Скачивание материала началось

Предлагаем Вам установить расширение «Инфоурок» для удобного поиска материалов:

ПЕРЕЙТИ К УСТАНОВКЕ

Новый курс повышения квалификации!

Цифровая грамотность педагога. Дистанционные технологии обучения

Разработан летом 2020 специально для учителей

Успеть записаться

-50% До конца лета

Каждую неделю мы делим 100 000 ₽ среди активных педагогов. Добавьте свои разработки в библиотеку “Инфоурок”
Добавить авторскую разработку
и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок Алгебра Другие методич. материалыМетодическое пособие на тему "Производная функции и её применение"

Методическое пособие на тему "Производная функции и её применение"

библиотека
материалов


Департамент образования Ивановской области

Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«Ивановский промышленно-экономический колледж»










Математика:

Алгебра, начала математического анализа, геометрия

«Производная функции и её применение»


Методическое пособие для студентов 2 курса

технического профиля























2016





Рассмотрено на

заседании ЦМК

общеобразовательных и

гуманитарных дисциплин




Протокол № 4 от 6 декабря 2016г.

Председатель ЦМК: Екатерина Витальевна Иванова

Составитель: Надежда Николаевна Смирнова

















Содержание.


Стр.

  1. Приращение функции


4

  1. Понятие производной


5

  1. Таблица производных


5

  1. Правила вычисления производных


6

  1. Производная сложной функции


7

  1. Самостоятельная работа №1


9


  1. Проверочная работа №1


11

  1. Физический смысл производной


12

  1. Геометрический смысл производной


13

  1. Самостоятельная работа №2


15

  1. Критические точки и точки экстремума функции


16

  1. Промежутки возрастания и убывания функции


17

  1. Наибольшее и наименьшее значения функции


19

  1. Проверочная работа №2


21



















Производная.


  1. Приращение функции.


Пусть х- произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0 . Разность х-х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) и обозначается ∆х (читаем : дельта икс)


х = х-х0


(1)


Отсюда следует, что х=х0+∆х. Говорят, что значение аргумента х0 получило приращение ∆х, поэтому значение функции изменилось на величину

f = f(x) - f(x0) = f(x0+∆x)-f(x0).


(2)



Эта разность называется приращением функции f в точке х0.


Пример 1:

Найдите приращениях и ∆f в точке х0,если f(x)=x2, x0=2, x=1,9

Решение:

  1. х=х-х0=1,9 - 2= - 0,1

  2. f=f(1.9) – f(2) = 1,92 – 22=3,61 – 4= - 0,39


Пример 2: (самостоятельно)


  1. Найдите приращениях и ∆f в точке х0,если f(x)=x2; x0=2; x=2,1

  2. Найдите приращениях и ∆f в точке х0,если f(x)=2x2 – 3; x0=3; x=2,8

  3. Найдите приращениях и ∆f в точке х0,если f(x)=4х - x2, x0=2,5; x=2,6





  1. Понятие производной

Определение 1: Производной функции f в точке х0 называется число к которому стремится разностное отношение:


hello_html_m3d803b34.gif

(3)




  1. Таблица производных.



hello_html_30154473.gif

hello_html_m36d00aeb.gif

hello_html_m6804ab8a.gif

hello_html_6e172277.gif

hello_html_7cd058c9.gif

0

k

hello_html_m6c8e08a0.gif

hello_html_3769bc0a.gif

hello_html_310c1bf1.gif

hello_html_m36d00aeb.gif

hello_html_ed1883f.gif

hello_html_m20b95fc0.gif

hello_html_m28983114.gif


Примеры:

hello_html_m78ea7a73.gif



  1. Правила вычисления производных.



(4)




hello_html_m4e8b255.gif




hello_html_m4ea64184.gif(5)



hello_html_4fd82c0a.gif




hello_html_2f8f1821.gif(6)





hello_html_m256c4d7f.gif


hello_html_m308d43.gif(7)



hello_html_m7178a630.gif



  1. Производная сложной функции.


Сложная функция – это функция вида:


hello_html_m1180e363.gif



Правило вычисления производной сложной функции:


hello_html_23edc547.gif(8)


Примеры:


hello_html_m6e2e3717.gif


Выполнить самостоятельно:


hello_html_m273ce995.gif










Самостоятельная работа №1 (На оценку «3»).

ЗАДАНИЕ: Выбрать правильное соответствие.

Каждое задание оценивается «1» баллом.

Для отметки «3» необходимо набрать «12» баллов.

Самостоятельная работа №1 (На оценку «4»)

hello_html_3701b68c.gif












































Проверочная работа №1.


1. Найдите приращение аргумента и приращение функции.

hello_html_4a42501a.gif

4

1. Найдите приращение аргумента и приращение функции.

hello_html_m2b71af7c.gif

4

2. Найдите производную функции по определению: hello_html_6d3cc8b7.gif

6

2. Найдите производную функции по определению: hello_html_1fdf561f.gif

6

3. Составьте соответствие:

5

3. Составьте соответствие:

5








4. Найдите производные функций:

hello_html_m6e8066d7.gif

7

4. Найдите производные функций:

hello_html_m13a4cf55.gif

7

5. Найдите производную сложной функции:

hello_html_172d3fe.gif

2

5. Найдите производную сложной функции:

hello_html_m721764a4.gif


2

Итого:

24

Итого:

24


Критерии оценки:

Оценка «3» - 16-18

Оценка «4» - 19-21

Оценка «5» - 22-24



  1. Применение производной.

    1. Физический смысл производной:

hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m71d5042.gif(9)

Задача№1: Тело движется по прямой так, что расстояние S от

начальной точки изменяется по закону: hello_html_m6436104f.gif, где t-время

движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 секунды после начала движения.


Дано: Решение:


hello_html_m595f3849.gifhello_html_7cf630f7.gif


Задача №2: (самостоятельно) Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону hello_html_m1e8bbd37.gif, где t-время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.


Задача №3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону hello_html_53583d3c.gif, где t-время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?


Дано: Решение:

hello_html_m6e896401.gifhello_html_5b66210d.gif

Задача №4: (самостоятельно) Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону hello_html_728fceab.gif, где t-время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?



    1. Геометрический смысл производной.


Определение 2:

hello_html_2105fb68.gif


Пример 2: (самостоятельно)


hello_html_mb85b118.gif






Уравнение касательной:

hello_html_f3f7e79.gif

Пример 4: (самостоятельно)


hello_html_4266de62.gif








Самостоятельная работа №2.


2 вариант.

1. Найдите угловой коэффициент касательной для функции hello_html_acc373c.gif в точке hello_html_m5fd540c5.gif

1. Найдите угловой коэффициент касательной для функции hello_html_m15045e25.gif в точке hello_html_m5fd540c5.gif


2. Составьте уравнение касательной для функции

hello_html_38474b99.gifв точке hello_html_7db34e59.gif


2. Составьте уравнение касательной для функции

hello_html_m58586e2b.gifв точке hello_html_60aaf77c.gif


3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону hello_html_m5a6932ff.gif(м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 секунды после начала движения.


3. Тело движется по прямой так, что расстояние S от начальной точки изменяется по закону hello_html_496ce0ef.gif(м), где t - время движения в секундах. Найдите скорость тела через 2 секунды после начала движения.


4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

hello_html_m319659d2.gif(м), где t – время движения в секундах.

Через какое время тело остановилось?


4. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

hello_html_5bfe6868.gif(м), где t – время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?



5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

hello_html_m41bcdd6.gif(м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с ?


5. Тело движется по прямой так, что расстояние S от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону

hello_html_244a964e.gif(м), где t – время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 20 м/с ?


    1. Критические точки.


Определение: Критическими точками функции называют внутренние точки области определения функции, в которых производная равна нулю или не существует.


Пример №1: Найти критические точки функции


hello_html_4241868c.gif




Пример №2: Найдите критические точки функции (самостоятельно).

hello_html_m4563d425.gif



Теорема №1. (Признак максимума функции):

hello_html_me962598.gif


Теорема №2. (Признак минимума функции):

hello_html_mc6c2666.gif



Пример №3: Найдите критические точки функции и определите их характер.

hello_html_m3e760150.gif

Пример №4. (самостоятельно) Найдите критические точки функции и определите их характер hello_html_m32e83c80.gif



    1. Промежутки возрастания и убывания.


Теорема№1 (Достаточный признак возрастания функции):

hello_html_795f0fdf.gif


Теорема№2 (Достаточный признак убывания функции):

hello_html_18fffe0.gif


Алгоритм исследования непрерывной функции на монотонность.

  1. Найти производную исследуемой функции.

  2. Найти критические точки функции.

  3. Отметить точки на координатной прямой.

  4. Определить знаки производной на каждом получившемся интервале.

  5. Сделать выводы опираясь на теоремы №1,№2.


Пример№1: Определите промежутки возрастания и убывания функции.

hello_html_192e2fb7.gif





Пример№2. Определите промежутки возрастания и убывания функции.


hello_html_54327d4f.gif (самостоятельно).





6.5. Наибольшее и наименьшее значения функции.



1) Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и

своего наибольшего и своего наименьшего значений.


2) Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция

может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.


3) Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри

отрезка, то только в критической точке.




Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений.


  1. Найти производную функции.


  1. Найти критические точки функции.



  1. Определить принадлежность точек отрезку.


  1. Вычислить значения функции в точках принадлежащих отрезку, а также в концах отрезка.



5. Выбрать наибольшее и наименьшее из полученных значений.















Пример№1: Найти наибольшее и наименьшее значения функции


hello_html_38dad892.gif


Пример№2: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

hello_html_m50018901.gif

(самостоятельно)







Проверочная работа №2


1.Выберите правильный ответ, определив формулу нахождения мгновенной скорости:

hello_html_6ad546a1.gif

1

№1. Выберите правильный ответ, определив формулу нахождения коэффициента касательной:

hello_html_21c56259.gif

1

2.Выберите правильный ответ, закончив формулировку теоремы:

hello_html_m31791ebd.gif

1

№2. Выберите правильный ответ, закончив формулировку теоремы:

hello_html_m6b6be9db.gif

1

3. Вставьте пропущенные слова:

hello_html_4569ef03.gif

2

3. Вставьте пропущенные слова:

hello_html_m62e180cf.gif

2

4. Составьте правильную последовательность действий в алгоритме нахождения уравнения касательной:

hello_html_m518f8ac2.gif

3

4. Составьте правильную последовательность действий в алгоритме нахождения уравнения касательной:

hello_html_m16864278.gif

3

5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функцииhello_html_m71bf292b.gif

4

5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функцииhello_html_d5f3dfe.gif

4

6. Тело движется по прямой так, что расстояние от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону:hello_html_34b66340.gif(м), где t- время движения в секундах. Через какое время тело остановилось?

6

6. Тело движется по прямой так, что расстояние от него до некоторой точки А этой прямой изменяется по закону:hello_html_m7aa85a06.gif(м), где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3с после начала движения?

6

7. Найдите наибольшее значение функцииhello_html_m43cee256.gifна промежуткеhello_html_m6625cce.gif.

7

7. Найдите наименьшее значение функцииhello_html_m2ccdf41c.gifна промежуткеhello_html_34d9fe0e.gif.

7

8. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:hello_html_m1a14f4a9.gif

9

8. Найдите промежутки возрастания, убывания и точки экстремума функции:hello_html_40261047.gif

9

Итого:

33

Итого:

33


Критерии оценки:

Оценка «3» - 23-26

Оценка «4» - 27-29

Оценка «5» - 30-33






Литература:

  1. Математика: учебник для учреждений начального и среднего профессионального образования/ М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия», 2013;

  2. Математика: задачник для учреждений начального и среднего профессионального образования/ М.И. Башмаков, М.: Издательский центр «Академия», 2013;

  3. Учебник. Алгебра и начала математического анализа10-11/ А.Г.Мордкович, Москва: Мнемозина, 2013;

  4. Задачник. Алгебра и начала математического анализа10-11/ А.Г.Мордкович, Москва: Мнемозина, 2013.




Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики и информатики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.