Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие на тему: "Вычисление и преобразование тригонометрических выражений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие на тему: "Вычисление и преобразование тригонометрических выражений"

библиотека
материалов

Методическое пособие для подготовки учеников к ЕГЭ

Тема: Вычисление и преобразование тригонометрических выражений.




Скворцова Д.А.

1.02.15


hello_html_58a97402.gif hello_html_137ba7fc.gif hello_html_55a7fe44.gif


Содержание


  1. Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»

  2. Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.

  3. Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.

  4. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

  5. Модуль 5. Домашнее задание.

  6. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»

  7. Модуль 7. Ответы .

  8. Литература










































Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»


        1. Понятие синуса, косинуса, тангенса и котангенса числового аргумента


Рhello_html_m376656be.pngассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

Def:Синусом числа α называется ордината точки hello_html_7a986aff.gif , образованной поворотом точки hello_html_16526fb7.gif вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается : hello_html_m2b0dd7ce.gif, т.е. hello_html_m10687fe2.gif – ордината точки hello_html_7a986aff.gif.


Def:Косинусом числа α называется абсцисса точки hello_html_7a986aff.gif, полученной поворотом точки hello_html_16526fb7.gif вокруг начала координат на угол α радиан.

Обозначается: hello_html_333748d3.gif, т.е. hello_html_m6bb5145c.gif – абсцисса точки hello_html_7a986aff.gif.


Синус и косинус определены для любого числа hello_html_7860bddc.gif .


hello_html_m6c00494a.gif, hello_html_6cfff5e9.gif


Def:Тангенсом числа hello_html_7860bddc.gif называется отношение синуса числа hello_html_7860bddc.gif к его косинусу:

hello_html_57cf1f2a.gif

Тангенс определен для всех hello_html_7860bddc.gif, кроме тех значений, при которых hello_html_m1b0b1259.gif, т.е.

hello_html_m26c87b95.gif


Def:Котангенсом числа hello_html_7860bddc.gif называется отношение косинуса числа hello_html_7860bddc.gif к его синусу:

hello_html_5ee7d452.gif

Котангенс определен для все hello_html_7860bddc.gif, кроме тех значений, при которых hello_html_m11507bb2.gif, т.е

hello_html_m7424ebd6.gif


Для окружности произвольного радиуса R определение тригонометрических функций выглядит следующим образом:


hello_html_m8b205ce.gif; hello_html_m20d4f1e0.gif; hello_html_m2c99c6d3.gif; hello_html_m2a9782c0.gif


Если hello_html_m2e3d680d.gif, то справедливы равенства:


hello_html_m29a35284.gif

hello_html_m80e81e.gif

hello_html_m18b96905.gif

hello_html_m6d78483f.gif


Пример 1. Найдите значение выражения:

  1. hello_html_425aa8bc.gif

  2. hello_html_m3289163d.gif


Пример 2. Определите знак выражения:


  1. hello_html_m61395513.gifт.к. hello_html_m46b2b5e5.gif - угол II четверти, то hello_html_34087b4b.gif- угол III четверти, то hello_html_509fce4b.gif.

  2. hello_html_m5762eaae.gif т.к. hello_html_8d328f3.gif - угол II четверти, тоhello_html_m3cb5109d.gif- угол III четверти, то hello_html_m318da659.gif.



        1. Соотношение между тригонометрическими функциями одного аргумента.


Основное тригонометрическое тождество:


hello_html_6888bbc.gif


Следствия:

hello_html_28e65d8.gif

hello_html_m5073fbdf.gif

hello_html_6de84cce.gif

hello_html_6f24153a.gif

hello_html_m6437625c.gif

hello_html_m6054943b.gif

hello_html_4a4ddcd7.gif

hello_html_m72edc719.gif


Пример 1. Могут ли одновременно быть справедливы равенства:

  1. hello_html_m339297c6.gif и hello_html_71254335.gif

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

hello_html_6888bbc.gif, но hello_html_2503cbb0.gif.

Поэтому равенства hello_html_m339297c6.gif и hello_html_m67464446.gif одновременно справедливы, быть не могут (т.к. не выполняется основное тригонометрическое тождество).


  1. hello_html_1615592b.gif и hello_html_71254335.gif

Решение:

Так как рассматриваются функции синус и косинус одного и того же аргумента, то должно выполняться основное тригонометрическое тождество:

hello_html_6888bbc.gif, но hello_html_48b65d60.gif.

Основное тригонометрическое тождество выполняется. Значит, равенства, данные в условии, одновременно справедливы.


Пример 2. Найдите значения тригонометрических функций числа hello_html_7860bddc.gif, зная, что hello_html_m78a88da8.gif и hello_html_363dfbf3.gif.

Решение:

Так как по условию hello_html_363dfbf3.gif, то hello_html_7860bddc.gif- принадлежит II четверти. Поэтому

hello_html_d12b041.gif;

hello_html_1b11eb31.gif

hello_html_41d5db13.gif




        1. Произведение тангенса и котангенса одно и того же аргумента.


hello_html_m6437625c.gif

hello_html_m6054943b.gif


Пример 1. Могут ли быть справедливы равенства:

  1. hello_html_288533d3.gif

  2. hello_html_5ff16682.gif

Решение:

Поскольку hello_html_m4dafc8a.gif, то :

  1. hello_html_35f886c7.gif , равенства справедливы, т.к. выполняется тождество.

  2. hello_html_49dcd14e.gif, равенства не справедливы, т.к. не выполняется тождество.


Пример 2. Упростите:

hello_html_1d760f95.gif

Решение:

Так как hello_html_m27b1b402.gif, то

hello_html_18d7aa22.gif










        1. Зависимость между тангенсом и косинусом одного аргумента.


hello_html_4a4ddcd7.gif



Пример. Упростите: hello_html_m7f0e4e3c.gif

Решение:


hello_html_m62ab15fc.gif




        1. Зависимость между котангенсом и синусом одного аргумента.


hello_html_m72edc719.gif



Пример. Вычислите значения тригонометрических функций, если hello_html_308f2c4b.gif, hello_html_m721878f8.gif- угол IV четверти.

Решение:

Так как hello_html_m721878f8.gif- угол IV четверти, то hello_html_35789a3a.gif, hello_html_m7559817d.gif, hello_html_m47c4cafe.gif.

Известно, что hello_html_599a4845.gif. Отсюда

hello_html_m4cb1c880.gif hello_html_140b2b98.gif hello_html_4beb25f2.gif hello_html_m5f6c5458.gif

Но hello_html_m17017e39.gif поэтому hello_html_m4481ce0c.gif

hello_html_2822b079.gif

hello_html_md88ffb7.gif



        1. Формулы сложения


  1. Синус суммы и разности


Def:Синус суммы двух аргументов равен сумме произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:


hello_html_ebecd66.gif


Def:Синус разности двух аргументов равен разности произведений синуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:


hello_html_m4d065c8e.gif



Пример1. Вычислите:

  1. hello_html_2114bea3.gif

  2. hello_html_m3b3f8c49.gif

Решение:

  1. hello_html_458bb588.gif

  2. hello_html_71610f8f.gif


Пример 2. Найдите значение выражений:

  1. hello_html_mfafeddb.gif

  2. hello_html_142e2f79.gif

Решение:

  1. hello_html_4bb24c44.gif

  2. hello_html_m16cdf741.gif



  1. Косинус суммы и разности


Def:Косинус суммы двух аргументов равен разности произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и синуса первого аргумента на синус второго:


hello_html_5c89502f.gif


Def:Косинус разности двух аргументов равен сумме произведений косинуса первого аргумента на косинус второго и косинус первого аргумента на синус второго:


hello_html_m3e249afd.gif


Пример . Вычислите:

  1. hello_html_7d303dca.gif

  2. hello_html_577c7bf9.gif

Решение:

  1. hello_html_m6c5ee028.gif

  2. hello_html_m54e26a0f.gif



  1. Тангенс и котангенс суммы и разности.


hello_html_m7421e143.gif

hello_html_m4ee46ddd.gif


hello_html_1d22285d.gif

hello_html_46b06ec0.gif


Пример 1. Вычислите:

  1. hello_html_m5809b98c.gif

  2. hello_html_m3f5769d8.gif

Решение:

  1. hello_html_db44591.gif

  2. hello_html_6d82e80f.gif


Пример 2. Докажите тождество:

hello_html_1fa588f6.gif

Доказательство:

hello_html_m184be9e1.gif

Тогда из данного равенства имеем:

hello_html_m20834f5b.gif







        1. Следствия из формул сложения


  1. Синус двойного аргумента


Def: Синус двойного аргумента равен удвоенному произведению синуса и косинуса данного аргумента:

hello_html_739d1bf6.gif



Пример 1. Вычислите:

hello_html_208da40d.gif

Решение:

hello_html_739d1bf6.gif. Найдем hello_html_m5fce267a.gif.

Так как hello_html_m57623add.gif, то hello_html_537a54aa.gif- угол III четверти, т.е. hello_html_609b4c2e.gif.


hello_html_m59acb6dd.gif

Итак, hello_html_8619cb0.gif


Пример 2. Вычислите:

hello_html_16eed308.gif

Решение:

hello_html_1df7e651.gif


  1. Косинус двойного аргумента.


Def: Косинус двойного аргумента равен разности квадратов косинуса и синуса данного аргумента.


hello_html_17e9b7a5.gif



Пример . Вычислите:

  1. hello_html_m3253b704.gif

  2. hello_html_m40c55cae.gif

Решение:

  1. hello_html_m79ae6608.gif

  2. hello_html_482b1fd9.gif








  1. Тангенс двойного аргумента.


hello_html_7af4b9c7.gif


Пример. Вычислите:

  1. hello_html_1523fbb7.gif

  2. hello_html_m7c19867f.gif

Решение:

  1. hello_html_m70d788b4.gif

  2. hello_html_m5ebaad7e.gif



        1. Формулы приведения


Def: Тригонометрические функции аргументов hello_html_m60123bb2.gif могут быть выражены через функции аргумента hello_html_m721878f8.gif с помощью формул, которые называются формулами приведения.

Def: Два угла называются дополнительными, если из сумма равна hello_html_25d26630.gif, для них справедливы равенства:


hello_html_m3412cd54.gif

hello_html_mf969a4c.gif


Чтобы облегчить запоминание формул приведения для преобразования выражений вида:


hello_html_m748267dd.gif


удобно пользоваться такими правилами:

  1. перед приведенной функций ставится тот знак, который имеет исходная функция, если hello_html_4d29afde.gif

  2. функция меняется на «кофункцию».

Примеры к этому правилу приведены в таблице.

hello_html_m6dc9d7d6.png


Пример. Найдите значение:

  1. hello_html_m77eb0fd.gif

  2. hello_html_m7f98c18.gif

Решение:

  1. hello_html_6bb775f2.gif

  2. hello_html_3cae4f43.gif



        1. Тождественные преобразования тригонометрических выражений


hello_html_397e6059.gif

hello_html_69e9cf9b.gif

hello_html_m668cf3c.gif

hello_html_335b635f.gif

hello_html_da85f09.gif

hello_html_2d9cbbbe.gif

hello_html_m67068ba2.gif

hello_html_m2e0fc703.gif








        1. Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

hello_html_m557a6aa9.png









































Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.


Разделим задачи на блоки:

  1. Нахождение значения выражения.

  2. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

  3. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  4. Разные задачи.



  1. Нахождение значения выражения.

Пример 1. hello_html_2293a7a0.png

Решение:

Данные значения углов табличные, подставляем и вычисляем:

hello_html_m5a2ee35b.png

Пример 2.

hello_html_m249b1561.png

Решение:

Косинус угла hello_html_69b70a01.gif - это табличное значение. С косинусом угла hello_html_m67e8f12b.gif  поступим следующим образом – выделим период, применим формулу приведения, и далее вычислим:

hello_html_m5143f928.png

Пример 3.

hello_html_m47a4565c.png

Пример 4.

hello_html_m703907e.png

Решение:

Применяем свойство чётности косинуса и нечётности синуса, далее вычисляем:

hello_html_m77d98bcb.png

Пример 5.

hello_html_m583c8e45.png

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента. Затем выделим период и применим свойство периодичности:

hello_html_1fbc1b81.png

Далее применим свойство нечётности синуса и формулу приведения:

hello_html_m40572b24.png

Пример 6.

hello_html_m18b9146a.png

Решение:

Вынесем за скобку общий множитель и применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_m6f351702.png

Далее используем формулу приведения и вычислим:

hello_html_m7db71c3d.png

Пример 7.

hello_html_1fdb2224.png

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_1eb6b2da.png

Далее выделим период, используем свойство периодичности и свойство чётности косинуса, вычисляем:

hello_html_2a7a47a0.png

Пример 8.

hello_html_mb29f9ce.png

Решение:

Выделим общий множитель и вынесем его за скобку, затем применим формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_mbc6e507.png

Далее выделим период и применим формулу приведения:

hello_html_m65ffed86.png



Пример 9.

hello_html_7abebb4d.png

Пример 10.

hello_html_5b3f8f81.png









  1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

Пример 1.Найдите tg α, если

hello_html_mac7eb19.png

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

hello_html_462ce078.png

Косинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Теперь важный момент: необходимо определить знак синуса для заданного интервала. Это интервал от 270 до 360 градусов (четвёртая четверть).  Значение синуса в этой четверти отрицательное, поэтому:

hello_html_45547595.png

Таким образом:

hello_html_m5d3ef21a.png

Пример 2. Найдите tg α, если

hello_html_m5a9676ed.png

Решение:

В этом и подобных примерах необходимо знать основное тригонометрическое тождество (его вообще нужно помнить всегда), а также формулу тангенса:

hello_html_a8c2a85.png

Cинус угла нам известен. Из формулы основного тригонометрического тождества  мы можем найти значение синуса. Затем подставить их в формулу тангенса.

Определяем знак косинуса для заданного интервала. Это интервал  от 90 до 180 градусов (вторая четверть). Значение косинуса в этой четверти отрицательное. Поэтому

hello_html_2a63da6a.png

Таким образом:

hello_html_538d6c47.png

Пример 3. Найдите 5cos α, если

hello_html_341f49f6.png

Решение:

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos2x = 1– sin2x и

hello_html_603a9600.png

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

hello_html_6c5960e5.png

Таким образом, 5cos α = 5∙0,7 = 3,5



Пример 4 Найдите 0,1sin α, если

hello_html_2a88f8ea.png

Необходимо найти синус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что sin2x = 1– cos2x  и

hello_html_13bcdb97.png

Определим знак синуса. Угол принадлежит интервалу от 0 до 90 градусов  (первая четверть).  Значение синуса в этой четверти  положительное, поэтому:

hello_html_a16f62a.png

Таким образом 0,1sin α = 0,1∙0,3 = 0,03



Пример 5. Вычислить hello_html_21867df5.gif, если hello_html_m5ff1cc52.gif.

Решение:

Так как hello_html_m4d89e345.gif. Воспользовавшись формулой hello_html_1ba9f17b.gif, получаем hello_html_m7d347f9f.gif. При hello_html_m3ccae9b.gif будет hello_html_731fbaa3.gif Поэтому hello_html_m10738a74.gif.

Пример 6. Известно, что

hello_html_m2fd3bd2b.gif
Найдите hello_html_73f26df8.gifhello_html_m2eaf28b4.gif,  hello_html_2778fe56.gif
Решение:  Поскольку из условия задачи следует неравенство hello_html_m23b9dfa9.gif
то, учитывая знак синуса, находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

hello_html_m5e75c4d1.gif

hello_html_m5ad05695.gif

hello_html_m35af73f7.gif

Пример 7. Известно, что hello_html_2b71bc31.gif. Найдите hello_html_76c98b00.gif

Решение:

hello_html_471ad677.gif

Учитывая знак тангенса и условие задачи 

hello_html_4843a1b.gif

находим, что точка P принадлежит 4-й четверти. Поэтому 

hello_html_4464c2d5.gif

hello_html_m20beb97c.gif

Пример 8. Известно, что hello_html_629476df.gif. Найдите hello_html_m6638c860.gif

Решение:

Из условия 3 <  < 2 и неравенства sincos > 0 следует, что точка P принадлежит 3-й четверти. Следовательно, sin+cos < 0.

Кроме того, hello_html_3afb245c.gif

Поэтому hello_html_1f892680.gif


Пример 9. Известно, что hello_html_59f25c33.gif. Найдите hello_html_m337b1034.gif

Решение: Возведем обе части данного равенства в квадрат: 

hello_html_1cd217.gif

Пример 10.

hello_html_m3fe389c8.png

Решение:

hello_html_5dd8c57f.png

  1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

Пример 1. Найдите значение выражения

hello_html_57b19e6b.png

Решение:

Используем формулу синуса двойного аргумента:

hello_html_m1105b87.png

Выражение в числителе «сворачиваем»:

hello_html_e4bf8d4.png

Второй путь: можно было использовать эту же формулу преобразовав знаменатель.

hello_html_53cf8fe1.png

Пример 2. Найдите значение выражения

hello_html_309cc30.png

Для решения этого примера достаточно знать формулу косинуса двойного аргумента:

hello_html_m58d67621.png

Преобразуем знаменатель:

hello_html_m3c4cc06f.png

Пример 3. Найдите значение выражения

hello_html_6e3bab0f.png

В данном случае 63 градуса представляем как разность 900 – 270

hello_html_65a5feb3.png

Пример 4. Найдите значение выражения

hello_html_7f3ab0bb.png

Представим 1000 как разность 3600 – 2600,  применим свойство периодичности нечётности синуса:

hello_html_m4af6734.png

Пример 5. Найдите значение выражения

hello_html_2c320a07.png

Используем формулу приведения косинуса. Представим 1530 как разность 1800– 270:

hello_html_ac5fd6.png

Пример 6. Найдите значение выражения

hello_html_m5de2790d.png

Используем формулу приведения для тангенса. Представим 1480 как разность 1800 – 320:

hello_html_m5313d625.png

Пример 7. Найдите значение выражения

hello_html_47313281.png

Представим 3730 как сумму 3600 + 130,  используем свойство периодичности:

hello_html_2adab332.png

Пример 8. Найдите значение выражения

hello_html_16d78a5d.png

Используем формулы приведения:

hello_html_m655c36cc.png

Применили формулу тригонометрии:

hello_html_m57c4dcfd.png



Пример 9.  Найдите значение выражения

hello_html_m7bfd4d98.png

Применяем формулу синуса двойного аргумента в числителе, и формулу приведения в знаменателе:

hello_html_mbda5798.png

Пример 10. Найдите значение выражения

hello_html_49265c11.png

Применяем формулу синуса двойного аргумента:

hello_html_ma0f99df.png

Пример 11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

hello_html_m535d988e.png

Используем формулу приведения и основное тригонометрическое тождество:

hello_html_m1e7e1582.png

Пример 12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

hello_html_m2feebc2c.png

Косинус функция чётная, то есть

hello_html_616884ac.png

Её период равен 2Пn, то есть

hello_html_5fd3c86d.png

Значит

hello_html_6a381ffb.png

Используем формулу приведения для косинуса:

hello_html_475dcacf.png

  1. Различные задачи.

  1. Задача. («Ломоносов»,2007 ) Вычислите: hello_html_4335ec42.gif, если hello_html_m50cb0834.gif

Решение:

Обозначим искомую величину за x. Раскрывая скобки, получим:

hello_html_m60d34fe8.gif

Слагаемые сгруппированы так , чтобы получились формулы.

hello_html_6a3cce92.gif

  1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2008) Вычислите hello_html_35fc9843.gif, если

hello_html_15c37e3b.gif.

Решение:

Поскольку hello_html_m75486e0.gif положителен и hello_html_m34dd5479.gif, угол hello_html_m69964a8a.gif- угол II четверти: hello_html_m15242bf2.gif. Значит, его косинус отрицателен:

hello_html_35676bb0.gif

Отсюда hello_html_m2e8e2c7f.gif

  1. Задача. (МГУ, ф-т почвоведения, 2000) Найдите

  1. hello_html_4c4fbb58.gif

  2. hello_html_m7f083e87.gif, если известно, что hello_html_m3040b52d.gif

Решение:

Имеем: hello_html_m6f0cda13.gif hello_html_4fac128d.gif

Разделив последние два равенства, друг на друга получим:

hello_html_mbac21ad.gif

Теперь возведем последние два равенства в квадрат и сложим:

hello_html_53fe78d.gif












































Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.


  1. Нахождение значения выражения.

  1. Вычислите hello_html_m79c1c97b.gif

  2. Вычислите hello_html_m95e07ec.gif

  3. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m73fce0bd.png.

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_34feab98.png.

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_3fb13bab.png.

  6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m96ccb0.png.

  7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_47b20d8f.png.

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m124d5a73.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m57f87c14.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m3687503d.png.

  11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_40020042.png.

  12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1e09e7a1.png.

  13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_41e412aa.png.

  14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5fc23318.png.

  15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m1fc696cb.png.

  16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5e4ba97a.png.

  17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: hello_html_33431fb6.png.

  18. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m34d93c3e.png.

  19. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m691f98bc.png.

  20. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m592c0ddc.png.

  21. Най­ди­те hello_html_328d4679.png, если hello_html_m7e8ca007.png.

  22. hello_html_4027d1c2.png

  23. hello_html_m15508a81.png

  24. hello_html_74afccf8.png

  25. hello_html_m275c0f51.png

  26. hello_html_53693dc9.png

  1. Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.

  1. Найдите hello_html_65703ab8.gif, если hello_html_148d01a4.gif

  2. («Ломоносов», 2007) Вычислите: hello_html_4331c6f6.gif, если

    1. hello_html_m558f53e.gif

  3. (МГУ, ф-т гос.управления,2010) Найдите hello_html_m60af1226.gif и hello_html_m43bc8c29.gif, если известно, что hello_html_m6b9378cb.gifа hello_html_516f767b.gif

  4. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_722e3bc3.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  5. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_m32c7510b.pngи hello_html_4c7553c3.png

  6. Най­ди­те hello_html_143d8a0b.png, если hello_html_4e2f9173.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  7. Най­ди­те hello_html_m52ac9134.png, если hello_html_13f11eda.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  8. Най­ди­те hello_html_5b48d948.png, если hello_html_m56c38af6.png.

  9. Най­ди­те hello_html_m247f3b1c.png, если hello_html_m4c52a8dd.png

  10. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_m2600f20.png.

  11. Най­ди­те hello_html_m32c2a545.png, если hello_html_5c97cec9.png.

  12. Най­ди­те hello_html_5205b3c2.png, если hello_html_75b96bdd.png.

  13. Най­ди­те hello_html_m359ddb79.pngесли hello_html_a8d875e.pngи hello_html_m1b3ef643.png

  14. Най­ди­те hello_html_m359ddb79.pngесли hello_html_m36213fe2.pngи hello_html_m1b3ef643.png

  15. hello_html_m11422cfb.png

  16. hello_html_m36ee16f2.png

  17. hello_html_1d873494.png

  18. hello_html_129f3597.png

  19. hello_html_7efe759f.png

  20. hello_html_316ed394.png

  21. hello_html_m3c50e534.png

  22. hello_html_m55f04a5b.png



  1. Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  1. Най­ди­те hello_html_m7598ce08.png, если hello_html_m6920824f.png.

  2. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_4e810c66.png, если hello_html_a0324f8.png.

  3. Най­ди­те hello_html_m21493b98.png, если hello_html_m6bb2b5e1.pngи hello_html_m2e1a2074.png.

  4. Най­ди­те hello_html_6ef8d575.png, если hello_html_m6855685d.pngи hello_html_m769bbe1a.png.

  5. Най­ди­те hello_html_m5a4513db.png, если hello_html_49fc60b1.png

  6. Най­ди­те hello_html_65ab2f6c.png, если hello_html_m21b2df42.png.

  7. Най­ди­те hello_html_m7195c03f.png, если hello_html_6e373842.png.

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_30f24acd.png, если hello_html_601d0525.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1b12578a.png, если hello_html_c4bd1bb.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m2448f18b.png.

  11. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m7b2beb3e.png.

  12. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m25c301d3.png.

  13. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_281d258c.png.

  14. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1c862ee9.png.

  15. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5cf8e0eb.png.

  16. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_34fab0.png.

  17. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m5f42af92.png.

  18. hello_html_m4f6076fa.png

  19. hello_html_1224b13.png

  20. hello_html_71f462ff.png

  21. hello_html_med17f54.png

hello_html_ma9a6e2c.png



  1. Разные задачи.

  1. Докажите тождество: hello_html_m45e878bb.gif

  2. Покажите, что: hello_html_m4ea7a8db.gif

  3. Докажите: hello_html_7c61f72.gif

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_20998673.png.

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_20998673.png.












































Модуль 4. Задачи для зачет по данной теме.



Зачет № 1. Нахождение значения выражения.

Найдите значения выражений:

  1. hello_html_m40530d75.png

  2. hello_html_m4b709641.png

  3. hello_html_m30c7782d.png

  4. hello_html_3a8d7314.png

  5. hello_html_m7e0fc36a.png

  6. hello_html_666e2811.png

  7. hello_html_11b154d4.png

  8. hello_html_29616562.png

  9. hello_html_435fbd94.png













Зачет №2 Нахождение тригонометрических функций, если значение одной известно.



Найдите значение если известно:

  1. Найдите  tg2 α, если hello_html_271b9108.png


  1. Найдитеhello_html_m71e44ab5.png



  1. Найдитеhello_html_78bfc5e9.png


  1. Найдите tg α, еслиhello_html_1e2b4c7.png



  1. Найдите tg α, еслиhello_html_m774e940e.png


  1. Найдите 24cos2α, если sinα = – 0,2. 

  2.  Найдите 9cos2α, если cosα = 1/3



  1. Найдите hello_html_614f72af.png


  1. Найдите значение выраженияhello_html_m655d9e8b.png



  1. Найдите hello_html_m59730d66.png








Зачет №3 Применение формул приведения и основных тригонометрических преобразований.

  1.  Найдите значение выраженияhello_html_m4271984e.png


  1. Найдите значение выраженияhello_html_m15b434ef.png


Найдите значение выраженияhello_html_847a2da.png

  1. Найдите значение выраженияhello_html_m3212654e.png


  1. Найдите значение выраженияhello_html_7ec45120.png



  1. Найдите значение выраженияhello_html_7ec4c9eb.png


  1. Найдите значение выраженияhello_html_m505a45c0.png



  1. Найдите значение выраженияhello_html_m332db878.png


  1. Найдите значение выраженияhello_html_61bf2803.png



  1. Найдите значение выраженияhello_html_m1043df95.png

  2. Найдите значение выраженияhello_html_62383331.png

  3. Найдите значение выраженияhello_html_29185c44.png

  4. Найдите значение выраженияhello_html_5e69f126.png



Модуль 5. Домашнее задание.


1.Упростите выражения:


  1. hello_html_55e675ba.png

  2. hello_html_m575e5b92.png

  3. hello_html_mcb7a2fb.png

  4. hello_html_m48341efd.png

  5. hello_html_m6bc152ed.png

  6. hello_html_m90da6be.png.

2. Вычислите:

  1. hello_html_mab5c707.png

  2. hello_html_55fc617d.png;

  3. hello_html_1104f139.png;

  4. hello_html_m1d319af2.png;

  5. hello_html_33bd357f.png

3. Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

  1. sin2α;

  2. sin4α + cos4α;

  3. sin6α + cos6α.


4.Найти tg α, если hello_html_5b0904e7.png

5. Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и hello_html_m6db5bbc9.png

6. Найти значение выражения: hello_html_m45e4c600.png

7. Вычислить sin10º sin30º sin50º sin70º .

8. Упростить выражение: hello_html_6a5d7ffa.png.

9. Доказать тождество при hello_html_103f9ae7.png

10. Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если hello_html_4f4a2860.png

11.* Вычислить значение выражения:hello_html_1d3f72bf.png

Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»




Вариант 1

Вопрос 1. Найдите значение выражения hello_html_m77027.png

Вопрос 2. Найдите значение выражения hello_html_79f2aa6e.png

Вопрос 3. Найдите значение выражения hello_html_m40a71fd9.png

Вопрос 4. Найдите значение выражения hello_html_m6ad9d406.png

Вопрос 5. Найдите значение выражения hello_html_5025f205.png

Вопрос 6. Найдите значение выражения hello_html_m4f4f7e57.png



Вариант 2

  1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1186f6bb.png, если hello_html_m11930c3.png.

  2. Най­ди­те hello_html_m6f747d5e.png если hello_html_m6a9a3a1.png и hello_html_59b90822.png

  3. Най­ди­те hello_html_m5fc9554f.png, если hello_html_m73d342e2.png.

  4. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m1fa16624.png.

  5. Най­ди­те hello_html_5af015e5.png, если hello_html_6d54f9d2.png.

  6. Най­ди­те hello_html_m71c32de6.png, если hello_html_m6aba02de.png.

  7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m62c5daa0.png

  8. Най­ди­те hello_html_23629670.png, если hello_html_m3d392796.png.

  9. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m63bcd50c.png.

  10. Най­ди­те hello_html_m18107740.png, если hello_html_m281c8740.png.

Вариант 3

  1.  Най­ди­те hello_html_m3ce1150c.png, если hello_html_m5c34b17f.png и hello_html_m5153d7ee.png.

  2. Най­ди­те hello_html_37940b48.png, если hello_html_3f7a59e1.png и hello_html_122b9cbf.png.

  3. Най­ди­те hello_html_4ff0f08f.png, если hello_html_m19ec8058.png.

  4. Най­ди­те hello_html_5af015e5.png, если hello_html_1f52af75.png и hello_html_m341b30cc.png

  5. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_m508c5e09.png.

  6. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_1f09aa63.png.

  7. Най­ди­те hello_html_56f86523.png если hello_html_76c48852.png и hello_html_a32ecc8.png

  8. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния hello_html_mfe2eb05.png

  9. Най­ди­те hello_html_m18107740.png, если hello_html_m281c8740.png.

  10. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния: hello_html_6aac043.png.

Вариант 4.


А1. Упростите выражение: 7cos2hello_html_284e617c.gif– 5 + 7sin2hello_html_284e617c.gif

1) 1 + cos2hello_html_284e617c.gif; 2) 2; 3) –12 ; 4) 12.


А2. Найдите значение выражения hello_html_4fae5587.gif

1) 0; 2) 2 ; 3) –1 ; 4) –2.


А3. Найдите значение выражения hello_html_m59125073.gif при hello_html_m3ab3b208.gif

1) 1 ; hello_html_m3e1bf3f2.gif


А4. Упростите выражение: sinhello_html_6cc2e794.gifcoshello_html_61661d9.gif + sinhello_html_61661d9.gifcoshello_html_6cc2e794.gifcoshello_html_314b911d.gif


hello_html_m7b26aea3.gif


А5. Упростите выражение: hello_html_m32bd23df.gif


hello_html_m4b20d3e9.gif ; hello_html_m4e5c40c5.gif


А6. Найдите hello_html_21867df5.gif,если hello_html_m46e59355.gif, hello_html_m1f021a20.gif

hello_html_m38878294.gif

А7. Найдите значение выражения

hello_html_35b10532.gif 1) 1; 2) hello_html_m3a8eef7e.gif

А8. Упростите выражение: hello_html_74e118e2.gif 1) 0; 2) –1; 3) hello_html_m980c3de.gif; 4) -2hello_html_m980c3de.gif



Вариант 5.

А1. Упростите выражение: cosx + tgx hello_html_m6578c62.gifsinx

1) 1; 2) 2cosx; 3) cosx + sinx; 4)hello_html_m7da3f216.gif

А2. Найдите значение выражения hello_html_593d2943.gif

1) 0,5 ; 2) –4 ; 3) 4hello_html_m980c3de.gif; 4) –4hello_html_m980c3de.gif.


А3. Найдите значение выражения hello_html_m4b50004f.gif

hello_html_3a0e8d65.gif


А4. Упростите выражение: hello_html_66a5cafa.gif


hello_html_5c5afa9b.gif


А5. Упростите выражение: hello_html_m63acffc0.gif

hello_html_56403fe7.gif


А6. Найдите hello_html_21867df5.gif,если hello_html_m10583bb.gif, hello_html_m5913a361.gif

hello_html_1c275f33.gif


А7. Найдите значение выражения

hello_html_21e9145a.gifhello_html_47da7301.gif


А8. Упростите выражение: hello_html_28e5c4b0.gif 1) 1; 2) 0,5 ; 3) –4 ; 4) hello_html_m980c3de.gif.













































Модуль 7. Ответы .

  1. Модуль 3.

темы

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

1

0,5

-0,5

6

-24

36

2

-16

-6

6

18

-12

-5

7

12

2

0,69

-0,5

hello_html_m61c4a4f4.gif

-3

5

1

-1

22,08

7

8

2,25

-7

-0,2

-0,75

3

4,2

-28

0,6

-10

-2,5

-9

5

3

4

5

-14

-4

-5

14

4




2

1












темы

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

1

6

12

-3

-1,5

-1,5

-1,5

31,96

2

12

36

-1,5

-13

2

-0,4

2,25

-9

8

2

-0.68

1,75

-0,25





3

10

10

2

4

3

-24

-104

5





4















  1. Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.

  1. Зачет №1: 1) 36, 2) 2, 3) -16, 4) -12, 5) 2, 6) -1,5, 7) -1,5, 8) 2, 9) 1

  2. Зачет №2: 1) 7, 2)-9, 3) 5, 4)8, 5)2, 6) 22,08, 7)-7, 8)4, 9)3 10)10

  3. Зачет №3: 1)6, 2)-24, 3)5, 4)-14, 5)-4, 6)-5, 7)14, 8)-5, 9)10, 10) -3, 11)-6, 12)6, 13)18







  1. Модуль 5. Домашнее задание.

№ задания

ответ

№ задания

ответ

1

а) hello_html_m55e14bc1.gif, b)hello_html_m1e4239b.gif, c)hello_html_m1e4239b.gif, d)0, e)1, f)hello_html_m2cbe8333.gif


7

hello_html_39a7ecce.png,

2

a)0,

b)1 ,

с)hello_html_m6ecc112f.gif, d)hello_html_m4919e35a.gif, e)hello_html_m6706f971.gif

8

hello_html_4b256ce1.png

3

a)0,91

b)0,545 c)0,3175

9

---

4

7

10

hello_html_m24fd83a2.png

5

hello_html_m6694022f.png

11

0

6

1











4. Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений»



№ варианта

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

0,5

-17

22

6

4





2

12,8

-0,8

0,25

36

8

2

-1

5

22

-5

3

-1

0,7

11,08

-0,5

-34

44

-1/5

-30

-7

-7

4

2

4

1

2

1

2

2

4



5

4

1

2

4

1

4

4

4

































Литература.

  1. http://alexlarin.net

  2. http://reshuege.ru

  3. http://fipi.ru

  4. http://www.matematikvn.ru/ege-oge/ege-avtorskie-materialy.php

  5. http://xn----etbbfc5ae1a3k.xn--p1ai/?level=trigonometricheskie-vyrazheniya

  6. http://matematikalegko.ru/vichislnie-viragenii/trigonometricheskie-vyrazheniya-chast-6.html

  7. ЕГЭ 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В/ А.Л.Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, М.А. Посицельская, С.Е. Посицельский, С.А.Шестаков, Д.Е.Шноль, П.И. Захаров, А.В. Семенов, В.А. Смирнов; под редакцией А.Л Семенова, И.В. Ященко – 3 изд. перераб. и доп. – М. Издательство «Экзамен», 2012.-543,(1) с.

  8. Математика. Подготовка к ЕГЭ- 2014 учебно- методическое пособие/ Под редакцией Ф.Ф. Лысенко, С.Ю. Кулабухова. – Ростов – на- Дону: Легион-М, 2013-416с. – («Готовимся к ЕГЭ»)

  9. ЕГЭ 2008. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Под редакцией Семенов П.В., Краснянская К. А. и др. ФИПИ-М.:Интелект-Центр, 2007.-240с.

  10. ЕГЭ-2008:математика:реальные задании/ авт.-сост. В.В.Кочагин, Е.М. Бойченко, Ю.А.Глазков и др. – М.: АСТ: Астрель, 2008. – 125,[3] с. – (ФИПИ)






Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Методическое пособие на тему: "Вычисление и преобразование тригонометрических выражений" для подготовки выпускников к ЕГЭ. Методическое пособие включает в себя:

  • 1.Модуль 1. Теоретическая часть по теме «Тригонометрические выражения»
  • 2.Модуль 2. Ключевые задачи. Примеры решения задач.
  • 3.Модуль 3. Задачи для отработки практических навыков.
  • 4.Модуль 4. Задачи для зачета по данной теме.
  • 5.Модуль 5. Домашнее задание.
  • 6.Модуль 6. Варианты ЕГЭ по теме «Вычисление и преобразование тригонометрических выражений

Модуль 1. включает в себя теоретическую часть необходимую для решения задач по теме тригонометрия, далее рассмотрены типовые задачи по данным разделам теории с подробным решением. Представлены задания для отработки навыков, задачи для самостоятельных и зачётных работ, а также в конце представлены ответы ко всем задачам.

Автор
Дата добавления 15.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2826
Номер материала 282979
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх