Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по линейной алгебре для студентов
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по линейной алгебре для студентов

библиотека
материалов

16


Министерство образования Иркутской области

hello_html_m386cc36e.jpg

Государственное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

Иркутской области

«Иркутский авиационный техникум»





Методическое пособие

для студентов

по дисциплине «Математика»




Тема: «Линейная алгебра»


















Иркутск, 2015

Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.



УТВЕРЖДЕНО

цикловой комиссией

ГБПОУИО «ИАТ»

Протокол № 10

от «25» июня 2015 г.




















Составитель: преподаватель ИАТ Сыровая И.С.











ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Методическое пособие по теме «Линейная алгебра» выполнено для использования его студентами при самостоятельных занятиях по теме «Линейная алгебра» с целью углубления знаний по этой теме и отработки практических навыков решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.

Пособие состоит из 7 разделов.

  1. В этом разделе даны определения матрицы, видов матриц и определителей

2-го и 3-го порядков., рассмотрены примеры их вычисления.

  1. Приведена информация о системах линейных уравнений и их решении.

3. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Решение систем линейных уравнений в матричной форме.

6. Задания для самостоятельной работы.

7. Литература.

















  1. МАТРИЦЫ.

1.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Матрицей размера m х n называется прямоугольная таблица чисел
hello_html_4f403e6.png,
содержащая m строк и n столбцов.

Каждый элемент матрицы аik  имеет два индекса: i – номер строки и k – номер столбца.

Краткая форма записи матрицы:
А = (аik)m,n



Матрица называется квадратной порядка n, если она состоит из n строк и n столбцов.
Матрица размера
1хn называется матрицей-строкой, матрица размера mх1  называется матрицей-столбцом.

Нулевой матрицей заданного размера называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Треугольной матрицей n-го порядка называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю:
hello_html_m142216a3.png.
Единичной  называется квадратная матрица n-го порядка, у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные элементы – нули:
hello_html_m7401447d.png.
Матрицы А = (
аik)m,n и В = (вik)m,n  называются РАВНЫМИ, если аik = вik   (i = 1,…,m;
k = 1,…,n).


    1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ


Суммой матриц А = (аik)m,n и В = (вik)m,n  называются матрица А + В = (аik + вik)m,n.

Произведением матрицы А = (аik)m,n  на число l называется матрица lА = (lаik)m,n.

Для любых матриц одинакового размера выполняются свойства:
1) А + В = В +А                                2) А + (В + С) = (А + В) + С

3) А + 0 = А                                      

Транспонированной для матрицы А называется матрица АТ, строки которой являются столбцами матрицы А, а столбцы – строками матрицы А.


Пример 1. Даны матрицы
hello_html_2cba1b13.png  и    hello_html_61ec2d0b.png
Построить матрицу С = 2А – 3В + АТ.
Решение:
hello_html_m249cd182.png-hello_html_m2b34c70a.png+
+hello_html_53b46f2d.png=hello_html_m2a4acc6f.png.


1.3 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ


Произведением матрицы А = (аik)m,р  на матрицу В = (вik)р,n  называется матрица D

размера mхn с элементами
hello_html_69ed6f41.png
Иными словами, для получения элемента, стоящего в
i-ой строке результирующей матрицы и в k-ом ее столбце, следует вычислить сумму попарных произведений элементов
i
-ой строки матрицы А на k-ый столбец матрицы В.

Пример 2. Найти произведение матрицы А на матрицу В:
hello_html_m7e76ce05.png  hello_html_2afbbe91.png.


Решение.
hello_html_m4b95e885.png
hello_html_5265e011.png.

Число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Это – условие согласования матриц при умножении. Если оно нарушено, матрицы перемножить нельзя.




    1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

Определитель второго порядка.

Пусть матрица А – квадратная матрица 2-го порядка:
hello_html_3205b466.png .
Определителем 2-го порядка (матрицы а) называется число

hello_html_678979cf.png
        
Пример. Вычислить определитель матрицы
hello_html_3f75a824.png

Решение:
hello_html_602cc8e6.png



Определитель третьего порядка.

Пусть матрица А – квадратная матрица 3-го порядка:
hello_html_m124ab4de.png
Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется число
 
hello_html_m71088668.png
Правило треугольника:
hello_html_73301824.png  hello_html_625a1e85.png                                    hello_html_5d6d7585.png
Пример. Вычислить определить
hello_html_m23eb1b1a.png


Разложение определителя по строке или столбцу.

Минором элемента aik называется определитель Мik, составленный из элементов, оставшихся после вычеркивания из матрицы А i-ой строки и k-го столбца.
Алгебраическим дополнением элемента aik называется число hello_html_m4ebd34c8.png.


Определителем 3-го порядка (матрицы А) называется сумма произведений элементов первой строки матрицы на их алгебраические дополнения:
hello_html_4238358f.png
Данную формулу называют разложением определителя по первой строке.


Пример. Вычислить определитель матрицы
hello_html_m1eb3e6ce.png.


Решение. Находим миноры и алгебраические дополнения элементов 1-ой строки матрицы:
hello_html_616a782c.png
Вычисляем искомый определитель:
D(А) = 3.7 + (-2).(-35) + 4.(-7) = 63.


Свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании, т.е. D(АТ) = D (А).

2. Если две строки определителя поменять местами, то определитель меняет знак.

3. Если все элементы какой-либо строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5. Если в определителе две строки (два столбца) одинаковы или пропорциональны, то определитель равен нулю.

6. Определитель не изменяется, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.








  1. Системы линейных уравнений

Система линейных уравнений с переменными x, y и z имеет вид:

hello_html_3b0bfd84.gif

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2 (1)

a3x + b3y + c3z = d3

Решением системы уравнений называется упорядоченная тройка чисел

x, y, z, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Для системы уравнений можно составить матрицу А – матрицу коэффициентов при неизвестных и матрицу D – матрицу-столбец свободных коэффициентов.

hello_html_3010e9cd.gifhello_html_3010e9cd.gifhello_html_m1641cf58.gifhello_html_m1641cf58.gifa1 b1 c1 d1

A = a2 b2 c2 D = d2

a3 b3 c3 d3

Составим и вычислим определитель матрицы А:


hello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifa1 b1 c1

= a2 b2 c2 = a1b2c3+ b1c2 a3 + a2b3c1 – a3b2c1 – c2b3a1 – a2b1c3

a3 b3 c3


  1. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: Значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменатель которой равен главному определителю системы, а числитель получается из главного определителя путём замены столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов.

Для системы (1) запишем определители ∆, ∆x, ∆y, ∆z.

ahello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gif1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1

= a2 b2 c2 x = d2 b2 c2 y = a2 d2 c2

a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 d3 c3


hello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifhello_html_m472edbbd.gifa1 b1 d1

z = a2 b2 d2

a3 b3 d3


По формулам Крамера: x = x/ y = y / z = z/

hello_html_3b0bfd84.gif

Пример: xy + 3z = 3

3x + yz = 17

2x –7y + z = – 4

Вычислим главный определитель системы:

1 –1 3

= 3 1 – 1 = 1 + 2 – 63 –6 –7 + 3 = –70

2 –7 1


Заменив столбец коэффициентов при переменной x столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆x:

3 –1 3

х = 17 1 –1 = 3 – 4 – 357 + 12 – 21 + 17 = –350

4 –7 1

Заменив столбец коэффициентов при переменной y столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆y:

1 3 3

y= 3 17 –1 = 17 – 6 – 36 – 102 – 9 – 4 = –140

2 –4 1

Заменив столбец коэффициентов при переменной z столбцом свободных коэффициентов, получим определитель ∆z:

1 –1 3

z = 3 1 17 = –4 – 34 – 63 – 6 + 119 – 12 = 0

2 –7 –4

По формулам Крамера вычислим значения x, y и z:

x = x/ = 5 y = y / =2 z = z/ ∆=0

Ответ: (5; 2; 0).

  1. Решение систем методом Гаусса.

При решении систем линейных уравнений используют метод Гаусса, который заключается в приведении заданной системы к треугольному виду (прямой ход). Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

  1. умножение или деление коэффициентов свободных на одно и то же число;

  2. сложение и вычитание уравнений;

  3. перестановку уравнений системы;

  4. исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример:

hello_html_m2962a1e3.gifxy + 3z = 3

3x + yz = 17

2x –7y + z = – 4

Зhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_1bb65f2c.gifhello_html_1bb65f2c.gifапишем расширенную матрицу:

1 –1 3 3

3 1 –1 17

2 –7 1 –4

Чтобы в первом столбце получить a2= a3= 0, умножим первую строку соответственно на –3 и –2 и сложим результаты с первой строкой.

1 –1 3 3

0 4 –10 8

0 –5 –5 –10

Первую и вторую строки запишем без изменения, а затем вторую строку умножим на 5, третью – на 4, полученные значения сложим и запишем результаты в качестве третьей строки:

hello_html_m95afeb9.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_1bb65f2c.gif1 –1 3 3

0 4 –10 8

0 0 –70 0

Запишем новую эквивалентную систему, которой соответствует расширенная матрица:

hello_html_m3c21181d.gifxy + 3z = 3

4y – 10z = 8

70z = 0

Выполняя обратный ход, найдём переменные:

Z = 0;

4y – 10 0 = 8; 4y = 8; y = 2;

x – 2 + 3 0 = 3; x = 3 + 2 = 5.

Итак, получаем ответ: (5; 2; 0).

5 Решение систем линейных уравнений в матричной форме.


Для системы (1) рассмотрим матрицы

hello_html_m95afeb9.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifa1 b1 c1 d1 x1

A = a2 b2 c2 D = d2 X = x2

a3 b3 c3 d3 x3

Используя правило умножения матриц, систему (1) запишем в виде:

hello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifa1 b1 c1 x1 d1

a2 b2 c2 x2 = d2

a3 b3 c3 x3 d3

или AX = D.

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Умножив обе части матричного уравнения на A-1, получим: A-1(AX) = A-1D Так как (A-1A)X = EX = X, ═ X = A-1D.


Таким образом, чтобы решить матричное уравнение, нужно:

1). Найти обратную матрицу А-1.

2). Найти произведение А-1D.

3). Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.


Пhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifример. Решить матричное уравнение:

hello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gif3 -1 0 5

-2 1 1 X = 0

2 -1 4 15

Найдём обратную матрицу A-1.

Вычислим определитель матрицы A:

hello_html_1d88c90.gifhello_html_1d88c90.gif3 -1 0

= -2 1 1 = 12 – 2 + 3 – 8 = 5

2 -1 4

Вычисляя алгебраические дополнения элементов матрицы, получим:

А11= 5; А12= 10; А13= 0; А21= 4; А22= 12; А23= 1; А31= – 1; А32 = – 3; А33= 1.

Запишем новую матрицу:

5 4 –1

10 12 –3

0 1 1

Транспонируем её:

5 10 0

4 12 –3

1 –3 1

Запишем обратную матрицу:

1 4/5 –1/5

2 12/5 –3/5

hello_html_60c7c3ec.gifhello_html_m27af9ac3.gifhello_html_261d51cb.gif0 1/5 1/5

hello_html_m23065f19.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_m95afeb9.gifhello_html_mc1068c4.gif1 4/5 –1/5 5 1 5 + 4/5 0 + (–1/5) 15 2

Х = 2 12/5 –3/5 0 = 2 5 + 12/5 0 + (–3/5) 15 1

0 1/5 1/5 15 0 5 + 1/5 0 + 1/5 15 3

Итак, можно записать:

hello_html_m95afeb9.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_mc1068c4.gifhello_html_m95afeb9.gifх1 2

х2 = 1 т. е. х1 = 2, х2 = 1, х3 = 3.

х3 3


Ответ: (2; 1; 3).


























  1. Задания для самостоятельной работы:

  1. hello_html_7708f1d2.gifhello_html_4219930b.gifhello_html_7708f1d2.gifx + 2y + z = 8 2. x + 3y – 6z = 12

3x + 2y + z = 10 3x + 2y + 5z = –10

4x + 3y –2z = 4 2x + 5y – 3z = 6

Ответ: ( 1; 2; 3 ) Ответ: (0; 0; –2 )


3hello_html_7708f1d2.gif. 5x – y – z = 0 4. 3x – y + 2z = 2

x + 2y + 3z = 14 x + 2y + z = –7

4x + 3y + 2z = 16 2x + y – z = 1

Ответ: (1; 2; 3 ) Ответ: (1; –3; –2 )























7 Литература

  1. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика- Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 2012.- 463с.

  2. Мордкович А.Г.Алгебра и начала анализа: В 2 ч.: Ч. 2: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Изд. 3-е, испр.-М., Мнемозина, 2005.-375с.

  3. Филимонова Е.В. Математика: Уч. пособие для сред. спец. уч. завед. – 3-е изд доп. и перераб. – Ростов Н/Д: Феникс, 2005.- 416с.












Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров753
Номер материала ДВ-023221
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх