Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по математике на тему "Первообразная и определенный интеграл"

Методическое пособие по математике на тему "Первообразная и определенный интеграл"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым

«Симферопольский торгово-экономический колледж»


УТВЕРЖДАЮ:

Зам. директора по УР

_________О.Н. Сухановская

«____» _______ 20__ г.











МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

по выполнению самостоятельной работы в форме рабочей тетради студентами дневной формы обучения по диСциплине

«МАТЕМАТИКА»


по специальностям среднего профессионального образования базовой подготовки


38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

38.02.06 Финансы





На тему: «Первообразная. Определенный интеграл»










Симферополь 2015.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ В ФОРМЕ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ СТУДЕНТАМИ ДНЕВНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»


Методические рекомендации разработаны на основе требований ФГОС среднего общего образования, предъявляемых к структуре, содержанию и результатам освоения учебной дисциплины «Математика», в соответствии с Рекомендациями по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования (письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Минобрнауки России от 17.03.2015 № 06-259).


Организация-разработчик: Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение Республики Крым «Симферопольский торгово-экономический колледж»


Разработчик:

Казимова З. А. – преподаватель



Методические рекомендации учебной дисциплины «Математика» рассмотрены на заседании цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин

ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж»,

протокол № ___ от «___» _______2015 г.


Председатель цикловой комиссии общеобразовательных дисциплин

_________ Л.Н. Юзвак

«___» _______2015 г.


Утверждена методическим советом ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж», протокол № ___ от «___» _______ 2015 г.


Председатель __________________ О.Н. Сухановская





Содержание








1 ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Настоящие методические рекомендации разработаны с целью организации выполнения студентами требований самостоятельной работы.

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен уметь:

  • У-7 находить производные элементарных функций;

  • У-8 использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

  • У-9 применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;

  • У-10 вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

В результате освоения учебной дисциплины обучающийся должен знать:

  • З-1 значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

  • З-2 значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки;

  • З-3 историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики.

  • З-4 универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;

  • З-5 вероятностный характер различных процессов окружающего мира.


1.2. Цели:

  1. В предметном направлении.

Овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования. Формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов. Совершенствование интеллектуальных и речевых умений путем обогащения математического языка, развития логического мышления. Знакомство с основными идеями и методами математического анализа.

  1. В метапредметном направлении.

Воспитание культуры личности, отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, формирование понимания значимости геометрии для научно-технического прогресса.

  1. В направлении личностного развития.

Формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, пространственных представлений, элементов алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей.


1.3. Задачи:

  1. В предметном направлении.

- Рассмотреть задачи, приводящие к понятию первообразной.

- Ввести определение первообразной и определенного интеграла.

- Рассмотреть первообразные элементарных функций.

  1. В метапредметном направлении.

Сформировать представления обучающихся о понятии первообразной функции как о неотъемлемой части окружающего нас мира, об использовании приобретённых знаний и умений в практической деятельности. Показать учащимся способы описания практической жизненной задачи на математическом языке, интерпретировать результаты решения задач с учетом ограничений, связанных с реальными свойствами рассматриваемых процессов и явлений. Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур.

  1. В направлении личностного развития.

Воспитывать у обучающихся интерес к математике. Формировать умение слушать и вступать в диалог, понимать партнера, уметь договариваться; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и учителем; правильно выражать свои мысли в речи; смыслообразование; самоопределение; установление связи между целью учебной деятельности и определением того, «какое значение, смысл имеет данная тема для меня»; участие в коллективном обсуждении проблем; планировать и согласованно выполнять совместную деятельность, формировать адекватную самооценку.




2  пояснительная записка


Учебная дисциплина «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» (далее — «Математика») предназначена для изучения математики в профессиональных образовательных организациях СПО, реализующих образовательную программу среднего общего образования в пределах освоения основной профессиональной образовательной программы СПО (ОПОП СПО) на базе основного общего образования при подготовке квалифицированных рабочих, служащих и специалистов среднего звена.

Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырех направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно-прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями) и воспитательное воздействие.

В образовательных учреждениях технического профиля выбор целей смещается в практическом направлении, предусматривающем усиление и расширение прикладного характера изучения математики; преимущественной ориентации на алгоритмический стиль познавательной деятельности.

Изучение математики как профильного учебного предмета обеспечивается:

  • выбором различных подходов к введению основных понятий;

  • формированием системы учебных заданий, обеспечивающих эффективное осуществление выбранных целевых установок;

  • обогащением спектра стилей учебной деятельности за счет согласования с ведущими деятельностными характеристиками выбранной профессии.

Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:

  • общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;

  • умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;

  • практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.

В конце семнадцатого века великий английский ученый Исаак Ньютон открыл общий способ описания связи между путем и скоростью движения. Основными математическими понятиями, выражающими эту связь, являются производная и скорость. Честь открытия основных законов математического анализа также принадлежит великому немецкому математику Готфриду Лейбницу. Тема «Производная» относится к разделу «Начала математического анализа» и в него входят следующие темы: производная, понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл, уравнение касательной к графику функции, производные суммы, разности, произведения, частного, производные основных элементарных функций, применение производной к исследованию функций и построению графиков. Обучающиеся должны уметь:

  • находить производные элементарных функций;

  • использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;

  • применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения.

вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;


Методические рекомендации предусматривают формирование у обучающихся общих умений и навыков, развитию ключевых компетенций, приоритетными из которых являются:

  • готовность к разрешению проблемы – способность анализировать конкретную ситуацию, оценивать результаты своей деятельности;

  • технологическая - готовность к пониманию инструкции и алгоритма деятельности;

  • информационная – способность использовать компьютерные технологии для обработки и передачи информации;

  • коммуникативные – совместная деятельность при решении задач с учетом индивидуальных черт партнеров.

Данная методическая разработка составлена для повторения и систематизации знаний и умений по теме «Первообразная функции. Определенный интеграл».




3. СОДЕРЖАНИЕ РАБОЧЕЙ ТЕТРАДИ


  1. Первообразная. Таблица первообразных.

  2. Правила нахождения первообразных.

  3. Упражнения на закрепление изученных понятий

  4. Геометрический смысл определенного интеграла.

  5. Формула Ньютона-Лейбница. Площадь криволинейной трапеции.

  6. Проверочная работа

  7. Задачи на нахождение площади криволинейной трапеции.

  8. Проверочная работа

  9. Основные свойства определенного интеграла

  10. Проверочная работа

  11. Задания для самостоятельной работы.










































hello_html_m4bff6da9.jpg

Таблица первообразных


hello_html_305b286d.png

hello_html_a377d9d.png

hello_html_m429706c5.png


hello_html_m3ad652f7.gif






hello_html_6cca5c54.gif




Правила нахождения первообразных




1. a′=0. Производная от числа равна нулю.

7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0




4′ =_____;

(-15)′ =______;

(7,81)′ = ______;

(√2)′=_______

(5/7)′ =______.









hello_html_m3ad652f7.gif

hello_html_m3ad652f7.gif


1) ;

2)


3) ;


4)


5)


6) ;


7)


8) 6+C;


9) C.



hello_html_6cca5c54.gifЗадание 1: Вычислить неопределенный интеграл (найти первообразную)


1) __________ 3) = _________

2) __________ 4)

5) = __________ 6) = _________






hello_html_m3ad652f7.gif






Задание: Вычислить неопределенные интегралы:


1) ;


2) ;


3)




hello_html_6cca5c54.gifЗадание 2: Вычислить неопределенные интегралы, используя правила нахождения первообразных.



1) = _________________________________________________


2) ________________________________________________


3)__________________________________________________


4) __________________________________________________


5) _________________________________________________


6) _________________________________________________

hello_html_6cca5c54.gifЗадание 3: Вычислить неопределенные интегралы, используя правила нахождения первообразных.


1)


_______________________________________________________________________


_______________________________________________________________________


2)


_______________________________________________________________________


_______________________________________________________________________


3)


_______________________________________________________________________


______________________________________________________________________

4)


_______________________________________________________________________


_______________________________________________________________________


5)


_______________________________________________________________________


_______________________________________________________________________


6)



______________________________________________________________________


Установи соответствие hello_html_411abf84.png


















hello_html_m3ad652f7.gif









Геометрический смысл определенного интеграла


















hello_html_2d18cb04.gif

hello_html_m3ad652f7.gif

Формула Ньютона-Лейбница
























hello_html_m3ad652f7.gif






Задание: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница


1)

Решение



1)


2)


Решение


2)


3)


Решение



3)



hello_html_4ad89034.jpg

hello_html_m2b7c2d24.pngПроверочная работа:


Вычислить определенные интегралы:


1)


______________________________________________________________________



2)


______________________________________________________________________



3) =


______________________________________________________________________



4)


______________________________________________________________________



5)


______________________________________________________________________



6)


______________________________________________________________________



7)


______________________________________________________________________



8)


______________________________________________________________________





hello_html_60c718f2.jpg







hello_html_m35fc3648.jpg


hello_html_m3ad652f7.gif


Задачи на нахождение площади криволинейной

трапеции:







Задание: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:


 

Решение


hello_html_7c10990a.jpg


Строим графики данных линий.  (рис. 1).
1) y=4x-x² — парабола (вида y=ax²+bx+c).

Запишем данное уравнение в общем виде: y=-x²+4x. Ветви этой параболы направлены вниз, так как первый коэффициент а=-1<0.

Вершина параболы находится в точке O′(m; n), где

hello_html_3037ff1a.jpg

О′(2; 4). Нули функции (точки пересечения графика с осью Ох) найдем из уравнения: 4х-х²=0.

Выносим х за скобки, получаем:  х(4-х)=0. Отсюда, х=0 или х=4.  Абсциссы точек найдены, ордината равна нулю — искомые точки: (0; 0) и (4; 0).

2) y=0 — это ось Ох;

3) х=0 — это ось Оy;

4) х=4 — прямая, параллельная оси Оy и отстоящая от нее на 4 единичных отрезка вправо.

Площадь построенной криволинейной трапеции находим по ф. Н-Л. У нас 

f (x)=4x-x²,a=0, b=4.


hello_html_m178b522d.jpg


hello_html_m3ad652f7.gif











Задание: Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:


hello_html_m77ecc307.jpg

Решение. 

Строим графики данных линий. (рис. 2).

hello_html_m4a73e70a.jpg

Площадь данной криволинейной трапеции:


hello_html_1419cde9.jpg


hello_html_m3ad652f7.gif







 Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_5ba834db.gif hello_html_m5c2740bb.gif , hello_html_6cd42bb9.gif

Решение:



hello_html_mf091a3d.png

Вычислим абсциссы точек пересечения графиков этих функции

hello_html_5a82133d.gifhello_html_m7b6a65bb.gifhello_html_m53623b3c.gif,hello_html_1a550f85.gif.

hello_html_194e3914.gif

hello_html_m196525fe.gif hello_html_43968177.gif , hello_html_m312c6ca1.gif ,

hello_html_m5d4a90d5.gif hello_html_m4ef2e25d.gif

hello_html_25439783.gif..

hello_html_7bd952bf.gif (кв.ед).

Ответ:hello_html_23dbf7f9.gif(кв.ед).

hello_html_m3ad652f7.gif









Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

hello_html_2e15642f.gif и касательными к этому графику, проходящими через начало координат.

Решение.

Уравнение касательной к графику hello_html_2e15642f.gif проходящей через его точку hello_html_m1b858bf8.gif Так как hello_html_161c7e81.gifто уравнение касательной имеет вид hello_html_5248eb7b.gif илиhello_html_464c24a4.gif

По условию, начало координат принадлежит касательной, поэтому hello_html_1fc4aca8.gifоткуда hello_html_43edeed.gif.

Значение hello_html_meba3303.gif соответствует касательной hello_html_m431b099d.gif точка касания hello_html_ma9ece15.gif . Значение hello_html_m6f12c33a.gif соответствует касательной hello_html_3788a53d.gif

точка касания hello_html_1a851ba4.gif. Площадь искомой фигуры равна сумме площадей криволинейных треугольников hello_html_d59b679.gif

hello_html_m26ab389e.png

hello_html_m4a589313.gif

hello_html_14a8975a.gif

Искомая площадь равна hello_html_m78e511ea.gif hello_html_m68cabe10.gif

hello_html_m3ad652f7.gif









Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции

hello_html_m1c1d7cc7.gif , осью hello_html_262bc456.gif и прямыми hello_html_mebbbd04.gif

hello_html_63cd6aa9.png



Решение.

Данная функция состоит из двух криволинейных трапеций, расположенных в разных полуплоскостях относительно оси hello_html_m399a59cd.gif.

Таким образом hello_html_c5104cd.gif

hello_html_331c7d7c.gif

hello_html_67e9d898.gif















hello_html_3725f323.jpg

Проверочная работа: hello_html_23fcaf2.png

Задание 4: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:


Решение

























hello_html_1ea386f2.pngЗадание 5: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



Решение






























hello_html_m2b7c2d24.pngЗадание 6: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:



Решение
































hello_html_m3ad652f7.gif









Задание: Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми  и 


Решение.

Сначала определим точки пересечения двух кривых (рис. 3).


=0


Таким образом, данные кривые пересекаются в точках (0,0) и (1,1). Следовательно, площадь фигуры равна



hello_html_11af7e47.jpg








hello_html_m51862e7.png


Задание 7: Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми  и 


Решение.































hello_html_m51862e7.pngЗадание 8: Найти площадь фигуры, ограниченной осью ОХ и параболой  hello_html_m5317a222.gif


































hello_html_m3ad652f7.gif






























Задание: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница и применяя свойства:


1)


Решение






2)



Решение



3)


Решение




4)


Решение







hello_html_fd6b63e.jpg

Проверочная работа: hello_html_m51862e7.png

Задание 9: Вычислить определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница и применяя свойства:


1)







2)







3)







4)







5)







6)








7)









hello_html_m5a4cd33b.jpg


Сделай сам!



Вычислите:

1.hello_html_m39ca847b.gif (отв. 8)

2. hello_html_m74175fc5.gif ( отв. hello_html_10f187d5.gif )

3. hello_html_ma672399.gif ( отв. hello_html_m1459f269.gif)

4. hello_html_m20b77466.gif ( отв.hello_html_2f381ff3.gif)

5. hello_html_4bd17657.gif (hello_html_46840ede.gif

6. hello_html_m40058a5a.gif (отв.hello_html_5fa09272.gif

7. hello_html_m9eb99e9.gif (отв. 0)

8. hello_html_m1adc39ab.gif (hello_html_46beb33e.gif

9. hello_html_m1aec00d2.gif ( отhello_html_795d4032.gif)

10. hello_html_m4b1286ae.gif (отв.9hello_html_16f3064b.gif)





Вычислите площади фигур, ограниченной линиями



  1. hello_html_m7ac63cd2.gif

  2. hello_html_317b1d50.gif

  1. hello_html_m25b19152.gif

4. hello_html_cd89ba2.gif

5. hello_html_6acb8fad.gif

6. hello_html_411d6869.gif

7. hello_html_79dcc8a.gif

8. hello_html_m366c839b.gif

9. hello_html_20a32e.gif .

Критерий оценки: «3» - выполнить 10заданий

«4» - выполнить 13 задания

«5» - выполнить более 19 заданий



Место для выполнения:
















hello_html_m1f6cd60e.jpg

4. Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы

Основные источники:

  1. Алгебра и начала мат. анализа. 10кл. Учебник. Никольский С.М. и др 9-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 430 с.

  2. Алгебра и начала мат. анализа. 11кл. Учебник. Никольский С.М. и др 9-е изд. - М.: Просвещение, 2014. - 430 с.

  3. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала математического анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

  4. Богомолов Н.В. Математика: учебник для ссузов / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – 7-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010.

  5. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учебное пособие для ссузов / Н. В. Богомолов.- 5-е изд., стереотип. – М. : Дрофа, 2009.

  6. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учебное пособие для средних профессиональных учебных заведений / Н.В. Богомолов. – 10-е изд. – М.: Высшая школа, 2008.

Дополнительные источники:

  1. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 10 класс / А.Н. Рурукин. – М.: ВАКО, 2011.

  2. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре и началам анализа: 11 класс / А.Н. Рурукин, Е.В. Бровкова, Г.В. Лупенко и др. – М.: ВАКО, 2011.

  3. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.

  4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч. 2: Задачник для общеобразовательных учреждений. – 6-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.

Интернет-ресурсы:

  1. www.fcior.edu.ru (Информационные, тренировочные и контрольные материалы).

  2. Коллекция видеоуроков по предметам [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://interneturok.ru/

  3. Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru/


43


Автор
Дата добавления 29.06.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров159
Номер материала ДБ-135165
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх