Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по математике для студентов 2 курса

Выбранный для просмотра документ 1.Тема 1.1. Теория пределов ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов

12



Тема1.1. Пределы и непрерывность.


1. Предел функции. Определение предела функции в точке.

Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки хhello_html_m6f7407bd.gif, за исключением, может быть, самой точки хhello_html_m6f7407bd.gif.

Определение 1 (предела функции (по Гейне)): Число А называется пределом функции y=f(x) в точке хhello_html_m6f7407bd.gif(при хhello_html_m6bb904b4.gif хhello_html_m6f7407bd.gif), если для любой последовательности hello_html_m7fec1a3f.gif допустимых значений аргумента xhello_html_1a7a4002.gif,xhello_html_1a7a4002.gifhello_html_m88d8014.gifxhello_html_m6f7407bd.gif, сходящийся к хhello_html_m6f7407bd.gif, xhello_html_1a7a4002.gifhello_html_m2e5cb3ec.gif хhello_html_m6f7407bd.gif,соответствующая последовательность hello_html_5c745719.gif значений функции сходится к числу А:hello_html_1e173b0c.gif.

Обозначение: hello_html_70fa8428.gif или hello_html_m3577e2c3.gif.

Определение 2.(предела функции (по Коши)): Число А называется пределом функции y=f(x) в точке хhello_html_m6f7407bd.gif (при хhello_html_m6bb904b4.gifхhello_html_m6f7407bd.gif), если для любого числа hello_html_m4de969ab.gifсуществует число hello_html_6806ba1e.gif, такое, что для всех допустимых значений аргумента х, удовлетворяющих неравенству hello_html_m2dbf0509.gif, выполняется неравенство hello_html_1f372ed3.gif.

Заметив, что hello_html_m3578a73a.gif выражает расстояние между числами а и b, можно сказать, что hello_html_m6e390cb4.gif геометрически означает, что для всех х, достаточно близких к хо , соответствующие значения функции hello_html_6310c60d.gif близки к числу А.

Определения 1 и 2 предела функции эквиваленты (примем без доказательства)

Рис. 1. hello_html_5bb7b9.jpg


2. Основные теоремы о пределах функций.

Определение предела функции «на языке последовательностей» (по Гейне) и «на языке ε-δ» (по Коши) позволяют без особого труда перенести на функции основные теоремы о
пределах последовательностей. Формулировки и доказательства теоремы для случаев hello_html_m7da7cc7e.gif и hello_html_m40b0dc10.gif аналогичны.


Теорема 1. Пусть функция hello_html_mb681d8a.gif имеет предел в точке х0, т.е. hello_html_497146db.gif.
Тогда:
1) этот предел единственный (единственность предела);
2) функция hello_html_mb681d8a.gif ограничена в некоторой окрестности точки х0 (ограниченность функция имеющей предел).

Перейдем к рассмотрению арифметических свойств пределов функций.

Теорема 2. Пусть hello_html_m3da1552e.gif и hello_html_m18806a0b.gif.

Тогда справедливы утверждения:

1)hello_html_226b12ce.gif. (1)

(Постоянный множитель можно выносить за знак предела).


2)hello_html_m27c51d07.gif. (2)

(Предел алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме пределов этих функций).


3)hello_html_78814a47.gif. (3) (Предел произведения двух или нескольких функций равен произведению пределов этих функций).

4)если hello_html_m2500896a.gif, то hello_html_5c570129.gif (4) (Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что hello_html_11494669.gif и hello_html_m4829fca5.gif ).

Следствие. Если hello_html_m3da1552e.gif, то

hello_html_m2d6dc47e.gif(5)

.

Теорема 3. Пусть функции hello_html_m76718e7f.gif и hello_html_meb81d5a.gif определены в некоторой окрестности точки hello_html_m76718e7f.gifhello_html_48bafc8f.gif, за исключением, быть может, самой точки hello_html_48bafc8f.gif и в каждой точке x из этой окрестности hello_html_m3d64284f.gif. Если функции hello_html_m66a31e82.gif и hello_html_meb81d5a.gif имеют в точке hello_html_48bafc8f.gif предел, равный А,

т.е. hello_html_7a4be57b.gif, то функция hello_html_m1e04d205.gif так же имеет предел в точке hello_html_48bafc8f.gif:

hello_html_10630396.gif

Доказательство: Рассмотрим любую последовательность hello_html_m1cd89071.gif, значений аргумента функций hello_html_m66a31e82.gif и hello_html_meb81d5a.gif, сходящихся к hello_html_m60dd6348.gif. Соответствующие последовательности hello_html_m5113fde2.gif и hello_html_m5113fde2.gif значений функций имеют предел, равный hello_html_m6e386b7b.gif при hello_html_m75ede278.gif. По условию теоремы

hello_html_6c721469.gifhello_html_m53d4ecad.gif

поэтому, на основании теоремы о трех последовательностях (см. предельный переход в неравенствах), последовательность hello_html_m647d97f2.gif сходится и имеет своим пределом число hello_html_m1a36b0cd.gif при hello_html_m75ede278.gif. Итак, hello_html_1740c548.gifhello_html_m318afb38.gif. Это и означает по определению 1 предела функции, что hello_html_41b2c7f7.gif теорема доказана.

Рассмотрим некоторые важные примеры:

Пример 1. Если hello_html_m40b0dc10.gif, то hello_html_m7eefd5f2.gif. Действительно, если hello_html_6c080fad.gif– произвольная б.б. последовательность, hello_html_m16ef4d6f.gif при hello_html_m75ede278.gif, то обратная к ней последовательность hello_html_m645a31db.gifб.м., т.е. hello_html_m11b405b0.gif при hello_html_m75ede278.gif, а это означает, что hello_html_m7eefd5f2.gif при hello_html_m40b0dc10.gif.

Ясно, что справедливо и обратное утверждение.

Пример 2. Пусть hello_html_m52088cf7.gif, hello_html_m2d1822de.gif – степенная функция. Тогда в каждой точке hello_html_mb7d1396.gif функция hello_html_69eac1e4.gif имеет предел, равный значению функции hello_html_17aac240.gif в этой точке:hello_html_21713c9f.gif. Это вытекает из следствия теоремы 2 :

hello_html_m120e1575.gif

Пример 3. Если hello_html_m292ed37b.gif– многочлен степени n, тогда на основании теоремы 2 и предыдущего примера имеет:

hello_html_m7e7c8dc8.gif

Если же hello_html_m40b0dc10.gif, то hello_html_6d0d90ea.gif,

т.е. hello_html_m72961561.gif.

3. Понятие и раскрытие неопределенностей.


При вычислении пределов функций часто приходится пользоваться теоремой 2, так, при вычислении предела частного двух функций hello_html_m37d00ce6.gif могут возникать ситуации, когда применение теоремы 3.2 невозможно. Одна из таких ситуаций возникает, когда hello_html_62bf6203.gif, другая ситуация возникает тогда, когда hello_html_m37ab8d3a.gif. Тогда мы говорим, что имеется неопределенность вида hello_html_m72db000.gif или hello_html_m1eb2964e.gif. Вычислить предел в этой случае означает раскрыть эту неопределенность. При вычислении предела hello_html_48eac94b.gif, может случится, чтоhello_html_m71905154.gif, а hello_html_m53dca66a.gif, тогда возникает неопределенность вида hello_html_m42845759.gif. При вычислении предела hello_html_587ce03.gif может случится, что hello_html_7150d15c.gif, т.е. бесконечные пределы одного знака. Тогда возникает неопределенность вида hello_html_52ef71c7.gif.

Позже мы рассмотрим вычисление пределов hello_html_m749ec05.gif. При их вычислении возникают неопределенность вида hello_html_5cc4f059.gif, или hello_html_m15c9f2b7.gif.

Пример 4. Вычислить предел hello_html_md3e5a93.gif

При различных значениях hello_html_48bafc8f.gif 1)hello_html_4a2cb0cd.gif, 2)hello_html_m688ff051.gif, 3)hello_html_5fa61619.gif.


1) hello_html_7af113c2.gif.

поясним приведенное решение. Функция hello_html_m5aa9cbe9.gif представляет собой частное двух многочленов, а, как показывает пример 7 предел многочлена в данной точке равен значению многочлена в этой точке, т.е. hello_html_m742c802a.gif и hello_html_789e7627.gif Пределы числителя и знаменателя существуют (и конечны) и предел знаменателя отличен от нуля. Далее мы применим теорему 2.

2) hello_html_1e484867.gif

Поясним вычисление этого предела.

Так как hello_html_mffd5eee.gif, то мы имеем неопределенность вида hello_html_m72db000.gif.

Ясно, что эту неопределенность вносит множитель (х-1), который имеет пределом число 0 при х1. Так как х=1 – корень числителя и знаменателя, то, разложив числитель и знаменатель на множители, мы выделили множитель (х-1) и, сократив на него раскрыли неопределенность.

3) hello_html_m30583eca.gif.

Пояснение. Так как

hello_html_363e60cd.gif(см. пример 3), то мы имеем неопределенность hello_html_m1eb2964e.gif. Разделив числитель и знаменатель дроби на х2, мы раскрыли неопределенность. далее применила теорему 2 и тот факт, что hello_html_4d47bb94.gif (см. пример 1).

Пhello_html_m16e84bed.pngример 5: hello_html_353773b3.gif

Заметим сначала, что для hello_html_m745bddfa.gif выполняется неравенство: 0<sin x<x. Это можно усмотреть из рисунка 3, т.к. sin x = AB, x = AC, а отрезок АВ меньше дуги АС. тогда на основании теоремы 3.3 hello_html_353773b3.gif. Если hello_html_md15718f.gif, то sin x <0 и xin x <0. Применяя опять теорему 3.3, получаем hello_html_m1f3ece8c.gif
Рис. 3.

  1. Замечательные пределы.


Первый замечательный предел:


hello_html_m119b7024.pnghello_html_m5160f2d9.gif(6)

Заметим сначала, чтоhello_html_3aaf5ffc.gif. Это вытекает из неравенства hello_html_m1b810b96.gif и теоремы 3.

Заметим что CD=sin x, BA =tg x, а площадь ОСА меньше площади сектора ОСА, а та, в свою очередь, меньше площади ОАВ, поэтому hello_html_44f6bba9.gif, т. е. sin x < x < tg x при

Рис. 4. hello_html_m745bddfa.gif (см. рис. 4). Разделив это неравенство на sin x > 0,

получим hello_html_4e401789.gif,

Окончательно получаем: hello_html_m2826dbd7.gif. В силу четности этого неравенства оно справедливо и при hello_html_md15718f.gif. По теореме 3 мы получим, hello_html_m2261744.gif при х→ 0


Второй замечательный предел.

hello_html_733d82c1.gifили hello_html_m2d2efe3c.gif (7)

Заметим, что в обоих случаях мы имеем дело с неопределенностью 1. Этот замечательный предел является следствием определения числа е (2.7):

hello_html_m607d6fff.gif

Подробное доказательство опускаем.

Применение замечательных пределов

Пример 6. Вычислить hello_html_me8f189d.gif.

Решение. hello_html_m1a016c83.gifhello_html_m49b597fb.gifhello_html_m46da1df9.gif.

Пусть 3х = у, причём у→0 при х0. Тогда hello_html_3d13dbfa.gifhello_html_6b59f31c.gifhello_html_1600829a.gif. Ответ. 3.

Пример 7. Вычислить hello_html_m73d61ae2.gif.

Решение. hello_html_m73d61ae2.gif=hello_html_m18298c61.gif= hello_html_m10571d92.gif.

Заменим hello_html_m4b58ed67.gif, тогда, учитывая, что у→∞ при х∞, имеем:

hello_html_m73d61ae2.gif=hello_html_m10571d92.gif=hello_html_m2be23c10.gif= hello_html_m1b4b5249.gif.

Ответ. hello_html_m1b4b5249.gif.

Пример 8. Вычислить hello_html_m2318cbf.gif.

Решение. Имеем

hello_html_m2318cbf.gif= hello_html_m3223a62.gifhello_html_52b81e32.gifhello_html_m57e66279.gif

=hello_html_mcfe5f32.gifhello_html_4f02ef57.gifhello_html_m158698.gifhello_html_m12ef0d43.gifhello_html_m37e1ce53.gif.

Таким образом, hello_html_m2318cbf.gif=hello_html_51fd6b2a.gif.

Ответ. hello_html_51fd6b2a.gif.








5. Непрерывность функции.

5.1. Непрерывность функции в точке.

Пусть функция y=ƒ(x) определена в некоторой окрестности точки x0,включая саму точку x0.

Определение 1. Функция y=ƒ(x) называется непрерывной в точке x0, если она имеет предел в точке x0, равный значению функции в этой точке, т.е.

hello_html_7e943350.gif. (8)

Непрерывность функции y=ƒ(x) в точке x0 равносильна возможности представить функцию в виде hello_html_m555b60e9.gif, где α(x)б.м. функция при х→х0.

Дадим еще одно определение непрерывности функции на языке приращения аргумента и приращения функции, имеющее широкое применение при доказательстве непрерывности той или иной функции.

hello_html_m76a7759b.gifПусть задана функция hello_html_mb681d8a.gif, hello_html_5fc40d0c.gif. Выберем и зафиксируем некоторое значение аргумента hello_html_5fc40d0c.gif, hello_html_m35c01ef8.gif- соответствующее значение функции. Выберем другое значение аргумента х, и hello_html_mb681d8a.gif - соответствующее значение функции (см. рис. 1). Число

hello_html_m51c6816a.gifназывается приращением аргумента, отсюда x= x0+ x; а число

hello_html_675bfeaf.gif

называется приращением функции, соответствующим приращению аргумента hello_html_6067f45.gif. Обращаем внимание на тот факт, что приращение функции зависит от приращения аргумента (и точки хо, в которой это приращение вычисляется).

Определение 2. Если задана функция y=ƒ(x), то приращением аргумента x в точке x0 называется число

x = x- x0, (9)

число

y = f(x) - f(x0) = f(x0+ x) - f(x0) (10)

называется приращением функции y=ƒ(x) в точке x0, вызванное приращением аргумента x (рис. 1).



Заметим еще раз, что функция hello_html_c8e85f5.gif зависит от аргумента х , а приращение функции ∆у зависит от приращения аргумента ∆х.

Предыдущее замечание о непрерывности функции в точке хо показывает, что функция hello_html_c8e85f5.gif непрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда приращение функции

hello_html_c8e85f5.gif- ƒ(хо) = ƒ(хо + ∆х.) - ƒ(хо)

в точке хо является б. м. при х → хо, т.е. при

х = х – хо → 0.

Итак,

(х) непрерывна в точке хо) hello_html_m739d14ab.gif hello_html_5fb00994.gif)

другими словами, функция hello_html_c8e85f5.gif непрерывна в точке хо, если бесконечно малому приращению ∆х соответствует бесконечно малое приращение функции ∆у.

Из определения непрерывности функции в точке вытекает важность этого понятия для вычисления пределов.

Так как hello_html_m2181bca.gif , то равенство (8) можно записать в виде

hello_html_m3469f3da.gif (11)

т.е. знак непрерывной функции перестановлен со знаком предела. Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, т.е. в функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить предельное значение хо.


5.2. Локальные свойства непрерывных функций


Локальные свойства функции – это такие свойства, которые выполняются в данной точке или в некоторой окрестности этой точки. Примером локального свойства функции служит свойство функции быть непрерывной в данной точке.


Теорема 4. (Арифметические свойства непрерывных функций)

Пусть функции ƒ(х) и g(х) непрерывны в точке хо.

Тогда их сумма ƒ(х) + g(х), произведение ƒ(х) · g (х) и частное ƒ(х) : g (х) также непрерывны в точке хо (последняя при g (х) ≠ 0).

Теорема 5. ( О непрерывности сложной функции)

Пусть функция у =ƒ(х) непрерывна в точке хо, а функция z = g (у) непрерывна в точке уо = ƒ(хо). Тогда сложная функция z = F(х) = g (ƒ(х)) непрерывна в точке хо

Пример 1. Рассмотрим функцию hello_html_m7a52dbac.gif, hello_html_m2b91a011.gif, U(x), V(x)

непрерывны в точке хо: hello_html_1a347f94.gifи hello_html_2d0a407f.gif. Эта функция hello_html_268b41fb.gifсложная, она одновременно показательная и степенная.

По теореме 5. функция в точкеhello_html_48bafc8f.gif: hello_html_m71d0714d.gif

Как мы видели, при рассмотрении пределов вида hello_html_6ca4b569.gif

могут возникнуть неопределенности вида hello_html_m37e11778.gifилиhello_html_m45c98c1.gif. Методы их вычисления будут рассмотрены ниже.

Функция hello_html_40946e87.gif называется непрерывной слева в точке hello_html_48bafc8f.gif, если


hello_html_m1be70800.gif

и непрерывной справа в точке hello_html_48bafc8f.gif, если hello_html_m42db8b5.gif.



5.3. Непрерывность обратной функции


Функция hello_html_40946e87.gif называется непрерывной в интервале (а,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функцияhello_html_40946e87.gif называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (а,b), непрерывна справа в точке hello_html_m4aeb2307.gifи непрерывна слева в точкеhello_html_m532fe235.gif.


Теорема 6. (О непрерывности обратной функции).


1) Пусть функции hello_html_40946e87.gifмонотонно возрастает и непрерывна на отрезке [а,b] с множеством значений hello_html_m3794be0f.gif гдеhello_html_m1c80e95e.gif, hello_html_m2880165f.gif. Тогда обратная функция hello_html_757c2ee3.gifмонотонно возрастает и непрерывна на отрезке [А, В].

2) Если функция hello_html_40946e87.gifмонотонно убывает и непрерывна на отрезке [а,b], то обратная функция hello_html_757c2ee3.gifмонотонно убывает и непрерывна на отрезке [А, В], где hello_html_14a0a26d.gif, hello_html_ed24fc.gif

Принимаем эту теорему без доказательства.


5.4. Непрерывность основных элементарных функций


1. Постоянная функция, hello_html_m3e7640be.gif где hello_html_7a9df83f.gifнепрерывна на множестве hello_html_m58a1ff39.gif, так как в каждой точке hello_html_48bafc8f.gifhello_html_m7cb53dec.gif R, hello_html_197f6485.gif(см. пример 1), что и означает непрерывность функции в точкеhello_html_48bafc8f.gif.

2. Функция hello_html_m776c7b3e.gif непрерывна на R, так как hello_html_73f5610e.gif hello_html_m65504262.gif

3. Функция hello_html_m6e88b734.gif, k hello_html_m7cb53dec.gif N непрерывна на R, так как hello_html_73f5610e.gifhello_html_m2634e2f0.gif

4. Многочлен степени n

hello_html_m34722b06.gif

является непрерывной функцией на R, т. к. hello_html_m22057f21.gif

5. Дробно рациональная функция (рациональная дробь) hello_html_1d4444a7.gif является непрерывной функцией в каждой точке, в которой знаменатель не обращается в ноль. Это следует из теоремы 4. и того факта, что числитель hello_html_1d4cb1e8.gif рациональной дроби, являясь многочленами, непрерывны всюду на R.

6. Функция hello_html_m708145e5.gifнепрерывна на множество R. Действительно, если hello_html_48bafc8f.gif– произвольная фиксированная точка, то hello_html_m31700fc7.gif, где hello_html_48535162.gif, а функции hello_html_40d475a6.gif является ограниченной на R. Тогда hello_html_m3ef5e022.gifкак произведение б. м. функции на ограниченную функцию. Но это и означает непрерывность функции hello_html_m6b65c5df.gif в каждой точке числовой оси.

7. Функция hello_html_m198618b0.gif непрерывна на множестве R, т. К. Её можно представить в виде hello_html_c0d6235.gifи воспользоваться теоремой 5. о непрерывности сложной функции; где hello_html_2e27129b.gif и hello_html_m9df1c86.gifпрерывны.

8. Функция hello_html_12ca385.gif непрерывна всюду на R, кроме точек hello_html_35e73c9c.gif, hello_html_m346a39df.gif. Это следствие того, что hello_html_5b7d446b.gif есть отношение двух непрерывных функций, и теоремы 4.

9. Функция hello_html_1843cf9d.gifнепрерывна на отрезке [-1;1] по теореме 6. о непрерывности обратной функции. Действительно, функция hello_html_m6b65c5df.gifмонотонно возрастает и непрерывна на отрезке hello_html_m56b614b3.gif, а множество ее значений есть отрезок [-1;1] (см. рис. 2). Поэтому обратная функция hello_html_m6c5c948c.gif возрастает и непрерывна на отрезке [-1;1].

Аналогично можно показать, что функцииhello_html_m602e0661.gif и hello_html_m4866d41e.gif непрерывны в области своего определения как обратные к hello_html_m141b6b1f.gifи hello_html_12ca385.gif соответственно.

hello_html_m2387ef5c.jpg

Рис. 2.

10. Функцияhello_html_7ee21ac2.gif, hello_html_m2a6f7be4.gifиhello_html_m2f434281.gif, непрерывна и монотонна на hello_html_f8be07c.gif; возрастает при hello_html_238b963f.gif и

убывает при hello_html_6e5b9a3c.gif. Поэтому обратная функция hello_html_m75f27af9.gif монотонна и непрерывна при х > 0.

11. Степенная функцияhello_html_6b03a67f.gif, hello_html_m6b91cc90.gif, непрерывна на множестве (0; +∞) по теореме о непрерывности сложной функции, т.к.hello_html_m50a1a6a8.gif, а функции hello_html_8904984.gifи

hello_html_602d967.gifнепрерывны.

Итак, мы доказали непрерывность основных элементарных функций.

Напомним, что элементарной мы назвали функцию, образованную из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа арифметических действий и образования сложной функции. Поэтому из всего вышесказанного вытекает следующий важный вывод: всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.

Отсюда следует, что при нахождении предела элементарной функции в точке, в которой она определена, нужно просто вычислить значение элементарной функции в этой точке.


5.5. Точки разрыва функции и их классификация

hello_html_m424527c0.gifhello_html_m53577c06.gifhello_html_m4d00a214.gifу hello_html_56e77123.gif

hello_html_7a1f621f.jpg


hello_html_m71b701f5.gif0 hello_html_48bafc8f.gifх


а) Рис. 3. б)


Пусть функция hello_html_40946e87.gif определена в некоторой окрестности точкиhello_html_48bafc8f.gif,включая саму точку hello_html_48bafc8f.gif.

Сформулировать одно важное для дальнейшего утверждение: функция hello_html_40946e87.gifнепрерывна в точке хо тогда и только тогда, когда

1) функция определена в точкеhello_html_48bafc8f.gif, т.е. существует значение функцииhello_html_56e77123.gif,

2) существуют предел слева hello_html_m47634098.gif и предел справа hello_html_43104f3c.gifфункции hello_html_40946e87.gif в точкеhello_html_48bafc8f.gif,

3) все эти три числа равны между собой: hello_html_6a30391e.gif.

Геометрически это ясно (см. рис. 3). Нарушение одного их этих трех условий означает, что функция уже не является непрерывной в этой точке.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва функции.


Классификация точек разрыва функции


1. Точка hello_html_1017e5b2.gifназывается точкой устранимого разрыва функции hello_html_40946e87.gif, если существуют односторонние пределы hello_html_m47634098.gif и hello_html_43104f3c.gif, которые равны между собой:

hello_html_41c31ba7.gif,но либо функции hello_html_m1a267428.gifне определена в точке hello_html_48bafc8f.gif(см. рис. 4), либо функция определена в точкеhello_html_48bafc8f.gif, т.е. существует ее значение hello_html_56e77123.gifв этой точке, не равное односторонним пределам: hello_html_m1f8601bb.gif

hello_html_38581367.jpg



hello_html_m54706960.jpg


Рис. 4. Рис. 5.


Пример 2. Рассмотрим функцию hello_html_mf697328.gif определенную и непрерывную в каждой точке числовой прямой, кроме точкиhello_html_m517cfc5d.gif, которая является точкой разрыва функции. Ясно, что hello_html_m61429bd5.gif при hello_html_187c0b07.gif. Поэтому существует предел нашей функции в точкеhello_html_m517cfc5d.gif: hello_html_66868db6.gif, т.е. существуют односторонние пределы hello_html_m82818d2.gifи равны между собой: hello_html_m4d1bea9d.gif(см. рис. 4). Это означает, что hello_html_m517cfc5d.gif точка устранимого разрыва.

Заметим еще раз, что функция hello_html_mf697328.gif при hello_html_187c0b07.gif совпадает с непрерывной всюду функцией hello_html_m3511cab5.gif. Доопределив нашу функцию в точке х = 4 условием hello_html_2a0ce640.gif, мы получим непрерывную в точке hello_html_m517cfc5d.gif функцию

hello_html_7c6d1601.gifhello_html_6969e0ac.gifhello_html_m7782b463.gif, т.е. устранили разрыв.

hello_html_m6d617cd.jpg


Рисюhello_html_m51807c21.jpgс. 7.


Рис. 6. Рис. 7.

2. Точка hello_html_1017e5b2.gif называется точкой разрыва первого рода (или скачком) функции hello_html_40946e87.gif, если в точке hello_html_m29810906.gif существуют односторонние пределы hello_html_m47634098.gif и hello_html_43104f3c.gif, которые не равны между собой: hello_html_m324d6d0e.gif(см. рис. 5). При этом функция hello_html_40946e87.gif может быть определена в точке hello_html_m29810906.gif, а может не определена.

Число hello_html_m67171574.gif называется скачком функции hello_html_40946e87.gif в точке hello_html_m29810906.gif. Скачок может быть как положительным, так и отрицательным.

Пример 3. Функция hello_html_793247a6.gif определена и непрерывна всюду, кроме точки hello_html_57c4b0ad.gif, которая является точкой разрыва функции. Так как hello_html_2f8381a5.gifhello_html_62de55fb.gif, то

hello_html_2953c8f.gifhello_html_37c4f4b1.gif

График этой функции изображён на рис. 6. Точка hello_html_57c4b0ad.gif является точкой разрыва первого рода, т.е. скачком. Действительно,

hello_html_m4f4806ea.gif,

hello_html_m639e2e01.gif,

т.е. hello_html_41646f50.gif. Скачок функции в точке hello_html_57c4b0ad.gif равен hello_html_2a34860c.gif


3. Точка hello_html_1017e5b2.gif называется точкой разрыва второго рода функции hello_html_40946e87.gif, если хотя бы один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Пример 4. Функция hello_html_4b1cc768.gif определена и непрерывна всюду, кроме точкиhello_html_57c4b0ad.gif, которая является точкой разрыва второго рода, т.к. hello_html_647c2ec7.gif,

hello_html_6b4701b6.gif,

т.е. оба односторонних предела бесконечные (см. рис. 7).


Пример 5. Функция hello_html_681efa4e.gif определена и непрерывна всюду, кроме точки hello_html_57c4b0ad.gif, которая является точкой разрыва второго рода, т.к. односторонние пределы в точке hello_html_57c4b0ad.gif, как показывает пример 4, не существуют (ни конечные, ни бесконечные).

ненене

Выбранный для просмотра документ 10.Тема 2.1-2.2. Численные методы.doc

библиотека
материалов

ПРАКТИКУМ 4


Численное дифференцирование

Пример 1.

Построить таблицу разностей функции у=f(x), задан­ной таблично:

hello_html_59a30e01.png

Решение: Вычислим конечные разности первого порядка:

hello_html_7aad93af.gify0 = y1y0 = 5 – 1 = 4,

hello_html_7aad93af.gify1 = y2y1 = 15 – 5 = 10,

hello_html_7aad93af.gify2 = y3y2 = 35 – 15 = 20,

hello_html_7aad93af.gify3 = y4y3 = 70 – 35 = 35,

hello_html_7aad93af.gify4 = y5y4 = 140 – 70 = 70.

Полученные значения разностей первого порядка зане­сем в столбец Ау таблицы разностей.

Определим конечные разности второго порядка:

hello_html_7aad93af.gif2y0 = hello_html_7aad93af.gify1 hello_html_7aad93af.gify0 = 10 – 6 = 4,

hello_html_7aad93af.gif2y1 = hello_html_7aad93af.gify2 hello_html_7aad93af.gify1 = 20 – 10 = 10,

hello_html_7aad93af.gif2y2 = hello_html_7aad93af.gify3 hello_html_7aad93af.gify2 = 35 – 20 = 15,

hello_html_7aad93af.gif2y3 = hello_html_7aad93af.gify4 hello_html_7aad93af.gify3 = 70 – 35 = 35.

Результаты заносим в столбец Δ2у.

Конечные разности третьего порядка:

hello_html_7aad93af.gif3y0 = hello_html_7aad93af.gif2y1 - hello_html_7aad93af.gif2y0 = 10 – 6 = 4,

hello_html_7aad93af.gif3y1 = hello_html_7aad93af.gif2y2 - hello_html_7aad93af.gif2y1 = 15 – 10 = 5,

hello_html_7aad93af.gif3y2 = hello_html_7aad93af.gif2y3 - hello_html_7aad93af.gif2y2 = 35 – 15 = 20.

Заполним столбец Δ3у.

Конечные разности четвертого порядка:

hello_html_7aad93af.gif4y0 = hello_html_7aad93af.gif3y1- hello_html_7aad93af.gif3y0 = 5 – 4 = 1,

hello_html_7aad93af.gif4y1 = hello_html_7aad93af.gif3y2- hello_html_7aad93af.gif3y1= 20 – 5 = 15.

Заполним столбец Δ4у.

Конечная разность пятого порядка:

Δ5у0=hello_html_7aad93af.gif4y1 -hello_html_7aad93af.gif4y0 =15 – 1 = 14.

Таким образом, таблица разностей для заданной функ­ции имеет вид:


hello_html_m319d669f.gifhello_html_m4e8d829f.gifhello_html_1acc0b14.gifhello_html_636ec085.gifhello_html_2ad9e2fd.png

Пример 2

Найти производную функции у = lgх, заданной таблич­но в точке х = 30.

Значения функции у = lgx.

hello_html_95e5ce2.png

Решение:

Здесь шаг h = 5. Вычислим конечные разности различ­ных порядков по формулам:

hello_html_7aad93af.gify0 = y1y0 =1,5441–1,4771 = 0,067,

hello_html_7aad93af.gify1 = y2y1 =1,6021–1,5441 = 0,058,

hello_html_7aad93af.gify2 = y3y2 = 1,6532 –1,6021 = 0,0511,

hello_html_7aad93af.gify3 = y4y3 = 16990 –1,6532 = 0,0458.

hello_html_7aad93af.gif2y0 = hello_html_7aad93af.gify1 hello_html_7aad93af.gify0 = 0,058 - 0,067 = -0,009,

hello_html_7aad93af.gif2y1 = hello_html_7aad93af.gify2 hello_html_7aad93af.gify1 = 0,0511 – 0,058 = -0,0069,

hello_html_7aad93af.gif2y2 = hello_html_7aad93af.gify3 hello_html_7aad93af.gify2 = 0,0458 - 0,0511 = -0,0053.

hello_html_7aad93af.gif3y0 = hello_html_7aad93af.gif2y1 - hello_html_7aad93af.gif2y0 = -0,0069 + 0,009 = 0,0021,

hello_html_7aad93af.gif3y1 = hello_html_7aad93af.gif2y2 - hello_html_7aad93af.gif2y1 = -0,0053+0,0069 = 0,0016.

hello_html_7aad93af.gif4y0 = hello_html_7aad93af.gif3y1- hello_html_7aad93af.gif3y0 = 0,0016 – 0,0021 = -0,0005.

Заполним таблицу разностей:

hello_html_58cfc204.png

Отметим, что на практике таблицу конечных разностей заполняют сразу по правилам, разобранным в примере 2 основного текста. Вычисление разностей по формулам (5) мы привели в качестве проверки.

По формуле (3) (см. основной текст п. 4.), используя первую строчку таблицы, с точностью до разностей четвертого порядка, получаем:

у′(30) = hello_html_m7af9c903.gif


у′(30) = 0,0145.

Оценим точность найденного значения. Заданная таблич­но функция есть y = lgx. Производная этой функции:

у′ = hello_html_43819a8e.giflgehello_html_7a2d3009.gif .

При х = 30 получим:

у′(30) = hello_html_477f2a6a.gif 0,0145.

Таким образом, результаты совпали с точностью до чет­вертого десятичного знака.

Пример 3.

Найти значения первой и второй производных функции Бесселя, заданной таблично, в точке х = 1.

hello_html_6d7e618e.png

Решение: Составим таблицу конечных разностей. Рекомендуем составлять эту таблицу сразу без предварительных вычислений. В примере приводится подробная запись с целью продемонстрировать последовательность действий при вычислении конечных разностей различного порядка.

Первые конечные разности:

hello_html_m483fcbb1.gif

hello_html_mda16222.gif

hello_html_m4adae6f4.gif

hello_html_m66f413b2.gif

Вторые конечные разности:

hello_html_68e46025.gif

hello_html_m6c567ed3.gif

hello_html_ma7f0d0f.gif

Третьи конечные разности:

hello_html_m524197c4.gif

hello_html_74b55215.gif

Четвертая конечная разность:

hello_html_e24720.gif

Таблица конечных разностей:

0

1

2

3

4

0,96

0,98

1

1,02

1,04

0,782536

0,773933

0,765198

0,756332

0,747339

-0,008603

-0,008735

-0,008866

-0,008993

-0.000132

-0,000131

-0,000127

0,000001

0,000004

0,000003

Значение первой производной функции в точке х=1 вычисляем по формуле (3)

hello_html_4d473867.gif

hello_html_m78d84c83.gif

Вторая производная функции Бесселя в точке х = 1 (см. формулу (4)):

hello_html_af12f33.gif

hello_html_5e1e81bd.gif

Для сравнения приведем точные значения производных функции Бесселя в точке х = 1:

hello_html_m4b6e92d8.gifhello_html_m5b40cab2.gif

Пример 4

Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точке х=2,7.

Решение:

Составим таблицу конечных разностей заданной функции:

0

1

2

3

4hello_html_f3d5dd8.gif

5

6

7

0,8

1,2

1,6

2,0

2hello_html_f716972.gif,4

2,8

3,2

3,6

2,857

3,946

4,938

5,801

6hello_html_1f9db414.gif,503

7,010

7,288

7,301

1,089

0,992

0,863

0,702

0hello_html_f716972.gif,507

0,278

0,013


-0,097

-0,129

-0,161

-0,195

-hello_html_1f9db414.gif0,229

-0,265

-0,032

-0,032

-0,034

-0,034

-hello_html_1f9db414.gif0,036

0

-0,002

0

-0,002


В данном примере точка, в которой нужно вычислить производные, не является узловой, т.е. значение функции в этой точке не задано. В таком случае следует воспользо­ваться формулами (2)(п. 4):

hello_html_7a416d72.gif

q = hello_html_4a121705.gif


Ближайшая к х = 2,7 меньшая точка, в которой известно значение функции х = 2,4. Поэтому положим х0 = 2,4.

Тогда q = hello_html_63120859.gif= 0,75.

Подставляем в формулу первой производной функции:

hello_html_m15a5c801.gif

Вторая производная функции:

у′′ = hello_html_m595b2130.gif

у′′(0,27) = hello_html_m2881c017.gif

Пример 5.

В точке х = 7,5 вычислить производные функции, задан­ной таблично.

hello_html_m5c2bcba7.png

Решение:

Составим таблицу конечных разностей заданной функ­ции:

hello_html_m59adbb3e.png

Абсолютная погрешность исходных значений функции y=f(x) не превосходит величины

ε = 0,5 • 10–4. Абсолютная погрешность разности п-го порядка имеет порядок величи­ны 2n∙ε. Из таблицы конечных разностей видно, что разно­сти второго, третьего, четвертого и пятого порядка разли­чаются менее, чем на величину погрешности их округле­ния. Поэтому при вычислении производной функции в точ­ке х = 7,5 в формуле (4) достаточно взять два первых сла­гаемых

hello_html_m6e350b73.gif

hello_html_4ba4b9a2.gif


Пример 6

По табличным данным найти аналитическое выражение производной.


0

1

2

3

4

5

yhello_html_ma78e78.gif(x)

10,4

16

20,8

24,8

28

30,4

Решение;

Составим таблицу конечных разностей, обозначив и=у'(х):

x

u

hello_html_7aad93af.gifu

hello_html_32876f0e.gifu

hello_html_1bf60ef2.gifu

0

0

10,4

5,6

-0,8

0

1

1

16

4,8

-0,8

0

2

2

20,8

4

-0,8

0

3

3

24,8

3,2

-0,8


4

4

28

2,4



5

5

30.4





Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifu(x) = uhello_html_11b9d243.gif+qhello_html_7aad93af.gifuhello_html_11b9d243.gif+q(q-1) hello_html_32876f0e.gifuhello_html_11b9d243.gif+…

2!

Cлагаемое, содержащее третью конечную разность не записываем, т.к. hello_html_1bf60ef2.gifu = 0

Учтем, что q = hello_html_6de5134.gif.

По таблице определяем: xhello_html_11b9d243.gif= 0, h = 1.

Следовательно, q = hello_html_m1e4139d8.gif = x.

u(x) = 10,4 + x ∙ 5,6 + hello_html_14f78f0e.gif∙ (-0,8),

u(x) = yhello_html_ma78e78.gif(x) = 10,4 + 5,6x – 0,4xhello_html_22eaeb15.gif + 0,4x,

yhello_html_ma78e78.gif(x) = 10,4 + 6x – 0,4xhello_html_22eaeb15.gif.


Пример 7

Для функции, заданной таблично, найти аналитическое выражение производной.

1

2

3

4

5

6

7

8

y

11

40

99

200

355

576

875

1264

Решение:

Определим в точках задания аргумента значения произ­водной функции.

Таблица конечных разностей для заданной функции;


x

y

hello_html_7aad93af.gify

hello_html_32876f0e.gify

hello_html_1bf60ef2.gify

hello_html_579768b0.gify

0

1

11

29

30

12

0

1

2

40

59

42

12

0

2

3

99

101

54

12

0

3

4

200

155

66

12

0

4

5

355

221

78

12


5

6

576

299

90



б

7

875

389




7

8

1294















По формуле (4) x = 1:

yhello_html_ma78e78.gif(1) = hello_html_mf9e1aa7.gif∙ (29 - hello_html_m50760310.gif + hello_html_7ba1a16a.gif) = 18,

yhello_html_ma78e78.gif(2) = hello_html_mf9e1aa7.gif∙ (59 - hello_html_6977e79a.gif + hello_html_7ba1a16a.gif) = 42,

yhello_html_ma78e78.gif(3) = hello_html_mf9e1aa7.gif∙ (101 - hello_html_3b8f4d11.gif + hello_html_7ba1a16a.gif) =78,

yhello_html_ma78e78.gif(4) = hello_html_mf9e1aa7.gif∙(155 - hello_html_6c2dd073.gif + hello_html_7ba1a16a.gif) = 126,

yhello_html_ma78e78.gif(5) = hello_html_mf9e1aa7.gif∙ (221 - hello_html_6ce8094a.gif + hello_html_7ba1a16a.gif) = 186.


Составим таблицу конечных разностей для у'(х):

hello_html_52bc22ab.png

Используя данные последней таблицы и интерполяционную формулу Ньютона с учетом q =hello_html_m3a15aaa1.gifполучаем:

у'(х) = 18 + (х-1)∙24 + hello_html_m38d36613.gif12 = 6(х2 + х + 1).


Численное интегрирование


П

Решение: Положим п = 10, т.е. разбиваем интервал интегрирова­ния от 1 до 2 на десять равных частей (рис. 1).

h = hello_html_m4765aaf5.gif

Вычислим значение функции в точках разбиения:
x0 = l y0 =hello_html_m25a147fa.gif = l

x1 = 1,1 y1 =hello_html_9197620.gif ≈ 0,90909


ример 1. Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл hello_html_2c37fdac.gif. Оценить погрешность вычислений.

hello_html_m7a8bae23.jpg


Рис. 1.


x2=1,2 у2 = hello_html_16906645.gif≈ 0,83333

x3= 1,3 у3=hello_html_m19dc3ca9.gif0,76923

х4=1,4 y4= hello_html_7b18ea6b.gif≈ 0,71429

х5 = 1,5 y5 = hello_html_1ad24b71.gif ≈ 0,66667

х6 = 1,6 y6 = hello_html_m20f94944.gif= 0,625

x7 = 1,7 y7 = hello_html_m6e53c553.gif≈ 0,58824

x8 = 1,8 y8 = hello_html_1ee474cf.gif0,55556

х9 =1,9 у9=hello_html_63870a0.gif0,52632

hello_html_bb083bf.gifСумма 7,18773

По формуле hello_html_34590e96.gif получаем:

hello_html_m73e55ba3.gif0,1∙7,18773 = 0,718773.

Полученное значение больше истинного, т.к. кривая у = hello_html_43819a8e.gifобращена к оси х своей выпуклостью.

Вычислим остаточный член по формуле R hello_html_3861a23a.gif∙| fhello_html_70c28349.gif(x)| ∙ (ba) ∙ h. Для этого предварительно определяем первую производную подын­тегральной функции:

hello_html_65e09824.gif

представляет собой убывающую функцию и следовательно максимальное значение принимает при меньшем х из за­данного интервала 1 ≤ х ≤ 2, т.е. при х = 1:

hello_html_m22a6bcb7.gifhello_html_278fdc2a.gif

Подставляя в формулу остаточного члена, окончательно получаем:

R hello_html_3861a23a.gif∙1∙10,1 = 0,05.

Ошибка округления существенно меньше полученного R и, следовательно, ее можно не учитывать.

Окончательно получаем:

hello_html_m73e55ba3.gif0,72±0,05.

Вычисленное по методу прямоугольников значение оп­ределенного интеграла оказалось достаточно грубым. Для получения более точного результата следует уменьшить шаг разбиения. Расчеты, выполненные методом прямоугольников при hello_html_b5ff810.gif, рассмотрены в примере 2.

Пример 2. Вычислить по формуле прямоугольников определенный интеграл (пример 1)

hello_html_m73e55ba3.gif, уменьшив шаг разбиения в 2 раза. Оценить погрешность вычислений.

Решение: Согласно условию шаг разбиения h = hello_html_m45601dff.gif = 0,05 (см. при­мер 1). Вычислим значение функции в точках разбиения:

x0 = l y0 =hello_html_m25a147fa.gif = l

x1 = 1,05 y1 =hello_html_m39ba9371.gif ≈ 0,95238

x2=1,1 у2 = hello_html_453996f1.gif≈ 0,90909

x3= 1,15 у3=hello_html_m15bdffc8.gif0,86957

х4=1,2 y4= hello_html_7cd8356c.gif≈ 0,83333

х5 = 1,25 y5 = hello_html_mf49fcad.gif = 0,8

x6 = 1,3 у6=hello_html_429a5b88.gif0,76923

x7 = 1,35 у7=hello_html_m266f7000.gif0,74074

х8=1,4 y8= hello_html_46f964b8.gif≈ 0,71429

х9=1,45 y9= hello_html_m1f71d239.gif≈ 0,68966

х10 = 1,5 y10 = hello_html_m60ff4fba.gif ≈ 0,66667

х11 = 1,55 y11 = hello_html_47483e97.gif ≈ 0,64516

х12 = 1,6 y12 = hello_html_51d2b26c.gif= 0,625

х13 = 1,65 y13 = hello_html_m513c12ef.gif≈ 0,60606

x14 = 1,7 y14 = hello_html_5f49ffb4.gif≈ 0,58824

x15 = 1,75 y15 = hello_html_m6b2fd185.gif≈ 0,57143

x16 = 1,8 y16 = hello_html_45405c5a.gif0,55556

x17 = 1,85 y17 = hello_html_mebfcd85.gif0,54054

х18 =1,9 у18=hello_html_m6045d978.gif0,52632

х19 =1,95 у19=hello_html_m94914f9.gif0,51282

hello_html_bb083bf.gifСумма 14,11609


По формуле прямоугольников (1) получаем: hello_html_m73e55ba3.gif = 0,05∙14,11609 = 0,70580.

Для оценки погрешности вычислений используем расче­ты, выполненные в примере 1. Учитывая, что h = 0,05 и R hello_html_3861a23a.gif∙| fhello_html_70c28349.gif(x)| ∙ (ba) ∙ h

получаем

R hello_html_3861a23a.gif1∙1∙0,05 = 0,025.

Значение абсолютной погрешности уменьшилось в 2 раза.

Пример 3. По формуле прямоугольников вычислить hello_html_41b40a35.gif, разбив интервал интегрирования на десять равных частей. Оце­нить погрешность вычислений.

Решение: Здесь п = 10, h = hello_html_m4765aaf5.gif.

x0 = l y0 =hello_html_m12a446c2.gif = l

x1 = 1,1 y1 =hello_html_7021b12a.gif ≈ 1,0488

x2=1,2 у2 = hello_html_m20b064da.gif≈ 1,0954

x3= 1,3 у3=hello_html_m543a8255.gif1,1402

х4=1,4 y4= hello_html_adf88d4.gif≈ 1,1832

х5 = 1,5 y5 = hello_html_67cfcc2.gif ≈ 1,2247

х6 = 1,6 y6 = hello_html_3c76ff91.gif≈ 1,2649

x7 = 1,7 y7 = hello_html_7b7ba59a.gif≈ 1,3037

x8 = 1,8 y8 = hello_html_m29b0088b.gif1,3416

хhello_html_bb083bf.gif9 =1,9 у9=hello_html_7d413390.gif1,3784

Сумма 11,981

Имеем hello_html_41b40a35.gif= 0,1 ∙ 11,981 = 1,198

Оценим погрешность вычислений.

Определим, предва­рительно, модуль наибольшего значения первой производ­ной функции на интервале интегрирования [1,2]:

f(x) = hello_html_m2226cf24.gif.

Наибольшее значение f(x) принимает в точке x = 1.

f(1) =hello_html_3861a23a.gifhello_html_786db19e.gif.

По формуле R hello_html_3861a23a.gif∙| fhello_html_70c28349.gif(x)| ∙ (ba) ∙ h имеем:

R hello_html_3861a23a.gif∙| f ′hello_html_70c28349.gif(x)| ∙ (b – a) ∙ h =hello_html_3861a23a.gifhello_html_3861a23a.gif ∙ 1 ∙ 0,1 = 0,025.

Окончательно получаем:

hello_html_41b40a35.gif= 1,198 ±0,025.

Вычислим для сравнения заданный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:


hello_html_41b40a35.gif= hello_html_5048d073.gifhello_html_62f27b6.gifhello_html_219b2d76.gifhello_html_a88be34.gif1,219.

Таким образом, значение определённого интеграла, вычисленное по формуле Ньютона-Лейбница попадает в указанный интервал

hello_html_41b40a35.gif= 1,198 ±0,025.

Пример 3. Вычислить по формуле трапеций определенный интег­рал hello_html_m73e55ba3.gif. Оценить погрешность вычислений.

Решение: Так же, как в примере 1 положим п = 10. Воспользуем­ся вычисленными в примере 1 значениями функции в точ­ках разбиения. По формуле

hello_html_m2c33befb.gif

найдем значение опреде­ленного интеграла:

hello_html_m73e55ba3.gif= 0,1∙ (hello_html_3861a23a.gif∙1+ 0,90909+ 0,83333 + 0,76923 + 0,71429 + 0,66667 + 0,625+0,55556 + 0,58824 + 0,52632 + hello_html_3861a23a.gifhello_html_3861a23a.gif) = 0,69377.

Оценим погрешность вычислений.

Полная погрешность Ro складывается из погрешности арифметических действий R' и остаточного члена R.

R'= hello_html_5fba5285.gif

где Ai = - коэффициенты формулы трапеций и ε - максималь­ная ошибка округления значений подынтегральной функ­ции.

R' = hnε = 0,1∙10∙0,5∙10-5= 0,5∙10-5. Остаточный член оценим по формуле

Rhello_html_m4e7791e2.gif,

предваритель­но определив максимальное значение второй производной функции на заданном интервале интегрирования.

f(x) = – hello_html_m3f7f0387.gif;

f ′′(x) = hello_html_m57c90d96.gif;

hello_html_25d8cdd7.gifhello_html_5c99afa9.gif - убывающая функция, на интервале 1 ≤ х ≤ 2 наибольшее значение имеет в точке х = 1.

hello_html_25d8cdd7.gif hello_html_42cfaeb3.gif.

По формуле остаточного члена R получаем:

Rhello_html_m5acaa79d.gif0,0017.

R' существенно меньше R, поэтому можно считать R0R.

С учетом точного решения заданного определенного интеграла (см. пример 2), абсолютная погрешность чис­ленного интегрирования методом трапеций: 0,69377 - 0,69315 = 0,00062 < R.

Пример 4 Вычислить интеграл hello_html_41b40a35.gif по формуле трапеций, приняв шаг разбиения равным

h = 0,1. Оценить погрешность.

Решение: Воспользуемся вычисленными в примере 3 значениями функции в точках разбиения. Дополнительно определим у10 = hello_html_464a8dd4.gif1,4142. По формуле трапеций

hello_html_m2c33befb.gif

получаем:

hello_html_65be73e5.gif;

hello_html_7be54991.gif(см. пример 2)

Определим модуль наибольшего значения второй про­изводной функции f (x) =hello_html_7f0b48b9.gif на интервале интегрирова­ния [1,2].

f(x) = hello_html_m229fe614.gif

f(x) = hello_html_2470d83d.gif


hello_html_25d8cdd7.gifhello_html_m107c8127.gif- функция убывающая, следовательно, на интервале [1,2] максимальное значение имеет в точке x = 1:

hello_html_70a1a81e.gif.

По формуле Rhello_html_m4e7791e2.gif имеем:

Rhello_html_1583d7ca.gif= 0,0002.

Итак, hello_html_41b40a35.gif = 1,2188±0,0002.

Пример 5. Вычислить по формуле Симпсона hello_html_mbd11f0.gif, приняв n = 8.

Вычисление вести с шестью знаками после запятой. Оценить погрешность полученного результата, пользуясь способом удвоения шага вычислений. Сравнить результат с истинным значением интеграла, взяв последнее с одним запасным ( седьмым) знаком.

Решение:

Определим шаг разбиения:

hello_html_m1e4f11cf.gif

Вычислим значения функции в точках разбиения:

hello_html_3ac1b007.gifhello_html_54f7862c.gif

hello_html_m3a390e15.gifhello_html_51ec084f.gif

Подставляем эти данные в формулу Симпсона. (3.10):

hello_html_m43e44b83.gif
Вычислим интеграл по формуле Симпсона, удвоив шаг разбиения, т.е. при hello_html_5901bbb5.gif

hello_html_7034a6e6.gif

Отсюда

hello_html_m75c0f70.gif

Таким образом, все шесть знаков интеграла hello_html_m7ea363cf.gif должны быть точными. Истинное значение интеграла вычислим по формуле Ньютона – Лейбница, сохраняя семь знаков после запятой:

hello_html_m29b9f5c5.gif

Сравнение значений hello_html_36df1191.gifподтверждает найденный результат.

Пример 6. По формуле парабол вычислить hello_html_188d5878.gif приняв 2n = 8.

По первой из формул (8) находим h=(b-a)/2n=(1-0)/8=0,125. составляем таблицу значений hello_html_m53699347.gif(табл.32.1).В последней строке этой таблицы стоят числа, равные суммам чисел, находящихся в соответствующих столбцах.

hello_html_2796b711.gif

hello_html_559d9026.gif

hello_html_m3742a53f.gif

hello_html_1c2cc173.gif(к нечетное)

hello_html_1c2cc173.gif(к четное)

0

0

1,00000

1,0



1

0,125

1,01563


hello_html_3b8e9542.gif


2

0,250

1,06250



hello_html_41048e06.gif

3

0,375

1,14063


hello_html_m49b75e60.gif


4

0,500

1,25000



hello_html_241c6374.gif

5

0,625

1,39063


hello_html_m76e25be2.gif


6

0,750

1,56250



hello_html_365405ac.gif

7

0,875

1,76563


hello_html_m45624592.gif


8

1,000

2,00000

0,5



hello_html_m7aa86723.gif



1,5

3,14678

2,38118


По формуле (7)получаем

hello_html_665d375d.gif

hello_html_509a594.gif












Задания для самостоятельного решения

Численное дифференцирование

1. Составить таблицу конечных разностей функций, задан­ных аналитически, от начального значения х0 до конеч­ного х7, приняв шаг равным h:

  1. y = х32+6х-8, хо = 0 h = 1;

  2. y = 2х3-8х + 20, хо = 0,5 h = 0,5;

  3. у = 0,5х3+2х2-Зх + 8, xo=l h=1;

  4. у = 5х3-Ъх+4, хо = 0 h = 2;

  5. y = x4-2x2+l, xo = 0 h = 0,5;

  6. y = x4-2x2+l0, xo = 0 h = 0,2;
    7.y = 3(x +
    l)(x-6), Xq = 0 h = l;

  1. y = 5(x-3)(x + 2), xo=1 h = l;

  2. y = x(x-1)(x + 2), xo = 0 h = l;

  1. y = (x-3)(x + 2)(x + 4), xo = 0 h = 0,5;

  2. y = 8(x-l)(x-2)(x-3), xo = 0 h = 0,5;

  3. y = 4(x + l)(x + 2)(x + 3), xo = 0 h = l;

  4. y = 3x4-x2+l, xo = 0 h = 0,25;

  1. y = 6x3-x2+x-l, xo = 0 h = 0,5;

  2. y = x3 +x2+x+l, xo = 0 h = 0,5;

16. y = x3-x2-x-10, xo = 0 h =l;

17. y = 0,3-0,1х2-20, хо = 0 h = 2;

18.y = 0,lx3+0,5x2+x, xo = 0 h = l;

19. y= 10x3+5x + 10, xo = 0 h = 0,2;

20.y = x3-3x2-x-8, xo=l h = 0,5.

2. Составить таблицу конечных разностей для функции, за­данной таблично:

21.

hello_html_m722ded33.png


22.

hello_html_mfa101c8.png


23.

hello_html_9b3fbef.png


24.

hello_html_38355ed3.png


25.

hello_html_m6c769485.png


26.

hello_html_3c14e555.png




27.

hello_html_m3062beb1.png


28.

hello_html_m7085e92d.png


29.

hello_html_5769bbc8.png


30.

hello_html_m5b117d13.png

3. Найти значения первой и второй производных функции, заданной таблично, в точках х = а + bп:


31. х = 2,4 +0,05n

hello_html_m2edc61e0.png

а)n=1 б)n = 3 в) n = 5 г) n = 7,

32. х = 4,5-0,06n

hello_html_m5fc2285c.png

а)n = 5 б)n= 7 в)n = 9 г)n=11.

33. х = 1,6 + 0,08n

hello_html_m6a94df53.png

а) n = 2 б) n = 4 в)n = 6 г) n = 8.

34. х = 6,3 -0,12n

hello_html_m7354e3d.png

а) n = 2 б)n = 3 в) n = 4 г) n = 5.

35. n = 1,2 + 0Дл

hello_html_m5510ca4c.png

а)л = 0 б)л=1 в)л = 3 г) л = 4.

36. х = 1,5 + 0,15n

hello_html_14e1654c.png

а) п = 2 б) n= 3 в) n = 4 г) n = 5.



4. Для функций, заданных таблично, найти аналитическое

выражение первой производной:


37.

hello_html_387df2d7.png

38.

hello_html_671d3e6f.png

39.

hello_html_m375ec1df.png

40.

hello_html_m791c485.png

41.

hello_html_55c8658f.png

42.

hello_html_md2a2d58.png

hello_html_59dd3b9.gif 43.

hello_html_7e4c493b.png

44.

hello_html_m64610c77.png

45.

hello_html_m513a1652.png

46.

hello_html_m72eb130.png




Выбранный для просмотра документ 11.Алфавит.doc

библиотека
материалов

hello_html_m69a0c9bd.jpg





hello_html_6f39eccc.jpg






















Выбранный для просмотра документ 12.Глоссарий.doc

библиотека
материалов

Глоссарий





24

Возведение в степень

(в показат. форме)

hello_html_a106a50.gif






25

Тождество Эйлера

hello_html_67d27461.gif




26

Определитель второго порядка

Δ = hello_html_m3ff24ac4.gif = hello_html_5b08c656.gif




27

Определитель третьего порядка (правило Саррюса

Δ = hello_html_m2b108175.gif = hello_html_25513bc6.gif

hello_html_m30574e05.gif




28

Декартовые координаты на плоскости

Координаты х и у точки М на координатной плоскости – это ортогональные проекции точки М на координатные оси.

hello_html_m6d26cc37.gifу

у М(х;у)

hello_html_m7357662.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_12ce13d2.gifhello_html_9d88fc3.gif

hello_html_m3010302c.gifх

х




29

Декартовые координаты в пространстве

Координаты х, у и z точки М на координатной плоскости – это ортогональные проекции точки М на координатные оси.

hello_html_1143fd3e.gifz

z М(х;у;z)

hello_html_m7357662.gifhello_html_56760587.gifhello_html_12ce13d2.gifhello_html_9d88fc3.gifhello_html_3e457f67.gify

hello_html_m50cf4ac6.gifhello_html_3acc6c86.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m42a11c34.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_3e457f67.gify

hello_html_6c031d9a.gifhello_html_19e8310f.gifх

х




30

Вектор

Нhello_html_f3d5dd8.gifаправленный отрезок, характеризуемый направлением и длиной: hello_html_65324c9.gif= АВ, А – начало, В – конец

hello_html_5a8d9bbb.gifhello_html_65324c9.gifВ

А




31

Нулевой вектор

вектор, являющийся таким перемещением пространства, при котором каждая точка пространства переходит сама в себя. hello_html_3747f2c2.gif




32

Коллинеарные

hello_html_mee6e95.gif| | hello_html_7ac2c451.gif, лежат на параллельных прямых.




33

Равные

hello_html_mee6e95.gif=hello_html_4ad8f220.gif <=> hello_html_m445f93b5.gifи hello_html_m68ec09da.gif




34

Противоположные

hello_html_m5db5fee5.gifи hello_html_m68ec09da.gif. Обозначается hello_html_mee6e95.gif




35

Свободный вектор

вектор, начало которого может быть совмещено с любой точкой пространства, в котором рассматривается данный вектор.




36

Связанный вектор

вектор, начало которого совпадает с определенной (фиксированной) точкой пространства.




37

Орт

Вектор hello_html_65324c9.gif единичной длины: │hello_html_65324c9.gif│ = 1





38


Линейная комбинация пространства


hello_html_4ab45ec9.gif+ hello_html_42a9da2a.gif+ … + hello_html_m2d7a0a3d.gif, hello_html_m64118bed.gifL, hello_html_2b4cf63.gif, I = 1,…n.




39

Проекция вектора на ось

Пhello_html_m3010302c.gifhello_html_43c5485a.gifhello_html_m51e9bfde.gifhello_html_5fe16fd1.gifриhello_html_65324c9.gif= hello_html_70135b0d.gifhello_html_38e12a11.gif и




40

Декартовы координаты вектора

Проекция вектора на соответствующие оси координат: hello_html_7d2cd20.gif, где х= Прхhello_html_65324c9.gif, у= Пруhello_html_65324c9.gif, z = Прzhello_html_65324c9.gif





41

Скаляр

величина, значение которой характеризуется одним числом без учета направления или другой какой-либо оценки.




42

Сколярное произведение

hello_html_65324c9.gif·hello_html_29f73276.gif=hello_html_65324c9.gif│·hello_html_29f73276.gifcosφ, φ = (hello_html_65324c9.gif^hello_html_29f73276.gif), - число!

hello_html_65324c9.gif·hello_html_29f73276.gif= axbx + ayby + azbz





43

Направляющие косинусы

косинусы углов α,β,γ, образуемым вектором r c единичными ортами осей координат векторов i,j,k, - cos α, cos β, cos γ.




44

Векторное произведение.

Это вектор hello_html_41c7de74.gif такой что: hello_html_m187423ae.gif

1)hello_html_m124c6ffa.gif

2)hello_html_23ef5d48.gif

3)hello_html_m42a3b12c.gif- правая тройка.







45

Смешанное произведение векторов.

hello_html_17b9451e.gif- число, равное скалярному произведению векторов, один из которых равен векторному произведению первых двух векторов, а второй равен вектору hello_html_23487a99.gif




46

Линейно зависимая система векторов.

hello_html_6857869b.gif




47

Базис линейного пространства L.

hello_html_497c024d.gif- линейно независимы, 2)hello_html_436da781.gifhello_html_10eb33e4.gif




48

Размерность линейного пространства.

L –пространство размерности n, если в нём существует базис из n векторов.




49

Ранг системы векторов.

Максимальное число линейно независимых векторов этой системы.




50

Уравнение линии.

Это уравнение вида F (x,y) =0 : 1) координаты точек, лежащих на линии, удовлетворяют этому уравнению; 2) координаты точек, не лежащих на линии, не удовлетворяют этому уравнению.




51

Угловой коэффициент прямой.

hello_html_m4c9455f6.gif- угол наклона прямой и оси Оx.




52

Направляющий вектор прямой l

Любой вектор параллельный данной прямой; hello_html_m33884fb8.gif




53

Вектор нормали прямой l

Любой вектор оригинальный данной прямой: hello_html_50530359.gif




54

Вектор нормали плоскости a

Любой вектор оригинальный данной плоскости: hello_html_m58ded06e.gif




55

Окружность.

Множество всех точек плоскости равноудаленных от точки О, называемой центром окружности, на расстоянии R, направляемым радиусом окружности.





56

Эллипс.

Множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.





57

Гипербола.

Множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2a.

Канонические уравнения: hello_html_6b650c15.gif




58

Парабола.

Множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.

Канонические уравнения: hello_html_m534948c9.gif




59

Матрица размера hello_html_m5a3e251d.gif

A=hello_html_me1bde23.gif- прямоугольная таблица, составленная из элементов произвольной природы. Элементы матрицы располагаются в строки и столбцы. Элементы матрицы часто обозначают двойными индексами – aij; первый индекс i означает номер строки матрицы, в которой стоит элемент aij, а второй индекс j означает номер столбца матрицы.




60

Квадратнаяматрица

A=hello_html_m76f47785.gif




61

Обратная матрица.

hello_html_m4e323f26.gif- обратная к А, если hello_html_m40a14eff.gif

hello_html_24f733f5.gif




62

Расширенная матрица системы

hello_html_m4d7f80be.gif




63

Характеристическая матрица

hello_html_m5174aa35.gif, где λ – характеристическое число




64

Нулевая матрица

матрица, состоящая сплошь из нулей.




65

Невырожденная матрица

квадратная матрица А порядка n, определитель которой det А отличен от нуля




66

Транспортированная матрица

Матрица АТ, полученная из матрицы А переменной ролями ее строк и столбцов.




67

Симметрическая матрица

квадратная матрица, в которой элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны. АТ = А




68

Кососимметрическая матрица

Если, АТ = - А




69

Элементарные преобразования строки (столбцов).

1) Перестановка местами двух строк (столбцов);

2) Умножение всех элементов строки (столбца) на число отличное от нуля;

3) Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой, умноженных на одно и тоже число.




70

Минор k-го порядка матрицы.

Определитель, образованный элементами матрицы, стоящими на пересечении выделенных k строк и k столбцов определителя D или матрицы А.




71

Ранг матрицы.

Наивысший порядок миноров, отличных от нуля.




72

Базисный минор матрицы.

Отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы




73

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

hello_html_m7f66b2bf.gif.




74

Решение СЛАУ.

Упорядоченный набор чисел hello_html_56f5a19f.gif, обращающий уравнение системы в верное равенство.




75

Совместная система.

Система имеет хотя бы одно решение.




76

Несовместная система.

Система не имеет решения.




77

Эквивалентная система.

Множества их решений совпадают.




78

Однородная СЛАУ.

hello_html_m2040763d.gif




79

Неоднородная СЛАУ.

Среди свободных членов hello_html_431a5d2f.gif хотя бы один отличен от нуля.




80

Базисные переменные.

Переменные, образующие базисный минор.




81

Свободные переменные.

Переменные, образующие базисный минор.




82

Базисное решение.

Решение системы, при условии, что свободные переменные равны нулю.




83

Собственные числа и собственные вектора матрицы.

hello_html_32bcfcbd.gif- собственное число матрицы A, если hello_html_29f50794.gifx – собственный вектор, отвечающий собственному числу hello_html_32bcfcbd.gif.




84

Квадратичная форма в hello_html_3ec92430.gif

hello_html_305514c0.gif

где А – симметричная матрица: hello_html_m6594fdc7.gifматрица квадратичной формы.




85

Положительно определенная квадратичная форма.

hello_html_m53b25f8d.gif




86

Отрицательно определенная квадратичная форма.

hello_html_6e3d9efd.gif




87

Нормальный вектор

прямая Ахy+C = 0; вектор N = (А, В,), или вектор n = (А,В,), причём А, В одновременно не равно нулю.




88

Окрестность (hello_html_24a67842.gif - окрестность) точки.

hello_html_23ff4cf3.gif




89

Множество

Совокупность элементов х1; х2 ; х3




90

Пустое множество

Ø (элементов нет)




91

Равные множества

Х=У (из одних и тех же элементов) )<=>(Хhello_html_21a8218f.gifУ) ^ hello_html_21a8218f.gifХ).




92

Подмножество

У hello_html_21a8218f.gifХ




93

Объединение

ХUУ = {xєM:(xєA)٧(xєB)}.




94

Пересечение

Х∩У = {хєМ:(хєА)^(хєВ)}




95

Разность множеств

Х\У= {хєМ:(хєХ)^(х¢У)}




96

Дополнение А до М

А=М\А= {xєM:x¢A}.





97

Натуральные числа

Числа счёта N




98

Целые

Z=N+0+N




99

Рациональные

Q =hello_html_7aa9364.gif, т є Z, n є N




100

Иррациональные

hello_html_m5eff4580.gif= 1,412135…,




101

Действительные

R = Q + I




102

Окрестность (hello_html_24a67842.gif - окрестность) точки.

hello_html_23ff4cf3.gif




103

Последовательность действительных чисел.

Функция натурального аргумента hello_html_44c3dc04.gifгде hello_html_m68242883.gifhello_html_3dccb095.gif




104

Числовая последовательность

последовательность, члены которой являются числами.




105

Предел последовательности.

hello_html_m3915b440.gif.




106

Первый замечательный предел

hello_html_5addfd58.gif




107

Второй замечательный предел

hello_html_6d33b33e.gifhello_html_m461d62d3.gif




108

Левый предел

f(a–0) = hello_html_7ee53eed.gif




109

Правый предел

f(a+0) = hello_html_60a2e4c8.gif




110

Б.м. последовательность.

hello_html_m468257f6.gif




111

Б.б. последовательность.

hello_html_576afe8c.gif




112

Монотонная Последовательность

невозрастающая или убывающая последовательность.




113

Возрастающая последовательность

hello_html_20d97512.gif




114

Неубывающая последовательность

hello_html_m6b723a7f.gif




115

Убывающая последовательность

hello_html_db77300.gif




116

Невозрастающая последовательность

hello_html_m5de5201b.gif




117

Функция

математическая модель, позволяющая описывать и изучать разнообразные зависимости между реальными величинами.




118

Область определения

Все допустимые значения аргумента х




119

Область изменения (множество значений)

это образ Imf при отображении f: xy или, допуская вольность, множество значений, принимаемых зависимой переменной.




120

Нечётная

функция f, имеющая область определения, симметричную относительно нулю, для которой справедливо равенство f (-x) = -f (x) для любого х из области определения




121

Чётная

функция f, имеющая область определения, симметричную относительно оси ординат, для которой справедливо равенство f (-x) = f (x) для любого х из области определения




122

Неявная

Функция от двух действительных переменных, удовлетворяющих уравнению F (x,y) = 0




123

Монотонная функции

Либо возрастает, либо убывает на всей области определения




124

Функция.

hello_html_732d80d0.gifправило, ставящее в соответствие каждому xhello_html_m359413e7.gifединственное число hello_html_40946e87.gif, где

х – аргумент (независимая переменная), у – функция (зависимая переменная).

hello_html_m341cdac0.gifобласть определения функции.




125

Область значения функции.

hello_html_54da39e6.gif




126

График функции.

hello_html_30d4b978.gif




127

по Гейне.

hello_html_77f12d97.gif




128

по Коши

hello_html_6c496f7.gif




129

Б.м. функция.

hello_html_6a63674b.gifпри hello_html_f2dfdc7.gif




130

Б.б.функция.

hello_html_2c8dacf6.gifпри hello_html_394a7255.gif




131

Эквивалентные б.м.

hello_html_m4df9f898.gif




132

Непрерывность функции.

hello_html_73920644.gifhello_html_4e55b3d2.gif




133

Непрерывность функции справа в точке x = а

если бесконечно малому приращению, независимой переменной соответствует бесконечно малое приращение функции

y = f (x + ∆x) – f (x)




134

Приращение аргументы.

hello_html_m51c6816a.gif




135

Приращение функции.

hello_html_m5f81037e.gif




136

Производная функции.

hello_html_2efb9b94.gif




137

Дифференцируемость.

hello_html_m532ae0e2.gif, где А – производная функции




138

Дифференцирование

Нахождение производной




139

Логарифмическая производная.

hello_html_64432f09.gif




140

Дифференциал.

hello_html_3bd4216b.gifили hello_html_m4b536106.gif




141

Правило Лопиталя

hello_html_6076d8d2.gifhello_html_m2dbcd784.gif




142

Формула Тейлора.

hello_html_m4d9acbdb.gif




143

Убывающая функция

hello_html_m350c0835.gif




144

Возрастающая функция

hello_html_66461a7c.gif




145

Точка экстремума

точка, в которой функция имеет экстремум, т.е. максимум или минимум.




146

Максимум

hello_html_3d298c9c.gif




147

Минимум

hello_html_m6bb78bef.gif

если существует окрестность такая, что для всех её точек выполняется неравенство: f (x) ≥ f (xо)




148

Стационарная точка.

hello_html_med06217.gif




149

Необходимое условие экстремума

f '(х) = 0 (х – точка экстремума) или не существует.




150

Глобальный максимум и минимум

hello_html_m58988f97.gif= f(xi); hello_html_4f11d564.gif (наибольшее и наименьшее значение)




151

Выпуклая вверх

hello_html_m6977d9cb.gifдля hello_html_2bdadc34.gifх1 и х2 из данного промежутка



152

Выпуклая вниз (вогнутая)

hello_html_7245260c.gifдля hello_html_2bdadc34.gifх1 и х2 из данного промежутка




153

Точка перегиба

f ''(х) = 0 и при переходе через критическую точку f ''(х) меняет знак с + на −




154

Асимптота

ρ((x; f(x)); f(x))→ 0 при неограниченном удалении точки графика (x; f(x)) от начала координат




155

Вертикальная асимптота

х = хо; hello_html_747db6a6.gif




156

Горизонтальная асимптота

y=b; hello_html_m40066509.gif




157

Наклонная асимптота

y=kx+b; hello_html_m27c842e5.gifи hello_html_m2a369d9f.gif




158

Первообразная функция

F , первообразная, если hello_html_7eb96b1c.gif




159

Неопределённый интеграл

совокупность всех первообразных функций для данной функции f (x) – обозначается hello_html_214b393c.gif.




160

Подынтегральная функция

f(x)




161

Подынтегральное выражение

f(x)dx




162

Дифференциал аргумента

dx=∆x




163

Интегрирование

Нахождение неопределённого интеграла




164

Непосредственное интегрирование (метод разложения)

Применение свойств интеграла




165

Замена переменной

hello_html_214b393c.gif=hello_html_50874e28.gif; hello_html_m75449d1b.gif=hello_html_54ad6325.gif




166

Интегрирование по частям

hello_html_m68a60f4.gif= hello_html_m73470fd0.gif; hello_html_m5ce17052.gif




167

Метод неопределённых коэффициентов

hello_html_21760023.gifhello_html_m38fc7267.gifhello_html_ma86364f.gifhello_html_m543ae78d.gifhello_html_2af52360.gif




168

Интегральная сумма

hello_html_560fc29d.gif




169

Определенный интеграл

hello_html_m75449d1b.gif= hello_html_m1f20a681.gif




170

Формула среднего значения

hello_html_73f86927.gif




171

Необходимые условия существования определенного интеграла

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке




172

Достаточное условие осуществления определенного интеграла

Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на нем




173

Интеграл с переменным верхним пределом

hello_html_m11e730a4.gif




174

Формула Ньютона-Лейбница

hello_html_m75449d1b.gif= F(b) – F(a)




175

Формула замены переменной в определенном интеграле

hello_html_65980be7.gif




176

Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

hello_html_m14214740.gif




177

Площадь криволинейной трапеции

Если f(x) ≥ 0 на [ a;b] , то S = hello_html_m75449d1b.gif




178

Площадь криволинейного сектора

hello_html_m4a041a1c.gif




179

Длина дуги кривой

hello_html_575197fe.gif




180

Площадь поверхности вращения

S = 2πhello_html_18d7ec4f.gif




181

Объём тела вращения

V = πhello_html_67336c3a.gif





Длина дуги кривой

L = hello_html_m6386f049.gif





Методы приближенного интегрирования

Представление интегральной суммы в виде суммы площадей прямоугольников с равными основаниями





Метод прямоугольников


Представление интегральной суммы в виде суммы площадей прямоугольников с равными основаниями





Формула прямоугольников

hello_html_57bdf8e3.gif





Метод трапеций

Представление интегральной суммы в виде суммы площадей трапеций с равными боковыми сторонами





Формула трапеции

hello_html_m2f95382.gif





Несобственный интеграл (первого рода)

hello_html_69cae8fc.gif= hello_html_m2a23c340.gif; hello_html_5f4ad526.gif= hello_html_28c4b433.gif; hello_html_7484d406.gif=hello_html_4ce1716b.gifhello_html_7484d406.gif





Сходящийся интеграл

hello_html_m3b861daf.gifhello_html_m2a23c340.gif=b





Расходящийся интеграл

Если не существует или hello_html_m2a23c340.gif= ± ∞





Дифференциальное уравнение (ДУ)

F(x; y; y'; y''…y(n)) = 0 Уравнение, содержащее производную неизвестной функции





Порядок ДУ

Порядок п старшей производной, входящей в уравнение





Общий вид ДУ первого порядка

Уравнение вида hello_html_6919ed8b.gif.





ДУ первого порядка, разрешенное относительно производной неизвестной функции

Дифференциальное уравнение вида hello_html_m1cdb1c8f.gif





Решение обыкновенного ДУ первого порядка

Функция, имеющая производную на некотором интервале hello_html_4d4254c7.gif, обращающая уравнение в тождество на этом интервале после подстановки вместо неизвестной функции





Задача Кошм для обыкновенного ДУ, разрешенного относительно производной от неизвестной функции

Задача нахождения решения этого уравнения удовлетворяющего начальному условию hello_html_403176eb.gif





Начальные данные задачи для дифференциального уравнения первого порядка

Пара чисел hello_html_fbc6652.gif, входящих в начальное условие задачи Коши





Решение ДУ

у =у(х), при подстановке в уравнение обращает его в тождество





Интеграл ДУ

Решение, заданное в неявном виде f(x; у )= 0





Интегральная кривая ДУ

График hello_html_6d20c519.gif решения (интеграла) ДУ





Общее решение (интеграл) ДУ п –го порядка

Решение, зависящее от п независимых постоянных





Частное решение ДУ (задача Коши)

Решение, полученное при конкретных числовых значениях (начальных условиях) постоянных





Единственность решения задачи Коши для уравнения hello_html_20db1e1f.gif.

Свойство, заключающееся в том, что если для некоторой точки hello_html_33dc996c.gif существует решение hello_html_6d20c519.gif данного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию hello_html_79b1bcdb.gif, то других решений с такими же свойствами нет.





Теорема существования и единственности решения для уравнения hello_html_20db1e1f.gif.

Если функция hello_html_m5135ceeb.gif и ее частная производная hello_html_1dd8bbc8.gifпо hello_html_m38122dd8.gifнепрерывны в некоторой области hello_html_293c8f8b.gif на плоскости hello_html_m155b588a.gif, содержащей точку hello_html_2909579f.gif, то существует единственное решение, удовлетворяющее условию hello_html_79b1bcdb.gif.





Общее решение ДУ hello_html_20db1e1f.gif.

Функция вида hello_html_8c4747c.gif или hello_html_m2350f5b2.gif, где hello_html_m18f3c5c1.gif-постоянные, обладающие свойством, что любое решение hello_html_6d20c519.gif указанного уравнения в области hello_html_293c8f8b.gif, в которой имеет место существование и единственность решения задачи Коши для этого уравнения, может быть получено при некотором фиксированном значении hello_html_m46fa2711.gif или фиксированном наборе hello_html_m5b13c7e.gif





Общий интеграл ДУ hello_html_20db1e1f.gif.

Общее решение указанного уравнения, записанное в неявном виде hello_html_m7b9bd854.gif или hello_html_m7b04a36c.gif.





ДУ с разделяющимися переменными

Уравнение вида hello_html_7e69e9fe.gif.





ДУ с разделяющимися переменными

f(x)dx = g(у)dу





ДУ с разделяющимися переменными

Уравнение вида hello_html_6376f3a5.gif.





Однородная функция порядка hello_html_7a00ba7d.gif.

Функция вида hello_html_m5135ceeb.gif, для которой hello_html_48f5ec7a.gif, при всех hello_html_m330425d5.gif.





Однородное ДУ первого порядка

Уравнение вида hello_html_20db1e1f.gif, где hello_html_m5135ceeb.gif- однородная функция нулевого измерения





Однородное ДУ первого порядка

Если представимо в виде у' = hello_html_m140dbc04.gif





Линейное ДУ

у' + f(x) у = g(х); f(x) и g(х) – непрерывные функции от х





Однородное линейное ДУ

у' + f(x) у = 0





Уравнение Бернулли

у' + f(x) у = g(х) у п; п ≠ 0, п ≠ 1





Система функций линейно зависима на интервале (a;b).

Система определенных на hello_html_m1965ee92.gif функций hello_html_6a4abb89.gif, для которой найдутся числа hello_html_6b1b27f4.gif, такие, что hello_html_mc01837d.gif и hello_html_m2efbb4bd.gif при hello_html_m372e9c80.gif.





Система функций линейно независимая на интервале (a;b).

Система определенных на hello_html_m1965ee92.gif функций hello_html_4c82445a.gif, для которой из соотношения hello_html_6c14759c.gif, hello_html_m372e9c80.gif следует, что hello_html_m6f91b12e.gif.





Линейное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

у'' + ру' + qу = r(х)





Характеристическое уравнение

λ2 + рλ + q = 0 , где λ - переменная





Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

Метод нахождения частного решения hello_html_m35eafa80.gif неоднородного дифференциального уравнения в виде суммы hello_html_m40f77c56.gif, где hello_html_75f542a8.gif фундаментальная система решений данного уравнения.





Структура общего решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Представление любого решения hello_html_m50e9a42b.gif неоднородного уравнения в виде суммы частного решения hello_html_me810774.gif- этого уравнения и линейной комбинации hello_html_m40f77c56.gif фундаментальных решений данного однородного уравнения, где hello_html_m301a83e4.gif- производные постоянные.






Характеристическое уравнение для ДУ второго порядка постоянными коэффициентами.

Уравнение hello_html_m15b0ba43.gif





Принцип суперпозиции для решения неоднородного уравнения.

Представления решения уравнения в виде суммы решений соответствующих слагаемых в правой части этого уравнения.





Система дифференциальных уравнений.

Совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимая переменная, искомые функции и их производные.





Нормальная система дифференциальных уравнений.

Система уравнения вида

hello_html_5b797f0b.gif





Общее решение нормальной системы уравнений.

Функции вида

hello_html_477e5fa3.gif

hello_html_m659acabc.gif где hello_html_m5c0ce247.gif- производные постоянные.





Начальные условия.

Условия, при которых из большого решения выделяется частное решение

hello_html_6efe4542.gif





Теорема существования и единственности частного решения.

Если правые части нормальной системы непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности точки с координатами hello_html_m5f109e64.gif, то в достаточно малом интервале hello_html_m41d340d7.gif существует единственная система функций hello_html_69e9ba0f.gif, являющаяся решением системы и удовлетворяющая заданным начальным условиям.





Линейная однородная система ДУ с постоянными коэффициентами.

Система уравнений вида

hello_html_m2a1a9233.gif





ДУ показательного роста

hello_html_m53cf056c.gif





ДУ свободного гармонического колебания

hello_html_4804cf18.gif или hello_html_25e32ca.gif.





Теория вероятностей

математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.





Размещение

hello_html_1bed73ce.gifРазмещением из n элементов по k называется всякое линейно упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов множества из n элементов





Математическая статистика

раздел математики, посвященный математическим методом систематизации, обработки и исследования статических данных для научных и практических выводов.





Математическое ожидание

M(X) = x1p1+x2p2+ … +xnpn хi – значения случайной величины Х, рi – их вероятности





Дисперсия (рассеяние)

D(X) =M(X 2) – (M(X)) 2 - разность между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания.





Момент случайной величины X k-го порядка

М (XA)k





начальный момент

mk = М(X –0)k





Центральный момент

mk = М(X – М(Х))k





Случайное событие

событие, которое может произойти, а может и не произойти.





Сочетание из n элементов по k

подмножество, состоящее из k элементов множества из n элементов.





Выбранный для просмотра документ 13.СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ математических терминов.doc

библиотека
материалов

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Множества:

N — множество натуральных чисел;

Z — множество целых чисел;

No — множество неотрицательных целых чисел;

Q — множество рациональных чисел;

R — множество действительных чисел, числовая прямая;

R+ — множество положительных действительных чисел;

{а, b,...} — множество, состоящее из элементов а, b,...;

Ø — пустое множество.

Промежутки и интервалы:

[а, b] — замкнутый промежуток (отрезок) с началом а и концом b, причем а < b; точки

а и b принадлежат промежутку;

(а, b) — интервал с началом а и концом b, причем а < b; точки а и b не принадлежат

промежутку;

(а, b] — полуоткрытый интервал (открыт слева) с началом а и концом b, причем а < b;

точка b принадлежит промежутку, а точка а нет;

[а, b) — полуоткрытый интервал (открыт справа) с началом а и кон­цом b, причем а < b;

точка а принадлежит промежутку, а точка b нет;

[а, + ∞) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча;

(а, + ∞) — бесконечный, луч числовой прямой; а — начало луча не включается в промежуток);

(-∞, + ∞) — бесконечный интервал (числовая прямая).

Знаки:

< ; > ; ≤; ≥ —сравнения (меньше, больше, меньше либо равно, больше либо равно);

=> — следования;

<=> — равносильности (эквивалентности);

hello_html_m7cb53dec.gifпринадлежности;

hello_html_m69d35eb5.gifне принадлежности;

hello_html_21a8218f.gifвключения одного множества в другое, возможно совпадение множеств;

U — объединения множеств;

∩ — пересечения множеств;

∫ — интеграла;

сумма;

произведение;

hello_html_1d144203.gifугла;

hello_html_m1e39d5c0.gifперпендикуляра;

|| — параллельности;

S— площади поверхности;

V— объема тела;

hello_html_m6f7e351f.gifвекторы;

|hello_html_5c8390e.gif|, |hello_html_29f73276.gif|, hello_html_m36b541af.gif ;—длины векторов;

(а - έ; а + έ)έ-окрестность точки а;

(а; b) — упорядоченная пара;

hello_html_60b3e8aa.gifвекторное произведение векторов hello_html_m1667c8f3.gif и hello_html_m3a58c38b.gif;

ƒ — преобразование (функция)ƒ;

f(x) — образ точки х при преобразовании ƒ;

f(x0) — значение функции ƒ в точке х0;

D(f) — область определения функции ƒ;

E(f) — множество значений функцииƒ;

Е — тождественное преобразование;

hello_html_m4ecca148.gif(х) — преобразование, обратное к ƒ,

п! — произведение первых п натуральных чисел;

Рn — число перестановок из п элементов;

hello_html_m203550cb.gifчисло размещений из п элементов по т;

hello_html_m16255ef1.gifчисло сочетаний из п элементов по т;

(an) — бесконечная последовательность;

hello_html_1d827005.gif = а — число а является пределом последовательности (хп);

х — приращение переменной х; ∆ƒ(x)— приращение функции ƒ в точке х0;

hello_html_1c7a8e32.gif = b — число b является пределом функции ƒ при х, стремя­щемуся к а;

ƒ '(х0) — производная функции ƒ в точке х0;

ƒ"(х0) — вторая производная функции ƒ в точке х0;

dy = df(x) — дифференциал функции у =ƒ(х) в точке х;

hello_html_m6753815a.gifинтеграл функции ƒ в пределах от а до b;

z/х ; z/y — частные производные функции ƒ(х, у);

eхрa х — показательная функция с основанием a;

е — основание натурального логарифма;

еxр х — показательная функция с основанием e;

lg — десятичный логарифм;

ln — натуральный логарифм (логарифм с основанием е);

▲ — начало доказательства;

▼ — конец доказательства.


Выбранный для просмотра документ 14.Таблица основных интегралов.doc

библиотека
материалов

Таблица интегралов


  1. hello_html_m237432f0.gif

  2. hello_html_m6daacb44.gif

  3. hello_html_m1d4b708.gif

  4. hello_html_4dd6222f.gifhello_html_m360e08f.gif (Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

  5. hello_html_m27302e2a.gif

  6. hello_html_6bbecda3.gif.

  7. hello_html_m607a6ede.gif

  8. hello_html_m294d5eb0.gif

  9. hello_html_5bb2fc4f.gif

  10. hello_html_889b3b3.gif

  11. hello_html_m4364d1f.gif.

  12. hello_html_m6b6b5da3.gif

  13. hello_html_66972388.gif

  14. hello_html_m4ac6b5af.gif

  15. hello_html_m7143434c.gif

16. hello_html_529f967e.gif22. hello_html_77651277.gif

17. hello_html_dad7a1b.gif 23. hello_html_m65ab4272.gif

18. hello_html_m2d521848.gif24. hello_html_m189773b4.gif


19. hello_html_m36cfee63.gifhello_html_245b30c7.gif 25. hello_html_1c56bab3.gif


20. hello_html_m3989d8e.gif 26. hello_html_m62cced3a.gif


21. hello_html_1300cbe4.gif27. hello_html_m59fff12e.gif


Выбранный для просмотра документ 15.Таблица производных.doc

библиотека
материалов

4.1.8. Таблица производных

1. (c)'=0, где с - постоянное число;

2. hello_html_m36dd9cc9.gif, hello_html_m6b91cc90.gif , в частности:

х' = 1; (х2 )' = 2х; (х3 )' = 3х2; hello_html_3b7dd42a.gif; hello_html_m3aca015c.gif;

hello_html_m7dc2d110.gif hello_html_a6059c3.gif.

3. hello_html_m302d2e4.gif в частности: (ex)' = ex;

4. hello_html_51822494.gif в частности: (ln x)' = hello_html_m3d4c4f72.gif .

5. hello_html_m4183f72f.gif

6. hello_html_3fc0a36a.gif

7. hello_html_m67e5a97f.gif;

8. hello_html_7cb8dfea.gif;

9. hello_html_4caf5b04.gif

10. hello_html_7e498639.gif;

11. hello_html_2fd44c87.gif

12. hello_html_193b7ce5.gif


ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ


При условии hello_html_m29764f75.gif, hello_html_m2b5210bb.gif, v ≠ 0 имеем:

Правила дифференцирования:

1. с' = 0

2. hello_html_2957dfb7.gif

3. hello_html_7414cdc7.gif

4. hello_html_m63584766.gif

4. hello_html_m5a6daa90.gif',

5. hello_html_m4b337617.gif',

6. hello_html_42fa3d41.gif,

7. hello_html_m37fe368b.gif,

8. hello_html_4e598ea0.gif,

где у = g(x)



Выбранный для просмотра документ 2.Тема 1.2.-1.3. Производная. Приложение производной. ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов

37



Тема 1.2. Производная

1.1. Скорость изменения функции


Основными понятиями математического анализа являются функ­ция, предел и непрерывность, производная и интеграл, дифференциаль­ные уравнения и др. С понятиями функции, предела и непрерывности мы познакомились в разделе 1 (глава2). Здесь же мы разовьем теоретические осно­вы понятия производной: дадим ее определение, изучим ее свойства, выведем правила вычисления производной для многих функций, нау­чимся применению производной для исследования функций и построе­ния их графиков и т. п.

Различного рода физические процессы, которые математически могут быть представлены в виде зависимостей между двумя переменными х и у, в общем виде записываются функцией

hello_html_2f16fdb5.gif

выражают процесс изменения переменной величины у в зависимости от изменения переменной х.

Задачи вычисления скорости и ускорения движуще­гося тела и построения касательной прямой к некоторой линии привели к понятию производной.


1. Задача об определении скорости движения материальной час­тицы.

Пусть некоторая материальная частица движется прямолинейно и задан закон ее движения s = s(t), т. е. известно расстояние s(t) от части­цы до некоторой начальной точки отсчета в каждый момент времени t. Через время ∆t, т. е. в момент времени t + t частица окажется на рас­стоянии s(t + ∆t) от начальной точки или пройдет расстояние ∆s = s(t + t) - s(t). Тогда средняя скорость частицы на отрезке [s(t), s(t + t)] пути будет равна отношению пройденного пути к промежутку времени,

за который частица прошла расстояние ∆s, т. е. будет равна hello_html_36d3ec5a.gif.

Очевидно, что в общем случае средняя скорость Ucp движения на разных промежутках различна. Чем меньше промежуток времени ∆t, тем точнее средняя скорость движения характеризует это движение в момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении ∆t к нулю на­зывают скоростью движения частицы в данный момент времени. Обо­значив скорость движения частицы в момент времени t через U(t), будем иметь:


hello_html_19df2fba.gif (1)


Таким образом, задача об определении скорости движения матери­альной частицы в данный момент времени t приводит к пределу (4.1).


2. Задача о скорости химической реакции.

Пусть некоторое вещество вступает в химическую реакцию. Коли­чество этого вещества Р изменяется в течение реакции в зависимости от времени t и является функцией от t. Пусть за время ∆t количество вещества изменяется на ∆Р, тогда отношение hello_html_m6e3890cd.gifбудет выражать среднюю скорость химической реакции за время ∆t, а предел этого отношения, т. е. hello_html_60e91250.gif - скорость химической реакции в данный момент времени t (мгновенную скорость).



3. Задача определения скорости радиоактивного распада.

Если т - масса радиоактивного вещества и t — время, то явление радиоактивного распада в момент времени t при условии, что масса ра­диоактивного вещества с течением времени уменьшается, характеризу­ется функцией т = m(t).

Средняя скорость распада за время t выражается отношением


hello_html_m2f96af92.gif,


а мгновенная скорость распада в момент времени t


hello_html_m42c3d8f5.gif,


Таким образом, задачи 1-3 привели нас к понятию предела отно­шения приращения функции в какой-то точке к приращению аргумента.

Вычисление скорости изменения функции проводится по следующему общему правилу:

I. Изменение аргумента х на некоторую величину hello_html_6584f62f.gifвызовет изменение функции у на величину hello_html_242f2cb0.gif т.е.

hello_html_1a6e7ac.gif

II. Находится приращение функции hello_html_242f2cb0.gifсоответствующее приращению аргументаhello_html_6584f62f.gif:

hello_html_13bd0c8a.gif

III. Средняя скорость изменения функции у для промежутка значений аргумента от х до hello_html_7bad4d1a.gif выражается отношением

hello_html_64953d99.gif

Отношение hello_html_m247c8329.gif показывает, сколько единиц приращения функции приходится на единицу приращения аргумента.

IV. Мгновенная, или истинная, скорость υ изменения функции при данном значении х есть предел, к которому стремится средняя скорость hello_html_m247c8329.gif при hello_html_6584f62f.gif→0 в промежутке изменения аргумента от х до hello_html_7bad4d1a.gif, т.е,

hello_html_m7381bdd7.gif.

Для линейной функции y=kx+b средняя скорость hello_html_4667c1bf.gif и истинная скорость hello_html_7816a48d.gif совпадают по величине и численное значение истинной скорости равно коэффициенту k.

Пример 1. Найти среднюю скорость изменения функции hello_html_4d64b531.gif при изменении х от х1=3 до х2=3,5.

Решение. 1-й способ. 1. Найдем приращение аргумента:

hello_html_4932498e.gif

2. Определим значения функции при х1 и х2:

hello_html_m290e3272.gifhello_html_3f9e6175.gif

3. Вычислим приращение функции

hello_html_7c510627.gif

4. Отыщем среднюю скорость изменения функции

hello_html_m15c4e8a9.gif

2-й способ. 1. Вычислим среднюю скорость изменения функции при любом значении аргумента по общему правилу:

I. hello_html_4e4a8397.gif

II hello_html_m37ddeb53.gifhello_html_m1c778058.gifhello_html_m79bfd8a.gif ;

hello_html_m6203a720.gif

III hello_html_m171298e8.gif

2. Найдем приращение аргумента:

hello_html_6ca7fe7c.gif

3. Определим hello_html_647abd6.gif при х=3 и hello_html_5fb6511f.gif

hello_html_m2333b261.gif

Ответ. 19,5.

Пример 2. Прямолинейное движение точки задано уравнением s = 3t2-2t+5, где t дано в секундах и s в метрах. Найти скорость движения точки в момент t = 5 с.

Решение. 1. Найдем среднюю скорость движения точки:

hello_html_m53d4ecad.gifI. hello_html_m425a6d24.gif

II hello_html_1bdeb20d.gifhello_html_4e70737a.gif

+2t − 5 = hello_html_7a24aeb0.gif;

hello_html_m5d2abba4.gif

III. hello_html_2b987b57.gif

2. Найдем истинную скорость движения точки в момент времени t1

IV. hello_html_m4d5670f1.gif

3. Найдем скорость движения точки в конце 5 с:

hello_html_m5ad24830.gif

Рассмотрим теперь этот случай с чисто математической точки зрения.


1.2.Определение производной функции


Пусть функция hello_html_m56e8e7a0.gif определена в некоторой окрестности hello_html_1c4002df.gif точки hello_html_m7d3f8cd.gif (включая саму точку hello_html_m7d3f8cd.gif )

Пhello_html_aa384bf.gifhello_html_5ad37dc6.gifhello_html_dd162d9.gifридадим аргументу hello_html_46dff828.gif в точке hello_html_m7d3f8cd.gif произвольное приращение hello_html_6067f45.gif такое, что точка hello_html_m2c7ca2ae.gif. Тогда функция hello_html_m56e8e7a0.gif получит приращение hello_html_m28282dc8.gifсм. рис. 1.

hello_html_m23754088.giff(x)hello_html_m157d1879.gifhello_html_13437669.gif В Дадим одно из важнейших понятий математического анализа: понятие производной.

hello_html_m299dc200.gifА ∆у Определение 1. Производной функции hello_html_m56e8e7a0.gifhello_html_m53d4ecad.gif в точке hello_html_m7d3f8cd.gif

f(xo) х С называется предел hello_html_m157d1879.gifhello_html_m51e9bfde.gifотношения приращения функции в этой точке к

вызвавшему его приращению аргумента, когда приращение

хох=хо+∆х аргумента стремится к нулю, (при условии, что этот предел

Рис. 1. существует).

Таким образом, производная функции hello_html_m66a31e82.gif есть некоторая функция hello_html_26b389f5.gif, производная (т.е. полученная по определённым правилам) из данной функции.

Производную функцию hello_html_m56e8e7a0.gif в точке hello_html_m7d3f8cd.gif обозначают одним из символов:

hello_html_6287d334.gif

Итак, по определению

hello_html_6e33ce3.gif(2)

Или короче

hello_html_m496628e5.gif (3)

Чтобы предел (4.3) был определен, необходимо, чтобы отношение hello_html_m3a1a7418.gif было определено для всех х ≠ х 0 из некоторой окрестности точки х0, а для этого необходимо, чтобы и сама функция была определена в неко­торой окрестности точки х0 включая эту точку.

Таким образом, функция может иметь производную в точке х0только тогда, когда функция определена во всех точках некоторой окре­стности х0.


Оhello_html_m2cf7298.jpgпределение 2. Функция у = f(х) имеет производную в интервале (а, b), если она имеет производную в каждой точке hello_html_m3006c611.gifх (а, b) данного интервала.

Определение 3. Функция, имеющая производную на множестве Х (в интервале (а, b) ), называется дифференцируемой на этом множестве (в этом интервале).

Определение 4. Процесс нахождения производной f ' от данной функции f называют дифференцированием

Из определения 1 следует правило нахождения производной функ­ции у = f(х) в точке х0, которое состоит в последовательном выполнении следующих четырех операций.

  1. Находим значение функции в точке х0 + ∆х:hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_1c1a36f5.gif.

  1. Находим приращение функции:

hello_html_m3eee31fa.gif.

3. Находим отношение приращения функции к приращению аргумента:

hello_html_m28d8d2a7.gifhello_html_m53d4ecad.gif.

4. Находим предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

hello_html_12861118.gif.


Определение 2. Функция, имеющая производную на множестве Х, называется дифференцируемой на этом множестве.

Определение 3. Процесс нахождения производной называют дифференцированием

Пример 1. Найти ∆у, если у = х3, хо = 1, ∆х = 0,1.

Решение. hello_html_m28282dc8.gif = (хо+ х)3хо3 = ( 1+0,1)3 − 13 = 1,13 − 1 = 1,21 − 1 = 0,21.

Ответ. 0,21


Пример 2. Найти ∆у и ∆х, если hello_html_6e23b7c9.gif, hello_html_5a1dc688.gif ≤ х ≤hello_html_2e8a3f83.gif.

Решение. ∆х = hello_html_2e8a3f83.gifhello_html_5a1dc688.gif = hello_html_m3d572cbb.gif;

hello_html_m52848545.gif= hello_html_6b68b778.gif(hello_html_5a1dc688.gif+hello_html_m3d572cbb.gif) hello_html_6b68b778.gifhello_html_5a1dc688.gif= hello_html_6b68b778.gifhello_html_2e8a3f83.gif hello_html_6b68b778.gifhello_html_5a1dc688.gif=hello_html_m53ac054d.gif.

Ответ. hello_html_m1b1235c7.gif

Пример 3. Вычислить производную функции y = ctg x в точке хо =hello_html_2e8a3f83.gif.

Решение. По определению производной имеем hello_html_m17be08ae.gif= hello_html_2869594c.gif= hello_html_m2bf6889e.gif= hello_html_m703e7de3.gif=hello_html_m2fd01116.gif =

= hello_html_5c4b066b.gifhello_html_mdb002a8.gifhello_html_mac7be95.gifhello_html_m61d25e5.gif.

hello_html_m5958b390.gifhello_html_m61d25e5.gif; hello_html_m1ca1ed32.gifhello_html_6b5fc366.gif.

Ответ. hello_html_m20156c75.gif.


1.3. Непрерывность дифференцируемых функций


Пусть функция у =f(х) дифференцируема на интервале (а, b), тогда ее производная в некоторой точке хо этого интервала определяется ра­венством


hello_html_4b788f74.gif.

Отсюда следует, что hello_html_m681402f3.gifпри hello_html_52d4adc6.gifи, следовательно, отношение hello_html_m6484b521.gifотличается

от производной hello_html_11f9f77f.gifна бесконечно малую величину hello_html_m2383799f.gif, где hello_html_m7e4cbd47.gif при hello_html_m8f46764.gif. Поэтому справедлива следующая теорема:

Теорема 1.1. Если функция hello_html_m4058012a.gifдифференцируема в точке хо, то ее приращение в этой точке выражается формулой hello_html_m173f355.gif, где hello_html_m7e4cbd47.gif, когда hello_html_70917e1f.gif


Следствие. Если функция hello_html_m4058012a.gifдифференцируема в точке хо, то она непрерывна в этой точке, т. е. hello_html_7b4e0ee2.gif.

Действительно, нам известно, что

hello_html_m23937786.gifгде hello_html_m191550a3.gif.


Отсюда hello_html_m30f6198e.gif


Обратное утверждение неверно: непрерывная функция может не иметь производной, т.е. не каждая непрерывная функция дифференцируема. Про­стейший пример представляет функция у = |х|, которая, как известно, имеет излом в точке х = 0 и, тем самым, в этой точке не имеет произ­водной.

Эта функция непрерывна при х = 0, но не является дифференцируемой для этого

hello_html_443cff42.png

Рис. 2.

значения, так как в точке х = 0 графика функции не существует каса­тельной. Покажем, что функция hello_html_375e6b30.gif в точке hello_html_m52881364.gif не имеет производной.

Так как f(х)=х при х>0 и f(х)=hello_html_m50a71c3a.gifпри х < 0 (рис. 2), то, используя значение производной для линейной функции, получим


hello_html_m11d36d9f.gif

Т.к. еслиhello_html_590498d1.gifи поэтому

hello_html_519a5917.gif

Если hello_html_m6d70db4.gif то hello_html_557fbe06.gif и поэтому

hello_html_79376f01.gif


Следовательно, функция f(х) = | х | не имеет производ­ной в точке х = 0.

Заметим, что производная y' = f '(x) непрерывной функции у = f(x) сама не обязательно является непрерыв­ной. Если функция f(x) имеет непрерывную производную f '(x) на промежутке (а, b), то функция называется гладкой на этом промежутке. Функция f(x), производная которой f '(x) допускает лишь конечное число точек разрыва, и притом первого рода, на данном промежутке (а, b), называется кусочно гладкой на этом промежутке

Существуют непрерывные функции, которые не дифференцируемы ни в одной точке области определения. Построение таких функций вы­ходит за рамки нашей программы. Здесь мы ограничимся лишь рас­смотрением, в основном, дифференцируемых функций.

З а м е ч а н и е. Из доказанной теоремы 1.1 следует, что если функция не является непрерывной а некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной, т.е. непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Однако следует заметить, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т. е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.


1.4. Дифференцирование некоторых явно заданных функций

Производная функции y = f(x) может быть найдена по сле­дующей схеме:

  1. аргументу х даем приращение ∆х ≠ 0 и находим для функции у соответствующее приращенное значение у +∆y = f(x+∆x);

  2. вычитая из нового значения функции у + ∆у ее прежнее значение у = f(x), получаем приращение ∆у функции;

  3. составляем отношение hello_html_m247c8329.gif;

  4. находим предел этого отношения при условии, что ∆х→0.
    Результат предельного перехода hello_html_70d3c4ad.gif и является производ ной у' от функции у поаргументу х, если, конечно, он существует.

Пример. Найти частное значение производной функции y = 2x2–3x при х = 3.

Решение.

I. hello_html_48d66f54.gif

II. hello_html_m533c4fd1.gif

hello_html_282893ab.gif= hello_html_c0b3812.gif=

= 4х∆х + 2(∆х)23∆х

hello_html_m19a2ce73.gif

III. hello_html_m2f3c5910.gif;

IV. hello_html_m24901e5c.gifhello_html_m2869e7a3.gif

Найдем значение производной при х = 3;

hello_html_67a796da.gif

Пользуясь этой схемой, найдем производные некоторых простейших функций:


I. Производная постоянной функции с, где с=const любое число числовой оси.


Пример 1. hello_html_3ae6f620.gif - постоянная функция hello_html_7500351b.gif.

Решение. Для любого значения аргумента hello_html_6fd08ae9.gif найдем hello_html_1205ec08.gif

для любого приращения аргумента hello_html_m6f798d85.gif, поэтому

hello_html_m77bff8ef.gif

Т.е. производная постоянной функции равна нулю в каждой точке числовой оси. Таким образом,

hello_html_m6cd280c.gif(4)

Теорема 1.2. Производная постоянной (константы) равна нулю.


II. Производная от степени хп, где п целое по л о ж и т е л ь н о е число.


Пример 2. hello_html_m195e96a7.gif, hello_html_7382c650.gif- натуральное число.

Решение. Согласно биному Ньютона имеем

hello_html_m7eb1ae6f.gif=

= hello_html_m226b3499.gif.

Откуда при hello_html_m40756094.gif получим hello_html_2cf6d02b.gif.

При hello_html_m2f9290bb.gif все слагаемые правой части, содержащие множитель hello_html_6067f45.gifв степени с натуральным показателем, стремятся к нулю, то

hello_html_5491cdb6.gif

б.м. при hello_html_m2f9290bb.gif

таким образом

hello_html_1fda452b.gif, (5)

Теорема 1.3. Производная от целой положительной степени независимой переменной равна показателю степени, умноженному на основание в степени на единицу меньше.

В частности при т = 1 получаем

hello_html_m2cdf11b0.gif, (6)

т.е. производная независимой переменной равна единице.

Имеем также

hello_html_m503f38f0.gif, hello_html_m7408ca38.gif . (7)

Формула (5) справедлива для любого действительного постоянного показателя п (в частности для дробного)

Пример 3. hello_html_1d5d1f6a.gif. Найти hello_html_m5799c8a5.gif

Решение. (Первый способ) (hello_html_7f0b48b9.gif)' = hello_html_m3713a6c2.gifhello_html_11203cf0.gif.

(hello_html_7f0b48b9.gif)' = hello_html_m7835b99d.gif (8)

(Второй способ; по определению производной).

I. hello_html_m180356e7.gif

II. hello_html_m1cd8c001.gif hello_html_m50f628d9.gif

III. hello_html_m79d5af92.gif;

IV. hello_html_37be2727.gifhello_html_5716937a.gifhello_html_1022fe55.gifhello_html_m2c1fc242.gifhello_html_m1d7b01cc.gif

=hello_html_147f5a4c.gifhello_html_1fe989e6.gifhello_html_m6c9695d3.gifhello_html_2d548768.gifhello_html_m7835b99d.gif

Таким образом, hello_html_37be2727.gifhello_html_m7835b99d.gif;

hello_html_3c60dab6.gifhello_html_5eb108d9.gif


Пример 4. hello_html_m3385be53.gif, где аргумент х ≠ 0.

Решение. Используем формулу (4):

hello_html_5fa383f0.gif.



Таким образом, hello_html_m3aca015c.gif (9)

Пример 5. hello_html_66220b7f.gif, где аргумент х ≠ 0.

Решение. hello_html_5269856e.gif.

Таким образом, hello_html_m1af0613c.gif

III. Производная от hello_html_m4ee89190.gif


Пример 6. hello_html_m3584dc99.gif, где аргумент х выражен в радианной мере

Решение. Так как hello_html_94a6389.gifhello_html_4d595bad.gifhello_html_1c0d1da6.gifhello_html_m180a1c80.gif, где hello_html_1c0d1da6.gif - б.м. при hello_html_m2f9290bb.gif, hello_html_1c0d1da6.gifhello_html_m2dc5483e.gif, а функция hello_html_m7e4f320e.gif непрерывна: hello_html_3bc3c001.gif, то

hello_html_72f51c12.gif

Итак,

hello_html_m4b83aaaf.gif(10) Теорема 1.4. Производная от синуса независимого аргумента равна косинусу этого же аргумента.


IV. Производная от hello_html_m4ed24425.gif

Пример 7. hello_html_m7e4f320e.gif, где аргумент х выражен в радианной мере

Решение. Так как hello_html_110adec.gifhello_html_m6e3ce66c.gifhello_html_1c0d1da6.gifhello_html_12c13418.gif, где hello_html_1c0d1da6.gif - б.м. при hello_html_m2f9290bb.gif, hello_html_1c0d1da6.gifhello_html_m2dc5483e.gif, а функция hello_html_6e23b7c9.gifнепрерывна: hello_html_561a6ca0.gif, то hello_html_60583494.gif

и hello_html_4f04247d.gif(11)

Теорема 1.5. Производная от косинуса независимого аргумента равна синусу этого же аргумента, взятому с противоположным знаком.


V. Производная от показательной функции ах.


Пример 8. hello_html_45533b68.gif

Решение. По определению производной hello_html_72e109a2.gifhello_html_m4d170c8d.gif



Заменим а∆х1 = т, тогда а∆х = т + 1, loga а∆х = loga(m+1), ∆х = loga(m+1), тогда, учитывая, что при ∆х→ 0 а∆х 1, т 0, имеем

hello_html_m4effc862.gifhello_html_4bd51d1a.gifhello_html_522ae992.gifhello_html_4bd51d1a.gifhello_html_m37287c4c.gif= hello_html_4bd51d1a.gifhello_html_15d054ce.gif.

Таким образом,

hello_html_m4c3f7253.gif(12)

и hello_html_ecb2546.gif

Последняя формула показывает замечательное свойство числа hello_html_7478456a.gif: показательная функция с основанием hello_html_7478456a.gifимеет производную, совпадающую с самой функцией. Этим объясняется преимущественное использование числа hello_html_m43677663.gif в качестве основания степени и основания логарифмов (натуральные логарифмы).

Теорема 1.6. Производная от показательной функции равна произведению данной функции на натуральный логарифм основания функции.


V I. Производная от логарифмической функции

Пример 9. hello_html_m31fcf081.gif, hello_html_m7df6d676.gif

Решение. Применим свойства логарифмов и определение производной.

Тогдаhello_html_m1cb11d2.gifhello_html_m2a7d2efb.gifhello_html_m1ee139d1.gif·hello_html_m2298d729.gifhello_html_m299c5c96.gif· loga e =hello_html_m299c5c96.gif· hello_html_m1e643fdf.gif= hello_html_m526ece7f.gif.

Итак,

hello_html_m3c4a8cb6.gif(13)

и hello_html_m4f8ab98c.gif (14)

Теорема 1.7. Производная от логарифмической функции от независимой переменной равна обратной величине этой независимой переменной, делённой на натуральный логарифм основания функции


    1. Основные правила дифференцирования функции


Теорема 1.8. Пусть функции hello_html_m6208ebee.gifи hello_html_1018266d.gifопределены в некоторой окрестности точки хо и дифференцируемы в самой точке логарифмов хо. Тогда их сумма hello_html_79ef84e8.gif, произведение hello_html_m839efb9.gif и частное hello_html_m233f62e1.gif если знаменатель не обращается в нуль, имеют производные в точке хо, равные соответственно:


1. (hello_html_m27b80d40.gif)'hello_html_m39678ed6.gif= hello_html_2a6e30b3.gif(15)

Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функ­ций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций.




(hello_html_401a396.gif)'hello_html_5a168942.gifhello_html_m1a6b1874.gif; (16)

Производная произведения двух дифференцируемых функций равна про­изведению первого сомножителя на производную второго плюс произведение второго сомножителя на производную первого.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

В самом деле, если с — постоянный множитель, то имеем

и)' = си' + с' и, но с' = 0, значит,

и)' = си'. (17)

Следствие 2. Если у = и·v·w, где и, v и w - дифференцируемые функции от х, то

у' = (и·v·w)' =(и·v)· w' + (и·v)'· w =и·v· w' + w (и'·v + и·v') = и·v· w' + w и'·v + w·и·v' = и'·v w + и·v'·w + и·v· w',

т.е. производная произведения, нескольких дифференци­руемых функций равна сумме произведений производной каждого из этих сомножителей на все остальные.

  1. hello_html_m7630f372.gifhello_html_m1f7f0e41.gif. (18) Если числитель и знаменатель дроби дифференцируемые функции и знаменатель не обращается в нуль, то производная дроби равна также дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя.

Следствие 1. Если знаменатель дроби постоянная вели­чина, то hello_html_me6b24f8.gif,

т.е. hello_html_m71caca1a.gif. (19)

Следствие 2. Если числитель дроби постоянная величина, т о

hello_html_m3d17aadb.gif,

т.е. hello_html_1d29d434.gif. (20)

Пример 1. Найти производную от функции у = 2 − х + х2.

Решение. Применим теорему 1.3 и правило дифференцирования (15):

у' = (2 − х + х2)' = (2)' − (х)' + (х2)' = 0 – 1 + 2х = 2х - 1.

Ответ. 2х – 1.

Пример 2. Найти производную от функции у = х2hello_html_m4ee89190.gif.

Решение. Применим теоремы1.3 и 1.4 и правило дифференцирования (16):

у' = (х2)'·hello_html_m4ee89190.gif+ х2 ·(hello_html_m4ee89190.gif)' = 2хhello_html_m4ee89190.gif+ х2 ·hello_html_5215b4dd.gif.

Ответ. hello_html_m4ee89190.gif+ х2 ·hello_html_5215b4dd.gif.

Пример 3. Найти производную от функции у =hello_html_m48168f1f.gif.

Решение. Применим теорему 1.3 и правило дифференцирования (18):

у' =hello_html_m7ccdb73a.gifhello_html_m3b99fa0a.gifhello_html_4b778574.gifhello_html_m712a4630.gif

Ответ. hello_html_m712a4630.gif.


Пример 4. Найти у' если у = (х + 4) (х - 9).

Решение. (Первый способ). Обозначив f(x) = х + 4 и g(х) = х - 9, по формуле (16) будем иметь

у' = (х+4)'(х–9) + (х+4)(х–9)' = (1+0)(х–9) + (х+4)(1–0) = х – 9 + х + 4 = 2х–5.

(Второй способ). Раскроем скобки:

у = (х + 4) (х - 9) = х2 + 4х – 9х – 36 = х2 – 5х – 36.

По формуле 4.15 и следствию из теоремы и теоремы 1.3 имеем

у' = (х2 – 5х – 36)' = (х2)' – (5х)' – (36)' = 2х – 5 .

Ответ. 2х – 5 .

Пример 5. hello_html_13b1898.gif.

Решение. Применим формулу (18):

hello_html_3ac9ff83.gif

Ответ. hello_html_6c63c62a.gif

Итак, (tgx)' = hello_html_6c63c62a.gif (21)

Пример 6. hello_html_6d0b9dea.gif.

Решение. Используем формулу (4.18):

hello_html_m58427b97.gif Ответ. hello_html_3974d162.gif.

Итак,

(ctgx)' = hello_html_3974d162.gif (22)

Пример 7. hello_html_m3385be53.gif, где аргумент х ≠ 0.

Решение. По формуле (18) имеем: hello_html_m23715dd5.gif.

Таким образом,

hello_html_m3aca015c.gif

Ответ. hello_html_3b1489b8.gif.

Пример 8. hello_html_m3be488a9.gif, где аргумент х ≠ 0.

Решение. По формуле (20) имеем: hello_html_m654506c5.gif.

Таким образом,

hello_html_a6059c3.gif.

Ответ. hello_html_m4bb2d45a.gif .

Пример 9. Найти у', если у =hello_html_5f40009b.gif.

Решение. Применим формулу (20), получим: у' = hello_html_56b65c9e.gif.

Ответ. hello_html_65813b8f.gif

Сведём все правила дифференцирования в следующую таблицу:


При условии hello_html_m29764f75.gif, hello_html_m2b5210bb.gif, v ≠ 0 имеем:

Правила дифференцирования:

1. с' = 0

2. hello_html_2957dfb7.gif

3. hello_html_7414cdc7.gif

4. hello_html_m63584766.gif

4. hello_html_m5a6daa90.gif',

5. hello_html_m4b337617.gif',

6. hello_html_42fa3d41.gif,

7. hello_html_m37fe368b.gif.



1.6. Производная сложной функции.


Теорема 1.9. Пусть функция hello_html_40946e87.gif дифференцируема в точке хо, а функция hello_html_m57691706.gifhello_html_m53d4ecad.gifдифференцируема в точке hello_html_m29f72e19.gif Тогда сложная функция hello_html_14463a95.gif дифференцируема в точке хо и справедлива формула (правило дифференцирования сложной функции)

hello_html_m233203cf.gif

Действительно, функция hello_html_40946e87.gif дифференцируема в точке хо, поэтому

hello_html_m2c51284c.gif, (23)hello_html_m53d4ecad.gif

где hello_html_m58e36fdf.gif- б.м. при hello_html_m6275153f.gif, а в силу непрерывности функции hello_html_40946e87.gif в точке х0 имеем hello_html_m262dddc8.gif, т.е. hello_html_37801ac7.gif - б. м. при hello_html_m6275153f.gif.

Далее, функция hello_html_m57691706.gif дифференцируема в точке hello_html_2ecfc239.gif поэтому

hello_html_2c94628c.gif, (24)

где hello_html_76fabe5e.gif - б. м. при hello_html_m262dddc8.gif . Учитывая, что приращение ∆у зависит от ∆х, то функция hello_html_76fabe5e.gif зависит от ∆х как сложная функция hello_html_76fabe5e.gif - б. м. при hello_html_m6275153f.gif.

Подставим представление (4.23) в формулу (4.24), получим

hello_html_m66ce1d78.gif,

где функция hello_html_287bc489.gif есть б. м. функция при hello_html_m6275153f.gif как сумма трех б. м. функций. Поэтому последнее равенство примет вид

hello_html_36288502.gif,

но это и означает, что сложная функция hello_html_m531b283c.gif -hello_html_m188788af.gifдифференцируема в точке hello_html_48bafc8f.gif и

hello_html_m3b0b4ec2.gif


Сформулируем правило нахождения производной сложной функции hello_html_m1eed24bd.gif , где hello_html_m57691706.gif и y = f(x) (в этом случае переменную у называют промежуточной переменной). Производная сложной функции hello_html_m188788af.gif равна производной hello_html_m23178e7f.gif функции hello_html_5968c38c.gif по промежуточной переменной у, умноженной на производную промежуточной переменной hello_html_m38a59427.gif по независимому аргументу х:

hello_html_m1211b6c6.gif(25)

Кратко это можно выразить так:

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ функции равна произведению производных от функций, ее составляющих.


Пример 1. Найти производную сложной функции hello_html_m18ca8074.gif,

Решение. Обозначив hello_html_m441322c9.gif и hello_html_560e348.gif, hello_html_m46eeddc5.gif.

Тогда, используя формулу (4.25), получим: hello_html_m156c881f.gifhello_html_2267ad2b.gif.

Ответ. hello_html_2267ad2b.gif.

В дальнейшем при дифференцировании сложной функции не будем явно выписывать промежуточные переменные.


Пример 2. Найти производную сложной функции у = cos (ах + b).

Решение. Используем формулу дифференцирования сложной функции (25):


(cos (ах + b))' = - sin (ax + b)(ax + b)' = -sin (ах + b)·а = - a sin (ах + b).


Ответ. - a sin (ах + b).

Пример 3. Найти производную сложной функции y = tg 6 x.

Решение. Ясно, что hello_html_m236b8529.gif.

Ответ. hello_html_2557d77b.gif

Пример 4. Найти производную сложной функции hello_html_m6e3d5523.gif Вычислить её значение в точке х = 1.

Решение. Положив hello_html_3799fed8.gif, получим hello_html_m67beda0.gif. По формулам (8) и (25) имеем:

hello_html_m56ab57b8.gif

hello_html_m250e8376.gifhello_html_m3c55f494.gifhello_html_d0bccd3.gif

Ответ. hello_html_m65f09fec.gif hello_html_1afdea2c.gif.


    1. Производная обратной функции.


Теорема 1.10. Пусть функция y = f(x) монотонна (возрастает или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки хо и имеет в точке хо производную hello_html_m4bf9a7fb.gif. Тогда обратная функция hello_html_757c2ee3.gif имеет в точке hello_html_2ecfc239.gif производную

hello_html_m6855d25e.gif.

Другими словами: Для дифференцируемой функции, с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Доказательство. Действительно y = f(x) − f(x0) = yy0 и hello_html_2df4c70c.gif, т.е. y с одной стороны - приращение функции y = f(x), а с другой - приращение аргумента обратной функции

hello_html_757c2ee3.gif. Аналогично, hello_html_6067f45.gif вытекает как приращение аргумента х и как приращение обратной функции. В силу непрерывности обеих функций имеем hello_html_6609d6e4.gif, а в силу монотонности hello_html_596c0b1f.gif . Учитывая все это, получим

hello_html_m4a76f79.gif,


Кратко это можно записать так: если y=f(x) и x=x(y) взаимно обратные функции и hello_html_m2dc905a3.gif, то

hello_html_4f213c48.gif (26)

Пример 1. Доказать, что производные функций y=arctg x и y=arcsin x равны соответственно

(arctg x)' = hello_html_m10c8cb4d.gif и (arcsin x)’=hello_html_6f2fcc07.gif. (27)

Решение. 1) Так как x = tg y - обратная к y = arctg x функция, то по формуле (26) получим

hello_html_278d7bc3.gif.

2) Имеем функцию у = arcsin x, следовательно, ей обратная функция х = sin у. По формуле производной обратной функции (26) находим

hello_html_m684b55f1.gifhello_html_m4ea3d3a0.gif=hello_html_6f2fcc07.gif.

Ответ. 1) hello_html_64ad6868.gif; 2) hello_html_6f2fcc07.gif.

Пример 2. Найти производную для функции, обратной у = f(x) = 3 – 5х.


Решение. Вычислим производную f(х): f'(х) = (3 –5х)' = –5.

Для обратной функции hello_html_27127aad.gif будем иметь hello_html_m77dd48f7.gif.

Ответ. hello_html_m36029b7d.gif.


Пример 3. Найти производную функции у = loga x в точке х = 2 .

Решение. Обратной служит функция х = ау. Поэтому


hello_html_m7e66d31f.gifhello_html_m153db234.gif

Ответ. hello_html_m526ece7f.gif; hello_html_c62557c.gif.



1.8. Таблица производных

1. (c)'=0, где с - постоянное число;

2. hello_html_m36dd9cc9.gif, hello_html_m6b91cc90.gif , в частности:

х' = 1; (х2 )' = 2х; (х3 )' = 3х2; hello_html_3b7dd42a.gif; hello_html_m3aca015c.gif; hello_html_a6059c3.gif.

3. hello_html_m302d2e4.gif в частности: (ex)' = ex;

4. hello_html_51822494.gif в частности: (ln x)' = hello_html_m3d4c4f72.gif .

5. hello_html_m4183f72f.gif

6. hello_html_3fc0a36a.gif

7. hello_html_m67e5a97f.gif;


8. hello_html_7cb8dfea.gif;

9. hello_html_4caf5b04.gif

10. hello_html_7e498639.gif;

11. hello_html_2fd44c87.gif

12. hello_html_193b7ce5.gif

    1. Производные высших порядков


Определение 1. Производная от первой производной называется производной вто­рого порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается у", или f"(х), или hello_html_m5a8cf82e.gif

hello_html_m22727e0d.gif

Итак,

f ''(x) = (f '(x))' (28)

Пример 1. Для функции у = х 4 найти у''.

Решение. Найдём у' =(х4)' = 4х3 , поэтому вторая производная функции у будет

hello_html_579d938d.gif.

Ответ. hello_html_593e9a8.gif

Определение 2. Производная от производной второго порядка, если она суще­ствует, называется производной третьего порядка или третьей про­изводной и обозначается так у'", f "'(х) или hello_html_1db0a7f0.gif, т. е.

у'" =hello_html_mec7790.gif

Итак, f "'(х)= (f "(х))' (29)

Например, для функции у = х 4 третья производная у'" = (х4)′′′ = (у")' = (12х2)' = 24х.


Определение 3. Производной п-го порядка от функции f(х) называется производная (первого порядка) от производной (п - 1)-го порядка, которая обозначается hello_html_m16c022cc.gif или hello_html_126941e4.gif, или hello_html_m5b8caaa7.gif

Производные высших порядков обозначаются также с помощью римских цифр, например hello_html_48d7d0c1.gifhello_html_m7ed8dcf5.gifhello_html_m254702f8.gif… или обозначается числом в скобках: у(4)– производная четвёртого порядка и т.д.

При вычислении высших производных используются все изученные правила дифференцирования. Приведём лишь формулу Лейбница, обобщающую правило нахождения производной произведения двух функций.

Пусть y =uv, где u = u(x) и v = v(x) имеют производные до порядка n включительно. Тогда справедлива формула Лейбница:

y(n) =(uv)( n) = hello_html_62304ebc.gif (30)

В частности,

y׳׳ = (uv)׳׳ = u׳׳ +2u׳ v׳ + uv׳׳.

у''' = u׳׳׳ v + 3u׳׳ v׳ + 3u׳ v׳׳ + uv׳׳׳.

Пример 2. Пусть у = sin x. Тогда имеем последовательно

y' = cosx, у" = sin х, у'" = cos x, yIV = sinx, ...

Пример 3. Для функции у = (2х + 8)(х8 + х6) найти у VI.

Решение. Первый способ (непосредственно):

у' =((2х + 8)(х8 + х6))' = (2х + 8)(х8 + х6) + (2х + 8)(х8 + х6)' =2(х8 + х6) + (2х + 8)(8х7 + 6х5) = 2х8 +

+ 2х6 + 16х8 +12х6 + 64х7 + 48х5 = 18 х8 + 14 х6 + 64 х7 + 48 х5 ;

у'' =(18х8 + 14 х6 + 64х7 + 48х5)' = 144 х7 + 448 х6 + 84 х5 +240 х4;

у''' = (144 х7 + 448 х6 + 84 х5 +240 х4)' = 1008 х6 + 2688 х5 + 420 х4 + 960 х3 ;

уIV = (1008 х6 + 2688 х5 + 420 х4 + 960 х3)' = 6048 х5 + 13440 х4 + 1680 х3 + 2880 х2;

уV = (6048 х5 + 13440 х4 + 1680 х3 + 2880 х2) = 30240 х4 + 53760 х3 + 5040 х2 + 5760x;

уVI = (30240 х4 + 53760 х3 + 5040 х2 + 5760x)' = 120960 х3 + 161280 х2 + 10080x + 5760.

Второй способ (используя формулу Лейбница):

уVI = (2х + 8)VI (х8 + х6) + 6(2х + 8)V (х8 + х6)' + 15(2х + 8)IV (х8 + х6)'' + 20(2х + 8)''' (х8 + х6)''' +

+15 (2х + 8)'' (х8 + х6)IV + 6(2х + 8)' (х8 + х6)V + (2х + 8) (х8 + х6)VI= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +

+ 6·2· (6720х3 + 720х) + (2х + 8)(20160х2 + 720) = 80640х3 + 8640х + 40320х3 + 161280х2 +

+ 1440х + 5760 = 120960 х3 + 161280х2 + 10080x + 5760.

Ответ. 120960 х3 + 161280 х2 + 10080x + 5760.

Напомним, что hello_html_m3b25efb0.gif, k = 0, 1, 2, … , п, пhello_html_m7cb53dec.gifN.

Например, hello_html_4f063724.gif.

Пример 4. Пусть y = x2 e3x. Найдём y(10) .

Решение. Положим v = x2 и u = e 3x. Тогда находим v =2x, v = 2, a v(k) = 0, k 3.

Далее, u = 3e3x, u = 32e3x ,…., u(k) = 3ke3x, в частности, u(8) = 38e3x, u(9) = 39e3x , u(10) = 310e3x.


По формуле Лейбница получим


y(10) = (uv) (10) =hello_html_51684be4.gif hello_html_m700b8f7c.gifhello_html_150fa1ee.gifhello_html_m69b3dcb7.gif 0 + …+0 = 310 x2 e3x +10·39·e3x·2х+ + 45·38 e3x ·2 = 3 8 (9x2 +60x +90) e3x = 39 (3x2 +20x +30) e3x.

Ответ. 39 (3x2 +20x +30) e3x



3.1. Физические приложения производной первого и второго порядка


Пусть тело движется по закону hello_html_32de6306.gif. Известно, что при прямолинейном движении точки скорость hello_html_2ea19116.gif в данный момент hello_html_m62f7b58.gif(мгновенная скорость) равна первой про­изводной s' = hello_html_m54b24f83.gif от пути hello_html_m2b625abd.gif по времени hello_html_489fba48.gif, вычисленная для данного момента hello_html_m62f7b58.gif.

hello_html_2ea19116.gifhello_html_76e1984f.gif(31)


Пример 1. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_18ef810c.gif В какой момент времени скорость точки будет равна нулю?

Решение. 1. Определим скорость движения точки в любой момент времени t:

hello_html_6d36edfe.gifhello_html_m53d4ecad.gif

2. Зная, что hello_html_2d6ee36a.gif, найдем t: hello_html_m69212f4a.gifс.

Таким образом, в конце третьей секунды скорость точки равна нулю.

Ответ. 3 сек.


Пример 2. Закон изменения температуры T тела в зависимости от времени t задан уравнением hello_html_6fa0e1b8.gif.С какой скоростью нагревается это тело в момент времени hello_html_516984bc.gifс?

Решение. При нагревании тела его температура изменяется в зависимости от времени, т. е. Т есть функция времени: hello_html_47a0c652.gif Скорость нагревания тела есть производная hello_html_7ebd48c0.gif температуры Т по времени t:

hello_html_m3c96bd0.gif

Итак, в момент времени hello_html_516984bc.gif с тело нагревается со скоростью 4 градуса в секунду.

Ответ. 4 град/сек.


Пример 3. Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону hello_html_58e52ce1.gif Найти кинетическую энергию тела через 4 с после начала движения.

Решение. 1. Найдем скорость движения тела в момент времени t:

hello_html_28cac35f.gif

2. Вычислим скорость тела в момент hello_html_559e88f5.gifс:

hello_html_5e4754e9.gifм/с.

3. Определим кинетическую энергию тела в конце 4 с, зная, что hello_html_3eab51eb.gif :

hello_html_m1b171fb8.gif(Дж).

Ответ. 3125 Дж.



Пример 4. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с t = 0, определяется по формуле Q = 0,5t3 + 0,2t2 + t +1 (Q – в кулонах,– в секундах). Найдите силутока при t =10.

Решение. Сила тока – производная от количества электричества равна

I = Q' = (0,5t3 + 0,2t2 + t + 1)' =1,5 + 0,4 t + 1.

I(10) = 1,5·102 + 0,4·10 + 1 = 150 + 4 + 1 = 155 A

Ответ. 155 A.


Пример 5. Угол поворота шкива в зависимости от времени определя­ется равенством φ = 2t2 + 3t3 (φ − в радианах, t – в секундах). Найдите угловую скорость вращения в момент времени t= 7.

Решение. Вычислим угловую скорость вращения:

w = φ'(t) = (2t2 + 3t3)' = 4t + 3.

w(7) = 4·7 + 3 = 31 (рад./сек).

Ответ. 31 (рад./сек) .

Пример 6. Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону hello_html_6cfe5d34.gif, где hello_html_mbe28e9d.gif– начальная скорость, g – ускорение свободного падения тела. Найти скорость движения тела в любой момент времени t. Определить, сколько времени тело будет подниматься и на какую высоту оно поднимется, если hello_html_mbe28e9d.gif= 80 м/с.

Решение. По формуле (4.33) находим

hello_html_m3990234c.gif.

Так как в наивысшей точке подъема скорость тела равна нулю, то hello_html_5b6a9eaa.gif,

откуда t = hello_html_m2366abae.gif = 8,2 (с).

За время t = hello_html_m2366abae.gifсекунд тело поднимается на высоту

s = 80·hello_html_m2366abae.gif hello_html_m69c2db0a.gif·hello_html_4dc63df6.gifhello_html_m503459ae.gifhello_html_78c3eca5.gif326,5 (м)

Ответ. hello_html_5d46f020.gif; hello_html_m2366abae.gif; 326,5 м.



Физическое значение производной второго порядка. Мы видим, что с помощью

производной первого порядка можно найти скорость движения. Покажем, что для того, чтобы вычислить ускорение движения, надо воспользоваться производ­ной второго порядка.

Пусть закон движения точки М по оси Ох выражается урав­нением x = f(t). Пусть в момент времени t точка М имеет ско­рость hello_html_2ea19116.gif, а в момент t + ∆t — скорость hello_html_2ea19116.gif+ ∆hello_html_2ea19116.gif.

Таким образом, за промежуток времени t скорость точки изменилась на величину ∆hello_html_2ea19116.gif. Определение 1. Средним ускорением прямолинейного движения за про­межуток времени t называется отношение приращения скоростиhello_html_2ea19116.gifк приращению времени t:

hello_html_450b3ef9.gif.

Определение 2. Мгновенным ускорением (ускорением точки М в данный момент t) называется предел отношения приращения скорости к приращению времени при стремлении приращения времени к нулю (t → 0):

hello_html_me25b0b4.gif

Следовательно, величина ускорения прямолинейного движения точки равно второй производной от пути по времени. В этом и заключается механический смысл второй производной.

Обозначая ускорение буквой а, можем написать а =hello_html_7c43d6e7.gif. Но hello_html_2ea19116.gif = f'(t)

Поэтому

hello_html_7cc34db5.gif= (f '(t))' = f ''(t).

Итак, имеем

а = f ''(t),

Таким образом, ускорение точки hello_html_m1e1f273e.gif в данный момент времени hello_html_m62f7b58.gif есть производная hello_html_m52b9d447.gifhello_html_7b590708.gif от скорости hello_html_2ea19116.gif по времени hello_html_489fba48.gif, вычисленная для данного момента hello_html_m62f7b58.gif.

Пример 4. Точка движется прямолинейно по закону hello_html_m7f099fcb.gif(м). Найти величину скорости и ускорения в момент времени t = 4 с.

Решение. 1. Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

hello_html_m620ab151.gif

2. Вычислим скорость движения точки в момент t = 4с:

hello_html_m3436127b.gif(м/с).

3. Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t:

hello_html_29acd359.gif

4. Вычислим ускорение движения точки в момент времени t = 4с:

hello_html_5bc931ad.gifм/hello_html_9d1afc2.gif.

Ответ. 104 м/с; 50 м/с2.

Пример 5. При торможении маховик за t с поворачивается на угол hello_html_m7b7ee88e.gif Найти:

1) угловую скорость вращения в момент времени t=3с; 2) угловое ускорение в момент t;

3) момент времени t, когда вращение прекратиться.

Решение. 1. Угловой скоростью hello_html_m14683fc5.gif называется скорость изменения угла hello_html_m4ef7215e.gif за время t . Угловая скорость есть производная угла поворота hello_html_m4ef7215e.gif по времени t:

hello_html_4f05408c.gif

Найдем угловую скорость в момент t=3с:

hello_html_m3007805d.gifрад/с.

2. Угловое ускорение hello_html_24a67842.gif есть производная от угловой скорости hello_html_m14683fc5.gif по времени t:hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_66188091.gifрад/сhello_html_22eaeb15.gif.

3. Положив hello_html_664d9753.gif, найдем t:

hello_html_4640c95.gifс.

Таким образом, в конце четвертой секунды угловая скорость равна нулю.

Ответ. 4 сек.

Пример 5. Сила тока hello_html_4adcdc35.gifизменяется в зависимости от времени t по закону hello_html_73e57938.gif(hello_html_4adcdc35.gifв амперах , t в секундах). Найти скорость изменения силы тока в конце восьмой секунды.

Решение. Скорость изменения силы тока есть производная hello_html_m2725a37d.gif силы тока hello_html_4adcdc35.gif по времени t:

hello_html_m1274c11c.gif(А/с).

Ответ. 6,4 А/с

Пример 6. Найти скорость hello_html_2ea19116.gif и ускорение а свободно падающего тела, если зависимость расстояния S от времени t задана формулой

hello_html_59e679d8.gif

где g = 9,8 м/с - ускорение свободного падения; hello_html_35478af1.gif значение S при t = 0.

Решение. hello_html_62cf421.gif,

при hello_html_m5e312167.gif.

hello_html_m21890ed1.gif

Ответ. hello_html_m426816c7.gif


4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.


Ранее мы рассмотрели понятие неопределенности, некоторые виды

определенностей и способы их раскрытия. Сейчас рассмотрим простой и эффективный метод

раскрытия неопределенностей: правило Лопиталя.

Теорема 5. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида hello_html_m3dfee0b8.gif ).

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности

точки а, за исключением, быть может, самой точки а. Если

1) hello_html_486e12ac.gifhello_html_4197ecbc.gif, т.е. f(x) и g(x) - б. м. при х→ а ;

2) g'(x) ≠ 0 в указанной окрестности точки а;

3) существует предел hello_html_52f064fc.gif, конечный или бесконечный, то существует предел hello_html_767d4d12.gif и справедливо равенство

hello_html_767d4d12.gif= hello_html_52f064fc.gif (32)

Теорема 6. (Правило Лопиталя раскрытия неопределенности вида hello_html_m1eb2964e.gif).

Если в условиях теоремы 5 первое условие заменить на условие

hello_html_486e12ac.gifhello_html_28ff0431.gif, т.е. f(x) и g(x) - б. б. функции при х→ а, то формула (31) остается в

силе.

Заметим, что эти теоремы справедливы и для случаев, когда х→ а – 0 или х→ а + 0.

Неопределенности вида 0 ·∞, ∞ − ∞, необходимо свести к неопределенностям вида hello_html_m3dfee0b8.gifи hello_html_m1eb2964e.gif

и раскрыть по правилу Лопиталя.

Неопределенности вида 00, 1, ∞0 возникают при вычислении пределов вида hello_html_441cbcf1.gif. С помощью логарифмирования сводим эти типы неопределенности к неопределенности вида 0 ·∞. Действительно, если hello_html_441cbcf1.gif= А, то ln A = hello_html_m61945fe.gif ln U (x) = /0 ln∞/ = k, тогда hello_html_441cbcf1.gif = A= е ln А = е k.

Пример 1. Найти пределы hello_html_m44fc35d7.gif и hello_html_m3454911d.gif, α > 0.

Решение. 1)hello_html_m44fc35d7.gif= /hello_html_m1eb2964e.gif/ =hello_html_5875677f.gif= hello_html_317db7b8.gifhello_html_a46ede4.gif0.


2) hello_html_m3454911d.gif = /0·(-∞)/ = hello_html_66668eeb.gif/hello_html_m1eb2964e.gif/ =hello_html_4ddca6d.gif= hello_html_m2f78c4a5.gifhello_html_3010abf3.gif

Пример 2. Найти предел hello_html_m4f8bd55.gif.

Решение. Так как hello_html_m57e32f6e.gif, hello_html_m6b9035ea.gif, то мы имеем неопределённость 1. Далее положим hello_html_m4f8bd55.gif= А и, логарифмируя, находим k = ln A= hello_html_m5986858f.gifhello_html_m43772b81.gif = / ∞ · 0/ =hello_html_46724757.gif/hello_html_m3dfee0b8.gif/ = hello_html_5a28623d.gifhello_html_m1a2dee8d.gifhello_html_3d584346.gif/hello_html_m3dfee0b8.gif/ = =hello_html_m1591a2ae.gifhello_html_m2429370b.gif-2,

Окончательно получим hello_html_m4f8bd55.gif= /1/ = A= е ln А = е k = е2= hello_html_1f9a2b70.gif.


















Тема 1.3. Приложение производной к исследованию функций

и построению графиков.

5.1. Монотонность: Возрастание и убывание функции

Рассмотрим функцию y = f(х), непрерывную вместе со своей про­изводной на некотором промежутке. Как известно, геометрический смысл производной заключается в том, что hello_html_5254fb72.gif, где hello_html_7a00ba7d.gif- угол на­клона касательной к положительному направлению оси Ох.

Если с возрастанием значения аргумента х значение функции у убывает, то функция является убывающей (на рис. 1 — в интервале (а, с)).

hello_html_3ae748e4.jpg


Касательные, проведенные к кривой у = f(х) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох тупой угол, тангенс которого отрицателен, т.е. для х hello_html_m7cb53dec.gif(а, с) величина у'= tghello_html_7a00ba7d.gif < 0. Значит, если функция убывает на некотором промежут­ке, то ее производная на этом промежутке отрицательна.

hello_html_38034e28.jpg


Рис. 1.


Рис. 2.

Если с возрастанием значения аргумента х значение функции у возрастает, то функция является возрастающей (на рис. 1 в интер­вале (с, е)). Касательные, проведенные кривой у = f(x) в любой точке этого промежутка, образуют с осью Ох острый угол, тангенс ко­торого положителен, т. е. для х hello_html_m7cb53dec.gif(с, e) величина у' = tg a > 0. Значит, если функция возрастает на некотором промежутке, то ее производная на этом промежутке положительна.


Признаки возрастания и убывания функции


Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция возрастает на этом ин­тервале.

Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция убывает на этом интервале.

Замечание. Если функция f монотонна на интервале (а, b) и непре­рывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [а, b]. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.

Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерыв­ны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 1 имеются три критические точки а, с, е.

Пример 1. Найти интервалы монотонного изменения функции

hello_html_m6a38e5f3.gif

Решение. Найдем производную функции: y' = x2 + 5x + 6.

Эта функция непрерывна. Что­бы найти критические точки, при­равняем производную к нулю и найдем корни полученного уравнения:

у' = х2 + 5х + 6= 0 hello_html_m739d14ab.gifу' = (х + 3)·(х + 2) = 0 hello_html_m739d14ab.gif х1 = - 3; х2 = - 2.

Разобьем числовую прямую на интервалы: (-hello_html_m62eac1ed.gif, -3); (-3, -2); (-2, +hello_html_m62eac1ed.gif).


Определим знак производной в каждом из интервалов. Учиты­вая, что в силу непрерывности функция у' в каждом интервале не меняет знака (см. таблицу), мо­жем построить график данной функции (рис. 2).



x

(-hello_html_m62eac1ed.gif, -3)

-3

(-3,-2)

-2

(-2, +hello_html_m62eac1ed.gif)

y’

+


-


+

Y


вhello_html_m1493f877.gifозрастает


уhello_html_m34ce6b4e.gifбывает


вhello_html_2058bf1f.gifозрастает



max


min


Рассмотрим случай, когда на отрезке [а, b] производная функции равна нулю. Это означает, что функция у = f(x) постоянна на этом от­резке.

Если функции f(х) и φ(х) имеют на отрезке [а, b] равные производ­ные f '(x) = φ'(х), то они отличаются на этом отрезке лишь постоянным слагаемым.


5.2. Экстремумы функции


Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки х, называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.


Определение 1. Точка х0 из области определения функции f называ­ется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрест­ность (х0 - δ, х0 + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точкой х0,

f(x) > f(x0). (4.47)


Определение 2. Точка х0 из области определения функции f называ­ется точкой максимума этой функции, если у этой точки есть окре­стность 0 - δ, х0 + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точ­кой х0,


f(x) < f(x0). (4.48)


Максимумы и минимумы называются экстремумами функции.


Замечание. Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экс­тремумы называются локальными экстремумами.

У непрерывной функции точки минимума и максимума обязатель­но чередуются.


Необходимое условие существования экстремума.


Теорема Ферма. Если внутренняя точка х0 из области определения непрерывной функции f(х) является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. e.f '(x0) = 0.


Предположим, что экстремальная точка х0 есть точка минимума.

Пусть f '(х0) ≠ 0. Тогда возможны два случая: 1) f '(х0) > 0 и 2) f '(х0) < 0.


1) Пусть f'(х0) > 0, тогда найдется такое δ > 0, что для всех х hello_html_m7cb53dec.gif 0 - δ, х0) выполняется неравенство f(x) < f(x0). Это неравенство противоречит предположению о том, что точка х0 есть точка минимума. Значит, неравенство f '(х0) > 0 неверно.


2) Пусть f '(x0) < 0, тогда найдется такое δ > 0, что для всех х hello_html_m7cb53dec.gif0, х0 + δ) выполняется неравенство f(x) < f(x0). Это неравенство противо­речит предположению о том, что точка х, есть точка минимума. Значит, неравенство f '(х0) < 0 неверно.

Следовательно, f '(x0) = 0. Случай, когда экстремальная точка есть точка максимума, рассматривается аналогично.

Однако равенство производной нулю еще не означает существова­ние экстремума в этой точке. Действительно, для функции f(х) = x3 про­изводная (f'(x) = Зх2) при х = 0 имеет значение 0, но в этой точке (начале координат) функция экстремума не имеет, так как f(х) - f(0) = х3. При х > 0 эта разность положительна, а при х < 0 — отрицательна, и невозможно указать такой окрестности точки х = 0, в которой выполнялось бы одно из двух неравенств (4.47) или (4.48).

Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в данной точке, необходимо воспользоваться достаточными условиями его существования.


Достаточные условия существования экстремума


Теорема 1. Если существуют такие а и b, что функция f(х), непре­рывная в точке х0

(а < х0 < b), такова, что f(x) > 0 на интервале (а, x0) и f '(х) < 0 на интервале 0, b), то точка x0 является точкой максимума функции f(х).

Доказательство. f(х) непрерывна в точке х0 и на интервале (а, х0) возрастает, значит, f(х) < f0) для всех х hello_html_m7cb53dec.gif(а, хо). На интервале 0, b) функция f(х) монотонно убывает, т. е. f(х) < f0) для всех x hello_html_m7cb53dec.gif0, b).

Значит, f(х) < f0) для всех х ≠ х0 из интервала (а, b) и х0 по опреде­лению есть точка максимума функции f(х).


Теорема 2. Если функция f (х) непрерывна в точке х0, a f '{x) < 0 на интервале (а, х0) и f ’(x) > 0 на интервале 0, b), то точка х0 является точкой минимума функции f(x).

Доказательство аналогично доказательству теоремы 1 и также сле­дует из теоремы п. 4.9.1.

Таким образом, чтобы найти экстремумы данной функции у = f(х), необходимо:

1. Найти первую производную f '(х).

2. Приравняв первую производную нулю, отыскать действительные корни х1, х2,. . . уравнения f '(х) = 0.

Корни этого уравнения являются критическими точками функции.

3. Для каждой критической точки хk найти окрестность, не содержа­щую других критических точек, подставить в производную любое число, меньшее хk из этой окрестности, а затем любое число, большее хk, из этой окрестности; если при этом знак производной:

а) будет меняться с + на –, то функция при х = х1 имеет максимум;

б) будет меняться с – на +, то функция при х = х1 имеет минимум;

в) не меняется, то функция при х = х1 экстремума не имеет;

4. Найти экстремальные значения функции.

Пример 1. Исследовать функцию hello_html_4c1ae7ce.gif, заданную на отрезке [0, 5], на экстремум.

Решение. 1) Находим производную: у' = х – 3.

2) Находим корень производной: х - 3 = 0 <=> х = 3.

3) Находим значение производной в точке х = 2 интервала (0, 3): y'(2) = -1 < 0.

4) Находим значение производной в точке х = 4 интервала (3, 5): y' (4) = 1 > 0.

Производная у' в окрестности точки х = 3 меняет знак с – на +, сле­довательно, в точке

х = 3 находится минимум.

5) находим значение функции в критической точке х = 3: у (3) = hello_html_m12de5aec.gif- 3∙3 = - 4,5

Таким образом, минимальное значение функции hello_html_4c1ae7ce.gif равно -4,5.


5.3. Наибольшее и наименьшее значения функции


На рис. 3 изображен график некоторой функции у = f(х), определенной на отрезке

[а, b].


На данном отрезке наша функ­ция в точках х1, х2, х3, х4, х5 прини­мает экстремальные значения. Для определения наименьшего и наи­большего значений дифференцируе­мой функции на всем данном отрезке [а, b] следует найти все критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее, т. е., как говорят, найти глобальные экстремумы функции.


hello_html_m816af92.jpg



Рис. 3.


Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции hello_html_89599a5.gif на отрезке [-3, 4].

Решение. 1) Находим производную: hello_html_8b0a09d.gif.

2) Находим корни производной: х1 = -2 и х2 = 2.

3) Исследуем значение производной в окрестности критической точки х = -2:

y(-3) = 1,5 > 0 и y(-1) = -0,9 < 0. Следовательно, в точке x1 = -2 данная функция имеет максимум, равный 2,6.

Аналогично находим, что в критической точке х2 = 2 данная функ­ция имеет минимум, равный – 0,6.

В примере требуется найти наибольшее и наименьшее значение функ­ции в промежутке

[-3, 4], поэтому необходимо найти значение функции и на концах этого промежутка.

Имеем: у(-3) = 1,9 и у(4) = 2,6. Следователь­но, наименьшее значение, равное - 0,6, данная функция достигает в точке х = 2, а наибольшее значение 2,6 в двух точках: х = - 2 и х = 4.

Пример 2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты площадью 25м2, чтобы периметр ее был наименьшим?

Решение. Примем длину комнаты равной х (м), тогда ширина равна hello_html_m383f6a74.gif, а периметр hello_html_m50783321.gif

Периметр у есть функция длины х, определенная для всех положи­тельных значений х. Определим интервалы ее возрастания и убывания. Находим производную: hello_html_m433dad3a.gif. Так как знаменатель больше нуля и длина х положительна, то знак производной определяется знаком разности (х - 5). Таким образом, периметр прямоугольника имеет наи­меньшее значение (минимум), если длина прямоугольника 5м и ширина hello_html_78e4127f.gifт. е. когда комната имеет квадратную форму.


    1. Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба.


Исследование функции на экстремум и определение его типа (мак­симум или минимум) во многих случаях проще выполняется не путем анализа перемены знака производной при ее прохождении через крити­ческую точку, а с помощью второй производной.

Определение 1. Непрерывная линия называется выпуклой или обра­щенной выпуклостью вверх на отрезке [а, b], если все точки этой линии ле­жат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две ее точки (рис. 4. а).

Аналогично, вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) называет­ся линия, проходящая ниже (не выше) своих хорд (рис. 4, б).

hello_html_m21de863d.jpg


hello_html_604563fd.jpg



Рис. 4.


Замечание. В некоторых руководствах выпуклость и вогнутость иногда определяются противоположным образом.

Определение 2. Точки, отделяющие выпуклые участки линии от вогнутых (и наоборот), называются точками перегиба.

Например, синусоида (график функции у = sin x) выпукла на про­межутке [а, b) и вогнута на промежутке (b, с] (рис. 5). Точка В явля­ется границей между ними. Касательная, проведенная к кривой у = f(х) в точке В, пересекает ее и является общей для выпуклой и для вогнутой ее частей, поэтому в точке В синусоида ни выпукла, ни вогнута. Эту точку называют точкой перегиба.

На рис. 4, а все точки дуги линии у = f(x), стягиваемой хордой M\N лежат выше хорды.

hello_html_m6b648640.jpg


hello_html_m66f31e9b.jpg


hello_html_46e38b1c.jpg


При стремлении точки М1 к точке N секущая M1N займет положение касательной MN, а соответствующие точки линии будут расположены ниже самой касательной, т. е. определение 1 выполняется и на всем промежутке [а, b]; кривая выпукла.

Рис. 5. Рис. 6. Рис. 7.


С возрастанием аргумента х величина угла, образуемого каса­тельной с положительным направ­лением оси х, изменяется. На уча­стке [а, с) возрастания функции y = f(x) угол, оставаясь все время острым, будет монотонно убывать (hello_html_4a160e99.gif > hello_html_a2be17f.gif > hello_html_7ef0cf8a.gif...). Его тангенс, равный k = tghello_html_7a00ba7d.gif = f '(x), также будет убывать, пока не обратится в нуль в экстремальной точке М4. На участке (с, b] угол начнет расти, но знак его тангенса станет отрицательным (hello_html_1be0c834.gif,hello_html_2a301940.gif — тупые углы), т. е.

k = tghello_html_7a00ba7d.gif = f '(x) < 0.


Обозначив для удобства f '(х) через F(x) т. е. F(x) =f '(x), a f "(x) че­рез F'(x), применив к F(x) признак возрастания и убывания функции (теорему из п. 4.9.1), мы придем к следующему: на всем промежутке [а, b] значение tghello_html_7a00ba7d.gif убывает. Но tghello_html_7a00ba7d.gif= f '(х) = F(x), a как мы знаем, значение функции убывает на некотором интервале тогда, когда она имеет на этом интервале отрицательную первую производную, т. е. F'(x) < 0 или, что то же, f ''(x) < 0.

Проведя аналогичные рассуждения для функции у = f(х), представ­ленной на рис. 4, б, приходим к выводу, что на всем участке вогнуто­сти, на котором f '(х) монотонно возрастает, вторая производная должна быть положительной:

f ''(x) > 0.

На рис. 6 линия у = f (х) состоит из промежутков выпуклости АВ и CD и промежутка вогнутости ВС. Точки В и С являются точками перегиба. На рисунках 4, а, 4, б и 5 проиллюстрирован так называемый гео­метрический смысл второй производной, позволяющий по ее знаку судить о том, в какую сторону изгибается линия графика, т. е. справедлива

Теорема. Если вторая производная функции у = f(х) в данном проме­жутке значений х положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна выпукла.

Точками перегиба являются те точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Линия называется выпуклой (или вогнутой) в точке, если значе­ние ее второй производной в данной точке меньше (или больше) нуля.


Пример 1. Выяснить, выпуклая или вогнутая линия у = 3x3 + 8 в точке с абсциссой х = 3.

Решение. Находим производные у' = 6х2 и у" = 12х. В точке х = 3 имеем:

у"(3) = 12 • 6 = 36 > 0. Значит, в точке х = 3 данная линия вогнута.


5.5. Нахождение точки перегиба


Чтобы исследовать функцию на вогнутость, необходимо опреде­лить знак второй производной. Если на данном промежутке f "(х) < 0 для всех х, то линия вогнута, если f "(х) > 0 для всех х, то линия выпукла. Выпуклую часть кривой от вогнутой отделяет точка перегиба.


Правило нахождения точек перегиба

Чтобы найти точку перегиба линии у = f(х), нужно:

1. Найти вторую производную функции у = f(х).

2. Приравняв ее к нулю, решить полученное уравнение.

3. Расположив корни второй производной х1, х2, х3, ... в порядке их возрастания, подставить в выражение для второй производной сначала лю­бое число, меньшее х1 затем — любое число

х hello_html_m7cb53dec.gif(х1, х2); если в обоих слу­чаях получатся разные знаки, то при х = х1 имеется точка перегиба; если же одинаковые, то точки перегиба нет; аналогично определяется знак второй производной и далее аналогично поступить с числами х2, х3 и т. д.

4. Найти ординаты точек перегиба, т. е. найти значения функции в соответствующих точках.

Пример 1. Найти точки перегиба линии f(х) = х3.

Решение. Находим: f '(х) = Зх2; f "(х) = 6х; 6х = 0 => х = 0; f(0) = 0.

Следовательно, A (0;0) – точка перегиба.

Пример 2. Найти точки пере­гиба линии у = х 4 - 2х2 - 3.

Решение. 1) у' = 4х3 - 4х; у" = 12х2 - 4.

2) у" = 0 => 12х2 = 4; х = ±hello_html_7d5a9c90.gif.

3) При |х| > hello_html_7d5a9c90.gif имеем у" > 0 — линия вогнута; при |х| < hello_html_7d5a9c90.gifимеем у" < 0 — линия выпукла. Точки ±hello_html_7d5a9c90.gif являются точками перегиба (рис. 7).


5.6. Асимптоты графика функции.


Определение 1. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки M(x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Возможны два способа удаления точки M(x, f(x)) графика функции y = f(x) от начала

координат в бесконечность: 1) аргумент x стремится к некоторой точке xo, а соответствующее значение функции y = f(x) стремится к бесконечности; 2) аргумент x стремится к бесконечности.

Определение 2. Прямая x = xo называется вертикальной асимптотой графика функции

y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов f(xо– 0) =hello_html_m498e8188.gif (предел слева) или f(xо + 0) =hello_html_m4cfac3e3.gif(предел справа) равен +hello_html_m62eac1ed.gif или -hello_html_m62eac1ed.gif (см. рис. 8).

hello_html_55e1d502.png

Как видно из рисунка 8 расстояние между точкой M(x,f(x)) графика функции y = f(x) и вертикальной прямой x = x0 равно d = hello_html_m30e3b348.gif. При x hello_html_m6bb904b4.gif xhello_html_m6f7407bd.gif точка M(x, f(x)) удаляется в бесконечность, а d = hello_html_m30e3b348.gifhello_html_m6bb904b4.gif xhello_html_m6f7407bd.gif при x hello_html_m6bb904b4.gif xhello_html_m6f7407bd.gif, т.е.это и означает, что х = х0 - уравнение вертикальной асимптот.


Пример 1. Рассмотрим функции y = hello_html_m299c5c96.gif, x hello_html_m7cb53dec.gifhello_html_m596e4550.gifhello_html_786ad0ba.gif(0,+hello_html_m62eac1ed.gif) и у = hello_html_mc6ad80a.gif, для которых прямая x = 0 является


Рис. 8.



вертикальной асимптотой.

1) y = hello_html_m299c5c96.gif, x hello_html_m7cb53dec.gifhello_html_m596e4550.gifhello_html_786ad0ba.gif(0,+hello_html_m62eac1ed.gif).

hello_html_m3554be6.gif; hello_html_39797319.gif

hello_html_m7027db62.png

Рис. 9. Рис. 10.


Это и означает, что прямая x = 0 является вертикальной асимптотой функции y = hello_html_m299c5c96.gif, а точка x0 = 0 - точка разрыва второго рода.


2) y = log2 x, xhello_html_m7cb53dec.gif(0,+hello_html_m62eac1ed.gif).

f(+0) = hello_html_79458c33.gif = hello_html_26a5885c.gif, поэтому прямая x = 0 является вертикальной

асимптотой функции y = log2x, хотя точка x0 = 0 формально и не является точкой разрыва функции y = log2x.

Заметим, что вертикальные асимптоты графика функции возникают в точках разрыва второго рода или на границе области определения функции.

Определение 3. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при xhello_html_m6bb904b4.gif+hello_html_648b69d.gifесли функцию y = f(x) можно представить в виде

f(x) = kx + b + a(x),

где a(x)hello_html_m7d6f34c9.gifпри x hello_html_33a92b40.gif

При xhello_html_6485bc1e.gif наклонная асимптота называется правой, а при xhello_html_7b013a43.gif - левой. При k = 0

асимптота называется горизонтальной.

hello_html_m1aabcb39.png

Рис. 11.


Выясним геометрический смысл наклонной асимптоты, рассмотрев для определённости случай, когда xhello_html_6485bc1e.gif.

M(x,y) - точка графика функции y = f(x), у = kx + b - наклонная асимптота графика функции при x hello_html_m6bb904b4.gif +hello_html_m62eac1ed.gif, N(x,y) - соответствующая точка асимптота (см. рис. 11). Тогда hello_html_17094017.gif0 при xhello_html_6485bc1e.gif. Из прямоугольного треугольника MNP ясно, что 0 < d < hello_html_m43fe3319.gif, поэтому dhello_html_m7d6f34c9.gif при xhello_html_m6bb904b4.gif+hello_html_m62eac1ed.gif, т.е. график функции неограниченно приближается к асимптоте при xhello_html_6485bc1e.gif.

Теорема. Для того чтобы график функции у = f(x) имел при hello_html_m460859db.gif наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

hello_html_m3184a284.gifи hello_html_m4d6d30d2.gif.

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай правой наклонной асимптоты, т.е. hello_html_m2c3400f9.gif.

Необходимость. Пусть у= kx + b –наклонная асимптота графика функции y = f(x) при hello_html_2022e60c.gif тогда y = f(x) = kx + b + a(x), где a(x)hello_html_m7d6f34c9.gif при hello_html_m2c3400f9.gif.

Из этого представления вытекает, что существует предел

hello_html_m5d056d7d.gifт.к. hello_html_m4f649ba5.gif и hello_html_m29d8a045.gifб.м. при xhello_html_2d0ed609.gif и существует предел hello_html_49e48996.gif

Достаточность. Пусть существуют оба предела lim hello_html_2bbca2c4.gif и lim [y kx] = b .

Из второго предела вытекает, что по теореме о б.м. справедливо равенство ykx = b+a(x), где a(x)hello_html_6485bc1e.gif, т.е. y = f(x) = kx + b +a(x). Но это и означает, что прямая у = kx + b является асимптотой графика функции y=f(x).

Пример 2. Рассмотрим функцию y = hello_html_m356dc9d0.gif

Так как y = f(x) = x + 2 + hello_html_32f9c3a.gif, где a (x) = hello_html_351ae702.gif при xhello_html_46c7b7dd.gif, то прямая у = x + 2 является левой и правой наклонной асимптотой графика функции.

Замечание. Для рациональной функции (отношение двух многочленов) левая и правая асимптоты совпадают.


5.7. План полного исследования функции и

построение графика

Общая схема исследования функции и построения ее графика.

I. Элементарное исследование:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на симметричность и периодичность;

3) вычислить предельные значения функции в ее граничных точках;

4) выяснить существование асимптот;

5) определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с координатными осями;

6) сделать эскиз графика функции, используя полученные результаты.

II. Исследование графика функции по первой производной:

1) найти решения уравнений hello_html_59c3d69c.gif, hello_html_5c942f5c.gif и hello_html_3cfbb494.gif не существует;

2) точки, «подозрительные» на экстремум, исследовать с помощью достаточного условия экстремума, определить вид экстремума;

3) вычислить значения функции в точках экстремума;

4) найти интервалы монотонности функции;

5) нанести на эскиз графика экстремальные точки;

6) уточнить вид графика функции согласно полученным результатам.

III. Исследование графика функции по второй производной:

1) найти решения уравнений hello_html_4929cd69.gif, hello_html_m66d7c294.gifи hello_html_m2d81606b.gif не существует;

2) точки, «подозрительные» на перегиб, исследовать с помощью достаточ­ного условия;

3) вычислить значения функции в точки перегиба;

4) найти интервалы выпуклости в вогнутости графика функции;

5) нанести на эскиз графика точки перегиба

6) окончательно построить график функции.

Если исследование проведено без ошибок, то результаты всех этапов должны согласовываться друг с другом. Если же согласование отсутствует, необходимо проверить правильность результатов отдельных этапов и исправить найденные ошибки.


Ранее мы отметили, что по графику функции можно определить ее свойства. С появлением понятия производной мы решаем обрат­ную задачу: учимся строить график функции, зная ее свойства.

В этом пункте мы установили правила, позволяющие изобразить ход графика функции

у = f(x), вычислив ее значения лишь в сравни­тельно небольшом числе точек. Эта процедура, применимая ко многим функциям, заданным формулами, состоит из следующих шагов.

1. Находят область определения функции.

2. Устанавливают, является ли функция четной или нечетной или ни той, ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рас­смотреть ее значения лишь при х > 0, а затем симметрично относитель­но соответственно оси у или начала координат, восстановить ее и для значений х < 0.

3. Исследуют функцию на периодичность. Если функция периоди­ческая, то достаточно исследование ее провести на одном периоде.

4. Исследуют функцию на непрерывность; находят точки разрыва (если они существуют).

5. Находят точки пересечения графика функции у = f(x) с осями ко­ординат.

6. Проводят исследование функции на экстремум и находят интер­валы возрастания и убывания.

7. Находят точки перегиба кривой и интервалы выпуклости и во­гнутости.

8. Пользуясь результатами шагов 1 - 7, строят график функции.

Для большей точности можно вычислить координаты некоторых дополнительных точек графика и наклоны касательных в этих точках. В частности, бывает полезным найти точки пересечения графика с осями координат и значения функции на концах промежутка ее определения.


Пример 1. Исследовать функцию hello_html_m6ac497b.gif и построить ее

график.

Решение. 1) Функция определе­на на всем множестве действитель­ных чисел, кроме х = 0: Е(у) = (-hello_html_m62eac1ed.gif,0) hello_html_m2c0134f2.gif(0,+hello_html_m62eac1ed.gif);

D(у) = R.

2) Функция не является ни чет­ной, ни нечетной.

3) х = 0 - точка разрыва.

4) Найдем точки пересечения графика с осью х. Из равенства

hello_html_1e6f109a.gifполучим hello_html_m60aad57d.gif.

5) Найдем экстремум функции: hello_html_m23122912.gif; у' = 0 при х = 2 и у' = hello_html_m62eac1ed.gifпри х = 0 (точка разрыва функции); у" = hello_html_m579e8d23.gif; у" (2) > 0.


hello_html_47e01b55.jpg



Рис. 8.


Поэтому х = 2 - точка минимума, причем уmin = 3.


Если х < 0, то у' > 0 — функция возрастает.

6) Найдем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости: у" ≠ 0; у"→hello_html_m62eac1ed.gifпри х = 0, у" > 0, значит, график функции всюду во­гнут.

Следовательно, точек перегиба нет.

7) Для построения графика все найденные точки перенесем на ко­ординатную плоскость (рис. 8).

Для уточнения графика дополнительно найдем:

y(-2) = -1; M(-2; -1);

y(-1) = 3; N (-1; 3);

y (1) = 5; P (1; 5).


Пример 2. Провести полное исследование и построить график функции:

а) y =hello_html_66d6ded8.gif; б) y = hello_html_m5fd41651.gif .

Решение. а) Исследование проведём согласно схеме (см. п. 13.6)

  1. D(y)= (-∞; -1)U(-1; +∞) .

  2. Функция не является ни чётной, ни нечетной, так как у(-х) = hello_html_m76d961e1.gifhello_html_m61e0627e.gif

  3. Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства:

с Оу : у(0) = hello_html_5cdbc978.gif0,

сhello_html_3c80bc03.gifОх : у = 0, hello_html_66d6ded8.gif= 0, х 3 = 0, х = 0.

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_1a09df0f.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f3d5dd8.gifу:

-1 0 х


  1. Непрерывность, точки разрыва, асимптоты. Функция непрерывна всюду, где определена, как рациональная дробь (кроме нулей знаменателя), поэтому

hello_html_48bafc8f.gif= -1 – точка разрыва. Исследуем характер разрыва:

hello_html_7d047fa8.gifhello_html_2887cea6.gif= -∞

hello_html_667d4e8f.gifhello_html_m5d8a61f2.gif-∞

т.е. x = -1 – точка разрыва второго рода, х = -1 – уравнение вертикальной асимптоты. Так как существуют пределы

hello_html_22b59bbe.gif

hello_html_mc02531.gif

То прямая y = hello_html_22302d43.gif является левой и правой наклонной асимптотой.

  1. Монотонность, экстремумы:


hello_html_m5201da04.gif

hello_html_73770043.gifпри hello_html_m539f4788.gif - стационарные точки.

Далее

hello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m38e07ec4.gifmax

hello_html_m45856a60.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_f3d5dd8.gifhello_html_3c80bc03.gifhello_html_m3bedfe00.gif

hello_html_43c5485a.gifhello_html_53d6af51.gifhello_html_43c5485a.gifhello_html_43c5485a.gif-3 -1 0 х


т.е. х = -3 – точка максимума, hello_html_m19557479.gif


  1. Выпуклость, вогнутость точки перегиба:

hello_html_3be61444.gif


hello_html_m1c164c3e.gif= 0 при х = 0 – точка возможного перегиба

Далее: у'' : перегиб

hello_html_6100dcb3.gif

-1 hello_html_m3f510064.gif0 hello_html_m2c0134f2.gif x


Итак: х = 0 – точка перегиба, у(0)=0, у ''(0)=0.


  1. Строим график:



hello_html_186108e3.gifhello_html_35fbc4c6.gifhello_html_m68e5eb0a.gifhello_html_m23c5c10.gifhello_html_850d9fa.gifhello_html_748fef91.gifhello_html_7478c75b.gifhello_html_m72a7422b.gif

0

2

-1

-3,375

-3

-1

у

х














Рис. 9.


б) у =(х–1)hello_html_m6cea16aa.gif


  1. D(y) = (-∞;+∞)

  2. Функция общего вида, т.к. hello_html_m2a1474d6.gif

  3. Точки пересечения с осями координат, интервалы знакопостоянства

с Оу : у(0) = -1

с Ох : у = 0 hello_html_m4855e294.gifх = 1, т.е. (1;0).

+


х

hello_html_m200bc1c2.gifу:

1

hello_html_m45856a60.gif


y < 0 при х hello_html_m7cb53dec.gif( - ∞ ; 1 )

y > 0 при х hello_html_m7cb53dec.gif( 1; + ∞ )

  1. Непрерывность, точки разрыва, асимптоты. Функция непрерывна всюду, точек разрыва нет, вертикальных асимптот нет. Так как

hello_html_1ce1a00f.gif

т.е. у = 0 – уравнение левой горизонтальной асимптоты

Так как при hello_html_4d0ff572.gif

hello_html_m35313ee3.gif

Правой наклонной асимптоты нет.

  1. Монотонность, экстремумы.

hello_html_23001fd7.gif

у'= 0 при х = 0 – стационарная точка,



hello_html_m200bc1c2.gifmin

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gifу':

hello_html_3be72114.gifhello_html_m795879c9.gifhello_html_m67e4294b.gif0 х


xmin= 0, ymin (0)= (0 – 1)eo = -1

Интервалы возрастания: [0; +∞).

Интервалы убывания: (-∞; 0].

Наносим точки экстремума на график.

6. Выпуклость, вогнутость точки перегиба.

hello_html_m1c164c3e.gif= (xex)' = ex + xex= (1+x)ex.

hello_html_m1c164c3e.gif= 0, если х = -1

hello_html_m200bc1c2.gifперегиб

hello_html_m200bc1c2.gifhello_html_f716972.gifhello_html_f716972.gifhello_html_m1c164c3e.gif:

hello_html_3be72114.gif-1 х

х = -1 - точка перегиба, у (- 1) = (- 1 – 1) е-1 = hello_html_m358f457e.gif

7. Построение графика

hello_html_m5900631e.gif


Рис. 10.



Пример 2. Провести полное исследование и построить график функции

y =hello_html_m3815fdd1.gif.


Решение. Исследование и построение проведём по намеченной выше схеме, нанося каждый шаг исследования на график.


  1. D(y) = (hello_html_496a8124.gif т.к.рациональная функция определена всюду, кроме нулей знаменателя x =hello_html_m6ce7f218.gif.

  2. Четность-нечётность.

Т. к.

y(-x) = hello_html_m7c4868a3.gif= hello_html_3ef27637.gif= hello_html_m17474f02.gif,

то функция y = f(x) нечетная и её график симметричен относительно начала координат О(0,0).

3. Найдём точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства:

с Оу: у(0) = 0; с Ох: у = 0 при х = 0


Итак, график функции пересекает оси координат только в точке О(0,0).


Интервалы знакопостоянства функции:

Наносим полученные факты на график (см.рис.11), где отмечена точка графика О(0,0), а

у:

hello_html_m1ed5eca0.png

штриховка указывает, выше или ниже оси Оx лежат точки графика на данном участке.


4. Непрерывность, точки разрыва, асимптоты.

Функции y = f(x), являясь рациональной дробью, непрерывна (и дифференцируема) всюду, где определенна как элементарная. Точки x = hello_html_m6ce7f218.gif являются точками разрыва функции.

Определим их характер. В силу нечетности функции в этой точке:

hello_html_m262cb0df.gifhello_html_m164288db.gif

т.е. х0 =2 – точка разрыва второго рола, а прямая х = - 2 является вертикальной асимптотой. Наносим эти факты на график.

Найдём наклонную асимптоту у = kx + b графика функции у = f(x) при hello_html_b79f1ac.gif т.е. исследуем поведение функции на бесконечности. Так как существуют пределы

hello_html_m7810509b.gif,

hello_html_34a0f39d.gif

то прямая у =hello_html_5dcbdac6.gif является наклонная асимптотой, причём левой и правой.

5.Монотонность, экстремумы.

Найдём интервалы убывания и возрастания, точки максимума и точки минимума, исследовав первую производную функции:

hello_html_1a8105c6.gif

Найдём точки возможного экстремума функции из условия hello_html_73770043.gif, т.е.hello_html_m129a1d47.gifстационарные точки. Тогда hello_html_57a1158d.png

hello_html_46dff828.gif2hello_html_3cbbdc87.gif- точка минимума и hello_html_2633e72.gifmin = fhello_html_m35b81396.gif

Интервалы возрастания: hello_html_m2f8db424.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_4ccc697f.gif

Интервалы убывания hello_html_41f869a0.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_57262b4b.gifhello_html_m2c0134f2.gifhello_html_387a6c3.gif

Наносим точки экстремума на график.

6. Выпуклость, вогнутость точки перегиба.

hello_html_7e81bace.gif

Тогда hello_html_m16fa10f4.gif при hello_html_40b21446.gif и

hello_html_m1c164c3e.gifhello_html_5ba8da17.png

hello_html_dbabdd4.gif

hello_html_m55f3b408.png

Рис. 11.

То hello_html_m36ff4528.gifточка перегиба, hello_html_m48f0031.gif, т. е. у = 0 - уравнение касательной в точке перегиба. Хотя в точках ± 2 вторая производная меняет знак, они не являются точками перегиба, т.к. в этих точках функция не определена. Учитывая пункты 5 и 6 , заканчиваем построение графика функции.

Примеры и тренировочные упражнения

Выбранный для просмотра документ 3.Тема 1.4.Неопределённый интеграл ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов

12




Тема 1.4. Неопределённый интеграл

1. Первообразная


Основной задачей дифференциального исчисления является дифференцирование. Задачи естествознания и техники приводят к решению обратной задачи по восстановлению функций по заданным eё производной или дифференциалу. Эта операция, обратная операции дифференцирования, называется интегрированием.

В теме 1.2. мы рассматривали такую задачу: дана функцияhello_html_708b63e5.gif; требуется найти её производную, т.е. функцию hello_html_8f3c0ce.gif= hello_html_5e901d30.gif.

В этой главе мы будем рассматривать обратную задачу: дана функция hello_html_8f3c0ce.gif; требуется найти такую функцию hello_html_708b63e5.gif, производная которой равна hello_html_8f3c0ce.gif, т. е.

hello_html_m20d44054.gif

Определение 1. Функция hello_html_708b63e5.gif называется первообразной от функции hello_html_8f3c0ce.gif на отрезке hello_html_m6099d3c4.gif, если во всех точках этого отрезка выполняется равенство hello_html_m20d44054.gif

Пример: Найти первообразную от функции hello_html_8f3c0ce.gif= х 2.

Решение. Из определения первообразной следует, что функция hello_html_708b63e5.gif=hello_html_m3e45f374.gif является первообразной, так как hello_html_2ad9d0f2.gif.

Легко видеть, что если для данной функции hello_html_8f3c0ce.gif существует первообразная, то эта первообразная не является единственной. Так, в предыдущем примере можно было взять в качестве первообразных следующие функции: hello_html_708b63e5.gif=hello_html_m3e45f374.gif+1; hello_html_708b63e5.gif=hello_html_m3e45f374.gif− 7 или вообще hello_html_708b63e5.gif=hello_html_m3e45f374.gif+ С (где С – произвольная постоянная), так как hello_html_m1d1f3161.gif.

С другой стороны, можно доказать, что функциями вида hello_html_645d94b.gif исчерпываются все первообразные от функции hello_html_39e02527.gif. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 1. Если hello_html_m50c131b.gif и hello_html_56ee64a9.gif - две первообразные от функции hello_html_8f3c0ce.gif на отрезке hello_html_m6099d3c4.gif, то разность между ними равна постоянному числу.

Доказательство. В силу определения первообразной имеем:

hello_html_7c2d982d.gif(1)

при любом значении х на отрезке hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3b486382.gif

Обозначим:

hello_html_m50c131b.gifhello_html_56ee64a9.gif= φ(х) (2)

Тогда на основании равенств (1) будет:

hello_html_m40c9e997.gif

или

hello_html_m1a493bab.gif




при любом значении х на отрезке hello_html_3b486382.gif Но из равенства hello_html_m3626eaa1.gif следует, что hello_html_310cb3d3.gif есть постоянная.

Действительно, применим теорему Лагранжа к функции hello_html_310cb3d3.gif, которая, очевидно, непрерывна и дифференцируема на отрезке hello_html_3b486382.gif Какова бы ни была точка х на отрезке hello_html_621d2392.gif мы имеем в силу теорему Лагранжа

φ(x)φ(a) =(x−a) φ'(ξ)

где а < ξ < x .

Так как φ'(ξ)= 0, то hello_html_5ea28097.gif

или

hello_html_274eee7f.gif(3)

Таким образом, функция hello_html_310cb3d3.gifв любой точке х отрезка hello_html_m6099d3c4.gif сохраняет значение hello_html_m4ee02907.gif а это и значит, что функция hello_html_m4b694ba0.gif является постоянной на отрезке hello_html_m6099d3c4.gif. Обозначая постоянную hello_html_m4b694ba0.gif через С, из равенства (2) и (3) получаем:

hello_html_1c0ec08.gif

Из доказанной теоремы следует, что если для данной функции hello_html_8f3c0ce.gif найдена какая-нибудь одна первообразная hello_html_36ead904.gif то любая другая первообразная дляhello_html_8f3c0ce.gif имеет вид F(x) + C, где С = const.

Г

касательной к кривой у = F(x) в точке с абсциссой х Геометрически найти первообразную для f(x), значит найти такую кривую у = F(x), когда угловой коэффициент касательной к ней в произвольной точке х равен значению заданной функции f(x) в этой точке (Рис.1).

еометрический смысл. Производная от первообразной F(x) - есть угловой коэффициент.

hello_html_25dfe119.png

Рис.1

2. Неопределённый интеграл и его свойства


Определение 2 . Если функция hello_html_708b63e5.gif является первообразной для hello_html_m43272e0a.gif то выражение hello_html_m2841f8c3.gif называется неопределённым интегралом от функции hello_html_8f3c0ce.gif и обозначается символом hello_html_m5fa5dad3.gif Таким образом, по определению,

hello_html_m7ff606eb.gifhello_html_4e746fda.gif

если

hello_html_m20d44054.gif

При этом функцию hello_html_8f3c0ce.gif называют подынтегральной функцией, hello_html_m2d775111.gifподынтегральным выражением, знак hello_html_m78e0e2d2.gifзнаком интеграла..

Т

С геометрической точки зрения неопределённый интеграл представляет совокупность (семейство) кривых, каждая из которых получается путём сдвига одной из кривых параллельно самой себе вверх или вниз, т.е. вдоль оси Оу. В частности, можно назвать следующие первообразные:

F1(x) = sin x, F2(x) = sin x +1, F3(x) = sin x −1 (рис. 1).

аким образом, неопределённый интеграл представляет собой семейство функций hello_html_m6714f17a.gif

hello_html_m6380f1f8.jpg


Рис. 2.


Естественно возникает вопрос: для всякой ли функции hello_html_8f3c0ce.gif существуют первообразные (а значит, и неопределённый интеграл)? Оказывается, что не для всякой. Заметим, однако, без доказательства, что если функция hello_html_8f3c0ce.gif непрерывна на отрезке hello_html_m6099d3c4.gif, то для этой функции существует первообразная (а значит, и неопределённый интеграл).

Выяснению методов, с помощью которых находятся первообразные (и неопределенные интегралы) от некоторых классов элементарных функций, посвящена настоящая глава.

Нахождение первообразной для данной функции hello_html_8f3c0ce.gif называется интегрированием функции hello_html_8f3c0ce.gif.

Пример 1. Дан интеграл hello_html_m5dd99b1c.gif. Найти первообразную, которая при х =3 принимает

значение у =10.

Решение. Найдем первообразную hello_html_78d38de3.gif

Следовательно, hello_html_16bf5a16.gif- искомая первообразная.

Свойства неопределённого интеграла


Заметим следующее: если производная от элементарной функции всегда является элементарной функцией, то первообразная от элементарной функции может оказаться и не представимой с помощью конечного числа элементарных функций. К этому вопросу мы вернёмся в конце данной главы.

Из определения 2 следует:

  1. Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е. если F'(x) = f(x), то и


hello_html_377c75e.gif. (4)

Последнее равенство нужно понимать в том смысле, что производная от любой первообразной равна подынтегральной функции.

  1. Дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению

hello_html_6cc43dab.gif

Это получается на основании формулы (4).

  1. Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

hello_html_m110f7ba.gif

Справедливость последнего равенства легко проверить дифференцированием (дифференциалы от обеих частей равенства равны hello_html_4ace2d97.gif.

Таким образом, имеем

1) hello_html_5f599e19.gif

Доказательство. hello_html_m1d65d120.gif

2) hello_html_c2bf4fd.gif

Доказательство. hello_html_67191856.gif

3) hello_html_21d1ffd6.gif

Доказательство. hello_html_5cf317fb.gif

4) hello_html_m12b6c9f3.gif.

Для доказательства найдем производную от левой и правой частей.

hello_html_m4284514d.gif- производная левой части;

hello_html_42248a89.gif- производная правой части. Таким образом, доказано 4).


3. Таблица интегралов


Прежде чем приступить к изложению методом интегрирования, приведём таблицу интегралов от простейших функций.

  1. hello_html_m237432f0.gif

  2. hello_html_m6daacb44.gif

  3. hello_html_m1d4b708.gif

  4. hello_html_4dd6222f.gifhello_html_m360e08f.gif(Здесь и в последующих формулах под С понимается произвольная постоянная.)

  5. hello_html_m27302e2a.gif

  6. hello_html_6bbecda3.gif.

  7. hello_html_m607a6ede.gif

  8. hello_html_m294d5eb0.gif

  9. hello_html_5bb2fc4f.gif

  10. hello_html_889b3b3.gif

  11. hello_html_m4364d1f.gif.

  12. hello_html_m6b6b5da3.gif

  13. hello_html_66972388.gif

  14. hello_html_m4ac6b5af.gif

  15. hello_html_m7143434c.gif

16. hello_html_529f967e.gif

17. hello_html_dad7a1b.gif

18. hello_html_m2d521848.gif

19. hello_html_m36cfee63.gifhello_html_245b30c7.gif

20. hello_html_m3989d8e.gif

21. hello_html_1300cbe4.gif

22. hello_html_77651277.gif

23. hello_html_m65ab4272.gif

24. hello_html_m189773b4.gif

25. hello_html_1c56bab3.gif

26. hello_html_m62cced3a.gif

27. hello_html_m59fff12e.gif


В случае формулы 11 имеем:

hello_html_m21567564.gif

следовательно, hello_html_m13435e29.gif

В случае формулы 12

hello_html_3bdf81b8.gif

Следовательно, hello_html_m40f1218c.gif

В случае формулы 18

hello_html_5d6c337f.gif

hello_html_m10486a64.gif

следовательно,

hello_html_6aac988.gif

В случае формулы 23

hello_html_4b604551.gif

следовательно,

hello_html_96deed.gif


4. Основные методы интегрирования

4.1. Непосредственное интегрирование (метод разложения).


Этот способ интегрирования предполагает такое преобразование подинтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Если подынтегральную функцию можно разложить на функции интегралы от которых явля­ются табличными, тогда легко найти первообразные от каждого интеграла

hello_html_d5fc9d3.gif

Пример 1. Найти hello_html_m52b317dd.gif.

Решение.

hello_html_40c49236.gifhello_html_mb3bf5fb.gif.


Пример 2. Найти hello_html_m1af65d6f.gif.

Решение.

hello_html_m167b3902.gif


Пример 3. Найти интеграл hello_html_79c7e496.gif

Решение. hello_html_70105caa.gif,

Пример 4. Найти интеграл hello_html_m172bb437.gif

Решение. hello_html_m5a6ee63d.gif.


4.2. Метод замены переменной


Этот метод называют также методом подстановки. Он является одним из наиболее эффектных и распространенных примеров интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисления интеграла.

Пусть требуется найти интеграл

hello_html_m56920ef.gif

первообразная которого неизвестна, но известно что она существует. В этом случае можно попытаться сделать такую замену переменной, чтобы интеграл стая табличным. Для обоснования такого подхода к интегрированию рассмотрим теорему.

Теорема 2. Пусть 1) hello_html_m70815e91.gif функция непрерывна на рассматриваемом множестве x

2) hello_html_ma865202.gif функция дифференцируема на множестве Т.

Тогда 1),2)hello_html_m4855e294.gif hello_html_m3c8b8935.gif (4.1)

Доказательство. Для доказательства достаточно показать равенство производных от левой и правой частей.

hello_html_2d517896.gif

hello_html_25b8ed21.gif

Так как производные равны, поэтому левая и правая части (4.1) отличаются на некоторую постоянную которую можно считать равной нулю.

После интегрирования возвращаются к старой переменной, используя обратную подстановку hello_html_3a16df0b.gif.

Подстановку hello_html_m18654b73.gif необходимо выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (4.1).

Общих правил для нахождения нужной подстановки нет. Рассмотрим некоторые частные случаи.

Если подынтегральная функция имеет вид hello_html_3cb034c5.gif, то можно использовать подстановку hello_html_399cfc4f.gif.

Пример 1. Найти hello_html_6ce4b2a3.gif.

Решение. Введем новую переменную hello_html_31a28cb5.gif.

Найдем интеграл:

hello_html_1a57cc47.gif.

Выразим результат через первоначальный аргумент:

hello_html_m4c789229.gif.


Пример 2. Найти интеграл hello_html_m1962010e.gif.

Решение. Сделаем замену переменной 3x = t. Продифференцируем обе части d(3x) = dc.

hello_html_77d08ca3.gif получим

hello_html_m54a78598.gif

Пример 3. Найти интеграл hello_html_m616df00b.gif

Решение. hello_html_6c2a747f.gif

Пример 4. Найти интеграл hello_html_m28feaffc.gif

Решение. Сделаем подстановку t = sin x; тогда dt = cosx dx и, следовательно, hello_html_191064c8.gif

Пример 5.hello_html_1ea94a64.gif

Решение. Полагаем t = lnx; тогда hello_html_m1c54a4fc.gif, hello_html_2e7f383f.gif

Пример 6. Найти интеграл hello_html_6e7db53e.gif

Решение. Полагаем t = 1+x2; тогда dt = 2xdx и hello_html_m21bb17c5.gif


Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл. По существу говоря, изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.


    1. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен


  1. Рассмотрим интеграл

hello_html_458c3059.gif

Преобразуем предварительно трехчлен, стоящий в знаменателе, представив его в виде суммы или разности квадратов

hello_html_49a338cd.gif

=hello_html_1bb5ae6b.gif

где обозначено

hello_html_169f43bb.gif

Знак плюс или минус берется в зависимости от того, будет ли выражение, стоящее слева, положительным или отрицательным, т.е. будут ли корни трехчлена ax2+bx+c комплексными или действительными.

Таким образом, интеграл I1 принимает вид

hello_html_m9ed3d4e.gif

Сделаем в последнем интеграле замену переменного

hello_html_mdb7f8f0.gif

Тогда получим:

hello_html_m7fe3af78.gif

Это – табличные интегралы (см. формулы 15-17)

Пример 1. Вычислить интеграл

hello_html_m684480f.gif

Решение.

hello_html_3d54586d.gif

Делаем замену переменного x+2=t, dx=dt. Подставляя в интеграл, то получаем табличный интеграл

hello_html_m2ddb14e0.gif

Подставляя вместо t его значение через x, окончательно находим:

hello_html_m4c7ab367.gif

II. Рассмотрим интеграл более общего вида

hello_html_m5183d99f.gif


Произведем тождественное преобразование подынтегральной функции:

hello_html_69c3a808.gif

Последний интеграл представим в виде суммы двух интегралов. Вынося постоянные множители за знак интегралов, получим:

hello_html_m5ee94445.gif

Последний интеграл, есть интеграл I1 ,вычислять который мы умеем. В первом интеграле сделаем замену переменного

ax2+bx+c=t, (2ax+b)dx=dt

Следовательно,

hello_html_m2ef3132c.gif


Таким образом, окончательно получаем:

hello_html_321db789.gif


Пример 2.Вычислить интеграл

hello_html_7175124a.gif

Решение. Применим указанный прием:

hello_html_m3a92a6f1.gif

hello_html_518419cd.gif


III. Рассмотрим интеграл

hello_html_m74e0ce46.gif


С помощью преобразований, рассмотренных в п.1, этот интеграл сводится, в зависимости от знака а, к табличным интегралам вида

hello_html_m341d095c.gifпри a>0 или hello_html_4de73276.gif при a<0

Которые уже рассмотрены в таблице интегралов (см. формулы 13’ и 14)

IV. Интеграл вида

hello_html_62e409a2.gif

вычисляется с помощью следующих преобразований, аналогичных тем, что были рассмотрены в п.II:

hello_html_m7536370e.gif

=hello_html_m12d6a394.gif


Применив к первому из интегралов подстановку

ax2+bx+c=t, (2ax+b)dx=dt

получим:

hello_html_56113351.gif


Второй же интеграл был рассмотрен нами в п. III настоящего параграфа.


Пример 3.

hello_html_4f54f3bb.gif


hello_html_6be165a6.gif


4.4. Метод интегрирования по частям


Пусть функции hello_html_abebb4b.gif и hello_html_1edf4bdd.gif непрерывно дифференцируемые на некотором интервале. Имеет место тождество: hello_html_35566de7.gif.

Известно, что дифференциал произведения двух функций u(x), v(x) вычисляются по формуле:

d (uv) = udv + vdu


Интегрируя обе части, получим формулу интегрирования по частям hello_html_m6ad25552.gifили

hello_html_m7083f731.gif(4.2)

Эта формула называется формулой интегрирования по частям.


Пример 1. Найти интеграл hello_html_m52b6a32d.gif

Решение. hello_html_582db8b3.gif


Пример 2. Вычислить интеграл hello_html_m64e94834.gif.

Решение. Положим hello_html_144a1cea.gif, hello_html_m4424b197.gif, тогда hello_html_m6b4cc716.gif.

hello_html_3c8582fd.gif; hello_html_191281b1.gif.

Подставив в формулу (4.2), получим:

hello_html_m2d8ddb6.gif

hello_html_36a56899.gif.

Пример 3. Найти интеграл hello_html_m212ff72e.gif.

Решение. Положим hello_html_m5cbe2f41.gif, hello_html_m234bc6fd.gif. Дифференцируя равенство первое, найдем:

hello_html_m7a262925.gif.

Интегрируя равенство второе, имеем: hello_html_6d4dd7f9.gif, тогда по формуле (4.2) получим:

hello_html_m7174f479.gif.

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем hello_html_m752ed06e.gif и представим этот интеграл сумой двух интегралов:

hello_html_m2e2b9995.gif

hello_html_m28931e71.gif.

В первом интеграле освободимся от иррациональности в знаменателе, второй интеграл берем по формуле:

hello_html_1a29aa1f.gif.

Следовательно,

hello_html_m1a2dc8d2.gif

hello_html_m79f71226.gif.

Перенеся hello_html_m212ff72e.gif из правой части в левую, получим:

hello_html_7c9bf50d.gif

или окончательно:

hello_html_m564fac40.gif.

Пример 4. hello_html_44c9f3b0.gif.

Решение. Положим hello_html_7d9ee755.gif, hello_html_m234bc6fd.gif, откуда

hello_html_m434702bf.gifи hello_html_6d4dd7f9.gif.

По формуле (4.2) получим:

hello_html_m733a6e38.gif.

К числителю подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и из него вычтем hello_html_m752ed06e.gif и представим этот интеграл суммой двух интегралов:

hello_html_62597d95.gif

hello_html_m689e76b8.gif.

В первом интеграле освободимся от иррациональности в знаменателе, второй интеграл берем по формуле:

hello_html_6e25f6e1.gif.

Следовательно,

hello_html_md8dbb07.gif.

Перенеся интеграл hello_html_44c9f3b0.gif из правой части в левую, получим:

hello_html_4c0f4fad.gif

или окончательно:

hello_html_m4f061bb0.gif.


Метод интегрирования по частям удобно применять в следующих случаях:


  1. Подынтегральное выражение содержит в виде множителя функции

hello_html_m6c1a1003.gif

2.Подынтегральная функция имеет вид

hello_html_13835fd1.gif

где р (х) – полином относительно х.

  1. Подынтегральная функция имеет вид:

hello_html_m71560729.gif

Пример 5. Найти интеграл hello_html_m14f1a2e2.gif.

Решение, hello_html_ad8f4c0.gif

Пример 6. Найти интеграл hello_html_3029183e.gif.

Решение. hello_html_m382a4257.gif



Выбранный для просмотра документ 4.Тема 1.5. Определённый интеграл ОСНОВНОЙ ТЕКСТ.doc

библиотека
материалов

20



Тема 1.5. Определённый интеграл

  1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла


Многие задачи естествознания и техники получили решение благодаря одному из основных понятий математического анализа - определенному интегралу. Нахождение площадей, ограниченных кривыми, длин дуг, объемов, работы, пути, скорости, моментов инерции и т.д., сводится к его вычислению. Рассмотрим некоторые задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

Задача о массе прямолинейного стержня. Дан тонкий стержень длины l, его масса распределена неравномерно с плотностью hello_html_m2df08ccd.gif. Найти массу всего стержня.

Решение. Разберем условие задачи. Под тонким стержнем мы будим понимать отрезок прямой, ограниченный точками a и b числовой оси hello_html_74eef324.gif. Плотность вещества стержня в данной точке есть придел средней плотности hello_html_1fb7c518.gif, где hello_html_m53ec18b7.gif- масса отрезка hello_html_10189bdb.gif, при стремлении hello_html_m2627d3c7.gif к нулю.

Тhello_html_m5cf35e52.pngребуется найти массу стержня.

Так как плотность распределена неравномерно, то для наиболее точного ее нахождения разобьем весь стержень точками на n достаточно малых частей (рис. 1)

hello_html_79635c42.gif.

Обозначим длину отрезка hello_html_m7dd4d935.gif через hello_html_m5e588df3.gif. В силу того, что длины отрезков малы, в границах каждого из них плотностью стержня можно считать постоянной и равной hello_html_m284dfe37.gif, где hello_html_mba65e72.gif-одна из точек k-го отрезка hello_html_m7dd4d935.gif. Тогда масса этого отрезка стержня равна hello_html_678f8fef.gif.

Масса всего стержня приближенно равна

hello_html_mf8c8a36.gif,

где hello_html_m3b896de3.gif- знак суммы n слагаемых.

Вhello_html_m2b7cbffe.png пределе, при стремлении hello_html_m43b789ec.gif к нулю, эта сумма становится равной hello_html_7aff9f5a.gif, т.е.

hello_html_3544fcd.gif.

Зhello_html_294438a3.pngадача о площади криволинейной трапеции. Дана плоская фигура, ограниченная графиком функции hello_html_m66a92442.gif и отрезками прямых hello_html_57b2aab2.gif. Функция hello_html_5e7a2b36.gif определена, непрерывна и неотрицательна в промежутке hello_html_7583fc94.gif. Вычислить площадь S полученной фигуры hello_html_720333.gif, называется криволинейной трапецией.

Решение. для того чтобы вычислить искомую площадь, разобьем промежуток hello_html_7583fc94.gif на n произвольных частей: hello_html_58b6486f.gif, длины которых обозначим соответственно hello_html_1729b783.gif.

Через каждую точку деления проведем прямую, параллельную оси ординат. Эти прямые разделяют данную фигуру на n полос. Заменим каждую из этих полос прямоугольником, основание которого то же, что у полосы, а высота совпадает с одной из ординат точек графика функции в этой полосе.

Еhello_html_m10bf3b74.pngсли высота совпадает с меньшей из ординат hello_html_m42f1954c.gif точек графика функции из этой полосы, то площадь одного из прямоугольников равна hello_html_2a23bbcf.gif, а сумма hello_html_18a8efbd.gif можно принять за площадь криволинейной трапеции, вычисленную с недостатком (рис. 2). Если же высота совпадает с наибольшей из ординат hello_html_8c49c9e.gif из этой полосы, то

площадь одного прямоугольника равна hello_html_m5115f3a5.gif, и сумму

Рис. 2. hello_html_m258ccbf.gif можно принять за площадь криволинейной трапеции,

вычисленную с избытком.


Если в каждом из отрезков hello_html_m7dd4d935.gif возьмем по точке, которые обозначим hello_html_1db7a22b.gif, так что hello_html_119f05c3.gif и в каждом из этих точек вычислим значение функции hello_html_m49ae4470.gif, то мы можем определить величину

hello_html_515144ec.gif.

При произвольном hello_html_m3ef36ac9.gif величина hello_html_50945f13.gif будет принимать значения hello_html_3073332e.gif. Все hello_html_210e6963.gif, значит,

hello_html_m48ea3754.gif.

Следовательно,

hello_html_1817b98a.gif

или

hello_html_m5c3bccb0.gif.

Геометрический смысл этого двойного неравенства при hello_html_74836dc2.gif состоит в том, что фигура, площадь которой равна Q, ограничена линией, заключенной между «вписанной» и «описанной» ломаными.

Пользуясь непрерывностью hello_html_m5c7051ca.gif, можно доказать, что существуют и равны между собой пределы переменных hello_html_m2267701f.gif и hello_html_m28e05d29.gif при hello_html_m1be39964.gif, где hello_html_m43b789ec.gif, и что они не зависят от способа деленияhello_html_7583fc94.gif на части, т.е. hello_html_658f6273.gif. Таким образом, площадь криволинейной трапеции hello_html_720333.gif, ограниченной графиком функции hello_html_5e7a2b36.gif, где hello_html_m5c7051ca.gif определена, непрерывна и положительна на hello_html_7583fc94.gif, осью hello_html_17a72858.gif и прямыми hello_html_5116e25d.gif, есть предел S, к которому стремится площадь Q ступенчатой фигуры при неограниченном увеличении числа n отрезков деления и стремлении к нулю длин отрезков деления независимо от выбора точек hello_html_m1835f743.gif:

hello_html_m58b8a250.gif.









  1. Определённый интеграл как предел интегральной суммы


Обобщим рассуждения, проведенные при решении двух предыдущих задач о массе прямолинейного стержня и о площади криволинейной трапеции.

Пhello_html_5d4a4705.gifhello_html_1ade6344.gifhello_html_72fde3d4.gifhello_html_fdf1b79.gifhello_html_5190d29b.gifhello_html_3935fdb7.gifhello_html_6b4281ee.gifhello_html_7447555d.gifhello_html_m427c45b7.gifhello_html_m576a1f04.gifhello_html_m3628599.gifhello_html_m37d303df.gif

y

x

y = f(x)

hello_html_m6c686f2b.gif

f(hello_html_1ab27e64.gif)

0

a hello_html_m7f1b5552.gifhello_html_1089306.gif ……hello_html_m2691e068.gif………hello_html_7a53fe29.gifb

усть функция y = f(x) определена на отрезке [a,b], b < a. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками: a = x0 < x1 < x2 < …< xi-1 < xi < …< xn = b. Обозначим эти разбиения через τ = {xi} (i = 1,…, n). В каждом из полученных частичных отрезков [xi-1, xi ] выберем произвольную точку hello_html_m1af7b26.gif. Через hello_html_2e66165e.gifобозначим разность, которую условимся называть длиной частичного отрезка [xi-1, xi].










Рис. 3.

Образуем сумму

hello_html_m197921b5.gif(1)

которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b] соответствующей данному разбиению [a,b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точекhello_html_122fa5ba.gif

Определение 1. Функция hello_html_m5c7051ca.gifинтегрируема на промежутке hello_html_7583fc94.gif, если при любых разбиениях hello_html_m7a7cc193.gif промежутка hello_html_7583fc94.gif, таких, что hello_html_7d63fc18.gif при произвольном выборе точек hello_html_m65d67e9c.gif, сумма hello_html_ef27a9e.gif при hello_html_b203788.gif стремится к пределу S.


Предел hello_html_13480f1b.gif называют определенным интегралом от функции hello_html_m5c7051ca.gif на промежутке hello_html_7583fc94.gif и обозначают hello_html_m6feb3020.gif, т.е.

hello_html_29528f2a.gif

(2)

.

Число a называется нижним пределом интеграла, b- верхним.

Промежуток hello_html_7583fc94.gif называется промежутком интегрирования, x- переменной интегрирования.

Точный смысл соотношения (2) таков: для любого hello_html_58f108a3.gif существует такое hello_html_m3d789376.gif, что при любом способе дробления промежутка hello_html_7583fc94.gif и любом выборе точек hello_html_m1835f743.gif из каждого промежутка при условии, что hello_html_m27d7804a.gif будет

hello_html_183240ac.gif.

Все указанные выше условия выполняются, если функция hello_html_m5c7051ca.gif является непрерывной. Вообще, имеет место следующая теорема, которую мы примем без доказательства.

Теорема 1. Если функция hello_html_m5c7051ca.gif непрерывна на hello_html_7583fc94.gif,то интеграл hello_html_m6feb3020.gif существует.

Возвращаясь к задаче о массе прямолинейного стержня длины hello_html_m73692f8e.gif с плотностью hello_html_m2df08ccd.gif, можно сказать, что масса всего стержня равна

hello_html_m7b69dad0.gif.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_5e7a2b36.gifhello_html_47bde509.gif, прямыми hello_html_7033c469.gif и осью x, вычисляется с помощью интеграла

hello_html_7e3e55e1.gif.

Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

hello_html_m397c1234.gif

Например, интеграл hello_html_2522ec23.gif равен интегралу hello_html_1232abc0.gif. Предлагаем читателю убедиться в этом самостоятельно.

Геометрический смысл суммы hello_html_22b9a2dd.gif очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями hello_html_2e66165e.gif(i = 1,…, n) и высотами hello_html_3445d817.gif(i = 1,…, n), если f(x) ≥ 0. Обозначим через hello_html_32bcfcbd.gif длину наибольшего частичного отрезка разбиения τ: hello_html_m73157781.gif1≤ in.

Определение 1. Если существует конечный предел hello_html_13480f1b.gif интегральной суммы (1) при hello_html_m68936329.gif, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:

hello_html_m683262fb.gifи