Инфоурок Математика Другие методич. материалыМЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 1.Тема 1.1. Теория пределов ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

 

Тема1.1. Пределы и непрерывность.  

 

1. Предел функции. Определение предела функции в точке.

Пусть функция    y = f(x)  определена в некоторой окрестности точки   х, за исключением, может быть, самой точки   х.            

Определение 1 (предела функции (по Гейне)): Число А называется пределом функции   y=f(x)  в точке х(при х х),  если для любой последовательности       допустимых  значений аргумента   x,xx, сходящийся к   х, x х,соответствующая последовательность    значений функции сходится к числу А:.

Обозначение:  или .

Определение 2.(предела функции (по Коши)): Число А называется пределом функции y=f(x)   в точке х (при  х х), если для любого числа существует число , такое, что для всех допустимых значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству   ,  выполняется неравенство .

Заметив, что      выражает расстояние между числами   а   и    b, можно сказать, что    геометрически означает, что для всех   х,  достаточно близких к  хо , соответствующие значения функции  близки к числу  А.

Определения 1  и  2 предела функции эквиваленты (примем без доказательства)

Рис. 1.


2. Основные теоремы о пределах функций.

Определение предела функции «на языке последовательностей» (по Гейне) и «на языке ε-δ» (по Коши) позволяют без особого труда перенести на функции основные теоремы о
пределах  последовательностей.                                                                                              Формулировки и доказательства теоремы для случаев   и  аналогичны.

Теорема 1. Пусть функция  имеет предел в точке х0, т.е.  .
Тогда:
1) этот предел единственный (единственность предела);
2) функция  ограничена в некоторой окрестности точки х0 (ограниченность функция имеющей предел).

Перейдем к рассмотрению арифметических свойств пределов функций.

Теорема 2. Пусть  и .

Тогда справедливы утверждения:

1).                                                                                                            (1)

(Постоянный множитель можно выносить за знак предела).

 

2).                                                                               (2)                                                                                                                    

(Предел алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций).

 

3).                                                                                    (3) (Предел произведения двух или нескольких функций равен произведению пределов этих функций).

4)если , то                                                                                         (4) (Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что   и    ).                                                                      

Следствие. Если , то

                                                                                                       (5)

.

Теорема 3. Пусть функции  и  определены в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки  и в каждой точке   x   из этой окрестности . Если функции  и  имеют в точке  предел, равный А,

т.е.    , то функция  так же имеет предел в точке :

Доказательство: Рассмотрим любую последовательность , значений аргумента функций  и , сходящихся к . Соответствующие  последовательности  и  значений функций имеют предел, равный  при . По условию теоремы

поэтому, на основании теоремы о трех последовательностях (см. предельный переход в неравенствах), последовательность  сходится и имеет своим пределом число  при . Итак, . Это и означает по определению 1 предела функции, что  теорема доказана.

Рассмотрим некоторые важные примеры:

Пример 1.  Если , то . Действительно, если – произвольная  б.б. последовательность,  при , то обратная к ней последовательность  – б.м., т.е.  при , а это означает, что  при .

Ясно, что справедливо и обратное утверждение.

Пример 2.  Пусть ,  – степенная функция. Тогда в каждой точке   функция  имеет предел, равный значению функции  в этой точке:. Это вытекает из следствия   теоремы 2 :

Пример 3. Если  – многочлен степени   n, тогда на основании теоремы 2 и предыдущего примера имеет:

Если же , то ,

т.е. .

3. Понятие и раскрытие неопределенностей.

 

При вычислении пределов функций часто приходится пользоваться теоремой 2, так, при вычислении предела частного двух функций    могут возникать ситуации, когда применение теоремы 3.2  невозможно. Одна из таких ситуаций возникает, когда , другая ситуация возникает тогда, когда . Тогда мы говорим, что имеется неопределенность вида  или . Вычислить предел в этой случае означает раскрыть эту неопределенность. При вычислении предела , может случится, что, а , тогда возникает неопределенность вида . При вычислении предела  может случится, что , т.е. бесконечные пределы одного знака. Тогда возникает неопределенность вида .

Позже мы рассмотрим вычисление пределов . При их вычислении возникают неопределенность вида , или .

Пример 4.  Вычислить предел

При различных значениях     1),     2),     3).

 

1) .

поясним приведенное решение. Функция  представляет собой частное двух многочленов, а, как показывает пример 7  предел многочлена в данной точке равен значению многочлена в этой точке, т.е.  и   Пределы числителя и знаменателя существуют (и конечны) и предел знаменателя отличен от нуля. Далее мы применим теорему 2.

2)

Поясним вычисление этого предела.

Так как , то мы имеем неопределенность вида

Ясно, что эту неопределенность вносит множитель  (х-1), который имеет пределом число 0 при   хà1. Так как   х=1 – корень числителя и знаменателя, то, разложив числитель и знаменатель на множители, мы выделили множитель (х-1) и, сократив на него раскрыли неопределенность.

3) .

Пояснение. Так как

 (см. пример 3), то мы имеем неопределенность . Разделив числитель и знаменатель дроби на х2, мы раскрыли неопределенность. далее применила теорему 2 и тот факт, что  (см. пример 1).

Пример 5:

Заметим сначала, что для  выполняется неравенство: 0<sin x<x. Это можно усмотреть из рисунка 3, т.к. sin x = AB, x = AC, а отрезок АВ меньше дуги АС. тогда на основании теоремы 3.3 . Если , то   sin x <0 и   x<sin x <0. Применяя опять теорему 3.3,  получаем
Рис. 3.

                                          

4.     Замечательные пределы.

 

Первый замечательный предел:

 

                                                                            (6)

                                                     

Заметим сначала, что. Это вытекает из неравенства  и теоремы 3.

Заметим что CD=sin x, BA =tg x, а площадь ОСА меньше площади сектора ОСА, а та, в свою очередь, меньше площади ОАВ, поэтому , т. е. sin x < x < tg x при

                Рис. 4.                           (см. рис. 4). Разделив это неравенство на sin x > 0,

                                                           получим ,

Окончательно получаем: . В силу четности этого неравенства оно справедливо и при . По теореме 3 мы получим,  при х→ 0

 

Второй замечательный предел.

                                                     или                                          (7)

Заметим, что в обоих случаях мы имеем дело с неопределенностью 1. Этот замечательный предел является следствием определения числа   е  (2.7):

Подробное доказательство опускаем.

Применение замечательных пределов

Пример 6.   Вычислить   .

Решение.     .

  Пусть 3х = у, причём   у→0 при   х0.   Тогда      . Ответ.    3.

Пример 7.    Вычислить   .

Решение.     ==   .

Заменим ,  тогда, учитывая, что  у→∞ при   х∞, имеем:

  === .

Ответ.    .

Пример 8.    Вычислить   .

Решение.   Имеем

 =

=.

Таким образом,  =.

Ответ.    .

 

 

 

 

 

 

 

                                

5.  Непрерывность функции.

5.1.  Непрерывность функции в точке.

Пусть функция   y=ƒ(x) определена в некоторой окрестности точки x0,включая саму точку x0.

Определение 1. Функция   y=ƒ(x)  называется непрерывной в точке x0, если она имеет предел в точке x0, равный значению функции в этой точке, т.е.

                                                                          .                                                 (8)

Непрерывность функции    y=ƒ(x)    в точке   x0    равносильна возможности представить функцию в виде ,  где α(x)б.м. функция при    х→х0.

Дадим еще одно определение непрерывности функции на языке приращения аргумента и приращения функции, имеющее широкое применение при доказательстве непрерывности той или иной функции.

Пусть задана функция , . Выберем и зафиксируем некоторое значение аргумента ,  - соответствующее значение функции. Выберем другое значение аргумента х, и  - соответствующее значение функции (см. рис. 1). Число

  называется приращением аргумента, отсюда    x= x0+∆ x; а число

называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента . Обращаем внимание на тот факт, что приращение функции зависит от приращения аргумента (и точки  хо, в которой это приращение вычисляется).

Определение 2. Если задана функция  y=ƒ(x), то приращением аргумента x в точке x0  называется число

                                                                 x = x- x0,                                                            (9)

  число                                 

                        y = f(x) - f(x0) = f(x0+ x) - f(x0)                                                                                  (10)

называется приращением функции y=ƒ(x)   в точке   x0,  вызванное приращением аргумента    x (рис. 1).

 

 

Заметим еще раз, что функция     зависит от аргумента  х , а приращение функции ∆у  зависит от приращения аргумента ∆х.

            Предыдущее замечание о непрерывности функции в точке  хо  показывает, что функция  непрерывна в точке  хо  тогда и только тогда, когда приращение функции 

                                                                  ∆ - ƒ(хо) = ƒ(хо + ∆х.) - ƒ(хо

 в точке  хо  является   б. м. при  х → хо, т.е. при

                                                                                   ∆х = х – хо → 0.

            Итак,

                                    (ƒ(х) непрерывна в точке хо)  )

                                                                                           

другими словами, функция    непрерывна в точке хо,  если бесконечно малому приращению  ∆х  соответствует бесконечно малое приращение функции   ∆у.

            Из определения непрерывности функции в точке вытекает важность этого понятия для вычисления пределов.

            Так как     , то равенство (8) можно записать в виде

                                                                                                                 (11)

т.е. знак непрерывной функции перестановлен со знаком предела. Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции  ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию ƒ(х) вместо аргумента  х  подставить предельное значение  хо.

 

                                    5.2.  Локальные свойства непрерывных функций

 

            Локальные свойства функции – это такие свойства, которые выполняются в данной точке или в некоторой окрестности этой точки. Примером локального свойства функции служит свойство функции быть непрерывной в данной точке.

 

            Теорема  4. (Арифметические свойства непрерывных функций)

            Пусть  функции ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке  хо.

Тогда их сумма  ƒ(х) + g(х), произведение  ƒ(х) · g (х)  и частное  ƒ(х) : g (х)  также непрерывны в точке  хо (последняя при  g (х) ≠ 0).

           

            Теорема  5. ( О непрерывности сложной функции)

            Пусть функция   у =ƒ(х)   непрерывна в точке  хо , а функция  z =  g (у) непрерывна в точке уо = ƒ(хо). Тогда сложная функция  z =  F(х) = g (ƒ(х))   непрерывна в точке  хо                                      

           

            Пример 1.  Рассмотрим функцию , , U(x), V(x)

непрерывны в точке хои . Эта функция  сложная, она одновременно показательная и степенная.

По теореме 5.  функция в точке:  

           

            Как мы видели, при рассмотрении пределов  вида 

могут возникнуть неопределенности вида или. Методы их вычисления будут рассмотрены ниже.

            Функция  называется непрерывной слева в точке  , если 

 

                           

и непрерывной справа  в точке ,  если .

 

 

                                    5.3.  Непрерывность обратной функции

 

            Функция   называется непрерывной в интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

            Функция называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (а,b), непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке.

 

            Теорема 6. (О непрерывности обратной функции).

 

            1) Пусть функции монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [а,b] с множеством значений  где, . Тогда обратная функция монотонно возрастает и непрерывна на отрезке [А, В].

            2) Если функция монотонно убывает и непрерывна на отрезке [а,b], то обратная функция  монотонно убывает и непрерывна на отрезке [А, В], где ,

            Принимаем эту теорему без доказательства.

 

5.4.  Непрерывность основных элементарных функций

 

            1. Постоянная функция,  где  непрерывна на множестве , так как в каждой точке   R,   (см. пример 1), что и означает непрерывность функции в точке.

            2. Функция   непрерывна  на  R, так как   

            3. Функция , k  N   непрерывна на R, так как  

            4. Многочлен степени   n

является непрерывной функцией на R, т. к.  

            5. Дробно рациональная функция (рациональная дробь)  является непрерывной функцией в каждой точке, в которой знаменатель не обращается в ноль. Это следует из теоремы 4.  и того факта, что числитель  рациональной дроби, являясь многочленами, непрерывны всюду на R.

            6. Функция непрерывна на множество R. Действительно, если – произвольная фиксированная точка, то , где , а  функции  является ограниченной на R. Тогда  как произведение б. м. функции на ограниченную функцию. Но это и означает непрерывность функции  в каждой точке числовой оси.

            7. Функция  непрерывна на множестве R, т. К. Её можно представить в виде и воспользоваться теоремой 5. о непрерывности сложной функции; где  и прерывны.                                                                                                    

            8. Функция  непрерывна всюду на R, кроме точек  , . Это следствие того, что  есть отношение двух непрерывных функций, и теоремы 4.

9. Функция  непрерывна на отрезке [-1;1] по теореме 6.  о непрерывности обратной функции. Действительно, функция монотонно возрастает и непрерывна на отрезке , а множество ее значений есть отрезок  [-1;1] (см. рис. 2). Поэтому обратная функция  возрастает и непрерывна на отрезке  [-1;1].

           

Аналогично можно показать, что функции и  непрерывны в области своего определения как обратные к  и  соответственно.

                        Рис. 2.

                                           

            10. Функция, и, непрерывна и монотонна на  ;  возрастает при  и

   убывает при . Поэтому обратная функция  монотонна и непрерывна при х > 0.

            11. Степенная функция, непрерывна на множестве (0; +∞) по теореме о непрерывности сложной функции, т.к., а функции и 

непрерывны.

            Итак, мы доказали непрерывность основных элементарных функций.                                                    

    

 Напомним, что  элементарной мы назвали функцию, образованную из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложной функции. Поэтому из всего вышесказанного вытекает следующий важный вывод:  всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

            Отсюда следует, что при нахождении предела элементарной функции в точке, в которой она определена, нужно просто вычислить значение элементарной функции в этой точке.

 

5.5.  Точки разрыва функции и их классификация

            у                                            


               0                                                           х

 

                               а)                                             Рис. 3.                             б)

 

                          

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки,включая саму точку .

Сформулировать одно важное для  дальнейшего                                                               утверждение: функция   непрерывна в точке  хо   тогда и только тогда, когда

 1) функция  определена     в  точке, т.е.  существует  значение  функции,

 2) существуют предел слева  и предел справа функции  в точке,  

3) все эти три  числа равны между собой:  .

Геометрически это ясно (см. рис. 3).  Нарушение одного их этих трех условий означает, что функция  уже не является непрерывной в этой точке.

            Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции.

 

Классификация точек разрыва функции

 

            1. Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существуют односторонние пределы    и   , которые равны между собой:

,но либо функции  не определена в точке  (см. рис. 4), либо функция определена в точке, т.е. существует ее значение в этой точке, не равное односторонним пределам:  


 


      Рис. 4.                                                                                         Рис. 5.

 

        Пример 2.     Рассмотрим функцию  определенную и непрерывную в каждой точке числовой прямой, кроме точки, которая является точкой разрыва функции. Ясно, что  при  . Поэтому существует предел  нашей функции в точке: , т.е. существуют односторонние пределы и равны  между собой: (см. рис. 4). Это  означает,  что   точка  устранимого разрыва.

Заметим еще раз, что функция  при  совпадает с непрерывной всюду функцией  . Доопределив нашу функцию в точке  х = 4 условием  , мы получим непрерывную в точке       функцию

,          т.е. устранили разрыв. 


      Рисюс. 7.


                                                                                                    

                  Рис. 6.                                                                                            Рис. 7.                                                             

2. Точка  называется точкой разрыва первого рода (или скачком) функции , если в точке  существуют односторонние пределы  и , которые не равны между собой: (см. рис. 5). При этом функция  может быть определена в точке , а может не определена.

Число  называется скачком функции  в точке . Скачок может быть как положительным, так и отрицательным.

Пример 3. Функция  определена и непрерывна всюду, кроме точки , которая является точкой разрыва функции. Так как , то     

                                      

График этой функции изображён на рис. 6. Точка  является точкой разрыва первого рода, т.е. скачком. Действительно,

,

,

т.е. . Скачок функции в точке  равен

 

3. Точка  называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример 4. Функция  определена и непрерывна всюду, кроме точки, которая является точкой разрыва второго рода, т.к.            ,  

           ,

т.е. оба односторонних предела бесконечные (см. рис. 7).

 

Пример 5. Функция       определена и непрерывна всюду, кроме точки    , которая является точкой разрыва второго рода, т.к. односторонние пределы в точке , как показывает пример 4, не существуют (ни конечные, ни бесконечные).

 

ненене

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист по охране труда

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 10.Тема 2.1-2.2. Численные методы.doc

ПРАКТИКУМ 4

 

Численное дифференцирование

Пример 1.

Построить таблицу разностей функции у=f(x), задан­ной таблично:

Решение: Вычислим конечные разности первого порядка:

y0 = y1y0 = 5 – 1 = 4,

y1 = y2y1 = 15 – 5 = 10,

y2 = y3y2 = 35 – 15 = 20,

y3 = y4y3 = 70 – 35 = 35,

y4 = y5y4 = 140 – 70 = 70.

Полученные значения разностей первого порядка зане­сем в столбец Ау таблицы разностей.

Определим конечные разности второго порядка:

               2y0 = y1y0 = 10 – 6 = 4,

2y1 = y2y1 =  20 – 10 = 10,

2y2 = y3y2 = 35 – 20 = 15,

2y3 = y4y3 = 70 – 35 = 35.

Результаты заносим в столбец Δ2у.

 Конечные разности третьего порядка:

3y0  = 2y1 - 2y0 = 10 – 6 = 4,

3y1  = 2y2 - 2y1 = 15 – 10 = 5,

3y2  = 2y3 - 2y2 = 35 – 15 = 20.

Заполним столбец Δ3у.

Конечные разности четвертого порядка:

4y0  = 3y1- 3y0 = 5 – 4 = 1,

4y1  = 3y2- 3y1= 20 – 5 = 15.

Заполним столбец Δ4у.

Конечная разность пятого порядка:

Δ5у0=4y1  -4y0  =15 – 1 = 14.

Таким образом, таблица разностей для заданной функ­ции имеет вид:

 

Пример 2

Найти производную функции у = lgх, заданной таблич­но в точке  х = 30.

Значения функции у = lgx.

Решение:

Здесь шаг h = 5. Вычислим конечные разности различ­ных порядков по формулам:

y0 = y1y0 =1,5441–1,4771 = 0,067,

y1 = y2y1 =1,6021–1,5441 = 0,058,

y2 = y3y2 = 1,6532 –1,6021 = 0,0511,

y3 = y4y3 = 16990 –1,6532 = 0,0458.

2y0 = y1y0 = 0,058 - 0,067 = -0,009,

2y1 = y2y1 = 0,0511 – 0,058 = -0,0069,

2y2 = y3y2 = 0,0458 - 0,0511 = -0,0053.

3y0  = 2y1 - 2y0 =  -0,0069 + 0,009 = 0,0021,

3y1  = 2y2 - 2y1 =  -0,0053+0,0069 = 0,0016.

4y0  = 3y1- 3y0 = 0,0016 – 0,0021 = -0,0005.

Заполним таблицу разностей:

Отметим, что на практике таблицу конечных разностей заполняют сразу по правилам, разобранным в примере 2 основного текста. Вычисление разностей по формулам (5) мы привели в качестве проверки.

По формуле (3) (см. основной текст п. 4.), используя первую строчку таблицы, с точностью до разностей четвертого порядка, получаем:

                                                у′(30) =

 

  у′(30) = 0,0145.

Оценим точность найденного значения. Заданная таблич­но функция есть y = lgx. Производная этой функции:

у′ = lge   .

При х = 30 получим:

у′(30) =  0,0145.

Таким образом, результаты совпали с точностью до чет­вертого десятичного знака.

Пример 3.

Найти значения первой и второй производных функции Бесселя, заданной таблично, в точке  х = 1.

Решение:  Составим таблицу конечных разностей. Рекомендуем составлять эту таблицу сразу без предварительных вычислений. В примере приводится подробная запись с целью продемонстрировать последовательность действий при вычислении конечных разностей различного порядка.

Первые конечные разности:

Вторые конечные разности:

Третьи конечные разности:

Четвертая конечная разность:

Таблица конечных разностей:

i

x

y

0

1

2

3

4

0,96

0,98

1

1,02

1,04

0,782536

0,773933

0,765198

0,756332

0,747339

-0,008603

-0,008735

-0,008866

-0,008993

-0.000132

-0,000131

-0,000127

0,000001

0,000004

0,000003

Значение первой производной функции в точке х=1 вычисляем по формуле (3)

Вторая производная функции Бесселя в точке х = 1 (см. формулу (4)):

 

Для сравнения приведем точные значения производных функции Бесселя в точке х = 1:

                             

Пример 4

Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точке х=2,7.

х

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

у

2,857

3,946

4,938

5,801

6,503

7,010

7,288

7,301

 

Решение:

Составим таблицу конечных разностей заданной функции:

i

х

у

0

1

2

3

4

5

6

7

0,8

1,2

1,6

2,0

2,4

2,8

3,2

3,6

2,857

3,946

4,938

5,801

6,503

7,010

7,288

7,301

1,089

0,992

0,863

0,702

0,507

0,278

0,013

 

-0,097

-0,129

-0,161

-0,195

-0,229

-0,265

-0,032

-0,032

-0,034

-0,034

-0,036

0

-0,002

0

-0,002

 

В данном примере точка, в которой нужно вычислить производные, не является узловой, т.е. значение функции в этой точке не задано. В таком случае следует воспользо­ваться формулами (2)(п. 4):

 

q =

 

Ближайшая к   х = 2,7 меньшая точка, в которой известно значение функции х = 2,4. Поэтому положим х0 = 2,4.

Тогда q = = 0,75.

Подставляем в формулу первой производной функции:

Вторая  производная функции:

 у′′ =

у′′(0,27) =

Пример 5.

В точке х = 7,5 вычислить производные функции, задан­ной таблично.

Решение:

Составим таблицу конечных разностей заданной функ­ции:

Абсолютная погрешность исходных значений функции  y=f(x) не превосходит величины

ε = 0,5 • 10–4. Абсолютная погрешность разности п-го порядка имеет порядок величи­ны 2n∙ε. Из таблицы конечных разностей видно, что разно­сти второго, третьего, четвертого и пятого порядка разли­чаются менее, чем на величину погрешности их округле­ния. Поэтому при вычислении производной функции в точ­ке  х = 7,5 в формуле (4) достаточно взять два первых сла­гаемых

 

Пример 6

По табличным данным найти аналитическое выражение производной.

 

x

0

1

2

3

4

5

y(x)

10,4

16

20,8

24,8

28

30,4

Решение;

Составим таблицу конечных разностей, обозначив и=у'(х):

i

x

u

u

u

u

0

0

10,4

5,6

-0,8

0

1

1

16

4,8

-0,8

0

2

2

20,8

4

-0,8

0

3

3

24,8

3,2

-0,8

 

4

4

28

2,4

 

 

5

5

30.4

 

 

 

 

Воспользуемся  интерполяционной формулой Ньютона:

u(x) = u+qu+q(q-1)   u+…

                      2!

Cлагаемое, содержащее третью конечную разность не записываем, т.к. u = 0

Учтем, что q = .

По таблице определяем: x= 0, h = 1.

Следовательно, q =  =  x.

u(x) = 10,4 + x ∙ 5,6 + ∙ (-0,8),

u(x) = y(x) = 10,4 + 5,6x – 0,4x + 0,4x,

y(x) = 10,4 + 6x – 0,4x.

 

Пример 7

Для функции, заданной таблично, найти аналитическое выражение производной.

х

1

2

3

4

5

6

7

8

y

11

40

99

200

355

576

875

1264

Решение:

   Определим в точках задания аргумента значения произ­водной функции.

Таблица конечных разностей для заданной функции;  

 

i

x

y

y

y

y

y

0

1

11

29

30

12

0

1

2

40

59

42

12

0

2

3

99

101

54

12

0

3

4

200

155

66

12

0

4

5

355

221

78

12

 

5

6

576

299

90

 

 

б

7

875

389

 

 

 

7

8

1294

 

 

 

 

             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле (4)  x = 1:

y(1) = ∙ (29 -  + ) = 18,

y(2) = ∙ (59 -  + ) = 42,

y(3) = ∙ (101 -  + ) =78,

                                              y(4) = ∙(155 -  + ) = 126,

                                              y(5) = ∙ (221 -  + ) = 186.

 

Составим таблицу конечных разностей для   у'(х):

Используя данные последней таблицы и интерполяционную формулу Ньютона с учетом q =       получаем:

у'(х) = 18 + (х-1)∙24 + 12 = 6(х2 + х + 1).

 

Численное интегрирование

 

Решение:   Положим   п = 10, т.е. разбиваем интервал интегрирова­ния от 1 до 2 на десять равных частей (рис. 1).

h =

Вычислим значение функции в точках разбиения:
          
x0 = l                    y0 = = l

   x1 = 1,1                 y1 = ≈ 0,90909

 

 
Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл  . Оценить погрешность вычислений.


                 Рис. 1.

 

 x2=1,2                       у2 = ≈ 0,83333

 x3= 1,3                  у3=0,76923

                               х4=1,4                    y4≈ 0,71429

                                                                                           х5 = 1,5                  y5 =  ≈ 0,66667

                               х6 = 1,6                  y6 = = 0,625

                               x7 = 1,7                  y7 = ≈ 0,58824

  x8 = 1,8                   y8 = 0,55556

                              х9 =1,9                   у9= ≈0,52632

                                Сумма 7,18773

 По формуле    получаем:

≈ 0,1∙7,18773 = 0,718773.

Полученное значение больше истинного, т.к. кривая  у =   обращена к оси х своей выпуклостью.

 Вычислим остаточный член по формуле R ∙| f(x)| ∙ (ba) ∙ h. Для этого предварительно определяем первую производную подын­тегральной функции:

                                                                        

представляет собой убывающую функцию и следовательно максимальное значение принимает при меньшем   х   из за­данного интервала   1 ≤ х ≤ 2, т.е. при   х = 1:

                                                                

Подставляя в формулу остаточного члена, окончательно получаем:

R ∙1∙10,1 = 0,05.

Ошибка округления существенно меньше полученного R и, следовательно, ее можно не учитывать.

Окончательно получаем:

≈ 0,72±0,05.

Вычисленное по методу прямоугольников значение оп­ределенного интеграла оказалось достаточно грубым. Для получения более точного результата следует уменьшить шаг разбиения. Расчеты, выполненные методом прямоугольников при , рассмотрены в примере 2.

Пример 2.  Вычислить по формуле прямоугольников определенный  интеграл (пример 1)

                   , уменьшив шаг разбиения в 2 раза. Оценить погрешность вычислений.

Решение:  Согласно условию шаг разбиения   h =  = 0,05 (см. при­мер 1). Вычислим значение функции в точках разбиения:

         x0 = l                     y0 = = l

x1 = 1,05                  y1 = ≈ 0,95238

x2=1,1                       у2 = ≈ 0,90909

x3= 1,15                у3=0,86957

х4=1,2                   y4≈ 0,83333

х5 = 1,25                y5 =  = 0,8

x6 = 1,3                  у6=0,76923

x7 = 1,35                у7=0,74074

х8=1,4                   y8≈ 0,71429

х9=1,45                 y9≈ 0,68966

х10 = 1,5                 y10 =  ≈ 0,66667

х11 = 1,55               y11 =  ≈ 0,64516

х12 = 1,6                 y12 = = 0,625

х13 = 1,65               y13 = ≈ 0,60606

x14 = 1,7                 y14 = ≈ 0,58824

x15 = 1,75              y15 = ≈ 0,57143

x16 = 1,8                y16 = 0,55556

x17 = 1,85             y17 = 0,54054

х18 =1,9                у18= ≈0,52632

х19 =1,95              у19= ≈0,51282

                                Сумма 14,11609

 

По формуле прямоугольников (1) получаем:  = 0,05∙14,11609 = 0,70580.

Для оценки погрешности вычислений используем расче­ты, выполненные в примере 1. Учитывая, что h = 0,05 и    R ∙| f(x)| ∙ (ba) ∙ h

получаем

R ∙1∙1∙0,05 = 0,025.

Значение абсолютной погрешности уменьшилось в 2 раза.

Пример 3.   По формуле прямоугольников вычислить  , разбив интервал интегрирования на десять  равных  частей. Оце­нить погрешность вычислений.

Решение:  Здесь  п = 10, h =  .    

       x0 = l                     y0 = = l

x1 = 1,1                   y1 = ≈ 1,0488

x2=1,2                       у2 = ≈ 1,0954

x3= 1,3                  у3=1,1402

х4=1,4                   y4≈ 1,1832

х5 = 1,5                   y5 =  ≈ 1,2247

х6 = 1,6                  y6 = ≈ 1,2649

x7 = 1,7                  y7 = ≈ 1,3037

x8 = 1,8                  y8 = 1,3416

х9 =1,9                  у9= ≈ 1,3784

                                Сумма 11,981

Имеем  = 0,1 ∙ 11,981 = 1,198

Оценим погрешность вычислений.

Определим, предва­рительно, модуль наибольшего значения первой производ­ной функции на интервале интегрирования [1,2]:  

                                                        f(x) = .

Наибольшее значение   f(x)  принимает в точке       x = 1.

f(1) =  .

По формуле    R ∙| f(x)| ∙ (ba) ∙ h     имеем:

R∙| f ′(x)| ∙ (b – a) ∙ h = ∙ 1 ∙ 0,1 = 0,025.

Окончательно получаем:

 = 1,198 ±0,025.

Вычислим для сравнения заданный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

 

= 1,219.

Таким образом, значение определённого интеграла, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница попадает в указанный интервал

 = 1,198 ±0,025.

Пример 3.   Вычислить по формуле трапеций определенный интег­рал    .   Оценить погрешность вычислений.

Решение:  Так же, как в примере 1 положим   п = 10. Воспользуем­ся вычисленными в примере 1 значениями функции в точ­ках разбиения. По формуле

                                         

найдем значение опреде­ленного интеграла:

 = 0,1∙ (∙1+ 0,90909+ 0,83333 + 0,76923 + 0,71429 + 0,66667 + 0,625+0,55556 + 0,58824 + 0,52632 + ) = 0,69377.

Оценим погрешность вычислений.

Полная погрешность Ro складывается из погрешности арифметических действий R' и остаточного члена R.

                                              R'=

где Ai =  - коэффициенты формулы трапеций и ε - максималь­ная ошибка округления значений подынтегральной функ­ции.

R' = hnε = 0,1∙10∙0,5∙10-5= 0,5∙10-5. Остаточный член оценим по формуле 

                                                                     R  ,

предваритель­но определив максимальное значение второй производной функции на заданном интервале интегрирования.

f(x) = – ;

f ′′(x) = ;

     - убывающая функция, на интервале 1 ≤ х ≤ 2 наибольшее значение имеет в точке   х = 1.

 .

По формуле остаточного члена  R   получаем:

R  0,0017.

R' существенно меньше  R, поэтому можно считать R0R.

С учетом точного решения заданного определенного интеграла (см. пример 2), абсолютная погрешность чис­ленного интегрирования методом трапеций:    0,69377 - 0,69315 = 0,00062 < R.

Пример 4    Вычислить интеграл     по формуле трапеций, приняв шаг разбиения равным  

h = 0,1. Оценить погрешность.

Решение:   Воспользуемся вычисленными в примере 3 значениями функции в точках разбиения. Дополнительно определим    у10 = 1,4142. По формуле трапеций

 

получаем:

;

   (см. пример 2)

Определим модуль наибольшего значения второй про­изводной функции f (x) =  на интервале интегрирова­ния [1,2].

                                    f(x) =

f(x) =

 

 - функция убывающая, следовательно, на интервале [1,2] максимальное значение имеет в точке x = 1:

                                              .

По формуле R    имеем:

R  = 0,0002.

Итак,      = 1,2188±0,0002.

Пример 5.   Вычислить по формуле Симпсона , приняв n = 8.

Вычисление вести с шестью знаками после запятой. Оценить погрешность полученного результата, пользуясь способом удвоения шага вычислений. Сравнить результат с истинным значением интеграла, взяв последнее с одним запасным ( седьмым) знаком.

Решение:

Определим шаг разбиения:

Вычислим значения функции в точках разбиения:           

                                                

                                

Подставляем эти данные в формулу Симпсона. (3.10):


Вычислим интеграл по формуле Симпсона, удвоив шаг разбиения, т.е. при

Отсюда

Таким образом, все шесть знаков интеграла  должны быть точными. Истинное значение интеграла вычислим по формуле Ньютона – Лейбница, сохраняя семь знаков после запятой:

Сравнение значений подтверждает найденный результат.

Пример 6. По формуле парабол вычислить  приняв 2n = 8.

По первой из формул (8) находим h=(b-a)/2n=(1-0)/8=0,125. составляем таблицу значений (табл.32.1).В последней строке этой таблицы стоят числа, равные суммам чисел, находящихся в соответствующих столбцах.

(к нечетное)

(к четное)

0

0

1,00000

1,0

 

 

1

0,125

1,01563

 

 

2

0,250

1,06250

 

 

3

0,375

1,14063

 

 

4

0,500

1,25000

 

 

5

0,625

1,39063

 

 

6

0,750

1,56250

 

 

7

0,875

1,76563

 

 

8

1,000

2,00000

0,5

 

 

 

 

1,5

3,14678

2,38118

 

По формуле (7)получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задания для самостоятельного решения

                                                          Численное дифференцирование

1. Составить таблицу конечных разностей функций, задан­ных аналитически, от начального значения х0 до конеч­ного х7, приняв шаг равным h:

1.   y = х32+6х-8,                      хо = 0         h = 1;

2.   y = 2х3-8х + 20,                     хо = 0,5      h = 0,5;

3.   у = 0,5х3+2х2-Зх + 8,            xo=l            h=1;

4.   у = 5х3-Ъх+4,                        хо = 0         h = 2;

5.   y = x4-2x2+l,                          xo = 0         h = 0,5;

6.   y = x4-2x2+l0,                        xo = 0         h = 0,2;
7.y = 3(x +
l)(x-6),                     Xq = 0         h = l;

8.   y = 5(x-3)(x + 2),                   xo=1          h = l;

9.   y = x(x-1)(x + 2),                          xo = 0        h = l;

10.  y = (x-3)(x + 2)(x + 4),       xo = 0         h  = 0,5;

11.  y = 8(x-l)(x-2)(x-3),             xo = 0          h  = 0,5;

12.  y = 4(x + l)(x + 2)(x + 3),   xo = 0          h  = l;

13.  y = 3x4-x2+l,                        xo = 0          h = 0,25;

14.  y = 6x3-x2+x-l,                     xo = 0          h = 0,5;

15.  y = x3 +x2+x+l,                     xo = 0          h  = 0,5;

16. y = x3-x2-x-10,                      xo = 0          h =l;

17. y = 0,3-0,1х2-20,                хо = 0          h = 2;

18.y = 0,lx3+0,5x2+x,                   xo = 0          h  = l;

19. y= 10x3+5x + 10,                  xo = 0           h  = 0,2;

20.y = x3-3x2-x-8,                       xo=l             h  = 0,5.

2. Составить таблицу конечных разностей для функции, за­данной таблично:

21.

 

      22.

          

 

23.

 

24.

 

25.

 

26.

 

 

 

27.

 

     28.

 

29.

 

30.

3. Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках х = а + bп:

 

31. х = 2,4 +0,05n

а)n=1    б)n = 3     в) n = 5    г) n = 7,

32. х = 4,5-0,06n

а)n = 5   б)n= 7    в)n = 9      г)n=11.

33. х = 1,6 + 0,08n

а) n = 2   б) n = 4    в)n = 6      г) n = 8.

34. х = 6,3 -0,12n

а) n = 2   б)n = 3     в) n = 4      г) n = 5.

35. n = 1,2 + 0Дл

а)л = 0   б)л=1     в)л = 3      г) л = 4.

36. х = 1,5 + 0,15n

а) п = 2 б) n= 3 в) n = 4 г) n = 5.

 

 

4. Для функций, заданных таблично, найти аналитическое

выражение первой производной:

 

37.

38.

39.

40.

41.

42.

 43.

                                 

44.

45.

46.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 11.Алфавит.doc


 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 12.Глоссарий.doc

Глоссарий

 

№ п/п

Новые понятия

Содержание

 

 

 

1

Комплексное число

z = а+biгде a и b—действительные числа, а символ    i    удовлетворяет условию  i 2 = - 1

 

 

 

2

Комплексная плоскость

С =

 

 

 

3

мнимая единица

i 2 = - 1

 

 

 

4

равные  комплексные числа  

z1 = а + bi  и   z2 = с + di z1 = z2 ↔ а = с,   b= d.

 

 

 

5

чисто мнимые

z = bi   (а = 0,  b≠0)

 

 

 

6

ком­плексно-сопряженные.

z = а + bi    и     = а - bi

 

 

 

7

Сумма комплексных чисел

z1+ z2 = (а + с) + (b + d)i

 

 

 

8

Сумма комплексно-сопряжённых чисел

z += 2а (число действительное)

 

 

 

9

Вычитание комплексных чисел

z1z2 = (а - с) + (b - d)i

 

 

 

10

Умножение двух  комплексных чисел

z1· z2 = (а с− b d) + (а d + с b)i

 

 

 

11

Деление двух  комплексных чисел

=

 

 

 

12

Возведение в степень к.ч.

См. умножение.

 

 

 

13

Полярная система координат

 

 

 

14

Полюс, полярный радиус, полярный угол

О, r, φ

 

 

 

15

Полярная ось

ОР

 

 

 

16

Полярные координаты

r, φ (радиус и угол)

 

 

 

17

Модуль комплексного числа

r =

 

 

 

18

Тригонометрическая форма к.ч.

z =  r(cos φ+isin φ)

 

 

 

19

Умножение двух  комплексных чисел (Тригоном. форма)

 

 

 

20

Деление двух  комплексных чисел (Тригоном. форма)

 

 

 

21

Возведение в степень к.ч.

 

 

 

22

Корень   п-й степени из к.ч. z =  r(cos φ+isin φ)

 

 

 

23

Экспоненциальная форма комплексного (показат.)

 (формула Эйлера)

 

 

 

24

Возведение в степень

(в показат. форме)

 

 

 

 

 

25

Тождество Эйлера

  

 

 

 

26

Определитель второго порядка

Δ =  =

 

 

 

27

Определитель третьего порядка (правило Саррюса

Δ =  =

 

 

 

28

Декартовые координаты на плоскости

Координаты   х  и  у   точки   М   на координатной плоскости – это ортогональные проекции точки   М  на координатные оси.

  у

   у               М(х;у)

 

                         х

                х       

 

 

 

29

Декартовые координаты в пространстве

Координаты   х,  у   и   z точки   М   на координатной плоскости – это ортогональные проекции точки   М  на координатные оси.

                 z

                 z            М(х;у;z)

                                   y

                                       y

                 х           

           х

 

 

 

30

Вектор

Направленный отрезок, характеризуемый направлением и длиной: = АВ,  А – начало, В – конец

                        В

А

 

 

 

31

Нулевой вектор

вектор, являющийся таким перемещением пространства, при котором каждая точка пространства переходит сама в себя. 

 

 

 

32

Коллинеарные

| | ,  лежат на параллельных прямых.

 

 

 

33

Равные

= <=>      и         

 

 

 

34

Противоположные

  и    . Обозначается 

 

 

 

35

Свободный вектор

вектор, начало которого может быть совмещено с любой точкой пространства, в котором рассматривается данный вектор.

 

 

 

36

Связанный вектор

вектор, начало которого совпадает с определенной (фиксированной) точкой пространства.

 

 

 

37

Орт

Вектор    единичной длины:   ││ = 1

 

 

 

 

38

 

Линейная комбинация пространства

 

+ + … + ,     L, ,  I = 1,…n.

 

 

 

39

Проекция вектора на ось

При=                                              и

 

 

 

40

Декартовы координаты вектора

Проекция вектора на соответствующие оси координат: , где  х= Прх,  у= Пруz = Прz

 

 

 

 

41

Скаляр

величина, значение которой характеризуется одним числом без учета направления или другой какой-либо оценки.

 

 

 

42

Сколярное  произведение

·=│·cosφ,   φ = (^), - число!

·= axbx + ayby + azbz

 

 

 

 

43

Направляющие косинусы

косинусы углов α,β,γ, образуемым вектором r c единичными ортами осей координат векторов i,j,k, - cos α, cos β,      cos γ.

 

 

 

44

Векторное произведение.

Это вектор  такой что:                               

1)

2)

3)- правая тройка.

 

 

 

 

 

 

45

Смешанное произведение векторов.

 - число, равное скалярному произведению векторов, один из которых равен векторному произведению первых двух векторов, а второй равен вектору

 

 

 

46

Линейно зависимая система векторов.

 

 

 

47

Базис линейного пространства L.

- линейно независимы, 2) 

 

 

 

48

Размерность линейного пространства.

L –пространство размерности n,  если в нём существует базис из n векторов.

 

 

 

49

Ранг системы векторов.

Максимальное число линейно независимых векторов этой системы.

 

 

 

50

Уравнение линии.

Это уравнение вида F (x,y) =0 : 1) координаты точек, лежащих на линии, удовлетворяют этому уравнению; 2) координаты точек, не лежащих на линии, не удовлетворяют этому уравнению.

 

 

 

51

Угловой коэффициент прямой.

  - угол наклона прямой и оси Оx.

 

 

 

52

Направляющий вектор прямой   l

Любой вектор параллельный данной прямой;   

 

 

 

53

Вектор нормали прямой   l

Любой вектор оригинальный данной прямой:   

 

 

 

54

Вектор нормали плоскости   a 

Любой вектор оригинальный данной плоскости:  

 

 

 

55

Окружность.

Множество всех точек плоскости равноудаленных от точки О, называемой центром окружности, на расстоянии R, направляемым радиусом окружности.

 

 

 

 

56

Эллипс.

Множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

 

 

 

 

57

Гипербола.

Множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Канонические уравнения:

 

 

 

58

Парабола.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Канонические уравнения:

 

 

 

59

Матрица размера

A=- прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы. Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – aij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент aij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы.

 

 

 

60

Квадратнаяматрица

A=

 

 

 

61

Обратная матрица.

- обратная к А, если

 

 

 

62

Расширенная  матрица системы

 

 

 

 

63

Характеристическая матрица

, где  λ – характеристическое число

 

 

 

64

Нулевая матрица

матрица, состоящая сплошь из нулей.

 

 

 

65

Невырожденная матрица

квадратная матрица А порядка n, определитель которой det А отличен от нуля

 

 

 

66

Транспортированная матрица

Матрица  АТ,  полученная из матрицы  А  переменной ролями ее строк и столбцов.

 

 

 

67

Симметрическая матрица

квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. АТ  = А

 

 

 

68

Кососимметрическая матрица

Если,  АТ = - А

 

 

 

69

Элементарные преобразования строки (столбцов).

1) Перестановка местами двух строк (столбцов);

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число отличное от нуля;

3) Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и тоже число.

 

 

 

70

Минор k-го порядка матрицы.

Определитель, образованный элементами матрицы, стоящими на пересечении выделенных k строк и k столбцов определителя D  или матрицы  А.

 

 

 

71

Ранг матрицы.

Наивысший порядок миноров, отличных от нуля.

 

 

 

72

Базисный минор матрицы.

Отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы

 

 

 

73

Система линейных  алгебраических уравнений  (СЛАУ)

.

 

 

 

74

Решение  СЛАУ.

Упорядоченный набор чисел , обращающий уравнение системы в верное равенство.

 

 

 

75

Совместная система.

Система имеет хотя бы одно решение.

 

 

 

76

Несовместная система.

Система не имеет решения.

 

 

 

77

Эквивалентная система.

Множества их решений совпадают.

 

 

 

78

Однородная СЛАУ.

 

 

 

79

Неоднородная СЛАУ.

Среди свободных членов  хотя бы один отличен от нуля.

 

 

 

80

Базисные переменные.

Переменные, образующие базисный минор.

 

 

 

81

Свободные переменные.

Переменные, образующие базисный минор.

 

 

 

82

Базисное решение.

Решение системы, при условии, что свободные переменные равны нулю.

 

 

 

83

Собственные числа и собственные вектора матрицы.

- собственное число матрицы A, если   x – собственный вектор, отвечающий собственному числу .

 

 

 

84

Квадратичная форма в

где А – симметричная матрица: матрица квадратичной формы.

 

 

 

85

Положительно определенная квадратичная форма.

 

 

 

86

Отрицательно определенная квадратичная форма.

 

 

 

87

Нормальный вектор

прямая  Ахy+C = 0;  вектор  N = (А, В,), или  вектор n = (А,В,), причём  А, В одновременно не равно нулю.

 

 

 

88

Окрестность ( - окрестность) точки.

 

 

 

89

Множество

Совокупность элементов  х1;  х2 ; х3

 

 

 

90

Пустое множество

Ø (элементов нет)

 

 

 

91

Равные множества

Х=У (из одних и тех же элементов) )<=>(ХУ) ^ Х).

 

 

 

92

Подмножество

У Х

 

 

 

93

Объединение

ХUУ = {xєM:(xєA)٧(xєB)}.

 

 

 

94

Пересечение

Х∩У = {хєМ:(хєА)^(хєВ)}

 

 

 

95

Разность множеств

Х\У= {хєМ:(хєХ)^(х¢У)}

 

 

 

96

Дополнение  А до  М

А=М\А= {xєM:x¢A}.

 

 

 

 

97

Натуральные числа

Числа счёта  N

 

 

 

98

Целые

   Z=N+0+N

 

 

 

99

Рациональные

Q =,  т є Z,   n є N

 

 

 

100

Иррациональные

 = 1,412135…,

 

 

 

101

Действительные

R = Q + I

 

 

 

102

Окрестность ( - окрестность) точки.

 

 

 

103

Последовательность действительных чисел.

Функция натурального аргумента где  

 

 

 

104

Числовая последовательность

последовательность, члены которой являются числами.

 

 

 

105

Предел последовательности.

.

 

 

 

106

Первый замечательный предел

 

 

 

107

Второй замечательный предел

 

 

 

108

Левый предел

f(a–0) =

 

 

 

109

Правый предел

f(a+0) =

 

 

 

110

Б.м. последовательность.

 

 

 

111

Б.б. последовательность.

 

 

 

112

Монотонная Последовательность

невозрастающая или убывающая последовательность.

 

 

 

113

Возрастающая последовательность

 

 

 

114

Неубывающая последовательность

 

 

 

115

Убывающая последовательность

 

 

 

116

Невозрастающая последовательность

 

 

 

117

Функция

математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами.

 

 

 

118

Область определения

Все допустимые значения аргумента  х

 

 

 

119

Область изменения (множество значений)

это образ Imf при отображении f: xy или, допуская вольность, множество значений, принимаемых зависимой переменной.

 

 

 

120

Нечётная

функция f, имеющая область определения, симметричную относительно нулю, для которой справедливо равенство f (-x) = -f (x) для любого  х   из области определения

 

 

 

121

Чётная

функция f, имеющая область определения, симметричную относительно оси ординат, для которой справедливо равенство f (-x) = f (x) для любого  х   из области определения

 

 

 

122

Неявная

Функция  от  двух  действительных  переменных, удовлетворяющих  уравнению  F (x,y) = 0

 

 

 

123

Монотонная функции

Либо возрастает, либо убывает на всей области определения

 

 

 

124

Функция.

правило, ставящее в соответствие каждому xединственное число , где

х – аргумент (независимая переменная), у – функция (зависимая переменная).

область определения функции.

 

 

 

125

Область значения функции.

 

 

 

126

График функции.

 

 

 

127

по Гейне.

 

 

 

128

по Коши

 

 

 

129

Б.м. функция.

 при

 

 

 

130

Б.б.функция.

 при  

 

 

 

131

Эквивалентные б.м.

 

 

 

132

Непрерывность функции.

 

 

 

133

Непрерывность функции справа в точке x = а

если бесконечно малому приращению, независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции                

                y = f (x + ∆x) – f (x)

 

 

 

134

Приращение аргументы.

 

 

 

135

Приращение функции.

 

 

 

136

Производная функции.

 

 

 

137

Дифференцируемость.

, где А – производная функции

 

 

 

138

Дифференцирование

Нахождение производной

 

 

 

139

Логарифмическая производная.

 

 

 

140

Дифференциал.

 или

 

 

 

141

Правило Лопиталя

 

 

 

142

Формула Тейлора.

 

 

 

143

Убывающая функция

 

 

 

144

Возрастающая функция

 

 

 

145

Точка экстремума

точка, в которой функция имеет экстремум, т.е. максимум или минимум.

 

 

 

146

Максимум

 

 

 

147

Минимум

если существует окрестность такая, что для всех её точек выполняется неравенство:       f (x) ≥ f (xо)

 

 

 

148

Стационарная точка.

 

 

 

149

Необходимое условие экстремума

  f '(х) = 0 (х – точка экстремума)  или не существует.

 

 

 

150

Глобальный максимум и минимум

= f(xi);       (наибольшее и наименьшее значение)

 

 

 

151

Выпуклая  вверх

   для х1 и х2  из данного промежутка

 

 

 

152

Выпуклая  вниз (вогнутая)

   для х1 и х2  из данного промежутка

 

 

 

153

Точка перегиба

f ''(х) = 0 и при переходе через критическую точку f ''(х) меняет знак с + на −

 

 

 

154

Асимптота

ρ((x; f(x)); f(x))→ 0 при неограниченном удалении точки графика (x; f(x)) от  начала координат

 

 

 

155

Вертикальная асимптота

х = хо

 

 

 

156

Горизонтальная асимптота

y=b; 

 

 

 

157

Наклонная асимптота

y=kx+b  и 

 

 

 

158

Первообразная функция

 F , первообразная, если 

 

 

 

159

Неопределённый интеграл

совокупность всех первообразных функций для данной функции   f (x) – обозначается .  

 

 

 

160

Подынтегральная функция

     f(x)

 

 

 

161

Подынтегральное выражение

     f(x)dx

 

 

 

162

Дифференциал аргумента

dx=∆x

 

 

 

163

Интегрирование

Нахождение неопределённого интеграла

 

 

 

164

Непосредственное интегрирование (метод разложения)

Применение свойств интеграла

 

 

 

165

Замена переменной

=;              =

 

 

 

166

Интегрирование по частям

= ;                

 

 

 

167

Метод неопределённых коэффициентов

 

 

 

168

Интегральная сумма

 

 

 

169

Определенный интеграл

=

 

 

 

170

Формула среднего значения

 

 

 

171

Необходимые условия существования определенного интеграла

Если функция  f(x) интегрируема на отрезке  [a,b], то она ограничена на этом отрезке

 

 

 

172

Достаточное условие осуществления определенного интеграла

Если функция  f(x) интегрируема на отрезке  [a,b], то она ограничена на нем

 

 

 

173

Интеграл с переменным верхним пределом

 

 

 

174

Формула Ньютона-Лейбница

= F(b) – F(a)

 

 

 

175

Формула замены переменной в определенном интеграле

 

 

 

176

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

 

 

 

177

Площадь криволинейной трапеции

Если     f(x) ≥ 0  на  [ a;b] , то  S =

 

 

 

178

Площадь криволинейного сектора

 

 

 

179

Длина дуги кривой

 

 

 

180

Площадь поверхности вращения

S = 2π

 

 

 

181

Объём тела вращения

 V = π

 

 

 

 

Длина дуги кривой

  L = 

 

 

 

 

Методы приближенного интегрирования

Представление интегральной суммы в виде суммы площадей прямоугольников с равными основаниями

 

 

 

 

Метод прямоугольников

 

Представление интегральной суммы в виде суммы площадей прямоугольников с равными основаниями

 

 

 

 

Формула прямоугольников

 

 

 

 

Метод трапеций

Представление интегральной суммы в виде суммы площадей трапеций с равными боковыми сторонами

 

 

 

 

Формула трапеции

 

 

 

 

Несобственный интеграл (первого рода)

= = ; =

 

 

 

 

Сходящийся интеграл

  =b

 

 

 

 

Расходящийся интеграл

Если не существует или = ± ∞

 

 

 

 

Дифференциальное уравнение (ДУ)

F(x; y; y'; y''…y(n)) = 0 Уравнение, содержащее производную неизвестной функции

 

 

 

 

Порядок ДУ

Порядок  п  старшей производной, входящей в уравнение

 

 

 

 

Общий вид ДУ первого порядка

Уравнение вида .

 

 

 

 

ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной неизвестной функции

Дифференциальное уравнение вида

 

 

 

 

Решение обыкновенного ДУ первого порядка

Функция, имеющая производную на некотором интервале , обращающая уравнение в тождество на этом интервале после подстановки вместо неизвестной функции

 

 

 

 

Задача Кошм для обыкновенного ДУ, разрешенного относительно производной от неизвестной функции

Задача нахождения решения этого уравнения удовлетворяющего начальному условию

 

 

 

 

Начальные данные задачи для дифференциального уравнения первого порядка

Пара чисел , входящих в начальное условие задачи Коши

 

 

 

 

Решение ДУ

 у =у(х), при подстановке в уравнение обращает его в тождество

 

 

 

 

Интеграл ДУ

 Решение, заданное в неявном виде  f(x; у )= 0

 

 

 

 

Интегральная кривая ДУ

График   решения (интеграла) ДУ 

 

 

 

 

Общее решение (интеграл) ДУ  п –го порядка

Решение, зависящее от  п  независимых постоянных

 

 

 

 

Частное решение ДУ (задача Коши)

Решение, полученное при конкретных числовых значениях (начальных условиях) постоянных

 

 

 

 

Единственность решения задачи Коши для уравнения .

Свойство, заключающееся в том, что если для некоторой точки  существует решение  данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , то других решений с такими же свойствами нет.

 

 

 

 

Теорема существования и единственности решения для уравнения .

Если функция  и ее частная производная по непрерывны в некоторой области  на плоскости , содержащей точку , то существует единственное решение, удовлетворяющее условию .

 

 

 

 

Общее решение ДУ .

Функция вида  или , где -постоянные, обладающие свойством, что любое решение  указанного уравнения в области , в которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для этого уравнения, может быть получено при некотором фиксированном значении  или фиксированном наборе

 

 

 

 

Общий интеграл  ДУ  .

Общее решение указанного уравнения, записанное в неявном виде  или .

 

 

 

 

ДУ с разделяющимися переменными

Уравнение вида .

 

 

 

 

ДУ с разделяющимися переменными

f(x)dx = g(у)dу

 

 

 

 

ДУ с разделяющимися переменными

Уравнение вида .

 

 

 

 

Однородная функция порядка .

Функция вида , для которой , при всех .

 

 

 

 

Однородное ДУ первого порядка

Уравнение вида , где - однородная функция нулевого измерения

 

 

 

 

Однородное ДУ первого порядка

Если представимо в виде  у' =

 

 

 

 

Линейное ДУ

у' +  f(x) у = g(х);     f(x) и  g(х) – непрерывные функции от х

 

 

 

 

Однородное  линейное ДУ

у' +  f(x) у = 0

 

 

 

 

Уравнение Бернулли

у' +  f(x) у = g(х) у п;      п ≠ 0,  п ≠ 1

 

 

 

 

Система функций линейно зависима на интервале (a;b).

Система определенных на  функций , для которой найдутся числа , такие, что  и  при .

 

 

 

 

Система функций линейно независимая  на интервале (a;b).

Система определенных на  функций , для которой из соотношения ,  следует, что .

 

 

 

 

Линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

у'' + ру' + qу = r(х)

 

 

 

 

Характеристическое уравнение

λ2 + рλ + q = 0 ,  где λ - переменная

 

 

 

 

Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Метод нахождения частного решения  неоднородного дифференциального уравнения в виде суммы , где  фундаментальная система решений данного уравнения.

 

 

 

 

Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Представление любого решения  неоднородного уравнения в виде суммы частного решения - этого уравнения и линейной комбинации           фундаментальных решений данного однородного уравнения, где - производные постоянные.

 

 

 

 

 

Характеристическое уравнение для ДУ  второго порядка постоянными коэффициентами.

Уравнение

 

 

 

 

Принцип суперпозиции для решения неоднородного уравнения.

Представления решения уравнения в виде суммы решений соответствующих слагаемых в правой части этого уравнения.

 

 

 

 

Система дифференциальных уравнений.

Совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные.

 

 

 

 

Нормальная система дифференциальных уравнений.

Система уравнения вида

 

 

 

 

Общее решение нормальной системы уравнений.

Функции вида

 где - производные постоянные.

 

 

 

 

Начальные условия.

Условия, при которых из большого решения выделяется частное решение

 

 

 

 

Теорема существования и единственности частного решения.

Если правые части нормальной системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности точки с координатами , то в достаточно малом интервале  существует единственная система функций , являющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.

 

 

 

 

Линейная однородная система ДУ  с постоянными коэффициентами.

Система уравнений вида

 

 

 

 

ДУ показательного роста

 

 

 

 

ДУ  свободного гармонического колебания

   или    .

 

 

 

 

Теория вероятностей

математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

 

 

 

 

Размещение

 Размещением из n элементов по k называется всякое линейно упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов множества из  n элементов

 

 

 

 

Математическая   статистика

раздел математики, посвященный математическим методом систематизации, обработки и исследования статических данных для научных и практических выводов.

 

 

 

 

Математическое ожидание

M(X) = x1p1+x2p2+ … +xnpn        хi – значения случайной величины   Х,   рi – их вероятности

 

 

 

 

Дисперсия (рассеяние)

D(X) =M(X 2) – (M(X)) 2     - разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины  Х  и  квадратом её математического ожидания.

 

 

 

 

Момент случайной величины X  k-го порядка

М (XA)k

 

 

 

 

начальный момент

mk = М(X –0)k

 

 

 

 

Центральный момент

mk = М(X – М(Х))k

 

 

 

 

Случайное событие

событие, которое может произойти, а может и не произойти.

 

 

 

 

Сочетание из n элементов по k

подмножество, состоящее из  k   элементов   множества из n  элементов.

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 13.СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ математических терминов.doc

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Множества:

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

No — множество неотрицательных целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел, числовая прямая;

R+ — множество положительных действительных чисел;

{а, b,...} — множество, состоящее из элементов а, b,...;

Ø — пустое множество.

Промежутки и интервалы:

[а, b] — замкнутый промежуток (отрезок) с началом   а  и концом b, причем а < b; точки

              а и b принадлежат промежутку;

(а, b) — интервал с началом а и концом b, причем а < b; точки а и b не принадлежат

               промежутку;

(а, b] — полуоткрытый интервал (открыт слева) с началом а и концом b, причем а < b;

              точка b принадлежит промежутку, а точка  а  нет;

[а, b) — полуоткрытый интервал (открыт справа) с началом а и кон­цом b, причем а < b;

               точка а принадлежит промежутку, а точка b нет;

[а, + ∞) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча;

(а, + ∞) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча не включается в промежуток);

(-∞, + ∞) — бесконечный интервал (числовая прямая).

Знаки:

    < ; > ; ≤; ≥ —сравнения (меньше, больше, меньше либо равно, больше либо равно);

=> — следования;

<=> — равносильности (эквивалентности);

 — принадлежности;

— не принадлежности;

— включения одного множества в другое, возможно совпадение множеств;

U — объединения множеств;

∩ — пересечения множеств;

∫ — интеграла;

    сумма;

     произведение;

 — угла; 

 — перпендикуляра;

|| — параллельности;

S— площади поверхности;

 V— объема тела;

— векторы;

||, ||, ;—длины векторов;

(а - έ; а + έ)έ-окрестность точки а;

(а; b) — упорядоченная пара;

— векторное произведение векторов  и ;

ƒ — преобразование (функция)ƒ;

f(x) — образ точки  х  при преобразовании ƒ;

f(x0) — значение функции ƒ в точке х0;

D(f) — область определения функции ƒ;

E(f) — множество значений функцииƒ;

Е — тождественное преобразование;

(х) — преобразование, обратное к ƒ,

п! — произведение первых  п  натуральных чисел;

Рn — число перестановок из п элементов;

— число размещений из п элементов по т;

— число сочетаний из п элементов по т;

(an) — бесконечная последовательность;

 = а — число а является пределом последовательности (хп);

∆х — приращение переменной х; ∆ƒ(x)— приращение функции ƒ в точке х0;

 = b — число b является пределом функции ƒ при  х, стремя­щемуся к  а;

ƒ '(х0) — производная функции ƒ в точке х0;

 ƒ"(х0) — вторая производная функции ƒ в точке х0;

dy = df(x) — дифференциал функции у =ƒ(х) в точке х;

— интеграл функции  ƒ в пределах от а до b;

z/х ; z/y — частные производные функции ƒ(х, у);

eхрa х — показательная функция с основанием a;

е — основание натурального логарифма;

еxр х — показательная функция с основанием e;

lg — десятичный логарифм;

ln — натуральный логарифм (логарифм с основанием е);

▲ — начало доказательства;

▼ — конец доказательства.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 14.Таблица основных интегралов.doc

Таблица интегралов

 

1.     

2.     

3.     

4.        (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

5.     

6.      .

7.     

8.     

9.     

10. 

11.  .

12. 

13. 

14. 

15. 

16.                                      22.

17.                                       23.

18.                                   24.

 

19.                                        25.

 

20.                                  26.

 

21.                                         27.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 15.Таблица производных.doc

4.1.8.   Таблица производных

1.   (c)'=0,   где    с - постоянное число;

2.   ,  , в частности: 

       х' = 1;              (х2 )'  =  2х;         (х3 )'  =  3х2;            ;          ;

                      .

3.                  в частности:   (ex)' = ex;

4.               в частности:   (ln x)' =  .

5. 

6.  

7. ;

8.  ;

9.  

10. ;

11. 

12.   

 

ПРАВИЛА  ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

 

                              При условии  v ≠ 0  имеем:

Правила дифференцирования:

1.  с' = 0

2.   

3

4.  

4.  ',       

5.  ',

6,

7.   ,

8.   ,

       где   у = g(x) 

 

                                                                                                                                                             

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Методист-разработчик онлайн-курсов

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 2.Тема 1.2.-1.3. Производная. Приложение производной. ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

 

Тема 1.2.  Производная

1.1. Скорость изменения функции

 

Основными понятиями математического анализа являются функ­ция, предел и непрерывность, производная и интеграл, дифференциаль­ные уравнения и др. С понятиями функции, предела и непрерывности мы познакомились в разделе 1 (глава2). Здесь же мы разовьем теоретические осно­вы понятия производной: дадим ее определение, изучим ее свойства, выведем правила вычисления производной для многих функций, нау­чимся применению производной для исследования функций и построе­ния их графиков и т. п.

Различного рода физические процессы, которые математически могут быть представлены в виде зависимостей между двумя переменными х и у, в общем виде записываются функцией

выражают процесс изменения переменной величины у в зависимости от изменения переменной х.

Задачи вычисления скорости и ускорения движуще­гося тела и построения касательной прямой к некоторой линии привели к понятию производной.

 

1. Задача об определении скорости движения материальной час­тицы.

Пусть некоторая материальная частица движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t), т. е. известно расстояние s(t) от части­цы до некоторой начальной точки отсчета в каждый момент времени t. Через время ∆t, т. е. в момент времени t + t частица окажется на рас­стоянии s(t  + ∆t) от начальной точки или пройдет расстояние ∆s = s(t + t) - s(t). Тогда средняя скорость частицы на отрезке [s(t), s(t + t)] пути будет равна отношению пройденного пути к промежутку времени,

за который частица прошла расстояние ∆s, т. е. будет равна .

Очевидно, что в общем случае средняя скорость Ucp движения на разных промежутках различна. Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее средняя скорость движения характеризует это движение в момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении ∆t к нулю на­зывают скоростью движения частицы в данный момент времени. Обо­значив скорость движения частицы в момент времени t через U(t), будем иметь:

 

                                                 (1)

 

Таким образом, задача об определении скорости движения матери­альной частицы в данный момент времени t приводит к пределу (4.1).

 

2. Задача о скорости химической реакции.

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Коли­чество этого вещества Р изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от t. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Р, тогда отношение будет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения, т. е.  - скорость химической реакции в данный момент времени t (мгновенную скорость).

 

 

3. Задача определения скорости радиоактивного распада.

Если т - масса радиоактивного вещества и  t — время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса ра­диоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризу­ется функцией т = m(t).

Средняя скорость распада за время  t выражается отношением

 

,

 

а мгновенная скорость распада в момент времени t

 

,

 

Таким образом, задачи 1-3 привели нас к понятию предела отно­шения приращения функции в какой-то точке к приращению аргумента.

Вычисление скорости изменения функции проводится по следующему  общему правилу:

I. Изменение аргумента х на некоторую величину вызовет изменение функции   у   на величину  т.е.

II. Находится приращение функции соответствующее приращению аргумента:

                                                                              

III. Средняя скорость изменения функции  у  для промежутка значений аргумента от  х  до  выражается отношением

Отношение  показывает, сколько единиц приращения функции приходится на единицу приращения аргумента.

IV. Мгновенная, или истинная, скорость   υ  изменения функции при данном значении  х есть предел, к которому стремится средняя скорость    при →0   в промежутке изменения аргумента от х   до  , т.е,

.

Для линейной функции   y=kx+b   средняя скорость  и истинная скорость  совпадают по величине и численное значение истинной скорости равно коэффициенту k.

Пример 1.   Найти среднюю скорость изменения функции  при изменении х от х1=3 до х2=3,5.

Решение. 1-й способ. 1. Найдем приращение аргумента:

2. Определим значения функции при х1 и х2:

         

3. Вычислим приращение функции

4. Отыщем среднюю скорость изменения функции

2-й способ. 1. Вычислим среднюю скорость изменения функции при любом значении аргумента по общему правилу:

I.  

II    ;

 

III 

2. Найдем приращение аргумента:

3. Определим  при   х=3   и   

Ответ.     19,5.

Пример 2. Прямолинейное движение точки задано уравнением  s = 3t2-2t+5, где t дано в секундах и   s   в метрах. Найти скорость движения точки в момент  t = 5 с.

Решение. 1. Найдем среднюю скорость движения точки:

I.

   II

            +2t − 5 = ;

      

   III

                    2. Найдем истинную скорость движения точки в момент времени   t1

    IV.    

                    3. Найдем скорость движения точки в конце 5 с:

Рассмотрим теперь этот случай с чисто математической точки зрения.

 

1.2.Определение производной функции

 

Пусть функция  определена в некоторой окрестности  точки  (включая саму точку  )

Придадим аргументу   в точке  произвольное приращение  такое, что точка . Тогда функция   получит приращение см. рис. 1.

  f(x)                        В                  Дадим одно из важнейших понятий математического анализа: понятие производной.

                 А             ∆у            Определение 1.  Производной функции  в точке    

 f(xo)              ∆х      С              называется предел отношения приращения функции в этой точке к

                                                 вызвавшему его приращению аргумента,  когда приращение

                 хо         х=хо+∆х        аргумента стремится к нулю, (при условии, что этот предел

Рис. 1.                                     существует).

                                                    

Таким образом, производная функции  есть некоторая функция , производная (т.е. полученная по определённым правилам) из данной функции.                                          

Производную функцию   в точке  обозначают одним из символов:

Итак, по определению

                                                             (2)

Или короче

                                                                                                                                           (3)

Чтобы предел (4.3) был определен, необходимо, чтобы отношение  было определено для всех х ≠ х 0 из некоторой окрестности точки х0, а для этого необходимо, чтобы и сама функция была определена в неко­торой окрестности точки х0 включая эту точку.

Таким образом, функция может иметь производную в точке х0  только тогда, когда функция определена во всех точках некоторой окре­стности х0.

 

Определение 2. Функция у = f(х) имеет производную в интервале (а, b), если она имеет производную в каждой точке х    (а, b) данного интервала.

Определение 3.  Функция, имеющая производную на множестве  Х (в интервале (а, b) ), называется дифференцируемой на этом множестве (в этом интервале).

Определение 4.  Процесс нахождения производной  f ' от данной функции f   называют дифференцированием

Из определения 1 следует правило нахождения производной функ­ции у = f(х) в точке х0, которое состоит в последовательном выполнении следующих четырех операций.

1.      Находим значение функции в точке х0 + ∆х:

.

2.      Находим приращение функции:

.

3. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

.

4. Находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

.

 

Определение 2.  Функция, имеющая производную на множестве  Х, называется дифференцируемой на этом множестве.

Определение 3.  Процесс нахождения производной  называют дифференцированием

Пример 1.  Найти ∆у, если   у = х3,      хо = 1,   ∆х = 0,1.

Решение.     = (хо+ х)3хо3 = ( 1+0,1)3 − 13 = 1,13 − 1 = 1,21 − 1 = 0,21.

Ответ.  0,21

 

Пример 2.   Найти  ∆у   и   ∆х, если  ,  ≤ х ≤.

Решение.    ∆х =  = ;    

 = (+) = =.

Ответ.       

Пример 3.   Вычислить  производную функции  y = ctg x  в точке хо =.

Решение.  По определению производной имеем   = = = = =

= .

;                        .

Ответ.      .

 

1.3. Непрерывность дифференцируемых функций

 

Пусть функция у =f(х) дифференцируема на интервале (а, b), тогда ее производная в некоторой точке   хо  этого интервала определяется ра­венством

 

.

Отсюда следует, что при и, следовательно, отношение отличается

от производной на бесконечно малую величину , где  при . Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1. Если функция дифференцируема в точке хо, то ее приращение в этой точке выражается формулой , где , когда

 

Следствие. Если функция дифференцируема в точке хо, то она непрерывна в этой точке, т. е. .

Действительно, нам известно, что

           

    где .

 

Отсюда          

 

Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной, т.е. не каждая непрерывная функция дифференцируема. Про­стейший пример представляет функция         у = |х|, которая, как известно, имеет излом в точке х = 0 и, тем самым, в этой точке не имеет произ­водной.

Эта функция непрерывна при х = 0, но не является дифференцируемой для этого

Рис. 2.

значения, так как в точке х = 0 графика функции не существует каса­тельной. Покажем, что функция  в точке  не имеет производной. 

Так как f(х)=х при х>0   и   f(х)= при х < 0 (рис. 2), то, используя значение производной для линейной функции, получим

 

Т.к. еслии поэтому

Если  то  и поэтому

 

Следовательно, функция f(х) = | х | не имеет производ­ной в точке х = 0.

Заметим, что производная y' = f '(x) непрерывной функции у = f(x) сама не обязательно  является  непрерыв­ной. Если функция f(x) имеет непрерывную производную f '(x) на промежутке (а, b), то функция называется гладкой на этом промежутке. Функция f(x), производная которой f '(x) допускает лишь конечное число точек разрыва, и притом первого рода, на данном промежутке (а, b), называется кусочно гладкой на этом промежутке

Существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы ни в одной точке области определения. Построение таких функций вы­ходит за рамки нашей программы. Здесь мы ограничимся лишь рас­смотрением, в основном, дифференцируемых функций.

   З а м е ч а н и е. Из доказанной теоремы 1.1   следует, что если функция не является непрерывной а некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной, т.е. непрерывность в точке необходимое условие дифференцируемости в точке. Однако следует заметить, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т. е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

 

1.4.  Дифференцирование некоторых явно заданных функций

Производная функции   y = f(x)   может быть найдена по сле­дующей схеме:

1)         аргументу   х   даем приращение ∆х ≠ 0 и находим для функции   у   соответствующее приращенное значение у +∆y = f(x+∆x);

2)       вычитая из нового значения функции у + ∆у ее прежнее значение   у = f(x), получаем приращение   ∆у   функции;

3)       составляем отношение    ;

4)   находим   предел  этого  отношения при условии, что ∆х→0.
Результат предельного перехода   и  является   производ ной  у'   от функции  у  по аргументу   х, если, конечно, он существует.

Пример.  Найти частное значение производной функции   y = 2x2–3x    при  х = 3.

Решение. 

      I.    

     II.   

           = =

            = 4х∆х + 2(∆х)23∆х

           

     III.     ;

     IV.     

Найдем значение производной при  х = 3;

Пользуясь этой схемой, найдем производные некоторых простейших функций:

 

I. Производная постоянной функции  с,  где с=const  любое число числовой оси.

 

Пример 1.       - постоянная функция .

Решение.    Для любого значения аргумента  найдем

для любого приращения аргумента ,  поэтому

Т.е. производная постоянной функции равна нулю в каждой точке числовой оси. Таким образом,

                                                                                                                                                      (4)

Теорема 1.2.   Производная постоянной (константы) равна нулю.

 

II. Производная от степени хп, где п целое по л о ж и т е л ь н о е число.

 

Пример 2.       , - натуральное число.

Решение.   Согласно биному Ньютона имеем

=

                                   = .

Откуда при   получим    .

При  все слагаемые правой части, содержащие множитель в степени с натуральным показателем, стремятся к нулю, то

б.м. при

таким образом

                                                                              ,                                                         (5)

Теорема 1.3.   Производная от целой положительной степени независимой переменной равна показателю степени, умноженному на основание в степени на единицу меньше.

В частности при   т = 1   получаем                                                                             

                                                                               ,                                                                   (6)

т.е.   производная  независимой переменной равна единице.

Имеем также

                                                               ,       .                                                  (7)

Формула  (5) справедлива для любого действительного постоянного показателя   п  (в частности для дробного)

Пример 3.   . Найти

Решение. (Первый способ)   ()' = .

                                                                            ()' =                                                            (8)

(Второй способ; по определению производной).  

 I.    

II.          

III.  ;

IV.  

=

Таким образом,    ;     

 

 

Пример 4.       , где аргумент   х ≠ 0.

Решение.      Используем формулу (4):

                                                        .

 

 

Таким образом,                                                                                                              (9)

Пример 5.       , где аргумент   х ≠ 0.

Решение.      .

Таким образом,                                                                                                               

III. Производная от    

 

Пример 6.       , где аргумент   х   выражен в радианной мере

 Решение. Так как    ,     где  - б.м. при ,  → , а функция  непрерывна: , то        

Итак,

                                                                                                                                      (10)   Теорема 1.4.   Производная от синуса независимого аргумента  равна косинусу этого же аргумента.

 

IV. Производная от    

Пример 7.       ,  где аргумент   х   выражен в радианной мере

Решение. Так как    ,     где  - б.м.   при ,       → , а функция  непрерывна: , то  

и                                                                                                                               (11)

Теорема 1.5.   Производная от косинуса независимого аргумента  равна синусу этого же аргумента, взятому с противоположным знаком.

 

V. Производная от показательной функции   ах.

 

Пример 8.     

Решение.  По определению производной

 

 

Заменим    а∆х1 = т,   тогда     а∆х = т + 1,   loga а∆х = loga(m+1),  ∆х = loga(m+1), тогда, учитывая, что  при   ∆х→ а∆х 1,   т 0,   имеем   

= .

Таким образом,

                                                                                                                                     (12)

                                           и                                                                                               

Последняя формула показывает замечательное свойство числа :  показательная функция   с основанием         имеет производную, совпадающую с самой функцией. Этим объясняется преимущественное использование числа   в качестве основания степени и основания логарифмов (натуральные логарифмы).

Теорема 1.6.   Производная от показательной функции  равна произведению данной функции на натуральный логарифм основания функции.

 

V I. Производная от    логарифмической функции

Пример 9. ,

Решение.  Применим свойства логарифмов и определение производной.

Тогда·· loga e =· = .

Итак,

                                                                                                                                  (13)                        

                                            и                                                                                              (14)

Теорема 1.7.   Производная от логарифмической функции от независимой переменной  равна обратной величине этой  независимой переменной, делённой  на натуральный логарифм основания функции

 

1.5.          Основные правила дифференцирования функции

 

Теорема 1.8.   Пусть функции     и   определены в некоторой окрестности точки  хо   и дифференцируемы в самой точке   логарифмов   хо. Тогда их  сумма   , произведение     и частное  если знаменатель не обращается в нуль, имеют производные в точке хо, равные соответственно:

 

      1.  ()'=                                                                                                                                           (15)           

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функ­ций   равна   такой   же   алгебраической   сумме производных этих функций.

 

 

 

()';                                                                                                                  (16)                                                                                                        

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна про­изведению первого сомножителя на производную второго плюс произведение второго сомножителя на производную первого.

Следствие 1.     Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

В самом деле, если с — постоянный множитель, то имеем

и)' = си' + с' и,   но   с' = 0,   значит,

                                                           (си)' = си'.                                                      (17)

Следствие 2.   Если   у =  и·v·w,  где   и, v   и  w  - дифференцируемые функции от  х, то

у' = (и·v·w)' =(и·v)· w' + (и·v)'· w =и·v· w' + w (и'·v + и·v') = и·v· w' + w и'·v +  w·и·v' = и'·v w +  и·v'·w + и·v· w',

т.е. производная произведения, нескольких дифференци­руемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомножителей на все остальные.

  1. .                                                                                                             (18)   Если числитель и знаменатель дроби дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в  нуль, то  производная дроби равна также дроби, числитель  которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную  числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Следствие 1.   Если знаменатель  дроби постоянная  вели­чина, то  ,

т.е.                                                           .                                                                                   (19)

Следствие 2.    Если числитель дроби постоянная величина, т о     

                                                                                                                                                                              ,  

т.е.                                                        .                                                                                (20)

Пример 1.    Найти производную от функции  у = 2 − х + х2.

Решение.  Применим теорему 1.3   и правило дифференцирования (15):

                           у' = (2 − х + х2)' = (2)' − (х)' + (х2)' =  0 – 1 + 2х = 2х - 1.

Ответ.    2х – 1.

Пример 2.    Найти производную от функции  у =  х2.

Решение.  Применим теоремы1.3  и 1.4    и правило дифференцирования (16):

                           у' = (х2)'·+ х2 ·()' =  2х+ х2 ·.

Ответ.    + х2 ·.

Пример 3.    Найти производную от функции  у =.

Решение.  Применим теорему 1.3   и правило дифференцирования (18):

у' =

Ответ.   .

 

Пример 4. Найти у' если у = (х + 4) (х - 9).

Решение. (Первый способ).  Обозначив  f(x) = х + 4   и   g(х) = х - 9,   по формуле (16) будем иметь

у' = (х+4)'(х–9) + (х+4)(х–9)' = (1+0)(х–9) + (х+4)(1–0) = х – 9 + х + 4 = 2х–5.

(Второй способ).   Раскроем скобки: 

                                  у = (х + 4) (х - 9) = х2 + 4х – 9х – 36 = х2 – 5х – 36.

По формуле 4.15  и следствию из теоремы и теоремы 1.3 имеем

                                 у' = (х2 – 5х – 36)' = (х2)' – (5х)' – (36)' = 2х – 5 .

Ответ.    2х – 5 .

Пример 5.    .

 Решение.    Применим формулу (18):

Ответ.   

Итак,                                                           (tgx)' =                                                              (21)

Пример 6. .

Решение.  Используем формулу (4.18):

 Ответ.       .

Итак,                                          

                 (ctgx)' =                                                                                                               (22)                                  

Пример 7.       , где аргумент   х ≠ 0.

Решение.     По формуле (18)  имеем:       .

Таким образом,                                  

                              

 Ответ.     .

Пример 8.       , где аргумент   х ≠ 0.

Решение.     По формуле (20)  имеем:       .

Таким образом,                                       

                               .                                                           

Ответ.     .

Пример 9. Найти    у',      если      у =.

Решение.   Применим формулу  (20), получим:    у' = .

Ответ.  

Сведём все правила дифференцирования в следующую таблицу:

 

                       При условии  v ≠ 0  имеем:

Правила дифференцирования:

                 1.  с' = 0

2.   

3

4.  

4.  ',       

5.  ',

6,

7.   .

 

 

1.6. Производная сложной функции.

 

Теорема 1.9.   Пусть функция  дифференцируема в точке   хо, а функция    дифференцируема в точке  Тогда сложная функция  дифференцируема в точке хо  и справедлива формула (правило дифференцирования сложной функции)

      Действительно, функция  дифференцируема в точке   хо, поэтому

                                                                  ,                                       (23)

где  - б.м. при , а в силу непрерывности функции  в точке х0 имеем , т.е.  - б. м. при .

      Далее, функция  дифференцируема в точке  поэтому

                                                                   ,                                  (24)

      где  - б. м. при  . Учитывая, что приращение ∆у зависит от ∆х, то функция  зависит от ∆х как сложная функция  - б. м. при .

Подставим представление (4.23) в формулу (4.24), получим

,

 где функция  есть б. м. функция при  как сумма трех б. м. функций. Поэтому последнее равенство примет вид

,

 но это и означает, что сложная функция  - дифференцируема в точке  и

                                                                

    

 

Сформулируем правило нахождения производной сложной функции  , где   и   y = f(x)  (в этом случае переменную у называют промежуточной переменной).  Производная сложной функции  равна производной  функции  по промежуточной переменной    у, умноженной на производную промежуточной переменной  по независимому аргументу х:

                                                                                         (25)

Кратко это можно выразить так:

     ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ функции равна произведению производных от функций, ее составляющих.

 

Пример 1. Найти производную сложной функции ,

Решение.   Обозначив        и    ,    .

Тогда, используя формулу (4.25), получим: .

Ответ.    .

В дальнейшем при дифференцировании сложной функции не будем явно выписывать промежуточные переменные.

 

Пример 2.   Найти производную сложной функции   у = cos (ах + b).

Решение.   Используем формулу дифференцирования сложной функции  (25):

 

(cos (ах + b))' = - sin (ax + b)(ax + b)' = -sin (ах + b)·а = - a sin (ах + b).

 

Ответ.    - a sin (ах + b).

 

Пример 3.   Найти производную сложной функции   y = tg 6 x.

Решение.   Ясно, что .

Ответ.     

Пример 4.   Найти производную сложной функции   Вычислить её значение в точке  х = 1.

Решение.  Положив  , получим . По формулам (8)  и  (25) имеем:

                                          

                                         

Ответ.      .

 

1.7.          Производная обратной функции.

 

Теорема 1.10.  Пусть функция  y = f(x)  монотонна (возрастает или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки хо и имеет в точке хо  производную . Тогда обратная функция  имеет в точке  производную

.

Другими словами:      Для дифференцируемой функции, с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

ДоказательствоДействительно  y = f(x) − f(x0) = yy0   и  , т.е.   y   с одной стороны - приращение функции  y = f(x),  а с другой - приращение аргумента обратной функции

. Аналогично,  вытекает как приращение аргумента   х   и как приращение обратной функции. В силу непрерывности обеих функций имеем , а в силу монотонности  . Учитывая все это, получим

,

 

 Кратко это можно записать так: если y=f(x) и x=x(y) взаимно обратные функции и  , то

                                                                                                                                            (26)                                                            

 Пример 1.  Доказать, что производные функций   y=arctg x   и   y=arcsin x  равны соответственно  

                            (arctg x)' =        и       (arcsin x)’=.                                             (27)

Решение.  1)  Так как   x = tg y  - обратная  к   y = arctg x  функция, то по формуле (26) получим

                                               .

2)  Имеем    функцию  у = arcsin x,   следовательно,  ей обратная    функция   х = sin у.  По формуле производной обратной функции (26) находим

                                             =.

Ответ.    1) ;      2)   .

Пример 2.   Найти производную для функции, обратной    у = f(x) = 3 – 5х.

 

Решение. Вычислим производную f(х):               f'(х) = (3 –5х)' = –5.

Для обратной функции  будем иметь .

Ответ.     .

 

Пример 3.   Найти производную функции у = loga x  в точке  х = 2 .

Решение.   Обратной служит функция   х = ау. Поэтому

 

                        

Ответ.     .

 

 

1.8.   Таблица производных

1.   (c)'=0,   где    с - постоянное число;

2.   ,  , в частности: 

       х' = 1;    (х2 )'  =  2х;    (х3 )'  =  3х2;       ;        ;       .

3.           в частности:   (ex)' = ex;

4.        в частности:   (ln x)' =  .

5. 

6.  

7. ;

 

8.  ;

9.  

10. ;

11. 

12.   

2.1.          Производные  высших порядков

 

Определение 1.   Производная от первой производной называется производной вто­рого порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается   у", или f"(х), или

Итак, 

                                                               f ''(x) = (f '(x))'                                              (28)

Пример 1. Для  функции   у = х 4  найти   у''.

Решение.   Найдём     у' =(х4)' = 4х3 , поэтому вторая производная функции   у   будет

                                    .

Ответ.   

Определение 2. Производная от производной второго порядка, если она суще­ствует, называется производной третьего порядка или третьей про­изводной и обозначается так  у'",  f "'(х) или ,   т. е. 

                                                     у'"  =    

      Итак,                                                        f "'(х)= (f "(х))'                                              (29)

 Например, для функции у = х 4 третья производная    у'" = (х4)′′′ = (у")' = (12х2)' = 24х.

 

Определение 3. Производной п-го порядка от функции f(х) называется производная (первого порядка) от производной (п - 1)-го порядка, которая обозначается  или , или

Производные высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр, например …     или   обозначается  числом в скобках:    у(4)– производная четвёртого порядка и т.д.

При вычислении высших производных используются все изученные правила дифференцирования. Приведём лишь формулу Лейбница, обобщающую правило нахождения производной произведения двух функций.

          Пусть  y =uv,  где  u = u(x)  и   v = v(x) имеют производные до порядка   n  включительно. Тогда справедлива формула Лейбница: 

                                                                                

y(n) =(uv)( n) =                                              (30)

        В частности,

                          y׳׳ = (uv)׳׳ = u׳׳ +2 + uv׳׳.

                         у''' = u׳׳׳ v + 3u׳׳ + 3 v׳׳ +  uv׳׳׳.

Пример 2. Пусть у = sin x. Тогда имеем последовательно

y' = cosx,   у" = sin х,    у'" = cos xyIV = sinx,   ...

Пример 3.  Для функции у = (2х + 8)(х8 + х6) найти  у VI.

Решение.   Первый  способ (непосредственно):

у' =((2х + 8)(х8 + х6))' = (2х + 8)(х8 + х6) + (2х + 8)(х8 + х6)' =2(х8 + х6) + (2х + 8)(8х7 + 6х5) = 2х8 +

+ 2х6 + 16х8 +12х6 + 64х7 + 48х5 = 18 х8 + 14 х6 + 64 х7 + 48 х5 ;

у'' =(18х8 + 14 х6 + 64х7 + 48х5)' = 144 х7 + 448 х6 + 84 х5 +240 х4;

у''' = (144 х7 + 448 х6 + 84 х5 +240 х4)' = 1008 х6 + 2688 х5 + 420 х4 + 960 х3 ;

уIV = (1008 х6 + 2688 х5 + 420 х4 + 960 х3)' = 6048 х5 + 13440 х4 + 1680 х3 + 2880 х2;

уV = (6048 х5 + 13440 х4 + 1680 х3 + 2880 х2) = 30240 х4 + 53760 х3 + 5040 х2 + 5760x;

уVI = (30240 х4 + 53760 х3 + 5040 х2 + 5760x)' = 120960 х3 + 161280 х2 + 10080x + 5760.

Второй  способ (используя формулу Лейбница):

уVI = (2х + 8) VI (х8 + х6) + 6(2х + 8)V (х8 + х6)' + 15(2х + 8)IV (х8 + х6)'' + 20(2х + 8)''' (х8 + х6)''' +

+15 (2х + 8)'' (х8 + х6) IV + 6(2х + 8)' (х8 + х6)V + (2х + 8) (х8 + х6)VI = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +

+ 6·2· (6720х3 + 720х) + (2х + 8)(20160х2 + 720) = 80640х3 + 8640х + 40320х3 + 161280х2 +

+ 1440х + 5760 = 120960 х3 + 161280х2 + 10080x + 5760.

Ответ.   120960 х3 + 161280 х2 + 10080x + 5760.

Напомним, что  ,       k = 0, 1, 2, … , п,  пN.

Например,    .

Пример 4.   Пусть   y = x2 e3x.   Найдём     y(10)  .

Решение.  Положим    v = x2    и   u = e 3x. Тогда находим    v¢ =2x, v¢¢ = 2,   a      v(k) = 0,   k ³ 3.

Далее, u¢ = 3e3x, u¢¢ = 32e3x ,…., u(k) = 3ke3x, в частности, u(8) = 38 e3x, u(9) = 39 e3x , u(10) = 310 e3x.

 

По формуле Лейбница получим

 

y(10) = (uv) (10) =  0 + …+0 = 310 x2 e3x  +10·39·e3x·2х+   + 45·38 e3x ·2 = 3 8 (9x2 +60x +90) e3x = 39 (3x2 +20x +30) e3x

Ответ.   39 (3x2 +20x +30) e3x

 

 

3.1.  Физические приложения производной первого и второго порядка

 

Пусть тело движется по закону . Известно, что при  прямолинейном движении точки скорость  в данный момент  (мгновенная скорость)  равна первой про­изводной    s' =  от пути    по времени , вычисленная для данного момента .

                                                                                                           (31)

 

Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону  В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?

Решение.   1. Определим скорость движения точки в любой момент времени t:

2. Зная, что  , найдем t:   с.

Таким образом,  в конце третьей секунды скорость точки равна нулю.

Ответ.    3 сек.

 

Пример 2. Закон изменения температуры T тела в зависимости от времени t задан уравнением .С какой скоростью нагревается это тело в момент времени с?

Решение. При нагревании тела его температура изменяется в зависимости от времени, т. е. Т есть функция времени:  Скорость нагревания тела есть производная  температуры Т по времени t:

Итак,   в момент времени  с   тело нагревается со скоростью 4 градуса в секунду.

Ответ.        4 град/сек.

 

Пример 3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону  Найти кинетическую энергию тела через   4 с   после начала движения.

Решение.    1.  Найдем скорость движения тела в момент времени t:

2. Вычислим скорость тела в момент с:

м/с.

3. Определим кинетическую энергию тела в конце 4 с, зная, что    :

(Дж).

Ответ.    3125 Дж.

 

 

Пример 4. Количество  электричества,   протекающее  через   проводник, начиная с  t = 0, определяется   по  формуле  Q = 0,5t3 + 0,2t2 + t  +1 (Q – в кулонах, – в  секундах).   Найдите   силу тока   при  t =10.

 Решение.  Сила тока – производная от количества электричества равна 

                                               I = Q' = (0,5t3 + 0,2t2 + t  + 1)' =1,5 + 0,4 t + 1.

                                        I(10) = 1,5·102 + 0,4·10 + 1 = 150 + 4 + 1 = 155 A

Ответ.   155 A.

 

Пример 5.    Угол поворота шкива в зависимости от времени определя­ется равенством        φ = 2t2 + 3t 3 (φ − в радианах, t – в секундах). Найдите угловую скорость вращения в момент времени  t = 7.

 Решение.   Вычислим  угловую скорость вращения:

                                           w = φ'(t) = (2t2 + 3t 3)' = 4t + 3.

                                          w(7) = 4·7 + 3 = 31 (рад./сек).

 Ответ. 31 (рад./сек) .

Пример 6.   Тело,   брошенное   вертикально   вверх,    движется   по   закону    , где  – начальная  скорость, g – ускорение  свободного   падения  тела. Найти скорость движения тела в любой момент времени   t. Определить, сколько времени тело будет подниматься и на какую высоту оно поднимется, если = 80 м/с.

Решение. По формуле (4.33) находим

                         .

Так как в наивысшей точке подъема скорость тела равна нулю, то   ,

откуда  t =  =  8,2 (с).

За время    t =  секунд тело поднимается на высоту 

s = 80· − ·326,5 (м)

Ответ.   ;   326,5 м.

 

 

Физическое значение производной второго порядка. Мы видим, что с помощью

производной первого порядка можно найти скорость движения. Покажем, что для того, чтобы вычислить ускорение движения, надо воспользоваться производ­ной второго порядка.

Пусть закон движения точки М по оси Ох выражается урав­нением x = f(t). Пусть в момент времени t точка М имеет ско­рость , а  в момент   t + ∆t — скорость    + ∆.

Таким образом, за промежуток времени t скорость точки изменилась на величину ∆. Определение 1. Средним ускорением прямолинейного движения за про­межуток времени t  называется отношение приращения скорости  к приращению времени t:

                                                                        .

Определение 2. Мгновенным ускорением (ускорением точки М в данный момент t) называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при стремлении приращения времени к нулю (t → 0):

       Следовательно, величина ускорения  прямолинейного движения точки равно второй производной от пути по времени. В этом и заключается механический смысл второй производной.

       Обозначая ускорение буквой   а, можем написать      а = Но     = f'(t)

 Поэтому     

                                = (f '(t))' =  f ''(t).

Итак, имеем

                              а = f ''(t),

Таким образом,  ускорение точки  в данный момент времени  есть производная    от скорости  по времени , вычисленная для данного момента .

Пример 4.   Точка движется прямолинейно по закону (м). Найти величину скорости и ускорения в момент времени   t = 4 с.

Решение.   1. Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

2. Вычислим скорость движения точки в момент   t = 4с:

 (м/с).

3. Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t:

4. Вычислим ускорение движения точки в момент времени  t = 4с:

 м/.

Ответ.    104 м/с;   50 м/с2.

Пример 5. При торможении маховик за t с поворачивается на угол   Найти:

1) угловую скорость вращения в момент времени t=3с;     2) угловое ускорение в момент t;

3) момент времени t, когда вращение прекратиться.     

Решение. 1. Угловой скоростью  называется скорость изменения угла  за время t . Угловая скорость есть производная угла поворота  по времени t:

Найдем угловую скорость в момент t=3с:

рад/с.

2. Угловое ускорение  есть производная от угловой скорости    по времени t: 

рад/с.

3. Положив   , найдем t:

с.

Таким образом, в конце четвертой секунды угловая скорость равна нулю.

Ответ.  4 сек.

Пример 5. Сила тока изменяется в зависимости от времени t по закону (в амперах , t в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце восьмой секунды.

Решение. Скорость изменения силы тока есть производная  силы тока  по времени t:

 (А/с).

Ответ.   6,4  А/с

Пример 6. Найти скорость   и ускорение а свободно падающего тела, если зависимость расстояния   S от времени   t   задана формулой

где g = 9,8 м/с - ускорение свободного падения;  значение S при t = 0.

Решение.                        ,

                при .

                       

Ответ.    

 

                    4.  Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

 

  Ранее мы   рассмотрели  понятие   неопределенности,  некоторые   виды

определенностей и способы их раскрытия. Сейчас рассмотрим простой и эффективный метод

раскрытия неопределенностей: правило Лопиталя.

   Теорема 5. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида   ).

    Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности

точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Если

1)  ,    т.е. f(x) и g(x)  - б. м. при х→ а ;

2)  g'(x) ≠ 0 в указанной окрестности точки а;

3)  существует предел  , конечный или бесконечный, то существует предел  и  справедливо равенство

                                                                     =                                                                       (32)

      Теорема 6. (Правило Лопиталя  раскрытия неопределенности вида  ).

     Если    в    условиях   теоремы    5    первое    условие    заменить    на   условие

, т.е. f(x) и g(x) - б. б. функции при х→ а, то формула (31) остается в

силе.

    Заметим, что эти теоремы справедливы и для случаев, когда х→ а – 0    или х→ а + 0.

        Неопределенности вида 0 ·∞, ∞ − ∞, необходимо свести к неопределенностям вида и

и раскрыть по правилу Лопиталя.

        Неопределенности вида 00, 1, ∞0 возникают при вычислении пределов вида . С помощью логарифмирования сводим эти типы неопределенности к неопределенности вида 0 ·∞. Действительно, если = А, то ln A =  ln U (x) = /0 ln∞/ = k, тогда  = A= е ln А = е k.

Пример 1.  Найти пределы   и  α > 0.

Решение.   1)= // = 0.

 

2)  = /0·(-∞)/ = // ==

Пример 2.  Найти предел   .

Решение.      Так как       ,   , то мы имеем неопределённость  1. Далее положим  = А  и, логарифмируя, находим   k = ln A=  = / ∞ · 0/ =// = // = = -2,

Окончательно получим  = /1/ = A= е ln А = е k = е2= .

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тема 1.3. Приложение производной к исследованию функций

и построению графиков.

                  5.1. Монотонность: Возрастание и убывание функции

Рассмотрим функцию y = f(х), непрерывную вместе со своей про­изводной на некотором промежутке. Как известно, геометрический смысл производной заключается в том, что , где - угол на­клона касательной к положительному направлению оси Ох.

Если с возрастанием значения аргумента х значение функции у убывает, то функция является убывающей (на рис. 1 — в интервале (а, с)).


Касательные, проведенные к кривой у = f(х) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох тупой угол, тангенс которого отрицателен, т.е. для х  (а, с) величина у'= tg < 0. Значит, если функция убывает на некотором промежут­ке, то ее производная на этом промежутке отрицательна.


Рис. 1.

 

                                                                                                                     Рис. 2.

 Если с возрастанием значения аргумента х значение функции у возрастает, то функция является возрастающей (на рис. 1 в интер­вале (с, е)). Касательные, проведенные кривой у = f(x) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох острый угол, тангенс ко­торого положителен, т. е. для х  (с, e) величина у' = tg a > 0. Значит, если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная на этом промежутке положительна.

 

Признаки возрастания и убывания функции

 

Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция возрастает на этом ин­тервале.

Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция убывает на этом интервале.

Замечание. Если функция f монотонна на интервале (а, b) и непре­рывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [а, b]. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.

Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерыв­ны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 1  имеются три критические точки а, с, е.

Пример 1. Найти интервалы монотонного изменения функции

Решение. Найдем производную функции:     y' = x2 + 5x + 6.

Эта функция непрерывна. Что­бы найти критические точки, при­равняем производную к нулю и найдем корни полученного уравнения:

у' = х2 + 5х + 6= 0     у' = (х + 3)·(х + 2) = 0    х1 = - 3;   х2 = - 2.

Разобьем числовую прямую на интервалы: (-, -3); (-3, -2); (-2, +).

 

Определим знак производной в каждом из интервалов. Учиты­вая, что в силу непрерывности функция у' в каждом интервале не меняет знака (см. таблицу), мо­жем построить график данной функции (рис. 2).

 

 

x

(-, -3)

-3

(-3,-2)

-2

(-2, +)

y’

+

 

-

 

+

Y

 

возрастает

 

убывает

 

возрастает

 

 

max

 

min

 

Рассмотрим случай, когда на отрезке [а, b] производная функции равна нулю. Это означает, что функция у = f(x) постоянна на этом от­резке.

Если функции f(х) и φ(х) имеют на отрезке [а, b] равные производ­ные f '(x) = φ'(х), то они отличаются на этом отрезке лишь постоянным слагаемым.

 

                                          5.2. Экстремумы функции       

 

Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки х, называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.

 

Определение 1. Точка х0 из области определения функции  f называ­ется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрест­ность (х0 - δ, х0 + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точкой х0,

                                                    f(x) > f(x0).                                                                      (4.47)

 

Определение 2. Точка х0 из области определения функции f называ­ется точкой максимума этой функции, если у этой точки есть окре­стность 0 - δ, х0 + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точ­кой х0,

 

                                                        f(x) < f(x0).                                                                       (4.48)

 

Максимумы и минимумы называются экстремумами функции.

 

Замечание. Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экс­тремумы называются локальными экстремумами.

У непрерывной функции точки минимума и максимума обязатель­но чередуются.

 

Необходимое условие существования экстремума.

 

Теорема Ферма. Если внутренняя точка х0 из области определения непрерывной функции f(х) является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. e.f '(x0) = 0.

 

Предположим, что экстремальная точка х0 есть точка минимума.

Пусть f '(х0) ≠ 0. Тогда возможны два случая: 1) f '(х0) > 0  и  2) f '(х0) < 0.

 

1) Пусть f'(х0) > 0, тогда найдется такое δ > 0, что для всех х  0 - δ, х0) выполняется неравенство f(x) < f(x0). Это неравенство противоречит предположению о том, что точка х0 есть точка минимума. Значит, неравенство f '(х0) > 0 неверно.

 

2) Пусть f '(x0) < 0, тогда найдется такое δ > 0, что для всех х  (х0, х0 + δ) выполняется неравенство f(x) < f(x0). Это неравенство противо­речит предположению о том, что точка х, есть точка минимума. Значит, неравенство  f '(х0) < 0 неверно.

Следовательно, f '(x0) = 0. Случай, когда экстремальная точка есть точка максимума, рассматривается аналогично.

Однако равенство производной нулю еще не означает существова­ние экстремума в этой точке. Действительно, для функции f(х) = x3 про­изводная (f'(x) = Зх2) при х = 0 имеет значение 0, но в этой точке (начале координат) функция экстремума не имеет, так как f(х) - f(0) = х3. При х > 0 эта разность положительна, а при х < 0 — отрицательна, и невозможно указать такой окрестности точки х = 0, в которой выполнялось бы одно из двух неравенств (4.47) или (4.48).

Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в данной точке, необходимо воспользоваться достаточными условиями его существования.

 

Достаточные условия существования экстремума

 

Теорема 1. Если существуют такие а и b, что функция f(х), непре­рывная в точке х0

(а < х0 < b), такова, что f(x) > 0 на интервале (а, x0) и f '(х) < 0 на интервале (х0, b), то точка x0  является точкой максимума функции f(х).

Доказательство.    f(х) непрерывна в точке х0 и на интервале (а, х0) возрастает, значит, f(х) < f0) для всех х  (а, хо). На интервале 0, b) функция f(х) монотонно убывает, т. е. f(х) < f0) для всех x  (х0, b).

Значит, f(х) < f0) для всех х ≠ х0 из интервала (а, b) и х0 по опреде­лению есть точка максимума функции f(х).

 

Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна в точке х0, a   f '{x) < 0  на  интервале (а, х0)  и   f ’(x) > 0 на интервале (х0, b), то точка х0 является точкой минимума функции f(x).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и также сле­дует из теоремы п. 4.9.1.

Таким образом, чтобы найти экстремумы данной функции у = f(х), необходимо:

1. Найти первую производную f '(х).

2. Приравняв первую производную нулю, отыскать действительные корни х1, х2,. . .  уравнения f '(х) = 0.

Корни этого уравнения являются критическими точками функции.

3. Для каждой критической точки хk найти окрестность, не содержа­щую других критических точек, подставить в производную любое число, меньшее хk из этой окрестности, а затем любое число, большее хk, из этой окрестности; если при этом знак производной:

а) будет меняться с   + на –, то функция при   х = х1  имеет максимум;

б) будет меняться с   – на +, то функция при   х = х1  имеет минимум;

в) не меняется, то функция при х = х1 экстремума не имеет;

4. Найти экстремальные значения функции.

Пример 1. Исследовать функцию , заданную на отрезке [0, 5], на экстремум.

Решение. 1) Находим производную:    у' = х – 3.

2) Находим корень производной:   х - 3 = 0 <=> х = 3.

3)  Находим значение производной в точке   х = 2   интервала (0, 3): y'(2) = -1 < 0.

4)  Находим значение производной в точке   х = 4   интервала (3, 5): y' (4) = 1 > 0.

Производная у' в окрестности точки   х = 3  меняет знак с   – на +, сле­довательно, в точке  

      х = 3 находится минимум.

5) находим значение функции в критической точке х = 3:    у (3) = - 3∙3 = - 4,5

Таким образом, минимальное значение функции    равно  -4,5.

 

5.3. Наибольшее и наименьшее значения функции

 

На  рис.  3  изображен   график   некоторой   функции у  = f(х), определенной на отрезке

 [а, b].

 

На данном отрезке наша функ­ция в точках х1, х2, х3, х4, х5 прини­мает экстремальные значения. Для определения наименьшего и наи­большего значений дифференцируе­мой функции на всем данном отрезке [а, b] следует найти все критические  точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее, т. е., как говорят, найти глобальные экстремумы функции.

 
 



 

          Рис. 3.

 

 Пример 1.  Найти наименьшее и наибольшее значение функции      на отрезке      [-3, 4].

Решение. 1) Находим производную: .

2) Находим корни производной:   х1 = -2   и  х2 = 2.

3) Исследуем значение производной в окрестности критической точки х = -2:

y(-3) = 1,5 > 0   и   y(-1) = -0,9 < 0. Следовательно, в точке   x1 = -2 данная функция имеет максимум, равный 2,6.

Аналогично находим, что в критической точке  х2 = 2 данная функ­ция имеет минимум, равный   – 0,6.

В примере требуется найти наибольшее и наименьшее значение функ­ции в промежутке

 [-3, 4], поэтому необходимо найти значение функции и на концах этого промежутка.

Имеем: у(-3) = 1,9 и у(4) = 2,6. Следователь­но, наименьшее значение, равное   - 0,6, данная функция достигает в точке х = 2, а наибольшее значение 2,6 в двух точках: х = - 2 и х = 4.

Пример 2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты площадью 25м2, чтобы периметр ее был наименьшим?

Решение. Примем длину комнаты равной х (м), тогда ширина равна , а периметр                   

Периметр у есть функция длины х, определенная для всех положи­тельных значений х. Определим интервалы ее возрастания и убывания. Находим производную: . Так как знаменатель больше нуля и длина   х  положительна, то знак производной определяется знаком разности (х - 5). Таким образом, периметр прямоугольника имеет наи­меньшее значение (минимум), если длина прямоугольника 5м и ширина т. е. когда комната имеет квадратную форму.

 

5.4.          Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба.

 

Исследование функции на экстремум и определение его типа (мак­симум или минимум) во многих случаях проще выполняется не путем анализа перемены знака производной при ее прохождении через крити­ческую точку, а с помощью второй производной.

Определение 1.  Непрерывная линия называется выпуклой или обра­щенной выпуклостью вверх на отрезке [а, b], если все точки этой линии ле­жат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две ее точки (рис. 4. а).

Аналогично, вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) называет­ся линия, проходящая ниже (не выше) своих хорд (рис. 4, б).



 

                         Рис. 4.

 

Замечание. В некоторых руководствах выпуклость и вогнутость иногда определяются противоположным образом.

Определение 2. Точки, отделяющие выпуклые участки линии от вогнутых (и наоборот), называются точками перегиба.

Например, синусоида (график функции у = sin x) выпукла на про­межутке [а, b) и вогнута на промежутке (b, с] (рис. 5). Точка В явля­ется границей между ними. Касательная, проведенная к кривой у = f(х) в точке В, пересекает ее и является общей для выпуклой и для вогнутой ее частей, поэтому в точке В синусоида ни выпукла, ни вогнута. Эту точку называют точкой перегиба.

На рис. 4, а все точки дуги линии у = f(x), стягиваемой хордой M\N лежат выше хорды.




При стремлении точки М1 к точке N секущая M1N займет положение касательной MN, а соответствующие точки линии будут расположены ниже самой касательной, т. е. определение 1 выполняется и на всем промежутке [а, b]; кривая выпукла.

          Рис. 5.                                                    Рис. 6.                                                     Рис. 7.

 

С возрастанием аргумента х величина угла, образуемого каса­тельной с положительным направ­лением оси  х, изменяется. На уча­стке [а, с) возрастания функции y = f(x) угол, оставаясь все время острым, будет монотонно убывать ( >  > ...). Его тангенс, равный k = tg = f '(x), также будет убывать, пока не обратится в нуль в экстремальной точке М4. На участке (с, b] угол начнет расти, но знак его тангенса станет отрицательным (, — тупые углы), т. е.

                                                      k = tg = f '(x) < 0.

 

Обозначив для удобства f '(х) через F(x) т. е. F(x) =f '(x), a f "(x) че­рез F'(x), применив к F(x) признак возрастания и убывания функции (теорему из  п. 4.9.1), мы придем к следующему: на всем промежутке [а, b] значение tg убывает. Но tg= f '(х) = F(x), a как мы знаем, значение функции убывает на некотором интервале тогда, когда она имеет на этом интервале отрицательную первую производную, т. е. F'(x) < 0 или, что то же, f ''(x) < 0.

Проведя аналогичные рассуждения для функции у = f(х), представ­ленной на рис. 4, б, приходим к выводу, что на всем участке вогнуто­сти, на котором f '(х) монотонно возрастает, вторая производная должна быть положительной:

f ''(x) > 0.

На рис. 6 линия у = f (х) состоит из промежутков выпуклости АВ и CD и промежутка вогнутости ВС. Точки В и С являются точками перегиба. На рисунках 4, а, 4, б и 5 проиллюстрирован так называемый гео­метрический смысл второй производной, позволяющий по ее знаку судить о том, в какую сторону изгибается линия графика, т. е. справедлива

Теорема. Если вторая производная функции у = f(х) в данном проме­жутке значений х положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна выпукла.

Точками перегиба являются те точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Линия называется выпуклой (или вогнутой) в точке, если значе­ние ее второй производной в данной точке меньше (или больше) нуля.

 

Пример 1. Выяснить, выпуклая или вогнутая линия   у = 3x3 + 8   в точке с абсциссой   х = 3.

Решение. Находим производные у' = 6х2  и   у" = 12х. В точке   х = 3 имеем:

                                              у"(3) = 12 • 6 = 36 > 0. Значит, в точке   х = 3 данная линия вогнута.

 

5.5.  Нахождение точки перегиба

 

Чтобы исследовать функцию на вогнутость, необходимо опреде­лить знак второй производной. Если на данном промежутке f "(х) < 0 для всех х, то линия вогнута, если f "(х) > 0 для всех х, то линия выпукла. Выпуклую часть кривой от вогнутой отделяет точка перегиба.

 

Правило нахождения точек перегиба

Чтобы найти точку перегиба линии у = f(х), нужно:

1. Найти вторую производную функции у = f(х).

2. Приравняв ее к нулю, решить полученное уравнение.

3. Расположив корни второй производной х1, х2, х3, ... в порядке их возрастания, подставить в выражение для второй производной сначала лю­бое число, меньшее х1 затем — любое число

х  (х1, х2); если в обоих слу­чаях получатся разные знаки, то при х = х1 имеется точка перегиба; если же одинаковые, то точки перегиба нет; аналогично определяется знак второй производной и далее аналогично поступить с числами х2, х3 и т. д.

4. Найти ординаты точек перегиба, т. е. найти значения функции в соответствующих точках.

Пример 1. Найти точки перегиба линии f(х) = х3.

Решение. Находим:   f '(х) = Зх2;    f "(х) = 6х;    6х = 0 => х = 0;    f(0) = 0.

Следовательно,         A (0;0) – точка перегиба.

Пример 2. Найти точки пере­гиба линии у = х 4 - 2х2 - 3.

Решение.      1) у' = 4х3 - 4х;  у" = 12х2 - 4.                                             

           2)  у" = 0  =>  12х2 = 4; х = ±.

           3) При |х| >  имеем у" > 0 — линия вогнута; при |х| <  имеем  у" < 0 — линия выпукла. Точки ± являются точками перегиба (рис. 7).

 

                                        5.6. Асимптоты графика функции.         

 

          Определение 1. Асимптотой графика функции   y = f (x) называется прямая, обладающая тем свойством, что  расстояние от точки  M(x, f(x))  до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

               Возможны два способа удаления точки  M(x, f(x)) графика функции  y = f(x) от начала

координат в бесконечность: 1) аргумент x стремится к некоторой точке xo, а соответствующее значение функции y = f(x) стремится к бесконечности; 2) аргумент x стремится к бесконечности.

          Определение 2. Прямая x = xo  называется вертикальной асимптотой графика функции

              y = f(x), если хотя  бы один из односторонних пределов f(xо– 0) =  (предел слева) или     f(xо + 0) =(предел справа) равен + или - (см. рис. 8).

Как видно из рисунка  8  расстояние между точкой M(x,f(x)) графика функции y = f(x) и вертикальной прямой   x = x0 равно d = . При x  x точка M(x, f(x)) удаляется  в бесконечность, а  d =  x при x  x, т.е.это и означает, что   х = х0   - уравнение вертикальной асимптот.

 

Пример 1.  Рассмотрим функции   y = , x (0,+) и  у = , для которых прямая   x = 0   является

 

 

                Рис. 8.

 

 

вертикальной асимптотой.

1)    y = , x (0,+).

 ;                     

  

Рис. 9.                                                                               Рис. 10.

 

 

Это и означает, что прямая   x = 0   является вертикальной асимптотой функции   y = , а точка    x0 = 0 - точка разрыва второго рода.

 

2) y = log2 x, x(0,+).

   f(+0)  =    =   , поэтому прямая  x = 0  является вертикальной

асимптотой функции   y = log2 x, хотя точка  x0 = 0   формально и не является точкой разрыва функции y = log2 x.

         Заметим, что вертикальные асимптоты графика функции возникают в точках разрыва второго рода или на границе области определения функции.

          Определение 3. Прямая    у = kx  +  b  называется наклонной асимптотой графика функции  y = f(x) при  x+если функцию y = f(x) можно представить в виде

f(x) = kx + b + a(x),

где a(x) при x

         При x наклонная асимптота называется правой, а при x - левой. При k = 0

асимптота называется горизонтальной.

                                                                            Рис. 11.

 

 Выясним геометрический смысл наклонной   асимптоты,  рассмотрев  для определённости случай, когда x.

              M(x,y) - точка графика функции y = f(x),   у = kx + b  - наклонная асимптота графика функции при   x     +,    N(x,y) - соответствующая точка асимптота (см. рис. 11). Тогда 0  при x. Из прямоугольного треугольника MNP ясно, что 0 < d < , поэтому  d  при    x+, т.е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при    x.

Теорема. Для того чтобы график функции у = f(x)  имел при  наклонную асимптоту   y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

      и       .

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай правой наклонной асимптоты, т.е. .

Необходимость. Пусть у= kx + b –наклонная асимптота графика функции y = f(x) при  тогда    y = f(x) = kx + b + a(x),   где a(x) при .

Из этого представления вытекает, что существует предел

 т.к.  и б.м. при x и существует предел

          Достаточность.  Пусть существуют оба предела   lim   и   lim [y kx] = b .

Из второго предела вытекает, что по теореме о б.м.  справедливо равенство   ykx = b+a(x), где a(x), т.е. y = f(x) = kx + b +a(x). Но это и означает, что прямая у = kx + b является асимптотой графика функции y=f(x).

Пример 2. Рассмотрим функцию y =

Так как   y = f(x) = x + 2 + ,  где   a (x) =  при x, то прямая   у = x + 2    является  левой и правой наклонной асимптотой графика функции.

Замечание. Для рациональной функции (отношение двух многочленов) левая и правая асимптоты совпадают.

 

5.7. План полного исследования функции и

построение графика

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решения уравнений ,  и  не существует;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1)  найти решения  уравнений , и  не существует;

2)  точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточ­ного условия;

3) вычислить значения функции в точки перегиба;

4)  найти интервалы выпуклости в вогнутости графика функции;

5)  нанести на эскиз графика точки перегиба

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.

 

Ранее мы отметили, что по графику функции можно определить ее свойства. С появлением понятия производной мы решаем обрат­ную задачу: учимся строить график функции, зная ее свойства.

В этом пункте мы установили правила, позволяющие изобразить ход графика функции

у = f(x), вычислив ее значения лишь в сравни­тельно небольшом числе точек. Эта процедура, применимая ко многим функциям, заданным формулами, состоит из следующих шагов.

1. Находят область определения функции.

2. Устанавливают, является ли функция четной или нечетной или ни той, ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рас­смотреть ее значения лишь при х > 0, а затем симметрично относитель­но соответственно оси у или начала координат, восстановить ее и для значений   х  <  0.

3. Исследуют функцию на периодичность. Если функция периоди­ческая, то достаточно исследование ее провести на одном периоде.

4. Исследуют функцию на непрерывность; находят точки разрыва (если они существуют).

5.  Находят точки пересечения графика функции у = f(x) с осями ко­ординат.

6. Проводят исследование функции на экстремум и находят интер­валы возрастания и убывания.

7. Находят точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и во­гнутости.

8. Пользуясь результатами шагов 1 - 7, строят график функции.

Для большей точности можно вычислить координаты некоторых дополнительных точек графика и наклоны касательных в этих точках. В частности, бывает полезным найти точки пересечения графика с осями координат и значения функции на концах промежутка ее определения.

 

Пример 1.  Исследовать функцию  и построить ее

                   график.

Решение. 1) Функция определе­на на всем множестве действитель­ных чисел, кроме х = 0: Е(у) = (-,0)  (0,+);

                  D(у) = R.

 2)  Функция не является ни чет­ной, ни нечетной.

 3) х = 0 - точка разрыва.

 4) Найдем точки пересечения графика с осью х. Из равенства

                        получим .

 5) Найдем экстремум функции: ; у' = 0 при х = 2  и  у' =  при х = 0 (точка разрыва функции);  у" = ;  у" (2) > 0.

 
 



 

         Рис. 8.

 

                  Поэтому х = 2 - точка минимума, причем уmin = 3.

 

Если х < 0, то у' > 0 — функция возрастает.

6) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости:  у" ≠ 0; у"→ при х = 0, у" > 0, значит, график функции всюду во­гнут.

Следовательно, точек перегиба нет.

7) Для построения графика все найденные точки перенесем на ко­ординатную плоскость (рис. 8).

Для уточнения графика дополнительно найдем:

y(-2) = -1;                   M(-2; -1);

y(-1) = 3;                     N (-1; 3);

            y (1) = 5;                     P (1; 5).

 

Пример 2.   Провести полное исследование и построить график функции:

а) y =;     б) y =  .

Решение. а) Исследование проведём согласно схеме (см. п. 13.6)

1)      D(y)= (-∞; -1)U(-1; +∞) .

2)      Функция не является ни чётной, ни нечетной, так как   у(-х) =

3)      Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства:

с Оу :     у(0) = 0,

с Ох :     у = 0,         = 0,   х 3 = 0,   х = 0.

                                                         у:    

                                                                        -1                   0                    х

 

4)      Непрерывность, точки разрыва, асимптоты. Функция непрерывна всюду, где определена, как рациональная дробь (кроме нулей знаменателя), поэтому

= -1 – точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

= -∞

-∞

т.е. x = -1 – точка разрыва второго рода, х = -1 – уравнение вертикальной асимптоты. Так как существуют пределы

То прямая     y =  является левой и правой наклонной асимптотой.

5)      Монотонность, экстремумы:

 

 при  - стационарные точки.

Далее

                                                       max                   

 


                                                                         -3                      -1                    0                      х

                                                             

 

т.е. х = -3 – точка максимума,

 

6)      Выпуклость, вогнутость точки перегиба:

 

  = 0 при х = 0 – точка возможного перегиба

Далее:                     у'' :                            перегиб

 


                                              -1                0                          x

 

Итак: х = 0 – точка перегиба, у(0)=0,   у ''(0)=0.

 

7)                  Строим график:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                                                                              

 

 

 

 

 

 

                                                      Рис. 9.

 

б) у =(х–1)

 

1)                  D(y) = (-∞;+∞)

2)                  Функция общего вида, т.к.

3)                  Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства

с Оу :     у(0) = -1

с Ох :     у = 0  х = 1, т.е. (1;0).

 

+

 
 


х

 
                       у:                     

 

 


y < 0    при х ( - ∞ ; 1 )

y > 0    при х ( 1; + ∞ )

4)                  Непрерывность, точки разрыва, асимптоты. Функция непрерывна всюду, точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет. Так как

        

т.е. у = 0 – уравнение левой горизонтальной асимптоты

Так как при

Правой наклонной асимптоты нет.

5)                  Монотонность, экстремумы.

у'= 0 при х = 0 – стационарная точка,

 

 

                                                                      min

                           у':

                                                                      0                                                   х

 

xmin= 0,    ymin (0)= (0 – 1)eo = -1

Интервалы возрастания:      [0; +∞).

Интервалы убывания:    (-∞; 0].

Наносим точки экстремума на график.

6. Выпуклость, вогнутость точки перегиба.

=  (xex)' = ex + xex= (1+x)ex.

= 0,    если   х = -1                                  

                                                                       перегиб

                            :  

                                                                        -1                                             х

х = -1  -  точка перегиба,   у (- 1) = (- 1 – 1) е-1 =

7. Построение графика

 

Рис. 10.

 

 

Пример 2. Провести полное исследование и построить график функции

y =.

 

Решение. Исследование и построение проведём по намеченной выше схеме, нанося каждый шаг исследования на график.

 

  1. D(y) = ( т.к.рациональная функция определена всюду, кроме нулей знаменателя x =.
  2. Четность-нечётность.                 

 Т. к.

                         y(-x) = = = ,

то функция y = f(x) нечетная и её график симметричен относительно начала координат О(0,0).

3. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства:

с Оу:    у(0) = 0;               с Ох:   у = 0   при х = 0

 

Итак, график функции пересекает оси координат только в точке О(0,0).

 

Интервалы знакопостоянства функции:

Наносим полученные факты на график (см.рис.11), где отмечена точка графика О(0,0), а

                         у

штриховка указывает, выше или ниже оси Оx лежат точки графика на данном участке.

 

4. Непрерывность, точки разрыва, асимптоты.

Функции y = f(x), являясь рациональной дробью, непрерывна (и дифференцируема) всюду, где определенна как элементарная. Точки x =  являются точками разрыва функции.

Определим их характер. В силу нечетности функции в этой точке:

    

т.е. х0 =2 – точка разрыва второго рола, а прямая х = - 2 является вертикальной асимптотой. Наносим эти факты на график.

Найдём наклонную асимптоту   у = kx + b графика функции у = f(x) при  т.е. исследуем поведение функции на бесконечности. Так как существуют пределы

то прямая   у = является наклонная асимптотой, причём левой и правой.

5.Монотонность, экстремумы.

Найдём интервалы убывания и возрастания, точки максимума и точки минимума, исследовав первую производную функции:

Найдём точки возможного экстремума функции из условия , т.е.стационарные точки. Тогда

2- точка минимума  и  min = f

Интервалы возрастания:

Интервалы убывания 

Наносим точки экстремума на график.

          6. Выпуклость, вогнутость точки перегиба.

                              

Тогда      при    и

               

                

                                                           Рис. 11.

То   точка перегиба,  ,  т. е. у = 0  - уравнение касательной в точке перегиба. Хотя в точках   ± 2  вторая производная меняет знак, они не являются точками перегиба, т.к. в этих точках функция не определена. Учитывая пункты  5 и 6 , заканчиваем построение графика функции.

Примеры и тренировочные  упражнения

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 3.Тема 1.4.Неопределённый интеграл ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

 

 

Тема 1.4. Неопределённый интеграл

1. Первообразная

 

Основной задачей дифференциального исчисления является дифференцирование. Задачи естествознания и техники приводят к решению обратной задачи по восстановлению функций по заданным eё производной или дифференциалу. Эта операция, обратная операции дифференцирования, называется интегрированием.

В теме 1.2.  мы рассматривали такую задачу: дана функция; требуется найти её производную, т.е. функцию  =

В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция  ; требуется найти такую функцию , производная которой равна , т. е.

Определение 1. Функция  называется первообразной  от функции  на отрезке  , если во всех точках этого отрезка выполняется равенство

Пример: Найти первообразную от функции = х 2.

Решение. Из определения первообразной  следует, что функция = является первообразной, так как  .

Легко видеть, что если для данной функции  существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять  в качестве первообразных следующие функции:  =+1;  =− 7    или вообще   =+ С (где С – произвольная постоянная), так как  .

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида  исчерпываются все первообразные от функции . Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Если  и  - две первообразные от функции  на отрезке , то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. В силу определения первообразной имеем:

                                                                                                                                        (1)

при любом значении  х   на отрезке   

 Обозначим:

                                                               −= φ(х)                                                                 (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

или

 

 

 

при любом значении х на отрезке  Но из равенства  следует, что  есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа к функции , которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке   Какова бы ни была точка  х  на отрезке  мы имеем в силу теорему Лагранжа

φ(x)φ(a) =(x−a) φ'(ξ)

где            а < ξ < x .

Так как φ'(ξ)= 0, то                

или

                                                                                                                                             (3)

Таким образом, функция  в любой точке х отрезка   сохраняет значение  а это и значит, что функция  является постоянной на отрезке . Обозначая постоянную  через С, из равенства (2) и (3) получаем:

Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции  найдена какая-нибудь одна первообразная  то любая другая первообразная для имеет вид  F(x) + C, где С = const.

касательной к кривой у = F(x) в точке с абсциссой х Геометрически найти первообразную для f(x), значит найти такую кривую у = F(x), когда угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению заданной функции f(x) в этой точке (Рис.1).

 
Геометрический смысл. Производная от первообразной F(x) - есть угловой коэффициент.

 

               Рис.1

2. Неопределённый интеграл и его свойства

 

Определение 2 . Если функция  является первообразной для  то выражение  называется неопределённым интегралом от  функции   и обозначается символом   Таким образом, по определению,

если

При этом функцию  называют подынтегральной функцией,  подынтегральным выражением, знак  знаком интеграла..

С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу. В частности, можно назвать следующие первообразные:

 F1(x) = sin x, F2(x) = sin x +1, F3(x) = sin x −1 (рис. 1).

 
Таким образом, неопределённый интеграл представляет  собой семейство функций


Рис. 2.

      

 

 Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции  существуют первообразные (а значит, и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция  непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределённый интеграл).

Выяснению методов, с помощью которых находятся первообразные (и неопределенные интегралы) от некоторых классов элементарных функций, посвящена настоящая глава.

Нахождение первообразной для данной функции   называется интегрированием функции .

Пример 1. Дан   интеграл . Найти первообразную,   которая   при х =3 принимает

значение у =10.

Решение. Найдем первообразную

Следовательно, - искомая первообразная.

                                       Свойства неопределённого интеграла

 

Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вернёмся в конце данной главы.

Из определения 2 следует:

1.Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F'(x) = f(x), то и

 

                                               .                                              (4)

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

2.Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

Это получается на основании формулы (4).

3.Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны .

Таким образом, имеем

1)

    Доказательство.     

2) 

      Доказательство.     

3)  

       Доказательство.     

4)   .

 

Для доказательства найдем производную от левой и правой частей.

- производная левой части;

 - производная правой части. Таким образом, доказано 4).

 

3. Таблица интегралов

 

Прежде чем приступить к изложению методом интегрирования, приведём таблицу интегралов от простейших функций.

1.     

2.     

3.     

4.        (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

5.     

6.      .

7.     

8.     

9.     

10. 

11.  .

12. 

13. 

14. 

15. 

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

 

В случае формулы 11 имеем:

следовательно,

В случае формулы 12

Следовательно,

В случае формулы 18

следовательно,

В случае формулы 23

следовательно,

 

4. Основные методы интегрирования

4.1. Непосредственное интегрирование (метод разложения).

 

Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подинтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Если подынтегральную функцию можно разложить на функции интегралы от которых явля­ются табличными, тогда легко найти первообразные от каждого интеграла

Пример 1. Найти .

Решение.

.

 

Пример 2. Найти .

Решение.

 

Пример 3. Найти интеграл

Решение,

Пример 4. Найти интеграл

Решение. .

 

4.2. Метод замены переменной

 

Этот метод называют также методом подстановки. Он является одним из наиболее эффектных и распространенных примеров интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисления интеграла.

Пусть требуется найти интеграл

первообразная которого неизвестна, но известно что она существует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стая табличным. Для обоснования такого подхода к интегрированию рассмотрим теорему.

Теорема 2. Пусть 1)  функция непрерывна на рассматриваемом множестве x

                                  2)   функция дифференцируема на множестве Т.

Тогда 1),2)                                                                                         (4.1)

Доказательство. Для доказательства достаточно показать равенство производных от левой и правой частей.

Так как производные равны, поэтому левая и правая части (4.1) отличаются на некоторую постоянную которую можно считать равной нулю.

После интегрирования возвращаются к старой переменной, используя обратную подстановку .

Подстановку  необходимо выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.1).

Общих правил для нахождения нужной подстановки нет. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Если подынтегральная функция имеет вид , то можно использовать подстановку .

Пример 1. Найти .

Решение. Введем новую переменную .

Найдем интеграл:

.

Выразим результат через первоначальный аргумент:

.

 

Пример 2. Найти интеграл  .

Решение. Сделаем замену переменной  3x = t. Продифференцируем обе части d(3x) = dc.

 получим

Пример 3. Найти интеграл 

Решение

Пример 4. Найти интеграл   

Решение.  Сделаем подстановку t = sin x; тогда dt = cosx dx и, следовательно,

Пример 5. 

РешениеПолагаем  t = lnx; тогда ,

Пример 6. Найти интеграл  

Решение.  Полагаем  t = 1+x2; тогда dt = 2xdx  и  

 

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким либо другим методом, нам  часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

 

4.3.          Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен

 

1.      Рассмотрим интеграл

Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов

                    =

где обозначено

Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена ax2+bx+c комплексными или действительными.

Таким образом, интеграл I1 принимает вид

Сделаем в последнем интеграле замену переменного

Тогда получим:

Это – табличные интегралы (см. формулы 15-17)

Пример 1. Вычислить интеграл

                  

Решение.

Делаем замену переменного x+2=t, dx=dt. Подставляя в интеграл, то получаем табличный интеграл

Подставляя вместо t его значение через x, окончательно находим:

     II. Рассмотрим интеграл более общего вида

 

Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим:

Последний интеграл, есть интеграл I1 ,вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменного

ax2+bx+c=t,     (2ax+b)dx=dt

Следовательно,

 

     Таким образом, окончательно получаем:

 

Пример 2.Вычислить интеграл

Решение.   Применим указанный прием:

 

     III. Рассмотрим интеграл

 

С помощью преобразований, рассмотренных в п.1, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида

 при a>0 или  при a<0

Которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы  13’ и 14)

     IV. Интеграл вида

вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, что были рассмотрены в п.II:

                                               =

 

Применив к первому из интегралов подстановку

ax2+bx+c=t,     (2ax+b)dx=dt

получим:

 

Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. III настоящего параграфа.

 

Пример 3.

 

 

4.4. Метод интегрирования по частям

 

Пусть функции  и  непрерывно дифференцируемые на некотором интервале. Имеет место тождество: .

Известно, что дифференциал произведения двух функций u(x), v(x) вычисляются по формуле:

d (uv) = udv + vdu

 

Интегрируя обе части, получим формулу интегрирования по частям или  

                                                                                                                              (4.2)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.

 

Пример 1. Найти интеграл

Решение.

 

Пример 2. Вычислить интеграл   .

Решение. Положим , , тогда .

; .

Подставив в формулу (4.2), получим:

.

Пример 3.   Найти интеграл   .

Решение. Положим , . Дифференцируя равенство первое, найдем:

.

Интегрируя равенство второе, имеем: , тогда по формуле (4.2) получим:

.

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем  и представим этот интеграл сумой двух интегралов:

.

В первом интеграле освободимся от иррациональности в знаменателе, второй интеграл берем по формуле:

.

Следовательно,

.

Перенеся  из правой части в левую, получим:

или окончательно:

.

Пример 4. .

Решение. Положим , , откуда

   и   .

По формуле (4.2) получим:

.

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем  и представим этот интеграл суммой двух интегралов:

.

В первом интеграле освободимся от иррациональности в знаменателе, второй интеграл берем по формуле:

.

Следовательно,

.

Перенеся интеграл  из правой части в левую, получим:

или окончательно:

.

 

Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях:

 

  1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции

2.Подынтегральная функция имеет вид

где р (х) – полином относительно х.

  1. Подынтегральная функция имеет вид:

Пример 5.  Найти интеграл

Решение,  

Пример 6. Найти интеграл

Решение.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 4.Тема 1.5. Определённый интеграл ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

 

Тема 1.5.  Определённый интеграл

1.     Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла

 

Многие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т.д., сводится к его вычислению. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о массе прямолинейного стержня. Дан тонкий стержень длины l, его масса распределена неравномерно с плотностью . Найти массу всего стержня.

Решение. Разберем условие задачи. Под тонким стержнем мы будим понимать отрезок прямой, ограниченный точками a и b числовой оси . Плотность вещества стержня в данной точке есть придел средней плотности , где - масса отрезка , при стремлении  к нулю.

Требуется найти массу стержня.

Так как плотность распределена неравномерно, то для наиболее точного ее нахождения разобьем весь стержень точками на n достаточно малых частей (рис. 1)

.

Обозначим длину отрезка  через . В силу того, что длины отрезков малы, в границах каждого из них плотностью стержня можно считать постоянной и равной , где -одна из точек k-го отрезка . Тогда масса этого отрезка стержня равна .

Масса всего стержня приближенно равна

,

где - знак суммы n слагаемых.

В пределе, при стремлении  к нулю, эта сумма становится равной , т.е.

.

Задача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции  и отрезками прямых . Функция  определена, непрерывна и неотрицательна в промежутке . Вычислить площадь S полученной фигуры , называется криволинейной трапецией.

Решение. для того чтобы вычислить искомую площадь, разобьем промежуток  на n произвольных частей: , длины которых обозначим соответственно .

Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделяют данную фигуру на n полос. Заменим каждую из этих полос прямоугольником, основание которого то же, что у полосы, а высота совпадает с одной из ординат точек графика функции в этой полосе.

Если высота совпадает с меньшей из ординат  точек графика функции из этой полосы, то площадь одного из прямоугольников равна , а сумма  можно принять за площадь криволинейной трапеции, вычисленную с недостатком (рис. 2). Если же высота совпадает с наибольшей из ординат  из этой полосы, то

площадь одного прямоугольника равна , и сумму

Рис. 2.                                можно принять за площадь криволинейной трапеции,

                                        вычисленную с избытком.

 

Если в каждом из отрезков  возьмем по точке, которые обозначим , так что  и в каждом из этих точек вычислим значение функции , то мы можем определить величину

.

При произвольном  величина  будет принимать значения . Все , значит,

.

Следовательно,

или

.

Геометрический смысл этого двойного неравенства при  состоит в том, что фигура, площадь которой равна Q, ограничена линией, заключенной между «вписанной» и «описанной» ломаными.

Пользуясь непрерывностью , можно доказать, что существуют и равны между собой пределы переменных  и  при , где , и что они не зависят от способа деления на части, т.е. . Таким образом, площадь криволинейной трапеции , ограниченной графиком функции , где  определена, непрерывна и положительна на , осью  и прямыми , есть предел S, к которому стремится площадь Q ступенчатой фигуры при неограниченном увеличении числа n отрезков деления и стремлении к нулю длин отрезков деления независимо от выбора точек :

.

 

 

 

 

 

 

 

 

2.     Определённый интеграл как предел интегральной суммы

 

Обобщим рассуждения, проведенные при решении двух предыдущих задач о массе прямолинейного стержня и о площади криволинейной трапеции.

a         …………… b     

 

0

 

f()

 

y = f(x)

 

x

 

y

 
Пусть функция   y = f(x определена на отрезке   [a,b],   b < a. Разобьем этот отрезок на  n произвольных частей точками: a = x0 < x1 < x2 < …< xi-1 < xi < …< xn = b. Обозначим эти разбиения через    τ = {xi}   (i = 1,…, n).  В каждом  из  полученных  частичных  отрезков [xi-1,  xi ]  выберем произвольную точку   . Через     обозначим разность, которую условимся называть длиной частичного отрезка   [xi-1,  xi].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

                                         Рис. 3.

Образуем сумму

                                                                (1)

которую назовем интегральной суммой для функции   f(x)  на   [a,b]  соответствующей данному разбиению   [a,b]   на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек

Определение 1. Функция  интегрируема на промежутке , если при любых разбиениях  промежутка , таких, что  при произвольном выборе точек , сумма  при  стремится к пределу S.

 

Предел  называют определенным интегралом от функции  на промежутке  и обозначают , т.е.

(2)

 
.                                   

Число a называется нижним пределом интеграла, b- верхним.

Промежуток  называется промежутком интегрирования, x- переменной интегрирования.

Точный смысл соотношения (2) таков: для любого  существует такое , что при любом способе дробления промежутка  и любом выборе точек  из каждого промежутка при условии, что  будет

.

Все указанные выше условия выполняются, если функция  является непрерывной. Вообще, имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема 1. Если функция  непрерывна на ,то интеграл  существует.

Возвращаясь к задаче о массе прямолинейного стержня длины  с плотностью , можно сказать, что масса всего стержня равна

.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой  , прямыми  и осью x, вычисляется с помощью интеграла

.

Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Например, интеграл  равен интегралу . Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Геометрический смысл суммы  очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями      (i = 1,…, n)   и высотами     (i = 1,…, n),  если   f(x) ≥ 0. Обозначим через    длину наибольшего частичного отрезка разбиения   τ 1≤ in.

Определение 1. Если существует конечный предел     интегральной суммы   (1)   при , то этот предел называется определенным интегралом от функции   f(x)  по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:

                                                                   или

 

Пример 1. Используя определение, вычислим интеграл

                                                

где С- некоторое число.

Решение. Разобьем отрезок [a,b] на n произвольных частей точками

                           a = x0 < x1 < x2 < …< xi-1 < xi < …< xn = b.

Составим соответствующую интегральную сумму. Так как   f(x) = c, то  для   получим

Далее

Видим, что интегральная сумма для данной функции не зависит от разбиения и выбора точек     и равна   c(b-a). Следовательно, и ее предел при    равен той же величине.

Таким образом,              

Пример 2.  Используя определение, вычислите интеграл

Решение. Разобьём отрезок [0;1] на n равных частей точками

                                   

Длина каждого частичного отрезка  Причём, если то  и наоборот. В качестве промежуточных точек и наоборот. В качестве промежуточных точек  возьмём правые концы частичных отрезков: Составим соответствующую интегральную  сумму

 

 

Итак,

3. Основные свойства определённого интеграла

Пусть дан интеграл

1. Если , то  (по определению).

2. Если , то по определению

3.     

4.

5.

 

 

4. Формула Ньютона – Лейбница

(Основная формула интегрального исчисления)

 

Выведем формулу для вычисления определенного интеграла. Каждая из первообразных, например F(x), для функции y = f(x) отличается от первообразной Ф(х) =  постоянным слагаемым

Ф(х) = F(x) + C.

Для нахождения значения С положим в последнем равенстве x = a.

Тогда

Ф(а) =  или F(a) + C = 0, откуда C = - F(a).

Значит,  Ф(х) = F(x) - F(a).

При x=b

Ф(b) =

Нами доказана следующая теорема.

Теорема 7. Определенный интеграл функции f(x), непрерывной на промежутке [a,b], равен разности значений любой ее первообразной в точках b u a:

                                                                                                                         (3)

 Т.е.                 1)

                        2)

                        1),2)

Правая часть формулы (3) часто записывается как

      Формула (3) получила название формулы Ньютона – Лейбница.

Доказательство. Из равенства  следует

 

8. Вычисление определенного интеграла

 

Вычисление определенного интеграла  выполняется следующим образом, находим:

1) неопределенный интеграл ;

2) значение интеграла  при , т. е. вычисляем ;

3) значение интеграла  при , т. е. вычисляем ;

4) разность .

Процесс вычисления виден из формулы

                                          .                                       (4)

При вычислении определенного интеграла применяются следующие свойства определенного интеграла:

1) при перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный;

2) постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак определенного интеграла:

                                           ;                                                 (5)

3) определённой интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определённых интегралов этих функций:

                       

                                              

                                                                                                 (6)

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. По формуле Ньютона – Лейбница имеем

Задача о массе прямолинейного стержня (п.1) выражает физический смысл определенного интеграла, а задача о площади криволинейной трапеции раскрывает его геометрический смысл.

      Чтобы вычислить определенный интеграл, достаточно найти неопределенный интеграл и в полученное выражение подставить вместо переменной x сначала верхний предел b, а затем нижний a и из первого результата вычесть второй.

Пример 2. Вычислить .

Решение. Находим неопределенный интеграл:

Берем одну из полученных первообразных, например , которая получается при С = 0. Найдя значение  сначала при х = 3, а затем при х = -2. Вычислим разность:

Пример 3. Вычислить

Решение.          

Пример 4.   Вычислить определённый интеграл    

Решение.

Пример 5.      Вычислить   .

Решение.      

Пример 6.        .

Решение.      

Пример 7. 

 

Решение.                            

Пример 8.      .

Решение.    

Пример 9. Вычислить площадь, ограниченную графиком функции у = х3, осью х и прямыми х = 1 и х = 3 (рис. 4)

 

Рис. 4.

Решение. Итак,     

По условию f(x) = х3 a = 1, b = 3, поэтому

 (кв. ед.).

9. Замена переменной и формула интегрирование  по частям

 в определённом интеграле

 

Замена переменной

   Пусть дан интеграл                               ,

в котором производится замена переменной. Тогда переход к новой переменной определяется следующей теоремой.

Теорема 8. Пусть

                                    1) f(x)                                                                                                                                             2) x=x(t)   (x(t)-дифференцируемая функция)

                                    3)        

                                    4)

 

Тогда 1) - 4)

 

Доказательство. По теореме Ньютона  Лейбница,  где F(x)- первообразная для f(x).С другой стороны   первообразная для функции

f

Поэтому, согласно формуле Ньютона – Лейбница получим

               

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способом

  подстановки) определенный интеграл  преобразуется по средствам подстановки и= (х) или х= в определенный интеграл с новой переменной и. При этом старые пределы интегрирования a и  b заменяются соответственно новыми пределами интегрирования  и , которые находятся из подстановок выше.

  Из подстановки первой новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно :

= (а), = (b).

  Из подстановки второй новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений а= () и b=  () относительно  и . Таким образом, имеем :

 Вычислить определенные интегралы.

 

I.                    Интегралы вида где т

Пример 1.

Решение. Введем подстановку . Дифференцируем: откуда

  Вместо переменной х мы ввели новую переменную и , которая связана с переменной х равенством подстановки. В связи с этим границы изменения переменной и, будут другие. Они находятся из подстановки заменой аргумента х его значениями 2 и 3. Для вычисления нижнего предела интегрирования подставляем в подстановку значение строго нижнего предела х=2. Получим:

                                 

  Для вычисления верхнего предела интегрирования подставляем в подстановку значение строго верхнего предела х=3, Получим:

                                   

  Заменим в данном интеграле 2х-1 и dx их выражениями через новую переменную и и dи и соответственно заменив старые пределы интегрирования новыми, получим :

 

Пример 2.   Найти

                                              

 

Решение. Положим

                                   

Тогда – 2xdx=dt. Откуда

Найдём  новые пределы интегрирования :

                         При х=0 получим t=1, при х=получим

В новой переменной интеграл примет вид

II. Интегралы вида. где т и п – рациональные числа

Пример 3. 

Решение.  Положим  тогда  Вычисляем новые пределы интегрирования,  

    Находим интеграл :

 

III. Интегралы вида  где и=

Пример 4.      

Решение. Положим 3-cosx, откуда sinxdx=du. Вычисляем новые пределы интегрирования :

 

Находим интеграл :

       IV. Интегралы вида , где u=

Пример 5.   

Решение. Положим sin x=u, откуда cos x dx=du.

Вычисляем новые пределы интегрирования:

,

Находим интеграл:

 V. Интегралы вида и где

Пример 6.  

Решение. Положим 2х=u, откуда 2dx=du, dx=du. Вычисляем новые пределы интегрирования:

,

Находим интеграл:

  VI. Интегралы вида u du, где u=

Пример 7.   

Решение. Положим , откуда ,  Вычисляем новые пределы интегрирования:

,

Находим интеграл:

      VII. Интегралы  вида , где

 

Пример 8.   

Решение. Положим  откуда , Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

Находим интеграл:

      VIII. Интегралы вида  где

Пример 9.

Решение. Положим  откуда   Вычисляем новые пределы интегрирования:

 

Находим интеграл:

 

       IХ. Интегралы вида ,   где

Пример 10.

Решение.

                                                                                             

Положим , откуда  . Вычислим новые пределы интегрирования:

,

Находим интеграл:

  Х. Интегралы вида

Пример 11.   

Решение. . Положим : Вычислим новые пределы интегрирования :   

Находим интеграл :

 

 

 

Интегрирование по частям

Теорема 9. Пусть

                                    1) u=u(x)                                                                                                                                      2) v=v(x)   (x(t)-дифференцируемая функция)

                                    3) u=u(x)    

                                    4) v=v (x)

 

Тогда 1) - 4)

Доказательство. Поскольку

                                              

то функция uv является первообразной для функции, следовательно,

или

                                                                                                                             (7)

Пример 12. Найти

Решение.

Пример 13.  Вычислить

Решение. Введем обозначения u=x, dv=; тогда du=dx;откуда .             Следовательно,

Пример 14. Вычислите

Решение. Положим u=t, sin t dt=dv, du=dt, v = -cos t. Следовательно,

 

 

10. Приложение определённых интегралов

 



Определённый интеграл широко применяется при вычислениях различных геометрических и физических величин. Представим величину u в виде площади, ограниченной осью Ox, кривой  которая может быть задана

 

             Рис. 1.                                                                                             Рис. 2.                                                                   

 

или найдена из условия задачи, и прямыми x = a  и   x = b ( (рис. 1).

            Вычисление и с помощью определённого интеграла выполняется по следующей схеме (схема I):

            1. Разбиваем величину и на большее число п малых слагаемых :

                                              

            2. Выражаем приближённо каждое слагаемое  произведением  где

                                                                        .

            3. Представляем приближённое значение и интегральной суммой:

 

                                                           .

 

            Если из условия задачи следует, что погрешность этого приближённого равенства стремится к нулю при ,  то искомая величина и будет выражаться определённым интегралом:

 

.

 

 

 

           

Приведённая выше схема может быть заменена другой, более удобной для практического применения (схема II):

           

1. Пусть величина u получает приращение , соответствующее изменению х на малую величину ; рассматривается как данная или определяемая из условия задачи функция от х (рис.125.).

            2. Заменив приращение дифференциалом (главная часть приращения ) и   дифференциалом  получим:

 

                                    .

 

            3. Интегрируя это равенство в пределах от  до , получим:

 

 

                                                           .

 

10. Вычисление площадей плоских фигур.

 

 

Определение определенного интеграла как предела интегральной суммы позволяет получить различные формулы для нахождения площадей, длин и объемов геометрических объектов.

Пусть дана функция , , . Рассмотрим определенный интеграл от этой функции. С геометрической точки зрения определенный интеграл – это площадь под кривой

                                                  .                                       (9)

 

 

 

                    Рис.1.

 


Площадь S находится по формуле:  или  находится из уравнения кривой.

 
II. Фигура расположена над осью и ограничена осью Ox, кривой  ( ) и двумя прямыми x = a   и   x = b (рис.2).

             Рис. 2.

 

 

Пусть функция  принимает как положительные, так и отрицательные значения, тогда площадь можно найти по формуле:

                                                                                                                              (10)

 

 

 

 


                             Рис. 3

                       Рис. 2.

Пусть дана функция , , где , , , . Тогда площадь ограниченная этими линиями определяется по формуле         

                                                      ,                                                        (11)


                                                          Рис. 5

                Рис. 4.

Пример 1. Вычислить площадь, ограниченную графиками функций:

Решение. Построим графики данных функций (рис.4 и 5), найдя предварительно точки их пересечения путем решения системы:  Решив эту систему, получим точки О(0;0) и А(1;1).

            Формула  предполагает вычисление площади, ограниченной графиком функции f(x)=x, мы вычислим площадь треугольника ОАВ, а взяв , вычислим площадь криволинейного треугольника ОтАВ. Затем из первого результата вычтем второй. Итак,

;   и  

.           Следовательно, площадь S фигуры, ограниченная заданными линиями

 

 (кв.ед.)

             

Пример 2. Вычислить площадь S, заключенную между  линиями  и  (рис.7).

Решение. Аналогично, как и в примере 1, найдем точки пересечения данных линий. Решив систему,

                     

                     

;   тогда    у = 1,  х = ± 1

получим А(-1;1) и В(1;1).

Искомая площадь представляет собой сумму двух одинаковых площадей, каждая из которых получается разностью площади, ограниченной параболой  и осью х, и площади, ограниченной кривой  и осью х.

Следовательно,   

                                                                                                                                Рис.7.

 (кв.ед.).                                                                         

Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линией  и осью ординат (рис.8).

Решение. В этом примере искомая площадь ограничена линией  и может быть вычислена с помощью интеграла , где а и b - ординаты точек пересечения данной кривой с осью ординат. Найдем эти ординаты из системы  и x = 0. Получим а = -2;  b=1. Следовательно,,                    (кв.ед.).                                                               

 

Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком функции , осью х=0 и х=4(рис.9).

Решение. Механическое применение формулы может привести к неверному результату. Действительно, искомая фигура расположена частью выше оси х, а частью ниже. Чтобы найти абсциссы точек пересечения графика данной функции с осью х, решим уравнение

.

Разложим левую часть этого уравнения на множители:

 

.

            Корни этого уравнения  .

Чтобы найти искомую площадь, надо вычислить площади фигур OMN, NPQ, QEK, ELR (см.рис. 9) и результаты сложить (при этом нужно учитывать, что площадь любой фигуры есть величина положительная). Используя симметричность графика относительно точки (2; 0), вычислим только площади двух фигур, например, OMN и NPQ, а результат, после сложения двух этих площадей, удвоим.

 

Таким образом,   (кв.ед.).

Аналогично находим  (кв.ед.). Следовательно,

 (кв. ед.).

 

 

11.  Путь, пройденный телом

 

Путь, проеденный телом при равномерном движении за время t, вычисляется по формуле

                                                                                                                                                (1)

где скорость    υ -  постоянная величина.

При неравномерном движении скорость  υ - величина переменная, зависит от времени  t,    т.е.   

                                                                        

Путь, проеденный телом при неравномерном движении, за время  вычисляется по формуле

                                                                                                                                     (2)

Пример 1.  Скорость движения тела задана уравнением  Найдем путь, пройденный телом за 10 с. от начала движения.

Решение. В условии задачи заданно:    с,    По формуле (3) получим:

(м).

Пример 2.  Скорость движения тела заданна уравнением   м/с. Найти его путь за четвертую секунду

Решение. В условии задачи дано: с, с,   По формуле (11) получим:

 м.

Пример 3.  Скорость движения тела задана уравнением  м/с. Найти путь, проеденный телом от начала движения до его остановки.

Решение. Скорость тела равна нулю в моменты начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для этого приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t:

        c.

По формуле (11) вычислим s:

 м.

 

 

 

Пример 4.  Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось со скоростью  м/с,    другое – со скоростью  м/с. На каком расстоянии они будут друг от друга через 5с?

Решение. По формуле (3) вычислим пройденный путь первым и вторым телами:

  м,

 м,

м.

 

Пример 5.  Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью   м/с, второе – со скоростью  м/с, В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

Решение. В условии задачи дано, что тела начали двигаться из одной и той же точки, поэтому их пути до встречи будут равны. Найдем уравнение пути каждого из тел:

 

Постоянное интегрирование при начальных условиях:  будет равно нулю. Встреча этих тел произойдет при , откуда или

Решим это уравнение:

откуда ,

В момент с произойдет встреча этих тел после начала движения.

Путь, пройденный каждым из тел, найдем из уравнений пути:  (м).

Пример 6.  Тело брошено с поверхности земли вертикально вверх со скоростью  м/с. Найти наибольшую высоту подъема тела.

Решение. Тело достигнет наибольшей высоты подъема в момент времени t, когда    υ=0, т.е.  откуда с. По формуле (3) находим:

 м.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 5.Тема 2.1. Численное интегрирование ОСНОВНОЙ ТЕКСТ -.doc

 

Раздел 2.  Основные численные методы

 

 

 

2.1.. Численное интегрирование.

 

2.1.1. Формулы  прямоугольников

 

Вычисление интегралов на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае сложной подынтегральной функции. Поэтому, в приложениях используют численные методы, позволяющие найти приближенное значение интеграла с требуемой точностью.

Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно, осью и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за искомое значение интеграла.

Геометрическая идея способа вычисления определенного интеграла по формуле прямоугольного состоит в том, что площадь криволинейной трапеции  заменяет площадь равновеликого  прямоугольника , которая по теореме о среднем равна

                                                                                                        (1)

где f(c) - высота прямоугольника , представляющая собой значение под интегральной функции в некоторой промежуточной точке

Практически трудно найти такое значение c, при котором (b-a)f(c) в точности равнялось бы . Для получения более точного значения площадь криволинейной трапеции разбивают на n прямоугольников, высоты которых равны  и основания .

Если суммировать площадь прямоугольников, которые покрывают площадь криволинейной трапеции с недостатком, функция y=f(x)- неубывающая, то вместо формулы (1) используют формулу

                                                                             (2)

Если с избытком, то

                                                                             (3)

Значения  находят из равенства . Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближенный результат. С увеличением n результат становится более точным.

                   Рис. 1.                                                                    Рис. 2.

Пусть дан интеграл ,  (рис. 3)

                        Рис. 3.

 

Разделим отрезок  на n-частей

                        ,

                        .

 - формула прямоугольников.

Пример 1. Вычислите по формуле прямоугольников .

Решение. Разделим промежуток интегрирования на пять частей (рис. 4). Тогда . При помощи калькулятора или таблицы найдем значение под интегральной (с точностью до 4-х знаков после запятой):

                                                  уо = cos 0o = 1,0000;

                                                  у1 = cos  cos 9= 0,9877;

                                                  у2 = cos  cos 18= 0,9511;

                                                  у3 = cos  cos 27= 0,8910;

                                                  у4 = cos  cos 36= 0,8090;

                                                  у5 = cos  cos 45o  = 0,7071;

 

По формуле прямоугольников (с недостатком)

.

                                        Рис. 4.

С другой стороны по формуле Ньютона-Лейбница

.

Найдем относительную погрешность вычисления по формуле прямоугольников:

.

 

2.1.2. Формула трапеций

 

Геометрический смысл следующего способа приближенного вычисления интегралов состоит в том, что нахождение площади криволинейной трапеции заменяется нахождением площади приблизительно равной «прямолинейной» трапеции.

Пусть необходимо вычислить площадь  криволинейной трапеции, выражаемую формулой

Заменим дугу AmB хордой AB и вместо площади криволинейной трапеции  вычислим площадь трапеции :

,

гдеи-основания трапеции, а- ее высота.

Обозначим . Высота трапеции , площадь . Следовательно,

                                                                                                           (4)

или

.

                                                                        Рис. 5.

Это так называемая малая формула трапеции.

Для получения более точного результата необходимо разбить площадь криволинейной трапеции на n площадей ординатами, отстоящим друг от друга на расстоянии . Суммируем площади получившихся трапеций:

,

где по малой формуле трапеции

.

Сложив, получим

или

.

Так как  и , то можно записать так называемую большую формулу трапеций:

                                            ,                                    (5)

где - значения подынтегральной функции при значениях аргумента, соответственно, .

Пример 2. Ширина реки 26 м, промеры глубины в поперечном сечении реки через каждые 2 м дали следующие результаты:

x

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

y

0.3

0.9

1.7

2.1

2.8

3.4

3.3

3.0

3.5

2.9

1.7

1.2

0.8

0.6

x - расстояние от одного берега, а y – соответствующая глубина в метрах.

Зная, что средняя скорость течения 1.3 м/с, определить секундный расход Q воды в реке.

Решение. По формуле трапеций площадь поперечного сечения

 

Секундный расход воды Q получим если умножить эту площадь поперечного сечения на скорость течения реки:

.

Здесь точно оценить погрешность нельзя. Некоторые косвенные методы оценок позволяют указать приближенно, что погрешность вычисления площади S составляет примерно 3, значит, погрешность вычисления Q составляет примерно 4

Пример 3. По формуле трапеции вычислить  при n = 5.

Решение. Положим ; ; . ; ; ; ; ;; .

По формуле (10.9) будем иметь

.

 

Таким образом, площади трапеций определяются по формуле:

Рис. 6.

Тогда             - формула трапеций.                       (6)

 

2.1.3. Формула Симпсона  и ее остаточный член

   

Значительно более точные результаты получаются, если площадь криволиней­ной трапеции заменяют пло­щадью полосы, ограничен­ной сверху не прямой лини­ей, а дугой параболы, про­ходящей через три точки кри­вой с абсциссами a, = а + h и   b = а + 2h (рис. 7).

Значение определенного интеграла, вычисляется по формуле:

                                                        (7)

или

    

                        где                                                                                                

                   

             Формула (7) носит название формулы Симпсона (формулы

             парабол).Абсолютное значение остаточного члена формулы

              Рис. 7.                                    Симп­сона не  превышает значения:

                                                                                                                                                                                 (8)

 - модуль максимального значения четвертой производной от функции f(х) на интервале интегрирования [а, b].

Правая часть формулы (7)выражает площадь фигуры, составленной из параболических трапеций  и т.д. (рис. 7).Дуга графика подынтегральной функции здесь замена дугой параболы, проходящей через точки  Аналогичная замена произведена и для остальных дуг.

Для остального члена формулы (7)выполняется неравенство

                                                                                                            (9)

где М= 

Формула Симпсона является более точной по сравне­нию с формулой прямоугольников и формулой трапеций. В общем случае, интервал интегрирования разбивается на п = четное число равных частей и к каждому удвоен­ному промежутку  длины 2h (рис. 8) применяют формулу Симпсона:

Приводя подобные слагаемые, получаем общую форму­лу Симпсона:

                            (10)

Обозначим сумму нечетных значений функции :

а значений функции с четными индексами :

 

Тогда формула (10) примет вид:

                                                                                             (11)

 

 

                                                      

 

                                                                                             Рис. 8.

Ошибка формулы Симпсона (11) на каждом удвоен­ном промежутке , где k = 1, 2,..., т определяется формулой (8). Суммируя все эти ошибки, получим абсо­лютное значение остаточного члена общей формулы Сим­псона в виде:

                                                                                               (12)

Отметим, вообще, что выражение погрешности в виде определенной формулы имеет скорее теоретическое, чем практическое значение, т.к. обыкновенно дает слишком гру­бый предел.

В ряде случаев отыскание четвертой производной подын­тегральной функции оказывается затруднительным. В та­ких случаях для оценки погрешности вычисления интеграла  по формуле Симпсона при выбранном шаге разбиения , если п = 4k  применяют специальный прием, называемый методом удвоения шага вычислении.

Вычисляется приближенное значение данного интеграла по формуле Симпсона, в которой принять . Назо­вем найденное значение интеграла .Далее шаг h удваива­ется, и вычисление по формуле Симпсона проводится для шага ; вновь найденное значение интеграла обозначим .Погрешность второго вычисления приблизитель­но в 16 раз больше погрешности первого, и обе погрешно­сти имеют одинаковый знак. Поэтому погрешность перво­го вычисления (при шаге ) можно приблизительно определять по формуле:

Такой способ называют оценкой погрешности формулы Симпсона по методу удвоения шага вычислений.

Применение вышеописанного метода проиллюстрирова­но в примере 6.

♦ Пример 4.  Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл . Оценить погрешность вычислений.

Решение:  Вычисление значений функции  в точках разбиения подробно рассмотрено в примере 3.1. Определим сум­му нечетных значений функции :

                                                            

                                          

                                                               

                                                                                       Сумма .

Сумма значений функции с четными индексами:

                                        

 


                                                       Сумма .

По формуле Симпсона (11) получаем:

Оценим погрешность вычислений. Остаточный член, согласно (12):

В данном примере m=5, h=0,1. Определим модуль максимального значения четвертой производной:

Погрешность арифметических действий не превышает:

Аналитическое решение заданного интеграла (см. пример 3.1):

Таким образом, вычисленное по формуле Симпсона значение определенного интеграла совпадает с его аналитическим решением до пятого десятичного знака.

Пример 5.

 

Вычислить интеграл  по формуле Симпсона с точностью до 0,001.

Решение:

Определим, прежде всего, шаг разбиения, необходимый для достижения заданной точности. По формуле (12) имеем:

Определим максимальное значение модуля четвертой производной:

                                              

На отрезке [1;2] максимальное значение  имеет в точке x=1:

Поэтому

Потребуем, чтобы эта погрешность была меньше 0,001:

                                                 

Примем h = 0,5, т.е. интервал интегрирования разобьем на две части. Вычисления произведем с одним запасным знаком.

                                  

По формуле Симпсона (7) имеем:

 

Округляя последний знак, получаем значение интеграла по формуле Симпсона:

Сравнивая со значением интеграла, вычисленным по формуле Ньютона-Лейбница, видим, что эти значения совпадают с точностью до третьего знака после запятой.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 6.Тема 2.2. Численное дифференцирование ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

 

Раздел 2.  Основные численные методы

 

 

                                  Тема 2.2. ЧИСЛЕННОЕ   ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

 

      В ряде случаев возникает необходимость найти произ­водные от функции  у = f (х), задавши таблично. Возможно также, что непосредственное дифференцирование функции оказывается слишком сложным в силу особенностей ана­литического задания функции, В этих случаях прибегают к приближенному дифференцированию.

Для вывода формулы приближенного дифференцирова­ния данную функцию f(x) заменяют интерполяционным полиномом P(x), и полагают:

                                                             f ' (х) = P'(x)   на отрезке  [a,b]

Погрешность интерполирующей функции Р(х) определяют разностью: R(x) = f (х) −  P(x), и тогда погрешность производной P'(xвыражается формулой:

r(х)= f ' (х) P'(x) = R'(x) .

Получим формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Нью­тона.

Пусть функция   у = f(x)  задана в равноотстоящих точках   хi  (i = 0, 1, 2, … , n)  отрезка [a,b]. Функцию  у  приближенно заменим интерполяционным полиномом Ньютона:

                

Здесь       - шаг интерполяции,

Δуo -первая конечная разность:      Δуo = Δf (хo) = f (хo+h) -  f (хo) .

 

Δ2уo - вторая конечная разность:     Δ2уo= Δ(Δyo)

 

Δnуo  - конечные разности высших порядков:     Δnуo= Δ(Δ n-1yo)

 

Производя перемножение в формуле (1) и раскрывая факториал, получаем:

                            

Учитывая, что у′ = , получаем формулу приближенного дифференцирования:

                                   (2)

Аналогично для второй производной:

                                             у′′ =

                                            у′′ =

 

Таким же способом можно вычислить производную лю­бого порядка.

 

 

 

 

Если функция задана таблично, и значение производной нужно вычислить в узловых точках   хi , то каждое таблич­ное значение принимают за начальное х = xо и тогда q = 0. Формулы численного дифференцирования существенно упрощаются. Полагая в формуле (2)  q = 0,  получаем:        (3)

                                                                                                       

Для второй производной:

                                                 у′′ =

Опустим теоретический вывод и приведем конечную фор­мулу для вычисления погрешности производной:

                                                                R'(xo)                                                     (4)

где k - это максимальный порядок конечной разности, вхо­дящей в интерполяционный полином Ньютона Р(х).

В формулы численного дифференцирования входят ко­нечные разности разных порядков функции

у =f(x). Рас­смотрим подробно на примере вычисление конечных раз­ностей некоторой функции.

Пример 1. Построить конечные разности для функции Р(х)3, полагая шаг равным единице: h=1.

Решение:

Первая конечная разность функции Р(х):

ΔР(х) = Р(х + Н)-Р(х);

ΔР(х) = (х+1) – х3= х3 + 3х2 + 3х+1– х3 = 3х2 + 3х+1.

Вторая конечная разность функции Р(х):

Δ2Р(х) = Δ(ΔР(х));

Δ2Р(х) = (3(х + 1)2 + 3(х +1) +1) – (3х2 + 3х +1) = 6х + 6.

Конечная разность третьего порядка:

Δ3Р(х) = Δ(Δ2Р(x));

Δ3Р(х) = (6(х + 1) + 6) (6х + 6) = 6.

Конечная разность четвертого порядка:

Δ4P(x)= Δ(Δ3P > (х));

Δ4 P(x) = 6–6 = 0.

Все конечные разности порядка выше четвертого также равны нулю: Δn P(x) = 0.

Справедливо общее утверждение: если полином

Р(х) = а0 хп + а1хп-1 +...+ап

является полиномом   n- ой  степени, то конечная разность n-го порядка - постоянная величина:

 

n P(x) = const = n!a0 h n

Конечные разности, порядка выше, чем равны нулю.

В случае табличного задания функции y = f (x) для системы равноотстоящих точек   xi  (i = 0, 1, 2, 3, …),

где xi  = xi + 1xi   = h = const   конечные разности определяются по формулам

y= yi + 1y

2y = (yi ) = yi + 1  y

……………………………….

n yi   = (n-1 y i)   = n-1yi + 1  n-1yi                                                                                                                                                   (5)

Вычисленные конечные разности различных порядков располагают в форме таблицы 1, которую называют горизонтальной таблицей разностей или просто таблицей извечных, разностей.

 

 

 

                                                                                        Таблица 1

 

i

x

y

y

2y

3y

...

0

x0

y0

y0

2y0

3y0

1

x1

y1

y1

2y1

3y1

2

x2

y2

y2

2y2

3y2

 

 Пример 2.  Составить горизонтальную таблицу разностей функции

y = x3x2 + 6x – 4.

Соста

Начальное значение принять равным нулю,  где  x0  = 0, шаг равным единице:  h = 1.

Решение:  Вычислим значения функции в некоторых узловых точках.

При                                         x0  = 0               y= 03 – 03 + 6 · 0 – 4 = –4,

                                                 x= 1               y= 13 – 12 + 6 · 1 – 4 = 2,

                                                 x= 2               y= 23 – 22 + 6 · 2 – 4 = 12,

                                                 x= 3               y= 33 – 32 + 6 · 3 – 4 = 32,                                              (6)

                                                 x= 4               y= 43 – 42 + 6 · 4 – 4 = 68,

                                                 x= 5               y5  = 53 – 52 + 6 · 5 – 4 = 126,

                                                      ……                 ………………………….....

По формулам (5) вычислим конечные разности различных порядков и занесем их в таблицу  2.

 

 

                                                                    y0 = y1y0 = 2– (– 4) = 6,

                                                                 y1 = y2y1 = 12 – 2 = 10,                                                         (7)

            2y0 = y1y0 = 10 – 6 = 4

 

Данная функция y = f (x) является полиномом третьей степени, поэтому третья разность ее постоянна и вычисляется по формуле (4):

                                                                 3y1 = 3! · 1 · 13 = 6.

Дальнейшее заполнение таблицы удобно производить при помощи суммирования уже вычисленных значений величин.

Согласно формулам (5):                                          3yi   = 2yi+1 - 2yi

 

Отсюда:                                                            2yi+1 = 2yi+1 + 3yi

                                                                     2yi+1 = 2yi + 6 (i = 0,1,2,3,...).

Таким образом, столбец 2у получается добавлением значения третьей разности (числа 6) к каждому вышестоящему элементу.

Для формирования столбца   у из (5) получаем формулу:

                                               yi+1 = yi+ 2yi                                           (i = 0,1, 2, 3,.. .)

Каждый элемент столбца Δу представляет собой сумму вышестоящего числа в этом столбце и соседнего с ним в столбце 2y. (См. стрелку в таблице.)

Используя формулы (5), для элементов столбца у по­лучаем выражение, существенно облегчающее вычисление значений функции в узловых точках:

                                             yi+1 = yi +  yi        (i = 0,1,2,3,...).

Правило заполнения столбца   y  такое же, как столбца Δу. (См. стрелку в таблице.)

Ступенчатой ломаной отмечены исходные данные, не­обходимые для заполнения таблицы по указанным пра­вилам. Подробные вычисления представлены в (6) и (7).

 

 

Таблица 2

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 7.Тема 1. 1. Пределы.doc

ПРАКТИКУМ

Предел функции

 

І. Вычисление предела функции непосредственной подстановкой предельного значения аргумента и непосредственной функции.

  Если к данной функции, предел которой находится при стремлении аргумента к некоторому предельному значению, применимы теоремы о пределах, то вычисление предела сводится к подстановке этого предельного значения в функцию.

 

Вычислить следующие пределы:

Пример1.        (5х3-6х2+х-5).

 

Решение.   Применив последовательно теоремы и следствия о пределах, получим:

(5x3-6x2+ x −5)= (5х3 )−  (6х2)+  х − 5 = 5х36 х2+  х − 5 = 5(х)3

 − 6( х)2+  х − 5 = 5·23 − 6·22 + 2−5 = 13

Применение теоремы и следствий обычно производится в уме, поэтому подробная запись решения опускается. При подстановке предельного значения аргумента    х=2   в выражении       функции дает тот же результат и запись решения будет очень краткой:

(5x3-6x2+x-5)=5·23−6·22+2−5=13.

Пример 2.      ((7x+2)(4x-3)(5x+1)).

Решение.    Применив последовательно теоремы и следствие, получим

((7x+2)(4x-3)(5x+1)) =  (7x+2)  (4x-3)  (5x+1) = (7 x+2) (4 x-3) (5 x+1) = =(7·1+2)(4·1-3)(5·1+1) = 9·1·6 = 54.

 В этом примере решение так же можно привести в уме и, подставив вместо аргумента х его предельное значение, вычислить

((7x+2)(4x-3)(5x+1)) = (7·1+2)(4·1-3)(5·1+1) = 54.

Пример 3.     .

Решение. Убедимся, что при предельном  значения аргумента делитель не равен нулю. При х=2 делитель х-3 = 2-3 = -1 . следовательно, теорема о пределе частного применима.

При последовательном применении теорем и следствия, получим:

При непосредственной подстановке предельного значения аргумента х=2 в выражении функции имеем тот же результат:

ІІ. Вычисление предела функции, когда предел делителя равен нулю

Вычисление предела функции путем подстановки  вместо аргумента его предельного значения не всегда возможно, но  из этого не следует , что предел функции не может быть вычислен . В таких случаях требуется произвести над функцией такие преобразования, чтобы можно было применить теоремы о пределах.

а) Случай, когда предел делителя равен нулю, а предел делимого не равен нулю.

 

Пример 4.         

Решение.     Предел делителя равен нулю:

Теорему о пределе частного применить нельзя, так как деление на нуль невозможно.

Если ,   то   4х-8    есть величина бесконечно малая, а величина ей обратная  бесконечно большая. Следовательно, при     х2    произведение ·5        есть величина бесконечно большая, т.е. = .

б) Случай, когда предел делителя и делимого равен нулю.

Пример 5.         .

Решение. Предел числителя (3х2-2х) = 0   и предел знаменателя    (2х2-5х) = 0.

 Но отношение  не имеет смысла.

            Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы о пределе частного. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо.  По определению предела функции (6) аргумент х стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения, поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю.

 Имеем:

 = = = =

Пример 6.       .

 Решение. Предел числителя   (х2−5х +6) = 3·3−5·3 + 6 =0    и предел знаменателя   

                   (3х - 9) = 3·3 − 9 = 0 . Имеем неопределённость вида  .

Числитель – квадратный трехчлен, разложим его на линейные множители по формуле  , где  х1  и  х2 - корни трехчлена . Разложив на множители числитель  и знаменатель , сократим дробь на  (х-3). Применив теоремы о пределах, имеем:

= = = = .

Пример 7.  

Решение.   Предел числителя  и предел знаменателя .

 

Разложим числитель и знаменатель на линейные множители. После сокращения на общий множитель и применения теоремы и  следствия о пределах, получим :

Пример 8.  

Решение. Предел числителя  и предел знаменателя

При вычислении предела дроби , числитель и знаменатель  которой многочлены , обращающиеся в нуль при предельном значении аргумента  , можно использовать теорему Безу , согласно которой оба многочлена разделятся  без остатка на  . Сократив числитель и знаменатель на двучлен  (предельное значение х=2) ми применив теоремы о пределах  и следствия 1 и 2, получим:

 

Пример 9.   

 Решение. Предел числителя  и предел знаменателя

 

Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель    и затем сократим дробь на . Применив теоремы ІV,ІІ и  следствие 3 теоремы ІІІ, получим:

 

 

 

Пример 10.       

Решение . Из условия задачи следует ,что при х-2 функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Выполнив вычитание дробей , получим дробь , числитель и знаменатель которой при х-2 стремится к нулю . Сократив дробь на х+2 и применив теоремы ІV,ІІ и І и следствия 1 и 2 теоремы ІІІ, получим :

 

Пример 11.       

Решение. Предел  числителя  =()==0   и  предел знаменателя (1+sin3x)= 1-sin3x=1-1=0.

Разложив числитель и знаменатель на множители и сократив дробь на  1+sin x, получим:

 

Вычисление предела функции при х

Пример 12.       (x3-6x2+5x-1).

Решение. Первые три слагаемых при х пределов не имеют, следовательно,  теорему 2 непосредственно применить нельзя. Вынесем x3 за скобки и последовательно применим теоремы 3, 2 и следствие 2 теоремы 3:

*  | x3 | =(x)3( 

   

Члены ,  и  при х бесконечно малые величины и их  пределы равны нулю.

Раскрытие неопределенностей вида: а), б), в).

а) Случай, когда при х делитель есть бесконечно большая величина, а делимое-постоянная величина.

Пример 13.    *

Решение. Делитель 4х+1 при х неограниченно растет, т. е. является величенной бесконечно большой, а величина обратная -бесконечно малой. Произведение ·5 бесконечно малой на ограниченную величину есть величина бесконечно малая, и предел ее при х равен нулю. Следовательно,

*.

б) Случай, когда при х делимое и делитель есть бесконечно большие величины.

Пример 14.       

Решение. Делимое и делитель при х-величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 4 получаем выражение , но отношение  никакого числа не выражает и называется неопределенностью. Для вычисления предела этой функции делимое и делитель нужно разделить на х:

Слагаемые  и      при х-величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю.

Применив теоремы 4, 2 и 1, получим:

 

**

Пример 15.    *

Решение. Разделим числитель и знаменатель дроби на х3:

.

При  х слагаемые    и - бесконечно малые и их пределы равны нулю. Имеем:

**

Пример 16.   *                           

Решение. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т. е. на х3:

*=*

при х имеем:

 

*()= и *( )=3.

Знаменатель ограниченная величина, поэтому

*=

 

 

в)  Случай, когда при х уменьшаемое и вычитаемое есть бесконечно большие величины.

Пример 17.   *(x-).

Решение.

**()=**=*

Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Предел отношения   при  .

1.      Для сравнения между собой двух бесконечно малых  и  находится предел их отношения. Если при этом окажется, что

1)        Lim=0, то  есть бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с ;

2)        Lim=, то  есть бесконечно малая низшего порядка малости по с ;

3)        Lim=(-постоянное, 0), то  есть бесконечно малая того же порядка малости, что и ;

4)        Lim=1, то  и -эквивалентные бесконечно малые.

Эквивалентность двух  бесконечно малых  и  записывается приближенным равенством                

2.      При выполнении упражнения этого параграфа, кроме теорем о пределах и основных свойств бесконечно малых, применяются:

а) свойства эквивалентных бесконечно малых. Если

                                                            * и , то

*                                            limlimlimlim,

*

т. е. при вычислении предела отношения двух бесконечно малых можно каждую (или только одну) из них заменить другой бесконечно малой, ей эквивалентной;

б) ;                                                                       2) .                                

Пример 1 Сравнить следующие бесконечно малые: 1)x2; 2); 3); 4); 5); 6) с бесконечно малой .

Решение. Для сравнения каждой из данных бесконечно малых с бесконечно малой x нужно найти предел отношения их к бесконечно малой x. Имеем:

1) ,

где x2- бесконечно малая высшего порядка малости по сравнению с x (случай 1);

2)

где - бесконечно малая низшего порядка малости по сравнению с x (случай 2);

3)

где  - бесконечно малая того же порядка малости, что и x (случай 3);

4) .

Чтобы применить формулу , умножим числитель и знаменатель на 3. Имеем:

,

где - бесконечно малая того же порядка малости, что и x (случай);

5)

= 2·2·1·1 =2,

где tg 2x – бесконечно малая того же порядка малости, что и x (случай 3);

 6) ,

Sin x cos x и x эквивалентные бесконечно малые, так как предел их отношения равен 1 (случай 4).

 

Пример 2.   Доказать эквивалентность следующих бесконечно малых при x0: 1); 2); 3); 4); 5); 6).

Решение. Две бесконечно малые эквивалентны, если предел их отношения равен 1.

1)  [по формуле ];

2) 1·1=1;

3)пусть , тогда ; если , то и ;

;

4);

5);

6).

 

 

Вычислить пределы.

Пример 3.    

Решение. 1-й способ.

.

2-й способ. В примере 2(1) было доказано, что , тогда при  . По свойству   а) эквивалентных бесконечно малых.

.

Пример 4.    .

Решение. По свойству а) эквивалентных бесконечно малых получим:

*   .

Пример 5.    *.

Решение.**

**.

Пример 6.     *

 

Решение. Преобразовав разность косинусов в произведение, получим:

           

**2**

Ответ.   0.     

 

Пример 7.      *.

Решение. ***=

    .

Пример 8.       *.

Решение. Применив свойство эквивалентных бесконечно малых (а), получим:

**.

Ответ.   .

 

Пример 9.      .

Решение. Введём подстановку

,   тогда . Если , то .

Получим:

*

*     *

Ответ.   -1.

Пример 10.        

Решение. Положив arcsin 3x=, имеем sin =3x,

Проведем преобразования :

 

тогда

 

Ответ.    .

Число е. Натуральные логарифмы.

 

  1.                          

  Число е иррациональное (еболее точное значение е ). Логарифмы с основанием е называются натуральными , для них введено обозначение ln .

  2. Десятичные и натуральные логарифмы связаны соотношениями :

                                                                          

где М модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным :

                   

    Формулы (4.4) и (4.5) для применения к вычислениям примут вид :

                                                                  

                                                                     

Пример 1. Найти натуральные логарифмы чисел : 1) 7:  2) 0,12

Решение. По формуле (4.7) найдем : 1)

2)

 

Пример 2.  Найти десятичные логарифмы чисел по их натуральным логарифмам : 1) 0,2624; 2) 2,1401.

Решение. По формуле (4.6) найдем : 1)  2)

Пример 3. Вычислить с помощью таблиц десятичных логарифмов :

1)  2)  3)  

Решение.

                        

Пример 4. Вычислить без помощи таблиц : 1) 2) 3) 

Решение.

Вычислить пределы.

Пример 5.   

Решение. Выполним следующие преобразования и применив формулу (4.3) найдем предел:

Пример 6.

Решение. Выполним следующие преобразования и, применив формулу (4.3), найдем:

Пример 7.    

Решение. Выполним следующие преобразования и, применив формулу (4.3), найдем предел :

                 

 

 

 

Тренировочные упражнения

 

 

Предел функции

 

3.36.     1)[(x2-1)(x-3)(x+5)];           2)((2x-4) (x-1)(x+2)).

3.37.    1)         2)

3.38.    1)                     2)  .

3.39.    1)                 2)  .

3.40.  

3.41.   

3.42.   

3.43.

3.44.   

 

Указание. Умножить числитель и знаменатель на произведение:

1)       и затем сократить дробь на 9-х;

2)       и затем сократить дробь на х-1.

3.45.    

3.46.     1)     2)

3.47.      

Указание. Умножить  числитель и знаменатель на  и сократить дробь на ctgx.

3.48.      .

3.49.     1) *(x2-5x+6);  2) *(x3+3x2).

3.50.       1) *                      2) *().

3.51.       1)        2) *

3.52.     1) *   2) *

3.53.        1) *   2) *

3.54.  1) *       2) *        3) *

Указание. Разделить числитель  и знаменатель на 2x.

 

 

 

Бесконечно малые

3.55.   Сравнить следующие бесконечно малые: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5)  с бесконечно малой .

3.56Доказать эквивалентность следующих бесконечно малых при x0:

1);  2);  3); 4); 5).

3.57.    1); 2).

3.58.    1) *; 2) *.

3.59.   1) *; 2) *.

3.60.    1) *; 2) *;3) *; 4) *;

5) *.

 

3.61.   1) *.  2) .

 

3.62.   1)*; 2)*.

3.63.    

3.64.  

3.65.    1) 2)

3.66.   1)  2)

3.67.      1)   2)

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 8.Тема 1.2.-1.3. Производная.doc

Практикум

Производная

 

Пример1. Пользуясь определением, найти производную функции

 

Пример 2. Пользуясь определением, найти производную функции

Решение: Найдем приращение функции , вызванное приращением аргумента :

 

Тогда

 

 и

Итак, при .

Пример 2  Найти производную

а) ((х + 5)(х – 8))' =(x+5)' (х – 8)+(х – 8)' (х + 5) = 1∙(х – 8)+ 1∙(х + 5) = 2х – 3;

б) ((2х – 7))'= (х2)' (2х – 7) + х2 (2х – 7)′ =2х (2х – 7) +х2∙2 = 6– 14х;

в)

г) ;

д)

е)

ж)

Пример 3. Найдите производную функции

.

 

Решение. Так как   f(х) = х   при  х > 0   и   f(х)= при х < 0,  то, используя значение производной для линейной функции, получим

 

 

Докажем, что функция  в точке  не имеет производной.

Если  и поэтому

Если  то  и поэтому

 

Следовательно, функция f(х) = | х | не имеет производ­ной в точке   х = 0.

 

Пример 4.Продифференцировать данные уравнения функций:

а)    б)    в)

г)    д)    е)

Решение.

а)

.

б)

в)

г)

д) 

е)

 

Пример 5. Используя логарифмическую производную, найти производную функций:

а) б)

Решение. а)Полагаем обе части равенства:

Продифференцируем последнее равенство: , т.е.

 или

 

Отсюда

б)Поступая, как и выше, получим:

Дифференцируя обе части, получим

т.е.

Окончательно

Пример 6.  Найти производную  неявно заданной функции :

Решение. Дифференцируя обе части уравнения и учитывая, что -функция от , получим

или

Отсюда находим

т.е.

Пример 7. Найти  и  функции  заданной параметрически:

Решение. Найдём   и :

тогда

Далее

тогда

                             

Пример 8.

1)                  Найти приращение и дифференциал функции       в точке    , если

Решение. Найдем сначала  и dy в общем виде:

 

 

Тогда при    и    имеем:

 

2)                  Вычислить приближенно с помощью дифференциала

Решение. Воспользуемся формулой (4.18):

 

Для решения задач введем функцию у =

Положим х=24,  тогда

 и

9. Найти пределы (не используя правило Лопиталя):

 а)   ,         б) ,

в)      ,            г),

                         д) .

Решение.

 

а) = ====.

Пояснение . Так как мы имеем дело с неопределённостью вида, которую вносит множитель  x–10 при  х1, то нашей целью было сократить на этот множитель (раскрыть неопределённость). Далее воспользовались теоремой о пределе и тем фактом, что предел многочлена в точке (см. параграф 16 «Предел функции»).

б) ===

=====.

Пояснение. Так как неопределенность вида  вносит множитель   х–5 при   х0, то нашей целью было сократить на    х–5  числитель и знаменатель (раскрыть неопределенность), только достигли мы этого с помощью домножения на сопряженный множитель;

(a-b)(a+b) = ab

в) ====-8.

Пояснение. При вычислении предела мы воспользовались первым замечательным пределом в следующей форме:    sin xx, при   х 0. Далее воспользовались теоремой  о применении эквивалентных б.м. к вычислению пределов.

г)= ===е= e5   .

Пояснение. Мы воспользовались вторым замечательным пределом

                                          = е .

и тем что =// === 5,

т.к. =0 (обратная к б.б. является б.м.).

д) ==== -

Пояснение.  при х0  при  х0,

                      е х – 1 х,   при  х0     е 14х   при  х0.

10. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) ;       2) ;      3) ;   4)   5) ;   6).

 

Решение.  1) Подстановка предельного значения аргумента  приводит к неопределенности вида . Раскроем ее с помощью правила Люпиталя (1):

.

Однократное применение правила Люпиталя не приводит к раскрытию неопределенности (по-прежнему получаем ), поэтому применим его еще раз:

.

Таким образом, в результате двукратного применения правила Люпиталя находим, что искомый предел равен 5.

2) Убедившись, что имеет место неопределенность вида , применим правило Люпиталя:

                                              .

 

3)  Имеем неопределенность вида

Пусть=А, тогда

ln А=====,

поэтому   =А = еlnА = е0 = 1

 

4)        

5) Имеем неопределенность (). Пусть , тогда

                    

 

Итак,

6)

 

 

11.Найти производные функций

а) у = 5+7х2 ,   б)

в)  г)

д)

Решение 

а) у=5+7х2 = 5+7х25,

== 14х    

б) воспользуемся формулой:

 

 

в) 

 

 

 

г)

 

   

д)

*        

*        

 

  1. Найти  производную функции  

Решение.

Это показательно степенная функция и мы воспользуемся логарифмической производной.

13.Найти производную функции

Решение. Воспользуемся вновь логарифмической производной

,

беря производную от обеих частей получим

,

окончательно находим

.

14.Найти , где .

 

Решение.  Находим последовательно

 

отсюда получаем

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Пользуясь определением, найти производную функции

 

 

Ответ:              

 

2. Продифференцировать данные функции:

 

а)          б) ;     в)

 

г)         д) ;     е) ;

 

 

Ответ: а)  б) ;  в)   г)  д)   е) .

3. Используя логарифмическую производную, продифференцировать функции:

 

а) ;      б)

 

Ответ: а) ;

 

            б)

 

4. Найти производную у' неявно заданной функции у:

 

 

Ответ:

 

5.  Найти   и   функции у, заданной параметрически

 

 

Ответ:

 

6.  Найти приращение и дифференциал функции  в точке , если

Ответ:

7.  Вычислить приближенно с помощью дифференциала  при х=1,04.

Ответ: 1,99.

 

 

8. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

а)   б) ;

Ответ: а)6;  б)1.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ 9.Тема 1.4.-1.5. Интегралы.doc

ПРАКТИКУМ

Неопределённый и определённый интегралы

 

Метод разложение или табличное интегрирование.

 

Пример 1. Найти интеграл  .

Решение.  =+  −  − = 4·  + + С = х4 + х3х2 − 8х + С.

Ответ.    х4 + х3х2 − 8х + С.

 

Пример 2. Найти интеграл  .

Решение.

 

Ответ.

 

Пример 3.   .  

Решение.

 · =

Ответ.   

 

Пример 4. .

Решение.    

Ответ.

 

Пример 5. Найти интеграл

Решение.

Ответ.  

Пример 6. Найти интеграл

Решение.   

+ =

Ответ.   .

 

Пример 7. Найти интеграл .

Решение.   

Ответ.   .

 

 Пример 8. Найти интеграл

Решение.

 

Ответ.  

 

Пример 9.  Найти интеграл

Решение. = = = = =    .

Ответ.   .

 

Пример 10.  Найти интеграл

Решение.  =

=  .

Ответ.  

Пример 11.  Найти интеграл

Решение. .

Ответ.  

 

Метод замены переменной (метод подстановки)

 

Пример 1.  Найти интеграл  

Решение.   Пусть   х + 5 = t, где tновая переменная. Продифференцируем обе части этого уравнения, получим  dx = dt.

Следовательно,    = .

Возвращаясь к прежней переменной  х   получим    = .

Ответ.  .

 

Пример 2. Найти интеграл  

Решение.

Ответ.   .

 

Пример 3. Найти интеграл

Решение., тогда  

Ответ.  

 

Пример 4. Найти интеграл   .

 

 

 

 

Решение.    ║тогда, обозначив  t = x2  + 2,  имеем dt = 2xdx,   xdx =  .

Ответ.   .

 

Пример 5.  Найти интеграл

Решение.  −   =  х  −  =  х  − .                   .

 

Ответ.   х  − .                  

 

Пример 6.  Найти интеграл .

Решение. =      ║Положим  откуда дифференциал будет равен   ,   т.е.    или

    итак,    = = -2t + C

Перейдём к старой переменной:   =.

Ответ.   .

 

 

Пример 7.  Найти интеграл .

Решение. = =        ║     Имеем:

== arctg t +C.  

Перейдём к прежней переменной  = arctg t +C =arctg +C .

Ответ.   arctg +C .

 

Пример 8.  Вычислить интеграл .

Решение.    = =

Заменим   тогда  откуда      таким образом,  .

Ответ.   .

 

Метод интегрирования по частям.

 

Пример 1. Найти интеграл .

Решение.      ,     полагая   ,     получим    .

 Ответ.   

Пример 2. Найти интеграл

Решение.   полагаем    Ответ.   .

Пример 3. Найти интеграл

Решение.  обозначим  и = ех,   dv = cos x dx.   Тогда    dи =  ех dx,     v = sin x.

  ех sin x

Полученный     интеграл      вычислим      интегрированием     по     частям,      положив,     откуда найдем

                                   (1)

Подставим значение полученного интеграла в выражение  (1),   найдем

 Перенесем интеграл из правой части равенства в левую, получим

и окончательно, найдем

где

Ответ.   .

Пример 4.   

Решение.  sin sin

Пусть и = е,   dv = sin x dx.   Тогда    dи = − е dx,     v = −cos x.

Подставляя  эти величины в формулу   , имеем:

е cos x= −е cos x .

Применим правило ещё раз:

Пусть  и = е,   dv = cos x dx.   Тогда    dи = − е dx,     v =  sin x.

Подставим  эти величины в формулу    для второго интеграла.

Тогда будем иметь

= −е cos x(е sin x) =−е cos x −е sin x.

Итак, имеем      = е cos x −е sin x.

Решим уравнение относительно данного интеграла:

 + = е cos x −е sin x + С,

2 = − е (sin x + cos x) +С,

Таким образом,

 = − е (sin x + cos x) + С.

Ответ.    − е (sin x + cos x) + С.

 

Вычисление определенного интеграла с помощью замены переменной.

Пример 1. Вычислить определенный интеграл

Решение. Сделаем замену переменной t = 1 + x2. Тогда dt - 2 х dx. t = 1 при х = 0, и t = 2 при  x=1. Так как подынтегральная функция непрерывна на рассматриваемом отрезке, то существует первообразная на этом отрезке.

Пример 2. Вычислить определенный интеграл  

Решение. Применим замену переменной х = 2sin tтогда 

t = arcsin,     

Найдём новые пределы интегрирования при х = 0,   t = 0,  при х = 2   .

Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл, получим

 

 

 

Вычисление определённого интеграла  методом интегрирования по частям

 

Пример 1. Вычислить определённый интеграл  .

Решение. Положим  u = x, dv = dx, тогда du = dx     или  v =

 

Пример 2. Вычислить определённый интеграл .

Решение. Положим u = x, dv = dx, тогда du = dx     или  v =  

По формуле интегрирования по частям найдём

Пример 3. Вычислить определённый интеграл  .

Решение. Обозначим через u = arctg x, dv = dx, отсюда du =  v = x и по формуле интегрирования по частям получим

 

 

Геометрические приложения определённого интеграла

 

 

Пример 1.  Найти площадь, ограниченной линиями 

 

Решение.  Данные линии пересекаются в двух точках.  Решив уравнение 3 -  найдём абсциссы этих точек: x = -1, x = 2.  Поэтому интеграл примет вид

 

Разобьем интеграл на три интеграла соответственно по отрезкам [-1,0], [0,1], [1,2]. Получим 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тренировочные задания.

 

Метод табличного интегрирования.

 

1)  ,                                                                                   Ответ:

2)  ,                                                                                  Ответ:  

3)  ,                                                                                             Ответ:  

4)   ,                                                                           Ответ:  

5)  .                                                                                            Ответ:  

 

Метод замены переменной

 

1.                                                                     Ответ:                                                       

2.                                                                  Ответ:

3.                                                                Ответ:                                                                                                                                                                                                                                                                                                  

4.                                                                  Ответ:

5.                                                               Ответ:                                                       

 

Метод интегрирования по частям

 

1.                                                              Ответ:

2.                                                                    Ответ:

3.                                                                  Ответ:

4.                                                           Ответ:

5.                                                                    Ответ:

 

 

Вычисление определенного интеграла

Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычислить интегралы:

      1.        Ответ: 2,5.                 2. .       Ответ:.                3.      Ответ:  16.  

     4.  .   Ответ: 40.          5.      Ответ:.           6.      Ответ:

7.           Ответ: .          8.          Ответ: ln 4.          9.        Ответ: ln .

10. .    Ответ:  е2 е.            11.    Ответ:   (е3 1).         12.         Ответ:  .

13. .    Ответ:.       14.    Ответ:.       15.  . Ответ:.                                                                              

16. .      Ответ:.                17.  .   Ответ:.

 

 

Вычислить интегралы с помощью замены переменной

1.                                                              Ответ:

2.                                                 Ответ:

3.                                                          Ответ:

4.                                                         Ответ:

5.                                                              Ответ:

 

                                                     

 

 

Вычислить интегралы методом интегрирования по частям.

1.                                                                     Ответ:

2.                                                              Ответ:

3.                                                                   Ответ:

4.                                                                  Ответ:

5.                                                            Ответ:

 

 

Вычисление площадей

 

1.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

.                                                                                                Ответ: .

2.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

   

             .                                                                                              Ответ:12.

     3. Найти площадь области, заключенной между параболами

                                                                                                      Ответ:     

     4. Найти площадь области, ограниченной равнобокой гиперболой    ху = , осью Ох и  прямыми х = а, х = 2а.                                                                                                 Ответ:                             

     5. Найти площадь области, ограниченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. 

                                                                                                                                        Ответ:2

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ Содержание.docx

 

Министерство образования и науки Краснодарского края

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Апшеронский лесхоз-техникум» Краснодарского края

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

методическое пособие

 

по математике

для студентов 2 курса

специальность  Право и организация социального обеспечения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013 г.



 

 

 

 

 

Методическое пособие по математике для студентов 2 курса разработано в соответствии с ФГОС для специальности  среднего  профессионального образования   Право и организация социального обеспечения  и  представляет собой  теоретический  и практический  материал по всем разделам  учебной дисциплины  математика. Методическое пособие  имеет небольшой формат  и выполнено в электронном варианте. Предусмотрена возможность использования пособия посредством компьютера. Студенты  могут использовать методическое пособие для самостоятельного изучения пропущенных тем и самоконтроля. Электронный носитель прилагается.

 

 

 

 

 

Разработчик:

Преподаватель математики

 ГБОУ СПО «Апшеронский лесхоз-техникум» КК Яценко М.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение

Основная часть

Часть I. Теоретический материал.

Раздел I.Основные понятия и методы математического анализа.

1.     Тема 1.1. Теория пределов. ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

2.     Тема 1.2.-1.3. Производная. Приложение производной. ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

3.     Тема 1.4.Неопределённый интеграл. ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

4.     Тема 1.5. Определённый интеграл.ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

Раздел II.Основные численные методы.

5.     Тема  2.1.  Численное интегрирование.ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

6.     Тема  2.2.  Численное дифференцирование.  ОСНОВНОЙ ТЕКСТ

Часть II. Примеры и тренировочные  упражнения по темам.

7.     Тема 1.1.  Пределы.

8.     Тема 1.2.-1.3. Производная.

9.     Тема 1.4.- 1.5. Интегралы.

10. Тема 2.1-2.2. Численные  методы.

 

     Заключение

 Литература

ПРИЛОЖЕНИЕ

11. Алфавит

12. Глоссарий.

13. Список обозначений  математических терминов.

14. Таблица основных интегралов.

15. Таблица производных.

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

            Современный этап среднего профессионального образования характеризуется значительным изменением профильной структуры подготовки кадров. Обновление содержания среднего профессионального образования обеспечивается повышением профессиональной компетентности будущих  специалистов.

          Цель преподавания математики в техникуме — ознакомить студентов с основами математического аппарата  необходимого для решения теоретических и прак­тических задач; привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложения; развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры; выработать навыки мате­матического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык.

          Методическое пособие по математике состоит из 15 файлов в формате Microsoft Word, которые содержат в себе целостный текст теории, примеры и тренировочные  упражнения по темам и приложение, где  собраны основные математические понятия для быстрой ориентации студентов:

ü файлы 1-6: теоретический материал;

ü файлы 7-10: примеры и тренировочные  упражнения по темам;

ü файлы 11-15: приложение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Содержание методического пособия по математике для студентов  второго курса специальность  Право и организация социального обеспечения отвечает совокупности требований, обязательных при реализации основных профессиональных образовательных программ по данной  специальности, соответствует Государственным требованиям к минимуму содержания и уровню подготовки студентов, и представляет собой  теоретический  и практический  материал  по всем разделам  учебной дисциплины  математика.

Рекомендовано студентам для домашнего и самостоятельного изучения пропущенных тем и самоконтроля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература

Основные источники:

1.     Филимонова Е.В. Математика. – Ростов-на-Дону, Феникс, 2009.

2.     Башмаков М.И. Математика. – Москва, Академия, 2010.

3.     Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика, - Москва, Дрофа, 2009.

4.     Богомолов Н.В. Сборник задач по математике, - Москва, Дрофа, 2009.

5.     Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. – Москва, Дрофа, 2009.

6.     Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика. – Москва, Академия, 2009.

7.     Пехлецкий И.Д. Математика. – Москва, Академия, 2008.

 

Дополнительные источники:

1.     Апанасов П. Т., Орлов М. И.. Сборник задач по математике. Москва, Высшая школа, 1987.

2.     Валуцэ И. И., Дилигун Т. Д. Математика для техникумов на базе средней школы. Москва, Наука, 1989.

3.     Высшая математика для экономистов /под ред. Кремера Н. Ш. – Москва, ЮНИТИ, 2002.

4.     Калнин Р. А.. Алгебра и элементарные функции. Москва, Наука, 1967.

5.     Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. 4.1. - Москва, Наука, 1987.

6.     Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /под ред. Яковлева Г.Н. 4.2. - Москва, Наука, 1988.

7.     Рудник А. Е., Клуева Л. А., Мосолова М. С.. Сборник задач по элементарной математике. Москва, Наука, 1974.

8.     Цыпкин А. Г.. Справочник по математике для средней школы. Под ред. С. А. Степанова. Москва, Наука, 1979.

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса"

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 933 материала в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.05.2016 5269
    • RAR 3.8 мбайт
    • 22 скачивания
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Яценко Марина Михайловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Яценко Марина Михайловна
    Яценко Марина Михайловна
    • На сайте: 8 лет и 10 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 22674
    • Всего материалов: 14

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

Бухгалтер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 85 человек из 36 регионов

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 63 человека из 36 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Мини-курс

Интеллектуальная собственность: медиа и фотографии

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 24 человека из 17 регионов

Мини-курс

Управление рисками и финансовое моделирование

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Занятия спортом при заболеваниях опорно-двигательного аппарата

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 36 человек из 18 регионов