Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по математике на тему "Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем уравнений."
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по математике на тему "Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем уравнений."

библиотека
материалов









МАТЕМАТИКА. Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем.- Зерноградский техникум агротехнологий. - 2016.







Составитель:

Ксенз В.А., преподаватель математики





Учебно-методическое пособие предназначено для преподавателей и студентов. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем.















Рассмотрена на заседании методического объединения

естественнонаучного цикла


Протокол №4 от 24.02.2016










Оглавление


































Введение

Методическое пособие по теме: "Показательная функция. Решение показательных уравнений, неравенств и систем" предназначено для преподавателей и студентов. Данное методическое пособие поможет студентам в освоении темы. В пособии приводятся основные определения и свойства показательной функций, а также примеры решения уравнений, неравенств и систем. Конечно, методическое пособие не может заменить учебник, поэтому перед выполнением задания нужно прочитать соответствующие разделы учебника. Краткость изложения теории в данном пособии компенсируется разбором большого числа примеров различной степени трудности.

Работая с данным пособием, студенты будут четко знать основные способы решения уравнений и неравенств, систем, уметь быстро определить метод решения данного уравнения и неравенства, а в случаях, если способов решения несколько, найти альтернативный вариант.

Данное методическое пособие могут использовать в своей работе и преподаватели с целью:

  • систематизации, закрепления и углубления полученных теоретических и практических знаний, умений;

  • формирования умений применять теоретические знания;

  • развития самостоятельности и организованности студентов;

  • подготовки к итоговой государственной аттестации.

Раздел 1. Показательная функция


Определение:

Функция вида , где называется показательной функцией.

Построим по точкам график функции . Для этого составим таблицу значений


Отметим точки , . На координатной плоскости. Они намечают линию – это график функции




Рассмотрим по графику свойства функции .


  1. Не является четной, ни нечетной.

  2. Возрастает на промежутке

  3. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

  4. Функция непрерывна на всей числовой прямой.

  5. .

Такими же свойствами обладает любая функция вида , где .

Рассмотрим теперь функцию Составим для нее таблицу.

Отметим точки , , , на координатной плоскости. Они намечают некоторую линию, проведем ее - это график функции

.




Рассмотрим по графику свойства функции


  1. Не является четной, ни нечетной.

  2. Убывает на промежутке

  3. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

  4. Функция непрерывна на всей числовой прямой.

  5. .

Такими же свойствами обладает любая функция вида , где

Подведя итоги, выведем свойства показательной функции:


hello_html_6e35ffe.gif





.

.

Возрастает

Убывает

Непрерывна

Непрерывна

Кривую, изображающую график называют экспонентой. Экспонентой также называют и саму показательную функцию.

Решение упражнений.

  1. Построить графики функций:


hello_html_1f461d3c.gif

  1. Построить график функции:


hello_html_m21a0724d.gif


  1. Построить график функции



hello_html_5a9bc611.gif


  1. Сравните графики функций



hello_html_2df2400d.gif


  1. Постройте функцию, обратную . (Указание: Графики взаимообратных функций симметричны относительно биссектрисы первого координатного угла).



hello_html_50194355.gif


Рассмотрим свойства степеней:


Задание для самостоятельного выполнения:

1. Построить график функций:

1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5. Постройте график, симметричный

Решить упражнения:

2. Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:

2.1. х=3; 2.2.

Решение:

2.1. = =; 2.3.

2.4.


Определить какое из чисел или больше, если:


;

;

Решение:

3.1. Подставим значения и в показатели степеней и сравним выражения:


Сравним дроби и . Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: и .

Так как , то и

3.2. Подставим значения и в показатели степеней и сравним выражения:


Сравним дроби и . Приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен 15. После преобразований получаем: и .

Так как , то



4.Найдите значение выражения:

4.1.

4.2.

4.3. :

4.4.

4.5.

4.6.

Решение:

4.1. (Указание: используем свойство )

4.2. ;

4.3. : ;

4.4. ;

4.5. ;

4.6. ;

5. Найти значения х, при которых функция

Принимает заданное значение:

Решение:

5.1. Запишем число в виде степени с основанием .

отсюда следует, что х=2.

    1. 125. Представим 125 в виде: . Выражение примет вид: , следовательно .

    2. . Представим в виде =. Выражение примет вид: , следовательно .

    3. . Запишем в виде

=. Выражение примет вид:

. Следовательно .

Решить самостоятельно:

  1. Найдите значение выражения при указанных значениях переменной:

х=4; 6.2.

  1. Определить какое из чисел или больше, если:

;

;

8. Найдите значение выражения:

8.1. : ;

8.2. ;

8.3. ;

8.4. ;

8.5. ;

9. Найти значения х, при которых функция

Принимает заданное значение:

9.1. . .

Раздел 2. Решение показательных уравнений


Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени

  1. Метод уравнивания показателей

Показательное уравнение равносильно уравнению , где положительное число, отличное от нуля.

Пример 1

Решить уравнение:


Решение: Представим 64 как и перепишем заданное уравнение в виде: . Это уравнение равносильно уравнению: .

Ответ: х=5

Пример 2

Решить уравнение:

;

Решение: Преобразуем как и перепишем заданное уравнение в виде:

. Это уравнение равносильно уравнению:

откуда находим .

Ответ: х = 2

Пример 3

Решить уравнение:

;

Преобразуем левую часть уравнения:





Преобразуем правую часть уравнения:



Таким образом, мы данное уравнение преобразовали к виду:

.

Далее получаем: . Ответ: х=5

Пример 4

Решить уравнение

Решение. Заметим, что


Тогда данное уравнение равносильно каждому из уравнений




откуда x = 2.

Пример 5

Решить уравнение

5. ; Данное уравнение мы не можем привести к одному основанию. Используем метод логарифмирования.

Логарифмируем данное уравнение по основанию 2.

;

Использую свойство логарифма, данное уравнение перепишем в виде:

, учитывая, что , найдем значение х:



Решить самостоятельно:

10.1.

10.2.

10.3.

10.4. ;

10.5. ;


10.6. ;


10.7. ;


10.8. ;


10.9. ;


10.10. .


  1. Уравнения, сводящиеся к квадратным (метод замены)

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение: Заметив, что

Перепишем заданное уравнение в виде:


Вводим новую переменную: , тогда уравнение примет вид:


Решив квадратное уравнение, получим: 4, 6. Но так как , то надо решить два уравнения:


Решим первое уравнение:


Рассмотрим второе уравнение.

Второе уравнение не имеет решения, так как для любых значений х.

Ответ: 2

Пример 2

Решить уравнение . Перепишем уравнение в виде:



Решение: Полагая получим уравнение

Или


откуда находим t1 = –2, t2 = 9. Следовательно, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений

Первое из них не имеет корней (так как показательная функция всегда положительна), второе имеет единственный корень х = 2.

Ответ: х=2


Решить самостоятельно:


.2.


,

11.5.

11.6.




+.


  1. Метод выноса за скобки общего множителя в левой части уравнения

Пример 1

Решить уравнение:

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем, то есть . В результате получим:












Ответ: х = 2

Пример 2

Решить уравнение:

Перепишем уравнение в виде:


В левой части уравнения вынесем за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. , в правой части уравнения вынесем за скобки степень с .

После преобразования получим:







Ответ: х=1.


Решить самостоятельно:

12.1. ;




=270;





4.Метод деления. Первый тип уравнений


Разделим обе части уравнения на выражение не равное нулю:



х=0

Решить самостоятельно:

13.1.

13.2.

13.3.

13.4.

13.5.


Метод деления. Второй тип уравнений

Пример 1

Решить уравнение:


Решение:

Запишем уравнение в виде:





Разделим обе части полученного уравнения на




Выполним замену:

Тогда:


Перепишем уравнение в виде:


Решим квадратное уравнение относительно t.





Ответ: х = 0

Пример 2

Решить уравнение


Решение: Запишем уравнение в виде:





Разделим обе части полученного уравнения на




Выполним замену:

Тогда:


Перепишем уравнение в виде:


Решим квадратное уравнение относительно t.



Решим второе уравнение:



Ответ: х = 0, х=1


Решить самостоятельно:

14.1.

14.2.

14.3.

14.4.

14.5.

14.6. ;

14.7. ;

14.8. ;

14.9. ;

14.10. .


5.Функционально-графический метод

Метод основан на использовании графических иллюстраций.


Пример 1. Решить графически уравнение:

Решение: Строим графики функций .

Графики функций пересекаются в точке, абсцисса которой равна 1. То есть решением данного уравнения является


hello_html_11f5b892.png


Решить самостоятельно:

15.1 ;

15.2. ;

15.3. ;

15.4.

Раздел 3. Показательные неравенства


Показательными неравенствами называются неравенства вида: , где – положительное число, отличное от 1, и неравенства, сводящиеся к этому виду.

Теорема. Если , то показательное неравенство равносильно неравенству того смысла: .

Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .


Пример 1.

Решить неравенство:

Решение:

Неравенство преобразуем: . Это неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ: х

Пример 2.

Решить неравенство:

Решение:

Воспользуемся тем, что , перепишем заданное неравенство в виде:

Здесь основанием служит число . Значит, рассматриваемое неравенство равносильно неравенству противоположного смысла .

Ответ:

Пример 3

Решить неравенство:

Так как , то заданное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла

Найдем корни квадратного трехчлена

.

Значит, неравенство имеет смысл при


Ответ:

Пример 4

Решить неравенство

Решение: так как то это неравенство равносильно неравенству того же смысла Отсюда следует

Знак неравенства поменяется на противоположный.


Ответ:

Пример 5

Решить неравенство

Решение.

Воспользуемся тем, что

И запишем неравенство в виде: .

Так как то неравенство равносильно неравенству противоположного смысла:




Отсюда следует, .

Ответ:

Решить самостоятельно:

16.1. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?

16.2. При каких значениях из неравенства следует неравенство: ?

Решить неравенство:

16.3.

16.4. ;

16.5.

16.6.

16.7.

16.8.

16.9.

16.10.

16.11.

16.12.

16.13.

16.14.

16.15.

16.16.

16.17.

16.18.

16.19.

16.20.

16.21.

16.22. Найдите наибольшее целочисленное решение неравенства:


Сколько целочисленных решений имеет неравенство:


Пример 7

Решить неравенство

Решение:

Выносим за скобки степень с наименьшим показателем, т.е. .

Получим:



Так как основание , то неравенство равносильно неравенству того же смысла

Ответ:

Решить самостоятельно:

17.1.

17.2.

17.3.

17.4.

17.5.

17.6.

Пример 8

Решить неравенство

Решение.

Заменим :

Получим неравенство: Трехчлен разложим на множители: .



.

Ответ:

Пример 9

Решить неравенство:

Решение: Получим неравенство:

Преобразуем неравенство:

Трехчлен разложим на множители

, следовательно, . так как


Решить самостоятельно:

18.1.

18.2.

18.3.

18.4.

18.5.

18.6.

18.7.


Раздел 4. Системы показательных уравнений

Примеры с решениями.

Пример 1

Решить систему.


Решение: Воспользуемся способом подстановки. Выразив из первого уравнения у, получим . Тогда или откуда

Следовательно, .

Ответ:

Пример 2

Решить систему:


Решение:

  1. Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

()

(





  1. Преобразуем второе уравнение к более простому виду. Введем новую переменную . Тогда второе уравнение системы примет вид:

, откуда . Из уравнения находим:

; уравнение не имеет решений.

Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду:

  1. Решим полученную систему уравнений:


Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

;


Из уравнения находим:

Ответ:(

Решить самостоятельно:



19.4.


19.2.


19.5.


19.3.

19.6.


Ответы к решению примеров:

6.1. 81; 6.2. ; 6.3. ; 6.4.

7.1. ; 7.2. ;

8.1. ; 8.2. ; 8.3. 27; 8.4. ; 8.5. .

9.1. -4; 9.2. ; 9.3. ; 9.4.

10.1. 2; 10.2. 0; 10.3. 3; 10.4. ; 10.5. ;

10.6. 3; 10.7. 3; 1; -2; 10.8. 1; 10.9. ; 10.10. -8.

11.1. 1; 11.2. -1; 11.3. 1; -1; 11.4. 1; 11.5. 1;

11.6. 3; 11.7. -3; 11.8. 1; 11.9. 1; -1. 11.10. -2.

12.1. 2; 12.2. 4; 12.3. 8; 12.4. 3; 12.5. 2;-2;

12.6. 9; 12.7. 0; 12.8. 1,5; 12.9. 1,5; 12.10. 1,5;

12.11. 2; 12.12.

13.1. 0; 13.2. 0; 13.3. 0; 13.4. 0; 13.5. 0;

14.1. Указание: . Уравнение запишем в виде:


Разделить данное уравнение на .

Полученное уравнение решить методом замены. Ответ: 2.

14.2. Смотри указания к 14.1. Ответ: 2;1.

14.3. 1; 14.4. -1; 14.5. -1; 14.6. 1; 14.7. 1;

14.8. 1;3; 14.9. 2; 14.10. 1;

16.1. При 16.2. При 16.3.

16.4. ; 16.5. ; 16.6.

16.7. ; 16.8. х ; 16.9. ;

16.10. 16.11. 16.12. ;

16.13. ; 16.14. 16.15. . ;

16.16. ; 16.17. ; 16.18.

16.19. 16.20.

16.21. ; 16.22. 16.23.

17.1. ; 17.2. ; 17.3. ;

17.4. ; 17.5. 17.6.

18.1. 18.2. ;D

18.3. 18.4. ;

18.5. 18.6. ;

18.7.

19.1. (3;2)

19.2.

Комментарии к решению системы: .

Преобразуем систему к виду: . Введем новые переменные: и систему запишем в следующем виде:

. Со второго уравнения находим и подставляем в первое уравнение. После преобразований получаем квадратное уравнение:

; D= 196;- не удовлетворяет условию. Находим . Так как отсюда следует, что

; Так как отсюда следует, что ;

Ответ: (0; ).

19.3. (1;3) 19.4. (2;1)

19.5. (2,2; 0,4) 19.6. (









Литература:

  1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / [Ш. А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.].-15-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

  2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) /А.Г. Мордкович. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

  3. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 10-е изд. Стер. – М.: Мнемозина, 2009.

  4. Севрюков П.Ф. Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства; учебное пособие /П.Ф. Севрюков, А.Н. Смоляков. – М.: Илекса; Народное образование; Ставрополь; Сервисмаш, 2008.

  5. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. - М.: Рольф, 1997.

  6. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Уравнения и системы уравнений. - М.: Аквариум, 1997.

  7. Шабунин М.И. Математика для поступающих в вузы. Неравенства и системы неравенств.- М.: Аквариум, 1997.



































Автор
Дата добавления 24.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров343
Номер материала ДБ-051930
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх