Методическое пособие на тему "Производная функции и её применение"

Департамент образования Ивановской области

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Ивановский промышленно-экономический колледж»

Математика:

Алгебра, начала математического анализа, геометрия

«Производная функции и её применение»

Методическое пособие для студентов 2 курса

технического профиля

2016

Рассмотрено на

заседании ЦМК

общеобразовательных и

гуманитарных дисциплин

Протокол № 4 от 6 декабря 2016г.

Председатель ЦМК: Екатерина Витальевна  Иванова

Составитель: Надежда Николаевна Смирнова

Содержание.	Стр.
1.     Приращение функции	4
2.     Понятие производной	5
3.     Таблица производных	5
4.     Правила вычисления производных	6
5.     Производная сложной функции	7
6.     Самостоятельная работа №1	9
7.     Проверочная работа №1	11
8.     Физический смысл производной	12
9.     Геометрический смысл производной	13
10. Самостоятельная работа №2	15
11. Критические точки и точки экстремума функции	16
12. Промежутки возрастания и убывания функции	17
13. Наибольшее и наименьшее значения функции	19
14.  Проверочная работа №2	21

Производная.

1.    Приращение функции.

Пусть х- произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х₀ . Разность х-х₀ называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) и обозначается ∆х (читаем : дельта икс)

	∆х = х-х0

 

                                                                   (1)

Отсюда следует, что х=х₀+∆х. Говорят, что значение аргумента х₀ получило приращение  ∆х, поэтому значение функции изменилось на величину

∆f = f(x) - f(x0) = f(x0+∆x)-f(x0).

                      

                                                                                              (2)

Эта разность называется приращением функции f в точке х₀.

Пример 1:

Найдите приращения ∆х и ∆f  в точке х₀,если f(x)=x², x₀=2, x=1,9

 Решение:

1)   ∆х=х-х₀=1,9 - 2= - 0,1

2)   ∆f=f(1.9) – f(2) = 1,9² – 2²=3,61 – 4= - 0,39

Пример 2: (самостоятельно)

1)   Найдите приращения ∆х и ∆f  в точке х₀,если f(x)=x²; x₀=2; x=2,1

2)   Найдите приращения ∆х и ∆f  в точке х₀,если f(x)=2x² – 3; x₀=3; x=2,8

3)   Найдите приращения ∆х и ∆f  в точке х₀,если f(x)=4х - x², x₀=2,5; x=2,6

2.    Понятие производной

Определение 1: Производной функции f в точке х₀ называется число к которому стремится разностное отношение:

 

                                                                                (3)

3.    Таблица производных.

	0	k

Примеры:

 

4.    Правила вычисления производных.

(4)
(5)
(6)
(7)

5.    Производная сложной функции.

Сложная функция – это функция вида:

                  

Правило вычисления производной сложной функции:

                    (8)

Примеры:

Выполнить самостоятельно:

                             Самостоятельная работа №1  (На оценку  «3»).

 ЗАДАНИЕ: Выбрать правильное соответствие.

№ задания	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
№ ответа

Каждое задание оценивается «1» баллом.

Для отметки «3» необходимо набрать «12» баллов.

Самостоятельная работа №1      (На оценку «4»)

Проверочная работа №1.

Вариант 1	б	Вариант 2	б
№1. Найдите приращение аргумента и приращение функции.	4	№1. Найдите приращение аргумента и приращение функции.	4
№2. Найдите производную функции по определению:	6	№2. Найдите производную функции по определению:	6
№3. Составьте соответствие: 0 5	5	№3. Составьте соответствие: 0 -8	5
№4. Найдите производные функций:	7	№4. Найдите производные функций:	7
№5. Найдите производную сложной функции:	2	№5. Найдите производную сложной функции:	2
Итого:	24	Итого:	24

Критерии оценки:

Оценка «3» - 16-18

Оценка «4» - 19-21

Оценка «5» - 22-24

6.    Применение производной.

6.1. Физический смысл производной:

                                  

                                      (9)

Задача№1: Тело движется по прямой так, что расстояние S от

начальной  точки изменяется по закону: , где t-время

движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 секунды  после начала движения.

Дано:                                      Решение:

         

           Задача №2: (самостоятельно) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону , где t-время  движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения. 

           Задача №3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону  , где t-время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?

Дано:                                          Решение:

          

           Задача №4: (самостоятельно) Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до  некоторой точки А этой прямой изменяется по закону   , где t-время  движения в секундах. Через какое время тело остановилось?

6.2. Геометрический смысл производной.

Определение 2:

Пример 2: (самостоятельно)

 

Уравнение касательной:

Пример 4: (самостоятельно)

Самостоятельная работа №2.

1 вариант	2 вариант.
№1. Найдите угловой коэффициент касательной для функции  в точке	№1. Найдите угловой коэффициент касательной для функции  в точке
№2. Составьте уравнение касательной для функции          в точке	№2. Составьте уравнение касательной для функции          в точке
№3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 секунды после начала движения.	№3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону (м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.
№4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него   до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону (м), где t – время движения в секундах.  Через какое время тело остановилось?	№4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону (м), где t – время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?
№5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону (м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с ?	№5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону (м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 20 м/с ?

6.3. Критические точки.

Определение: Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.

Пример №1: Найти критические точки функции

                

Пример №2: Найдите критические точки функции           (самостоятельно).

Теорема №1. (Признак максимума функции):

Теорема №2. (Признак минимума  функции):

Пример №3: Найдите критические точки функции и определите их характер.

Пример №4. (самостоятельно) Найдите критические точки функции и определите их характер          

6.4.  Промежутки возрастания и убывания.

Теорема№1 (Достаточный признак возрастания функции):

Теорема№2 (Достаточный признак убывания функции):

Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность.

1.    Найти производную исследуемой функции.

2.    Найти критические точки функции.

3.    Отметить точки на координатной прямой.

4.    Определить знаки производной на каждом получившемся интервале.

5.    Сделать выводы опираясь на теоремы №1,№2.

Пример№1: Определите промежутки возрастания и убывания функции.

         

Пример№2. Определите промежутки возрастания и убывания функции.

                       (самостоятельно).

6.5.  Наибольшее и наименьшее значения функции.

1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и

   своего наибольшего и своего наименьшего значений.

2) Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция

    может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.

3) Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри

    отрезка, то только в критической точке.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.

1.    Найти производную функции.

2.    Найти критические точки функции.

3.    Определить принадлежность точек отрезку.

4.    Вычислить значения функции в точках принадлежащих отрезку, а также в концах отрезка.

     5.  Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений.

Пример№1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

        

Пример№2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

                   

                                                                              (самостоятельно)

Проверочная работа №2

Вариант 1	б	Вариант 2	б
№1.Выберите правильный ответ, определив формулу нахождения мгновенной скорости:	1	№1. Выберите правильный ответ, определив формулу нахождения коэффициента касательной:	1
№2.Выберите правильный ответ, закончив формулировку теоремы:	1	№2. Выберите правильный ответ, закончив формулировку теоремы:	1
№3. Вставьте пропущенные слова:	2	№3. Вставьте пропущенные слова:	2
№4. Составьте правильную последовательность действий в алгоритме нахождения уравнения касательной:	3	№4. Составьте правильную последовательность действий в алгоритме нахождения уравнения касательной:	3
№5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции	4	№5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции	4
№6. Тело движется по прямой так, что расстояние от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону:(м), где t- время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?	6	№6. Тело движется по прямой так, что расстояние от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону:(м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3с после начала движения?	6
№7. Найдите наибольшее значение функциина промежутке.	7	№7. Найдите наименьшее значение функциина промежутке.	7
№8. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:	9	№8. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:	9
Итого:	33	Итого:	33

Критерии оценки:

Оценка «3» - 23-26

Оценка «4» - 27-29

Оценка «5» - 30-33

Литература:

1.     Математика: учебник для учреждений начального  и среднего профессионального образования/ М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия», 2013;

2.     Математика: задачник  для учреждений начального  и среднего профессионального образования/ М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия», 2013;

3.    Учебник.  Алгебра и начала математического анализа10-11/ А.Г.Мордкович, Москва: Мнемозина, 2013;

4.    Задачник.  Алгебра и начала математического анализа10-11/ А.Г.Мордкович, Москва: Мнемозина, 2013.