Инфоурок Математика Другие методич. материалыМетодическое пособие по математике (2 курс)

Методическое пособие по математике (2 курс)

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Методическое пособие по математике.doc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Аннотация

 

Данное пособие содержит изложенные в сжатой и доступной форме теоретические сведения по математике для студентов 2 курса специальностей 151001, 140613, 150203, 190604, 190304. Оформленное в виде таблиц и схем, пособие обеспечивает оптимальное усвоение материала.

Рекомендации студентам позволяют оптимизировать процесс изучения курса математики.

Наличие большого количества вариантов контрольных работ позволяет производить контроль знаний студентов в процессе изучения материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Составитель: преподаватель математики Железногорского политехнического

                        колледжа Тупиков Ю.Н.

 

 

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук

старший преподаватель Курского государственного

 технического университета Рослова Н.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Курс математики, который предстоит освоить студенту, является фундаментом математического образования. Математические знания имеют важное значение для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин, которые предусмотрены учебными планами различных специальностей.

По специальностям 151001, 140613, 150203, 190604, 190304 математика изучается в течении одного семестра. По результатам изучения дисциплины студенты должны выполнить одну контрольную работу и сдать зачёт. В межсессионный период и во время сессий со студентами проводятся лекционные и практические занятия, а также для студентов-заочников консультации.

В настоящем пособии содержатся общие рекомендации студентам по работе над курсом математики, программа курса, методические указания по темам дисциплины с вопросами для самопроверки, решения типовых задач и задания контрольных работ.

 

 

Общие рекомендации по работе

над курсом математики

 

Формой обучения студента являются аудиторные занятия и самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит их следующих элементов: изучение материала по учебникам,  решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В процессе самостоятельной работы студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачёта или контрольной работы в соответствии с учебным планом по специальности.

 

Изучение материала по учебнику

Изучение материала по учебнику следует выполнять согласно указанным в программе курса темам. Изучая тот или иной вопрос темы по учебнику, целесообразно выполнять на бумаге все вычисления и вычерчивать имеющиеся в учебнике чертежи.

При самостоятельном изучении материала полезно вести конспект. В конспект по мере проработки материала рекомендуется вписывать определения, теоремы, формулы, уравнения и т.п. Поля конспектов могут послужить для выделения тех вопросов, на которые необходимо получить письменную или устную консультации. Ведение конспекта должно быть аккуратным, расположение текста хорошо продуманным. Конспект поможет в подготовке к теоретической части экзамена.

 

 

 

 

Решение задач

Чтение учебника должно сопровождаться разбором предлагаемых решений задач. Решение рекомендуется выполнять в отдельной тетради.

Каждый этап решения задачи должен быть обоснован, исходя из теоретических положений курса. Решение задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно.

В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа p и других математических констант.

 

Самопроверка

Опыт прочного усвоения материала темы показывает, что самопроверку проводить необходимо. В настоящем пособии приводятся для самопроверки вопросы, которые акцентируют внимание на наиболее важных, ключевых положениях темы. В процессе выполнения самопроверки необходимо избегать пользования учебником или конспектом. Желание обратиться к учебнику или конспекту показывает недостаточное усвоение материала темы.

 

Консультации

При изучении теоретического материала или при решении задач у студента могут возникнуть вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается. В такой ситуации студенту следует обратиться к преподавателю для получения от него письменной или устной консультации. При этом необходимо точно указать вопрос, учебник и место в учебнике, где рассмотрен затрудняющий студента вопрос. Если непреодолимые затруднения возникли при решении задачи, то следует указать характер затруднения, привести план решения.

 

Контрольная работа

В процессе изучения курса студент должен выполнить одну контрольную работу. По полученным результатам студент может сделать выводы о степени усвоения им соответствующего раздела курса, внести коррективы в процесс последующей самостоятельной работы по изучению теоретического материала.

К выполнению контрольной работы следует приступать после тщательного разбора имеющихся в учебнике и сборниках задач решений с ответами. В дополнение к предложенным задачам сборников в данном пособии рассмотрены некоторые примеры.

Контрольные работы должны выполняться самостоятельно, так как в противном случае рецензирование работы как диалог общения преподавателя и студента с целью оказания последнему методической помощи не достигнет цели.

 

Зачет

 К зачету допускаются студенты, выполнившие контрольную работу (работы должны быть зачтены преподавателем).

 

Программа дисциплины

«МАТЕМАТИКА»

 

Раздел I. Введение в математический

анализ

 

Тема 1:  Множества. Переменные величины и функции

Числовые множества.  Определение функции. Классификация функций. Область определения и область значения функций. Свойства функций: нули функции, четность, нечетность, периодичность, монотонность, точки локального экстремума, промежутки знакопостоянства.

 

Тема 2. Теория пределов

Предел функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах : предел суммы и разности двух функций, предел произведения двух функций, предел отношения двух функций. Техника вычисления пределов.

 

Раздел II. Дифференциальное исчисление

 

Тема 3. Производная  и дифференциал функции

Определение производной. Геометрический и механический смысл производной. Правила дифференцирования функции. Таблица производных.  Производные от сложных функций. Дифференциал. Производные высших порядков.

 

Тема 4. Применение производной к исследованию функций

Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума функции. Выпуклость, вогнутость кривой, точки перегиба. Общая схема исследования функции и построения ее графика.

Раздел III. Интегральное исчисление

 

Тема 5. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной. Свойства неопределенных интегралов. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования : непосредственный метод, метод подстановки.

 

Тема 6: Определенный интеграл

Определение определенного интеграла, его геометрический смысл. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.  Основные методы вычисления определенного интеграла: непосредственный метод, метод замены переменных.

 

Раздел IV. Дифференциальные уравнения

 

Тема 7. Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее решение. Частное решение. Понятие о задаче Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

 

Тема 8. Дифференциальные уравнения второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида . Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Раздел V. Числовые и функциональные ряды

 

Тема  9. Теория рядов

Числовой ряд . Сходимость числового ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов: признак сравнения, признак Даламбера, признак Коши, интегральный признак. Знакочередующиеся  ряды.  Признак Лейбница. Понятие абсолютной и условной сходимости ряда. Функциональные ряды. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

 

Литература

 

Основная

1.     Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учебное пособие., М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1990

2.     Алгебра и начала анализа/ Под редакцией Г.Н.Яковлева., М.: Наука.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1981. – Ч.1,2.

3.     Богомолов В.Н. Практические занятия по математике., М.: Высшая школа, 1982.

4.     Шипачев В.С. Высшая математика., М.: Высшая школа., 1990.

5.     Шипачев В.С. Задачник по высшей математике., М.: Высшая школа., 1998

6.     Апанасов П.Т., Орлов М.И. Сборник задач по математике., М.: Высшая школа., 1987.

Дополнительная

7.     Справочник по математике., М.: «Лист».,1999.

8.     Математическая энциклопедия. М., 1977 – Т.1; 1979 – Ч.2.; 1983 Т.3.

9.     Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Наука. Гл. ред. физ. мат. литературы., 1989.

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение в математический анализ

 

Понятие функции, свойства функций

 

Определение : Пусть даны два числовых множества X и Y. Функцией называется правило, по которому каждой переменной соответствует одно и только одно значение .

Функция обозначается  или  или

.

Переменная x – независимая переменная или аргумент функции; переменная y – зависимая переменная или значение функции.

Определение : Множество всех значений независимой переменной x , при которых функция существует называется областью определения функции и обозначается D(y).

Определение : Множество всех возможных значений зависимой переменной y называется областью значений функции и обозначается E(y).

Используют следующие способы задания функции:

1.Аналитический способ – задание функций с помощью формул. Например,

, .

2.Графический способ – задание функций с помощью графика. Например,

 

 

 

 

 

 


3.Табличный способ – задание функций с помощью таблиц.

Например,

 

x

-3

-2

-1

0

1

2

y

9

4

1

0

1

4

t

5

10

15

20

S

10

15

20

40

 

 

 

4. Словесный способ – задание функций с помощью алгоритма вычисления.  Например,

       - целая часть числа х.

 

Целая часть числа х – это ближайшее целое число, не превосходящее самого числа х.

 

 

 

 

Свойства функций приведены в таблице:

Название свойства

Определение

Графическое

изображение

 

Нули функции

 

Нулём функции называется то значение х, при котором функция обращается в 0, то есть

.

                        y

 

 

 

                           

x1                    x2             x3

 

                                         x

 

 

 

 

 

 

 


Нули –  это точки пересечения  графика функции с осью Ох.

 

Четность функции

 

Функция называется чётной , если для любого х из области определения выполняется равенство  

                         y

 

 

 

 

 

                                x

 

 

 

 

 

 

 


Четная  функция симметрична относительно оси Оу


 

Нечет-ность функции

 

Функция называется нечётной , если для любого х  из области определения выполняется равенство

.

                       y

 

 

 

                                    x

 

 

 

 

 

 

 

Нечетная  функция симметрична относительно начала координат .

 

 

Функция которая не является ни чётной ,ни нечётной называется функцией общего вида.

                    y

 

 

 

 

                                           x

 

 

Возрас-тание функции

Функция  называется возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е.

 

Убывание функции

 

Функция  называется убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, т.е.

 

 

Промежутки,  на которых функция либо только убывает , либо только возрастает называются промежутками монотонности .

 

 

 

 

 

 

имеет 3 промежутка монотонности :

 

Локаль-ный максимум

 

Точка х0  называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0  выполняется неравенство:

.

 

Локаль-ный минимум

 

Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0  выполняется неравенство:

.

 

 

Точки локального максимума и точки локального минимума называются точками локального экстремума.

       y

              max

 

 

            min

              x1          x2             x  

 

 

 

 

 

 

      

 y

 

 

 

1

 

  0         1         2         3       x

 
точки локального экстремума.

 

Перио-дичность функции

 

Функция f(x) называется периодичной, с периодом Т , если для любого х выполняется равенство

.

 

 

Проме-жутки знакопос-тоянства

 

Промежутки, на которых функция либо только положительна, либо только отрицательна называются промежутками знакопостоянства.

 

 

              y

 

 

 

 

 

         x1          x2           x3         x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Непре-рывность

функции

 

Функция  называется непрерывной в точке , если предел функции  при  равен значению функции в этой точке, т.е.

.

 

                y

 

 

 

 

 

                                          x

 

 

Точки

разрыва

 

Точки, в которых нарушено условие непрерывности называются точками разрыва функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 - точка разрыва.

 

Теория пределов

 

Определение: Число А называется пределом функции y=f(х) при х, стремящемся к  а, если для любой последовательности чисел х1, х2, х3, …, .хn ,… сходящейся к числу а, следует, что последовательность значений функции f(х1), f(х2),…, f(хn)…   сходится к числу  А.

Предел функции в точке  а обозначается  

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основные теоремы о пределах

 

Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

 

! Все правила имеют смысл, если пределы функций  и  существуют.

 

Техника вычисления пределов

 

При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров.

·     Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда

.

·          Функция f(x) в предельной точке  x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода.

Необходимо помнить, что

, , .

Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , ,,).

При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила:

а)  чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной;

б)  чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной ;

в)  чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности;

г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от

иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности;

д)  чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида  или .

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислить пределы функций:

Пример 1:

 

Пример 2

Пример 3:  

 =

Пример 4:   

 

 

Пример5:   

Литература:   стр. 188-204, задания № 6.23-6.50, стр.198.

 Вопросы для самопроверки:

1.      Что называется функцией?

2.      Что такое область определения и область значений функции

3.      Перечислите способы задания функций, их достоинства.

4.      Перечислите основные свойства функций.

5.      Дайте определение предела функции в точке.

6.      Какая функция называется непрерывной в точке?

7.      Сформулируйте основные свойства пределов.

8.      Как раскрывается неопределенность вида , ?

Дифференциальное  исчисление

 

Понятие производной

 

Определение: Производной функции  по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению  аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю:

 .

Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этот предел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.

 

Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. .

 

Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции  равен первой производной этой функции , вычисленной в точке касания, т.е.  

Уравнение касательной к графику функции в точке :

Уравнение нормали к графику функциив точке :

 

Таблица производных

 

 

 

 

 

Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.

 

Рассмотрим примеры.

Найти производные функций:

Пример 1:

Решение:

+

Пример2:

Решение:

Пример 3:

Решение:

 

 

Дифференциал функции

 

Определение: Дифференциалом функции y=y(x) называется произведение ее производной на дифференциал независимой переменной:

.

 

Для большей наглядности рассмотрим пример.

 

Пример 1: Найти дифференциал функции  

Решение:

Так как , то .

 

 

Дифференцирование сложной функции

 

Пусть y= y(u) , где u= u(x) – дифференцируемые функции. Тогда сложная функция y=y[u(x)] есть также дифференцируемая функция, причем

 ,   или   

Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.

Производные сложных функций находятся при помощи таблицы:

 

 

 

Рассмотрим примеры.

 

Пример 1:  Найти производную функции

Решение:   =

Пример 2: Найти производную функции

Решение:

=

+

 

Производные высших порядков

 

Определение: Производная второго порядка (вторая производная) от функции y=f(x) есть производная от ее первой производной: .

 

Определение: Производная третьего порядка (третья производная) от функции y=f(x) есть производная от ее второй производной.

 Определение: Производная n-ого порядка (n-я производная) от функции y=f(x) есть производная от ее (n-1)-й производной:  .

 

 

 

 

Рассмотрим примеры.

Пример 1: Найти производную второго порядка .

Решение:

 

Пример2: Найти производную второго порядка функции .

Решение:

Литература: [1] стр. 205-213, 215-220; задания № 7.1-7.31 стр.205, № 7.38-7.90 стр.217.

Вопросы для самопроверки:

1.     Дать определение производной функции.

2.     Что называется приращением аргумента, приращением функции?

3.     Какой механический смысл имеет производная?

4.     Сформулировать геометрический смысл производной.

5.     Как найти производную суммы или разности?

6.     Как найти производную произведения?

7.     Как найти производную частного двух функций?

8.     Дать определение дифференциала функции.

9.     Сформулируйте правила нахождения производной сложной функции?

10. Как найти производную второго порядка? производную четвертого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследование функции

с помощью производной

 

Определение:  Точка х0  называется точкой локального максимума, если для любого х из окрестности точки х0  выполняется неравенство:

.

Определение:  Точка х0 называется точкой локального минимума, если для любого х из окрестности точки х0  выполняется неравенство:

.

Точки минимума  и максимума функции называются точками  экстремума данной функции, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Точками экстремума могут служить только критические точки I рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная  обращается в нуль или терпит разрыв.

Правило нахождения экстремумов функции

с помощью первой производной

1.           Найти производную функции .

2.           Найти критические точки по первой производной, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или терпит разрыв.

3.           Исследовать знак первой производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . Если на промежутке , то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке , то на этом промежутке функция возрастает.

4.           Если в окрестности критической точки  меняет знак

с «+»  на «-», то эта точка является точкой максимума, если с  «-»  на «+», то точкой минимума.

5.           Вычислить значения функции в точках минимума и максимума.

С помощью приведенного алгоритма можно найти не только экстремумы функции, но и промежутки возрастания и убывания функции.

Пример 1: Найти промежутки монотонности и экстремумы функции:   .

 

Решение: Найдем первую производную функции .

Найдем критические точки по первой производной, решив уравнение                    

Исследуем поведение первой производной в критических точках и на промежутках между ними.

0

2

+

0

-

0

+

т. max

0

т. min

-4

Ответ: Функция возрастает при ;

          функция убывает при ;

 точка минимума функции ;

 точка максимума функции .

 

Правило нахождения экстремумов функции

с помощью второй производной

 

1.  Найти производную .

2. Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых .

3.   Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной, то – минимум. Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5.   Вычислить значения функции в точках экстремума.

 

Пример 1: Исследовать на экстремум с помощью второй производной функцию:  .

Решение:    Находим производную:  .

Решая уравнение , получим стационарную точку  х =1.  Найдем теперь вторую производную: .

Так как вторая производная в стационарной точке положительна,  ,  то при  функция имеет минимум: .

Ответ: Точка минимума имеет координаты  .

 

Направление выпуклости графика функции.

Точки перегиба

 

Определение: Кривая  называется выпуклой вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение: Кривая  называется выпуклой вверх  в промежутке , если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

             y                                                   y

 

 

 

                                   x                                                 x

Определение: Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

 

Выпуклость  вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции ,  характеризуется знаком ее второй производной:  если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз на этом промежутке; если же  , то кривая выпукла вверх на этом промежутке.

 

Определение: Точка графика функции ,  разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

 


                                  y

 

 

 

 

 

                                                          x

Точками перегиба могут служить только критические точки II рода, т.е. точки, принадлежащие области определения функции , в которых вторая производная обращается в нуль или терпит разрыв.

 

Правило нахождения точек перегиба

графика функции

1.  Найти вторую производную .

2.  Найти критические точки II рода функции , т.е. точки, в которой обращается в нуль или терпит разрыв.

3.  Исследовать знак второй производной в промежутка, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Если при этом критическая точка  разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то  является абсциссой точки перегиба графика функции.

4.  Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример 1: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба следующей кривой:             .

Решение: Находим , .

Найдем критические точки по второй производной, решив уравнение              ; .

2

+

0

-

точка

перегиба

16

Ответ:  Функция выпукла вверх при ;

           функция выпукла вниз при ;

              точка перегиба  .

 

Общая схема для построения графиков функций

1.     Найти область определения функции .

2.      Найти точки пересечения графика функций с осями координат.

3.      Исследовать функцию на четность или нечетность.

4.      Исследовать функцию на периодичность.

5.      Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции.

6.     Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции.

7.     Найти асимптоты функции.

8.     По результатам исследования построить график .

Пример: Исследовать функцию и построить ее график:

.

Решение:

1)    Функция определена на всей числовой оси, т. е. ее область определения .

2)    Найдем точки пересечения с осями координат:

с осью ОХ : решим уравнение

.

с осью ОY:

3)    Выясним, не является ли функция четной или нечет

ной:

.

Отсюда следует, что функция является нечетной.

4)    Функция непериодична.

5)    Найдем промежутки монотонности и точки экстремума функции: .

Критические точки: .

 

-1

1

+

0

-

0

+

т. max

2

т. min

-2

6)    Найдем промежутки выпуклости и точки перегиба функции:

Критические точки: .

0

-

0

+

 

Точка перегиба 0

             

7)    Функция непрерывна, асимптот у нее нет.

8)     По результатам исследования построим график функции:

                                               y

 

 

 

                                               2

 

 

1                                    x

                                              -2

 

 

Литература: [1] стр. 221-230, 232-236; задания № 7.91-7.97, стр. 221, 7.98-7.99, стр. 230, 7.101, стр. 236; [3] стр. 78-84, 88-90.

 

Вопросы для самопроверки:

1.     Что такое критические точки функции?

2.     Сформулировать достаточные условия возрастания и убывания функции.

3.     Какими точками отделяются промежутки возрастания от промежутков убывания функции?

4.     Сформулируйте правила нахождения точек экстремума функции.

5.     Сформулировать достаточное условие выпуклости функции. Приведите алгоритм нахождения промежутков выпуклости и точек перегиба.

 

 

Интегральное исчисление

 

Неопределенный интеграл. Методы вычисления

 

Определение: Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если  или  .

Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение: Совокупность F(x)+С всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается:

.

 

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.                                   2. ;

3.                               4. ;

5. ; 6. .

 

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование предполагает использование при нахождении неопределенных интегралов таблицы интегралов

 

Таблица интегралов

 

   

 

 

      

  

  

Рассмотрим нахождение интегралов непосредственным методом.

 

Пример 1: Найти неопределенный  интеграл:

.

Решение:    =

               =

              

               

               .

 

 

 

Пример 2: Найти неопределенный интеграл:  .

Решение: =

               .

Пример 3: Найти неопределенный интеграл

Решение: =

           

 

Метод подстановки в неопределенном интеграле

(метод замены переменной)

 

Этот метод заключается в том, что заменяют  переменную х на,где -непрерывно дифференцируемая функция, полагают  и получают

При этом получают искомую функцию, выраженную через переменную t. Для возвращения к переменной х необходимо заменить t значением , которое находится из соотношения .

Рассмотрим нахождение интегралов методом подстановки.

 

Пример 1: Найти неопределенный интеграл

Решение:=

             

Пример 2: Найти неопределенный интеграл

Решение:

             =

Пример 3: Найти неопределенный интеграл

Решение:= 

Пример 4: Найти неопределенный интеграл

Решение:=

==.

 

Определенный интеграл и его свойства

 

  Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке  произвольную точку xk  и обозначим через  длину каждого такого отрезка.

Интегральной суммой для функции на отрезке  называется сумма вида

Определение:  Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков  стремится к нулю:

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл

                 

Простейшие свойства определенного интеграла

 

1)    Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от слагаемых функций:

               

2)  Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

3)  При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:

4)    Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

5)    Отрезок интегрирования можно разделить на части:

     с-точка, лежащая между а и b.

6)  Если  на отрезке , то .

Для вычисления определенного интеграла от функции , в том случае , когда можно найти соответствующую первообразную  , служит  формула Ньютона-Лейбница:

                                =F(b)-F(a)

Рассмотрим нахождение простейших определенных интегралов.

Пример 1: Вычислить определенный интеграл      .

Решение: =

 

Пример 2: Вычислить определенный интеграл:  .

Решение:       

.

 

Вычисление определенного интеграла

методом замены переменной

 

При  вычислении определенного интеграла  методом замены переменной (способом подстановки) определенный интеграл  преобразуется с помощью подстановки или  в определенный интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются соответственно новыми пределами t1 и t2, которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений .

Таким образом, имеем

 

Пример 1: Вычислить определенный интеграл методом замены переменной  

Решение: =

.

Пример 2: Вычислить определенный интеграл: .

Решение:

.

 

Литература: [1] стр 247-264, 267-284, задания № 8.1-8.95, стр. 252, 9.1-9.14, стр. 278; [3] стр. 169-184, 195-200.

 

Вопросы для самопроверки:

1.     В чем заключается смысл действия, обратного дифференцированию?

2.     Дать определение первообразной функции

3.     Чем отличаются друг от друга любые две первообразные данной функции?

4.     Как проверить, правильно ли найдена первообразная данной функции ?

5.     Дать определение неопределенного интеграла.

6.     Перечислить свойства неопределенного интеграла

7.     Дать определение определенного интеграла.

8.     Перечислить свойства определенного интеграла.

9.     Запишите формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.

10. В чем отличия методов замены переменной в определенном и неопределенном интегралах

 

 

 

 

Дифференциальные уравнения

 

Определение: Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называется дифференциальным уравнением.

.

Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

(Например,             y΄sinx + ytgx = 1  -  первого порядка;

                     -           второго порядка.

Определение: Функция y =φ(x), удовлетворяющая дифференциальному уравнению, называется решением этого уравнения.  Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, называется  общим решением  этого уравнения.

Для уравнения 1-го порядка:           y = φ(x, C)

                                 2-го порядка:           y = φ(x, C1, C2

 

Определение: Функции, получаемые из общего решения при различных числовых значениях произвольнх постоянных, называются частными решениями этого уравнения.

 

Определение: Задача на нахождение частного решения дифференциального уравнения при заданных начальных условиях называется задачей Коши.

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

 

Определение: Дифференциальное уравнение с разделяющи-мися переменными имеет вид   

                            M1(x)·N1(y))dx + M2(x)·N2(y)dy=0.

 

Алгоритм решения:

1)    Поделим все члены  уравнения на N1(y)·M2(x), получим:

            , здесь переменные разделены.

2)    Интегрируем обе части равенства:

          ,

после чего находим общее решение данного дифференциального уравнения в виде

    

Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения:                  соs2y·ctgxdx + sin2x tgydy=0.

Решение: 

Разделим на cos2y·sin2y

, переменные разделены.

Проинтегрируем обе части полученного равенства.

 

Интегралы находим методом подстановки.

            

  

        или       

 

Произведя обратную подстановку, получим:

  или                  Отсюда,

 

Ответ:    - общее решение уравнения.

 

Однородные дифференциальные уравнения

первого порядка

 

Определение: Однородной функцией переменных x и y  называется функция, все члены которой имеют одинаковую степень.

Например,   - однородные функции второй и третьей степени соответственно.

 

Определение: Уравнение вида  , где    и  - однородные функции одной и той же степени, называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

   Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющими переменными подстановкой, где – новая искомая функция.

 

Пример 1:     Найти общее решение уравнения

.

Решение: Положим . Дифференцируя равенство y = ux, получим   . Подставляя выражения в уравнение, получим:         

Разделим переменные в полученном уравнении.

;                  

Интегрируем, . Отсюда,    .

Сделаем обратную замену:     , получим .

Ответ:  .

 
Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Определение: Уравнение вида   называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

 

Уравнения такого вида сводятся к двум уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где ,  - некоторые функции, зависящие от x.

 

Алгоритм решения:

1)    Вводится подстановка , тогда .

2)    Исходное уравнение принимает вид:         

                                 .

3)    Группируются слагаемые при u.

.

4)    Выражение в скобках приравнивается к нулю:

.

Это уравнение с разделяющимися переменными, решая его, находим  .

5)    Полученное значение   v  подставляется в выражение:

.

Решив уравнение с разделяющимися переменными, получим функцию  .

6)    Общее решение уравнения запишется в виде:

.

 

Пример 1: Найти общее решение уравнения

.

 

Решение: Обозначим , тогда   .

Уравнение примет вид   .

Вынесем во втором и третьем слагаемом общий множитель за скобки, получим             .

Выражение в скобках приравняем к нулю          v′ - vtgx = 0

Перепишем в виде                                                  

Умножая обе части уравнения на , получим ,

интегрируем                                                          

находим  , применим замену    

получим  ,

откуда    или   .

Пропотенцируем обе части равенства   v = .

Найденную функцию  подставим в выражение  и решим полученное уравнение      

        du = sinxcosxdx  или  

Интегрируем        ,

Получим               .

Зная функции  u   и  v ,  можно записать ответ.

Ответ:  Общее решение уравнения   у = .

 

Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения   ,  если   при   .

 

Решение: Пусть  , тогда   .

Отсюда,     .

Вынесем  u  за скобки:  .

Приравняв скобку к 0 , получим: .

Отсюда,  ,      .

Интегрируем   ,

,   ,     .

Подставив   в выражение , получим уравнение относительно функции  u  и решим его.

,     ,     ,     .

Проинтегрируем .   Функция  .

Запишем общее решение уравнения :  .

Частное решение найдем из условия   при   .

,      ,          .

Частное решение заданного уравнения имеет вид:  .

Ответ:    - частное решение уравнения.

 

Дифференциальные уравнения второго порядка

 

Дифференциальные уравнения второго порядка в общем случае имеют вид:              .

Дифференциальные уравнения вида y″ = f(x) решаются двукратным интегрированием.

Полагая  y′ = z,  имеем  y″ = z или  z′ = f(x)  , = f(x),  dz = f(x)dx.

Интегрируя    , получим    z = F(x) + C1.

Возвращаясь к функции y , имеем      

                ,          .

- это есть общее решение уравнения

 y″ = f(x).

Пример 1:  Найти общее решение уравнения    .

Решение:  Пусть , тогда .

После подстановки имеем    или    .

Интегрируя обе части равенства, получим   .

Вернувшись к функции y , получаем уравнение .

Интегрируя его  ,   получим  -это есть общее решение уравнения.

Ответ:  .

 

 

 

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения

второго порядка с постоянными коэффициентами

 

Определение: Уравнения вида    , где p  и  q– постоянные величины, называются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами.

 

Для отыскания общего решения такого уравнения составляется характеристическое уравнение  ,

которое решается как квадратное уравнение. При его составлении в исходном уравнении производные функции y заменяются соответствующей степенью переменной k, причем сама функция y заменяется единицей.

Общее решение исходного дифференциального уравнения строится в зависимости от характера корней и  .

Возможны три случая:

1)    и  – действительные и различные, тогда

;

2)     и  – действительные и равные, тогда  и

;

3)   и – комплексно-сопряженные: ,,

      тогда              .

 

Пример1:   Решить дифференциальное уравнение

                               y˝- 5y΄- 6y = 0.

Решение:  Заменим данное уравнение характеристическим:

.

решаем его, получаем      .

,     .

Как видно, корни действительные и различные , поэтому

общее решение можно записать в виде      .

         Ответ:   .

 

Пример 2: Решить дифференциальное уравнение   .

 

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим

,  найдем  корни  , , значит  .

Отсюда  действительная часть комплексного числа  , мнимая часть   , следовательно общее решение имеет вид:

.

         Ответ:  

 

Пример 3: Решить дифференциальное уравнение

.

 

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем    ;

 ,     

получили комплексно - сопряженные корни, где  и . Тогда общее решение запишется в виде .

         Ответ: 

 

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение

.

 

Решение: Заменим данное уравнение характеристическим:

.

Решая его, получаем    ;

 ,   

получили два одинаковых действительных  корня, тогда

общее решение уравнения запишется в виде .

         Ответ:  .

 

Литература: [1] стр.316-326, 330-334, 335-344, задания № 10.7-10.39, стр. 326, № 10.54-10.73, стр. 335, № 10.84-10.102, стр. 345; [4] стр.417-422, 435,443-445.

 

Вопросы для самопроверки:

1.     Как можно определить порядок дифференциального уравнения?

2.     Сколько постоянных интегрирования имеет дифферен-циальное уравнение первого порядка? Третьего порядка?

3.     Как проверить правильность решения дифференциального уравнения?

4.     В чем заключается задача Коши?

5.     В какой последовательности решают дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными?

6.     Приведите алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка.

7.     Привести пример дифференциального уравнения второго порядка.

8.     Сколько начальных условий должно быть задано при нахождении частного решения дифференциального. уравнения второго порядка?

9.     Что называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

10. Запишите решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами для случая когда корни характеристического уравнения а) действительные и различные; б) комплексные.

Числовые и функциональные ряды

 

Понятие числового ряда.

Признаки сходимости числовых рядов

 

Определение: Числовым рядом называется выражение вида ,

где  числа – называются членами ряда, член  – общим членом ряда.

 Суммы конечного числа членов ряда:;;   ;  называются частичными суммами ряда. Так как число членов ряда бесконечно, то частичные суммы ряда образуют бесконечную последовательность частичных сумм  .

Определение: Ряд  называется сходящимся, если по-

следовательность   его   частичных   сумм при     n  стремящемся к  ∞  имеет конечный предел:      

.

Число  S  в этом случае называется суммой ряда.

Если же последовательность  частичных сумм   при n стремящемся к ∞ конечного предела не имеет, то ряд называется  расходящимся.

 

Необходимый признак сходимости ряда: Если ряд  сходится, то общий член ряда an при неограниченном увеличении номера n стремится к нулю, т.е. 

.

Достаточный признак расходимости ряда:

Если  ,то ряд     расходится.

 

Достаточные признаки сходимости рядов

с положительными членами

Признак сравнения:  Пусть даны два ряда с неотрицательными членами  и  и для всех  n  выполняется  неравенство ,  то из сходимости  ряда  следует сходимость ряда ,   а из  расходимости  ряда   следует  расходимость ряда .

При исследовании рядов на сходимость и расходимость по этому признаку, для сравнения  часто используются:

1.                   Ряд геометрической прогрессии  , (a>0), который  сходится при и расходится при .

2. Гармонический ряд  являющийся расходящимся  всегда;

3. Обобщенно – степенной ряд , который сходится при  и расходится при .

 

Признак Даламбера: Пусть дан ряд с положительными членами

 и существует  ,    тогда  при l <1 ряд сходится,  при      l >1 – расходится.

 

З а м е ч а н и е. При l=1, ряд может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью признака сравнения или других признаков.

 

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами

 и существует  , тогда  при  l <1 ряд сходится,  при    l >1 – расходится, при l=1 требуются дополнительные исследования.

 

Интегральный признак. Пусть дан ряд , члены которого являются значениями некоторой функции , положительной, непрерывной и убывающей на полуинтервале . Тогда если несобственный интеграл  сходится, то сходится и ряд ; если же  расходится, то ряд  так же расходится.

 

Рассмотрим примеры исследования числовых рядов на сходимость.

 

Пример 1: Доказать, что ряд      расходится.

Решение: Проверим, выполняется ли необходимое условие сходимости: .

Следовательно    , а значит ряд расходится.

 

Пример 2: Исследовать ряд  на сходимость.

Решение:  Применим признак Даламбера:

Здесь  .

 Вычислим предел:

.

Так как , то по признаку Даламбера ряд сходится.

 

Пример 3: Исследовать ряд  на сходимость.

Решение:  Применим признак Даламбера

, так как , то по признаку Даламбера ряд расходится.

 

Пример 4: Исследовать ряд  на сходимость.

Решение: Применим признак Коши: .

.

Так как , то по признаку Коши ряд сходится.

 

Знакочередующиеся ряды

Определение: Ряд с членами произвольных знаков называется  знакопеременным.

 

Определение: Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если положительные и отрицательные члены следуют друг за другом поочередно

.

Приведем достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда.

Признак сходимости Лейбница. Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда  монотонно убывают: и общий член ряда стремится к нулю: , то ряд сходится.

 

Абсолютная и условная сходимости рядов

Возьмем знакопеременный ряд , где числа могут быть как положительными, так и отрицательными, причем их расположение в ряде произвольно.

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда .

Определение: Знакопеременный ряд  называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд , составленный из модулей его членов .

Из сходимости ряда  следует сходимость ряда .

Определение: Если ряд  расходится, а сам знакопеременный ряд сходится, то он называется условно сходящимся.

Так как ряд  является рядом с положительными членами, то для исследования вопроса о его сходимости можно применять рассмотренные раннее признаки сходимости: признаки сравнения, Даламбера, интегральный и др.

 

Пример 1: Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из модулей:  - это гармонический ряд, он расходится. Для исследования на сходимость исходного знакочередующегося ряда применим признак Лейбница:   - первое условие выполнено;

- второе условие выполнено.

Таким образом , по признаку Лейбница ряд сходится.

Так как ряд из модулей расходится, а сам знакочередующийся ряд сходится, значит, он сходится условно.

 

Пример 2:  Исследовать ряд на абсолютную или условную сходимость: .

Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов дан-

ного ряда:   - это обобщенно-степенной ряд. Так как показатель степени , то он сходится. Если сходится ряд из модулей, то знакочередующийся ряд сходится абсолютно.

 

Степенные ряды

 

Определение: Выражение вида 

называется функциональным рядом.

 

Определение: Степенным рядом называется функциональный ряд вида  где x – независимая переменная,  - фиксированное число,  - постоянные коэффициенты.

При  степенной ряд принимает вид:

.

Определение: Областью сходимости степенного ряда называется совокупность всех значений x, при которых данный ряд сходится.

 

Нахождение области сходимости состоит из двух этапов:

1)    Определяется интервал сходимости степенного ряда, т.е. интервал  числовой оси, симметричный относительно точки x=0 и обладающий тем свойством, что при всех - ряд сходится. R – радиус сходимости нахо-

дится по формуле:                     .

2)    Исследуется сходимость ряда  на концах интервала сходимости, т.е. в точках   x= -R   и   x=R .

В зависимости от результатов исследования, область сходимости запишется одним из следующих неравенств:

    или    ;

    или    ;

    или    ;

    или    .

Для степенного ряда вида  интервал сходимости имеет вид    или   .

 

Пример 1:Найти область сходимости степенного ряда .

Решение: Найдем радиус сходимости степенного ряда .

В данном случае  , тогда

Запишем интервал сходимости:  .

Исследуем сходимость степенного ряда на концах интервала.

При  получаем числовой ряд  - это гармонический ряд, он расходится.

При  получаем знакочередующийся ряд . Исследуем его на сходимость с помощью признака Лейбница:  и   

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно ряд сходится.

Рассмотрим ряд из модулей его членов . Как показано выше данный ряд расходится. Отсюда можно сделать вывод, что при  заданный степенной ряд сходится условно.

 

Ответ:  Область сходимости ряда  .

 

Литература: [1] стр.396-418, 420-429, 431-445, задания № 12.1-12.8, стр. 407, № 12.9-12.13, стр. 429, № 13.3, стр. 446; [4] стр. 379-402.

 

Контрольные вопросы:

1.     Что называется частичной суммой числового ряда?

2.     Что называется суммой ряда?

3.     Какой ряд называется сходящимся?

4.     Какой ряд называется расходящимся?

5.     Сформулируйте необходимое условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

6.     Сформулируйте достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами.

7.     Какой ряд называется знакочередующимся ?

8.     Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся рядов?

9.     Дать понятие функционального ряда.

10. Что называется интервалом и областью сходимости степенного ряда?

11. Приведите алгоритм нахождения области сходимости.

 

 

 

 

 

Методические указания

к выполнению контрольной работы

 

Контрольная работа должна быть выполнена в ученической тетради в клетку с полями. На обложке тетради указываются ФАМИЛИЯ, ИМЯ, ОТЧЕСТВО студента, КУРС, ОТДЕЛЕНИЕ и СПЕЦИАЛЬНОСТЬ по которой он обучается, НОМЕР и ВАРИАНТ контрольной работы.

Условия задач переписываются полностью, после чего приводится подробное решение со ссылками на использованные формулы, с аккуратными чертежами там, где они потребуются. В работе должны быть рассмотрены все задания. Работа, содержащая не все задания или задачи не своего варианта, не зачитывается.

Если работа содержит ошибки, она возвращается студенту с указанием допущенных ошибок. В этом случае студент должен сдать эту же работу повторно с исправлениями допущенных ошибок и дополнениями в конце ранее выполненной работы.

Контрольную работу следует сдать преподавателю не позже чем за неделю до начала экзаменационной сессии.

 

Задания контрольной работы

 

Задание 1: Вычислить пределы функций:

 

Вариант 1:

  а)      б)      в)

Вариант 2:

  а)     б)      в)

Вариант 3

 а)   б)       в)

Вариант 4

 а)        б)       в)

Вариант 5:

  а)        б)       в)

Вариант 6:

  а)      б)       в)

Вариант 7

 а)       б)     в)

 

Вариант 8:

  а)     б)      в)

Вариант 9:

а)   б)   в)

 

Вариант 10:

а)    б)    в)

Вариант 11:

а)    б)   в)

Вариант 12:

  а)     б)   в)

Вариант 13

 а)      б)         в)

Вариант 14:

  а)   б)     в)

Вариант 15:

 а)       б)      в)

 

Вариант 16:

 а)    б)    в)

Вариант 17:

а)   б)      в)

Вариант 18

а)      б)     в)

Вариант 19

а)      б)      в)

 

 

Вариант 20

 а)   б)     в)

Вариант 21:

а)       б)         в)

Вариант 22:

а)  б)     в)

Вариант 23:

а)   б)      в)

 

Вариант 24:

а)         б)    в)

Вариант 25: 

 а)      б)      в)

Вариант 26:

 а)       б)        в)

Вариант 27

 а)      б)      в)

Вариант 28:

 а)      б)    в)

Вариант 29:

 а)        б)       в)

 

 

Вариант 30:

 а)        б)     в)

 

 

Задание 2 .  Найти производные функций.

                     В пункте в) найти вторую производную:

 

Вариант 1:

а)        б)        в)

Вариант 2:  

 а)             б)        в)

Вариант 3:  

 а)        б)    в)

Вариант 4:   

а)            б)      в)

Вариант 5:

а)            б)                в)

Вариант 6:  

 а)    б)        в)

Вариант 7:  

 а)        б)                    в)

Вариант 8:   

а)      б)               в)

Вариант 9:  

 а)     б)   в)

Вариант 10:   

а)     б)     в)

 

 

 

Вариант 11:  

 а)             б)       в)

Вариант 12:   

а)            б)         в)

Вариант 13:   

а)         б)             в)

Вариант 14:  

 а)          б)          в)

Вариант 15:   

а)              б)         в)

Вариант 16:   

а)     б)       в) 

Вариант 17:  

 а)       б)          в)  

Вариант 18:  

 а)      б)        в) 

Вариант 19:  

 а)    б)      в)  

Вариант 20:  

 а)                 б)               в)

Вариант 21:  

 а)    б)        в)  

 

Вариант 22:   

а)                    б)          в)  

 

Вариант 23:  

 а)           б)    в)  

Вариант 24:   

а)              б)          в)  

Вариант 25:  

 а)         б)      в)  

Вариант 26:  

 а)     б)                в)  

Вариант 27:  

 а)   б)    в)  

Вариант 28:   

а)               б)                  в)  

Вариант 29:  

 а)             б)             в)  

Вариант 30:  

 а)                б)             в)  

 

 

Задание 3:  Исследовать функцию и построить ее график:

Вариант 1 :     Вариант 2 :  

Вариант 3 :     Вариант 4 :  

Вариант 5 :   Вариант 6 :  

Вариант 7 :  Вариант 8 :  

Вариант 9 :           Вариант 10 :  

Вариант 11:  Вариант 12 :  

Вариант 13 :         Вариант 14:

Вариант 15:     Вариант 16

Вариант 17: Вариант 18 :  

Вариант 19 :      Вариант 20 :  

Вариант 21 :  Вариант 22 :  

Вариант 23 :         Вариант 24 :  

Вариант 25:   Вариант 26:

Вариант 27 :  Вариант 28 :  

Вариант 29 :   Вариант 30 :  

 

 

Задание 4: Найти неопределенные интегралы и вычислить определенный интеграл:

 

Вариант 1:

а)  б)    в)

Вариант 2:

 а)      б)      в)

Вариант 3:

 а)    б)    в)

Вариант 4:

а)    б)  в)

Вариант 5:

 а)                       б)   в)

 

 

Вариант 6:

а)       б)          в)

Вариант 7:

 а)    б)   в)

Вариант 8:

 а)  б)    в)

Вариант 9:

а)        б)                  в)

Вариант 10:

а)         б)              в)

Вариант 11:

а)   б)              в)

Вариант 12:

а)   б)      в)

Вариант 13:

а)  б)       в)

Вариант 14:

а)     б)      в)

Вариант 15:

а)  б)       в)

 

 

Вариант 16:

а)                   б)      в)

Вариант 17:

а)            б)               в)

Вариант 18:

 а)          б)      в)

Вариант 19:

 а)      б)     в)

Вариант 20:

 а) б) в)

Вариант 21:

а)      б)            в)

Вариант 22:

 а)    б)  в)

Вариант 23:

а)          б)     в)

Вариант 24:

а)    б)    в)

Вариант 25:

 а)        б)     в)

 

 

Вариант 26:

 а)    б)            в)

Вариант 27:

 а)           б)     в)

Вариант 28:

а)    б)    в)

Вариант 29:

а)         б)     в)

Вариант 30:

а)   б)     в)

 

 

Задание 5: Решить дифференциальные уравнения:

 

Вариант 1:            а)  

б)          в)

Вариант 2 :            а) 

б)          в) 

Вариант 3:             а) 

б)                        в) 

Вариант 4:             а) 

б)               в) 

Вариант 5:             а) 

б)                            в) 

Вариант 6:             а) 

б)           в) 

Вариант 7:                а) 

б)                   в) 

Вариант 8:                а) 

б)                            в) 

Вариант 9:                а) 

б)             в) 

Вариант 10:               а) 

б)                           в) 

Вариант 11:                а) 

б)                        в) 

Вариант 12:                а) 

б)                              в) 

Вариант 13:                а) 

б)                              в) 

Вариант 14:                а) 

б)             в) 

Вариант 15:                а) 

           б)      в) 

Вариант 16:                а) 

б)                              в) 

Вариант 17:             а)  

б)          в)

Вариант 18 :            а) 

б)           в) 

Вариант 19:             а) 

б)                      в) 

Вариант 20:             а) 

б)             в) 

Вариант 21:             а) 

б)                      в) 

Вариант 22:             а) 

б)                     в)

Вариант 23:             а) 

б)                      в) 

Вариант 24:             а) 

б)             в) 

Вариант 25:             а) 

б)              в) 

Вариант 26:             а) 

б)                        в) 

Вариант 27:             а) 

б)                         в) 

Вариант 28:              а) 

б)                      в) 

Вариант 29:              а) 

б)                           в) 

Вариант 30:              а) 

б)                  в) 

 

 

Задание 6: Найти область сходимости степенного ряда:

 

Вариант  1:                       Вариант  2:          

Вариант  3:                     Вариант  4:        

Вариант  5:             Вариант  6:       

Вариант  7:        Вариант  8:      

Вариант  9:                    Вариант  10  

Вариант  11:                  Вариант  12:  

Вариант  13:            Вариант  14 

Вариант  15:              Вариант  16:          

Вариант  17:                    Вариант  18:           

Вариант  19:                  Вариант  20:         

Вариант   21:                 Вариант   22:        

Вариант   23:                   Вариант   24:      

Вариант   25:           Вариант   26:   

Вариант   27:              Вариант   28:        

Вариант   29:          Вариант   30:        

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение        

Общие рекомендации по работе над курсом математики     

Литература           

Введение в математический анализ          

Теория пределов                          

Дифференциальное исчисление                       

Исследование функций с помощью производной                 

Интегральное исчисление                     

Дифференциальные уравнения                    

Числовые и функциональные ряды                    

Методические указания к выполнению контрольной работы     

Задания контрольной работы                       

 

3

3

6

7

10

13

17

21

27

34

40

40

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

56,1,54,3,52,5,50,7,48,9,46,11,44,13,42,15,40,17,38,19,36,21,34,23,32,25,30,27

 

 

2,55,4,53,6,51,8,49,10,47,12,45,14,43,16,41,18,39,20,37,22,35,24,33,26,31,28,29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методическое пособие по математике (2 курс)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Консультант по трудоустройству

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Фитнес-тренер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 866 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 31.10.2015 669
    • ZIP 731.8 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Тупиков Юрий Николаевич. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Тупиков Юрий Николаевич
    Тупиков Юрий Николаевич
    • На сайте: 8 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 5358
    • Всего материалов: 5

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Менеджер по туризму

Менеджер по туризму

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 154 человека из 51 региона

Курс повышения квалификации

Ментальная арифметика: отрицательные числа, дроби, возведение в квадрат, извлечение квадратного корня

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 112 человек из 42 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 85 человек из 36 регионов

Мини-курс

Технологии и анализ в медиакоммуникациях

7 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Методика образовательных игр с детьми раннего возраста

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 22 человека из 13 регионов

Мини-курс

Современные информационные технологии и информационная безопасность

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе