Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие "Нахождение площадей фигур в задачах ЕГЭ"

Методическое пособие "Нахождение площадей фигур в задачах ЕГЭ"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Содержание:

  1. Модуль 1: Основные формулы площадей.

  2. Модуль 2: Методы нахождения площадей.

  3. Модуль 3: Задачи с решением.

  4. Модуль 4: Задачи для закрепления.

  5. Модуль 5: Задачи для самостоятельной работы и зачета.















































Модуль 1. Теоретическая часть

    1. Основные определения и формулы для площадей фигур.

Прямоугольник.Площадь прямоугольника

Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы равны. Все углы в прямоугольнике прямые, т.е. составляют 90°.Площадь прямоугольника равна произведению его сторон .

hello_html_m4bfb6ffb.gif

Квадрат.

Квадратом называется параллелограмм с прямыми углами и равными сторонами. Квадрат есть частный вид прямоугольника, а также частный вид ромба. См. также площадь ромба. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Или половине квадрата диагонали.Площадь квадрата

hello_html_m55c3a815.gif; hello_html_m3063b56.gif

Трапеция.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.Площадь трапеции

hello_html_m3f83700d.gif

Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту. http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0019.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0022.png





Параллелограмм.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.Площадь паралллелограмма

hello_html_73941861.gif

Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон на синус угла между ними.  http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0011.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0011.png

Правильный многоугольник.

Для того чтобы вычислить площадь правильного многоугольника его разбивают на равные треугольники с общей вершиной в центре вписанной окружности. А площадь правильного многоугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности правильного многоугольника.Площадь правильного многоугольника

hello_html_m6950ce4c.gif

Выпуклый четырёхугольник.

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.  http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0014.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0014.png



Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, равна корню квадратному из произведения разностей полупериметра этого четырёхугольника и всех его сторонhttp://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0030.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0023.png



Ромб.

Ромбом называется параллелограмм с равными сторонами. Квадрат есть частный вид ромба. У квадрата диагонали равны. См. также площадь квадрата. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.Площадь ромба

hello_html_5d2b52e2.gifhttp://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0018.png

Площадь ромба равна произведению квадрата его стороны на синус одного из его углов.  

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0021.png









Сектор.

Сектор круга, окружности — это часть круга, окружности ограниченная дугой и двумя радиусами, проведенными к концам дуги. Площадь сектора круга равна произведению половины длины дуги сектора  на радиус круга.Сектор круга, окружности

hello_html_32bf23eb.gif

Площадь кругового сектора равна произведению площади единичного сектора (сектор, соответствующий центральному углу с мерой равной единице) на меру центрального угла, соответствующего данному сектору ( формулы для случаев градусной и радианной мер центральных углов).http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0016.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0016.pnghttp://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0016a.png

Окружность.

Окружность есть геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной ее точки. Равные отрезки, соединяющие центр с точками окружности, называются радиусами. Круг есть часть плоскости, лежащая внутри окружности. Площадь круга равна произведению полуокружности на радиус.Площадь круга

hello_html_57f5758b.gif

Площадь сегмента круга, окружности.Площадь сегмента круга, окружности

Сегмент круга, окружности — это часть круга, окружности, ограниченная дугой и стягивающей ее хордой.

Площадь сегмента круга, окружности находится, как разность площади сектора и площади равнобедренного треугольника выраженную через угол.

hello_html_7873a097.gif

hello_html_m250b09cd.gif







Площадь кольца.

Площадь кольца через радиусы находится как произведение числаπ на разность квадратов внешнего и внутреннего радиусов кольца.Формула площади кольца через радиусы

hello_html_3ec99eb7.gif



Формула площади кольца через диаметры

Площадь кольца через диаметры находится как произведение одной четвертой числа π на разность квадратов внешнего и внутреннего диаметров кольца.

hello_html_m13dee08a.gif

Площадь кругового кольца равна удвоенному произведению числа "пи", среднего радиуса кольца и его ширины. http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0024.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0028.png





Площадь сектора кольца.

Сектор кольца — это часть круга, окружности ограниченная дугами разных радиусов и двумя линиями радиусами, проведенными к концам дуги большего радиуса.Площадь сектора кольца

Площадь сектора кольца вычисляется как разность площадей большего и меньшего секторов круга.

Площадь сектора кольца если угол в градусах, вычисляется как произведение числа π на отношение угла сектора к углу полной окружности 360° и на разность квадратов большего и меньшего радиусов.

hello_html_m75657530.gif





Площадь треугольника.

Треугольник образуется соединением отрезками трех точек, не лежащих на одной прямой. При этом точки называются вершинами треугольника, а отрезки - его сторонами. Площадь треугольника равна произведению половины основания треугольника на его высоту.Площадь треугольника

hello_html_m43337cb6.gifПлощадь треугольника по формуле Герона

Площадь треугольника по формуле Герона равна корню из произведения разностей полупериметра треугольника (p) и каждой из его сторон.

hello_html_26cfa41d.gif

Если известно две стороны треугольника и угол между ними, то площадь данного треугольника вычисляется, как половина произведения этих сторон умноженная на синус угла между ними.Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

hello_html_78ad82bf.gif



Если один из углов прямой, то треугольник - прямоугольный. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов треугольника.Площадь прямоугольного треугольника

hello_html_m1d66d37d.gif

Высота равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по классической формуле площади треугольника — произведение половины основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу из формулы высоты равнобедренного треугольника.

hello_html_m6318f69b.gif

Площадь равностороннего треугольника вычисляется по классической формуле площади треугольника — произведение половины основания треугольника на его высоту. Высоту мы подставим в эту формулу из формулы высоты равностороннего треугольникаВысота равностороннего треугольника

hello_html_m678e7c0.gif

Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его стороны на синусы прилежащих углов к удвоенному синусу противолежащего угла. http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0025.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0017.png







Площадь треугольника равна отношению произведения квадрата его высоты на синус угла, из вершины которого проведена эта высота, к удвоенному произведению синусов двух других углов.http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0026.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0018.png





Площадь треугольника равна произведению квадрата его полупериметра на тангенсы половин всех углов треугольника. http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0032.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0031.png



Площадь треугольника равна отношению произведения всех его сторон к четырём радиусам, описанной около него окружности. http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0029.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0005.png



Площадь треугольника равна удвоенному произведению квадрата радиуса, описанной около него окружности, и синусов всех его углов.http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0028.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0029.png







Площадь треугольника (многоугольника) равна произведению его полупериметра и радиуса окружности, вписанной в этот треугольник (многоугольник). http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0006.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0006.png





Площадь треугольника равна произведению квадрата радиуса вписанной окружности на котангенсы половин всех углов треугольника.http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/pf0031.png

http://math4school.ru/img/math4school_ru/ploschadifigur/f0030.png





Шар и сфера.

Шаровой, или сферической поверхностью (иногда просто сферой) называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от одной точки - центра шара. Площадь поверхности сферы равна учетверенной площади большого круга:Площадь поверхности сферы

hello_html_m254a05a0.gif





Куб.

Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны, а площадь поверхности куба равна сумме площадей шести его граней, т.е.площади квадрата со стороной H умноженной на шесть. Площадь поверхности куба равна.Площадь поверхности куба

hello_html_m2d69416f.gif

Конус.

Круглый конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, поэтому круглый конус называют также конусом вращения.Площадь поверхности круглого конуса

Боковая площадь поверхности круглого конуса равна произведению половины окружности основания на образующую.

hello_html_m41dbe6b9.gif

Цилиндр.

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образуемая прямой, сохраняющей одно и тоже направление и пересекающей направляющую линию. Цилиндр — круговой если в основании его лежит круг. Площадь боковой поверхности круглого цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту.Площадь поверхности цилиндра

hello_html_m35436a79.gif

Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипедом называется призма, основание которой параллелограммПараллелепипед имеет шесть граней, и все они — параллелограммы. Параллелепипед, четыре боковые грани которого — прямоугольники, называется прямым. Прямой параллелепипед у которого все шесть граней прямоугольники, называется прямоугольным. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трех граней этого параллелепипеда.Площадь поверхности параллелепипеда

hello_html_m1a77d08.gif


Усеченный конус.

Усеченный конус получится, если в конусе провести сечение, параллельное основанию. Тело ограниченное этим сечением, основанием и боковой поверхностью конуса называется усеченным конусом. Боковая площадь поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле.Полная площадь поверхности усеченного конуса

hello_html_m54f69524.gif

Шаровой сегмент.

Часть шара, осекаемая от него какой-нибудь плоскостью, называется шаровым или сферическим сегментом. Основанием шарового сегмента называется круг ABCD. Высотой шарового сегмента называется отрезок NM, т.е. длина перпендикуляра, восстановленного из центра N основания до пересечения с поверхностью шара. Точка M называется вершиной шарового сегмента. Площадь поверхности шарового сегмента равняется произведению его высоты на окружность большого круга шара.Площадь поверхности шарового сегмента

hello_html_7c51d6f2.gif

Шаровой слой.Площадь поверхности шарового слоя

Шаровой слой — это часть шара, заключенная между двумя секущими параллельными плоскостями. Шаровой пояс или Шаровая зона — это кривая поверхность шарового слоя. Круги ABC и DEF это основания шарового пояса. Расстояние между основаниями это высота шарового слоя. Кривая поверхность шарового слоя равна произведению его высоты на окружность большого круга шара.

hello_html_7c51d6f2.gif

Шаровой сектор.

Шаровой сектор — это часть шара, ограниченная кривой поверхностью шарового сегмента и конической поверхностью основанием которой служит основание сегмента, а вершиной — центр шара. Поверхность шарового сектора складывается из кривых поверхностей шарового сегмента и конуса. Зная радиус основания сегмента и конуса r при помощи теоремы Пифагора и прямоугольного треугольника получим высоты сегмента и конуса:Площадь поверхности шарового сектора

hello_html_m26c1b433.gif

hello_html_m21925b1b.gif

hello_html_m3e4d6fcd.gif

hello_html_2a994fee.gif





























    1. Справочные таблицы «Площади плоских фигур, площади поверхности и объема тел вращения»Формулы вычисления площади геометрических фигурФормулы вычисления объема и площади поверхностиhttp://ege-study.ru/wp-content/uploads/2013/02/%D0%A1%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8-911_2.gifhttp://all-ege.ru/wp-content/uploads/2015/07/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F-%D0%BE%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%84%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D1%8B-1.pngПланиметрия основные формулы 2Планиметрия основные формулы 4





























Модуль 2. Методы нахождения площади плоских фигур.

Рассмотрим несколько способов нахождения площади плоских фигур:

  • формула Пика,

  • метод обводки.

    1. Формула Пика.

Формула, при помощи которой можно находить площадь фигуры построенной на листе в клетку (треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник, многоугольник). Об этой формуле обычно рассказывается применительно к нахождению площади треугольника. На примере треугольника мы её и рассмотрим.

Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:

Формула Пика

М – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах)

N – количество узлов внутри  треугольника

*Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий.

Найдём площадь треугольника: Отметим узлы:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/9.jpg http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/10.jpg

1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным)

N = 34 (обозначены синим)

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/101.gif



Пример 1. Найдём площадь параллелограмма: Отметим узлы:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/11.jpg http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/12.jpg

M = 18 (обозначены красным)

N = 20 (обозначены синим)

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/102.gif

Пример 2. Найдём площадь трапеции: Отметим узлы:


http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/13.jpg http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/14.jpg

M = 24 (обозначены красным)

N = 25 (обозначены синим)

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/103.gif

Пример 3. Найдём площадь многоугольника: Отметим узлы:


http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/15.jpg http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/16.jpg

M = 14 (обозначены красным)

N = 43 (обозначены синим)

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/105.gif

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно  это делать и таким образом.  А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Теперь взгляните на следующие фигуры:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/17.gif

Это типовые фигуры, в заданиях стоит вопрос о нахождении их площади. При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту. Например, найдём площадь фигуры:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/18.jpg http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/19.jpg

M = 11 (обозначены красным)

N = 5 (обозначены синим)

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/106.gif

Ответ: 9,5


1.2 Метод обводки.

  1. Достроить искомую фигуру до прямоугольника.

  2. Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника.

  3. Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Бывает, что не так-то просто рассчитать, сколько клеток в нужном отрезке. Вот смотри, треугольник:Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 2

Вроде бы даже прямоугольный и S=12abS=2​​1ab, но чему тут равно aa, и чему равно bb? Как узнать? Применим для полной ясности оба способа






I способ.

Найдем hello_html_m8f522f9.gif по теореме Пифагора из ΔADC а hello_html_58847f7b.gif по теореме Пифагора из ΔBCE. На листе в клетку легко посчитать длину катетов.Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 3

Итак:

hello_html_m2a02dd3d.gif

Значит, hello_html_m4e1aa034.gif

Теперь hello_html_2cdb3973.gif

 Значит, hello_html_m61e5a6b1.gif

Подставляем в формулу:

Значит, hello_html_m25d0e956.gif

II способ 

Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником. Вот так:



Получился один (нужный) треугольник внутри и три ненужных треугольника снаружи. Но площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку. Посчитаем их, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 4

Итак, hello_html_3829acf.gif

hello_html_18c1395f.gif

hello_html_3bbccb58.gif

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для любых фигур. К примеру, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.Площадь фигур на клетчатой бумаге рис. 5

А теперь чтобы найти площадь hello_html_m717d20c4.gif просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге.

hello_html_92ae283.gif


 hello_html_m622afea4.gif

Значит, 

hello_html_mf6460f0.gif

Вот и ответ: hello_html_61afb955.gif

























Модуль 3: Задачи с решением.

  1. Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге 
    с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

    Решение:
    Разобьём четырёхугольник диагональю РС на два треугольника. Диагональ эта хороша тем, что идёт под углом 45° к горизонту. Проведём через точки А и В прямые, параллельные диагонали.
    Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)






Если на верхней прямой взять любую точку Т, то площадь треугольника РТС окажется равной площади треугольника РАС, т.к. основание РС у них общее,
а высоты, проведённые к РС, равны. Такие же рассуждения о точке К.
Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)




Таким образом, если удачно разместить точки Т и К, как на рисунке выше, то 

SACBP = SPAC + SPBC = SPTC + SPKC = STKP = 0,5·6·3 = 9
4(B5). Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)


Ответ: 9

Возможны и другие варианты расположения точек Т и К:

4(B5). Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)4(B5). Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)4(B5). Найдите площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге (вар. 86)





  1. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке, считая стороны квадратных клеток равными единице.

    Решение:
    Найти площадь причудливой фигуры (вар. 54)

Отрежем у данной фигуры все полукруглые части (выпуклости), которые выходят за рамки квадрата 4·4, и аккуратно упакуем их на свободные в квадрате места.
Площадь данной причудливой фигуры просто равна площади квадрата 
4·4 = 16.
Ответ: 16

Найти площадь причудливой фигуры (вар. 54)

Найти площадь причудливой фигуры (вар. 54)





  1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см * 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/24.jpg

Решение:

Опишем около неё прямоугольник.

Из площади прямоугольника (в данном случае это квадрат) вычтем площади полученных простых фигур:

http://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/107.gifhttp://matematikalegko.ru/wp-content/uploads/2013/09/25.jpg

Ответ: 4,5















  1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.hello_html_m2c811eed.png

hello_html_6a430e4b.png





  1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

hello_html_3674bca4.pnghello_html_m70b2dd44.png







  1. На клетчатой бумаге нарисован круг площадью 93. Найдите площадь заштрихованного сектора.

hello_html_65699717.pnghello_html_m6291af7e.png

  1. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

hello_html_2ccb54de.pnghello_html_m45ba64cf.png

  1. Найдите (в см2) площадь S фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. В ответе запишите S/π. hello_html_65fcfa71.png

hello_html_69d209a9.png

  1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см×1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.hello_html_7ba8b538.png

hello_html_1f51bd61.png



hello_html_m2d9a9672.gifhello_html_m4548260b.gif

















Модуль 4. Задачи для закрепления.

1. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_2a6fee30.png



2. Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_m3910c7c2.png



3. Найдите площадь прямоугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_7589111.png



4. Найдите площадь ромба ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_44df99d9.png

5. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_m612302ac.png

hello_html_m194e9f87.png


6. Найдите площадь трапеции ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.



7. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.hello_html_415440a9.png



8. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.



hello_html_m2686104b.png




9. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите hello_html_m45fc8a88.gif.hello_html_18e7bb4a.png



10. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите hello_html_m45fc8a88.gif.hello_html_608488f3.png



11. Найдите площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (1, 1), (4,4), (5, 1).hello_html_3eea92e4.png



12. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1, 0), (0, 2), (4, 4), (5, 2).hello_html_3c193e27.png

13. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

hello_html_m205b0645.gif



14. Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif (в кв. см).

hello_html_83d4fbb.gif

15. В ромб ABCD, площадь которого равна hello_html_63751e4e.gif, вписан круг. Найдите площадь круга, если размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см.

hello_html_m34282ba5.gif

16.Найдите площадь S круга, описанного около прямоугольника ABCD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif (в кв. см).

hello_html_m2c0023d9.gif



17. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif ( в кв. см).

hello_html_7f9a2843.gif



18. Найдите площадь круга, описанного около прямоугольного треугольника АВС. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см*1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif (в кв. см).

hello_html_m736f70be.gif

19. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif . Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

hello_html_30fb3066.gif

20. Найдите площадь S круга, описанного около четырехугольника, изображенного на рисунке. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif. Размер каждой клетки 1 см × 1 см. Ответ дайте в сантиметрах.

hello_html_2213db7e.gif



21. Найдите площадь S круга, изображенного на рисунке. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



hello_html_m2410095.gif

22. Найдите площадь S сектора. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif. Размер каждой клетки 1 см ×1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

hello_html_m4fd23a7e.gif



23. Найдите площадь S заштрихованной части кругового сектора АОВ. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см *1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif (в кв. см).



hello_html_m62acfa69.gif



24.Найдите площадь круга, описанного около прямоугольника АВСD. Размер каждой клетки на чертеже равен 1см 1см. В ответе укажите hello_html_m7e976653.gif (в кв. см).

hello_html_529af4c0.gif



25. Два одинаковых круга касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите площадь одного круга, если площадь прямоугольника равна hello_html_6c9f8a2c.gif.

hello_html_20434a70.gif

26. Две одинаковых окружности касаются друг друга и сторон прямоугольника ABCD. Найдите периметр прямоугольника, если длина каждой окружности равна 3,6

hello_html_3131c818.gif

27. Диаметр полукруга совпадает со стороной прямоугольника ABCD, а 3 другие стороны прямоугольника касаются полукруга. Найдите длину полуокружности, если периметр прямоугольника равен hello_html_m7f3002a7.gif.

hello_html_78c86b87.gif





Модуль 5. Задачи для самостоятельных и зачетных работ.

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5479

  1. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5478

  1. Найдите площадь квадрата, вершины которого имеют координаты (4;3), (10;3), (10;9), (4;9).

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=210

  1. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=261

  1. В прямоугольнике расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны на 1 больше, чем расстояние от нее до большей стороны. Периметр прямоугольника равен 28. Найдите меньшую сторону прямоугольника.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=1411

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см изображен параллелограмм (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5484

  1. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5501

  1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=18289

  1. Найдите периметр четырехугольника http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png, если стороны квадратных клеток равны http://reshuege.ru/formula/21/216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5490

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=195

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см изображена трапеция (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5482

  1. Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=219

  1. Найдите высоту трапеции http://reshuege.ru/formula/cb/cb08ca4a7bb5f9683c19133a84872ca7.png, опущенную из вершины http://reshuege.ru/formula/9d/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png, если стороны квадратных клеток равны http://reshuege.ru/formula/d2/d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=1438

  1. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5480


  1. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (8;0), (10;8), (2;10), (0;2).

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=213

  1.   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5506

  1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=5549


  1.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=3339

  1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=3345

  1.  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=3350

  1.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите радиус описаной около него окружности.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=13174

  1. На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 11. Найдите площадь заштрихованной фигуры.


http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=19399

  1. Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (1;7), (8;2), (8;4), (1;9).

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=223

  1.  Найдите площадь закрашенной фигуры на координатной плоскости.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=232

  1. Точки O(0; 0), A(10; 0), B(8; 6), C(2; 6) являются вершинами трапеции. Найдите длину ее средней линии DE.

http://mathb.reshuege.ru/get_file?id=399

  1. Найдите (в см2) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9db.png 1 см (см. рис.). В ответе запишите http://reshuege.ru/formula/40/401e995ec40423e36c24320d4dbe7955.png.

http://reshuege.ru/pic?id=p780

  1.  Найдите площадь сектора круга радиуса http://reshuege.ru/formula/13/13860f727d1dbbccdb22450163d21983.png, центральный угол которого равен 90°

http://reshuege.ru/get_file?id=255

  1. .  Найдите центральный угол сектора круга радиуса http://reshuege.ru/formula/28/2858434a182f866ae5b8c06629016353.png, площадь которого равна http://reshuege.ru/formula/c4/c4ca4238a0b923820dcc509a6f75849b.png. Ответ дайте в градусах.

http://reshuege.ru/get_file?id=298

  1. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 1. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

315123_101.0.eps

  1. На клетчатой бумаге нарисовано два круга. Площадь внутреннего круга равна 9. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

315124_11.0.eps

Зачет

1

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

1.hello_html_1a898a8f.gif



2.hello_html_m1cdab4bb.gif



3.hello_html_m1977ad70.gif



4.hello_html_m55d7993.gif



5.hello_html_m7c5629dd.gif



6.hello_html_m3d9bf272.gif



7.hello_html_m21b3953d.gif



8.hello_html_m1fe4bb0c.gif



9.hello_html_6dbc1fd0.gif



10.hello_html_66f8d3d6.gif



2

Найдите площадь окрашенной фигуры, изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



1.hello_html_m42215a5e.gif



2.hello_html_m74af442e.gif



3.hello_html_m428bd9b8.gif



4.hello_html_4b03758.gif



5.hello_html_m4bfd6f6a.gif



6.hello_html_1b3d4636.gif



7.hello_html_m1b2cb21a.gif



8.hello_html_m467f7d61.gif



9.hello_html_m39822d9e.gif



10.hello_html_7be1b048.gif



3

В детском саду дети делали аппликации родителям в подарок. Найдите площадь аппликации (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см*1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.





1.hello_html_6dd28904.gif



2.hello_html_m13217f48.gif



3.hello_html_m59a0632b.gif



4.hello_html_663fae79.gif



5.hello_html_m772b934f.gif



4 В детском саду дети делали фото- рамки родителям в подарок. Найдите площадь фото-рамки (окрашенной фигуры), изображенной на чертеже. Размер каждой клетки равен 1см *1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.



6.hello_html_6eccea19.gif



7.hello_html_7735ffea.gif



8.hello_html_m699cfec0.gif



9.hello_html_27ca0997.gif





10hello_html_461cd7da.gif









Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 25.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1480
Номер материала ДВ-190481
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх