Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие. "Элементы линейной алгебры"

Методическое пособие. "Элементы линейной алгебры"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Чайковский техникум промышленных технологий и управления»









Юркова Светлана Николаевна





Элементы линейной алгебры


Методическое пособие

для студентов электротехнических специальностей.
















2015

г. Чайковский


Содержание

1.

Пояснительная записка…………………………………….

3

2.

Основные теоретические положения……………………..

4

2.1.

Определители и их свойства………………………………

4

2.2.

Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Метод Крамера……………………………


7

3.

Рекомендуемая литература…………………………………

8

4.

Задачи для самостоятельного решения……………………

9

5.

Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения………………………………………………………


11





























1. Пояснительная записка

Изучение дисциплин профессионального цикла студентами, обучающимися по электротехническим специальностям опирается, в основном, на знания «школьного» курса математики. Однако, при расчете электрических цепей возникает необходимость решения большого числа систем линейных алгебраических уравнений. В связи с этим в курсе «Математика» целесообразно рассмотреть тему «Определители. Решение систем линейных алгебраических уравнений».


Данное методическое пособие предназначено для самостоятельной работы студентов по освоению методов вычисления определителей и решению систем и направлено на формирование:

умения: решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

знаний:

значений математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;

основных математических методов решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;

основные понятия линейной алгебры.
























Порядок работы:

  1. Изучить теоретические положения: сделать краткий конспект, разобрать приведенные примеры.

  2. Выполнить указанные преподавателем задания для самостоятельной работы.


Объем времени, отведенный на выполнение самостоятельной работы – 10 ч.

2. Основные теоретические положения


2.1. Определители и их свойства.


  1. Определителем второго порядка называется число, первоначально записанное в виде таблицы и вычисляемое по следующему правилу: hello_html_m3f6ac1b6.gif

Пример 1: hello_html_2f6fa36f.gif

hello_html_393cd1e0.gif

  1. Определителем третьего порядка называется число, первоначально записанное в форме таблицы у которой три строки и три столбца и которая вычисляется методом диагоналей по следующему принципу:

hello_html_3304646d.gif

Пример 2: hello_html_mbfb7b63.gif


Примечание:

Иногда удобно элементы определителя обозначать одной буквой с двумя индексами, из которых первый указывает на номер строки, а второй - на номер столбца, на пересечении которых стоит взятый элемент.

Пример 3: hello_html_1ddfb164.gif

  1. Пусть дан определитель hello_html_1ddfb164.gif. Минором элемента aij( где i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij ) называется определитель более низкого порядка (на единицу) , получаемый из данного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, проходящих через элемент aij.

Пhello_html_m3d52d3f4.gifhello_html_m79e0f7c9.gifример 4: hello_html_m65a6954e.gif

Мысленно вычеркиваем второй столбец и первую строку.

hello_html_m62f464a4.gif=57, hello_html_m402da3b8.gif=-8


4. Пусть дан определитель третьего порядкаhello_html_1ddfb164.gif

Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется его минор, взятый со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца i+j – четное число, и со знаком минус – если сумма i+j – нечетное число.

Пример 5: hello_html_m289b8d8d.gif

hello_html_m78897372.gif, hello_html_310a8009.gif=-12

hello_html_m51a0e17a.gif

Свойства определителей.


10. Величина определителя не изменится, если его строки сделать столбцами, и наоборот.

Пример 6: hello_html_m47c2ca8d.gif

hello_html_m4e733c57.gif

20. Если в некоторой строке (или столбце) имеется постоянный множитель, то его можно вынести за знак определителя.

Пример 7: hello_html_6467227a.gif

30. Если в определителе имеется две одинаковые строки ( или столбца ) то определитель равен нулю.

Пример 8: hello_html_m6f80f15a.gif

40. Определитель, в котором две строки (или столбца) пропорциональны, равен нулю.

Пример 9: hello_html_2495dd31.gif

50. Если в определителе какая-либо строка (или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Пример 10: hello_html_m5c9d6eba.gif

60. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки (столбца), то определитель изменит знак.

Пример 11: hello_html_m47c2ca8d.gif, hello_html_241f7979.gif


70. Если каждый из элементов какой-либо строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то он равен сумме двух определителей, получающихся из него заменой указанной строки (столбца) на строки (столбцы), составленные соответственно из первых и вторых слагаемых в отдельности.

hello_html_mee2b2ca.gif=hello_html_60d4cff3.gif+hello_html_m4ad9462b.gif

80. Определитель можно разложить по элементам любой строки (или столбца), причем это разложение равно сумме произведений элементов взятой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 12:hello_html_m37566cbf.gif

Разложим определитель по элементам первой строки:

hello_html_m2e51549d.gif

Разложим определитель по элементам третьей строки:

hello_html_m3e284797.gif

90. Величина определителя не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.


2.3. Решение систем линейных уравнений с

помощью определителей.(Метод Крамера)


Теорема Крамера: Пусть - определитель системы, а j – определитель, получаемый из определителя системы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если 0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

hello_html_561d5ce0.gif, (j=1,2,…,n)


Пример 13. Решить систему уравнений hello_html_47169a95.gif

Решение

1. Определитель системы: hello_html_m16348f6b.gif

2. Вспомогательные определители: hello_html_m106185bd.gif

hello_html_m3a767f75.gif


3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:


hello_html_m69f33be7.gif, hello_html_629b98a2.gif

hello_html_m2ea5b473.gif, hello_html_m1815b819.gif

Ответ: x=1, y=2.


Пример 14. Решить систему уравнений hello_html_m7fdbcb46.gif

Решение

1. Определитель системы: hello_html_14a872d1.gif

2. Вспомогательные определители:

hello_html_7875cee9.gif

hello_html_m64f9b84d.gif

hello_html_609ab391.gif


3. Решение уравнения находим по формулам Крамера:

hello_html_m69f33be7.gif, hello_html_629b98a2.gif, hello_html_1638df90.gif

hello_html_m2e4bdd53.gif, hello_html_7b3d14f6.gif, hello_html_2177a0d7.gif

Ответ: x=1,125; y=1,125; z=-0,5.



3. Рекомендуемая литература

1. Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учеб. пособие / В. Т. Лисичкин, И. Л. Соловейчик. - Изд. 3-е; стереотип. - СПб.: Лань, 2011. - 463 с.

2. Ильин, В.А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебник / В.А. Ильин, Г.Д. Ким. - М.: Проспект, 2012. - 400 c.






















4. Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Вычислить определитель

а) по правилу диагоналей и треугольников

б) разложив по элементам первой строки;

в) разложив по элементам первого столбца.




1

hello_html_1e17ccb1.gif

2

hello_html_m134efbf0.gif

3

hello_html_m136b1dbb.gif

4

hello_html_1a4c3ba5.gif

5

hello_html_m1feff1ee.gif

6

hello_html_m7ad2b4f3.gif

7

hello_html_m4545c104.gif

8

hello_html_5639c248.gif

9

hello_html_m520854c7.gif

10

hello_html_md8e7bfc.gif

11

hello_html_1953bc14.gif

12

hello_html_4eb054c7.gif

13

hello_html_140b3125.gif

14

hello_html_70e5ee23.gif

15

hello_html_13521c54.gif

16

hello_html_48ec73c4.gif

17

hello_html_44236a79.gif

18

hello_html_607e3e2b.gif

19

hello_html_2cf9519d.gif

20

hello_html_m787dc0e8.gif

21

hello_html_704e9285.gif

22

hello_html_m4a21c429.gif

23

hello_html_m2dc05b0d.gif

24

hello_html_m6e03d4ca.gif

25

hello_html_20b3f83d.gif

26

hello_html_5e8447d5.gif

27

hello_html_m398c46f6.gif

28

hello_html_1e98f12f.gif

29

hello_html_76c1be08.gif

30

hello_html_m35a4140e.gif






Задание 2. Решить систему линейных алгебраических уравнений по формулам Крамера.

1

hello_html_5507883d.gif

2

hello_html_m3163c6ab.gif

3

hello_html_1c484095.gif

4

hello_html_4e2654d2.gif

5

hello_html_m5507147f.gif

6

hello_html_m564e1033.gif

7

hello_html_7d0b5944.gif

8

hello_html_226c67da.gif

9

hello_html_44b61aed.gif

10

hello_html_m627f240e.gif

11

hello_html_m591b447b.gif

12

hello_html_m23229bd2.gif

13

hello_html_m21e901ca.gif

14

hello_html_5b07f03c.gif

15

hello_html_76ba2eb8.gif

16

hello_html_490bc10a.gif

17

hello_html_m7cfc65cc.gif

18

hello_html_6e3f9905.gif

19

hello_html_m69b3f80d.gif

20

hello_html_34607b74.gif

21

hello_html_7f3f25aa.gif

22

hello_html_m1ce9087e.gif

23

hello_html_60a0ddf9.gif

24

hello_html_4ecbae3c.gif

25

hello_html_m8834009.gif

26

hello_html_34607b74.gif

27

hello_html_m41f7f22f.gif

28

hello_html_m1504d913.gif

29

hello_html_m3f1cfb4f.gif

30

hello_html_m27422bb0.gif






Приложение: ответы к задачам для самостоятельного решения


1

2

1

-3

x=3, y=1, z=-1

2

7

x=3, y=1, z=2

3

-168

x=1, y=3, z=2

4

456

x=2, y=1, z=3

5

566

x=2, y=3, z=1

6

31

x=3, y=2, z=1

7

141

x=-1, y=2, z=3

8

65

x=2, y=-1, z=3

9

-215

x=2, y=3, z=-1

10

16

x=3, y=-1, z=2

11

-3

x=1, y=2, z=3

12

7

x=10, y=-14,5, z=-9

13

-168

x=-2, y=1, z=-1

14

456

x=hello_html_5013b173.gif, y=hello_html_m6b606a9d.gif, z=hello_html_m7b89f1ab.gif

15

566

x=1, y=1, z=1

16

31

x=1, y=1, z=1

17

121

x=2, y=3, z=4

18

65

x=hello_html_m7493a14c.gif, y=hello_html_6d311ded.gif, z=hello_html_a7e615.gif

19

-265

x=2, y=-1, z=1

20

16

x=2, y=1, z=1

21

-3

x=1,5, y=-1, z=0,5

22

7

x=-1, y=-1, z=-1

23

-168

x=2, y=1, z=-2

24

456

x=1, y=1, z=1

25

566

x=-1, y=0,5, z=1

26

31

x=2, y=1, z=1

27

121

x=1, y=2, z=3

28

65

x=1, y=5, z=2

29

-215

x=1, y=1, z=-1

30

16

x=2, y=1, z=-1



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Краткое описание документа:

В методическом пособии представлен краткий теоретический материал по теме "Определители", рассмотрен один из методов решения систем линейных алгебраических уравнений (метод Крамера). Предложены варианты заданий для самостоятельного решения (с ответами). Пособие предназначено для студентов обучающихся в учреждениях среднего профессионального образования.

Автор
Дата добавления 07.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров215
Номер материала ДВ-132450
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх