Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по математике на тему "Система быстрого счета по Трахтенбергу"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по математике на тему "Система быстрого счета по Трахтенбергу"

библиотека
материалов

hello_html_m70339c70.gif(методическое пособие)











с.Глебовка 2013год

Систем быстрого счёта по Трахтенбергу

(методическое пособие)











Составители:

Кокина Г.Т., учитель математики ГУ «Глебовская средняя школа»

Щурищина Светлана, ученица ГУ «Глебовская средняя школа»















Яков Трахтенберг родился в Одессе, 17 июня 1888г. Трахтенберг разработал технику быстрого счета, называемую системой Трахтенберга. Профессор Трахтенберг был замечательным и многогранно одаренным человеком. Он окончил с отличием Горный Институт в Петрограде, а позже работал на Адмиралтейских верфях в Обуховском заводе. Он становится главным инженером, под его началом работает свыше 11 тысяч рабочих.

Убежденный пацифист, Трахтенберг отдавал много сил пропаганде своих взглядов и в России, и в Германии, где он жил с 1919г., а затем в Австрии, куда он бежал после прихода к власти Гитлера. Интересы его были чрезвычайно разнообразны. Так, ему принадлежит оригинальный метод преподавания иностранных языков, нашедших признание и широкое распространение в Германии.

После Великой Октябрьской Революции 1917 года Трахтенберг бежал в Германию. После прихода к власти Гитлера он выступал против фашизма.

После аншлюса для Трахтенберга наступил семилетний период пребывания в тюрьмах и лагерях. Он был арестован фашистами и заключен в концентрационный лагерь. С помощью жены ему удалось бежать в Югославию. Но гестаповцы настигли его и там, находясь в нечеловеческих условиях Трахтенберг, стремясь сохранить здоровый дух и психику, всецело ушел в замкнутый мир чисел. «Система быстрого счета» плод его размышлений за эти страшные годы.

В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в Цюрихе – единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.

Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но конечно, на всякое новое дело, на усвоение их требуется время, и известное напряжение.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшимися умственно отсталыми, превосходно быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и учению вообще.

Система Трахтенберга уже оказала свое влияние не только на школьное преподавание, но и на практику банковских расчетов, причем не только в Швейцарии.

А теперь рассмотрим некоторые виды умножения, не пользуясь таблицей умножения.

Умножение на одиннадцать.

Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:

  1. Последующая цифра множимого (число, которое умножается) записывается как самая правая цифра результата.

  2. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.

  3. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг.

По системе Трахтенберга вы пишите результат, по одной цифре справа налево, точно так, как вы это делали ранее. Рассмотрим следующую простую задачку: 633 х 11

633 х 11 =

Сначала мы должны перед данным числом написать нуль или, по крайней мере, представить себе, что там находится нуль. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру и думать, что ответ равен только 963.

Затем мы применяем идею «прибавления соседа» поочередно к каждой цифре данного числа:

hello_html_m1dfc7f91.gif

Первый шаг: последнюю цифру 3 числа записываем в качестве правой цифры.

Второй шаг: последующая цифра складывается со своим правым соседом и записывается под правым числом.

3 + 3 = 6

Третий шаг: последующая цифра складывается со своим правым соседом и записывается под правым числом.

6 + 3 = 9

Четвертый шаг: первая цифра 6 числа становится первой левой цифрой числа.

Иногда при сложении числа с его «соседом» в ответе получается число, состоящее из двух цифр, так, 5 и 8 дают 13. В этом случае мы пишем 3 и, как обычно, «переносите» 1. Однако применяя метод Трахтенберга, вам никогда не придется переносить числа, больших, чем 2. Это очень облегчает решение сложных задач.

Рассмотрим произведение 98834 на 11.

hello_html_c5c910.gif

Первый шаг: Последнюю цифру числа 4 записываем в качестве правой цифры.

Второй шаг: последующую цифру 3 складываем со своим правым соседом 4, 3 + 4 = 7, 7 пишем следующей цифрой влево.

Третий шаг: последующую цифру 8 складываем со своим правым соседом, 8 + 3 = 11, 1 пишем, 1 переносим.

Четвертый шаг: последующую цифру 8 складываем со своим правым соседом, 8 + 8 + 1 (1 - перенос) = 17, 7 пишем, 1 переносим.

Пятый шаг: последующую цифру 9 складываем со своим правым соседом, 9 + 8 + 1 (1 - перенос) = 18. 8 пишем, 1 переносим.

Шестой шаг: последующую цифру 0 складываем со своим правым соседом 0 + 9 + 1 (1 - перенос) = 10, первая цифра числа 10.

В том случае, когда в длинном числе, начинающемся с цифры 9, следующая цифра также велика, скажем 8, как в числе 98834, мы можем при последнем шаге получить 10.

























Умножение на двенадцать.

Правило умножения на 12 заключается в следующем:

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее «соседа». В отличие от умножения на 11. Теперь каждую цифру удваиваем, прежде чем прибавлять к ней «соседа»

hello_html_m184cea9c.gif

Первый шаг: последнюю цифру числа 3 х 2 = 6, 6 становиться последней цифрой числа.

Второй шаг: последующую цифру 1 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 1 х 2 + 3 = 5, 5 – последующая цифра числа.

Третий шаг: последующую цифру 4 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 4 х 2 + 1 = 9, 9 – последующая цифра числа.

Четвертый шаг: последующую цифру 0 умножаем на 2 и прибавляем «соседа» с право, 0 х 2 + 4 = 4, 4 – первая цифра произведения.

Умножим 63247 на 12.

hello_html_3d148746.gif

Первый шаг: последнюю цифру 7 числа умножим на 2, 7 х 2 = 14, 4 пишем, 1 переносим.

Второй шаг: последующую цифру 4 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавим 1 (перенос), 4 х 2 + 7 + 1 (1 - перенос) = 16, 6 пишем, 1 переносим.

Третий шаг: последующую цифру 2 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавим 1 (перенос), 2 х 2 + 4 + 1 (1 - перенос) = 9.

Четвертый шаг: последующую цифру 3 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право, 3 х 2 + 2 = 8.

Пятый шаг: последующую цифру 6 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право, 6 х 2 + 3 = 15, 5 пишем, 1 переносим.

Шестой шаг: последующую цифру 0 умножаем на 2, прибавляем «соседа» с право и прибавляем 1 (перенос), 0 х 2 + 6 + 1 (перенос) = 7, 7 первая цифра.

Умножение на шесть.

При умножении на 5, 6, 7 используется идея деления цифры «пополам». Мы берем слово «пополам» в кавычки, так как дроби, которые могут при этом встретиться, мы отбрасываем. Так, «половина» от 5 у нас 2. В действительности она равна 2,5, но дроби мы в расчет не берем. Так, «половина» от 3 равна 1, а «половина» от 1 равна 0. Разумеется, «половина» от 4 равна 2. Попробуем это проделать со следующими цифрами:

2, 6, 4, 5, 8, 7, 2, 9,4, 3, 0, 7, 6, 8, 5, 9, 3, 6,1.

Отличительная особенность нечетных цифр (1, 3, 5, 7 и 9) состоит в том, что при делении их «пополам» мы отбрасываем дроби. Четные цифры (0, 2, 4, 6 и 8) дают обычный результат.

При умножении на 6 возможны два случая: цифры четные и нечетные.

а) Рассмотрим случай, когда число состоит из четных чисел. При умножении на 6 используется идея деления цифры «пополам» и прибавления «соседа».

hello_html_m7f7b5f58.gif

Первый шаг: последнюю цифру записываем в качестве правой цифры числа, т.к. 4 четная цифра.

Второй шаг: 8 четная цифра, 8 + 4 : 2 = 10, 0 пишем, а 1 переносим.

Третий шаг: 0 четная цифра, 0 + 8 : 2 + 1 (1 - перенос) = 5, 5 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 2 четная цифра, 2 + 0 : 2 + 1 (1 - перенос) = 2, 2 следующая цифра влево.

Пятый шаг: 2 четная цифра, 2 + 2 : 2 = 3, 3 следующая цифра влево.

Шестой шаг: 6 четная цифра, 6 + 2 : 2 = 7, 7 следующая цифра влево.

Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 + 6 : 2 = 3, 3 первая цифра произведения.

б) Теперь рассмотрим случай, когда число состоит из четных и нечетных цифр.

hello_html_36699f52.gif

Первый шаг: последнюю цифру записываем в качестве правой цифры числа, так как 2 – четная цифра.

Второй шаг: 5 нечетная цифра, 5 + 5 + 2 : 2 = 11, 1 писем, 1 сносим.

Третий шаг: 0 четная цифра, 0 + 5 : 2 + 1 (1 - перенос) = 3, 3 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 3 нечетная цифра, 3 + 5 + 0 : 2 = 8, 8 следующая цифра влево.

Пятый шаг: 4 четная цифра, 4 + 3 : 2 = 5, 5 следующая цифра влево.

Шестой шаг: 4 четная цифра, 4 + 4 : 2 = 6, 6 следующая цифра влево.

Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 + 4 : 2 = 2 , 2 первая цифра произведения.

в) Рассмотрим случай, когда последняя цифра нечетная.

hello_html_7f823b24.gif

Первый шаг: последняя цифра нечетная, 7 + 5 = 12, 2 пишем, 1 сносим.

Второй шаг: 3 нечетная цифра, 7 : 2 = 3, 3 + 5 + 3 + 1 (1 - перенос) = 12, 2 пишем, 1 сносим.

Третий шаг: 4 четная цифра, 3 : 2 = 1, 4 + 1 + 1 (1 - перенос) = 6, 6 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 0 четная цифра, 0 + 4 : 2 = 2, 2 первая цифра произведения.

Приведем полное правило умножения на 6: прибавим к каждой цифре «половину» «соседа» и ещё 5 в том случае, если цифра нечетная. Является ли «сосед» четным или нечетным - никакой роли не играет. Мы смотрим только на «цифру»: если она четная, прибавляем к ней «половину» «соседа», если нечетная, то, кроме «половины» «соседа», прибавляем ещё 5.



Умножение на семь.

Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6. Удваиваем цифру и прибавляем «половину» «соседа». Если цифра нечетная, прибавляем ещё пять.

а) Рассмотрим, когда число состоит из четных цифр. Так как в этом числе нет нечетных цифр, то нам нет никакой необходимости дополнительно прибавлять 5. В этом примере мы действуем так же, как и при умножении на 6, если не считать того, что теперь мы удваиваем цифру.

hello_html_416bb731.gif

Первый шаг: 2 четная цифра, 2 х 2 = 4, 4 пишем в качестве правой цифры.

Второй шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 + 4 х 2 = 9, 9 следующая цифра влево.

Третий шаг: 2 четная цифра, 4 : 2 + 2 х 2 = 6, 6 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 + 4 х 2 = 9, 9 следующая цифра влево.

Пятый шаг: 0 четная цифра, 4 : 2 + 0 = 2, 2 первая цифра произведения.

б) Рассмотрим, когда число состоит из четных и нечетных цифр.

hello_html_352c5e02.gif

Первый шаг: 2 четная цифра, 2 х 2 = 4, 4 пишем в качестве правой цифры.

Второй шаг: 1 нечетная цифра, 2 : 2 + (1 х 2 + 5) = 8, 8 следующая цифра влево.

Третий шаг: 4 четная цифра, 1 : 2 + 4 х 2 = 8, 8 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 3 нечетная цифра, 4 : 2 + (3 х 2 + 5) = 13, 3 пишем 1 сносим.

Пятый шаг: 0 четная цифра, 3 : 2 + 1 (1 - перенос) = 2, 2 первая цифра произведения.

Вот перечень рекомендуемых мыслительных шагов:

  1. Скажите «1» вместо точки, когда переносится единица.

  2. Смотрите на следующую цифру и установите, четная ли она. Если да, то прибавьте 5 к перенесенной единице и скажите «6», или скажите «5», если точки не было.

  3. Когда мы смотрим на цифру и удваиваем её в уме, мы говорим сумму 5 и этой удвоенной цифре. Если, например, эта цифра 3, то мы говорим «5», а затем «11», так как удвоение 3, дающее 6, и прибавление 5 могут быть проделаны одним шагом.

  4. Когда мы смотрим на «соседа», например 6, мы половину от 6 прибавляем к тому, что уже имеем. Мы только что сказали, что у нас «11». Если «сосед» 6, мы затем говорим «14».

Упражнение, с которым связано решение такого рода задач, очень ценно, ибо оно развивает способность сосредоточиться, а в умении сосредоточиться практически весь секрет успеха. Эта способность не может быть достигнута сразу, но мы может облегчить себе задачу тем, что некоторые отдельные ступени последовательно пройдем следующим образом:

Во-первых, посмотрите на каждую из следующих цифр, удвойте её и громко сразу же без всяких промежуточных шагов, назовите полученное число. (Когда смотрите на 3, говорите тот час же «6», не произнося «3».)

2, 4, 1, 6, 0, 3, 5, 1, 4, 3, 8, 2, 6, 3.

7, 5, 9, 2, 1, 0, 6, 3, 5, 2, 6, 8, 7, 4.

Во-вторых, посмотрите на каждую левую цифру из каждой следующей пары чисел, произнесите вслух её удвоенное значение (так, посмотрите на 3 и скажите «6»), затем прибавьте её «соседа» (у пары 34 скажите «6», «10») это и есть быстрый путь умножения на 12.

21 34 20 11 22 02

27 15 60 71 45 09

32 38 74 52 82 41

В-третьих, в каждой следующей паре чисел смотрите на левую цифру, назовите громко её удвоенное значение и прибавьте половину «соседа» (так, посмотрите на 26 и скажите «4,7»). Это умножение на 7 при четных цифрах:

26 27 40 61 26 44

04 22 29 81 88 89

66 43 67 49 81 07

15

В-четвертых, всмотритесь в каждое из следующих чисел и скажите «5», затем «5 плюс удвоенное число» (смотря на 3, говорите «5», «11»):

7, 5, 3, 1, 9, 3, 7, 5, 1.



Проделайте эти примеры ещё раз!

0202 0222 0602

0444 0642 0846

Мы заканчиваем данный раздел рассмотрением чисел, которые содержат некоторые нечетные цифры, требующие прибавления 5:

0223 0302 0254

0274 0618 0134

Ответы: 1561, 2114, 1778.









Умножение на 5.

Вместо того чтобы прибавлять цифру, или удваивать её мы используем цифру только для того, чтобы определить её четность или нечетность.

Если цифра нечетная, берём половину «соседа» и прибавляем 5, если четная, пишем половину «соседа».

а) Число состоит из четных цифр.

hello_html_m400fb2c3.gif

Первый шаг: последняя цифра числа, 6 четная, поэтому правая цифра будет 0.

Второй шаг: 2 четная цифра, 6 : 2 = 3, 3 следующая цифра влево.

Третий шаг: 4 четная цифра, 2 : 2 = 1, 1 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 0 четная цифра, 4 : 2 = 2, 2 первая цифра произведения.

б) Рассмотрим случай, когда число состоит из нечетных цифр.

hello_html_470b8ade.gif

Первый шаг: 5 нечетная цифра, 5 первая цифра числа.

Второй шаг: 3 нечетная цифра, 5 : 2 = 2, 2 + 5 = 7, 6 следующая цифра влево.

Третий шаг: 7 нечетная цифра, 3 : 2 = 1, 1 + 5 = 6, 6 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 0 четная цифра, 7 : 2 = 3, 3 первая цифра произведения.

Все это легко выполнимо. Вычислениий тут очень мало. Сначала эти действия покажутся немного странными, поскольку приходится несколько перестроить ход своих мыслей. Так, больше используем соседа, чем цифру. Очень полезно поупражняться в умении удерживать в поле зрения определенное место числа. Позже, когда мы будем умножать одно большое число на другое, мы убедимся, что требуется известное умение сосредоточиться, что бы вспомнить, в какой стадии умножения мы находимся. Данный метод умножения на 5 является некоторым предварительным упражнением.

Попробуем по описанному методу умножить следующие числа на 5:

1) 0 4 4 4; 2) 0 4 2 8; 3) 0 4 2 4 8 8 2; 4) 0 4 3 4; 5) 0 6 4 7;

6) 0 2 5 6 4 1 3; 7) 0 1 4 2 8 5 7.

Ответы: 1) 2 2 0; 2) 2 1 4; 3) 2 1 2 4 4 1 0; 4) 2 1 7 0; 5) 3 2 3 5;

6) 1 2 8 2 0 6 5; 7) 7 1 4 2 8 5.















Умножение на девять.

При умножении на девять мысленно делаем еще один новый шаг, который требует дальнейших упражнении. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из 9 или 10. Для проверки быстроты вычисления посмотрим на каждую из цифр и тотчас же скажем полученный результат после вычета ее из 10:

7; 6; 9; 2; 8; 1; 7; 2; 3; 9; 6; 5; 3; 1; 9.

Иногда нам придется вычитать цифру не из десяти, а из девяти. Попробуем как можно быстрее проделать эту операцию со следующими цифрами:

7, 8, 2, 4, 9, 5, 1, 7, 2, 0, 3, 8, 6. 5, 1, 0.

Теперь рассмотрим правило умножения на 9:

  1. Вычитаем правую цифру большого числа из десяти. Это дает правую цифру результата.

  2. Возьмем поочередно каждую из следующих цифр самой последней, вычитаем ее из 9 и прибавляем соседа.

  3. В последнем шаге, когда будем рассматривать цифру 0, стоящую перед длинным числом, вычитаем из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.

hello_html_m2ff9514f.gif

Первый шаг:10 – 9 = 1,1 пишем первой правой цифрой.

Второй шаг: 9 – 6 + 9 = 12, 2 следующая цифра влево, 1 переносим.

Третий шаг: 9 – 7 + 6 + 1 (1- перенос) = 9, 9 следующая цифра влево.

Четвертый шаг: 9 – 8 + 7 = 8, 8 следующая цифра влево.

Пятый шаг: это последний шаг; мы рассматриваем самую левую цифру – нуль поэтому, 8 – 1 + 0 = 7, 7 первая цифра произведения.









Умножение на восемь.

При умножении на 8 мысленно делаем еще один новый шаг. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру тз 9 или 10. Предположим, мы хотим 4567 умножить на 8. В этом случае первый шаг состоит том, чтобы последнюю цифру большого числа (7) вычесть из 10. Мы начинаем с того, что смотрим на первый край числа 4 567 и говорим «3». Надо предварительно говорить: «10 минус 7, будет 3».

Мы посмотрим на 7 и говорим «3». Проверьте быстроту вашей реакции – посмотрите на каждую из следующих цифр и тотчас же скажите получаемый результат после вычета ее из 10:

7, 6, 9, 2, 8, 1, 7, 4, 2, 3, 9, 6, 5, 3, 1 9.

Иногда нам придется вычитать цифру не из 10, а из 9. Мы рассмотрим, например, на цифру 7 и тут же говорим «2».

Лучше всего это пояснит правило, которое нет необходимости выучить наизусть, ибо после некоторой тренировки оно само закрепится в вашей памяти. Правила умножения на 8 таковы:

  1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте.

  2. Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.

Левая цифра: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.

hello_html_1256bcf2.gif

Само собой разумеется, что лишь тогда владеешь методом, когда умеешь пользоваться им, не думая ни о каких «правилах». Чтобы добиться этого, необходимо выработать автоматизм в применении метода, который достигается после упражнения умножить на 8 каждое из следующих чисел:

7 3 (ответ: 584) 0 4 9 (ответ: 392)

0 6 9 0 9 8

0 7 7 7 7 0 8 5 8 6

0 6 2 8 8 0 3 6 6 9



Умножение на 4.

Большинство людей, обладающих даже самыми скромными математическими знаниями, совершенно уверены в том, что умеют умножать на 4. Но мы все – таки сейчас покажем, как это делается при помощи способа, аналогичного тем, которые мы рассматривали выше.

Полностью правила таковы:

  1. Вычислите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.

  2. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа.

  3. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.

Пример 1: Умножение на 4, когда число состоит из четных чисел.

hello_html_4fb6b795.gif

Первый шаг: 4 четная цифра, 10 – 4 = 6, 6 пишем в качестве правой цифры.

Второй шаг: 8 четная цифра, 9 – 8 = 1, 4 : 2 = 2, 1 + 2 = 3, 3 пишем следующей цифрой влево.

Третий шаг: 6 четная цифра, 9 – 6 = 3, 8 : 2 = 4, 3 + 4 = 7, 7 пишем следующей цифрой влево.

Четвертый шаг: 0 четная цифра, 9 – 2 = 7, 6 : 2 = 3, 9 + 3 = 12, 2 пишем, 1 переносим.

Пятый шаг: 2 четная цифра, 9 – 2 = 7, 0 : 2 = 0, 7 + 0 + 1 (1- перенос) = 8, 7 пишем следующей цифрой влево.

Шестой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 2 : 2 = 1, -1 + 1 = 0, 0 первая цифра произведения.

Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 3 : 2 = 1, -1 + 1 + 1 (1-перенос) = 1, пишем первой цифрой числа.

Пример 2: Число состоит из нечетных цифр

hello_html_1ab68958.gif

Первый шаг: 7 нечетная цифра, 10 – 7 + 5 = 8, 8 пишем в качестве правой цифры.

Второй шаг: 8 четная цифра, 9 – 8 = 1, 7 : 2 = 3 (0,5 - отбрасываем), 1+ 3 = 4, 4 пишем следующей цифрой.

Третий шаг: 9 – 1 + 5 = 13, 8 : 2 = 4, 13 + 4 = 17, 7 пишем, 1 переносим.

Четвертый шаг: 9 – 5 + 5 = 9, 1 : 2 = 0, 9 + 0 + 1 (1 - перенос) = 10, 0 пишем, 1 переносим.

Пятый шаг: 9 – 6 = 3, 5 : 2 = 2, 3 + 2 + 1 (1 - перенос) = 6.

Шестой шаг: 9 – 3 + 5 = 11, 6 : 2 = 3, 11 + 3 = 14, 4 пишем, 1 переносим.

Седьмой шаг: 0 четная цифра, 0 – 1 = -1, 3 : 2 = 1, -1 + 1 + 1 (1 - перенос) = 1, 1 первая цифра числа.

Умножение на три.

Умножение на три, некоторыми исключениями, похоже на умножение на 8. Вместо того чтобы прибавлять соседа, как при уножении на 8, мы теперь прибавляем только половину соседа. Само собой разумеется, если цифра не четная, то мы дополнительно прибавляем еще 5.

Правило умножения на три выглядит следующим образом:

  1. Первая цифра: вычтем ее из 10 и удвоим. Если цифра не четная то прибавим.

  2. Средние цифры: вычтем из 9 и удвоим, затем прибавим половину соседа и 5, если цифра не четная.

  3. Самая левая цифра: разделим на 2 самую левую цифру большого числа и вычтем 2.

Умножим 2588 на 3.

hello_html_m1b916110.gif

Первый шаг: (10 - 8) х 2 = 4, 4 пишем в качестве первой правой цифры числа.

Второй шаг: (9 - 8) х 2 + 8 : 2 = 4, 2 + 4 = 6, 6 пишем следующей цифрой влево.

Третий шаг: 9 – 5 = 4 х 2 = 8 + 5 = 13, 8 : 2 = 4, 13 + 4 = 17, 7 пишем, 1 переносим.

Четвертый шаг: 9 – 2 = 7 х 2 = 14, 5 : 2 = 2, 14 + 2 + 1 (1 - перенос) = 17, 7 пишем, 1 переносим.

Пятый шаг: 0 – 1 = -2, 2 : 2 = 1, -2 + 1 + 1 (перенос) = 0.





Сводка правил.

Умножение на

Характер действия

11

Прибавьте «соседа».

12

Удвойте цифру и прибавьте «соседа».

6

Прибавьте 5 к цифре, если она нечетная, ничего не прибавляйте, если она четная. Прибавьте половину «соседа» (дроби отбрасываются).

7

Удвойте цифру, прибавьте 5, если она нечетная, и половину «соседа».

5

Используйте половину «соседа» плюс 5, если цифра нечетная.

9

Первый шаг: вычтите 10.

Средние шаги: вычтите из 9 и прибавьте «соседа».

Последний шаг: уменьшите самую левую цифру множимого на 1.

8

Первый шаг: вычтите из 10 и удвойте.

Средние шаги: вычтите из 9 удвойте и прибавьте «соседа».

4

Первый шаг: вычтите из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.

Средние шаги: вычтите из 9, прибавьте половину «соседа» и 5, если цифра нечетная.

Последний шаг: возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите ее на 1.

3

Первый шаг: вычтите из 10, удвойте и прибавьте 5, если цифра нечетная.

Средние шаги: вычтите из 9, удвойте, прибавьте 5.

Последний шаг: возьмите половину самой левой цифры множимого и уменьшите ее на 2.

Быстрое умножение прямым методом.

Мы уже подготовлены к тому, чтобы сделать очередной шаг в изучении метода, направленный к сокращению процесса умножения. Мы будем учиться умножать одни числа на другие числа независимо от их длины и сразу же получать ответ промежуточных действий. Например, сокращенная форма умножения 625 на 346 будет выглядеть так:

hello_html_m737e9e2e.gif

Познакомимся с тем, как то по этой форме производится умножение. Ничего другого записывать нам уже не придется. Употребляемые при обычном умножении три ряда промежуточных чисел нами не используются.

Имеются два пути решения данной задачи. Каждый из них в определенных ситуациях имеет свои преимущества, но оба, в конечном счете, приводят к правильно ответу. В этой главе мы рассмотрим тот путь, который мы называем «прямым» методом умножения. Он больше применяется в тех случаях, когда множимые содержат малые цифры, такие как 1, 2 и 3.

Еще раз отметим, что оба метода могут быть применены при решении любой задачи. Мы только что высказали свою точку зрения на то, когда какой метод предпочтительней применить, но это всецело вопрос удобства, и в каждом отдельном случае вы можете сделать выбор по своему усмотрению. Между прочим, заметим, что системой быстрого умножения, сходной с прямым методом, пользовались, по-видимому, мастера быстрого счета еще до введения системы Трахтенберга. Эти «чародеи-математики», которые эффективными фокусами устного счета приводили зрителей в изумление, по обыкновению хранили свои приемы быстрого счета в абсолютной тайне; все же представляется, что они, должны быть, пользовались чем – то, что походит на наш прямой метод умножения, - может быть, с некоторыми изминениями.

Разрешите начать с простого примера прямого метода и от него двигпться к решению более сложных; сначала мы будем умножать сравнительно малое число на другое сравнительно малое число.







Умножение на 14.

Мы хотим 23 умножить на 14.

Мы ставим перед множимым 2 нуля.

hello_html_m16f7eb68.gif

Первый шаг: Умножим крайнюю справа цифру множимого на крайнюю цифру множителя, 3 х 4 = 12, 2 пишем, 1 переносим.

Второй шаг: Умножим крайнюю справа цифру множимого на крайнюю цифру множителя, прибавим произведение следующей справа цифры 2 на крайнюю цифру множителя и прибавим 3 (3 - перенос), 2 х 4 + 3 х 1 + 1 (1 - перенос) = 12, 2 пишем, 1 переносим.

Третий шаг: Умножим 2 на первую цифру множителя, прибавим 0 умноженное на крайнюю цифру множителя и прибавим перенос 1, 0 х 4 + 2 х 1 + 1 (1 - перенос) = 3, 3 – первая цифра произведения.

Умножим 38 на 14. Припишем к числу 38 слева 2 нуля. 3 и 4 – внешние пары, 8 и 1 внутренние пары.

hello_html_m5647d34d.gif

Первый шаг: 8 х 4 = 32, 2 пишем, 3 переносим.

Второй шаг: 8 х 1 + 3 х 4 (3 - перенос) = 23, 3 пишем, 2 переносим.

Третий шаг: 3 х 1 + 0 х 4 + 2 = 5, 5 первая цифра произведения.

Мы перемножили 2 двухзначных числа, Чтобы выполнить это, вы находили правую цифру ответа, перемножив обе правые цифры (так, при умножении 23 на 14 вы умножили 3 на 4). Чтобы найти левую цифру ответа, вы перемножили обе левые цифры (умножая 23 на 14, вы умножили 2 на 1). Чтобы получить средние цифры ответа вы использовали внешние и внутренние пары. Каждая пара состоит из двух цифр, умножаемых одну на другую, так что каждая пара дает одно число. Затем оба числа складываются, и мы получаем часть результата.

hello_html_m4e6515c.gif

Первый шаг: Умножим правую цифру числа 312 на правую цифру числа 14, 2 х 4 = 8, 8 последняя цифра числа.

Второй шаг: Используем внешнюю и внутреннюю пары. Следующая цифра, которую мы обрабатываем, это 1 из числа 312. Это цифра, которая стоит прямо над местом, куда станет очередная цифра ответа. Значит, 1 - часть внешней пары, 1 х 4 х 1 = 6.

Третий шаг: Повторяем второй шаг, но с передвижением пар, следующая цифра числа 312, которую мы используем. Частью внешней пары в этом примере цифра 3 есть нашей новой внешней пары, 3 х 4 + 1 х 1 = 13, 3 пишем, 1 переносим.

Четвертый шаг: Чтобы найти левую цифру ответа, перемножим обе левые цифры (3 и 1) и затем прибавим перенесенную единицу, 0 х 4 + 3 х 1 + 1 (1 - перенос) = 4, 4 первая цифра произведения.

В дальнейшем нам придется распространить этот метод на нули стоящие впереди множимого. Посмотрим, как это происходит. Мы знаем, что любое число, умноженное на нуль, дают нуль. Значит при умножении на нуль «уничтожает» любое число. Миллион умноженный на нуль дает нуль.

Каждый раз, когда мы даем строку цифр и помечаем ее словом «действия», это значит, что на практике соответствующее действие должно производиться в уме.

hello_html_m6b3eb6c5.gif

Первый шаг: 1 х 3 = 3, 3 – последняя цифра числа.

Второй шаг: 1 х 3 + 1 х 2 = 5.

Третий шаг: 3 х 3 + 1 х 2 = 11, 1 пишем, 1 переносим.

Четвертый шаг: 0 х 3 + 3 х 2 + 1 (1 – перенос) = 7, 1 – первая цифра числа.

Во всех примерах, которые мы увидели до сих пор, перед множимым ставится 2 нуля. В этих примерах достаточно было бы и одного нуля.

Рассмотрим такой пример: 522х31.

hello_html_161039db.gif

В этом примере мы использовали оба нуля. Обратим внимание, что цифра, стоящая под левым нулем, это либо точка, либо перенесенная единица. Это объясняет, почему в предыдущих примерах нам не потребовалось двух нулей.

Хватило одного нуля перед множимым, так как в последнем шаге нечего переносить.

И так, запишем общее правило:

При умножении на множитель любой длины ставим перед множимым столько нулей, сколько знаков во множителе.

Самый крайний нуль слева не используется. Это один из тех случаев, когда в последнем шаге ничего не переносится, поэтому под этим нулем ничего не пишется. Заметим, что при нашем методе сохраняет полную силу обычное правило: собираем все нуля множимого и множителя и ставим их в конце ответа, затем приступаем к умножению, не обращая на них внимания.

Предположим, мы хотели 230 000 умножить на 140.

230000 х 140 = 32200000

hello_html_m2d30a72d.gif











Умножение на трехзначные числа.

До сих пор мы умножали различные числа на множители, состоящие только из двух цифр. Множимое число могло быть и многозначным, например 241 304, но множитель всегда был двухзначным. Как же мы будем умножать различные числа на трехзначный множитель?

Множитель трехзначный, следовательно, мы перед множимым пишем три нуля, это соответствует правилу, о котором мы уже упоминали раньше, а именно ставим перед множимым столько нулей, сколько цифр содержит множитель. Иногда, как мы это уже увидели, один из этих нулей оказывается затем лишним. Сейчас умножим 213 на 121.

hello_html_2b878c70.gif

Первый шаг: Крайнюю цифру множимого умножаем на крайнюю цифру множителя, пишем под крайней цифрой множимого, 3 х 1 = 3.

Второй шаг: Крайнюю цифру множимого умножаем на предыдущую цифру слева множителя и складываем с произведением следующей справа цифры множимого с крайней цифрой множителя, 3 х 2 + 1 х 1 = 7.

Третий шаг: Складываем, произведение крайней цифры множителя на первую цифру множимого, произведение соседней слева цифры множимого на среднюю цифру множителя и произведение первой цифры множимого на последнюю цифру множителя, 3 х 1 + 1 х 2 + 2 х 1 = 7.

Четвертый шаг: 1 х 1 + 2 х 2 + 0 х 1 = 5.

Пятый шаг: 2 х 1 + 0 х 2 + 0 х 1 = 2, 2 первая цифра числа.

Этот метод может быть использован для умножения любых многозначных чисел. Однако, если число состоит из нескольких больших цифр, как например 9869, то легко убедиться, что, применяя метод, описанный в этой главе, мы должны будем переносить более сложных чисел.

hello_html_m3a6227e2.gif

Первый шаг: 5 х 6 = 30, 0 пишем правой крайней цифрой числа, 3 переносим.

Второй шаг: 3 х 6 + 5 х 4 + 3 = 41 (4 - перенос) = 14, 1 пишем, 4 переносим.

Третий шаг: 2 х 6 + 3 х 4 + 5 х 1 + 4 (4 - перенос) = 33, 3 пишем, 3 переносим.

Четвертый шаг: 0 х 6 + 2 х 4 + 3 х 1 + 3 (3 - перенос) = 14, 4 пишем, 1 переносим.

Пятый шаг: 0 х 6 + 0 х 4 + 2 х 1 + 1 (1 - перенос) = 3, 3 первая цифра произведения.



42





41





40

1





39

2





38

3





37

4





36

5





35

6





34

7





33

8





32

9





31

10





30

11





29

12





28

13





27

14





26

15





25

16





24

17





23

18





22

19



21

20



Автор
Дата добавления 20.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров452
Номер материала ДВ-081751
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх