Отметим точки , . На координатной плоскости. Они намечают линию – это график функции
Рассмотрим по графику свойства функции .
-
Не является четной, ни нечетной.
Возрастает на промежутке
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
.
Такими же свойствами обладает любая функция вида , где .
Рассмотрим теперь функцию Составим для нее таблицу.
Отметим точки , , , на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, проведем ее - это график функции
.
Рассмотрим по графику свойства функции
-
Не является четной, ни нечетной.
Убывает на промежутке
Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на всей числовой прямой.
.
Такими же свойствами обладает любая функция вида , где
Подведя итоги, выведем свойства показательной функции:
.
.
Возрастает
Убывает
Непрерывна
Непрерывна
Кривую, изображающую график называют экспонентой. Экспонентой также называют и саму показательную функцию.
Решение упражнений.
Построить графики функций:
Построить график функции:
Построить график функции
Сравните графики функций
Постройте функцию, обратную . (Указание: Графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).
Рассмотрим свойства степеней:
-
-
-
-
-
-
-
Задание для самостоятельного выполнения:
1. Построить график функций:
1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5. Постройте график, симметричный
Решить упражнения:
2. Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:
2.1. х=3; 2.2.
Решение:
2.1. = =; 2.3.
2.4.
Определить какое из чисел или больше, если:
;
;
Решение:
3.1. Подставим значения и в показатели степеней и сравним выражения:
Сравним дроби и . Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: и .
Так как , то и
3.2. Подставим значения и в показатели степеней и сравним выражения:
Сравним дроби и . Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: и .
Так как , то
4.Найдите значение выражения:
4.1.
4.2.
4.3. :
4.4.
4.5.
4.6.
Решение:
4.1. (Указание: используем свойство )
4.2. ;
4.3. : ;
4.4. ;
4.5. ;
4.6. ;
5. Найти значения х, при которых функция
Принимает заданное значение:
Решение:
5.1. Запишем число в виде степени с основанием .
отсюда следует, что х=2.
125. Представим 125 в виде: . Выражение примет вид: , следовательно .
. Представим в виде =. Выражение примет вид: , следовательно .
. Запишем в виде
=. Выражение примет вид:
. Следовательно .
Решить самостоятельно:
Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:
х=4; 6.2.
Определить какое из чисел или больше, если:
;
;
8. Найдите значение выражения:
8.1. : ;
8.2. ;
8.3. ;
8.4. ;
8.5. ;
9. Найти значения х, при которых функция
Принимает заданное значение:
9.1. . .
Раздел 2. Решение показательных уравнений
Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени
Метод уравнивания показателей
Показательное уравнение равносильно уравнению , где положительное число, отличное от нуля.
Пример 1
Решить уравнение:
Решение: Представим 64 как и перепишем заданное уравнение в виде: . Это уравнение равносильно уравнению: .
Ответ: х=5
Пример 2
Решить уравнение:
;
Решение: Преобразуем как и перепишем заданное уравнение в виде:
. Это уравнение равносильно уравнению:
откуда находим .
Ответ: х = 2
Пример 3
Решить уравнение:
;
Преобразуем левую часть уравнения:
Преобразуем правую часть уравнения:
Таким образом, мы данное уравнение преобразовали к виду:
.
Далее получаем: . Ответ: х=5
Пример 4
Решить уравнение
Решение. Заметим, что
Тогда данное уравнение равносильно каждому из уравнений
откуда x = 2.
Пример 5
Решить уравнение
5. ; Данное уравнение мы не можем привести к одному основанию. Используем метод логарифмирования.
Логарифмируем данное уравнение по основанию 2.
;
Использую свойство логарифма, данное уравнение перепишем в виде:
, учитывая, что , найдем значение х:
Решить самостоятельно:
10.1.
10.2.
10.3.
10.4. ;
10.5. ;
10.6. ;
10.7. ;
10.8. ;
10.9. ;
10.10. .
Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)
Пример 1
Решить уравнение: .
Решение: Заметив, что
Перепишем заданное уравнение в виде:
Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:
Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:
Решим первое уравнение:
Рассмотрим второе уравнение.
Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.
Ответ: 2
Пример 2
Решить уравнение . Перепишем уравнение в виде:
Решение: Полагая получим уравнение
Или
откуда находим t1 = –2, t2 = 9. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
Первое из них не имеет корней (так как показательная функция всегда положительна), второе имеет единственный корень х = 2.
Ответ: х=2
Решить самостоятельно:
.2.
,
11.5.
11.6.
+.
Метод выноса за скобки общего множителя в левой части уравнения
Пример 1
Решить уравнение:
В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:
Ответ: х = 2
Пример 2
Решить уравнение:
Перепишем уравнение в виде:
В левой части уравнения вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. , в правой части уравнения вынесем за скобки степень с .
После преобразования получим:
Ответ: х=1.
Решить самостоятельно:
12.1. ;
=270;
-
-
-
4.Метод деления. Первый тип уравнений
Разделим обе части уравнения на выражение не равное нулю:
х=0
Решить самостоятельно:
13.1.
13.2.
13.3.
13.4.
13.5.
Метод деления. Второй тип уравнений
Пример 1
Решить уравнение:
Решение:
Запишем уравнение в виде:
Разделим обе части полученного уравнения на
Выполним замену:
Тогда:
Перепишем уравнение в виде:
Решим квадратное уравнение относительно t.
Ответ: х = 0
Пример 2
Решить уравнение
Решение: Запишем уравнение в виде:
Разделим обе части полученного уравнения на
Выполним замену:
Тогда:
Перепишем уравнение в виде:
Решим квадратное уравнение относительно t.
Решим второе уравнение:
Ответ: х = 0, х=1
Решить самостоятельно:
14.1.
14.2.
14.3.
14.4.
14.5.
14.6. ;
14.7. ;
14.8. ;
14.9. ;
14.10. .
5.Функционально-графический метод
Метод основан на использовании графических иллюстраций.
Пример 1. Решить графически уравнение:
Решение: Строим графики функций .
Графики функций пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1. То есть решением данного уравнения является
Решить самостоятельно:
15.1 ;
15.2. ;
15.3. ;
15.4.
Раздел 3. Показательные неравенства
Показательными неравенствами называются неравенства вида: , где – положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.
Теорема. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того смысла: .
Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .
Пример 1.
Решить неравенство:
Решение:
Неравенство преобразуем: . Это неравенство равносильно неравенству того же смысла
Ответ: х
Пример 2.
Решить неравенство:
Решение:
Воспользуемся тем, что , перепишем заданное неравенство в виде:
Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла .
Ответ:
Пример 3
Решить неравенство:
Так как , то заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла
Найдем корни квадратного трехчлена
.
Значит, неравенство имеет смысл при
Ответ:
Пример 4
Решить неравенство
Решение: так как то это неравенство равносильно неравенству того же смысла Отсюда следует
Знак неравенства поменяется на противоположный.
Ответ:
Пример 5
Решить неравенство
Решение.
Воспользуемся тем, что
И запишем неравенство в виде: .
Так как то неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:
Отсюда следует, .
Ответ:
Решить самостоятельно:
16.1. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?
16.2. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?
Решить неравенство:
16.3.
16.4. ;
16.5.
16.6.
16.7.
16.8.
16.9.
16.10.
16.11.
16.12.
16.13.
16.14.
16.15.
16.16.
16.17.
16.18.
16.19.
16.20.
16.21.
16.22. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:
Сколько целочисленных решений имеет неравенство:
Пример 7
Решить неравенство
Решение:
Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .
Получим:
Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла
Ответ:
Решить самостоятельно:
17.1.
17.2.
17.3.
17.4.
17.5.
17.6.
Пример 8
Решить неравенство
Решение.
Заменим :
Получим неравенство: Трехчлен разложим на множители: .
.
Ответ:
Пример 9
Решить неравенство:
Решение: Получим неравенство:
Преобразуем неравенство:
Трехчлен разложим на множители
, следовательно, . так как
Решить самостоятельно:
18.1.
18.2.
18.3.
18.4.
18.5.
18.6.
18.7.
Раздел 4. Системы показательных уравнений
Примеры с решениями.
Пример 1
Решить систему.
Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим . Тогда или откуда
Следовательно, .
Ответ:
Пример 2
Решить систему:
Решение:
Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:
()
(
Преобразуем второе уравнение к более простому виду. Введем новую переменную . Тогда второе уравнение системы примет вид:
, откуда . Из уравнения находим:
; уравнение не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду:
Решим полученную систему уравнений:
Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
;
Из уравнения находим:
Ответ:(
Решить самостоятельно:
-
19.4.
19.2.
19.5.
19.3.
19.6.
Ответы к решению примеров:
6.1. 81; 6.2. ; 6.3. ; 6.4.
7.1. ; 7.2. ;
8.1. ; 8.2. ; 8.3. 27; 8.4. ; 8.5. .
9.1. -4; 9.2. ; 9.3. ; 9.4.
10.1. 2; 10.2. 0; 10.3. 3; 10.4. ; 10.5. ;
10.6. 3; 10.7. 3; 1; -2; 10.8. 1; 10.9. ; 10.10. -8.
11.1. 1; 11.2. -1; 11.3. 1; -1; 11.4. 1; 11.5. 1;
11.6. 3; 11.7. -3; 11.8. 1; 11.9. 1; -1. 11.10. -2.
12.1. 2; 12.2. 4; 12.3. 8; 12.4. 3; 12.5. 2;-2;
12.6. 9; 12.7. 0; 12.8. 1,5; 12.9. 1,5; 12.10. 1,5;
12.11. 2; 12.12.
13.1. 0; 13.2. 0; 13.3. 0; 13.4. 0; 13.5. 0;
14.1. Указание: . Уравнение запишем в виде:
Разделить данное уравнение на .
Полученное уравнение решить методом замены. Ответ: 2.
14.2. Смотри указания к 14.1. Ответ: 2;1.
14.3. 1; 14.4. -1; 14.5. -1; 14.6. 1; 14.7. 1;
14.8. 1;3; 14.9. 2; 14.10. 1;
16.1. При 16.2. При 16.3.
16.4. ; 16.5. ; 16.6.
16.7. ; 16.8. х ; 16.9. ;
16.10. 16.11. 16.12. ;
16.13. ; 16.14. 16.15. . ;
16.16. ; 16.17. ; 16.18.
16.19. 16.20.
16.21. ; 16.22. 16.23.
17.1. ; 17.2. ; 17.3. ;
17.4. ; 17.5. 17.6.
18.1. 18.2. ;D
18.3. 18.4. ;
18.5. 18.6. ;
18.7.
19.1. (3;2)
19.2.
Комментарии к решению системы: .
Преобразуем систему к виду: . Введем новые переменные: и систему запишем в следующем виде:
. Со второго уравнения находим и подставляем в первое уравнение. После преобразований получаем квадратное уравнение:
; D= 196;- не удовлетворяет условию. Находим . Так как отсюда следует, что
; Так как отсюда следует, что ;
Ответ: (0; ).
19.3. (1;3) 19.4. (2;1)
19.5. (2,2; 0,4) 19.6. (
Литература:
Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.
Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.
Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.
Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.