а) у=2х2-3х+5; б) у=hello_html_1ae3e297.gif; в) у=4-х2; г) у=х42; д) у=х5+2х3-hello_html_m834072.gif; е)hello_html_4ccc67c3.gif; ж)hello_html_113f25c9.gif.

5. Найдите производную сложной функции:

а)hello_html_m422ec1e9.gif; б)hello_html_21eb3bf7.gif; в) hello_html_mc9ca2fa.gif; г)hello_html_67ce9a18.gif; д)hello_html_m6589af6.gif; е)hello_html_m187feb07.gif.

6. Найдите производную данных функций:

а) f(x) = ( 3x7 - hello_html_94b59db.gif) б) f(x)= (3-5х+х2)100hello_html_m53d4ecad.gif в) f(x) =hello_html_m419d9b58.gif

Ответ: hello_html_m40295da5.gif; Ответ: 100(3-5х+х2)99(-5+2х); Ответ: 21x6+hello_html_63a859b9.gif;

г) f(x) = hello_html_m54fc9b27.gif д) f(x)=hello_html_26f7e49b.gif

Ответ:hello_html_m3b1df8d5.gif; Ответ: hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_518ce2f1.gif;

е) f(x) = tgx·cos2x, указание: у=sinxcosx=½sin2x ж) f(x) = hello_html_1dc7ae1c.gif

Ответ: hello_html_4b245f13.gif; Ответ:cos2x;


з) f(x) =hello_html_m37600227.gif и) f(x) = lg(5x2+1) к) f(x)=hello_html_m5a98587b.gif

Ответ: hello_html_m7e970414.gif. Ответ: hello_html_m842fbba.gif; Ответ: hello_html_m31016a1f.gif;

ТЕСТ №1


1. Найдите производную функцию f(x)=hello_html_3875fa4a.gif.

А)hello_html_m213b93f.gif ; В)hello_html_2e61792f.gif; С)hello_html_m61c30865.gif; D)hello_html_m45545e2d.gif; Е) hello_html_m77e3815c.gif.


2. Найдите в точке х=hello_html_m2a5a0360.gif значение производной функции f(x)=sin2x.

А) hello_html_md0bb99f.gif; В) hello_html_m1df9c7fe.gif; С)hello_html_774d1622.gif; D)1; Е) 1,5.


3. Найдите производную функции у=5lnx-x2.

А) hello_html_78f7dd35.gif; В) -hello_html_7ecb71b5.gif; С)hello_html_c8abd5a.gif; D) hello_html_7ecb71b5.gif; Е) hello_html_mb3c67ee.gif.


4. Найдите производную функции f(x)=5х ·2х.


А) 10xln5; В) 10xln10; С) 5xln10; D) 105xln10; E) 5xln5.


5. Дана функция f(x)=2hello_html_45443a93.gif4. Найдите f´(1).


А) 2; В) 3; С) 6; D) 5 ; Е) 7.


6. Задана функция f(x)=hello_html_m3a19545a.gif.Найдитеhello_html_mb8456ab.gif.

А) 2; В) hello_html_cb9ddd0.gif; С) hello_html_4eeae8c9.gif; D) 4; Е) hello_html_792cf5a3.gif.


7. Задана функция f(x)=(х2-х) сos2x. Hайдитеhello_html_6dc1d87b.gif.

А) -1; В) hello_html_m1df9c7fe.gif; С) 2; D) 1; Е) 0.


8. Найдите производную функции у=2,5х2 – х5.


А) 12,5х – х4; В) 2,5х2 – 5х4; С) 5х-5х4; D) 5х-х5; Е) -5х+5х4.



9. Дано: f(x)=(4х+7)-6. Hайдитеhello_html_7804dff5.gif.


А) -42(4х+7)-4; В) -6(4х+7)-5; С) -4(4х+7)-6; D) -24(4х+7)-7; Е) -4(4х+7)-7.



10. Вычислите производную функции f(x)=(х2-1)(2-3х) в точке х=2.


А) -25; В) -19; С) -18; D) -24; Е) -20.




ТЕСТ №2


1. Дана функция f(x)=hello_html_m6610272d.gif.Найдите f'(3).

А) hello_html_m2c642ed2.gif; В) hello_html_5c7b5c16.gif; С) hello_html_m316192a1.gif; D) 2; Е) 1.


2. Задана функция f(x)=cosx2. Найдите f '(x).

А) х cosx2; В) -2х cosx2; С) 2х cosx2; D) -2х sinx2; Е) 2 sinx2.


3. Найдите производную функции f(x)=8х+ ex.

А) 8хlne; В) 8хln8+ ex; С) х ln8; D) 8хln8; Е) 8хlnх+е.


4. Найдите производную функции f(x)=ex+xhello_html_m3172e248.gif.

А) (х+2)ех+хhello_html_m3172e248.gif ; В) (1-2х)ех ; С) (2х-1)ех+хhello_html_m3172e248.gif ; D) (2х+1)ех+хhello_html_m3172e248.gif ; Е) ех (1-2х).


5. Найдите производную функции f(x)=ex-5х3

А) ех-15х2 ; В) ех-3х5 ; С) 1-15х2 ; D) ех3 ; Е) 1-15х4.


6. Найдите значение производной в точке х0, если h(x)=hello_html_45443a93.gif, х0=9 .

А)hello_html_3ad013a1.gif; В)hello_html_m7c59309.gif; С) 3; D) hello_html_m7357f40c.gif; Е) hello_html_m568d261.gif.


7. Найдите hello_html_6dc1d87b.gif, если f(x)=3sin7x.

А) 21sin7x; В) 21cos7x; С) 21sin7xcos7x; D) sin21x; Е) sinhello_html_102e50e9.gif.


8. Вычислите hello_html_609eec24.gif, если hello_html_7804dff5.gif=hello_html_m324b8dab.gif

А) hello_html_5cdb27e7.gif; В) hello_html_4eeae8c9.gif; С) hello_html_me2b606c.gif; D) hello_html_7dc609ca.gif; Е) -4.


9. Решите уравнение hello_html_7804dff5.gif=0, если f(x)=hello_html_m3824f063.gif

А) hello_html_m11aef5f5.gif; В) hello_html_m7c59309.gif; С) нет корней; D) hello_html_32d140da.gif; Е) hello_html_m316192a1.gif.


10. Производная функции f(x)=lnhello_html_640cba1c.gifравна:

А) hello_html_m6f90788a.gif; В) hello_html_44ba14b.gif; С) hello_html_46d9c13f.gif; D) hello_html_m76a22d4.gif; Е) hello_html_216c955b.gif.


ОТВЕТЫ

Тема: ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

А

D

С

В

D

Е

А

С

D

А

Тест№2

В

D

В

D

А

А

В

С

С

С


Тема5: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ



СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Пусть функция f дифференцируема в точке х0.Тогда существует касательная к графику функции f в точке (х00),где у0= f(x0),уравнение которой имеет вид:


у=f(x0)+f '(x0)(x-x0).


Геометрический смысл производной


Значение производной состоит в том,что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

f'((x)=hello_html_m360988d2.gif= tgα


Механический смысл производной скорости движения.


Пусть точка движется по закону hello_html_m921ea8a.gif.

Тогда hello_html_m3e2b64e6.gif; hello_html_1059d496.gif,

где s - путь, пройденный точкой; V - скорость точки; а - ускорение точки.



УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


Пример 1. Составьте уравнение касательной к графику функции hello_html_509d183c.gif в точке hello_html_2f912564.gif

Решение:

1) hello_html_m7d829a2c.gif- уравнение искомой касательной;

2) hello_html_326d5a81.gif;

3) hello_html_m36f2689f.gif;

4) hello_html_m37dcad30.gif;

5) Подставляем значения hello_html_55ad76ab.gif, hello_html_7e6913fc.gif и hello_html_47bd3c74.gifв уравнение касательной: hello_html_m2173f957.gif или hello_html_3885e7dd.gif, hello_html_7e96beb4.gif


Пример 2. Составьте уравнение касательной к гиперболе hello_html_5731658e.gifв точке с абциссой hello_html_m16ccbd4a.gif

Решение:

1) hello_html_m7d829a2c.gif;

2) hello_html_19e19b75.gif;

3) hello_html_m1c4b257e.gif;

4) hello_html_503aff8f.gif;

5) hello_html_m10ce1fdd.gif; hello_html_m71d6ecb6.gif



Пример 3. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_m73a00aa2.gif, где hello_html_406f279a.gifизмеряется в метрах, время hello_html_m5b07b31b.gif - в секундах. Найдите скорость движения тела в момент времени hello_html_4fde1028.gif

Решение:

hello_html_5059534e.gif, hello_html_m4d0b21a1.gif



Пример 4. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_m53538f6c.gif, где hello_html_406f279a.gifизмеряется в метрах, время hello_html_m5b07b31b.gif - в секундах. Найдите ускорение движения тела в момент времени hello_html_m4da52a78.gif

Решение:

Функция hello_html_406f279a.gif есть закон прямолинейного движения. Мгновенная скорость hello_html_25b566de.gif этого движения равна производной hello_html_4e97ee4f.gif Мгновенная скорость hello_html_25b566de.gif есть функция от времени. Ускорение движения есть скорость изменения скорости, поэтому ускорение движения в момент времени hello_html_m5b07b31b.gif равно производной hello_html_1652c491.gif. Таким образом, ускорение движения в момент времени hello_html_m5b07b31b.gif равно: hello_html_63d34c6.gif, т.е. равно производной от производной. Эту производную называют второй производной от функции hello_html_406f279a.gif и обозначают hello_html_m5bab7f02.gif Поэтому ускорение движения hello_html_m4bfd833f.gif равно второй производной hello_html_m5bab7f02.gif

Итак, hello_html_m4bfd833f.gif = hello_html_1045c7c3.gif; hello_html_m1bd004a4.gif; hello_html_6a2a474c.gif; hello_html_d648cbb.gif



ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


1. Составьте уравнение касательной к графику данной функции f(x) в указанной точке М:

hello_html_67cdb79c.gifhello_html_8d2eee6.gif; hello_html_m2fc48af8.gif,hello_html_3f062c00.gifhello_html_6f1f1252.gif, hello_html_6c11645e.gif.

Ответ:hello_html_77a77106.gif.



2. Точка движется по закону hello_html_1dbdb22a.gif. Найдите зависимость скорости движения от времени. Определите мгновенную скорость в момент времени hello_html_5be1a50d.gif.

Ответ:hello_html_57abaabe.gif.



3. Найдите угол между касательной к графику функции hello_html_m7c74bfd2.gif в точке hello_html_114ea7c6.gif и осью hello_html_m72eaf317.gif. Ответ: hello_html_66c5e4a2.gif.



4. Найдите уравнение касательной к графику функции hello_html_64c6306.gif в точке с абсциссой hello_html_522367cb.gif.

Ответ:hello_html_763741d7.gif.



5. Найдите угол, образованный касательной к кривой hello_html_m5bf12ac0.gif в точке hello_html_m2a679080.gif с положительным направлением оси абсцисс.

Ответ: 1350.



6. Точка движется прямолинейно по законуhello_html_m6d35ba12.gif

Найдите зависимость ускорения движения от времени, если hello_html_5be1a50d.gif.

Ответ: hello_html_12b6e7ea.gif.



7. Найдите уравнение касательной к графику функции hello_html_7c1d1c9.gif в точке с абсциссой 2.

Ответ: hello_html_m56d60ba1.gif.



8. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону hello_html_2503c442.gif. Найдите кинетическую энергию тела hello_html_m3b1061c0.gif через 4с после начала движения.

Ответ: 3125 Дж.


ТЕСТ №1


1. Составьте уравнение касательной к графику функции у=3х2+6х+1 в

точке пересечения этого графика с осью ординат.

А) у=-6х+1; В) у=х+6; С) у=6х+1; D) у=6х; Е) у=6х-1.


2. Найти тангенс угла наклона касательной к графику функции

f(x)=2х3-5х в точке М(2;6)

А) tg α=13; В) tgα=19; С) tgα=17; D) tgα=29; Е) tgα=8.



3. Скорость движения материальной точки по прямой изменяется по закону

V(t)=4t+1/t. Наибольшее значение скорости за время 0,25 ≤ t ≤1 равно

А) 5; В) 4; С) 3; D) 7; Е) 0.



4. Какой угол образует с направлением оси Ох касательная к графику

функции f(x)=(1-х)3, проведенная в точке х=3?

А) острый; В) 300; С) прямой; D) тупой; Е) 00.



5. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m3964838f.gif.Найти значения скорости в момент времени hello_html_m4c282e25.gif.

А) 202hello_html_m703e5b1.gif; В) 198hello_html_m703e5b1.gif; С) 98hello_html_m703e5b1.gif; D) 104hello_html_m703e5b1.gif; Е) 128hello_html_m703e5b1.gif.



6. К графику функции f(x)=5х3+9х-27в точке с абсциссой х=0 проведена

касательная. Найдите абсциссу точки пересечения касательной с осью Ох.

А) 3; В) 1; С) 4; D) 2; Е) -2.



7. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_69b22501.gif.В какой момент времени скорость точки окажется равной нулю.

А) 9 В) 4 С) 3 D) 8 Е) 6.



8.Дана функция hello_html_665eb817.gif.Составьте уравнение касательной к графику функции в точке hello_html_332b85fc.gif

А) hello_html_m4db12535.gif; В)hello_html_13e80c50.gif ; С)hello_html_3a2e2c93.gif;

D)hello_html_5f1b7a6c.gif Е) hello_html_md8971f.gif


9. Точка движется по координатной прямой по закону S(t)=-t2+10t-7. Найдите S(3).

А) 19; В) 14; С) 4; D) 46; Е) -5.



10. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А(1;-1) и В(2;3).

А) hello_html_4eeae8c9.gif ; В) -hello_html_4eeae8c9.gif; С) -4; D) 1; Е) 4.



ТЕСТ №2


1. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции hello_html_m7dabe479.gif в точке с абсциссой hello_html_74852fb6.gif?

А) hello_html_m6ceedaf2.gif; В)hello_html_m7c1de562.gif; С)hello_html_me3055f8.gif; D)hello_html_m59084932.gif; Е)hello_html_m65f4ad49.gif.


2. Какой угол с осью Ох образует касательная к графику функции hello_html_m5e6e0497.gif в точке с абсциссой hello_html_m7808a460.gif?

А)hello_html_7aad707c.gif; В) hello_html_6e9787f4.gif; С) hello_html_m6618c84.gif; D) hello_html_5316243f.gif; Е)hello_html_559f778d.gif.


3. Напишите уравнение касательной к графику функции hello_html_1271de8e.gif в точке hello_html_53487f59.gif.

А)hello_html_a804c70.gif; В) hello_html_m5417e2ba.gif; С) hello_html_2272e2fa.gif; D) hello_html_m3e5fb191.gif; Е) hello_html_2226959a.gif.


4. Материальная точка движется по прямой линии по закону hello_html_m41e0f3d5.gif. Найдите скорость материальной точки в момент времени hello_html_11c98a78.gif.

А) hello_html_7c37588f.gif В) hello_html_m1b7797fb.gif С) hello_html_m723fabf3.gifD)hello_html_m2623d4e9.gif Е) hello_html_9f6d807.gif


5. Прямолинейное движение точки задано уравнением hello_html_m18da0093.gif.Найти скорость движения точки в момент времени hello_html_m69d74042.gif.

А)28hello_html_3373a13e.gif В)34hello_html_m703e5b1.gif С)25hello_html_m703e5b1.gifD)45hello_html_m703e5b1.gif Е)18hello_html_m703e5b1.gif.


6. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m3964838f.gif.Найти значения ускорения в момент времени hello_html_m4c282e25.gif.

А) 48hello_html_m6d2268b8.gif В) 50hello_html_m6d2268b8.gif С)32 hello_html_m6d2268b8.gifD)58hello_html_m6d2268b8.gif Е)74hello_html_m6d2268b8.gif


7. Напишите уравнение касательной к графику функции hello_html_748ae83c.gif в точке пересечения графика с осью ординат.

А)hello_html_1837ad42.gif В)hello_html_76dd8210.gif С)hello_html_m71cd88bd.gifD)hello_html_m2af03da0.gif Е)hello_html_m3e7b9a99.gif


8. Написать уравнение касательной к графику функцииhello_html_m7b771b1c.gif в точке с абсциссой hello_html_72ad10fe.gif.

А)hello_html_m5e8b7fbe.gif В)hello_html_76dd8210.gif С)hello_html_m71cd88bd.gifD)hello_html_m1c83a7c4.gif Е)hello_html_7ff8e021.gif


9. Найдите уравнение касательной к графику функции hello_html_2457d2d9.gif, которая параллельна прямой, заданной уравнением hello_html_mb97098d.gif.

А)hello_html_m25283f86.gif В)hello_html_m238e1bf.gif С)hello_html_m6e0c225b.gifD)hello_html_m5f603a6a.gif Е)hello_html_m1ab272ea.gif


10. При каком значении hello_html_46bf2ce0.gif прямая hello_html_m6409713f.gif является касательной к графику функции hello_html_m166af944.gif

А) hello_html_m39226622.gif В) hello_html_m6b17411f.gif С) hello_html_5100e922.gifD) hello_html_m7eb9c9bc.gif Е) hello_html_m52be2798.gif


ОТВЕТЫ


Тема: КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

С

В

А

D

D

А

С

В

С

Е

Тест№2

D

Е

А

С

А

В

В

В

Е

D






Тема6: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ




СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Формулы для приближенного значения f(x) при х, достаточно близких к x0 .


hello_html_m437f5d26.gif(1)

hello_html_m69d228e1.gif(2)

hello_html_m42baac6a.gif(3)






УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ



Пример№1. Вычислите с помощью формулы (1) приближенное значение:

hello_html_m59fddf81.gifв точке hello_html_22c1e7a3.gif

Решение:

Если hello_html_15683606.gif, то hello_html_111fe263.gif.

hello_html_m5c447a92.gif

hello_html_55198e55.gif

hello_html_m6df04ad7.gif

hello_html_2be78140.gif.




Пример№2. Вычислите с помощью формулы (2) приближенные значение:

а)hello_html_46283114.gif

б)hello_html_22936678.gif



Пример№3. Вычислите с помощью формулы (3) приближенные значение:

а) hello_html_656c273b.gif

б) hello_html_11b92a91.gif.




ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ


1. Вычислите значения функции hello_html_7cde62b0.gif при значениях аргумента hello_html_d0d1d79.gif и hello_html_7622675f.gif:

hello_html_m1eab0109.gif; hello_html_m73c3c07a.gif

Ответ:hello_html_752c113e.gif ; hello_html_6e224dfe.gif



2. Вычислите приближённые значения выражений:

hello_html_5a1f42ea.gif   hello_html_72bea0a4.gif

Ответ: hello_html_3b9db023.gif hello_html_m468d5367.gif.



3. Вычислите приближённые значения выражений:

hello_html_m2b8ad32.gifhello_html_310bba34.gif

Ответ:hello_html_m71237118.gifhello_html_475664ce.gif



4. Вычислите приближённое значение выражения:

hello_html_m509800a5.gif  

Ответ:hello_html_m25c3e17e.gif.



5. Вычислите приближённое значение выражения:

hello_html_65112732.gif

Ответ:hello_html_481774f9.gif






ТЕСТ №1


1.Вычислите с помощью формулы приближенные значения: hello_html_m401e556f.gif


А)-245,97;68,69. В)-246,97;69,68 С)245,62;-56,25. D)246,97;69,68



2. Вычислите с помощью формулы приближенные значения:

hello_html_5324abf9.gifhello_html_22f439a6.gifhello_html_40be741d.gif


А) -114,80;-839,72 В) 114,80; 839,73. С)115,80;863,75 D)114,80;-68,69



3. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: hello_html_4792eb25.gif


А)1,38 В)-1,4 С)1,6 D)1,4



4. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: hello_html_m4bbc0f36.gif


А)-1,0015 В)1,0015 С)10,0015 D)-10,15



5.Вычислите с помощью формулы (1) приближенные значения функции f в точках x1 и x2: hello_html_7e7ab08.gifhello_html_5318bca9.gif; hello_html_889a139.gif


А) -25,54;0,18 В) -24,52;0,16 С) 25,54;-0,15 D) 24,52;-0,16.


6. Вычислите с помощью формулы приближенные значения функции f в точках x1 и x2: hello_html_m63b8e877.gif, hello_html_m408f018a.gif; hello_html_7ebcecd8.gif


А) 42,12;9,86 В) 40,50;8,96 С)40,52;9,86 D) -40,52;-9,86.


7. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: hello_html_5a87bc86.gif


А) 2,00036 В) 2,0004 С) -2,0004 D) 2,0003


8. Вычислите с помощью формулы приближенные значения: hello_html_47532533.gif


А) 0,1247 В) 0,1249 С) 0,1243 D) 0,1244



ОТВЕТЫ

Тема: ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

1

2

3

4

5

6

7

8

Тест №1

A

B

D

B

D

С

В

А


Тема7: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


Возрастание и убывание функции

Пусть значения производной функции у = f (х). положительны на некотором промежутке, т.е. f’(х)> 0. Тогда угловой коэффициент касательной tg a = f’(x) к графику этой функции в каждой точке данного промежутка положителен; это означает, что касательная к графику функции направлена вверх и поэтому график функции на этом промежутке “поднимается”, т.е. функция f (x) возрастает. Если f’(x)< 0 на некотором промежутке, то угловой коэффициент касательно tg a = f’(x) к графику функции y = f(x) отрицателен. Это означает, что касательная к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке “опускается”, т.е. функция f(x) убывает.

Итак, если f’(x)> 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

Признак максимума функции. Если функция f непрерывна в точке х0, а f/ (x)>0 на интервале (а, х0) и f/ (x)<0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой максимума функции f Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0f/(x)<0 на интервале (а, х0) и f/ (x)>0 на интервале (х0, в), то точка х0 является точкой минимума функции f. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.

Исследование функции

При исследовании свойств функции полезно найти:

  1. область её определения

  2. производную

  3. стационарные точки

  4. промежутки возрастания и убывания

  5. точки экстремума и значения функции в этих точках.

Результаты исследования удобно записать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат, и быть может ещё несколько точек графика.


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Пример 1. Построить график функции f(x) = 1 - hello_html_6a81be73.gifxhello_html_4fbf37b8.gifxhello_html_m3b89847d.gif

        1. Область определения – множество R всех действительных чисел

  1. f’(x) = -5xhello_html_m53d4ecad.gif-5xhello_html_297a2b59.gif = -5x(1+xhello_html_m5d4c989e.gif)

  2. Решая уравнение –x(1+ xhello_html_m5d4c989e.gif) = 0, находим стационарные точки xhello_html_m34745add.gif = -1 и xhello_html_m4bcd60e4.gif = 0.

  3. Производная положительна на интервале – 1<x<0, следовательно, на этом интервале функция возрастает. На промежутках x <-1 и x > 0 производная отрицательна, следовательно, на этих промежутках функция убывает.

  4. Стационарная точка x = -1 является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с “-“ на “+” f (-1) = -0,5. Точка х = 0 – точка максимума, т.к. при переходе через неё производная меняет знак с “+” на “-“ f (0) = 1


Составим таблицу:

Х

x < -1

- 1

- 1< x <0

0

X >0

f’(х)

-

0

+

0

-

f (x)

hello_html_34062a39.png

-0,5

hello_html_23617c63.png

1

hello_html_34062a39.png

Используя результаты исследования, строим график функции y = 1 - hello_html_m43061fba.gif

hello_html_m27c9ec5f.png


2. Найдите интервалы монотонности функции f (x) = xhello_html_m5d4c989e.gif – 3xhello_html_4fbf37b8.gif

Решение: Найдём производную f’(x) = 3хhello_html_4fbf37b8.gif – 6х

Решим неравенство методом интервалов 3х – 6ч >0, найдём нули функции

3х – 6х = 0 3х (х – 2) = 0 3х = 0 или х – 2 = 0 hello_html_b687e29.png х = 0 х = 2


Ответ:hello_html_m7f68d9c1.gif].


3.Найдите точки экстремума функции f (x) = хhello_html_297a2b59.gif – 4хhello_html_m5d4c989e.gif

Решение: Найдём производную f’(x) = 4xhello_html_m5d4c989e.gif – 12xhello_html_4fbf37b8.gif= 4xhello_html_4fbf37b8.gif(x – 3)

. Найдём стационарные точки

4xhello_html_4fbf37b8.gif(x – 3) = 0 4хhello_html_4fbf37b8.gif = 0 х – 3 = 0 х = 0 х = 3

Методом интервалов устанавливаем, что производное 4x(x – 3)положительна при x > 3

отрицательна при x < 0 и при 0 < x < 3

hello_html_m2f0225bd.png

Т.к. при переходе через точку хhello_html_m34745add.gif = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума. При переходе через точку хhello_html_m4bcd60e4.gif = 3 производная меняет знак с

-“ на “+”, поэтому хhello_html_m4bcd60e4.gif = 3 точка минимума.


4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x) = хhello_html_26b1bc64.gif на отрезке [hello_html_m3d4efe4.gif; 2]

hello_html_6adc5f2f.gif

Интервалу hello_html_738a4db6.gifпринадлежит одна стационарная точка hello_html_14d90ad7.gif

Из чисел hello_html_m189223e7.gif наибольшее 9,5 и наименьшее 4.

Ответ: наибольшее значение функции равно 9,5 и наименьшее 4.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ



  1. Найдите промежутки возрастания функции: hello_html_58e83c5c.gif

Ответ:hello_html_m8859fa8.gif


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_m78ebf7c6.gif на отрезке hello_html_40940d9c.gif


Ответ: max y = 0, min y = - 2


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции hello_html_560ecdd5.gif на отрезке hello_html_42ee0587.gif

Ответ: hello_html_m71f43366.gif57, hello_html_m33831545.gif-55

  1. Найдите промежутки убывания hello_html_m66ccb13.gif

Ответ:hello_html_m5123a094.gif

  1. Найдите точки экстремума: hello_html_1991e013.gif

Ответ:hello_html_m5bf02f1d.gif1, hello_html_2b0b6d43.gif3


  1. Найдите экстремумы функции: hello_html_19bb0c1.gif

Ответ: hello_html_1bf2f861.gif


  1. Найдите экстремумы функции: hello_html_m5b68d41b.gif

Ответ: 8


  1. Найти наименьшее возможное значение периметра параллелограмма с острым углом 30hello_html_m789e59b6.gif и площадью 2смhello_html_4fbf37b8.gif.

Ответ: 4 см



  1. Число 24 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых, таких, что произведение их квадратов принимает наибольшее значение:

Ответ:8 и 16


  1. Площадь прямоугольника равна 81 смhello_html_4fbf37b8.gif. Найти наименьший возможный периметр этого прямоугольника

Ответ:36 см

ТЕСТ №1

1. Дана функция hello_html_638f531f.gif Найдите ее критические точки.

А) 2;-1; В) 1;-2; С) -3;1; D) -2;3
2. Найдите точки экстремума функции hello_html_m787ebb56.gif

А) xmax=3, xmin=0; В) xmin=3, xmax=0; С) xmin=3 D) hello_html_6196eaa4.gif.

hello_html_m7afbac98.jpg3. Дан график функции у = hello_html_39d5d121.gif. Какие из утверждений верные:

  1. а, с — критические точки;

  2. а, с — точки экстремума;

  3. на hello_html_m687ddd.gifhello_html_39d5d121.gif дифференцируемая;

  4. [а, с] — промежуток убывания функции;

  5. 1 — точка максимума;

  1. mах hello_html_39d5d121.gif = п;

  2. xmax=a.

А) 2,3,4,6,7; В) 3,4,5,6,7; C) 1,2,4,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7

4. Найдите промежутки убывания функции hello_html_64f47ff.gif

А) [-4;0] В) (-hello_html_m374d0525.gif]; С) [4;+hello_html_4060c44a.gif) D) [0;4]

5. Найдите промежутки возрастания функции hello_html_m7423b63a.gif

А) hello_html_m3a6160e5.gif В) (0,25:0,25) С) hello_html_m1e020064.gifD) hello_html_6196eaa4.gif


hello_html_7c7ff9a0.jpg


6. Укажите график функции hello_html_6a636741.gif

hello_html_m24095cca.jpg


hello_html_m4061b5c8.jpghello_html_mb50aea9.jpg


7. Найдите экстремумы функции hello_html_m6c39421a.gif

А) 2; В) 1,5; С) hello_html_m23a27008.gif; D) hello_html_1d2b5dfd.gif

8. При каком значении а функция hello_html_m4a7d2e17.gif имеет экстремум в точках х= -2 и х=2?

А) 2 В) 12 С) 8 D) 4


9. Укажите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенств hello_html_64758e6a.gif

А) 0; В) -1; С) 2; D) 1.

10. При каких значениях х функция hello_html_m4fba6adf.gif не дифференцируема?

А) -hello_html_m2198d8a3.gif В) 2; С) -2;2; D)hello_html_m64bcb0f0.gif;

ТЕСТ № 2


1. Дана функция hello_html_60d379c9.gif Найдите ее критические точки.

А)-1; 3; В) -2; 1,5; С)-1,5; 2; D) 0,5; 2.

2. Найдите точки экстремума функции hello_html_4fa4aeb7.gif

А) xmin=0, xmax= -1,5; В) xmin= -1,5, xmax=0 С) xmin= -1,5; D) xmax=1,5

3. Дан график функции у=hello_html_6a015147.gif. Какие из утверждений

верные:

  1. b, m — критические точки;

  2. hello_html_5ee96c18.jpg

    b, т — точки экстремума;
  3. k — точка минимума;

  4. [b;m] — промежуток возрастания функции;

  5. на (а; р) — hello_html_7e48cf13.gif дифференцируемая;

6) xmin= b;

7) min hello_html_m639c89fa.gif [a;p]



А) 3,4,5,6,7; В) 1,2,4,6,7; С)1,2,3,4,5,6,7; D) 1,2,3,4,5,6,7


4. Найдите промежутки возрастания функции hello_html_m43a0ab75.gif

А) [-6;0]; В) [0;6] С) hello_html_2ecbdc0a.gifD ) hello_html_m4b2cfbc1.gif


5. Найдите промежутки убывания функции hello_html_m2830b840.gif

А) hello_html_5a3f2a81.gif ; В) hello_html_m6c2d0e1a.gif; С) hello_html_m5fc9f95b.gifD) hello_html_7b451f65.gif;

6. Укажите график функции hello_html_m5109393f.gif

hello_html_m17144a8f.jpg


7. Найдите экстремумы функции hello_html_m4b683009.gif

А) 3hello_html_m7ec73a1b.gif; В) 2; С)4; D) 8.


8.При каком значении m функция hello_html_m68f01a97.gif имеет экстремум в точках х = 0 и х =6?

А) 12,5; В)15; С)7,5; D)10


9. Укажите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству hello_html_7edc75f6.gif

А) 0; В)1; С) -1; D) 2.


10. При каких значениях х функция hello_html_m66a7d466.gif не дифференцируема?

А)1; В)0; С)-1;1; D)0

ОТВЕТЫ


Тема: ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

В

D

D

В

В

D

С

С

С

В

Тест№2

D

А

С

С

В

В

В

А

D

А




Тема8: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА


СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ


I. Основные элементы комбинаторики

1.Размещения.

Размещениями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие размещения:

ab, ac, ba, bc, ca, cb.

Число всех возможных размещений, которые можно образовать из n элементов по k , обозначается символом hello_html_mc9cfed8.gif и вычисляется по формуле:

hello_html_mc9cfed8.gifhello_html_5ac862c0.gif(всего k множителей).

Пример: hello_html_m48b6e8ee.gif

2.Перестановки.

Перестановками из n элементов называются соединения, каждое из которых содержит все n элементов, отличающихся поэтому друг от друга только порядком расположения элементов.

Например, из 3 элементов (a,b,c) можно образовать следующие перестановки:

abc, bac, cab, acb, bca, cba.

Число всех возможных перестановок, которые можно образовать из n элементов, обозначается символом hello_html_5db3b6f4.gif

hello_html_m22654f4d.gif

(Произведение n первых целых чисел обозначается символом “n!” и читается “n факториал”)

Пример: hello_html_md5e522d.gif

Напомним, что при вычислениях 0! принимается равным 1.

3.Сочетания.

Сочетаниями из n элементов по k называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение k элементов; при этом соединения отличаются друг от друга только самими элементами (различие порядка их расположения во внимание не принимается).

Например, из 3 элементов (a,b,c) по 2 можно образовать следующие сочетания:

ab, ac, bc.

Число всех возможных сочетаний, которые можно образовать из n элементов по k, обозначается символом hello_html_m2fd12898.gif

hello_html_m15eb953.gif, (в числителе и знаменателе по k множителей).


Пример: hello_html_1d67c5de.gif


Полезные формулы: 1)hello_html_5a685354.gif 3) hello_html_m79bbb7a5.gif

2) hello_html_227df401.gif 4) hello_html_m21caafae.gif hello_html_m53d4ecad.gif


3. Общие правила комбинаторики.

Правило суммы. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B- k способами, то объект «A или B» можно выбрать n+k способами.

Например, в ящике находятся 20 шаров: 5 белых, 6 черных, 7 синих и 2 красных. Сколькими способами можно взять из ящика один цветной шар?

Решение: Здесь предполагается, что цветной шар - это синий или красный, поэтому надо применять правило суммы. Цветной шар можно выбрать 7 + 2 = 9 способами.

Правило произведения. Если объект A можно выбрать n способами, а объект B

Независимо от него – k способами, то пару объектов «A и B» можно выбрать n·k способами.hello_html_m53d4ecad.gif

Например, в меню имеется 4 первых блюда, 3 вторых и 2 третьих. Сколько различных полных обедов можно из них составить?

Решение: Полный обед состоит из первого, и второго, и третьего блюд. По правилу произведения получаем 4 · 3 · 2 = 24 различных полных обеда.


II. Бином Ньютона.


Бином Ньютона – это формула, выражающая выражение (a + b)hello_html_d901e0b.gif в виде многочлена. Эта формула имеет вид:

hello_html_40030291.gifhello_html_8df3ade.gifбиномиальные коэффициенты

Формулу можно записать в сокращенном виде: hello_html_m1c9f85b8.gif,

где hello_html_m4ceed702.gif- знак суммы, hello_html_m354ec6c6.gif - число сочетаний из n элементов по m: hello_html_53c8e92a.gif.

Из формулы разложения бинома Ньютона формула hello_html_m53d4ecad.gif

Составим таблицу значений для n ,m = 0,1,2,3,4,5,6,7.


n \ m 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 . . . . . . .

1 1 1 . . . . . .

2 1 2 1 . . . . .

3 1 3 3 1 . . . .

4 1 4 6 4 1 . . .

5 1 5 10 10 5 1 . .

6 1 6 15 20 15 6 1 .

7 1 7 21 35 35 21 7 1


Эту таблицу можно неограниченно продолжать вниз и вправо. Она называется треугольником Паскаля. Еще удобнее ее записывать в виде равнобедренного треугольника.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

Такой треугольник Паскаля обладает свойством: каждое число равно сумме двух чисел, стоящих над ним, поэтому таблицу можно без труда продолжать вниз, не прибегая к вычислению числа сочетаний. Нам знакомы формулы:

(a + b)hello_html_30060d87.gif = a + b;

(a + b)hello_html_4fbf37b8.gif = ahello_html_4fbf37b8.gif + 2ab + bhello_html_4fbf37b8.gif;

(a + b)hello_html_m5d4c989e.gif = ahello_html_m5d4c989e.gif + 3ahello_html_4fbf37b8.gifb + 3abhello_html_4fbf37b8.gif + bhello_html_m5d4c989e.gif.

Свойства бинома и биномиальных коэффициентов

  1. hello_html_m7fb8b02f.gif

  2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно hello_html_22b64b2.gif

  3. Сумма показателей степеней a и b каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n

  4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: hello_html_m6ea6d34c.gif (правило симметрии)

  5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна hello_html_69e61de0.gif

  6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна hello_html_51a822d1.gif

hello_html_m8a75d50.gif

7.Правило Паскаля: hello_html_m72a45dfe.gif


УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ


  1. Основные элементы комбинаторики


Пример 1. Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?

Решение: hello_html_m43a2d085.gif


Пример 2. На плоскости отметили 5 точек. Их надо обозначить латинскими буквами. Сколькими способами это можно сделать (в латинском алфавите 26 букв)?

Решение: hello_html_m3cd21860.gif


Пример 3. В магазине продается 8 различных наборов марок. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?

Решение: hello_html_196adc3e.gif способов.


Пример 4. Сколькими способами из класса, где учатся 24 учащихся, можно выбрать:

а) двух дежурных

Решение:hello_html_m169729a1.gif

б) старосту и его заместителя

Решение: hello_html_m7e699937.gif

Пример 5. Пусть имеется множество, содержащие 4 буквы: {А,В,С,Д}. Записать все возможные сочетания из указанных букв по три.

Решение: Таких сочетаний будет 4: АВС; АСД; АВД; BCД. Здесь в число сочетаний не включены, например АВС, ВСА, т.к. у нас уже есть АВС, потому что порядок элементов в сочетании не учитываются.

hello_html_m1efbaad1.gif


Пример 6. Сколько можно записать четырехзначных чисел, используя без повторения все 10 цифр?

Решение:

1) hello_html_m79744897.gif.

2) т.к. есть среди чисел 0, который не может стоять впереди, поэтому надо еще найти hello_html_47d99534.gif.

3) hello_html_m5573af24.gif.


Пример 7. Нужно выбрать в подарок 4 из 10 имеющихся книг. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

hello_html_27dc3e6e.gif


Пример 8. Сколькими способами можно расставить 9 различных книг на полке, чтобы определенные 4 книги стояли рядом?

Решение: если обозначить 4 определенные книги как одно целое, то получается 6 книг, которые можно переставлять.

hello_html_2fa4f761.gifпереставляются, 4 определенные книги можно переставлять hello_html_37887c47.gif. Тогда всего перестановок по правилу умножения будет hello_html_65c1298c.gif


Пример 9. Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров, чтобы среди них были 3 черных.

Решение: hello_html_m9db5d73.gif.

Белые шары hello_html_7f4a600a.gif

Черных шаров hello_html_2f4b993e.gif

Тогда hello_html_784980f1.gif


Пример 10. Сколько шахматистов участвовало в турнире, если каждый участник сыграл с каждым по одной партии, а партий было сыграно в 10 раз больше числа участников.

Решение: Если участников - n человек, партий будет сыграно hello_html_194e0d7f.gif штук.

Составим уравнение hello_html_562abd81.gif, решив которое, найдем: hello_html_11cb5115.gif

В размещении учитывается порядок элементов при выборе, а в сочетаниях – не учитывается.




  1. Бином Ньютона


Пример 1.Записать разложение 4-й степени бинома hello_html_m7254731b.gif

Решение: Коэффициенты разложения берем из 4-й строки треугольника Паскаля и используем формулу Ньютона: hello_html_m33e40014.gif


Пример 2. Записать разложение hello_html_42257295.gif.

Решение: Используем 5-ю строку треугольника Паскаля.

hello_html_5350401a.gif


Пример 3. Найдите член разложения hello_html_6a39c878.gif, содержащий hello_html_m72e8f572.gif.

Решение: Из формулы разложения бинома Ньютона формула hello_html_m5557a530.gif член имеет

вид : hello_html_m28930f8f.gif .

Запишем общий вид разложения:

hello_html_4fffd76b.gif

По условию, hello_html_m3aa5d8f8.gif, т.е. hello_html_2f1d819b.gif

Отсюда находим hello_html_1162e3a8.gif и искомый член

hello_html_m823a958.gif.

III. Комбинаторные методы решения задач.


Используем классическое определение вероятности: hello_html_78fccb9c.gifhello_html_m1e5e81b.gif,

где hello_html_718f0f76.gif- некоторое событие, n – число всех возможных исходов события, а m – число всех благоприятных исходов.


Пример 1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение: На последнем месте может стоять одна из 10 цифр: от 0 до 9. Значит, hello_html_m1b230bbd.gif hello_html_m1aff67f4.gif


Пример 2. На четырех карточках написаны буквы О, Т, К, Р. Карточки перевернули и перемешали. Затем открыли наугад последовательно эти карточки и положили в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «КРОТ»?

Решение. Исходы – все возможные перестановки из четырех элементов (О, Т, К, Р); общее число исходов:

hello_html_47ef06fd.gif

Событие А = {после открытия карточек получится слово «КРОТ»}:

hello_html_m58e7b228.gif(только один вариант расположения букв – «КРОТ»)

hello_html_4a1801cb.gif





Пример 3. Cлучайным образом одновременно выбираются две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

1) обе они согласные;

2) среди них есть «ъ»;

3) среди них нет «ъ»;

4) одна буква гласная, а другая согласная.


Решение. Исходы – все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов hello_html_594a2fb6.gif

Рассмотрим события:

1) А={ обе выбранные буквы – согласные}. Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь», «ъ») не обозначающие звуков), то событию А благоприятствует hello_html_63aa49e6.gif исходов.

hello_html_3cef3697.gif



2) В={среди выбранных букв есть «ъ»}. Выбор твердого знака hello_html_m50f78a31.gif, выбор второй буквы из оставшихся hello_html_713983d2.gif.

hello_html_8273f98.gif



3) С={среди выбранных букв нет «ъ»}.

hello_html_5df0aae7.gif



4) D={среди выбранных букв одна буква гласная, а другая согласная}.

hello_html_m113fe807.gif








































ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "5 из 36" Ответ: 376 992

2. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: "Анчар", "Буря" и "Вьюга". Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать? Ответ: 6

3. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова "книга"? Ответ: 120

4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера — это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке. Ответ: hello_html_3c6da312.gif

5. Сколькими способами можно расставить 7 книг на книжной полке?

Ответ: 5040hello_html_m53d4ecad.gif

6. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки? Ответ: 38 760

7. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника. Ответ: hello_html_m5cff3dd0.gif

8. Шесть шаров случайным образом раскладывают в три ящика. Найти вероятность того, что во всех ящиках окажется разное число шаров, при условии, что все ящики не пустые. Ответ: 0,6

9. Шесть рукописей случайно раскладывают по пяти папкам. Какова вероятность того, что ровно одна папка останется пустой? Ответ: hello_html_40922449.gif


10. На полке в случайном порядке расставлено 40 книг, среди которых находится трехтомник Пушкина. Найти вероятность того, что эти тома стоят в порядке возрастания номера слева направо, но не обязательно рядом.
Ответ: hello_html_24fd3bbf.gif

11. Имеется многочлен hello_html_m2d9e494.gif. Определите коэффициент при члене, содержащем hello_html_6d218786.gif, если выполнить все действия. Ответ: 550.

ТЕСТ №1

1. Сколькими способами можно выбрать 3 плитки шоколада из имеющихся 5 плиток?

А) 15; В) 60; С) 45; D) 120.



2. На пяти карточках написаны числа 1, 2, 3, 4, 5. Сколько различных трехзначных чисел можно из них составить?

А) 25; В) 60; С) 20; D) 6.



3. Составить из трех букв А, В и С все сочетания по две буквы.

А) 12; В) 9; С) 6; D) 68.



4. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно

сделать?

А) 190; С) 120; С) 95; D) 150.



5. Из 10 роз и 8 георгинов нужно составить букет так, чтобы в нем было 2 розы и 3 георгина. Сколькими способами это можно сделать?

А) 3220; В) 1250; С) 2520; D) 1260.



6. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома стояли рядом?

А) 10080; В) 12080; С) 9860; D) 11230.



7. На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

А) 1 546 123; В) 214 569; С) 11 456 130; D) 17 417 400.



8. Имеется 10 различных книг и 15 различных журналов. Сколькими способами можно

составить посылку из 3 книг и 5 журналов?

А) 360360; В) 250346; С)125369 ; D) 12368.



9. Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, Антон забыл, в какой последовательности идут три последние цифры. Помня лишь, что это цифры 1, 5 и 9, он набрал первые 4 цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. какова вероятность того, что Антон набрал верный номер?

А) 0,5; В) hello_html_24fd3bbf.gif; С) hello_html_3c6da312.gif; D) 0,35.


10. В группе 30 учащихся. Из них 12 юношей, остальные – девушки. Известно, что к доске должны быть вызваны двое учащихся. Какова вероятность, что это девушки.


А) hello_html_m715ea900.gif; В) hello_html_m704bd042.gif; С) hello_html_m54ab29e0.gif; D) hello_html_3be8ea8b.gif.

ТЕСТ №2

1. Сколько различных комбинаций может выпасть в спортлото "6 из 45" ?

А) 75 230; В) 8 145 060; С) 10 230 000; D)50 250 018 .



2. Составить все размещения из трех букв А, В, С.

А) 6; В) 8; С) 12; D) 15.



3. Сколькими способами можно группу из 15 учащихся разделить на две группы так, чтобы в одной группе было 4, а в другой - 11 человек?

А) 968; В) 1200; С) 1456; D) 1365.



4. Сколькими способами можно расставить 8 томов энциклопедии на книжной полке так, чтобы первый и второй тома не стояли рядом?

А) 26 854; В) 32 278; С) 30240; D) 25 234.



5. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

А) 1956; В) 1236; С) 2160; D) 2112.



6. Сколькими способами можно разбить множество из 20 элементов на два подмножества

так, чтобы одно содержало 3 элемента, а другое – 17?

А)1011; В) 1225; С) 998; D) 1140 .


7. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

А) 256; В) 300; С) 320; D) 405.



8. Сколькими различными способами можно разложить 8 монет различного достоинства

в два кармана?

А) 198; В) 256; С) 320 ; D) 294 .



9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти

цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные

цифры.

А) hello_html_m42dfbc36.gif; В) hello_html_m3e6c4a4a.gif; С) hello_html_7ed7e45c.gif; D) hello_html_222a9c5e.gif.




10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что все три детали окажутся окрашенными.

А) hello_html_m54835b1b.gif; В) hello_html_79c73687.gif; С) hello_html_fa2e9e4.gif; D) hello_html_264f8b16.gif.



ОТВЕТЫ


Тема: КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА


1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Тест№1

В

В

С

А

А

А

D

А

В

D

Тест№2

В

А

D

А

С

D

В

В

D

А





































Литература


  1. Алгебра и начала анализа: для 10 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. – Алматы: Атамұра, 2006

  2. Алгебра и начала анализа: для 11 класса общеобраз. школы. Шыныбеков А.Н. – Алматы: Атамұра, 2007

  3. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. – Алматы: Мектеп, 2010

  4. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 класса естеств.- матем. направления общеобраз. школы. Абылкасымова А.Е. и др. – Алматы: Изд-во «Мектеп», 2007

  5. Алгебра и начала анализа 10-11 класс, Колмогоров А.Н. и др., 1999

  6. Алгебра и начала анализа. Задачник для 10-11 кл., Мордкович А.Г.

  7. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. Ивлев Б.М. и др., 1999

  8. Сборник задач по математике для поступающих в вузы. Под редакцией Сканави М.И.. Группа В



hello_html_5f9b66e7.png

Краткое описание документа:

Данное методическое пособие направлено на расширение знаний учащихся.

Работа с пособием дает полный объем знаний, умений и навыков, которым должны овладеть учащиеся 10класса.

В состав методического пособия входят: 8 тем по учебной программе 10класса:

  • ФУНКЦИЯ, ЕЕ СВОЙСТВА
  • ТРИГОНОМЕТРИЯ
  • ПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
  • ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ
  • ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ
  • КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ
  • ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
  • КОМБИНАТОРИКА И БИНОМ НЬЮТОНА
Автор
Дата добавления 10.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров410
Номер материала ДВ-246797
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх