Методическое пособие по алгебре тема "Методы решения показательных уравнений"

Методы решения показательных уравнений

Степень n числа а– это произведение числа a само на себя n раз.

a•a•…•a=aⁿ

Основные формулы степеней и их свойства.

1. a⁰ = 1 (a ≠ 0)

2. a¹ = a

3. aⁿ • a^m = a^{n + m}

4. (aⁿ)^m = a^nm

5. aⁿbⁿ = (ab)ⁿ

6. a^-n= 1/aⁿ

7. aⁿ/a^m= a^{n — m}

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число.

Примеры показательных уравнений: 6^x=36

Название метода решения

Вид уравнения

Алгоритм действий

Простейшие показательные уравнения

b = a

b; b>0

b; b

1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

 = 

f(x) = 1

f(x) = 

Решений нет

Методы преобразования показательных уравнений к простейшим

Метод уравнивания оснований

2^2х+4 - 10•4^х = 2⁴

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (aⁿ)^m = a^nm.

4^х = (2²)^х = 2^2х

И еще используем одну формулу aⁿ • a^m = a^{n + m}:

2^2х+4 = 2^2х•2⁴

Добавляем в уравнение:

2^2х•2⁴ — 10•2^2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2^2х ,вот и ответ — 2^2х мы можем вынести за скобки:

2^2х(24 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

24 — 10 = 16 — 10 = 6

6•2^2х = 24

Все уравнение делим на 6:

2^2х = 4

Представим 4=2²:

2^2х = 2² основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Метод разложения на множители

x2^x = 22^x + 8^x-16.

x2^x = 22^x + 8x-16 <=> x2^x - 22^x = 8x-2) <=> 2^x(x-2) - 8 <=> (x-2) ^x - 8) = 0 <=> <=>  <=>  <=>  .

Ответ: 

Метод подстановки

f(x)= t, t>0 (преобразуются к квадратным)

9^х – 12*3^х +27= 0

Преобразуем:
9^х = (3²)^х = 3^2х

Получаем уравнение:
3^2х — 12•3^х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решитьметодом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:

3^х = t

Тогда 3^2х = (3^х)² = t²

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t² — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t₁ = 9
t₂ = 3

Возвращаемся к переменной x.

Берем t₁:
t₁ = 9 = 3^х

Стало быть,

3^х = 9
3^х = 3²
х₁ = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:
t₂ = 3 = 3^х
3^х = 3¹
х₂ = 1
Ответ: х₁ = 2; х₂ = 1.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 3^4x-5 = 3^x+4 .

Решение.

3^4x-5 = 3^x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .

Ответ:3

Пример 2. Решите уравнение: 2^x-4 = 3 .

Решение.

2^x-4 = 3 <=> x- 4 =   x =  + 4 <=> x =  +  <=> x =  .

Ответ:.

Пример 3. Решите уравнение:^-3x = -7 .

Решение.

^-3x = -7 , решений нет, так как ^-3x > 0 для  x  R .

Ответ: ^.

2..

A. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .

Решение.

27- = 0 <=> 3³3^4x-9- (3²)^x+1 = 0 <=> 3^{3+ (4x-9)}- 3^2(x+1) = 0<=> 3^4x-6-3^2x+2 = 0 <=> 3^4x-6 = 3^2x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение:  .

Решение.

 0 <=> (2²)^x3^x5^x = 60^4x-15 <=> 4^x3^x5^x = 60^4x-15 <=> (4^x = 60^4x-15 <=> 60^x=60^4x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.

Ответ: 5.

В. Уравнения, решаемые разложением на множители.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: x2^x = 22^x + 8x-16.

Решение.

x2^x = 22^x + 8x-16 <=> x2^x - 22^x = 8x-2) <=> 2^x(x-2) - 8 <=> (x-2) ^x - 8) = 0 <=> <=>  <=>  <=>  .

Ответ: 

Пример 2 . Решите уравнение: 

Решение.

5^2x - 7^x - 5^2x35 +7^x = 0 <=> (5^2x - 7^x)((

Ответ: 0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки ^f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть  , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену:  >0, тогда A² + B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению ^f(x) = t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1 . Решите уравнение: 2^2+x - 2^2-x = 5.

Решение.

2^2+x - 2^2-x = 5 <=> 2²2^x -  = 15 <=> 4(2^x)² - 4 = 15^x

Делаем замену t = 2^x, t > 0. Получаем уравнение 4² - 4 = 15t <=> 4t² - 15t - 4=0

<=>  , t =  не удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2^х = 4<=> 2^x = 2² <=> x=2.

Ответ: 2

Пример 2. Решите уравнение: 

Решение.

5

Делаем замену:  , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не удовлетворяет условию t 

Вернемся к переменной Х:

Ответ: 2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A  ^nx + B  ^kx  b^mx + С  b^nx, где k, m  N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на ^nx, либо на ^nx и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 22^2x - 5^x + 33^2x = 0.

Решение.

22^2x - 5^x + 33^2x = 0 <=> 2^2x - 5^x3^x + 33^2x = 0 <=> 2 -  + 3 = 0 <=>

<=> 2^2x - 5^x + 3 = 0

Пусть t = ^x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=>  , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:

 <=>  <=>  .

Ответ: 

Пример 2. Решите уравнение: 8^x + 18^x - 227^x = 0 .

Решение.

8^x + 18^x - 227^x = 0 <=>  +  - 2 = 0 <=> 2^3x + 2^x 3^2x - 23^3x = 0<=>

<=>  +  - 2 = 0 <=>  +  - 2 = 0.

Пусть  = t, t>0 , тогда t³ + t - 2 = 0<=> (t³ - 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t² +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t² + t +2) = 0 <=>  <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х:  = 1 <=> =  x = 0 .

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки :

= t , тогда =  .

Пример 3. Решите уравнение: 

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени равно единице:

(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:

t ,оба корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

 .

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид Aa^m = Bb^m.

Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на a^m, либо на b^m. В результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7^х = 5^х.

Решение.

7^х = 5^х <=>  = 1 <=>  =  <=> x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ: 2.

F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение:  ^.

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде

 ^(*)

Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение  не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение:  .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при х=1.

Перепишем уравнение в виде:

 .

При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.

Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение  не имеет.

Ответ: 1.

^{G. Графический способ решения уравнений вида f(x).}

^{Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ).}

^{Примеры.}

^{Пример 1. Решите уравнение: .}

^{Решение.}

^{1.Рассмотрим две функции: f(x) =  и g(x) = x+1.}

^{2.Графиком функции f(x) =  является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций:}

х

-1

0

1

2

3

f(x) = 

1

2

4

х

0

3

g(x)= x+1

1

4

^{4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек:  . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:}

^{Ответ: 3;  .}

^{Пример 2. Решите уравнение:  .}

^{Решение.}

^{1. Рассмотрим две функции f(x) =  и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :}

 ^{= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .}

^{2. Функция f(x) = - показательная по основанию  и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.}

^{Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .}

^{3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.}

х

-3

-2

-1

0

1

2

f(x) = 

8

4

2

1

х

1

4

g(x) =

2

^{4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.}

^{Примечание:}

^{Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.}

^{В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.}

^{Ответ: 1.}