Методическое пособие "Планиметрия: построения"

1.1.   Понятие задач на построение

Задачи на построение — это задачи, в которых с помощью циркуля и линейки требуется выполнить то или иное построение, изобразив определенную геометрическую фигуру по ее заданным элементам.

Основные построения, которые допускают циркуль и линейка:

1.Построение прямой, проходящей через две данные точки.

2.         Построение окружности с центром в данной точке и радиусом,равным данному отрезку

3.         Построение точки пересечения двух данных непараллельных прямых4. Построение точки пересечения данной окружности и данной прямой, если они существуют

5. Построение точек пересечения двух данных окружностей, если они существуют

1.2.   Какие задачи  представлены в данном разделе

1.          Отложить на данном луче от его начала отрезок, равныйданному отрезку.

2.          Отложить от данного луча в данную  полуплоскость угол, равный данному.

3.          Построить треугольник  по  трем сторонам.

4.          Построить треугольник по   двум сторонам и углу между ними.

5.          Построить треугольник  по  стороне и двум прилежащим углам.

6.          Построить биссектрису данного неразвернутого угла.

7.          Построить серединный перпендикуляр данного отрезка.

8.          Построить середину данного отрезка.

      1.2.    9. Построить прямую, проходящую через данную

точку и перпендикулярную данной прямой.

10.                     Построить прямую, проходящую через данную точку ипараллельную данной прямой.

11.                     Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе иострому углу.

12.                     Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе икатету.

13.                     По строить касательную к окружности, проходящую черезданную точку .

14.                     Построить касательную к окружности, параллельную некоторой прямой.

2.1.  Этапы решения задач на построение в планиметрии

1.      Анализ задачи. Анализ задачи проводят с целью поиска ее решения. Для проведения анализа предполагают, что

данная задача решена, требуемая геометрическая фигура построена и разыскивают между ее элементами зависимости, которые позволяют свести данную задачу к другим, известным ранее.

2.      Построение. Точно указывается последовательность построений, которые необходимо выполнить для решения

задачи. Этот перечень построений должен сопровождаться и фактическим выполнением чертежа при помощи циркуля и линейки.

2.1.  3. Доказательство. На основании известных теорем производится доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет всем условиям задачи.

4. Исследование. Необходимо дать ответ на два вопроса: 1) всегда ли задача имеет решение (т. е. надо определить условия, при которых задача имеет решение и при которых — нет); 2) сколько различных решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Чтобы получить ответ на эти вопросы, удобно проводить исследование по ходу построения, это значит, нужно еще раз последовательно

рассмотреть те построения, которые были выполнены, и для каждого из них определить, всегда ли это построение можно выполнить, и сколько результатов может дать это построение.

2.2.  Пример решения задачи по этапам

Задача. Построить параллелограмм по основанию а , высоте h и одной из диагоналей d.

1.    Анализ. Выполним чертеж-иллюстрацию, считая, что искомый параллелограмм АВСД уже построен. Отмечаем на чертеже данные элементы ВС = а, ВН=h, ВD= d. Устанавливаем связи и зависимости между элементами параллелограмма. Отмечаем, что противоположные стороны АD и ВС лежат на параллельных прямых, расстояние между которыми равно высоте h . Поэтому можно построить треугольник АВD и затем достроить его до параллелограмма АВСD.

Получим следующий алгоритм построения искомой фигуры:

2.2.  2. Построение. Все этапы построения выполняем циркулем и линейкой непосредственно на чертеже с использованием заданных элементов.

1.              Строим параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h друг от друга.

2.              На прямой МК откладываем отрезок АD= а.

3.Из точки D, как из центра, радиусом d проводим окружность и находим точку В ее пересечения с прямой РQ.

4.                     На луче ВQ откладываем отрезок ВС= а.

5.                     Строим отрезкиАВ и СD.

3.        Доказательство. Рассмотрим четырехугольник АВСD. Его противоположныестороны АD и ВС параллельны, т.к. лежат на параллельных прямых МК и РQ. Эти же стороны равны по построению АD=ВС= а. Значит,АВСD – параллелограмм, у которого АD= а, ВD= d, а высота равна h, т.к . расстояние между параллельными прямыми МК и РQ равно h (по построению). Следовательно, АВСD – искомый параллелограмм.

2.2. 

4.        Исследование. Проверим возможность построения параллелограмма АВСD непосредственно по шагам алгоритма построения.

1.Параллельные прямые МК и РQ на расстоянии h всегда можно построить, и притом единственным образом.

2.           Построить отрезок АD = а на прямой МК также всегда можно, и притом единственным образом.

3.           Окружность, проведенная из центра D радиусом d, будет иметь общие точки с прямой РQ только тогда, когда d³ h; еслиd=h, то получится одна общая точка В, если же d> h, то две общие точки В и В’.

4,5. Эти построения всегда однозначно выполнимы.

Таким образом, решение возможно, если d³h. Если d=h, то задача имеет единственное решение, если же d>h, то два решения.

3.1. Методы решения задач на построение в планиметрии

Основные методы решения задач на построение в планиметрии:

1. Метод геометрических мест точек 2. Метод спрямления 3. Метод подобия 4. Алгебраический метод 5. Метод параллельного переноса 6. Метод осевой симметрии 7. Метод поворота

3.2.   Метод геометрических мест точек

Сущность метода в следующем.

Пусть при поиске решения задачи мы пришли к выводу, что задача будет решена, если будет построена фигура, удовлетворяющая некоторым двум условиям. Тогда: 1) устанавливается множество точек плоскости, удовлетворяющих только одному из условий;

2) строится множество точек, удовлетворяющих только второму условию задачи.

Пересечение этих точечных множеств определяет искомую фигуру.

3.2. Приведем  некоторые множества (МТ), наиболее часто используемые в решении задач на построение методом

 геометрических мест точек.

1.     Множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от двух данныхточек А и В, есть серединный перпендикуляр отрезка АВ.

2.     Множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной прямой, естьдве прямые, параллельные данной и отстоящие от неѐ на данном расстоянии.

3.     Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельныхпрямых, есть прямая, являющаяся ось симметрии.

4.     Множество точек, каждая из которых равноудалена от двух пересекающихсяпрямых, есть две взаимно перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных данными прямыми.

5.     Множество середин хорд одинаковой длины, проведенных в даннойокружности, есть концентрическая окружность, касающаяся любой из этих хорд. 6. Множество середин хорд окружности (О,r), проведенных через точку А окружности, есть окружность, построенная на ОА как на диаметре.

3.3.  Метод спрямления

Сущность метода спрямления в том, что с целью открытия зависимости для решения данной задачи на построение на чертеже некоторые отрезки перекладывают так, чтобы вместо ломаной линии получился отрезок, равный сумме ли разности ее звеньев, и вместе с тем образовалась фигура, которая конструктивно связана с данной и легко может быть построена.

Метод спрямления применяется при решении таких задач на построение, в которых даны сумма или разность определенных отрезков, являющихся сторонами искомой фигуры или тесно связанных с ней (диагональ, высота, радиус вписанной окружности и др.)

3.7.   Метод осевой симметрии

Сущность метода осевой симметрии состоит в следующем. Предполагается, что задача решена, при этом фигура F заменяется симметричной ей фигурой ' F относительно некоторой прямой l. После этого фигура ' F подчиняется тем же условиям, которым должна удовлетворять фигура F.

В результате получаем новую задачу, которая решается одним из известных способов. Иногда есть необходимость возвращения к первоначальному условию задачи.

Краткое описание документа:

Пособие содержит в себе понятия, связанные с задачами на построения в курсе планиметрии, этапы и методы решения данных задач.