Методическое пособие по математике на тему"Функции и их свойства"

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И МОЛОДЁЖНОЙ ПОЛИТИКИ ХМАО-ЮГРЫ

БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ХМАО-ЮГРЫ

НЯГАНСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ПО   УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

 МАТЕМАТИКА

Раздел «Функции, их свойства и графики»

Составитель

П.М. Ажулаева

первая квалификационная категория

Нягань, 2015

Содержание

1.     Аннотация……………………………………………………………3

2.     Введение……………………………………………………………...4

3.     Основная часть (теория) Функции и их свойства………………….7

4.     Обратная функция……………………………………………………9

5.     Сложная функция…………………………………………………….9

6.     Классификация………………………………………………………..9

7.     Свойства некоторых функций и их графики………………………..10

8.     Функции и основные свойства элементарных функций

 (практическая часть)……………………………………………………..19

9.     Графики и основные свойства элементарных функций на примерах…21

10. График линейной функции……………………………………………….21

11. График квадратичной функции………………………………………….23

12. График функции  ………………………………………………...27

13. График гиперболы………………………………………………………..28

14. График показательной функции…………………………………………30

15. График логарифмической функции……………………………………..31

16. Графики тригонометрических функций………………………………..32

17. Графики обратных тригонометрических функций…………………….36

18. Степенные функции………………………………………………………38

19. Приложение……………………………………………………………….39

20. Заключение………………………………………………………………..64

21. Список литературы……………………………………………………….65

Аннотация

В данной работе    рассмотрены   темы раздела №7   «Функции, их свойства и графики. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции»  из рабочей программы учебной дисциплины «Математика» в соответствии ФГОС и примерной программы 2008г.

В предлагаемой  методической  работе   рассматриваются основные понятия  теории данного раздела и подробно приводятся задачи, аналогичные  тем, которые  даются студентам на практических занятиях и   в контрольных работах и для выполнения самостоятельных работ. Данная работа поможет преподавателю в полной мере донести материал в лекционной и практической  форме, а студенту самостоятельно изучить пропущенный материал и ликвидировать пробел знаний по данной теме. В данной работе сделана попытка соединить учебный материал, руководство к решению задач и выполнение практических, контрольных заданий.

Перед выполнением  каждого задания предлагаем ознакомиться с основными вопросами теории и рассмотреть образцы решения. Перечисленные ниже вопросы по   теме являются основными при защите выполненных  работ.

Данная тема изучается по дисциплине «Математика» по всем специальностям первых курсов, а также данная тема изучается на втором курсе в развитии.

В методические рекомендации включен блок теории, определения, формулы, свойства по темам в кратком изложении, указана литература. При изложении теоретической части использовался принцип «достаточной полноты при максимально возможной простоте представления учебного материала». По этой причине в некоторых местах изложение ведется недостаточно строго в математическом плане, однако, достаточно строго для использования аппарата при выполнении практической части. Практически весь теоретический материал сопровождается примерами и решением типовых задач.

При самостоятельном изучении представленного  материала рекомендуется кроме рабочих записей постепенно формировать глоссарий-справочник, в который следует заносить основные формулы, правила, соотношения и определения используемых математических понятий. Впоследствии такой глоссарий-справочник может быть использован при выполнении контрольных и самостоятельных работ, а также при изучении общепрофессиональных и специальных дисциплин в последующих семестрах обучения.

В работу включены контрольные вопросы по теоретической части, задания для самопроверки, задания практического характера, тесты, контрольные работы. Методическое пособие составлено в соответствии с ФГОС.

Введение

Реальный образовательный процесс проходит в динамике и в со­временной дидактике   понимается как взаимодействие деятельности и преподавателей, и обучаемых, направленное на достижение учеб­ных целей, задач обучения, воспитания и развития, на формирование компетенций.

Для специалиста важно понимать роль и место математики в жизни современного общества. Для этого студент должен усвоить сущность математической науки, познакомиться с ее языком  и основными методами. Это поможет ему самостоятельно читать ту литературу по специальности, в которой используются математические методы и модели, заниматься повышением своей профессиональной подготовки.

Математика играет важную роль в естественно – научных, инженерно – технических и гуманитарных исследованиях. Она стала для многих отраслей знаний не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования  и средством четкой формулировки понятий и проблем. Без современной математики с ее развитым логическим  и вычислительным аппаратом был бы невозможен прогресс в различных  областях  человеческой деятельности.

Математика является не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком науки, но также  и элементом общей культуры. Поэтому математическое образование следует рассматривать как важнейшую составляющую в системе фундаментальной подготовки современного специалиста.

Учебная дисциплина «Математика»   предназначена для реализации государственных требований к минимуму содержания и уровню подготовки выпускников по специальности среднего профессионального образования.     

Предлагаемая работа написана в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов в области математики. Она соответствует Рабочей программе дисциплины «Математика» 

Умение логически мыслить, оперировать абстрактными понятиями, понимать место точных формулировок и уметь,   обходиться описательными определениями, отличать тривиальные и частные модели от глубоких и общих – вот основные цели, преследуемые при изучении дисциплины математика.

В процессе изучения математики студент должен:

- научиться использовать математику как метод мышления, как язык, как средство формулирования и организации понятий;

- уметь формулировать, формализовать и решать  основные математические задачи;

- уметь строить простейшие математические модели  и ориентироваться в возможностях их реализации на вычислительной технике.

Изучение дисциплины «математика» направлена на достижение следующих целей:

·              формирование представлений о математике как универсальном языке   науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;

·              развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, для продолжения образования и самообразования;

·              овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;

·              воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.

В данной работе рассмотрим темы раздела №7 «Функции, их свойства и графики»  из рабочей программы учебной дисциплины « математика». 

При изучении данного раздела студент должен:

уметь:

1.     вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции;

2.     определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; 

3.     строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

4.     использовать понятие функции для описания и анализа зависимостей величин;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни: для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

В данном разделе рассмотрим следующие темы:

Функции. Область определения и множество значений. График функции, построение графиков функций, заданных различными способами.

Свойства функции: монотонность (возрастание, убывание), четность, нечетность, ограниченность, периодичность,  наибольшее и наименьшее значения функции, точки экстремума, экстремум функции.   Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Сложная функция (композиция).

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Определения функций, их свойства и графики. Обратные тригонометрические функции.

Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

 Теория без практики мертва или бесплодна,

практика без теории невозможна или пагубна.

Для теории нужны знания, для практики,

сверх всего того, и умение.

А.Н. Крылов

Функции и их свойства

Понятие функции. Основные свойства функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение. Например, отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная, равная числу .

Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то в этом случае она называется параметром.

Переменной называется величина, которая может принимать различные числовые значения. Например, при равномерном движении  S=vt,  где путь S и время t – переменные величины, а скорость v – параметр.

Функция — одно из важнейших математических понятий.

Функцией называют такую зависимость переменной у от переменной х, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение перемен­ной у.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Говорят также, что переменная у явля­ется функцией от переменной х. Значения зависи­мой переменной называют значениями функции.

Если зависимость переменной у от переменной х является функцией, то коротко это записывают так: y=f(x). (Читают: у равно f от х.). Символом f(x) обозначают значение функции, соответствую­щее значению аргумента, равному х.

Все значения независимой переменной образу­ют область определения функции и обозначают D. Все значения, которые принимает зависимая переменная, образу­ют область значений функции и обозначают Е.

Если функция задана формулой и ее область оп­ределения не указана, то считают, что область оп­ределения функции состоит из всех значений аргу­мента, при которых формула имеет смысл.

Способы задания функции:

1.     аналитический способ (функция задается с помощью математической формулы;

2.     табличный способ (функция задается с помощью таблицы)

3.     описательный способ (функция задается словесным описанием)

4.     графический способ (функция задается с помощью графика).

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскос­ти, абсциссы которых равны значениям аргу­мента, а ординаты — соответствующим значениям функции.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

1.     Нули функции

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю  .

2.     Промежутки знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

3.     Возрастание (убывание) функции

Возрастающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция у = f (x) назы­вается возрастающей на ин­тервале (а; b), если для лю­бых x₁ и x₂ из этого интерва­ла таких, что x₁< x₂ , спра­ведливо неравенство f(x₁)<f(x₂).

Убывающая в некотором промежутке функ­ция - функция, у которой большему значению аргу­мента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция у =f (x) назы­вается убывающей на интер­вале (а;b), если для любых  x₁ и x₂ из этого интервала таких, что x₁< x₂, справед­ливо неравенство f(x₁)>f(x₂).

4.     Четность (нечетность) функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала коор­динат и для любого х из области определения выпол­няется равенство f(-x) = f(x). График четной функ­ции симметричен относительно оси ординат.

Например, у = х² -  четная функция.

Нечетная функция - функция, у которой об­ласть определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечет­ной функции симметричен относительно начала координат.

Например: у = х³ - нечетная функция. Функция общего вида не является четной или нечетной (например, у = х²+х).

Функция называется явной, если она задана формулой, в которой правая часть не содержит зависимой переменной.

Функция называется неявной, если она задана уравнением F(x,y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Обратная функция

Пусть у=f(x) есть функция от независимой переменной х, определенной на множестве Х с областью значений У. Поставим в соответствие каждому  у единственное значение х, при котором f(x)=у. Тогда полученная функция х=, определенная на множестве У с областью значений Х, называется обратной. Так как традиционно независимую переменную обозначают через х, а  функцию через у то функция, обратная к функции у=f(x) , примет вид у=. Обратную функцию у=обозначают так же в  виде у=f ^-1(x).

Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого  и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть у=f(u) есть функция от переменной u, а переменная u в свою очередь является функцией u= от переменной x. Тогда у=f() является сложной функцией (или композицией).

Классификация функций

Элементарные функции делятся на алгебраические  и неалгебраические (трансцендентные).

Алгебраической называется функция, в которой над аргументом проводится конечное число алгебраических действий. К числу алгебраических функций относятся:

- целая рациональная функция (многочлен  или полином)

- дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов

- иррациональная функция (если в составе операций над аргументом имеется извлечение корня).

Всякая неалгебраическая функция называется трансцендентной.

К числу трансцендентных функций относятся функции:

показательная,

логарифмическая,

тригонометрические,

обратные

тригонометрические.

Свойства некоторых функций и их графики

1.     Линейной функцией называется функция вида

y = kx+b, где  k  и  b – числа.

Область определения линейной функции – множество R действительных чисел.

Графиком линейной функции у = kx + b (k ≠ 0) является прямая проходящая через точку (0; b)  и параллельная прямой  у = kx.

Прямая, не параллельная оси Оу, является графиком линейной функции.

Свойства линейной функции

1. При k > 0 функция у = kx + b возрастающая в области определения.

2. При k < 0 функция у = kx + b убывающая в области определения.

3.  Множеством значений функции y = kx + b(k ≠ 0) является вся числовая прямая, т.е. множество R действительных чисел.

При k = 0 множество значений функции у = kx + b состоит из од­ного числа b.

При b = 0 и k = 0 функция не является ни четной, ни нечетной.

При k = 0 линейная функция имеет вид  у = b  и при b ≠ 0 она явля­ется четной.

При k = 0 и b = 0 линейная функция имеет вид у=0 и являете одновременно четной и нечетной.

Графиком линейной функции  у = b  является прямая, проходящая через точку (0; b) и параллельная оси Ох. Заметим, что при b = 0 график функции у = b  совпадаете осью Ох.

4. При k > 0 имеем, что у > 0, если и у < 0, если . При k < 0 имеем, что у > 0, если  и у < 0, если .

2. Функция y = x²

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел.

Придавая переменной х несколько значений из области опреде­ления функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле y = x² , изображаем график функции.

График функции y = x² называется параболой.

Свойства функции у = х²

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством  значений  функции у = х² является промежуток [0; + ∞).

4.  Если значения аргумента отличают­ся только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х² - четная).

5.  На промежутке [0; + ∞) функция у = х² возрастает.

6.  На промежутке (-∞; 0] функция у = х² убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

3.Фунуция 

Область определения этой функции - промежуток  [0;+∞), т. е. все неотрицательные числа.

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответст­вующие значения у по формуле , изображаем график функции.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график функции имеет с осями коорди­нат общую точку (0; 0) - начало координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, т.е. все точки графика функции, кроме на­чала координат, лежат над осью абсцисс.

3.  Множеством значений функции    является промежуток [0;+∞).

4. Функция  не является ни четной, ни нечетной.

5. Функция  возрастающая в области определения.

6.  Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

4. Функция y = x³

Область определения этой функции - множество R действитель­ных чисел,

Придавая переменной х несколько значений из области определения функции и вычисляя соответствующие значения у по формуле у = х³, изображаем график функции.

График функции у= х³ называется кубической параболой.

Свойства функции y = x³

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. кубическая парабола пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х > 0, то у > 0, а если х < 0, то у < 0, т.е. кубическая парабола лежит в пер­вом и третьем координатном углах.

3.  Множеством значений функции у =  х³ является вся числовая прямая.

4.   Если значения аргумента отлича­ются только знаком, то и значения функции отличаются  только  знаком, т.е.   кубическая парабола симметрична относительно начала координат (функция у =  х³ - нечетная).

5.Функция у = х³ возрастающая в об­ласти определения.

      5. Функция y = |x|

Область определения этой функции - множество R  действитель­ных чисел.

Пользуясь определением модуля числа х при х > О получим у = х, а при х <0 получим у = - х. Таким образом, имеем:

График функции состоит из двух частей: части прямой у = х при х ≥ 0 и из части прямой у =- х при х < 0.

Свойства функции

1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.

2.  Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  y = |x|,   кроме   начала координат, лежат над осью абсцисс.

3.   Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).

4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. график функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).

5.  На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.

6. На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.

7.  Наименьшее значение функция принимает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует.

 6.  Функция

Область определения функции: .

Область значений функции: .

График — гипербола.

1. Нули функции.

                             у ≠ 0, нулей нет.

2. Промежутки знакопостоянства,

Если k > 0, то у > 0 при х > 0; у < 0 при х < О.

Если k < 0, то у < 0 при х > 0; у > 0 при х < 0.

3. Промежутки возрастания и убывания.

Если k > 0, то функция убывает при .

Если  k < 0, то функция возрастает при .

4. Четность (нечетность) функции.

Функция нечетная.

Квадратный трехчлен

Уравнение вида ax²+bx+c = 0, где a, b и с — некоторые числа, причем а≠0, называется квадратным.

 В квадратном уравнении ax²+bx+c = 0 ко­эффициент а называется первым коэффициентом, b — вторым коэффициентам, с — свободным чле­ном.

Формула корней квадратного уравнения име­ет вид:

.

Выражение  называется дискриминан­том квадратного уравнения и обозначается через D.

 Если D = 0, то существует только одно чи­сло, удовлетворяющее уравнению ax²+bx+c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае ква­дратное уравнение имеет два равных действитель­ных корня, а само число  называют двукрат­ным корнем.

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

Пусть дано квадратное уравнение ax²+bx+c = 0. Так как, а≠0, то, разделив обе части данного уравнения на а, получим уравнение . Полагая  и , приходим к уравнению , в котором первый коэффициент равен 1. Такое уравнение называется приведенным.

Формула корней приведенного квадратного уравнения имеет вид:

.

Уравнения вида

аx² +bx = 0,   ax² + с =0,   аx² = 0

называются неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решаются разложением левой части уравнения на множители.

Теорема Виета. 

Сумма корней квадратного  уравнения равна взятому с противоположным зна­ком отношению второго коэффициента к первому, а произведение корней — отношению свободного члена к первому коэффициенту, т.е.

; .

Обратная теорема.     Если  сумма каких-нибудь двух чисел х₁ и х₂ равна , а их произ­ведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах²   + bх + с = 0.

Функция вида ах² +bх + с называется квадратным трехчленом.   Корни этой функции являются корнями соответствующего квадратного уравнения   ах²   + bх + с = 0.

Если дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, то этот трехчлен можно представить в виде:

 ах² +bх + с =а(х-х₁)(х-х₂)

где х₁   и   х₂   —   корни   трехчлена

Если  дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен можно представить в виде:

ах² +bх + с =а(х-х₁)²

где х₁ — корень трехчлена.

Например, 3х² - 12х + 12 = 3(х - 2)².

Уравнение вида ах⁴   + bх²   + с = 0 называет­ся биквадратным. С помощью замены переменной по формуле х² = y  оно приводится к квадратному уравнению аy² + by + с = 0.

Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y = ax² + bx + c, где x – независимая переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта .

Свойства квадратичной функции

          - Область определения: R;

- Область значений:

при а > 0          [-D/(4a); ∞)

при а < 0          (-∞; -D/(4a)];

- Четность, нечетность:

при b= 0     функция четная

при b≠0    функция не является ни четной, ни нечетной

- Нули:

при D > 0      два нуля: ,

при D = 0      один нуль:

при D < 0     нулей нет

- Промежутки знакопостоянства:

если, а > 0, D > 0, то          

если, а > 0, D = 0, то          

если, а > 0, D < 0, то            

если, а < 0, D > 0, то            

если, а < 0, D = 0, то           

если, а < 0, D < 0, то            

    Промежутки монотонности

при а > 0 

при а < 0 

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:

1)  найти координаты вершины параболы и отметить ее в ко­ординатной плоскости;

2)  построить еще несколько точек, принадлежащих пара­боле;

3)  соединить отмеченные точки плавной линией.

 Координаты вершины параболы определяются по формулам:

Или ;   (х₀; у₀) – вершина параболы.

Преобразование графиков функции

1. Растяжение графика у = х² вдоль оси у в |а| раз (при |а|  < 1 — это сжатие в 1/|а|  раз).

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика отно­сительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах².

2.  Параллельный перенос графика функ­ции у = ах² вдоль оси х на |m|  (вправо при  m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции  у = а (х - т)².

3. Параллельный перенос графика функ­ции  вдоль оси у на |n| (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)² + п.

Графики и основные свойства элементарных функций

(Практическая часть)

Как правильно построить координатные оси?

На практике контрольные работы почти всегда оформляются студентами в отдельных тетрадях, разлинованных в клетку. Зачем нужна клетчатая разметка? Ведь работу, в принципе, можно сделать и на листах А4. А клетка необходима как раз для качественного и точного оформления чертежей.

Любой чертеж графика функции начинается с координатных осей.

Чертежи бывают двухмерными и трехмерными.

Сначала рассмотрим двухмерный случай декартовой прямоугольной системы координат:

1) Чертим координатные оси. Ось  называется осью абсцисс, а ось  – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.

2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.

3) Задаем размерность по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Я рекомендую Вам по возможности всегда придерживаться именно такой размерности. Но, время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда размерность уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа).
Редко-редко, но бывает, что размерность чертежа приходиться уменьшать (или увеличивать) еще больше.

НЕ НУЖНО по осям проставлять все значения: …-5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …. Ибо координатная плоскость – не памятник Лобачевскому, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Как говорят математики, это необходимо и достаточно.  Размерность можно задать и произвольно, например, поставить 0 и – 1, –1 – по осям, но существуют некоторые стандарты, которых целесообразно придерживаться.

Предполагаемые размеры чертежа лучше оценить еще ДО построения чертежа. Так, например, если в задании требуется начертить треугольник с вершинами ,  , , то совершенно понятно, что популярная размерность 1 единица = 2 клеточки не подойдет. Почему? Посмотрим на точку  – здесь придется отмерять пятнадцать сантиметров вниз, и, очевидно, что чертеж  не вместится (или вместится еле-еле) на тетрадный лист. Поэтому сразу выбираем меньшую размерность 1 единица = 1 клеточка.

Трехмерный случай

Здесь почти всё так же.

1) Чертим координатные оси. Стандарт: ось аппликат  – направлена вверх, ось  – направлена вправо, ось  – влево вниз  строго под углом 45 градусов.

2) Подписываем оси.

3) Задаем размерность по осям. Размерность по оси  – в два раза меньше, чем размерность по другим осям. Также обратите, внимание, что на правом чертеже размерность я задал нестандартно – по оси  двойкой, а не единицей. С моей точки зрения, так точнее, и, главное, быстрее и удобнее – не нужно под микроскопом выискивать середину клеточки.

При выполнении трехмерного чертежа опять же желательно придерживаться размерности 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева).

Графики и основные свойства элементарных функций на примерах

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением . График линейной функции  -  прямая. Для того  чтобы построить прямую линию достаточно знать две точки.

Пример 1

Построить график функции . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если , то 

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если , то 

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

 
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж:

При оформлении чертежа всегда подписываем графики.

Не лишним будет вспомнить частные случаи линейной функции:

 
Обратите внимание, как я расположила подписи, подписи не должны допускать разночтений при изучении чертежа. В данном случае крайне нежелательно было поставить подпись рядом с точкой пересечения прямых  ,  или справа внизу между графиками.

1) Линейная функция вида  () называется прямой пропорциональностью. Например, . График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.

2) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись  следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».

3) Уравнение вида  задает прямую, параллельную оси , в частности, сама ось  задается уравнением . График функции также строится сразу. Запись  следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».

Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретила добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде  или .

Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.

Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии «Уравнение прямой на плоскости» (2 курс обучения)   

График квадратичной, кубической функции, график многочлена

Парабола. График квадратичной функции  () представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай: 

Вспоминаем некоторые свойства функции .

Область определения – любое действительное число (любое значение «икс»). Что это значит? Какую бы точку на оси  мы не выбрали – для каждого «икс» существует точка параболы. Математически это записывается так: D(f): R. Область определения любой функции стандартно обозначается через  или . Буква  R обозначает множество действительных чисел или, проще говоря, «любое икс».   

Область значений – это множество всех значений, которые может принимать переменная «игрек». В данном случае:  – множество всех положительных значений, включая ноль. Область значений стандартно обозначается через  или .

Функция  является чётной. Если функция является чётной, то ее график симметричен относительно оси . Это очень полезное свойство, которое заметно упрощает построение графика, в чём мы скоро убедимся. Аналитически чётность функции выражается условием . Как проверить любую функцию на чётность? Нужно  вместо  подставить в уравнение . В случае с параболой проверка выглядит так: , значит, функция  является четной. Функция  не ограничена сверху.  

Я не случайно так подробно расписала свойства функции, все вышеперечисленные вещи полезно знать и помнить при построении графиков функций, а также при исследовании графиков функций.

Пример 2

Построить график функции .

В этом примере мы рассмотрим важный технический вопрос: Как быстро построить параболу? В практических заданиях необходимость начертить параболу возникает очень часто, в частности, при вычислении площади фигуры с помощью определенного интеграла. (на 2 курсе обучения). Поэтому чертеж желательно научиться выполнять быстро, с минимальной потерей времени. Я предлагаю следующий алгоритм построения.

Сначала находим вершину параболы.  Таким образом, вершина находится в точке (1; 1).

Теперь находим другие точки, при этом нагло пользуемся симметричностью параболы. Следует заметить, что функция  – не является чётной, но, тем не менее, симметричность параболы никто не отменял.

В каком порядке  находить остальные точки, думаю, будет понятно из итоговой таблицы:

Выполним чертеж:

Из рассмотренных графиков вспоминается еще один полезный признак:

Для квадратичной функции y= ax² +bx+c, () справедливо следующее:

Если , то ветви параболы направлены вверх.

Если , то ветви параболы направлены вниз.

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией . Вот знакомый со школы чертеж:

Перечислим основные свойства функции 

Область определения – любое действительное число:R.

Область значений – любое действительное число:R.

Функция  является нечётной. Если функция является нечётной, то ее график симметричен относительно начала координат. Аналитически нечётность функции выражается условием . Выполним проверку для кубической функции, для этого вместо «икс» подставим «минус икс»: 
, значит, функция  является нечетной.

Функция  не ограничена.  

Наверняка, вы заметили, в чем ещё проявляется нечетность функции. Если мы нашли, что , то при вычислении  уже не нужно ничего считать, автоматом записываем, что . Эта особенность справедлива для любой нечетной функции.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов. (Дополнительный материал)

График любого многочлена третьей степени  () принципиально имеет следующий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Эти знания полезны при исследовании функций и построении графиков.

График функции 

Он представляет собой одну из ветвей  параболы. Выполним чертеж:

Основные свойства функции :

Область определения: .

Область значений: .

То есть, график функции полностью находится в первой координатной четверти.

Функция  не ограничена сверху.  

При построении простейших графиков с корнями также уместен поточечный способ построения, при этом выгодно подбирать такие значения «икс», чтобы корень извлекался нацело:

На самом деле хочется разобрать еще примеры с корнями, например, , но они встречаются значительно реже. Сейчас я ориентируюсь на более распространенные случаи, и, как показывает практика, что-нибудь вроде  приходиться строить значительно чаще.  

График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу .

Выполним чертеж:

Основные свойства функции  :

Область определения: D(f) = (.

Область значений: E(f) = ( - «любое действительное число, исключая ноль»

В точке  функция терпит    разрыв. 

Будет ГРУБОЙ ошибкой, если при оформлении чертежа по небрежности допустить пересечение графика с осями, ветви гиперболы будут бесконечно близко приближаться к оси .

Функция  является нечётной, а, значит, гипербола симметрична относительно начала координат. Данный факт очевиден из чертежа, кроме того, легко проверяется аналитически: .

График функции вида  () представляют собой две ветви гиперболы.

Если , то гипербола расположена в первой и третьей координатных четвертях (см. рисунок выше).

Если , то гипербола расположена во второй и четвертой координатных четвертях.

Пример 3

Построить правую ветвь гиперболы 

Используем поточечный метод построения, при этом, значения  выгодно подбирать так, чтобы делилось нацело:

Выполним чертеж:

Не составит труда построить и левую ветвь гиперболы, здесь как раз поможет нечетность функции. Грубо говоря, в таблице поточечного построения мысленно добавляем к каждому числу минус, ставим соответствующие точки и прочерчиваем вторую ветвь.

График показательной функции

В данном параграфе    рассмотрим экспоненциальную функцию , поскольку в задачах высшей математики часто встречается именно экспонента.

Напоминаю, что  – это иррациональное число: , это потребуется при построении графика,  трёх точек, пожалуй, хватит:

График функции  пока оставим в покое, о нём позже.

Основные свойства функции :

 Область определения: D(f) =R – любое «икс».

Область значений: . Обратите внимание, что ноль не включается в область значений. Экспонента – функция положительная, то есть для любого «икс» справедливо неравенство , а сам график экспоненты полностью расположен в верхней полуплоскости.
Принципиально такой же вид имеет любая показательная функция , если . Функции , ,  будут отличаться только крутизной наклона графика, причем, чем больше основание, тем круче будет график.

Обратите внимание, что во всех случаях графики проходят через точку , то есть . Это значение должен знать даже «двоечник».

Теперь рассмотрим случай, когда основание . Снова пример с экспонентой  – на чертеже соответствующий график прочерчен линия с точами. Что произошло? Ничего особенного – та же самая экспонента, только она «развернулась в другую сторону».  

Принципиально так же выглядят графики функций

 ,  и т. д.

 График логарифмической функции

Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом .
Выполним поточечный чертеж:

Если позабылось, что такое логарифм, пожалуйста, обратитесь к школьным учебникам.

Основные свойства функции :

 Область определения: 

Область значений: E(f) = R

Обязательно нужно знать и помнить типовое значение логарифма: .

Принципиально так же выглядит график логарифма при основании

 : , ,  (десятичный логарифм по основанию 10) и т.д.   Чем больше основание, тем более пологим будет график.

В заключение: Экспоненциальная функция  и логарифмическая функция  – это две взаимно обратные функции. Если присмотреться к графику логарифма, то можно увидеть, что это – та же самая экспонента, просто она расположена немного по-другому.

Графики тригонометрических функций

С чего начинаются тригонометрические мучения в школе? Правильно. С синуса

Построим график функции  y = sinx 

Данная линия называется синусоидой.

Напоминаю, что «пи» – это иррациональное число: .

Основные свойства функции  y = sinx:

Данная функция является периодической с периодом . Что это значит? Посмотрим на отрезок . Слева и справа от него бесконечно повторяется точно такой же кусок графика.

Область определения: D(f) = R, то есть для любого значения «икс» существует значение синуса.

Область значений: .

Функция y = sinx  является ограниченной: , то есть, все «игреки» сидят строго в отрезке . Такого не бывает:  или , точнее говоря, бывает, но указанные уравнения не имеют решения.

Синус – это функция нечетная, синусоида симметричная относительно начала координат, и справедлив следующий факт: . Таким образом, если в вычислениях встретится, например, , то минус терять здесь ни в коем случае нельзя! Он выносится: 

В практических вычислениях желательно (и даже обязательно) знать и помнить следующие значения синуса: , , . Другие значения синуса (а также остальных тригонометрических функций) можно найти в  тригонометрической таблице.

График косинуса

Построим график функции y =cosx

График косинуса – это та же самая синусоида, сдвинутая вдоль оси  на  влево. Поэтому почти все свойства синуса справедливы и для косинуса. За некоторым, но существенным исключением.

Косинус – это функция четная, ее график симметричен относительно оси  , и справедлив следующий факт: . То есть, минус перед аргументом косинуса можно безболезненно убирать (или наоборот, ставить). В отличие от синуса в косинусе минус «бесследно пропадает».

Для решения практических задач нужно знать и помнить следующие значения косинуса: , , .

Графики тангенса и котангенса

Построим график функции y = tgx

Основные свойства функции: y = tgx

Данная функция является периодической с периодом . То есть, достаточно рассмотреть отрезок , слева и справа от него ситуация будет бесконечно повторяться.

Область определения:  – все действительные числа, кроме …  , , , … и т. д. или коротко: , где  – любое целое число. Множество целых чисел (… -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …) в высшей математике обозначают жирной буквой Z.

Область значений: все действительные значения.

Функция  не ограничена

Тангенс – функция нечетная, как и в случае с синусом, минус из-под тангенса не теряется, а выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения тангенса: , , , а также те точки, в которых тангенса не существует (см. график).

График котангенса – это почти тот же самый тангенс, функции связаны тригонометрическим соотношением . Вот его график:

Свойства попробуйте сформулировать самостоятельно, они практически такие же, как и у тангенса.

Графики обратных тригонометрических функций

Построим график арксинуса 

Перечислим основные свойства функции :

Область определения: , не существует значений вроде  или 

Область значений: , то есть,  функция  ограничена.

Арксинус – функция нечетная, здесь минус опять же выносится: .

В практических вычислениях полезно помнить следующие значения арксинуса: , , . Другие распространенные значения арксинуса   можно найти с помощью  таблицы.

Построим график арккосинуса 

Очень похоже на арксинус, свойства функции сформулируйте самостоятельно. Остановлюсь на единственном моменте. В данной работе   много раз мы говорили    о четности  и нечетности функций, и, возможно, у некоторых сложилось впечатление, что функция обязательно должна быть четной или нечетной. В общем случае, это, конечно, не так. Чаще всего, функция, которая вам встретится на практике – «никакая». В частности, арккосинус не является четной или нечетной функцией, он как раз «никакой», то есть функция общего вида.

Построим график арктангенса 

Всего лишь перевернутая ветка тангенса. 
Перечислим основные свойства функции :

Область определения: D(f) = R

Область значений: , то есть,  функция  ограничена.
 

Арктангенс – функция нечетная: .

Самые «популярные» значения арктангенса, которые встречаются на практике, следующие: , .

К графику арккотангенса  приходится обращаться значительно реже, но, тем не менее, вот его чертеж:

Свойства арккотангенса   сформулировать самостоятельно. Отмечу,  что арккотангенс, как и арккосинус, не является четной или нечетной функцией.

Степенная функция

Вы знакомы с функциями   

Все эти функции являются частными случаями степенной  функции, т. е. функции , где p – заданное действительное число. Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того,  при каких значениях x и p имеет смысл степень . Рассмотреть  различные случаи в зависимости от показателя степени p предлагаю по учебнику Ш. А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11 кл. общеобразовательных образований стр. 39-44 теория и практическая часть стр. 44-45. Также этот материал предлагается в приложении данной работы.

Приложение

СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Приложение

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО ВЫПОЛНЕНИЯ

1.     Найдите  область  определения  функции  

    .

2.     Найдите  область  определения  функции

   

3.     Найдите  область  определения  функции

   

4.     Найдите  область  определения  функции

   

5.     Найдите  область  определения  функции

   

6.     Найдите  область  определения  функции

   

7.     Найдите  область  определения  функции

   

8.     Найдите  область  определения  функции      

    

9.     Найдите  область  определения  функции

    

10. Найдите  область  определения  функции

   

11. Найдите область определения функции     

12. Найдите область определения функции     

13. Найдите область определения функции     

14. Найти область определения функции   

15. Найдите область определения функции  

16. Постройте график функции 

При каких значениях   функция принимает отрицательные значения?

17. Постройте график функции 

При каких значениях   функция принимает положительные значения?

18. Постройте график функции 

При каких значениях   функция принимает положительные значения?

19. Постройте график функции   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

20. Постройте график функции   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

21. Постройте график функции 

Проходит ли график через точку  А(-35, 76)?

22. Постройте график функции 

Проходит ли график через точку  А(-45, -86)?

23. Постройте графики  функций   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

24. Постройте графики  функций   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

25. Постройте график функции 

Проходит ли график через точку  А(-35, -65)?

26. Постройте графики  функций  . Укажите наименьшее значение функции.

27. Постройте графики  функций  . Укажите наименьшее значение функции.

28. Постройте график функции  Укажите промежуток, в котором функция возрастает.

29. Постройте график функции  Укажите промежуток, в котором функция убывает.

30. Постройте график функции  При каких значениях  функция принимает положительные значения?

31. Постройте график функции  При каких значениях  функция принимает отрицательные значения?

32. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой В каких координатных четвертях находятся эти точки?

33. Вычислите координаты точек пересечения параболы и прямой  В каких координатных четвертях находятся эти точки?

34. Постройте график функции  Укажите значения , при которых

35. Постройте график функции  Укажите значения, при которых

36. Постройте график функции   Возрастающей или убывающей является эта функция?

37. Постройте график функции   Возрастающей или убывающей является эта функция?

38. Постройте график функции   Найдите значения , при которых y=-5.

39. Постройте график функции   Найдите значения , при которых y=-5.

40. Вычислите координаты точек пересечения

 параболы    и прямой

41. Вычислите координаты точек пересечения

 параболы    и прямой

42. Постройте графики  функций   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

43. Постройте графики  функций   и укажите координаты точек пересечения этих графиков.

44. Какая из прямых  у = 4х, у = 2х + 1 или у = -0,5х не проходит через начало координат? Постройте график этой функции.

45. Какая из прямых  у = 3х - 1, у = 2х + 4 или у = -2х  проходит через начало координат? Постройте график этой функции.

46. Постройте график  функции  Укажите промежуток, в котором функция убывает.

47. Постройте график  функции  Укажите промежуток, в котором функция возрастает.

Приложение

Тест

1 вариант

1.     Сколько  целых  чисел  содержит  область  определения  функции

       ?

1) 2                              2) 3                                3) 4                               4) 5

2.     Найдите  область  значений  функции  .

1)                  2)                     3)                       4)

2 вариант

1.     Сколько  целых  чисел  содержит  область  определения  функции 

        ?

1) 2                                2) 3                                 3) 4                              4) 5

2.     Найдите  область  значений  функции  .

1)                      2)                         3)                    4)

3 вариант

1.     Сколько  целых  чисел  содержит  область  определения  функции       

       ?

1) 2                                2) 3                                3) 4                              4) 5

2.     Найдите  область  значений  функции  .

1)                       2)                      3)                    4)

4 вариант

1.     Сколько  целых  чисел  содержит  область  определения  функции        

       ?

1) 2                                2) 3                                3) 4                              4) 5

2.     Найдите  область  значений  функции  .

1)                    2)                      3)                      4)

Приложение

Контрольная  работа  по  теме  «Функции  и  графики»

1  вариант

1.  Найдите  область  определения  функции      .

2.  Найдите  область  значений  функции     .

3.  Исследуйте  на  чётность  и  нечетность  функцию

а)  ;    б)   .

4.  Постройте  график  функции .  Пользуясь  графиком,  найдите  промежутки  возрастания  и  убывания  функции,  экстремум  функции.

5.  Найдите  функцию,  обратную  к  функции   .  

     Постройте  график   данной  функции  и  график  обратной  к  данной  функции; укажите  область  определения  и  множество  значений  каждой  из  них.

Контрольная  работа  по  теме  «Функции  и  графики»

2  вариант

1.  Найдите  область  определения  функции      .

2.  Найдите  область  значений  функции     .

      3.  Исследуйте  на  чётность  и  нечетность  функцию

      а)   ;    б)   .

4.  Постройте  график  функции .  Пользуясь  графиком,  найдите  промежутки  возрастания  и  убывания  функции,  экстремум  функции.

5.  Найдите  функцию,  обратную  к  функции   .  

     Постройте  график   данной  функции  и  график  обратной  к  данной  функции; укажите  область  определения  и  множество  значений  каждой  из  них.

Контрольная  работа  по  теме  «Функции  и  графики»

3  вариант

1.  Найдите  область  определения  функции      .

2.  Найдите  область  значений  функции     .

3.  Исследуйте  на  чётность  и  нечетность  функцию

     а)  ;    б)   .

4.  Постройте  график  функции .  Пользуясь  графиком,  найдите   промежутки  возрастания  и  убывания  функции,  экстремум  функции.

5.  Найдите  функцию,  обратную  к  функции   .  

     Постройте  график   данной  функции  и  график  обратной  к  данной  функции; укажите  область  определения  и  множество  значений  каждой  из  них.

Контрольная  работа  по  теме  «Функции  и  графики»

4  вариант

1.  Найдите  область  определения  функции      .

2.  Найдите  область  значений  функции     .

3.  Исследуйте  на  чётность  и  нечетность  функцию

     а)   ;    б)   .

4.  Постройте  график  функции .  Пользуясь  графиком,  найдите промежутки  возрастания  и  убывания  функции,  экстремум  функции.

5.  Найдите  функцию,  обратную  к  функции   .  

     Постройте  график   данной  функции  и  график  обратной  к  данной  функции; укажите  область  определения  и  множество  значений  каждой  из  них.

Приложение

УПРАЖНЕНИЯ

1.     Каким уравнением задается прямая, проходящая через точки A(2;-5) и B(14;1)?

1.

2.

3.

4.

На координатной плоскости проведена прямая CD. Укажите уравнение этой прямой.

1.

2.

3.

4.

2.     В какой координатной четверти находится точка пересечения прямых   и ?

1.

В I четверти

2.

В II четверти

3.

В III четверти

4.

В IV четверти

3.     На координатной плоскости построены графики уравнений 2у+х²=4 и х-у=2.

Используя эти графики, решите систему уравнений

4.     Когда самолет находится в горизонтальном полете, подъемная сила, действующая на крылья, зависит только от скорости. На рисунке изображена эта зависимость для некоторого самолета. На оси абсцисс откладывается скорость (в километрах в час), на оси ординат – сила (в тоннах силы). Определите по рисунку, чему равна подъемная сила (в тоннах силы) при скорости 200 км/ч?

5.     В аэропорту чемоданы пассажиров поднимают в зал выдачи багажа по транспортерной ленте. При проектировании транспортера необходимо учитывать допустимую силу натяжения ленты транспортера. На рисунке изображена зависимость натяжения ленты от угла наклона транспортера к горизонту при расчетной нагрузке. На оси абсцисс откладывается угол подъема в градусах, на оси ординат – сила натяжения транспортерной ленты (в килограммах силы). При каком угле наклона сила натяжения достигает 150 кгс? Ответ дайте в градусах.

6.     В ходе химической реакции количество исходного вещества (реагента), которое еще не вступило в реакцию, со временем постепенно уменьшается. На рисунке эта зависимость представлена графиком. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента начала реакции, на оси ординат – масса оставшегося реагента, который еще не вступил в реакцию (в граммах). Определите по графику, сколько граммов реагента вступило в реакцию за три минуты?

7.     Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в Омах), на оси ординат – сила тока в Амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 Ампер. На сколько Омов при этом увеличилось сопротивление цепи?

8.     График, какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1.

2.

3.

4.

9.     График, какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

1.

2.

3.

4.

10. Найдите значение a по графику функции , изображенному на рисунке.

1.

-1

2.

1

3.

2

4.

3

11. Найдите значение b по графику функции , изображенному на рисунке.

1.

-2

2.

1

3.

2

4.

3

12. Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.

1.

-3

2.

1

3.

2

4.

3

13. Найдите значение по графику функции , изображенному на рисунке.

1.

2

2.

3.

4.

-2

14. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

15. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

16. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

17. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

18. На одном из рисунков изображена парабола. Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

19. На одном из рисунков изображена гипербола. Укажите номер этого рисунка.

1.

2.

3.

4.

Приложение 

  по рекомендациям выполнения упражнений,

                                                           алгоритмы и образцы   заданий

Преобразование графиков

Пусть задан график функции у=f(x).

Тогда справедливы следующие утверждения.

1.     График функции у=f(x+а) есть график у=f(x), сдвинутый (при а>0

влево, при а<0 вправо) на  единиц параллельно  оси Ох.

2.     График функции у=f(x)+b есть график функции у=f(x), сдвинутый  (при b>0 вверх, при b<0 –вниз) на  единиц параллельно оси Оу.

3.     График функции у=mf(x) (m) есть график у=f(x), растянутый (при m>1)  в m раз или сжатый (при 0<m<1)   вдоль оси  Oy. При m<0 график функции у=mf(x) есть зеркальное отображение графика  у=-mf(x) от оси Ох.

4.     График функции у=f(kx) (k) есть график у=f(x), сжатый (k>1)  в k  раз или растянутый (при 0<k<1) вдоль оси Ох.

При k<0 график функции у=f(kx) есть зеркальное отображение графика   у=f(-kx) от оси Оу.  

Алгоритм исследования на четность (нечетность)

1.            Составить выражение f(-x)

2.            Сравнить f(-x) и f(x):

 - если имеет место тождество f(-x) = f(x), то функция четная

 - если имеет место тождество f(-x) = - f(x), то функция нечетная

 - если   не выполняется условие четности или нечетности, то говорят,   что функция общего вида.

Преобразование графиков.

Пример  

Построить график функции y= - 3 cos 2x.

Решение: строим график следующим образом:

1.            строим график у= cos x.

2.            у= cos xсжатие графика в 2 раза вдоль оси Оху= cos 2x

3.            у= cos 2x зеркальное отражение графика от оси Ох

                  у= - cos 2x

4.            у= - cos 2x растяжение графика в 3 раза вдоль оси Оу

     y=- 3 cos 2x.

Пример   

Построить график функции у = -3cos (-2x).

Решение. cos (-2x) = cos 2x

1.            строим график функции у = cos x

2.            растягиваем построенный график от оси Ох с коэффициентом 3                        и    получим у = 3cos x

3.            посредством симметрии относительно оси х получим

                 у = - 3cos x

4.            путем сжатия к оси у с коэффициентом 2 графика функции

                    у = - 3cos x   получим график функции у = -3cos (-2x)

Пример

Найти область определения функции:

Решение: область определения функции   найдем из системы  неравенств                      

Пример

Выяснить четность (нечетность) функций:    

Решение:    f(-x)= –x –ctg³(-x)= -x+ ctg³x= -(x - ctg³x), т. е.  

 f(-x)=-f(x) -  выполняется условие нечетности.

Ответ: данная функция нечетная.

Контрольные вопросы

1.     Определение функции.

2.     Область определения функции.

3.     Область значений.

4.     Способы задания.

5.     Свойства функции.

6.     Четность, нечетность функции.

7.     Возрастание, убывание.

8.     Ограниченность.

9.     График функции.

10. Периодичность функции.

11. Степенные функции.

12. Логарифмическая функция.

13. Показательная функция.

14. Тригонометрические функции.

15. Квадратичные функции.

16. Сложная функция.

17. Обратные функции.

18. Преобразование графиков.

Заключение

Данная работа способствует   детальному изучению   темы, поможет при выполнении самостоятельной, практической и контрольной работы.     Здесь изложены теория функции, основные свойства функций, графики, основные понятия и методы. Приведены решения примеров, даны в приложении упражнения для самостоятельной деятельности и контроля знаний и умений. Такие приложения рассчитаны для повышения уровня подготовки студентов     всех специальностей и форм и почти не требуют дополнительной информации. А также данная работа рассчитана на тех студентов, которые имеют пробел или пропущенный материал по тем или иным причинам. Здесь сделана попытка соединить в краткой форме теоретический и практический материал. Для лучшего усвоения материала приводятся решения и алгоритмы. Его можно использовать как при занятиях под руководством преподавателя, так и для самостоятельной работы.

Данное методическое пособие  применима для всех форм обучения  всех специальностей.

Литература:

1.     М.И.Башмаков Математика учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования – 5 издание, испр. – М.: Издательский центр «Академия», 2012. – 256 с.

2.     Ш.А.Алимов Алгебра и начала анализа  учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение– 384 с. , 2006

3.     А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа  учебник 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение– 384 с. , 2007

4.     Н.Ш.Кремер Высшая математика для экономистов: учебник для вузов – 2-е изд., М.:ЮНИТИ, 2004. – 471с.

5.     Н.В.Богомолов Математика: учебник для ссузов – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2004. – 395с.

6.     М.И. Каченовский, Ю.М. Колягин, Г.Л.Луканкин, Г.Н.Яковлев Алгебра и начала анализа часть 1. Под редакцией Г.Н.Яковлева – математика для техникумов – М., изд., Наука- 1977 – 336с.

7.     О.Н. Афанасьева, Я.С.Бродский, И.И. Гуткин, А.Л.Павлов Сборник задач по математике для техникумов – М., Наука – 1987.206с.