Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие для выполнения домашней контрольной работы

Методическое пособие для выполнения домашней контрольной работы

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m637b96d1.gifhello_html_m637b96d1.gifhello_html_m4e43a4f8.gifhello_html_3effe108.gifhello_html_m2a9a7cbc.gifhello_html_1aa08934.gifhello_html_m280e0896.gifhello_html_m57392642.gifhello_html_40baf9e0.gifhello_html_5fa54036.gifhello_html_m4f969de5.gifhello_html_m5bb7bf6a.gifГосударственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Суражский промышленно-аграрный техникум»









МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

И ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ПО УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ



«МАТЕМАТИКА»

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ЗАОЧНОГО ОТДЕЛЕНИЯ

Специальность «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»



Преподаватель: И.Г. Агеенко

Рассмотрено на заседании

методической комиссии

общеобразовательных дисциплин

Протокол № ___________

от «___»______________ 20___г.

___________________________


















ВВЕДЕНИЕ

Учебная дисциплина «Математика» предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников среднего профессионального образования.

В результате изучения дисциплины студент должен:

иметь представление:

  • о роли математики в современном мире, общности её понятий и представлений;

знать и уметь:

  • использовать математические методы при решении прикладных задач.

Данное методическое пособие содержит примерный тематический план учебной дисциплины, общие рекомендации по выполнению контрольной работы, краткие теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольной работы, образцы решения задач, приведены примеры использования математических методов при решении экономических задач, контрольные задания.




ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1 Матрицы и определители

Тема 1.2. Системы линейных уравнений

Раздел 2. Основы математического анализа

Тема 2.1. Функция

Тема 2.2. Пределы и непрерывность

Раздел 3. Дифференциальное исчисление

Тема 3.1. Производная функции

Тема 3.2. Приложение производной

Раздел 4. Интегральное исчисление

Тема 4.1. Неопределенный интеграл

Тема 4.2. Определенный интеграл

Раздел 5. Комплексные числа

Тема 5.1. Комплексные числа

Раздел 6. Теория вероятностей и математическая статистика

Тема 5.1. Теория вероятностей и математическая статистика



ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Контрольная работа имеет 10 заданий. Вариант контрольной работы выбирается по последней цифре зачетной книжки.

Работы, выполненные не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются студенту без оценки.

Студент должен ознакомиться с рецензией преподавателя, исправить все ошибки, допущенные в работе, а в случае неудовлетворительного выполнения работы исправить её и представить вторично или по указанию преподавателя выполнить другой вариант и представить его на рецензию.

При выполнении контрольной работы надо помнить следующие правила:

  • каждая работа выполняется в отдельной тетради в рукописном варианте, на титульном листе указываются предмет, номер работы, номер варианта, фамилия, имя, отчество и шифр студента;

  • контрольные работы, выполненные в рукописном варианте, должны быть написаны чернилами, аккуратно и разборчиво, для пометок преподавателя должны быть оставлены поля;

  • в конце работы проставляется дата её выполнения.

Замечания рецензента стирать и исправлять нельзя, все проверенные контрольные работы сохраняются и представляются на дифференцированном зачете.



Распределение вариантов контрольной работы



Последняя цифра зачетной книжки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

заданий

1,

11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81,

91

2,

12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82,

92

3,

13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83,

93

4,

14, 24, 34, 44, 54, 64, 74, 84,

94

5,

15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85,

95

6,

16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86,

96

7,

17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87,

97

8,

18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88,

98

9,

19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89,

99

10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100










КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

И ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Раздел 1. Элементы линейной алгебры

Матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт.

Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image002.gif

Пример: рассмотрим матрицу «два на три»:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image004.gif

Данная матрица состоит из шести элементов:
http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image006.jpg
Все числа (элементы) внутри матрицы  существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image008.jpg
Это просто таблица (набор) чисел!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image010.jpg
и три столбца:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image012.jpg

СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали матрицу «два на три».

Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image014.gif – матрица «три на три».

Если в матрице один столбец http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image016.gif или одна строка http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image018.gif, то такие матрицы также называют векторами.

Действия с матрицами:

  1. Умножение матрицы на число.

Пример:
http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image034.gif

Для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

2) Сумма (разность) матриц.

Сумма матриц действие несложное. 

НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ.

Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой!
http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image059.jpg

Пример:
Сложить матрицы
 http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image061.gif и http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image063.gif

Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image065.gif

Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример:
Найти разность матриц http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image004_0000.gif, http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image067.gif

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image069.gif

3) Умножение матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу  http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image022_0000.gif можно было умножить на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image076.gif необходимо, чтобы число столбцов матрицы http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image022_0001.gif равнялось числу строк матрицы http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image076_0000.gif.

Пример: 
Можно ли умножить матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image080.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image082.gif?

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image084.gif

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image086.gif, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image088.gif

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image090.gif, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла 
http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image092.jpg

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. 
Например, для матриц,
 http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image094.gif и http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image096.gif возможно как умножение http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image098.gif, так и умножение http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image100.gif

Как умножить матрицы?

Начнем с самого простого:

Пример:
Умножить матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image102.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image082_0000.gif
Сразу привожу формулу для каждого случая:

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image105.gif – попытайтесь сразу уловить закономерность.

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image107.gif

Пример сложнее:

Умножить матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image094_0000.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image096_0000.gif

Формула: http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image109.gif

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image111.gif

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Попробуйте самостоятельно выполнить умножение http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image100_0000.gif (правильный ответ http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image114.gif).

Обратите внимание, что http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image116.gif! Таким образом, переставлять матрицы в произведении нельзя!

Если в задании предложено умножить матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image118.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image120.gif, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image122.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image124.gif

Формула очень похожа на предыдущие формулы:
http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image126.gif

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image128.gif

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image122_0000.gif на матрицу http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image130.gif

Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать!

http://mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image132.gif

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image022.gif

Пример:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image024.gif

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image026.jpg
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image028.gif

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image030.gif

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Системы линейных уравнений

Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения!

Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Во-вторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера!

Рассмотрим систему уравнений http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image002.gif

На первом шаге вычислим определитель  http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image004.gif, его называют главным определителем системы.

Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image006.gif, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image008.gif, то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image010.gif и http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image012.gif

На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image014.gif.

Корни уравнения находим по формулам:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image016.gif, http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image018.gif

Пример 7

Решить систему линейных уравнений 
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image020.gif

Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи.

Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби.

Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image022.gif, значит, система имеет единственное решение.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image024.gif;
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image026.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image028.gif; http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image030.gif

Ответ: http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image032.gif, http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image034.gif

Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики.

Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: «http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image036.gif, значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера.

Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image032_0000.gif http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image034_0000.gif в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях.

Пример 8

Решить систему по формулам Крамера.  Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку.
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image038.gif

Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока).

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image040.gif

Находим главный определитель системы:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image042.gif

Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image044.gif, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image046.gif, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image048.gif, http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image050.gif, http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image052.gif

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_1.gif

Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image060.gif последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя.

Пример 9

Решить систему по формулам Крамера. 
 
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image062.gif

Решение: Решим систему по формулам Крамера.
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image064.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image066.gif, значит, система имеет единственное решение.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image068.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image070.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image072.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image074.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image076.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image078.gif

Ответ: http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image080.gif.

Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний.

Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image082.gif. 
Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так:

1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу).

2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа –  занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image084.gif. Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Примера 8.

Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом.

Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image086.gif
Здесь в первом уравнении отсутствует переменная
 http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image088.gif, во втором – переменная http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image090.gif. В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image00222.gif – на месте отсутствующих переменных ставятся нули.
Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше.


Решение системы с помощью обратной матрицы

Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения.

Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений.

Пример 11

Решить систему с матричным методом  
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image062_0000.gif

Решение: Запишем систему в матричной форме: 
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image096.gif, где  http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image098.gif

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image100.gif нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формулеhttp://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image102.gif.

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image104.gif и выполнить матричное умножение http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image106.gif. Обратную матрицу найдем по формуле:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image108.gif, где http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image110.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image100_0000.gif.

Сначала разбираемся с определителем:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image113.gif

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image115.gif, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключение неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image117.gif

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image119.jpg
То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент
 http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image121.gif находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image123.gif находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать  устно.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image125.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image127.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image129.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image131.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image133.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image135.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image137.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image139.gif
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image141.gif

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image143.gifматрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image100_0001.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image145.gif – матрица алгебраических дополнений.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image147.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image149.gif

Ни в коем случае не вносим http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image151.gif в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение..

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image153.gif

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. 
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже  рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ: http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image155.gif





























Раздел 2. Основы математического анализа

Таблица производных

http://www.math.com.ua/mathdir/img_4/tabl_diff.gif


Пример 1

Вычислить производную функции http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image002.gif в точке http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image004.gif

Справка: Следующие способы обозначения функции эквивалентны:
http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image006.gif
http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image008.gif
В некоторых задания бывает удобно обозначить функцию «игреком», а в некоторых через «эф от икс».

Сначала находим производную:

http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image010.gif

Надеюсь, многие уже приноровились находить такие производные устно.

На втором шаге вычислим значение производной в точке http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image004_0000.gif:

http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image013.gif

Готово.

Небольшой разминочный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Вычислить производную функции http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image015.gif в точке http://www.mathprofi.ru/g/tipovye_zadachi_s_proizvodnoi_clip_image017.gif

Полное решение и ответ в конце урока.

Необходимость находить производную в точке возникает в следующих задачах: построение касательной к графику функции (следующий параграф), исследование функции на экстремумисследование функции на перегиб графикаполное исследование функции и др.


Раздел 3. Дифференциальное исчисление


Общая схема исследования функции и построения ее графика

  1. Найти область определения функции. Выделить особые точки (точки разрыва).

  2. Проверить наличие вертикальных асимптот в точках разрыва и на границах области определения.

  3. Найти точки пересечения с осями координат

  4. Установить, является ли функция чётной или нечётной.

  5. Определить, является ли функция периодической или нет (только для тригонометрических функций, остальные непериодические, пункт пропускается).

  6. Найти точки экстремума и интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции.

  7. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости-вогнутости.

  8. Найти наклонные асимптоты функции.

  9. Построить график функции.

Пример:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить график y = x3+6x2+9x+2

РЕШЕНИЕ:

1) Область определения функции – вся числовая прямая, то есть

D (y) = (−∞; +∞) .

Точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет.

2) Точки пересечения с осями координат:

Ox : найти затруднительно

Oy:x=0 03 +6*02 +9*0+2=2 Точка (0;2)

3)Функция общего вида, так как

y(-x) = -x3 +6x2 -9x+2≠ ±y(x)

4) Экстремумы и монотонность. Вычисляем первую производную:

y'=3x2 +12x+9

Находим критические точки: y'=0; 3x2 +12x+9=0; x1 =-1; x2 =-3.

Исследуем знак производной на интервалах,

на которые критические точки делят область определения функции.

y' + - +


y -3 -1 x

Функция возрастает на интервалах (−∞ ;-3),(-1; +∞) , убывает на интервале

(-3;-1). Функция имеет минимум в точке x = -1 , y(-1) =-2 , функция имеет максимум в точке x = -3 , y(-3)=2.

5) Выпуклость и точки перегиба. Вычисляем вторую производную.

y''=(3x2 +12x+9)'=6x+12

Находим критические точки: y''=0; 6x+12=0; x=-2.

Исследуем знак производной на интервалах, на

которые критические точки делят область определения функции.

y'' - +

y -2 x

Функция выпукла вверх на интервале (−∞;-2) , выпукла вниз на интервале

(-2 ; +∞) . Точка перегиба: x =-2, y(-2) = 0.

6) Асимптоты.

Так как hello_html_60cff57d.gif = hello_html_m18b3e57a.gif=∞ , асимптот нет.

7) Строим график функции.




x



http://www4a.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP10821a43ibh1gba28c1900004061751id8d3228e?MSPStoreType=image/gif&s=24&w=399&h=188&cdf=RangeControl



Раздел 4. Интегральное исчисление.

Основные правила интегрирования

1. Если http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image002.gifтоhttp://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image004.gifгде http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image006.gif – произвольная постоянная.

2. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image008.gif где http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image010.gif – постоянная.

3. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image012.gif

http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image014.gif


2.Таблица основных неопределенных интегралов

1.http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image016.gif.

2. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image018.gif

3.http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image020.gif.

4. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image022.gif

5. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image024.gif

6. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image026.gif

7. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image028.gif

8. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image030.gif

9. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image032.gif

10. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image034.gif

11. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image036.gif

12. http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image038.gifhttp://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image040.gif

 

3.Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределенного интеграла с помощью таблицы, правил и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

Пример:

hello_html_m4b8596e3.gif hello_html_m5cca13d6.gif - hello_html_m7185206b.gif + hello_html_m7f978a51.gif)dx = 2hello_html_3f47c607.gifdx - hello_html_7f8f9891.gif hello_html_m4f4a835a.gifdx - hello_html_1f823b32.gifdx + 3hello_html_m24a8d4b1.gif = 2hello_html_7b4d1d15.gif - hello_html_7f8f9891.gif hello_html_39b6f98e.gif +3 arcsin x + C

При интегрировании использованы правила 2 и 3, а также табличные формулы 2,4,6,11.

4.Метод подстановки (замена переменной интегрирования)

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов: а) http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image176.gifгде http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image178.gif – монотонная, дифференцируемая функция; б) http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image180.gif – новая переменная.

В первом случае формула замены переменной имеет вид:

http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image182.gif.                          (1)

Во втором случае:

http://abc.vvsu.ru/Books/u_minteger/obj.files/image184.gif.                        (2)

В обоих случаях после интегрирования следует возвращаться к старой переменной обратной подстановкой.

Пример 1.

Вычислить интеграл:

hello_html_m35e43d6f.gif

Решение.

Сделаем замену переменных t=x+1 и найдем дифференциал от обеих частей, тогда

dt = (x+1)'dx dt= dx

Подставляя все в исходный интеграл, получим:

hello_html_m35e43d6f.gif= hello_html_m6664cbb6.gif =hello_html_m51fd8f68.gif +C = hello_html_m73c1446c.gif +C,

где C - const . Здесь заключительное действие - это обратная замена переменных.

В данном случае с помощью замены в интеграле удалось свести интеграл к табличному, затем была произведена обратная замена переменных и получен ответ.

Пример 2:

hello_html_m43e53f6b.gif(положим t = 2x+3, тогда x= hello_html_6eec8aff.gif t- hello_html_m4aae006e.gif, dx = hello_html_6eec8aff.gif dt)

=hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m1d5d7d40.gif =- hello_html_6eec8aff.gif hello_html_23d0ef2d.gif +C= =- hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m172a39b1.gif +C


Пример 3:

hello_html_45c10d8b.gifdx= (положим t= x2 +25, тогда dt = 2x dx, x dx= hello_html_6eec8aff.gifdt) =hello_html_m2698311.gif*hello_html_6eec8aff.gifdt=hello_html_m1f537afa.gifdt= hello_html_6eec8aff.gif hello_html_m826b288.gif +C = hello_html_7f8f9891.gif hello_html_21d27f51.gif+C = hello_html_7f8f9891.gif hello_html_m1dc755de.gif +C = hello_html_7f8f9891.gif hello_html_9f09981.gif +C

Определенный интеграл.

Если существует определенный интеграл от функции f(x) , то в этом случае функция называется интегрируемой на отрезке hello_html_2894b5ce.gif .

Для интегрируемости функции на отрезке  hello_html_2894b5ce.gifдостаточно, чтобы она была непрерывна на нем или имела конечное число точек конечных разрывов.

Если функция непрерывна на hello_html_2894b5ce.gif , то от нее существует неопределенный интеграл

$\displaystyle \int f(x)d\,x=F(x)+C $

и имеет место формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x=F(b)-F(a) =\left. F(x)\right\vert _a^b, $

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах.

Формула

$\displaystyle \int\limits_a^b f(x)d\,x= F(x)\vert _a^b= F(b)-F(a), $

называется формулой Ньютона-Лейбница. 

Пример 1:

 Необходимо найти определенный интеграл

http://mathem.h1.ru/images/intg4_3.gif

Имеем:

http://mathem.h1.ru/images/intg4_4.gif

   Таким образом искомый интеграл равен 6. 

Пример 2:

Вычислить интеграл: hello_html_d07fcf0.gif

Решение:

hello_html_d07fcf0.gif=( 3 hello_html_m1373fc3c.gif + 4 hello_html_7b4d1d15.gif +5x)hello_html_m6fd86eb4.gif = hello_html_m509ca953.gif+2hello_html_67c393f2.gif-

- (hello_html_6a217c32.gif+2hello_html_1fd43f59.gif 26- 8=18.


Раздел 4. Основы теории комплексных чисел

Основные понятия теории комплексных чисел.

Комплексным числом http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006.gif называется число вида http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008.gif, где http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image010.gif и http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012.gif – действительные числа, http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014.gif – так называемая мнимая единица. Число http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image010_0000.gif называется действительной частью комплексного числа http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0000.gif, число http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image012_0000.gif называется мнимой частью  комплексного числа http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0001.gif.

http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image021.gif – это ЕДИНОЕ  ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image023.gif или переставить мнимую единицу: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image025.gif – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image008_0000.gif

Сложение комплексных чисел

Пример 1:

Сложить два комплексных числа http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image058.gif, http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image060.gif

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image062.gif

Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image064.gif – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 2:

Найти разности комплексных чисел http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image066.gif и http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image068.gif, если http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image070.gif http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image072.gif

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image074.gif

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image076.gif. Для наглядности ответ можно переписать так: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image078.gif.

Рассчитаем вторую разность:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image080.gif
Здесь действительная часть тоже составная:
 http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image082.gif

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image084.gif. Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image086.gif

Пример 3:

Найти произведение комплексных чисел  http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image088.gif, http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image090.gif

Очевидно, что произведение следует записать так:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image092.gif

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image086_0000.gif и быть внимательным.

Повторим школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image094.gif

Надеюсь, всем было понятно, что http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image096.gif

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image098.gif.

Деление комплексных чисел

Пример 4:

Даны комплексные числа http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image100.gif, http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image102.gif. Найти частное http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image104.gif.

Составим частное:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image106.gif

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Вспоминаем формулу http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image108.gif и смотрим на наш знаменатель: http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image110.gif. В знаменателе уже есть http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image112.gif, поэтому сопряженным выражением в данном случае является http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image114.gif, то есть http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image116.gif

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image116_0000.gif, и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image116_0001.gif:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image118.gif

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image108_0000.gif (помним, чтоhttp://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image086_0001.gif и не путаемся в знаках!!!).

Распишу подробно:
http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image120.gif

Пример подобран «хороший», если взять два произвольных числа, то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде http://mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image122.gif.


Раздел 5. Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1:

В партии из N деталей имеется n бракованных. Какова вероятность того, что среди наудачу отобранных k деталей окажется s бракованных?

Решение.

Количество всех элементарных исходов равно hello_html_3c60ea67.gif . Для подсчета числа благоприятных случаев рассуждаем так: из n бракованных можно выбрать s деталей hello_html_7b2b62a0.gif способами, а из N – n небракованных можно выбрать 

k – s небракованных деталей hello_html_27160429.gif способами; по правилу произведения число благоприятных случаев равно hello_html_m767d7ac7.gif . Искомая вероятность равна:

p = hello_html_m395da99c.gif (1)

Замечание:

Всякое k-членное подмножество n-членного множества  называется  сочетанием из n элементов по k.

Число различных сочетаний из n элементов по k обозначается hello_html_568c55ef.gif .

Справедлива формула

hello_html_568c55ef.gif= hello_html_m4b0f3679.gif , (2)

n! =1hello_html_79c0f69b.gif2hello_html_79c0f69b.gif3hello_html_79c0f69b.gif4hello_html_79c0f69b.gifhello_html_79c0f69b.gifn

Пример 2:

В партии из 12 деталей имеется 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди шести взятых наугад деталей 4 стандартных.

Решение.

Искомую вероятность найдем по формуле (1) для случая

N =12, n =7, k = 6, s = 4.

p = hello_html_m110676f4.gif = hello_html_m7f2f2f0.gif = hello_html_m4827e5ae.gif = hello_html_m272bca4e.gif hello_html_2a308f8.gif.




























































ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Задание №1.

Задание:

Найти произведение матриц АВ = С, если А и В даны:

1


А =hello_html_129206fb.gif, В = hello_html_m4735d078.gif

2


А =hello_html_m5a91bc98.gif, В = hello_html_61a8cf42.gif

3

А =hello_html_4b9113b0.gif, В = hello_html_m22d63df6.gif

4

А =hello_html_af49ed3.gif, В = hello_html_m3544c874.gif

5

А =hello_html_m3f4b66dd.gif, В = hello_html_73c3e80a.gif

6


А =hello_html_m36964058.gif, В = hello_html_478396e6.gif

7


А =hello_html_7aedc798.gif, В = hello_html_1980a05e.gif

8

А =hello_html_76cdc76d.gif, В = hello_html_76b00993.gif

9

А =hello_html_m2d5df300.gif, В = hello_html_5b21bbec.gif

10

А =hello_html_m8a357ea.gif, В = hello_html_m54091570.gif



Задание № 2.

Задание:

Вычислить определитель матрицы

11

hello_html_m7270fba.gif

12

hello_html_7ed12743.gif

13

hello_html_m7270fba.gif

14

hello_html_7ed12743.gif

15

hello_html_m7270fba.gif

16

hello_html_7ed12743.gif

17

hello_html_m7270fba.gif

18

hello_html_7ed12743.gif

19

hello_html_m7270fba.gif

20

hello_html_7ed12743.gif



Задание № 3.

Задание:

Решить систему линейных уравнений любым способом

21

hello_html_62f1bb09.gif

22

hello_html_m4dbc38da.gif

23

hello_html_6735a63f.gif

24

hello_html_m32fd7171.gif

25

hello_html_4a25ec9f.gif

26

hello_html_4169aae7.gif

27

hello_html_62f1bb09.gif

28

hello_html_m4dbc38da.gif

29

hello_html_4169aae7.gif

30

hello_html_4a25ec9f.gif



Задание № 4.

Задание:

Найти производную функции

31

hello_html_4fcb2491.png

hello_html_293fa1f8.png, hello_html_1c7f3e4f.png

32

hello_html_507fbc08.png

hello_html_m634faf2b.png

33

hello_html_m325fac83.png

hello_html_34504017.png

34

hello_html_94ee753.png

hello_html_m37a9ca1b.png

35

hello_html_23354ffd.png

hello_html_m32898ba7.png, hello_html_me8261c0.png

36

hello_html_m7c404d7.png

hello_html_12be4f55.png

37

hello_html_76aadcfc.png

hello_html_m72cd5959.png

38

hello_html_m325fac83.png

hello_html_m1254508a.png

39

hello_html_94ee753.png

hello_html_m37a9ca1b.png

40

hello_html_1b1501f4.png

hello_html_6a13ae6d.png, hello_html_1489fc6a.png



Задание № 5.

варианта

Задание:

Найдите вторую производную функции hello_html_5d8451e.png:

41

hello_html_m316555f9.png

42

hello_html_3e3311de.png

43

hello_html_323e0284.png

44

hello_html_507fbc08.png

45

hello_html_130053be.png

46

hello_html_m4f915c74.png

47

hello_html_1ffd4a41.png

48

hello_html_64c4ca39.png

49

hello_html_m326ce184.png

50

hello_html_m7d274b3e.png



Задание № 6.

Задание:

Исследовать свойства функции и построить её график

51

y = x3 – 15 x2 + 72 x – 109

52

y = x3 – 12 x2 + 45 x – 48

53

y = – x3 + 9 x2 – 24 x + 17

54

y = – x3 + 12 x2 – 45 x + 48

55

y = – x3 – 6 x2 – 9 x – 2

56

y = x3 + 6 x2 + 9 x + 3

57

y = x3 – 9 x2 + 24 x – 13

58

y = x3 – 18 x2 + 105 x – 195

59

y = – x3 + 12 x2 – 45 x + 47

60

y = x3 – 9 x2 + 24 x – 14





Задание № 7.

Задание:

Найти интегралы

61

hello_html_m3b0647e4.png

hello_html_689852b0.gif

62

hello_html_m13be9143.png

hello_html_m72ca6b3f.gif

63

hello_html_m41b499fd.png

hello_html_49926f26.gif

64

hello_html_m68cbfd30.png

hello_html_m494d34ec.gif

65

hello_html_bc0499a.png

hello_html_m71a0e5fd.gif

66

hello_html_m31860d1.png

hello_html_m56fe24c8.gif

67

hello_html_m2ee99606.png

hello_html_188cc976.gif

68

hello_html_m7f0caa4c.png

hello_html_m17317aa5.gif

69

hello_html_m514adf56.png

hello_html_m1dba395e.gif

70

hello_html_5f874e60.png

hello_html_7c4e25cd.gif



Задание № 8.



Задание:

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

71

hello_html_m293c8d17.pnghello_html_m6a061132.png; hello_html_7b44c4b4.png.

72

hello_html_m2868b6f2.png

73

y = 4 – x2, y = 2 – x

74

hello_html_m78133816.png

75

hello_html_1e35f11e.png

76

hello_html_617ea72c.png

77

hello_html_21bdd5ed.png

78

hello_html_m8ecbd15.png

79

hello_html_m6dc87708.png

80

hello_html_m2bffe3f4.png





Задание № 9.

Задание:

Выполнить действия

81

(1+3i)+(-3+i)

(5-3i)×(2-5i)

(5+4i)-(-3+4i)

(2+3i)/(2-3i)

82

(-4+3i)+(4-3i)

(3+5i)×(2+3i)

(4+2i)-(-1+2i)

(5-4i)/(-3+2i)

83

(-2+5i)+(2-5i)

(3-4i)×( -7+3i)

(7-2i)-( -4+3i)

(-5+2i)/(6-7i)

84

(3-4i)+(-3+4i)

(6+7i)×(-5+2i)

(-9+4i)-( 3+5i)

(1+8i)/( -3+i)

85

(7-2i)+(-7+3i)

(1+8i)×(-9+4i)

(2+3i)-(-3+i)

(-8+i)/(7-2i)

86

(-5+2i)+(5-2i)

(3+4i)×( -8+i)

(-3+4i)-(6+7i)

(6-7i)/( -1+2i)

87

(-6+7i)+(6-7i)

(7-2i)×( -3+i)

(3+5i)-(-9+4i)

(3+4i)/( -5+2i)

88

(1+8i)+(-8+i)

(2+3i)×(6-7i)

(-5+2i)-(3+4i)

(-9+4i)/(5-7i)

89

(-9+4i)+(9-4i)

(-5+2i)×( 7-2i)

(-4+3i)-( 2+3i)

(6+7i)/( 1+8i)

90

(8-5i)+(-8+5i)

(-1+2i)×(6+7i)

(7-5i)-(-8+i)

(3+5i)/(-4+3i)



Задание № 10.

Задание:

Решить задачу

91

В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно три стандартных.

92

В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

93

В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

94

В урне 5 белых и 4 черных шаров. Из урны наугад вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет 2 белых.

95

В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наугад деталей ровно 4 стандартных.

96

В группе 16 студентов, среди которых 10 отличников. По списку отобраны 12 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 6 отличников

97

В цехе работают 7 мужчин и 5 женщин. По табельным номерам наудачу отобраны семь8 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 4 женщины.

98

В урне 7 белых и 5 черных шаров. Из урны наугад вынимают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров будет 4 белых.

99

В партии из 12 деталей имеется 8 стандартных. Найти вероятность того, что среди 7 взятых наугад деталей ровно 5 стандартных.

100

В группе 14 студентов, среди которых 9 отличников. По списку отобраны 11 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 отличников













Вопросы к зачету

  1. Матрицы, действия над матрицами.

  2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.

  3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа.

  4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

  5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

  6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

  7. Векторы и операции над ними.

  8. Проекция вектора на ось и ее свойства.

  9. Декартова прямоугольная система координат. Полярная система координат.

  10. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

  11. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.

  12. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е.

  13. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции.

  14. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.

  15. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

  16. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.

  17. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.

  18. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

  19. Таблица неопределенных интегралов.

  20. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.

  21. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции).

  22. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

  23. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

  24. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

  25. Функции нескольких переменных. Частные производные.

  26. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.

  27. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

  28. Методы решения дифференциальных уравнений.

  29. Понятие числового ряда. Сходимость и расходимость числовых рядов.

  30. Необходимый признак сходимости ряда. Признак сравнения. Признак Даламбера.

  31. Понятие знакочередующегося ряда. Признак сходимости Лейбница.

  32. Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда.

  33. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена.

  34. Понятие события. Достоверные, невозможные, совместные, несовместные, противоположные события. Классическое определение вероятности.

  35. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей.

  36. Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения дискретной случайной величины. Интегральная функция распределения непрерывной случайной величины.

  37. Математическое ожидание дискретной случайной величины. Отклонение случайной величины. Дисперсия дискретной случайной величины. Среднее квадратичное отклонение случайной величины.



Задания к зачету

  1. Вычислить предел hello_html_m75a23113.gif.

  2. Вычислить пределы:

а) hello_html_6d9505a.gif; б) hello_html_m4f35f755.gif; в) hello_html_m424231e.gif.

  1. Вычислить предел hello_html_469f2c9d.gif.

  2. Вычислить предел hello_html_m1504be51.gif.

  3. Вычислить предел hello_html_56648da9.gif.

  4. Вычислить предел hello_html_5e12ddc7.gif.

  5. Исследовать функцию hello_html_m1c37fc35.gif на непрерывность в точке hello_html_m5270821e.gif.

  6. Исследовать функцию hello_html_17ea124e.gif и построить ее график.

  7. Вычислить значение производной следующих функций в точке hello_html_m1aa8f305.gif:

а) hello_html_2d6ef254.gif; б) hello_html_m76e09f0c.gif.

  1. Найти производную функции hello_html_8d17fea.gif.

  2. Найти производную функции hello_html_508992c6.gif.

  3. Найти производную функции hello_html_m54f158a8.gif.

  4. Найти производную функции hello_html_m334104aa.gif.

  5. Найти неопределенный интеграл hello_html_79be3c6b.gif.

  6. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной hello_html_693d4763.gif.

  7. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной hello_html_e1ac1f3.gif.

  8. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной hello_html_m10f387f4.gif.

  9. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной hello_html_165bdc13.gif.

  10. Вычислить определенный интеграл hello_html_m5a4a3bb5.gif.

  11. Вычислить определенный интеграл hello_html_72175d94.gif.

  12. Вычислить определенный интеграл hello_html_m70e41a42.gif.

  13. Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_53ea3851.gif (м/с). Найти путь s, пройденный точкой за 4 с от начала движения.

  14. Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями hello_html_m5508b916.gif, hello_html_9592bc7.gif, hello_html_m45ce078f.gif, hello_html_m762f384a.gif, вокруг оси Ox.

  15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m5508b916.gif, hello_html_9592bc7.gif, hello_html_m45ce078f.gif, hello_html_75325a8b.gif.

  16. Решить дифференциальное уравнение hello_html_m234140ee.gif.

  17. Решить задачу Коши: hello_html_4bc1c0a9.gif, hello_html_1b31bbfd.gif.

  18. Решить дифференциальное уравнение hello_html_6fc4e18d.gif.

  19. В одной корзине находятся 5 белых и 10 черных шаров, в другой – 4 белых и 11 черных. Из каждой корзины вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся черными.

  20. В лотерее 1000 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 200 рублей и десять выигрышей по 100 рублей. Пусть Х – величина возможного выигрыша для человека, имеющего один билет. Составить закон распределения этой случайной величины Х.

  21. Случайная величина Х задана законом распределения:

4

6

7

0,4

0,5

0,1

Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратичное отклонение этой случайной величины Х.















































РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Основные источники:

1)Башмаков М.И. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2011.-256 с.

2)Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. пособие.- 2-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990-576 с.

3)Пехлецкиий И.Д. Математика: учебник.- М., 2003.

Дополнительные источники:

4)Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович. -11-е изд.,стер. –М.: Мнемозина, 2010.-399 с.

5)Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений ( базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича.-10-е изд., стер.-М.: Мнемозина,2009.-239 с.







































43


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров427
Номер материала ДВ-322456
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх