Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическое пособие для учителя "Интегральное исчисление и его приложения для решения задач"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие для учителя "Интегральное исчисление и его приложения для решения задач"

библиотека
материалов








hello_html_m39f0d6e4.gifhello_html_m263486bf.gifhello_html_m2e230df3.gifhello_html_36b826.gifhello_html_m14a15b0a.gifhello_html_4bcb83ec.gifhello_html_m6f2c4ec8.gifhello_html_m77d9be44.gifhello_html_m73e3cfde.gifhello_html_36303ec7.gifhello_html_m19305a27.gifhello_html_m5a00b37a.gifhello_html_36b826.gifhello_html_m68cf67dc.gifhello_html_59dfa3e4.gifhello_html_54bf90d8.gifhello_html_54bf90d8.gifГУ «ОТдел образования акимата города костаная»

Методическое пособие

прикладного курса по математике

«Интегральное исчисление и его приложения для решения задач»

для учащихся 11 класса




Учитель сш №1 Фролова Т.Н.








Костанай


2011





Пояснительная записка

Результаты, показанные в ЕНТ выпускниками школ, являются несомненно беспорной оценкой уровня и качества системы среднего образования в Казахстане.

К сожалению, приходится констатировать, что за последние годы результаты тестирования демонстрируют тенденцию по снижению уровня математической подготовки у выпускников средних школ. Статистика такова- выпускники решают 30% тестовых заданий по математике. Большинство учащихся плохо владеют простейшей техникой тождественных преобразований, не умеют стоить графики элементарных функций, не обладают пространственным воображением и имеют низкие навыки логического мышления.

Материалы методического пособия «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач» ориентировано на систематизацию знаний по нахождению первообразной и вычислению определённого интеграла, по приложению интегрального исчисления при решении задач планиметрии и стереометрии и на углубленное изучение интегрального исчисления.

Данное методическое пособие является приложением к прикладному курсу по математике для 11 класса «Интегральное исчисление и его приложения для решения задач».

Проанализировав тестовые задания, предлагаемые учащимся для единого национального тестирования, мы убедились, что в тестах присутствуют задания не только программного материала средней общеобразовательной школы, но и задачи повышенной сложности, изучаемые в классах с углубленным изучением математики. В данном методическом пособии приведено решение наиболее трудных тестовых заданий по интегральному исчислению, встречающихся в ЕНТ за 1999-2010 годы. Все задания были систематизированы, выбраны наиболее простые и общие методы решения, не выходяшие за рамки школьной программы по математике.

Цель пособия - ознакомить учащихся с типовыми методами решения часто встречающихся задач ЕНТ по математике, а также научить их избегать стандартных ошибок при решении задач, связанных с интегральным исчислением. Умение решать такие задачи определят успешность сдачи ЕНТ.

Задачами данного курса являются:

  • Повышение математической культуры.

  • Развитие пространственного воображения и логического мышления.

  • Углубление знаний учащихся по интегральному исчислению

  • Развитие умений и формирование навыков решения задач, связанных с интегральным исчисление.

  • Развитие познавательной активности и самостоятельности учащихся.

  • Подготовка к единому национальному тестированию и к обучению в вузе.


Методы и принципы обучения:

  • Научность

  • Доступность

  • Вариативность

  • Опережение программного материала

  • Постепенного повышения сложности учебного материала

  • Самоконтроль

  • Практической направленности курса

Для реализации цели и задач прикладного курса используются такие формы занятий: лекция, практикум по решению задач, индивидуальные домашние задания по вариантам и их защита, в результате которой лежит исследовательская деятельность учащихся.







Содержание


  1. Первообразная функции и её вычисление.

  2. Определённый интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

  3. Приложения определенного интеграла.

  4. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла. Вычисления объемов тел вращения

  5. Вычисление площади поверхности

  6. Приложение определённого интеграла к решению физических задач

  7. Технология работы над тестовыми заданиями





1.Первообразная функции и её вычисление.


До настоящего момента мы рассматривали вопросы нахождения производной известной функции. Но нередко возникает обратная задача: по известной производной функции необходимо найти исходную функцию. Раздел математического анализа, изучающий восстановление функций по их производным, называется интегральным исчислением.

Определение. Функция F(x),заданная на отрезке hello_html_3aeb7bcd.gif, называется первообразной для функции f(x), заданной на том же отрезке, если выполнено условие: hello_html_m68d39a41.gif(х)= f(x).

Операция нахождения первообразной заданной функции называется интегрированием.

Таким образом, операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.

Следует отметить, что операция интегрирования (в отличие от операции дифференцирования) многозначна. Если F(x) - первообразная для функции f(x) на некотором промежутке, то существует бесконечно много первообразных для функции f(x) на этом промежутке и все они имеют вид F(x)+С, где С - произвольная постоянная.

Геометрически это означает, что графики всех первообразных можно получить из графика одной из них сдвигом вдоль оси Оу. Выбором постоянной С можно добиться того, чтобы график первообразной проходил через заданную точку, то есть постоянная С удовлетворяла уравнению: F(hello_html_m7d3a4839.gif)+С=hello_html_m273d962e.gif

Множество всех первообразных F(x)+С для функции f(x) на некотором промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается: hello_html_m519ac1d7.gif.


Приведём таблицу основных интегралов:


  1. hello_html_m1ea52ee5.gif=hello_html_m4f3a936b.gif +C 7.hello_html_m55193a85.gif+C

  2. hello_html_148a3e2c.gif=hello_html_393a7448.gif+C 8.hello_html_35255f78.gif

  3. hello_html_m7b0bc3be.gif=-hello_html_m329f5a7d.gif+C 9.hello_html_m14238f4d.gif

  4. hello_html_459b41fc.gif=2hello_html_m5a39810d.gif +C 10.hello_html_m3426554a.gif

  5. hello_html_2c15a750.gif=hello_html_m1afe3dc2.gif+C 11.hello_html_m61ca5475.gif +C

  6. hello_html_61d11049.gif=hello_html_m46676fca.gif+C 12.hello_html_5f4f64bb.gif=hello_html_2623d6fc.gifarchello_html_m5946b5b.gif +C



Чтобы найти неопределённый интеграл (то есть множество первообразных для подынтегральной функции), достаточно свести его к табличным. Это удаётся сделать путём преобразования подынтегрального выражения и применения основных правил интегрирования:

  1. hello_html_71d93193.gif=hello_html_m417594b3.gif hello_html_1908e554.gif

  2. hello_html_m1ee5c7bd.gif=hello_html_mc9751a5.gif hello_html_648e856e.gif hello_html_m2c89f836.gif

  3. Если hello_html_32537e71.gif, то hello_html_m7db5e363.gif, где k и b -постоянные, khello_html_m2bc03806.gif0.



  1. Задание: Найдите общий вид первообразной для функции:

а)hello_html_mb93dfec.gif=hello_html_m788a5d88.gif

б)hello_html_mb93dfec.gif=hello_html_7a7e3c0c.gif

в)hello_html_mb93dfec.gif=hello_html_4081005d.gif



г)hello_html_mb93dfec.gif=2hello_html_m3f9726bf.gif



д)hello_html_m3bb2a30e.gif



е)hello_html_1c54ef86.gifxhello_html_473e9c3d.gif



Решение:

а)hello_html_m7eced531.gif=hello_html_m788a5d88.gif

F(x)=hello_html_m41b30de.gif

hello_html_m402eaa23.gif

Ответ: а)hello_html_376ee181.gif



б)hello_html_mb93dfec.gif=hello_html_7a7e3c0c.gif

F(x) =hello_html_a5a71e2.gif

Ответ: б) F(x)=hello_html_429b315c.gif



в)hello_html_mb93dfec.gif=hello_html_4081005d.gif

F(x)=hello_html_m206cee26.gif-hello_html_m2f9da148.gif+3hello_html_50a5ce9d.gif+3hello_html_7e12cf99.gif+

Ответ: в) F(x)=hello_html_2247eaf6.gif

г)hello_html_mb93dfec.gif=2hello_html_m3f9726bf.gif

F(x)=hello_html_m7bec610f.gif=hello_html_m6795f576.gif2hello_html_1c14d446.gif (-3)hello_html_1c14d446.gifsinhello_html_ba27562.gif sinhello_html_m28a7e38e.gif

Ответ: г) F(x)=hello_html_m7df8cba7.gif sinhello_html_6bdd8b54.gif



д)hello_html_m3bb2a30e.gif

F(x)=hello_html_m5e57c0b4.gif

Ответ: д) F(x)=hello_html_m33d55a85.gif

е)hello_html_1c54ef86.gifxhello_html_473e9c3d.gif

По определению модуля f(x)=hello_html_69624c29.gif

-hello_html_572a203e.gif



F(x)=hello_html_m5c758edb.gif

- hello_html_m72e89a5f.gif

Поскольку F(x) непрерывна на R, то F(-1)=hello_html_3ac0a1ed.gif+hello_html_m4f3e5eb3.gif- hello_html_m15a4be31.gif

Заменим hello_html_3925949a.gif



Ответ: е) F(x)=hello_html_37e1c8bd.gif

- hello_html_m72e89a5f.gif

2 Задание: Найдите: а) hello_html_m6dcdb8e5.gif

б) hello_html_14922b5.gif

в)hello_html_61ec518.gif

г)hello_html_65a4b5f2.gif

д)hello_html_m272b40d6.gif

е)hello_html_4a7d6085.gifdx

ж)hello_html_499b1a73.gif

Решение:

а) hello_html_m6dcdb8e5.gif

Преобразовав подынтегральное выражение, получим:

hello_html_m6dcdb8e5.gif=hello_html_m16748d16.gif=2hello_html_4ab4bd73.gif+C=2hello_html_ea14e73.gif+C.

Ответ: 2hello_html_ea14e73.gif+C.

б) hello_html_14922b5.gif=hello_html_292cf9bd.gif

Ответ:hello_html_24dbf595.gif

в)hello_html_61ec518.gif=hello_html_3f080267.gif=hello_html_38ef41d.gif=hello_html_m385126aa.gif+C=hello_html_17de415f.gif+C.

Ответ:hello_html_17de415f.gif+C.

г)hello_html_65a4b5f2.gif=hello_html_7f67032b.gif=hello_html_344068df.gif

Ответ:hello_html_ma90d0d4.gif

д)hello_html_m272b40d6.gif

Решим квадратное уравнение относительно hello_html_5c8d24fd.gif Разложим квадратный трехчлен на множители и получим:

hello_html_m272b40d6.gif=hello_html_m7972d6ae.gif= sinx – x + C.

Ответ: sin xx + C.

е)hello_html_4a7d6085.gifdx =hello_html_m12abd7d9.gifdx =hello_html_m6a5a5acf.gifdx +16hello_html_5989b1aa.gif=hello_html_m166cc9fa.gif=hello_html_m35817155.gif

Ответ:hello_html_m35817155.gif

ж)hello_html_499b1a73.gif

Избавимся от иррациональности, умножив числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю, получим:

hello_html_30c8f1c4.gif

=hello_html_m7801603b.gif

=hello_html_m618dc541.gif

Ответ:hello_html_m32feb279.gif

3.Задание:Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку А:

а) f(x)=hello_html_161c7ef0.gif

б) f(x)=6hello_html_4ad74300.gif, A (3hello_html_39342225.gif 55).

Решение:

а) f(x) =hello_html_3bf07d53.gif

Найдем общий вид первообразной для функции:

hello_html_b8f1bd3.gif+hello_html_m1ac60e91.gif+C.

Для того, чтобы их всех первообразных выбрать ту, которая проходит через заданную точку, решим уравнение: F(hello_html_69b83015.gif)+C=hello_html_7e672011.gif.

hello_html_m5b1dd724.gif+hello_html_6402be30.gif+C =hello_html_m16176cfb.gif

hello_html_m1bcf515d.gif+C =hello_html_m16176cfb.gif

C= - hello_html_m16176cfb.gif.

Ответ:hello_html_401cfbe.gif+hello_html_35767279.gif+hello_html_m16176cfb.gif.

б) f(x)=6hello_html_4ad74300.gif

hello_html_m29bea579.gif- hello_html_m11f0fb5b.gif·(-3) ·2·hello_html_30ccd70c.gif+C.

Первообразная проходит через точку А(3;55), значит:

2 ·hello_html_m373ac3a3.gif+C=55[

55+С=55, С=0.

Ответ:hello_html_6d40a3b3.gif=hello_html_2f60a382.gif.

2.Определённый интеграл.

Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке hello_html_3aeb7bcd.gif, то определенный интеграл от этой функции на заданном отрезке равен приращению любой её первообразнойhello_html_1e833e2e.gif

4. Задание: Вычислите интеграл:

а)hello_html_144581c8.gif dx

б)hello_html_m5cbd4b75.gif

Решение:

а)hello_html_144581c8.gif dx=hello_html_343ef02f.gif dx=hello_html_308bc105.gif - hello_html_4d90178c.gif=hello_html_m11291f81.gif

Ответ:hello_html_2cd5450f.gif

б)hello_html_m5cbd4b75.gif= hello_html_31c27906.gif=hello_html_7c573286.gif

Ответ: 2.

Основные правила вычисления определённого интеграла:

1.hello_html_4dd33de4.gif

2.hello_html_7d73f39c.gif

3. hello_html_m7c429552.gif=hello_html_m1d1431ef.gif

4.hello_html_m684a5c88.gif

5.hello_html_44505297.gif

5. Задание: Вычислите:

а) hello_html_936ca28.gif б) hello_html_m6cd55ed6.gif в) hello_html_44ff26fb.gif

г)hello_html_70de15b7.gif д) hello_html_9aaaeed.gif е)hello_html_e2eda4c.gif

ж)hello_html_72e09c2a.gif

Решение:

а) hello_html_936ca28.gif = hello_html_m2d5b6048.gif

Ответ: -hello_html_53ed16b7.gif

б) hello_html_m6ee47f43.gif

Решим квадратное уравнение и разложим квадратный трехчлен на множители. Получим два одинаковых корня, равных 3. Тогда имеем интеграл от функции hello_html_m54c3f220.gif:

hello_html_m6ee47f43.gifhello_html_66354c18.gif+hello_html_m1ad332f0.gif

Ответ: 21.

в) hello_html_44ff26fb.gif

Преобразуем числитель по формулам сокращённого умножения (разность кубов). Имеем функцию: hello_html_m47ad003e.gif(1+2hello_html_m263b2e55.gif

hello_html_m5660bc0b.gif

hello_html_1329a941.gif=hello_html_m33593a81.gif

Ответ:hello_html_m69021b6c.gif.

г)hello_html_70de15b7.gif

Разделим числитель на знаменатель почленно, имеем:

hello_html_70de15b7.gif= hello_html_33e31c8a.gif -hello_html_3ecbe96f.gif hello_html_m6433f6b1.gif =2hello_html_m1373fc3c.gif hello_html_4214fedb.gif hello_html_m6b60b18f.gif .

Ответ: hello_html_6a1c94eb.gif .

д) hello_html_778059f5.gif

Применив тригонометрическую формулу синус двойного угла, имеем:

hello_html_778059f5.gif= hello_html_6eec8aff.gif hello_html_1bc3ee4.gif hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m66a52645.gif hello_html_1b349452.gif hello_html_766be078.gif )hello_html_5204b131.gif=- hello_html_m44eebcf4.gif hello_html_503dbb06.gif- hello_html_m7764129d.gif

hello_html_11852162.gifhello_html_11852162.gifОтвет: hello_html_m18c2f046.gif

е)hello_html_e2eda4c.gif =hello_html_5e69b0d8.gif hello_html_m5cf61bfa.gif hello_html_3e663331.gif = hello_html_ee886f2.gif .

Ответ:hello_html_m1fafc20d.gif .

ж)hello_html_369d187b.gif hello_html_1e1ce43c.gif = hello_html_3e4dff8e.gif ) hello_html_m68717f27.gif =hello_html_25bc7636.gif ) - hello_html_m8da1624.gif )=hello_html_6b2fd1c.gif.

Ответ:hello_html_6b2fd1c.gif.

6.Задание: Вычислить:

а) hello_html_m2bab4902.gifб)hello_html_m1beae250.gif

в) hello_html_me0520bb.gif hello_html_mc2df492.gif г) hello_html_3bd75c08.gif



а) hello_html_m1d904a68.gif- hello_html_7f4a9786.gif)hello_html_1329c459.gif= (hello_html_m4aae006e.gif-1- hello_html_m4d2614a7.gif ) – (0 – 0 – hello_html_6a1c94eb.gif )=-hello_html_m29dd48fc.gif

Ответ: - hello_html_m29dd48fc.gif

б)hello_html_m6eb7ec13.gif+1.

Ответ:hello_html_fe051fd.gif+1.

Замечание. Если подынтегральная функция представляет собой выражение, содержащее переменную под знаком модуля, то вычисление определённого интеграла с данными пределами интегрирования можно свести к вычислению суммы определённых интегралов с подынтегральными функциями, не содержащими переменную под знаком модуля.

в) hello_html_me0520bb.gif hello_html_1f11193a.gif

hello_html_m61aeac65.gif

Воспользуемся свойством 3определённого интеграла:

hello_html_m359e089e.gif- 0)+

+ (2 – 2 - hello_html_6eec8aff.gif +1) = 1.

Ответ: 1.

г) hello_html_4f7e4b3e.gif

х+1 _ + +

……………………-1……...…………………0………………………………>х

х _ _ +

hello_html_m3baea50d.gif

Воспользуемся правилом 3 определённого интеграла:

hello_html_m69e5b323.gif

Ответ: 5.

Рассмотрим задачи, которые решаются с использованием свойств первообразных и интегралов.

7.Задание: При каком значении а выполняется равенство:

hello_html_4dee221.gif

Решение:

hello_html_4dee221.gif

Имеем уравнение , правая часть которого есть определённый интеграл, левая- число. Правую часть уравнения вычислим относительно параметра а:

hello_html_17bbba42.gif(x-hello_html_med86a03.gif

Подставим значение интеграла в уравнение, имеем:

hello_html_29380dee.gif

hello_html_24578a64.gif

hello_html_m2080e97a.gif

hello_html_67b6f0f.gif

hello_html_m5a9dc80d.gifhello_html_m714e88da.gif=hello_html_1bcba676.gif .

Ответ: hello_html_m5a9dc80d.gif hello_html_m714e88da.gif=hello_html_1bcba676.gif .

8. Задание: Решить неравенство:hello_html_m4b7b09d4.gif - hello_html_m1c3bb44e.gif.

Решение:

Вычислим каждый интеграл.

1)hello_html_3287ff20.gif

2)hello_html_m33a1a24d.gif=hello_html_m353250d.gif0.

3)hello_html_m4b7b09d4.gifxhello_html_m360d6129.gif

Решаем методом интервалов:

f(x)=hello_html_m227d4f9e.gif

hello_html_3ab18074.gif

hello_html_367e7b34.gifhello_html_6ab8aa1c.gifx=-12 – не удовлетворяет условию.

____+________hello_html_30dcda55.gif________________________4______-_____________

Ответ: x hello_html_m5eedab81.gif

9. Задание: Найдите все числа bhello_html_m67940f0a.gif

Решение:

hello_html_41bdf2dc.gif=(bx-2hello_html_m61b9df48.gif

hello_html_mff31314.gif

hello_html_761aa86a.gif

hello_html_64bef5b0.gif

Ответ: b=2.

10. Задание: Найдите все числа А и В , при которых функция вида f(x)=Ahello_html_399a1c83.gif+B удовлетворяет условиям: f ' (x)=2 и hello_html_653841d0.gif

Решение:

f(x)=Ahello_html_399a1c83.gif+Bhello_html_6ab8aa1c.gif: f ' (x)=hello_html_m2650a7f7.gif

f ' (1)=hello_html_14b5c10a.gif

hello_html_mc5d4fd0.gif

Тогда : 2В=4, В=2.

Ответ:hello_html_7360460.gif

11. Задание: При каких значениях параметра а значение интеграла hello_html_79aa2d27.gif

Решение:

hello_html_2bd65d1d.gif=(hello_html_m3da8e8ec.gif=а-hello_html_5d46bb9.gif

Значение интеграла максимально, при hello_html_m12257096.gif

Ответ:hello_html_m22a21b90.gif

III. Приложения определенного интеграла.

1.Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

  1. а) y=x2+1 , y=0 , x=-1 , x=2

б)y=√x, y=0 , x=1 , x=4

5. a) y=√x-1 , y=1 , y=0 , x=0

б) y=hello_html_2423c56e.gif, y=1 , y=4 , xhello_html_m6d1256d7.gif0

  1. a) y=-x2 , y=0 , x=3

б) y=3x , y=0 , x=-1

6. y=x2, y=hello_html_2423c56e.gif (xhello_html_m6d1256d7.gif0) , y=0 , x=5

  1. a)y=4x-x2 , y=0 , x=0 , x=5

б)y=cosx, y=0 , x=-hello_html_430381e2.gif , x=hello_html_6b2fd1c.gif

7. y=√x , y=|x-2|


4. а) y=hello_html_m5cdff76c.gif , y=x , x=2

б) y=x+3 , y=x2 + 1

в) y= sinx , y=cosх, x=0

г) y=hello_html_m77b5ebc8.gif, y=hello_html_16a9a3be.gif

д) y=9/x2 , y=-x-2 , x=-2

е) y=-2+|x|, y= -x2


8.а) y=hello_html_1a436c6.gif - 4x , y=0



  1. Вычисления объемов тел вращения


9.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

y=√x+1 , x=0 , x=1 , y=0


12. Найдите объем тела , полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью ординат и прямой у=1.


10.Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой ху=2 , прямыми: х=1 , х=2 и осью абсцисс.


13.Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=х2 , у=2-х , у=0.


11.Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: у=х|x-2| , x=0 , x=3, y=0.


14.Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями: у=√7х3 , у=0 , х=-1 и х=1.









1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла общим методом.

Используя понятие определенного интеграла, рассмотрим общий метод вычисления площадей фигур.

Определение. Фигура, ограниченная прямыми y=0, x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной на [a;b] функции f(x), называется криволинейной трапецией.



Sф=





1.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) y=x2+1, y=0, x=-1, x=2.

б) y=hello_html_m5a39810d.gif, y=0, x=1, x=4.

в) y=hello_html_3b2eda20.gif , y=0 , x=1, x=2.

Решение:

а) y=x2+1,y=0,x=-1,x=2





Sф =hello_html_m52edb4e7.gifdx = hello_html_7a917853.gif= ( hello_html_1bcba676.gif + 2) - =3+3=6

Ответ: 6.

б) y=hello_html_m5a39810d.gif, y=0, x=1, x=4



Sф=hello_html_m5510e698.gif hello_html_7a92a452.gif = hello_html_6a1c94eb.gif· (hello_html_2d40e9b0.gif-1)= hello_html_6a1c94eb.gif·7=hello_html_6cfd7418.gif

Ответ: hello_html_4be494ff.gif

в) y=hello_html_3b2eda20.gif, y=0, x=1, x=2





Sф=hello_html_3454e0fc.gifhello_html_m17a2e580.gifdx=hello_html_11852162.gif hello_html_1227a5fe.gif=hello_html_m46683863.gif.

Ответ: hello_html_m11f0fb5b.gif.

2. Рассмотрим случай, когда у=hello_html_60adfdba.gifнепрерывная функция. Тогда график функции расположен ниже оси Ох. Для вычисления площади соответствующей криволинейной трапеции следует использовать формулу:

hello_html_mc9e7cec.gif

hello_html_m299452bf.jpg

2.Задание: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

hello_html_38e9a731.gif, hello_html_669b0adf.gif , hello_html_2047f073.gif

hello_html_2189d146.gif, hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_m4066f1.gif

Решение:

hello_html_38e9a731.gif, hello_html_669b0adf.gif , hello_html_554b3652.gif



hello_html_2f98202c.jpg

hello_html_m15029cac.gif

Ответ: 9.

  1. hello_html_2189d146.gif, hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_3e56d1a5.gif

hello_html_29be73f9.jpg

hello_html_m6aacee4c.gif

Ответ : hello_html_51024212.gif

3.Пусть функция f(x) непрерывна на hello_html_2894b5ce.gifи принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае отрезок hello_html_2894b5ce.gifразбивается на части, в каждой из которых функция не изменяет свой знак. Затем вычисляются соответствующие этим частям площади по приведённым выше формулам. После этого полученные результаты складываются.hello_html_11852162.gif

hello_html_e7adbfd.gif

hello_html_m659093e7.jpg

3.Задание: Вычислите площадь фигуры,ограниченной линиями :

  1. hello_html_m412df30e.gif, hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_6f34565d.gif ,hello_html_6f3fc6c7.gif

  2. hello_html_554a2610.gif, hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_m76fbf2f1.gif, hello_html_m18edb3ff.gif

Решение:

  1. hello_html_m412df30e.gif, hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_6f34565d.gif ,hello_html_6f3fc6c7.gif

hello_html_m1fe06a18.gif

hello_html_36ecc6.jpg

Ответ: 13.

  1. hello_html_m64f68326.gif , hello_html_669b0adf.gif ,hello_html_m76fbf2f1.gif , hello_html_m18edb3ff.gif

hello_html_27056c0b.jpg

hello_html_m4c002833.gif

Ответ: hello_html_289d5bdc.gif.

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками двух непрерывных функций f(x) и g(x) , а так же двумя прямыми x=a и x=b, где f(x)hello_html_m6d1256d7.gifg(x) на отрезке [a;b] находиться по формуле:hello_html_m5d503982.gif

hello_html_m5b889da4.jpg

Замечание. Если известно,что график одной из функций f(x ) или g(x) лежит выше другого,то можно не выяснять какой именно, а воспользоваться формулой :

hello_html_m2b93c5fc.gif

4.Задание: Вычислите площадь фигуры , ограниченной линиями:

a) hello_html_m7a02d4cd.gif

б) hello_html_1a43b4cc.gif

в) hello_html_7500f062.gif

г) hello_html_2b51efa6.gif

д) hello_html_m5db169ed.gif

е) hello_html_1f9b24bf.gif

Решение:

a)hello_html_m7a02d4cd.gif

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

hello_html_3aa70d9.gif

hello_html_33d0ee0c.jpg
hello_html_m7b38f4a8.gif

Ответ: hello_html_m7258f8ed.gif

б)hello_html_4a64afc8.gif

Найдём точки пересечения графиков заданных линий:

hello_html_578447ac.gif

hello_html_m28d16a5b.gif

hello_html_24eb3783.gif

hello_html_m7ca91070.jpg
hello_html_m1e16c960.gif

Ответ: hello_html_78170999.gif.

в)hello_html_32039e91.gif

Решение:

Найдём точки пересечения графиков функций :hello_html_m7c720724.gif

hello_html_m3466ed1.gifhello_html_m63c1e874.gif

tq x =1hello_html_m2392a275.gif

hello_html_cdbe22c.gif

Ответ:hello_html_5e26124d.gif

г) hello_html_m67489b92.gif

Область определения функции hello_html_m28da4845.gifесть hello_html_m4f3a936b.gif hello_html_ca3cbcc.gif

Найдем точки пересечения графиков функций:

hello_html_m78a8e03c.gifhello_html_385b829c.gif

hello_html_1ca88a18.gif=hello_html_m6300fd95.gif

hello_html_m4ab1177b.gif=hello_html_m4d2614a7.gif.


Ответ:hello_html_m60911961.gif


д) hello_html_m5db169ed.gif

hello_html_70b43015.gif

Ответ: 1.


е) hello_html_1f9b24bf.gif


Решение:

hello_html_m2c3886fc.gif

Ответ:hello_html_62320d3b.gif


5.Если фигура ограничена прямыми : у=с, у=d (dhello_html_4de36b2c.gif и графиком непрерывно возрастающей (убывающей) функции у=f (hello_html_m4f3a936b.gif) (hello_html_m705d51cc.gif, то её площадь вычисляеися по формулеhello_html_53edbf6f.gif

5 Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у= hello_html_4601cda0.gif,у=1, у=0,hello_html_m4f3a936b.gif=0.

б) у=hello_html_753d2d52.gifу=1, у=4,hello_html_756bf09b.gif0.

Решение:

а) у= hello_html_4601cda0.gif,у=1, у=0,hello_html_m4f3a936b.gif=0.

Найдём функцию, обратную данной у=hello_html_4601cda0.gif:hello_html_1d45bfc2.gif

hello_html_445cb0de.gif

Ответ:hello_html_m60911961.gif


б) у=hello_html_753d2d52.gifу=1, у=4,hello_html_756bf09b.gif0.

Найдём функцию, обратную данной у=hello_html_e09da4f.gif

hello_html_m7a037a58.gif

Ответ: 2.


6.Если требуется вычислить площадь более сложной фигуры, то стараются представить искомую площадь в виде алгебраической суммы площадей криволинейных трапеций.

6. Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: hello_html_m49255eb0.gif при условииhello_html_756bf09b.gif0,у=0, х=5.

Решение:

Кривые у=hello_html_7a2a5240.gifиhello_html_m53de7d35.gif при условииhello_html_756bf09b.gif0 пересекаются в точке х=1.


hello_html_m5f471174.gif

Ответ:hello_html_m37d41f26.gif

7.Задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:hello_html_m75b1c50f.gif


Решение: По определению модуля имеем:
hello_html_m59a67eb7.gif

Построим графики данных функций и найдем абсциссы точек пересечения:

hello_html_m2a9f0761.gif, hello_html_m33501bd5.gif

hello_html_35ef8f3d.gif

х =hello_html_m6ea82a6e.gif-4х+4

hello_html_m6ea82a6e.gif-5х+4=0

hello_html_m2966603c.gif

2)hello_html_m2e5bb23d.gif

hello_html_m6ea82a6e.gif-5х+4=0

hello_html_m60ee5a4c.gif

Искомая площадь равна:

hello_html_m7f478097.gif

Ответ:hello_html_2359dd70.gif

8.Задание: Вычислите без рисунка площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) у =hello_html_6a5ee7e.gif

б) у =hello_html_m1d5d3d1d.gif, у=1, х=hello_html_m323646c6.gif.
в) у =hello_html_m46a0ee7.gif

Решение:

у =hello_html_m5b1e4683.gif

Найдем нули функции:hello_html_53eba207.gif

Функция у =hello_html_m27be426e.gif

у =hello_html_m3aa40b18.gif

у =hello_html_m1cf918d8.gifхhello_html_bf47f3b.gif

hello_html_5672c4c5.gif

Ответ:8

  1. Вычисление объемов тел вращения


Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями Y=f(x) (f(x)>0) , x=a , x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляется по формуле: V=hello_html_m61eb0489.gif

hello_html_m59d2eeb2.png












9.Задание: Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:


y=hello_html_m22ab665c.gif, hello_html_m4f3a936b.gif=0, hello_html_m4f3a936b.gif=1, y=0


Решение:

hello_html_48a4ff66.png

Воспользуемся формулой объема тела вращения:

V=hello_html_m3cb8ea65.gif


Ответ: hello_html_37d4e7f.gif


10.Задание: Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy=2, прямыми х=1 , х=2 и осью абсцисс.


Решение:

hello_html_m62ecf87f.png










V=hello_html_6fd3d14b.gif= hello_html_62a41b50.gif=hello_html_3f0ef784.gif



Ответ: hello_html_7e006145.gif


11.Задание: Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями: y=x|x-2| , x=0 , x=3 , y=0.


Решение:

V= hello_html_260bdfb8.gif=hello_html_58370745.gif

Ответ: 3.6hello_html_m4ffbc70e.gif


12.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью ординат и прямой у=1.


Решение:


hello_html_m4fcac50.png












Искомый объем состоит из разности объемов цилиндра, полученного вращением квадрата ОАВС вокруг оси Ох и фигуры, ограниченной параболой у=х2 , осью Ох и прямой х=1.

Поэтому: V=hello_html_m287d5e14.gif


Ответ: hello_html_m6393b109.gif


13.Задание: Найдите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=х 2 , у=2-х, у=0.


Решение:


hello_html_19e04e05.png








V=hello_html_m2bd22106.gif


Ответ: hello_html_m1bb707a1.gif


14.Задание: Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у=√7hello_html_79c0f69b.gifх3 , y=0 , x= -1 и х=1.


Решение:



hello_html_636f63d8.png
















V=2hello_html_8a7139d.gifdx=hello_html_250b8405.gif

Ответ:hello_html_7e006145.gif

4.Приложение определённого интеграла к решению физических задач


IV. Технология работы над тестовыми заданиями.

1.Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=hello_html_5e0c1f74.gif

Решение:

1)График функции у=hello_html_131aff41.gifу = hello_html_m4fb07ac.gif

hello_html_m739d58f1.gif

hello_html_m60506943.gif

2)Функцию f(x)=|hello_html_m4b2863a0.gif можно переписать в виде:

F(x)=hello_html_67dc9c10.gif

Из условия задачи следует, что нам необходимо найти площадь фигуры, ограниченной функцией у=4-2 hello_html_1a85dce9.gif на отрезке [-1;2];


S=hello_html_3a873b37.gif=hello_html_m42025824.gif =hello_html_m5f0b98a4.gif=hello_html_m1c119f9a.gif=12 - hello_html_1bcba676.gif - hello_html_7f8f9891.gif =9

Ответ: 9.

2.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=hello_html_m34792c1c.gif , у=hello_html_m60d5a0d8.gif , у=0

Решение:

Построим схематично графики данных функций в одной системе координат.


Вычислим абсциссы точек пересечения графиков функций:

hello_html_275e3ef7.gif

Х=2

Найдем площадь фигуры:

S=hello_html_8041ce6.gif+hello_html_mc9e8031.gif=hello_html_m650adda2.gifxhello_html_m5af6804e.gif+hello_html_4036c519.gif(4-x) hello_html_m632a8877.gif= hello_html_5d8867e5.gif - hello_html_6a1c94eb.gif(0-2hello_html_39f1b7ec.gif)=hello_html_6047da81.gif

Ответ:hello_html_6047da81.gif

3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой х=0, графиком функции у=4х-hello_html_m6ea82a6e.gif и касательной к этому графику в точке с абсциссой hello_html_m7d3a4839.gif=3

Решение:

1)Найдем касательную к графику функции у=4х-hello_html_m6ea82a6e.gif в точке с абсциссой hello_html_m7d3a4839.gif=3

У(3)=12-9=3

hello_html_m421c917a.gif(х)=4-2х =>hello_html_3c9cd9f2.gif


Уравнение касательной: у=-2(х-3)+3=-2х+9

2) Схематично изобразим графики функций у=4х-hello_html_m6ea82a6e.gif и у=-2х+9.

S=hello_html_m12f37f6c.gif-hello_html_82fdff6.gif=hello_html_m3d1286b8.gifdx=hello_html_m6e01abdd.gif=0-(-9)=9

Ответ: 9.

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x)=hello_html_m6ea82a6e.gif-2x+1 и графиком ее производной hello_html_e8a9dc3.gif

Решение:

hello_html_m37d2121d.gif

2)Найдем точки пересечения графиков функций f(x) и hello_html_2828f1d6.gif:

hello_html_3c267de0.gif

hello_html_mf80cfec.gif

hello_html_4d9e105.gif;hello_html_m3ff24a26.gif

Точки пересечения (1;0) и (3;4).

3)Схематично изобразим графики функций у=hello_html_15924c4.gif и у=2х-2

S=hello_html_m6cb1998a.gif=hello_html_m725cb28.gif)dx=hello_html_m78a562b0.gif=4 -hello_html_1bcba676.gif = hello_html_m4d2614a7.gif

Ответ: hello_html_m4d2614a7.gif

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=3hello_html_m6ea82a6e.gif,у=5-2hello_html_m6ea82a6e.gif

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

3hello_html_59ce3ec6.gif

hello_html_m323d8f20.gif

hello_html_23f95cba.gif=hello_html_m13c2736b.gif1

Точки пересечения (-1; 3)и(1;3).

2)Схематично изобразим графики функций у=3hello_html_m6ea82a6e.gif и у=5-2hello_html_m7c1ecd5b.gif

S=hello_html_m485cfa07.gif=2hello_html_3cd78427.gif=10hello_html_4f49fc.gif=

=10hello_html_2eadbeb4.gif=10hello_html_2ed6e540.gif=hello_html_m45c30378.gif

Ответ: hello_html_m45c30378.gif

6.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у=-hello_html_m6ea82a6e.gif+2х+3, у=3-х

Решение:

1)Найдем точки пересечения графиков функций:

-hello_html_32ef862.gif

hello_html_m14eb3bf5.gif

hello_html_135e6cea.gif=0; hello_html_m3f108886.gif=3

Точки пересечения: (0;3)и(3;0).

2)Схематично изобразим графики функций у=-hello_html_m6ea82a6e.gif+2х+3 и у=3-х

S=hello_html_19359d14.gif=hello_html_m562e9946.gif=hello_html_2ca55e14.gif=hello_html_m10a8251d.gif=27hello_html_228b7dfc.gif=27*hello_html_m11f0fb5b.gif = hello_html_78170999.gif

Ответ: hello_html_78170999.gif

7.При каких значениях параметра а верно равенство:


hello_html_m1cfbe29d.gif

Решение:

1)Найдем интеграл: hello_html_m6f60fec8.gif=sina

2)Решим тригонометрическое уравнение:

Sina=1

a=hello_html_50661fa5.gif+2hello_html_m2588b6b9.gif; hello_html_11a739f6.gif

Ответ: a=hello_html_50661fa5.gif+2hello_html_m2588b6b9.gif; hello_html_11a739f6.gif.

8.При каких значениях параметра a площадь фигуры, ограниченной линиями у=hello_html_1a436c6.gif,у=0,х=a (a>0) равна 4?

Решение:

1)Площадь фигуры, ограниченной линиями у=hello_html_1a436c6.gif и х=a (a>0) есть интеграл

hello_html_m33bc1b13.gif=hello_html_m6c42367.gif

2)Решим уравнение:

hello_html_m1d08c815.gif

hello_html_m6d284b30.gif=>a = hello_html_581e6501.gif

Согласно условиям задачи a>0,следовательно а=2

Ответ: 2.

9.При каких значениях параметра а верно неравенство hello_html_30fe1cf.gif

Решение:

1)Найдем интеграл:hello_html_1f8e1820.gif=-cosa+1=1-cosa.

2)Решим неравенство:

1-cosa>0 =>cosa<1

Поскольку функция cosx принимает только значения из интервала -1hello_html_m54ea4251.gifcosxhello_html_m54ea4251.gif1,

полученное неравенство равносильно соотношению:

cosahello_html_m2bc03806.gif1 =>ahello_html_m59444be3.gif ; nhello_html_md6b17d9.gif

Ответ: аhello_html_21f50933.gif.

10.При каких значениях параметра а значение интеграла hello_html_m37b81369.gif

Решение.

1)Найдем интеграл: hello_html_m44dd3e88.gif=а-hello_html_532091fd.gif.

2)Определим точки максимума функции f(a)=a-hello_html_532091fd.gif,приняв ее первую производную

hello_html_m2eb89217.gif(a)=1-2a к нулю:

1-2а=0 => a=hello_html_6eec8aff.gif

3)Исследовав знак производной, получаем, что a=hello_html_6eec8aff.gif – точка максимума

Ответ:hello_html_6eec8aff.gif

Для решения следующих задач воспользуемся свойством:

Объем V тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=f(x) (f(x)hello_html_m6d1256d7.gif0),x=a, x=b (b>a) вокруг оси Ох, вычисляете по формуле:

V=hello_html_mce31fc4.gif(x)dx

11.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=hello_html_m22ab665c.gif , x=0, x=1, y=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=hello_html_m2bbce788.gifdx=hello_html_m7941a6cc.gif=hello_html_67c92185.gif=hello_html_7938e6ce.gif=hello_html_3e938cb2.gif

Ответ:hello_html_3e938cb2.gif

12.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=hello_html_m6ea82a6e.gif, х=1, х=2, у=0.

Решение:

По формуле объема тела вращения:

V=hello_html_m3af203bb.gifdx=hello_html_m552ec7bb.gifdx=hello_html_6a1d293d.gif=hello_html_1c6fe4a4.gif=hello_html_m54466708.gif

Ответ: hello_html_m54466708.gif

13.Найдите объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями: у=1-hello_html_m6ea82a6e.gif, у=0

Решение:

Парабола у=1-hello_html_m6ea82a6e.gifпересекает ось Ох при х=-1 и х=1, поэтому объем тела вращения равен:

V=hello_html_4bdc738f.gifdx=hello_html_324a48f3.gifdx=hello_html_6e88f20e.gif)dx=hello_html_777def89.gif=hello_html_m6c18a617.gif=hello_html_15630f54.gif

Ответ: hello_html_15630f54.gif

14.Вычислите интеграл hello_html_m141d68fb.gif

Решение:

hello_html_m7fc719bb.gifhello_html_mc2df492.gif=hello_html_m1eceb2ca.gif=hello_html_6eec8aff.gif+hello_html_31253a90.gif=1

Ответ: 1.















Резюме

«Основы математического анализа» - единственный раздел математики, изучаемый в школе, который не относится к элементарной математике. Основным объектом изучения данного раздела является числовая функция. В пособии вы ознакомились с первообразной функции f(x) и её применением, нахождением неопределённого интеграла, с определённым интегралом и его приложениями при решении задач.

В начале пособия описаны методы нахождения первообразной и неопределённого интеграла. Подробно с многочисленными примерами, изложены методы вычисления табличных интегралов. При вычислении интегралов на примерах показаны способы сведения их к «табличным». В заключительной части дано приложение определённого интеграла к решению задач.

Особенность математического анализа - кинематический подход к функции, где основной акцент делается на изучение изменения функции в независимости от изменения аргумента. В отличие от обычного подхода в курсе общеобразовательной школьной программы, введено понятие неопределенного интеграла, как это делается в традиционных курсах ВУЗов. Такой подход должен облегчить преемственность перехода от школьной программы к методике изложения математического анализа в ВУЗах.






































Глоссарий по дисциплине

Список принятых сокращений


в. (вв.) — век (века)

г. (гг.) — год (годы) др. — другой, другие

и т.п. — и тому подобное

лат. — латинский

мин — минута

млн — миллион

млрд — миллиард

пр. — прочий

с — секунда

с. — страница

т. — том

т.е. — то есть

т.к. — так как

т.н. — так называемый

А

Аксиома – предложение, не требующее доказательства.

Аксиоматический метод – важный научный инструмент познания мира, который даёт законченное, логически стройное построение научной теории.

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства действий над различными

величинами и решение различных уравнений, связанных с этими действиями.

Алгебраическое уравнение– это уравнение вида Р(x,z,.,…,к,е)=0, где Р – это многочлен, х,у,…е – переменные.

Алгоритм – это точное предписание определяющее процесс перехода от исходных данных к искомому результату.

Асимптота кривой -это прямая, в которой кривая приближается сколь угодно близко при удалении в бесконечность.


В

Вероятность – числовая характеристика возможности появления случайного события в определённых условиях, которые могут быть воспроизведены.

Теория вероятностей – наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Выпуклая фигура – эта фигура, которой принадлежат все точки отрезка, соединяющего любые её две точки.


Г

Графом в математике называется конечная совокупность точек, называемых вершинами, некоторые из них соединены друг с другом линиями, называемыми ребрами графа.

Группа – одно из основных понятий математики.

Множество G , в котором задана некоторая операция, соответствующая двум элементам а, в из этого множества G некоторый элемент а * в того же множества G, наз. группой, если выполняются следующие свойства:

1. а* (в* с)= (а * в ) *с, для любых а, в, с из G

2.существует нейтральный элемент е из G, такой, что а * е =а и е* а = а, для любого а.

3. существует обратный элемент аֹ из G, такой, что а* аֹ = е и аֹ* а = е, для любого а.


Д

Делимость. Говорят, что целое число а делится на число в, если существует целое число с, что а = в · с.

Доказательство – цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения.


Е

Единица – это первое число натурального ряда чисел, а также одна из цифр в десятичной системе счисления.

Евклида алгоритм – это способ нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел, а также наибольшей общей меры двух соизмеримых отрезков.


К

Комбинаторика – раздел математики, который изучает вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комплексные числа - числа вида а + в · i , где а и в- действительные числа, i- мнимая часть, где i · i= -1.


Л

Логика – это наука, изучающая такие способы рассуждений, которые приводят к верным результатам в тех случаях, когда верны исходные предположения.


М

Математическая индукция – метод доказательства, при котором используются индуктивные рассуждения (от частных заключений переходим к общим).

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений.

Матрица – прямоугольная таблица, составленная из чисел.

Математические объекты — это результат выделения из предметов и явлений количественных и пространственных свойств и отношений и абстрагирования (отвлечения) от всех других свойств.

Многоугольник – часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной A¸ В , С ¸ …, М¸ не имеющей точек самопересечения. Звенья ломаной – отрезки- стороны многоугольника; точки А,В,С…,М – вершины многоугольника; hello_html_m60893693.gif- углы многоугольника.

Многогранники – простейшие тела в пространстве.

Множество – это неопределяемое понятие. Математик Кантор о нём сказал так,

« Множество- это многое, мыслимое как единое целое».


Н

Наибольший общий делитель (НОД) – это наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из целых чисел.

Наименьшее общее кратное (НОК) - это наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел.

Необходимое и достаточное условие – форма записи и осмысления математической теоремы.

Неравенство – это два числа или математических выражения, соединённых одним из знаков: «> - больше», «< - меньше», «hello_html_m763be717.gif- больше или равно», «hello_html_m4ca058d1.gif - меньше или равно».


О

Объём – величина, характеризующая размер геометрического тела.

Окружность и круг. Кругом с центром в точке О и радиусом r наз. множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние не больше r. Круг ограничен окружностью - множество точек плоскости, удалённых от точки О на расстояние равное r.

Определение – математическое предложении, предназначенное для введения нового понятия на основе уже известных нам понятий.

Определитель – число, поставленное по определённому правилу в соответствие квадратной матрице.


П

Периодическая дробь – это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определённая группа цифр.

Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры.

Поле – множество элементов, для которых определены арифметические операции.

Последовательность - считается заданной, если указан закон, по которому каждому натуральному числу п ставится в соответствие элемент х(п) некоторого множества.

Пропорция – равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин.

Процент – сотая часть числа.


Р

Расстояние – длина отрезка между заданными точками.

Ряд – это выражение вида hello_html_m3e8bf72.gif, составленное из чисел х, , которые называются членами ряда.

С

Системы счисления – это способы записи чисел в виде, удобном для прочтения и выполнения арифметических операций.

Софизм – это доказательство ложного утверждения, причем ошибка в доказательстве искусно замаскирована.

Т

Теорема – это высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства.

Тождество – это запись вида Аhello_html_m51069a90.gifВ, где А,В – выражения, принимающие одинаковые значения при всех значениях входящих в А и В переменных, взятых из некоторого множества М.

У

Уравнение – это выражения, соединённые знаком равенства.

Ф
Факториал
– так называют встречающуюся в практике функцию, определенную для целых неотрицательных чисел. Обозначается она: п! = 1·2·3·4·5·…·п.

Формула – комбинация математических знаков и букв, выражающая какое-либо предложение.

Функция – это одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами.

Ц

Цифры – условные знаки для обозначения чисел.

Ч

Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счёта или измерения.





Рекомендуемые сборники задач и упражнений

Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.

Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.

Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.

Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.

Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.

Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.

Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.

Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.




Список рекомендуемой литературы


  1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа.— М.: Наука, 1985.— 446 с.

  2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с; Ч. 2.— 464 с.

  3. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.— М.: Наука, 1977.— 528 с.

  4. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. А. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демидовича.— М.: Наука, 1978.— 380 с.

  5. Краснов М. Л., Киселев А. П., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.— М.: Высш. шк., 1978,— 288 с.

  6. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике: Типовые расчеты.— М.: Высш. шк., 1983.— 176 с.

  7. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной.— М.: Наука, 1970.— 400 с.

  8. Сборник задач по курсу высшей математики/Г. И. Кручкович, Н. И. Гутарина, П. Е. Дюбюк и др.; Под ред. Г. И. Кручковича.— М.: Высш. шк., 1973.— 576 с.

  9. Рустюмова И.П. Рустюмова С.Т. Пособие для подготовки к ЕНТ по математике , Алматы 2010.








Автор
Дата добавления 30.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров213
Номер материала ДВ-298091
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх