Методическое пособие. "Элементы линейной алгебры"

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Чайковский техникум промышленных технологий и управления»

Юркова Светлана Николаевна

 Элементы линейной алгебры

Методическое пособие

для студентов электротехнических специальностей.

2015

г. Чайковский

Содержание

1.	Пояснительная записка…………………………………….	3
2.	Основные теоретические положения……………………..	4
2.1.	Определители и их свойства………………………………	4
2.2.	Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Метод Крамера……………………………	7
3.	Рекомендуемая литература…………………………………	8
4.	Задачи для самостоятельного решения……………………	9
5.	Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения………………………………………………………	11

1. Пояснительная записка

Изучение дисциплин профессионального цикла студентами, обучающимися по электротехническим специальностям опирается, в основном, на знания «школьного» курса математики. Однако, при расчете электрических цепей возникает необходимость решения  большого числа систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим в курсе «Математика» целесообразно рассмотреть тему «Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений».

Данное методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по освоению методов вычисления определителей и решению систем и направлено на формирование:

умения: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знаний:

значений математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия линейной алгебры.

Порядок работы:

1.     Изучить теоретические положения: сделать краткий конспект,  разобрать приведенные примеры.

2.     Выполнить указанные преподавателем задания для самостоятельной работы.

Объем времени, отведенный на выполнение самостоятельной работы – 10 ч.

2. Основные теоретические положения

2.1. Определители и их свойства.

1.     Определителем второго порядка называется число, первоначально записанное в виде таблицы и вычисляемое по следующему правилу:

Пример 1:

                 

2.     Определителем третьего порядка называется число, первоначально записанное в форме таблицы у которой три строки и три столбца и которая вычисляется методом диагоналей по следующему принципу:

                

Пример 2:  

Примечание:

          Иногда удобно элементы определителя обозначать одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает на номер строки, а второй - на номер столбца, на пересечении которых стоит взятый элемент.

Пример 3:

3.     Пусть дан определитель . Минором элемента a_ij ( где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij ) называется определитель более низкого порядка (на единицу) , получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, проходящих через элемент a_ij.

Пример 4:         

Мысленно вычеркиваем второй столбец и первую строку.

=57,        =-8

4. Пусть дан определитель третьего порядка

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца i+j – четное число, и со знаком минус – если сумма i+j – нечетное число.

Пример 5:

,      =-12

Свойства определителей.

1⁰. Величина определителя не изменится, если его строки сделать столбцами, и наоборот.

Пример 6:  

              

2⁰. Если в некоторой строке (или столбце) имеется постоянный множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Пример 7:

3⁰. Если в определителе имеется две одинаковые строки ( или столбца ) то определитель равен нулю.

Пример 8:

4⁰. Определитель, в котором две строки (или столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пример 9:

5⁰. Если в определителе какая-либо строка (или столбец) состоит из нулей,  то определитель равен нулю.

Пример 10:

6⁰. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель изменит знак.

Пример 11: , 

7⁰. Если каждый из элементов какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей, получающихся из него заменой указанной строки (столбца) на строки (столбцы), составленные соответственно из первых и вторых слагаемых в отдельности.

=+

8⁰. Определитель можно разложить по элементам любой строки (или столбца), причем это разложение равно сумме произведений элементов взятой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 12:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Разложим определитель по элементам третьей строки:

9⁰. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.

2.3. Решение систем линейных уравнений с

помощью определителей.(Метод Крамера)

Теорема Крамера: Пусть D - определитель системы, а D_j – определитель, получаемый из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если D¹0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

, (j=1,2,…,n)

Пример 13. Решить систему уравнений

Решение

1. Определитель системы:

2. Вспомогательные определители:    

                                                         

3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:

,

,

Ответ: x=1, y=2.

Пример 14. Решить систему уравнений

Решение

1. Определитель системы:

2. Вспомогательные определители:   

 

3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:

, ,

, ,

Ответ: x=1,125;  y=1,125; z=-0,5.

3. Рекомендуемая литература

1. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учеб. пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - Изд. 3-е; стереотип. - СПб.: Лань, 2011. - 463 с.

2. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.

4. Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислить  определитель

а) по правилу диагоналей и треугольников

б) разложив по элементам первой строки;

в) разложив по элементам первого столбца.

1		2		3
4		5		6
7		8		9
10		11		12
13		14		15
16		17		18
19		20		21
22		23		24
25		26		27
28		29		30

Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.
1		2		3
4		5		6
7		8		9
10		11		12
13		14		15
16		17		18
19		20		21
22		23		24
25		26		27
28		29		30

Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения

	1	2
1	-3	x=3, y=1, z=-1
2	7	x=3, y=1, z=2
3	-168	x=1, y=3, z=2
4	456	x=2, y=1, z=3
5	566	x=2, y=3, z=1
6	31	x=3, y=2, z=1
7	141	x=-1, y=2, z=3
8	65	x=2, y=-1, z=3
9	-215	x=2, y=3, z=-1
10	16	x=3, y=-1, z=2
11	-3	x=1, y=2, z=3
12	7	x=10, y=-14,5, z=-9
13	-168	x=-2, y=1, z=-1
14	456	x=, y=, z=
15	566	x=1, y=1, z=1
16	31	x=1, y=1, z=1
17	121	x=2, y=3, z=4
18	65	x=, y=, z=
19	-265	x=2, y=-1, z=1
20	16	x=2, y=1, z=1
21	-3	x=1,5, y=-1, z=0,5
22	7	x=-1, y=-1, z=-1
23	-168	x=2, y=1, z=-2
24	456	x=1, y=1, z=1
25	566	x=-1, y=0,5, z=1
26	31	x=2, y=1, z=1
27	121	x=1, y=2, z=3
28	65	x=1, y=5, z=2
29	-215	x=1, y=1, z=-1
30	16	x=2, y=1, z=-1

Краткое описание документа:

В методическом пособии представлен краткий теоретический материал по теме "Определители", рассмотрен один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Крамера). Предложены варианты заданий для самостоятельного решения (с ответами). Пособие предназначено для студентов обучающихся в учреждениях среднего профессионального образования.