Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по математике по специальности "Технология машиностроения"

Методическое пособие по математике по специальности "Технология машиностроения"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

113


hello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m556a57cc.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m67a7f363.gifДепартамент образования и науки Брянской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Брянский профессионально-педагогический колледж»




РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ


раздела дисциплины «Математика»

для студентов 2 курса

специальности «Технология машиностроения»


http://www.de-online.ru/novosti/1212.gif


Разработала : Плющева А.В.



Брянск, 2015

Аннотация

Данное пособие ставит своей целью оказание помощи обучающимся колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений и навыков по разделам курса математики.

Эта работа требует упорства и умения читать, понимать прочитанное и применять его практически. В этом заключается суть умения работать с учебными пособиями.

Некоторые практические советы.

Прежде всего необходимо ознакомиться с содержанием того или иного раздела или темы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.

Учитесь самоконтролю.

Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение - важнейшее средство, предотвращающее забывание.

Обязательно отвечайте на вопросы самоконтроля.

О решении задач

Решение задач является лучшим способом закрепления материала. При этом следует придерживаться следующих советов:

1. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с некоторыми ее элементами;

2.Составьте план решения;

3.Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное и т.д.

Требования к выполнению и оформлению зачетной работы.

1. По каждой теме в конце даются задания для контроля знаний полученных обучающимися. Результаты выполнения данных заданий позволяют преподавателю оценить и зачесть объем материала, изученного студентом самостоятельно.

2.После изучения темы или раздела студент может получить консультацию преподавателя.

3.Зачетная работа должна обучающимися выполняться самостоятельно, аккуратно

и полно.


Содержание

1. Предел функции. Вычисление пределов функции……………………………..4

2. Производная и ее приложения……………………………………………….…11

3. Неопределенный интеграл. Методы интегрирования………………………...22

4. Определенный интеграл……………………………………………………..….27

5. Дифференциальные уравнения………………………………………………....34

6. Матрицы. Действия с матрицами……………………………………………....44

7. Определитель матрицы……………………………………………………….….51

8. Системы линейных уравнений и методы их решений…………………..…….58

9. Случайная величина и закон её распределения…………………………….….78

10. Комплексные числа……………………………………………………………. 84

11. Литература………………………………………………………………….……96
















Тема: Предел функции

Цели

Обучающийся должен уметь:

вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

раскрывать неопределенности.

Обучающийся должен знать:

место понятия предела в математическом анализе;

понятие предела функции в точке и на бесконечности;

теоремы о пределах;

понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции;

виды неопределенностей, способы их раскрытия;

замечательные пределы.


Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в медицинской практике. Пределы являются основным средством в построении теории рядов.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у= f(x) при заданном изменении аргумента.


Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме, может быть, самой точки х0.


Определение 1: Число А называется пределом функции f(x) в точке х0 (или при х, стремящемся к х0), если для каждого ε>0 найдется такое число δ>0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|x- х0|<δ, выполняется неравенство | f(x)-А|<ε.


В этом случае пишут hello_html_m37a26f28.gif или f(x)→А при х→ х0

Геометрически существование данного предела hello_html_m37a26f28.gif означает, что каково бы ни было ε>0, найдется такое число δ>0, что для всех х, заключенных между х0+ δ и х0 – δ (кроме, быть может, самой точки х0), график функции у= f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у=А+ ε и у=А- ε (рис. 1)

у

hello_html_3810a709.gif

х

Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х0.


Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f(x) называется бесконечно малой при х hello_html_m10ab8626.gifа , если hello_html_m3899ccd7.gif

Функция f(x) называется бесконечно большой при х hello_html_m10ab8626.gifа , если hello_html_m1856d5fa.gif

Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая. И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.


При вычислении пределов непрерывных функций применяют теоремы о пределах:

1) Предел постоянной величины есть постоянная.

hello_html_m132e90b8.gif

2) Предел суммы (разности) переменных, имеющих пределы, равен сумме (разности) их пределов.

hello_html_m7f016e01.gif

3) Предел произведения переменных, имеющих пределы, равен произведению их пределов.

hello_html_m4e961e2b.gif

Следствия

а) Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

hello_html_4a8aaf17.gif

б) Предел степени переменной, имеющей предел, равен степени её предела.

hello_html_53bbf81f.gif

4) Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному их пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

hello_html_e48f01c.gif,

Вычисление пределов


Пример 1: Вычислить hello_html_m368e82c.gif

Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при hello_html_441c23c4.gif достаточно вместо переменной hello_html_7c60c7c0.gif поставить значение hello_html_302dfb36.gif, к которому она стремится, выполнить соответствующие действия.

Ответ: 49

Пример2: Найти предел hello_html_24b2c090.gif

hello_html_1788b313.gif

Вывод: если в функцию hello_html_m7ba72ba8.gifподставить значение x=3, то получим тот же результат.

Ответ:2

Поэтому для нахождения предела непрерывной функции при hello_html_5c3ae64d.gifберут значения функции в этой точке.

hello_html_m1c4682dd.gif

Замечания:

1) Если предел делителя равен нулю, а предел делимого если число, отличное от нуля, то предел дроби не существует, т.е. дробь стремится к бесконечности.


Пример3: hello_html_m1fe291e0.gif

Ответ:hello_html_m190a6000.gif

2) Если предел делимого существует, а делитель стремится к бесконечности, то предел равен нулю.

Пример 4: hello_html_m3c94c89a.gif

Делитель стремится к hello_html_m190a6000.gif , значит, обратное ему число стремится к бесконечно малому числу, т.е. 0. Следовательно, произведение hello_html_61e4782b.gif

Ответ:0

Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения, не имеющие конкретного смысла:

hello_html_m75d18130.gif

Их называют неопределенностями.

Пример5: Вычислите предел: hello_html_m51eaaf2b.gif

При подстановке x=3 получаем неопределенность hello_html_mb208f77.gif. Преобразуем дробь:

hello_html_453b8391.gif

Так как hello_html_m7d998d3e.gif, а только стремится к 3, то можно сократить на (x-3):

hello_html_m55eb8bc1.gif.

Ответ:6


Пример 6: Найти hello_html_4d8f9b21.gif, при а) x0=1; б) х0=2; в) х0=hello_html_m21fcceb9.gif.

а) hello_html_184ce9e0.gif

Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного. Тогда hello_html_2a03b4c5.gif

б) Здесь предел знаменателя равен нулю:

hello_html_m6ccedec8.gif

Непосредственное применение теорем о пределах приводит к неопределенному выражению вида hello_html_mb208f77.gif. Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители, и сократим дробь на множитель (x – 2)

Тогда hello_html_m3528e3aa.gif.

в) Чтобы найти hello_html_3b378d6d.gif, разделим числитель и знаменатель на х2.

При стремлении х к hello_html_m190a6000.gif , числитель и знаменатель стремятся к hello_html_m190a6000.gif , т.е. имеется неопределенность вида hello_html_m633c5de8.gif . Для раскрытия неопределенности почленно разделим числитель и знаменатель на х с наибольшим показателем степени (х2), применим свойства пределов:

получим: hello_html_m6d4ab89d.gif

Ответ: а) hello_html_124acf68.gif; б) 1; в) hello_html_m6ab3ad4e.gif.

Пример 7: Найти hello_html_49563f7a.gif.

Так как hello_html_37d81a60.gif, то теорему о пределе частного применять нельзя (неопределенность hello_html_mb208f77.gif ).

Преобразуем данное выражение. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

hello_html_2d32f683.gif

Ответ: hello_html_39f1b7ec.gif

Пусть функция f(x) имеет вид: hello_html_m35f5cba7.gif , где

hello_html_m1d22b8ef.gif- отличные от нуля действительные коэффициенты

hello_html_4bd2c8cc.gif- неотрицательные числа.

Наибольшее из чисел hello_html_m3c25f72f.gif называют степенью числителя дроби, а наибольшее из чисел hello_html_m4a4364b7.gif - степенью знаменателя.


Замечания:

1) Если степень числителя ниже степени знаменателя, то hello_html_33ae0513.gif

Пример 8: hello_html_m12233aab.gif,

т.к. степень числителя равна 3, а степень знаменателя – 4.

Ответ: 0

2) Если степени равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов


Пример 9: hello_html_61ffb29b.gif

Ответ: hello_html_6eec8aff.gif

3) Если степень числителя выше степени знаменателя, то hello_html_m16dd6308.gif

Пример 10:hello_html_m62a00377.gif

hello_html_m635842c.gif, т.к. степень числителя равна 4, а степень знаменателя – 3.

Ответ:hello_html_m190a6000.gif

т. е. hello_html_1dbbfbf6.gif = hello_html_1425fbf2.gif


Замечательные пределы


При вычислении пределов функций нередко используют эквивалентность бесконечно малых, а также два замечательных предела.

Две бесконечно малые α и β называются эквивалентными, если hello_html_6e008cbe.gif

Пусть u(x)→0 при х→х0 тогда


hello_html_20e6cd54.gif


hello_html_12622e70.gif

- первый замечательный предел


т.е. sin x и х при хhello_html_m10ab8626.gif0 являются эквивалентными бесконечно малыми и обозначают sin x ~ x.

hello_html_3a183831.gif

- второй замечательный предел



hello_html_3b0b2a74.gif- основание натурального логарифма.

Пример 11:hello_html_m62a00377.gif Вычислить предел hello_html_1d85b89b.gif

Для раскрытия неопределенности hello_html_m381841db.gif воспользуемся тригонометрическим тождеством, свойствами дробей и первым замечательным пределом

hello_html_m6b4981b2.gif

Ответ: hello_html_m5debe00b.gif

Пример 12:hello_html_m62a00377.gif Вычислить предел hello_html_5d812d0c.gif

hello_html_6f124c4f.gif

Ответ: hello_html_m76d2fee9.gif

Упражнения

Найдите пределы функций:

1) hello_html_5665358.gif

2) hello_html_m2f79beeb.gif

3) hello_html_m7969562f.gif

4) hello_html_3ae1c0ce.gif

5) hello_html_362f1a0f.gif

6) hello_html_406788f5.gif

7) hello_html_68344ed3.gif


8) hello_html_m2f3b14be.gif

9) hello_html_5e82a9e4.gif



10) hello_html_m5dfab492.gif

11) hello_html_m10f17506.gif

12) hello_html_m15bdb069.gif

13) hello_html_m4f5bb4e5.gif

14) hello_html_287a6d99.gif


15) hello_html_m62a00377.gifhello_html_m31a9f57b.gif

16) hello_html_m79df533d.gif

17) hello_html_6b28d9fc.gif



18) hello_html_m66989963.gif


19) hello_html_m5184f2c0.gif


20) hello_html_362ba56f.gif

21) hello_html_m52d0a06.gif

22) hello_html_56f8fe47.gif


23) hello_html_52cfe9c.gif


24) hello_html_m6c00a4d5.gif

25) hello_html_m5f6d8800.gif



Контроль знаний № 1

Вычислить пределы:

hello_html_7b5ba48b.gif


Тема: Производная и ее приложения.

Понятие производной – одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Цели

Обучающийся должен уметь:

вычислять производные функций по определению и таблице производных;

применять теоремы о производных;

решать задачи с использованием производных.


Обучающийся должен знать:

определение производной функции;

таблицу производных;

теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции;

геометрический и физический смысл производной функции.

области практического применения производной функции.


Определение 1: Производной функции f(x) в точке hello_html_7a1b6837.gif называется предел отношения приращения функции hello_html_5bc3af2e.gif к приращению аргумента hello_html_m24efa840.gif, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

hello_html_40d95403.gif.

Пример 1: Найдите производную функции hello_html_m7f4bb8d3.gif, пользуясь определением.

Решение.

1) hello_html_m33ace5e1.gif

2) hello_html_7cacac69.gif

3) hello_html_m3eae6818.gif

4) Найдем производную: hello_html_6549b9e3.gif

Ответ: y’=3

Определение 2: Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной

Определение 3: Производная функции f(x) в точке hello_html_7a1b6837.gif равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой hello_html_7a1b6837.gif, т.е.

f ‘(hello_html_7a1b6837.gif)=k=tg α.

в этом заключается геометрический смысл производной.

hello_html_m597f38f6.gif

hello_html_49da8cce.gif- уравнение касательной


Определение 4: Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

V(t)=s’(t)=hello_html_m24cc939a.gif,

в этом заключается физический (механический) смысл производной.

Правила дифференцирования.

hello_html_104c89b4.gif

hello_html_m4bb1d63f.gif

hello_html_m41da6943.gif


Основные формулы дифференцирования

hello_html_m2125c3bf.gif

hello_html_382aabd0.gif

Пример 2: Найти производную функции у=hello_html_m2fe349e4.gif

hello_html_7e5a1fd4.gifОтвет: y’=hello_html_2c40af3d.gif

Пример 3: Найти производную функции y=hello_html_m289c3973.gif

hello_html_c681209.gif

Ответ: y’= hello_html_m748c59a9.gif

Сложная функция.

Понятие сложной функции широко используется в математике. Со сложными функциями мы уже неоднократно встречались в курсе математики при рассмотрении различных вопросов. Например, вычисляя значение функции f(x)=lg(x2 – х + 2), хhello_html_m79f24a27.gifR, в некоторой точке х0, мы поступаем следующим образом: сначала находим значение квадратного трехчлена g(x)= x2 – х + 2 в точке х0 т.е. у0=g(x0), а затем находим значение его логарифма, т. е. h(y0)=lgy0=lg g(x0) . Итак, f(xa) = h[g(xa)]. Если считать x0 переменной, то получим функцию f(x)=h[g(x)] от переменной х. Функция f(x)=h[g(x)] и есть сложная функция, составленная из функций g и h.

Пусть заданы две функции у=g(x) и z=h(y), причем область определения функции h содержит множество значении функции g. Функция, заданная формулой z = h[g(x)], называетcя сложной функцией, составленной из функций g и h, или суперпозицией функций g и h.

Подобным же образом можно рассматривать сложные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций.


Теорема: Пусть функция у=g(x) hello_html_2e9946b4.gif, имеет производную в точке hello_html_m7c1375dc.gif, а функция z=h(y) определена на интервале, содержащим множество значений функции f(x), и имеет производную в точке у0=g(x0). Тогда сложная функция z = h[g(x)], имеет производную в точке х0, которая вычисляется по формуле: hello_html_25eb6129.gif или hello_html_m4d72709c.gif

Пример 4: Найти производную функции: f(x)=(x2+3x+10)2

Решение: Будем рассматривать данную функцию как сложную, а именно, как композицию функций u(x) и y(u) , где y(u)=u2 и u(x)=x2+3x+10 . Тогда hello_html_m46f37e15.gif

Пример 5: Найти производную функции hello_html_m3d23f301.gif

hello_html_78628e7d.gif

Вторая производная

Определение 5: Второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной hello_html_m3a33dbd9.gif

Вторая производная функции обозначается одним из символов:

hello_html_36c11407.gif

Таким образом hello_html_476d4a28.gif

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:

hello_html_m4c93b768.gifили hello_html_2a91f36.gif

Механический смысл второй производной

Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е. a(t)=hello_html_m6d8d1e92.gif

Пример 6: Найти производную четвертого порядка для функции hello_html_m794f5bd4.gif.

hello_html_m6e31bf9f.gif

hello_html_m9136fda.gif

hello_html_51301dba.gif

hello_html_7ca4fed3.gif

Очевидно, что и все последующие производные будут равны нулю.

Исследование функции методами дифференциального исчисления

Признаки возрастания и убывания функции

Если производная функции f(x) в данном промежутке значений х положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.


Пример 7: Найти интервалы монотонности функции hello_html_5ea2b9e8.gif.

Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой.

hello_html_m67717f6b.gif

hello_html_m58860998.gifфункция возрастает на hello_html_700991d6.gif

hello_html_3766bf02.gifфункция убывает на hello_html_m6d0b8f8c.gif

Признаки максимума и минимума


1.Первый признак.

(Пусть f(x)-дифференцируема в окрестности точкиhello_html_m35604c18.gif)

Если производная hello_html_77e13db3.gif при переходе через точку hello_html_m35604c18.gif меняет знак плюса на минус, то hello_html_m35604c18.gif является точкой максимума;

если производная hello_html_77e13db3.gif при переходе через точку hello_html_m35604c18.gif меняет знак минуса на плюс, то hello_html_m35604c18.gif является точкой минимума;

если производная при переходе через точку hello_html_m35604c18.gif не меняет знак, то в точке

hello_html_m35604c18.gifфункция не имеет экстремума.


2.Второй признак.

Если функция f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки hello_html_m35604c18.gif, причем hello_html_m74d7436d.gif а hello_html_m62a00377.gifhello_html_m7ec9842d.gif, то в точке hello_html_m35604c18.gifфункция

f(x) имеет максимум, если hello_html_699b8a78.gif и минимум, если hello_html_m668a7b12.gif


Пример 8: Найти точки максимума и минимума функции hello_html_m7e039d7d.gif

  1. Находим производную: hello_html_5ef62dcd.gif.

  2. hello_html_m38263153.gif hello_html_64b9c6a3.gif

  3. Находим вторую производную: hello_html_m62a00377.gifhello_html_m1e853740.gif

  4. Определяем знак второй производной:

hello_html_3248e2c.gifhello_html_m4827e8dd.gif

Следовательно, hello_html_34e9f50e.gif - точка максимума hello_html_m4c525bbd.gif - точка минимума

  1. Вычисляем максимальное и минимальное значения функции:

hello_html_790dcaa2.gifhello_html_44d7fafe.gif

Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.


1.Если на интервале (а;b) дважды дифференцируемая функция у=f(x), xhello_html_m320c92c3.gif, имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).


Определение 6: . Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.


2.Если функция у=f(x), xhello_html_m320c92c3.gif, дважды дифференцируема на интервале(а;b) и при переходе через hello_html_m35604c18.gifhello_html_m320c92c3.gif вторая производная hello_html_7635bd24.gif меняет знак, то точка кривой с абсциссой х=hello_html_m35604c18.gif является точкой перегиба.


Первое правило нахождения максимума и минимума функции у=f(x),


1. Найти производную hello_html_77e13db3.gif.

2. Приравняв её к нулю, отыскать корни полученного уравнения; пусть эти корни( критические значения аргумента) будут hello_html_2cfa08de.gif и т.д.

3. Расположив значенияhello_html_2cfa08de.gif,… в порядке возрастания их величин, подставить в производную любое число, меньшее hello_html_7adb38f6.gif а затем подставить любое число, большееhello_html_7adb38f6.gif но меньшееhello_html_m72d1c516.gif если при этом знак производной окажется:

1) сначала +, затем -, функция при х=hello_html_7adb38f6.gif имеет максимум,

2) сначала - , затем +, функция при х=hello_html_7adb38f6.gif имеет максимум,

3) в обоих случаях одинаковый, то при х=hello_html_7adb38f6.gifфункция не имеет ни максимума, ни минимума.

Таким же образом определить знак hello_html_77e13db3.gif для х<hello_html_m242a4f39.gif и для х>hello_html_m242a4f39.gif, но для х<hello_html_m242a4f39.gifзнак hello_html_77e13db3.gif уже определен, остается найти ее знак в промежутке значений х между hello_html_m242a4f39.gif и hello_html_m749c51cf.gif и по чередованию знаковhello_html_77e13db3.gif установить, будет ли функция при х=hello_html_m242a4f39.gif иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того ни другого и т.д.

4. Найти максимальные и минимальные значения функции, т.е. вычислить hello_html_m217358ce.gif и т.д.


Пример 9: Исследовать на выпуклость график функцииhello_html_m637324b7.gif и найти точки перегиба

hello_html_5f4144e7.gif

hello_html_59a5f826.gif

hello_html_62bb9fbb.gif

hello_html_55eccc09.gif

hello_html_m6976d69e.gif

hello_html_2a002957.gif

hello_html_3209ee7f.gif

Точка перегиба hello_html_m7652642d.gif.


План исследования функции с помощью производной и построение графика:

1) Найдите область определения и область значений функции,

2) Установите, является ли функция чётной или нечётной, (найдите y=f(–x). Если f(–x) = f(x) , то функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат;

если f(–x) = – f(x), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат).

3) Исследовать функцию на периодичность (функция периодична, если существует такое число Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x))

4) Исследуйте функцию на монотонность.

5) Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках.

6) Найдите интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7) Найдите нули функции и её значения при x=0 . (Точки пересечения с осями координат).

8) Постройте график.


Пример 10: Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: hello_html_m10c7bde0.gif.

  1. Область определения функции hello_html_374a5715.gif, т.к. функция f(x) непрерывна как сумма непрерывных функций hello_html_mb62b23f.gif.

  2. Найдем f(-x). hello_html_md9b01d2.gif, т.е. hello_html_4f083e2b.gif.

Значит, функция не является четной и не является нечетной.

3. Функция не периодична, т.к. не существует такого числа Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x).

4. Найдем первую производную:

hello_html_1d6e0529.gif.

hello_html_m130a9004.gif.

hello_html_191db062.gif

5. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции:

В точке hello_html_1fddb017.gif имеем минимум, так как hello_html_m73db0899.gif. В точке hello_html_1fddb017.gif имеем максимум, так как hello_html_m2e564fc1.gif.

Определим знак первой производной. На интервале hello_html_m57b83440.gif Для этого найдем hello_html_m751de02d.gif. Значит, на промежутке hello_html_m478b95bb.gif, функция возрастает.

На интервале hello_html_m327413b6.gif, так как hello_html_75c9235f.gif - функция убывает. На интервале hello_html_51c61d4c.gif, так как hello_html_5ccb20cd.gif - функция возрастает.

6. Найдем вторую производную: hello_html_m4bb0e59a.gif

hello_html_m217e6fca.gif-

Найдем значения в экстремальных точках.

hello_html_37b607c.gif

Определим направление выпуклости графика функций:

Поскольку hello_html_m6e33811f.gif, а hello_html_m4eb10bc4.gif при hello_html_534328b3.gif, то при hello_html_m4e84e9eb.gif - функция выпукла вверх, а при hello_html_m17286d5c.gif - функция выпукла вниз. Следовательно, в точке hello_html_534328b3.gif имеется перегиб. Найдем hello_html_m717ca5ad.gif

По результатам составим таблицу:


X

hello_html_m478b95bb.gif

-0,22

hello_html_215aa8f0.gif

0.67

hello_html_m765fc92d.gif

1,55

hello_html_m7e6f79a0.gif

hello_html_m40063d6a.gif

+

0

-

-

-

0

+

hello_html_471140bc.gif

-

-

-

0

+

+

+

y


2,11


0,74


-0,63


Вывод


max



точка перегиба


min



7. Определим точки пересечения с осью Ох и Оу.

Пусть х=0, тогда hello_html_77ffb1a4.gif.

Пусть теперь y=0, т.е. hello_html_m5ff65967.gif. Чтобы решить кубическое уравнение, разложим правую часть на множители:

hello_html_mbd7a217.gif

Тогда hello_html_1815caf7.gif, откуда hello_html_m5d06b05e.gif, т.е. hello_html_4d3125df.gif, т.е. hello_html_6e7bfa0e.gif, т.е. hello_html_323f962b.gif

Значит, точки пересечения с осями координат (0;2); (-1;0); (1;0);(2;0).

8. Строим график функции:


график.gif


Правило Лопиталя

Теорема (Теорема Лопиталя). Пусть функции hello_html_603143a6.gif и hello_html_m5ef30d9d.gif дифференцируемы в некоторой окрестности точки hello_html_3c6b3dc8.gif , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x) 0 для всех хU(х0), hello_html_m1f861a30.gif. Тогда если hello_html_18e5f6d4.giff(x) = hello_html_18e5f6d4.gifg(x) = 0 (или hello_html_18e5f6d4.giff(x) = hello_html_18e5f6d4.gifg(x) = ) и существует hello_html_m58566041.gif, то существует и hello_html_7fc5113a.gif, причем hello_html_m558cea74.gif=hello_html_m58566041.gif.

Если отношениеhello_html_2cb92562.gif в свою очередь представляет собой неопределенность вида hello_html_m78eb8210.gif или hello_html_m3baecc7.gif, то правило Лопиталя можно применять второй раз и т. д.


Пример 11: hello_html_m5f0f7912.gif=

= hello_html_529d80cc.gif.


Пример 12: hello_html_60afe03a.gif.

Пример 13: Найти hello_html_ma4f7a61.gifxlnx.

hello_html_41613b79.gif

Упражнения


1. Найдите производные функций, пользуясь определением:

а)hello_html_240dc3c6.gif

б) hello_html_77934b68.gif

в) hello_html_m587be13b.gif


г) hello_html_m4527359c.gif

д) hello_html_m74a0d0d8.gif



2. Найдите производные функций:


1) hello_html_m618d1cd0.gif

2) hello_html_m79aee49c.gif

3) hello_html_2b024b90.gif

4) hello_html_5710a91f.gif

5) hello_html_m171444e3.gif

6) hello_html_m46a73eb.gif

7)hello_html_m779a17b2.gif

8)hello_html_m755814ea.gif

9) hello_html_m66723088.gif

10) hello_html_m62a00377.gifhello_html_m679fe0c.gif

11) hello_html_m4e0fc3e1.gif

12) hello_html_m28acf491.gif



13)hello_html_532b5f4f.gif

14)hello_html_792e1a66.gif

15)hello_html_m7ca95752.gif

17) hello_html_2cc84869.gif


3. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

11)

hello_html_798b2d5.gif

2)

hello_html_74e2c0cd.gif

3)

hello_html_551e8608.gif


4. Продифференцировать функции


1

hello_html_60207bcd.gif

6

hello_html_m13e8d316.gif

2

hello_html_41618427.gif


7

hello_html_m29b13305.gif

3

hello_html_fed084c.gif

8

hello_html_4f89dffc.gif

4

hello_html_2989a460.gif

9

hello_html_m4f720c97.gif

5

hello_html_m1f40d93b.gif

10

hello_html_43cd6363.gif


5. Найдите значение производной функции:

hello_html_3437ca69.gif

6. Найти промежутки монотонности для функции


hello_html_91b7c00.gif

hello_html_m255646ff.gif

hello_html_m393dc236.gif

hello_html_m6882716d.gif

hello_html_2fedf6fd.gif

hello_html_3b19c298.gif

hello_html_550ca428.gif


7. Исследуйте на экстремум следующие функции:

hello_html_56c33dfc.gif

hello_html_m69fb48d1.gif

hello_html_m3b4961d.gif

hello_html_m48d9b605.gif


8. Проведите исследование функции и постройте ее график

hello_html_m47f3f017.gifhello_html_60cfa27d.gifhello_html_73f0880.gif

9. Решите задачи:

hello_html_m29057a6f.gifб) Зависимость температуры T тела от времени t задана уравнением hello_html_35f32d4d.gif. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=10 c?

в)Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону hello_html_m25f32fa4.gif Найдите скорость растворения вещества.


Контроль знаний № 2.

  1. Найти производные функций:

hello_html_m12764fd9.gif

2. Найти hello_html_m775cc718.gif если hello_html_m7e89dee3.gif

__________________________________________________________________

3. hello_html_m1af725a3.gif Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

___________________________________________________________________

4. Найти максимум и минимум функции hello_html_m1c8e094b.gif

________________________________________________________________

5. Исследовать и построить график функции hello_html_586cd05a.gif





Тема: Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).

Цели

Обучающийся должен уметь:

находить первообразные функции, неопределенный интеграл;

применять метод непосредственного интегрирования и замены переменной.

Обучающийся должен знать:

определение понятия первообразной, неопределенного интеграла;

свойства неопределенного интеграла;

таблицу интегралов;

методы интегрирования;

область применения неопределенного интеграла.


Как известно, в дифференциальном исчислении решается задача о нахождении производной или дифференциала заданной функции. Однако на практике часто приходится решать обратную задачу: по заданной производной или по заданному дифференциалу находить саму функцию. Для решения этой задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. Функцию, восстанавливаемую по заданной производной или дифференциалу, называют первообразной.

Для дифференциального исчисления: дана функция hello_html_m2d432eab.gif, требуется найти ее производную.

Для интегрального исчисления: дана функция hello_html_m2d432eab.gif, необходимо найти такую функцию hello_html_mc527eda.gif, что hello_html_mca049cd.gif.


Определение 1. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x), если hello_html_4bf72abc.gif, или, что то же самое, hello_html_73ef2e42.gif


Пример 1: Найти первообразную для функции hello_html_635da66c.gif.

Решение: Функция hello_html_412198ac.gifявляется первообразной для hello_html_m796cfe25.gif. Но в качестве первообразной может быть функция hello_html_m40529c67.gif, hello_html_c17d3b6.gif, т.е. hello_html_m2f0ce3d6.gif, где С – произвольная константа.


Для функции f(x) существует множество первообразных F(x)+c.


Определение 2. Множество всех первообразных F(x)+c для функции f(x) называется неопределенным интегралом и обозначается hello_html_m1a147c0d.gif

Таким образом hello_html_4a7b04f.gif=F(x) +c.

Функция hello_html_m2d432eab.gif называется подынтегральной функцией,

hello_html_m3c5eb9fb.gif- подынтегральным выражением,

х – переменной интегрирования,

символ hello_html_m750560fd.gif- знаком неопределенного интеграла,

С – постоянной интегрирования.

Пример 2: Найти hello_html_1d9cf2bd.gif, т.к. hello_html_72c7f1fc.gif


Основные свойства неопределенного интеграла.


1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. hello_html_1ceb548b.gif

2) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е. hello_html_m2adb5cec.gif

3) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. hello_html_7e415d4e.gif

4) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная hello_html_m29926060.gif

5) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е. hello_html_408ab3f0.gif

Таблица основных интегралов.

hello_html_137785e2.gif

hello_html_60997e58.gif

Методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличных интегралов.

Пример 3: Найти интеграл hello_html_164ea629.gif

hello_html_m19a89fe2.gif

2.Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Пример 4: Найти hello_html_m6476dae0.gif.

Сделаем подстановку hello_html_m751e421c.gif Найдем дифференциал обеих частей подстановки: hello_html_m21652594.gif откуда hello_html_1bd1371f.gif Следовательно,

hello_html_bbdd27d.gif

3.Интегрирование по частям.

Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию. При вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение hello_html_14719603.gif представляется в виде произведения множителей u и dv; при этом dx обязательно входит в dv. В результате получается, что заданный интеграл находят по частям:

hello_html_m78a35466.gif

Рекомендации для выбора функций u и dv.

1. При вычислении интегралов вида hello_html_36a71299.gif , hello_html_704d84db.gif, hello_html_167b5674.gif за функцию принимается непосредственно hello_html_a438a16.gif,hello_html_m41c6aa6e.gif , hello_html_m7d7e5584.gif.

2. При вычислении интегралов вида hello_html_3d0a6072.gif, hello_html_7a1ff519.gif, hello_html_m64efb8e8.gif, за функцию u принимается многочлен hello_html_m59f2ae76.gif.

3. При вычислении интегралов вида hello_html_m2bec4753.gif, hello_html_m1e902c18.gif формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причем оба раза за u выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая.


Пример 5: Найти hello_html_3c887738.gif.

Положим u=3x-1; dv=hello_html_7aa2c1fc.gif, тогда du=3dx, v=hello_html_10f2c789.gif.

Следовательно, hello_html_192e2a55.gif


Упражнения.


1. Найдите интеграл и проверьте результат дифференцированием

hello_html_m3c12a587.gif

2.Найдите интегралы

1



hello_html_6bdc89d6.png




9

hello_html_6bdc89d6.png

16) hello_html_m1b898635.gif

17) hello_html_m1c47023.gif

18) hello_html_m61ebafed.gif

19) hello_html_m4a986550.gif

20) hello_html_m44b45c26.gif

21) hello_html_m1c5031fe.gif

22) hello_html_m215f769b.gif

23) hello_html_2e4d6669.gif

24) hello_html_m473e9b2c.gif

2


10


3

11

4

12

5

13

6

14

7

15

8



3. Найдите интегралы, используя замену переменной


1

hello_html_m3ac37bbe.png


9

hello_html_m3ac37bbe.png


17


18


19


20

hello_html_4f0e8499.gif

hello_html_m41bd2b9a.gif

hello_html_5b478bd0.gif

hello_html_7dc46085.gif



2


10


3


11


4


12


5


13


6


14


7

15

8

16


4. Найдите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям



1

hello_html_39412792.png



6

hello_html_39412792.png


2


7



3


8


4

9


5

10

5. Используя указанные подстановки, найти интегралы:

а) hello_html_2e8672b.gif

б) hello_html_3920149f.gif

Контроль знаний № 3

1.Доказать, что функция F(х)=hello_html_46ffafcf.gif есть первообразная для функции f =hello_html_m2d6a0bd3.gif на промежутке hello_html_5d9da173.gif.

________________________________________________________

2. Найти первообразную для функции f(x)=3sin x-2cos x.

_________________________________________________________

3. Для функции f(x)=hello_html_m5a34f953.gif найти первообразную, график которой проходит через точку М(1; -1).

4. Вычислить неопределенный интегралы

hello_html_m1bf0ff4d.png

_____________________________________________________________

hello_html_m59bbfccc.gif

______________________________________________________________

hello_html_mbce080c.gif


Тема: Определенный интеграл.

Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- Вычислять определенный интеграл.

- Решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

Обучающийся должен знать:

- Понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница.

- Свойства определенного интеграла.

- Геометрический смысл определенного интеграла.

- Области применения определенного интеграла.


В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой множество всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливается формулой Ньютона-Лейбница:

hello_html_2d424613.gif

где:

функция hello_html_m2d432eab.gif - подынтегральная функция,

hello_html_m3c5eb9fb.gif- подынтегральное выражение,

х – переменная интегрирования,

символ hello_html_m750560fd.gif- знак интеграла,

F(x)- любая первообразная от функции hello_html_m2d432eab.gif,

hello_html_37fe7efb.gif- знак вставки,

а – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.


Геометрический смысл определенного интеграла: Определенный интеграл hello_html_m27c71b36.gif численно равен площади S криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х = а и х = b, т.е. S= hello_html_m3e49f614.gif





у

х

а

b

f(х)





Свойства определенного интеграла.

1. hello_html_m62a00377.gifhello_html_580a61bc.gif

2. hello_html_m30093267.gif

3. hello_html_7ed9c57c.gif

4. hello_html_130411bc.gif

5. hello_html_m786f98e0.gif


Все формулы и методы неопределенного интегрирования распространяются и на определенное интегрирование.

1.Непосредственное интегрирование

Пример1 : Вычислите определенный интеграл hello_html_m5626ab03.gif

hello_html_4131dde1.gif

Пример 2: Вычислите определенный интеграл hello_html_122f40e8.gif

hello_html_52f31cc2.gif

2.Интегрирование подстановкой

Пример 3: Вычислите определенный интеграл методом подстановкиhello_html_me885871.gif

hello_html_5b99244d.gif

Пример 4: Вычислите hello_html_315a098a.gif

hello_html_1024f957.gif

3.Интегрирование по частям

hello_html_m251206e8.gif

Пример 5: Вычислите интеграл hello_html_7765631e.gif, используя формулу интегрирования по частям

hello_html_6dac51fa.gif


Приложения определенных интегралов

Вычисление площади криволинейной трапеции

Если f(x)≥0 при х[a;b] ,то

hello_html_7d66b1cb.gif


Вычисление объема тела вращения

hello_html_658bb936.gif

Пусть криволинейная трапеция D c границей y= f(x), х = а и х = b (a<b), y=0 вращается вокруг оси ОХ. Объем тела вращения вычисляется по формуле

hello_html_m616970db.gif

Пример 6:

х

у

1

3

0

Вычислите площадь, ограниченную параболой hello_html_m3f2220e8.gif, прямыми hello_html_1cfa0b26.gif и hello_html_223f2ecc.gif и осью абсцисс.

Искомая площадь выражается интегралом

hello_html_24caf2be.gif









Пример 7: Найти площадь фигуры ограниченной линиями у=hello_html_39af2f88.gif и х+у=3

На рисунке представлена фигура, площадь которой требуется найти.

hello_html_m58c48259.gif

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

hello_html_mbe59.gif


При решении квадратного уравнения системы hello_html_48a6dda3.gif, получаем два корня x1=2 и x2=1.

Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.

hello_html_2b01e6f5.gif=3-x, (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).

Теперь можно вычислить площадь фигуры:


hello_html_6516ead0.gif

Ответ: 4,5 кв.ед.


Упражнения.


1. Вычислите определенный интеграл



1)




2)



3)



4)




5)



6)




7)



8)

hello_html_4d926077.png

hello_html_4d926077.png

hello_html_4130f338.gif

9) hello_html_m6e25ad19.gif

10) hello_html_m1007ba7d.gif

11) hello_html_m183de820.gif

12) hello_html_547d6f11.gif

13) hello_html_4b6d687.gif

14) hello_html_2a6bcae9.gif

15) hello_html_m3bbe855a.gif


2. Найдите функцию по ее дифференциалу

hello_html_m7ae76ea8.gif


3. Вычислите определенный интеграл с помощью подстановки


1)



2)



3)




4)

hello_html_m7ded5324.gif

hello_html_1c41a5fc.png


5)




6)




7)



8)

hello_html_9b79221.png

hello_html_190a9fb0.gif


4. Вычислите определенный интеграл методом интегрирования по частям

а) hello_html_7e0d4741.gif ,

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) hello_html_7536904f.gif

б) hello_html_m7c3397e2.gif

в) hello_html_m9aa1667.gif

г) hello_html_102091f0.gif

д) hello_html_m754ac647.gif

е) hello_html_m7a166427.gif

ж) hello_html_m4cbb1d1b.gif

з) hello_html_6d4cd62b.gif

и) hello_html_m2f01583a.gif

к) hello_html_4b8503ee.gif

л) hello_html_m2e043cde.gif




Контроль знаний №4

1.Вычислить:

1).hello_html_m59de7e00.gif_______________________________________________________


2). hello_html_3f598765.gif_____________________________________________________


3). hello_html_55f58d9d.gif___________________________________________________


4). hello_html_5168b463.gif ___________________________________________________


2 .Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

hello_html_5166b2eb.gifhello_html_m62b536ac.gif




_________________________________________________________________________

3.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=2х+1, х=0, х=2, у=0.






Тема: Дифференциальные уравнения.


В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.


Цели

Обучающийся должен уметь:

- находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;

- находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;

- составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Обучающийся должен знать:

- понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и частного решения;

- понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения

- понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;



Определение 1: Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию y и ее производные hello_html_4bf53077.gif

hello_html_m1306275.gif


Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию hello_html_360ea685.gif, подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.


Определение 2: Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Пример: hello_html_12643469.gif- уравнение первого порядка

hello_html_22440e54.gif- уравнение третьего порядка.

При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:

  • Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.

  • Полученное числовое значение С подставить в общее решение.


Определение 3: Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение – совокупностью интегральных кривых

hello_html_m22e1590b.gif(зависит от С)


Пример 1: Найти решение задачи Коши: hello_html_341bba1d.gif hello_html_7da32aa4.gif

Решение: hello_html_m474b031a.gif - общее решение

Найдем С, подставив hello_html_m191dd1a9.gifв общее решение:

hello_html_76f11a56.gif

Следовательно, решение задачи Коши: hello_html_54b2f020.gif.


Виды дифференциальных уравнений и их решение

а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными


Определение 4: Уравнение вида f(x)= φ(x), где f(x) и hello_html_6c162a1c.gif φ(x) - данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными.


Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием. Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.


Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения :

hello_html_m1bbf3a29.gifhello_html_m1bbf3a29.gif, если hello_html_m99fdc01.gifhello_html_m99fdc01.gif при hello_html_m698ace33.gifhello_html_m698ace33.gif

Интегрируем обе части уравнения hello_html_m3f19fffa.gif

Данное выражение получилось в результате интегрирования.

hello_html_m67f78b2b.gif

Это и есть общее решение данного уравнения. Подставив в общее решение начальные условия, находим С из предыдущего уравнения hello_html_1b9355a0.gif

Подставим С в общее решение и получим частное решение данного уравнения

hello_html_c3962b9.gif

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными


Определение 5: Дифференциальное уравнение первого порядка hello_html_5b7e0f3a.gif называется уравнением с разделяющимися переменными.


При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными используется следующий алгоритм:

  1. Выразить производную функции через дифференциалы dx и dy hello_html_7b58f9ea.gif

  2. Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку

  3. разделить переменные (если hello_html_m6f3eba70.gif)

  4. проинтегрировать обе части полученного равенства по hello_html_61fbadc9.gif и hello_html_m8483b2f.gif соответственно и найти общее решение., т.е. написать уравнение hello_html_4a39df05.gif

  5. решить это уравнение относительно y (если это возможно) и получить общее решение в виде hello_html_5a53abb2.gif.

Если это сделать нельзя, то говорят, что уравнение hello_html_4a39df05.gif неявно задает общее решение.

  1. Если заданы начальные условия, то находят частное решение.


Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.


Пример 3: Найти общее решение дифференциального уравнения: hello_html_598c5761.gif

Заменим hello_html_m7bf02e84.gif на hello_html_mebe6a28.gif hello_html_m311f5167.gifhello_html_m311f5167.gif

hello_html_me494c70.gif

Умножим все члены равенства на hello_html_5f50b269.gif dx : hello_html_663b37de.gif

Сгруппируем все члены, содержащие hello_html_m55857393.gif dy и hello_html_5f50b269.gif dx , и запишем полученные выражения в разных частях равенства (1+x)dy=-(1+y)dx


Разделим обе части равенства на (1+x) и (1+y) т.е. разделим переменные


hello_html_2100c3f6.gif

Проинтегрируем обе части равенства hello_html_4c0781a8.gif

hello_html_m3c15d3aa.gif. Воспользовавшись теоремой о логарифмах преобразуем правую часть равенства

hello_html_78548470.gif

и свойством логарифмов: если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа

hello_html_m13299e2b.gif

Находим у и получаем общее решение дифференциального уравнения

hello_html_m444cab2d.gif

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 6: Дифференциальное уравнение первого порядка hello_html_m56b1a2b.gif

называется линейным, если имеет следующий вид: hello_html_4eb2e491.gif, где hello_html_m59f2ae76.gifи hello_html_a3304dd.gif - заданные функции от hello_html_m468af310.gif


При решении таких уравнений применяют метод Бернулли, который заключается в следующем:

  • Приводят уравнение к виду hello_html_37b62f7.gifhello_html_37b62f7.gif, где hello_html_md44f411.gifhello_html_md44f411.gif - функции переменной hello_html_m34a93e4a.gifhello_html_m34a93e4a.gif или постоянные величины

  • Используя подстановку hello_html_m46ca73e6.gifhello_html_m46ca73e6.gif и подставляют это выражение в уравнение.

  • Группируют члены уравнения, выносят одну из функций hello_html_m144be359.gifhello_html_m144be359.gif за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

  • Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

  • Записывают общее решение, подставив выражение для найденных функций hello_html_5c098209.gifhello_html_5c098209.gif в равенство hello_html_m38fdc2aa.gifhello_html_m38fdc2aa.gif

  • Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных

условий и подставляют в общее решение.

Заменив в равенстве hello_html_36afd2a6.gif функции hello_html_5c097990.gif найденными значениями, получим решение: hello_html_7e9d62be.gif

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение: hello_html_534671e0.gif

Разделим все члены уравнения на cosx

hello_html_64be088e.gif

Подставим выражение hello_html_405dc659.gifhello_html_405dc659.gif в уравнение

hello_html_4836535c.gif

Вынесем общий множитель hello_html_671e0b12.gifu за скобки

hello_html_652cf99b.gif

Приравняем к нулю выражение в скобках

hello_html_m64113994.gif

Разделим переменные и найдем общее решение

hello_html_m4ed59818.gif

hello_html_m718456b4.gif

hello_html_2cf06a5b.gif

hello_html_32a7da0a.gif

hello_html_7b62bcde.gif, учитывая это перепишем уравнение в виде
hello_html_m26c3f30.gif

Заменим u hello_html_m3dd92e72.gifна hello_html_5e14ece4.gifhello_html_5e14ece4.gif, найдем hello_html_m49e304ce.gifhello_html_m49e304ce.gif и проинтегрируем обе части уравнения

hello_html_m7fc3cfd0.gif, hello_html_683070ae.gif, hello_html_m25a971ce.gif

hello_html_6f46502d.gif

Подставим значения hello_html_m66db1bf9.gifhello_html_m66db1bf9.gif в равенство hello_html_3edc7261.gifhello_html_3edc7261.gif hello_html_7e08d358.gif

Находим общее решение дифференциального уравнения
hello_html_m51631f9.gif


г) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка


Определение 7: Функция hello_html_m18f838f2.gifназывается однородной функцией к-того измерения (к-той степени), если при любом hello_html_m92d7c89.gif имеет место тождество: hello_html_m656659ac.gif


Пример 5: Функция hello_html_2f09227e.gif - однородная функция третьей степени:

hello_html_440522c1.gif


Определение 8: Дифференциальное уравнение первого порядка hello_html_m56b1a2b.gif

называется однородным, если hello_html_108ffa9a.gif - однородная функция нулевого измерения.

Его можно представить в виде:

hello_html_5b88c52.gif, где hello_html_m77abc7c2.gifи hello_html_36710103.gif- однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой:

hello_html_cf3df17.gif, где hello_html_m75683346.gif- новая неизвестная функция.


Пример 6: Найдите решение уравнения hello_html_m101d66d4.gif

Решение.

hello_html_m26563bff.gif

Проверим, являются ли функции hello_html_m77abc7c2.gifи hello_html_36710103.gif - однородными функциями одинакового измерения:

hello_html_77b26a56.gif- второго измерения

hello_html_m138815f4.gif- второго измерения.

Вывод: данное уравнение является однородным.

hello_html_48f0a698.gif

Подставим hello_html_4cc28be1.gif и hello_html_m8483b2f.gif в уравнение:

hello_html_645bca37.gif

hello_html_781c69be.gif

hello_html_mfc8b93.gif

Разделяем переменные (hello_html_1102ccb9.gif):

hello_html_6aecaa55.gif

hello_html_97f804.gif

hello_html_m377b121e.gif

hello_html_6705aba9.gif

hello_html_m39601c5c.gif

Возвращаемся к подстановке:

hello_html_m1d7e094.gifhello_html_64b14b2f.gif

д) Дифференциальные уравнения второго порядка


Определение 9: Уравнения, содержащие производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка.


Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно hello_html_20768489.gifhello_html_20768489.gifимеет вид: hello_html_44eab9e3.gif

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида hello_html_m1371cb2c.gifhello_html_m1371cb2c.gif Такое уравнение решается двукратным интегрированием:

hello_html_19be777.gifили hello_html_19be777.gif или hello_html_19be777.gif


Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функции , которую обозначим через F(х). Таким образом y=hello_html_m296b61db.gif hello_html_mfa7b919.gifhello_html_mfa7b919.gifили hello_html_m671050fc.gifhello_html_m671050fc.gif или hello_html_25480172.gifhello_html_25480172.gif

Интегрируем еще раз: hello_html_m394fc4a0.gif

hello_html_159a76d6.gifили hello_html_2923887.gifhello_html_2923887.gif


Данное выражение представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные hello_html_160fe8df.gifhello_html_160fe8df.gif. Следовательно, решение дифференциальных уравнений вида hello_html_m128b9d54.gifhello_html_m128b9d54.gif осуществляется по следующему плану:

  • Интегрируют обе части уравнения и находят hello_html_42a11803.gifhello_html_42a11803.gif .

  • Интегрируя hello_html_35902755.gifhello_html_35902755.gif находят общее решение, содержащее две произвольные постоянные.

Если требуется найти частное решение, то определяют hello_html_160fe8df.gifhello_html_160fe8df.gif из начальных условий и подставляют их в общее решение.


Пример 7: Найти общее решение уравнения: hello_html_m66daed42.gif

Решение: Пусть hello_html_4492f3ac.gif

hello_html_3c2b055a.gif

hello_html_3268c383.gif

hello_html_4104ad67.gif

hello_html_542995ba.gif

hello_html_m141d18b2.gif

hello_html_51bb45f1.gif

е) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида hello_html_m36656985.gifhello_html_m36656985.gif, где hello_html_md44f411.gifhello_html_md44f411.gif - постоянные величины. Решение таких дифференциальных уравнений производится по следующему плану:

  • Записывают дифференциальное уравнение в виде hello_html_6b781dc5.gifhello_html_6b781dc5.gif

  • Составляют его характеристическое уравнение hello_html_1e1d0d0f.gifhello_html_1e1d0d0f.gif.

  • Вычисляют дискриминант hello_html_m62f78835.gifhello_html_m62f78835.gif:

а) если hello_html_5c761266.gifhello_html_5c761266.gif, то уравнение имеет два разных корня hello_html_560ae8b3.gifhello_html_560ae8b3.gif и hello_html_38160984.gifhello_html_38160984.gif , а общее решение записывается в виде: hello_html_f3736b5.gifhello_html_f3736b5.gif

б) если hello_html_m24aa977d.gifhello_html_m24aa977d.gif, то уравнение имеет два равных корня hello_html_560ae8b3.gifhello_html_560ae8b3.gif = hello_html_38160984.gifhello_html_38160984.gif , а общее решение записывается в виде: hello_html_764a8104.gifhello_html_764a8104.gif

в) если hello_html_2c6f31c7.gifhello_html_2c6f31c7.gif, то уравнение имеет комплексные корни hello_html_m53be3015.gifhello_html_m53be3015.gif, а общее решение записывается в виде: hello_html_4ab7c0d1.gif

hello_html_62e517bf.gif

Пример 8: Найти частное решение дифференциального уравнения:

hello_html_m121a06d3.gif

Составим характеристическое уравнение hello_html_m79c635f7.gif

hello_html_542642a0.gif16 D>0 hello_html_m667c8139.gif 2 корня hello_html_m40ae9e17.gif =hello_html_3a35fa4f.gifhello_html_3a35fa4f.gifhello_html_m7f87b34d.gifhello_html_m7f87b34d.gif

hello_html_6fe46e58.gif- общее решение дифференциального уравнения


Составление дифференциальных уравнений по условию задачи

Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. Дифференциальное уравнение задачи составляют по ее условию и в зависимости от этого условия оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используют геометрический, физический или механический смысл производной. Решение таких задач необходимо выполнять по следующему плану:

  • Из переменных величин выделяют функцию и аргумент, устанавливают физический смысл функции и ее производной.

  • Используя известные сведения из физики, механики, электротехники и других дисциплин, выражают зависимость между функцией, ее производной и аргументом, т.е. составляют дифференциальное уравнение.

  • Определяют, к какому типу относится составленное уравнение и находят его общее решение.

  • Если в задаче даны начальные условия, то получается частное решение уравнения.


Пример 9: Рассмотрим применение дифференциального уравнения на примере решения конкретной задачи:

Концентрация лекарственного вещества в крови человека уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент времени. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.


Данным соотношением связана скорость изменения концентрации с концентрацией hello_html_1a4058fc.gifhello_html_1a4058fc.gif в любой момент времени. Знак минус поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени. Получилось дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

hello_html_m1e041435.gif

hello_html_m522584b1.gif

hello_html_105a5640.gif

hello_html_m544dc4e5.gif

hello_html_m76f684a6.gif

Подставим в последнее равенство концентрацию лекарственного вещества при hello_html_19c01f60.gifhello_html_19c01f60.gif и найдем hello_html_541a2342.gifhello_html_541a2342.gif

hello_html_m38f2583d.gifhello_html_m38f2583d.gifмг/л

Из формулы при hello_html_7a1e0953.gifhello_html_7a1e0953.gif и hello_html_70b429ad.gifhello_html_70b429ad.gif найдем hello_html_m6fd6861e.gifhello_html_m6fd6861e.gif

hello_html_m8d1e471.gif

Подставили в формулу hello_html_m76f684a6.gifhello_html_m76f684a6.gif значения hello_html_3e7afa6a.gifhello_html_3e7afa6a.gif hello_html_m3ad20c09.gif

и получим закон изменения концентрации

hello_html_51c8cd09.gif

Упражнения.


1. Проверьте, является ли функция y=f(x) решением дифференциального уравнения

hello_html_m225eaf0.png


2. Найдите общие решения уравнений:

а) hello_html_2fd9b06d.gif

б) hello_html_38329db.gif

2. Найдите общие решения уравнений:


а) hello_html_m6538dc6e.gif

б) hello_html_52316c4b.gif

в) hello_html_m56fa6c98.gif

г) hello_html_m72355a2.gif

д) hello_html_5a26442.gif

е) hello_html_m1739b612.gif

ж) hello_html_42de016c.gif

з) hello_html_m6a665372.gif

и) hello_html_11b2ed53.gif



3. Найдите частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:

а) hello_html_486b101e.gif

б) hello_html_25f95c96.gif

в) hello_html_m19b59932.gif

г) hello_html_m25cd759.gif

4. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.

5.

1)


2)



3)


4)

hello_html_555cabfe.png


Контроль знаний № 5

1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция: hello_html_m5c0d4d46.gif

________________________________________________________________

2. Решить дифференциальное уравнение hello_html_77639663.gif

________________________________________________________________

3. Найдите решение задачи Коши: hello_html_m3f7c0224.gif


________________________________________________________________

4. Решите однородное дифференциальное уравнение hello_html_m22a85244.gif


________________________________________________________________

5. Решите линейные дифференциальные уравнения: hello_html_m2d3f0b74.gif


________________________________________________________________


6

hello_html_6469b593.png

________________________________________________________________

7

hello_html_6469b593.png



________________________________________________________________


Тема: Матрицы. Действия с матрицами.

Теория матриц и определителей имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Например, общие затраты предприятия, стоимость единицы сырья и т.д. описываются линейными алгебраическими выражениями, которые анализируются и решаются с помощью матриц и определителей. Также теория матриц и определителей широко применяется в математическом прогнозировании цен и т.д.

Цель:

Обучающийся должен уметь:

- производить операции над матрицами


Обучающийся должен знать:

- определение матрицы, виды матриц


Матрицы. Основные понятия

Определение 1: В общем случае матрицей размерности mn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

А(mn) = hello_html_774e64f4.gif.

Матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами  А, В, С,…


Определение 2:Числа hello_html_397b2af1.gifназываются элементами матрицы, первый индекс hello_html_576f80af.gif – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элементhello_html_m3b657dd9.gif.

hello_html_m6dc1eaa1.gifквадратная матрица второго порядка,

hello_html_674c20f9.gifквадратная матрица третьего порядка.

Определение 3: В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a11, a22, a33,.., ann , называется главной диагональю матрицы.

Определение 4: Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

hello_html_84bd734.gif.

Определение 5: Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E =hello_html_m1a0e4e76.gif.


Большой буквой hello_html_707de2b1.gif в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

Определение 6: Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры mn и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны aik = bik.

Линейные операции над матрицами

Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

1. Суммой двух матриц hello_html_m67d97040.gif и hello_html_5823d2e6.gif одинаковой размерности mn называется матрица hello_html_4df078e.gif такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1: А+В = hello_html_mb26d941.gif;

Пример 2: матрицы а) А =hello_html_m7c313f5e.gif и В =hello_html_7198e99a.gif

б)

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image059.jpg

сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.

Для разности матриц правило аналогичное,  необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример 4: Найти разность матриц

 http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image004_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image067.gif

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image069.gif

2. Произведением матрицы hello_html_m4f3a74e6.gif на число называется матрица А, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число .

Пример 5: А= hello_html_m78b0da2c.gif . Вычислить 3∙А

3hello_html_m78b0da2c.gif=hello_html_494332ee.gif


3. Умножение матриц. Рассмотрим умножение матрицы hello_html_5ab6bc6b.gif на матрицу hello_html_m618cf94e.gif. Подчеркнем, что число столбцов матрицы А, равно числу строк матрицы В. Отличие произведения А(33) В(32) заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А(33) В(32) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

А(33) В(32) = hello_html_2824a6bc.gif=

=hello_html_mf278224.gif.


Приведем еще несколько примеров умножения матриц.

Пример 6:

Покажем, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда


АЕ =hello_html_m608c8381.gif =

=hello_html_2407267e.gif=

= hello_html_19d2f0bb.gif= А.

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

Пример 7:

hello_html_m35dfc37a.gifПример 8: hello_html_247a8054.gif.

В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 9: А=hello_html_76fdfa84.gif, В =hello_html_m7c313f5e.gif.

Найти АВ и ВА.

АВ =hello_html_76fdfa84.gifhello_html_m7c313f5e.gif=

=hello_html_m4d62f9d8.gif=hello_html_82aa609.gif;

ВА =hello_html_m7c313f5e.gifhello_html_76fdfa84.gif=

=hello_html_m55305865.gif =hello_html_m43f2ac87.gif.

Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 10:

hello_html_m714e3b90.gifhello_html_m2c1bfdd6.gif= hello_html_33ae61ee.gif = hello_html_m3ca92900.gif.

Пример 11: hello_html_m13841f98.gifhello_html_m32be566a.gif=

=hello_html_34a9c74.gif= hello_html_m4214dbeb.gif.

Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример 12: Транспонировать матрицу http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image018_0000.gif

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image048.gif

DT - транспонированная матрица

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image050.gif или штрихом справа вверху.

Пример13 (пошаговый): Транспонировать матрицу

 http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image014_0001.gif

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image053.jpg

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image055.jpg

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image057.jpg

Упражнения

1. Пусть А=hello_html_m78ba799d.gif, В=hello_html_2509ebcb.gif. Найдите матрицу С=3А+5В

2. Даны матрицы В и С. Найдите В+С, С-2В, -5В+4С, С-В

а) В=hello_html_652b184d.gif, С=hello_html_31b44913.gif , б) В=hello_html_1de4fdc3.gif, С=hello_html_551ac868.gif

в) В=hello_html_m2839521e.gif, С=hello_html_m6869adf8.gif, г) В=hello_html_dc9ccb0.gif, С=hello_html_m64e77e1.gif


3. Найдите произведения матриц:

Задания

Задания

1)

hello_html_m2221f581.gifhello_html_5577101d.gif.

5)

hello_html_129bc6c4.gifhello_html_m694a9cce.gif.

2)

hello_html_267b26de.gifhello_html_m7d35d7e3.gif.

6)

hello_html_me81535.gifhello_html_22712ac6.gif.

3)

hello_html_31b44913.gifhello_html_5989c15d.gif.

7)

hello_html_43136726.gifhello_html_69a94a94.gif.

4)

hello_html_m70e36541.gif.

8)

hello_html_520b827a.gifhello_html_m22790e01.gif.


Контроль знаний № 6

1. Пусть А= hello_html_5c2fc7d2.gif, В= hello_html_7476569d.gif. Найдите матрицу С=А-2В _________________________________________________________________

2. Найдите C+D, C-D, -2D, - hello_html_6eec8aff.gif C, если С=hello_html_m2839521e.gif, D=hello_html_m6869adf8.gif.

_________________________________________________________________

3. Найдите произведения матриц:

а) А= hello_html_m5f777684.gif, В= hello_html_3291ecbf.gif.

б) http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image122_0000.gif http://www.mathprofi.ru/f/deistviya_s_matricami_clip_image130.gif

_________________________________________________________________


Тема: Определитель матрицы.


Цели

Обучающийся должен уметь:

-вычислять определители второго, третьего, четвертого порядков.

Обучающийся должен знать:

-определение определителя;

-методы вычисления определителей.


Определители второго и третьего порядков

Рассмотрим матрицу второго порядка А=hello_html_m6dc1eaa1.gif.

Определение 1: Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению


= detA= dethello_html_m6dc1eaa1.gif=hello_html_m1ad3cffd.gif = a11 a22 a12 a21.



Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.

hello_html_m7904300e.gif=


=hello_html_m1d7965ed.gif + hello_html_m1d7965ed.gif + hello_html_m1d7965ed.gifhello_html_m1d7965ed.gifhello_html_m1d7965ed.gifhello_html_m1d7965ed.gif=

= a11a22a33 + a12 a23a31 + a21 a32 a13 a31 a22 a13 a21 a12 a33 a32 a23 a11.

По схеме правила треугольника определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с противоположным знаком).

Пример 1:

hello_html_21f033c8.gif= (–3)5 – 2(–4) = –15+8 = –7.

Пример 2:

hello_html_m224ddec0.gif= (–1)4(–3)+ (–2)02+315–542–3(–2)(–3) –10(–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.


Ещё один способ вычисления определителя: решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков:
 http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image032.gif. Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

!!! Внимание! Матрица знаков – это понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя. В ней знаки получаются следующим образом (-1)1+1=+1 (1+1 элемент стоит в первой строке первого столбца), (-1)1+2=-1 (1+2 элемент стоит в первой строке второго столбца)и т.д.

Пример 3:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image034.gif

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image036.gif?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, миноров Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image038.jpghttp://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image040.jpg


Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image042.jpg

2) Затем записываем сам элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image044.jpg

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image046.jpg


Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется минором данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image048.jpg

5) Затем записываем второй элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image050.jpg

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image052.jpg

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки.

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image054.jpg

8) Записываем третий элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image056.jpg

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image058.jpg

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях(3 строки и 3столбца) ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image060.gif

В следующем примере раскрыт определитель по четвертому столбцу:

Пример 4:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_vychislit_opredelitel_clip_image062.gif


Свойства определителей


Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,

hello_html_c362bee.gif

разложение определителя по элементам первой строки;


hello_html_2578991b.gif

разложение определителя по элементам второго столбца.

Как видим, с помощью такого разложения вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Пример 5: Вычислить определитель hello_html_m74223ef2.gif.

Решение: Разложим определитель по элементам первого столбца, получим

hello_html_m74223ef2.gif= 8hello_html_23065473.gif– 0hello_html_391fae9b.gif+0hello_html_m3a20a0e1.gif= 8(2+4) = 48.

Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

Этим свойством можно воспользоваться для “создания” нулей в определителе и последующего применения свойства 1.

Пример 6: Вычислить определитель hello_html_m6508d919.gif.

Решение

К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (–3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем

hello_html_m6508d919.gif=hello_html_39708759.gif=14hello_html_m3a20a0e1.gif=1429 = 406.

Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

Это следует из свойства 1.

Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:

hello_html_41d7a5f9.gif.

Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:

hello_html_68f33b4c.gif.

Свойство 6. Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.

Доказательство следует из свойства 1; при перестановке двух строк матрицы знак определителя должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = – detA detA=0.

Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

Рассмотрим это свойство для определителя третьего порядка. Пусть элементы третьей строки имеют общий множитель . Тогда по свойству 7 выполняется равенство


hello_html_1f8b898b.gif.


Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).


Упражнения



1. Вычислите определитель второго порядка


a) hello_html_m6d9095f1.gif, б) hello_html_m73b537c.gif, в) hello_html_297fc0aa.gif, г) hello_html_m465601cf.gif, д) hello_html_m8e0361e.gif, е) hello_html_m7e335783.gif, ж) hello_html_af6ba1.gif,


2. Вычислите определитель третьего порядка

а) hello_html_m777299d8.gif, б) hello_html_m5e7ea05e.gif, в) hello_html_7225379a.gif, г) hello_html_51e0ddbe.gif,


д) hello_html_m400d8e55.gif, е) hello_html_m7c679057.gif, ж) hello_html_m777a801b.gif, з) hello_html_m719da4d.gif,


3. Решите уравнения и неравенства

а) hello_html_m5b6b2c83.gif, б) hello_html_47f92dec.gif, в) hello_html_38e912ea.gif, г) hello_html_m4fedb4f5.gif,


4. Вычислите определитель четвертого порядка


а) hello_html_7e23e49c.gif, б) hello_html_a2e0f69.gif, в) hello_html_55458810.gif.



Контроль знаний № 7


1. Вычислите определитель второго порядка


hello_html_m233838b1.gif

________________________________________________________________


2. Вычислите определитель третьего порядка


hello_html_1cf525f9.gif

________________________________________________________________


hello_html_72f415cd.gif

________________________________________________________________


3. Вычислите определитель четвертого порядка


hello_html_m3f86a5f5.gif

______________________________________________________________



Тема: Системы линейных уравнений и методы их решений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводятся к решению систем линейных уравнений.

Цели

Обучающийся должен уметь:

-решать системы линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы.

Обучающийся должен знать:


Определение 1: Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида


\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases} (1)


Здесь m — количество уравнений, а n — количество неизвестных. x1, x2, …, xn — неизвестные, которые надо определить. a11, a12, …, amn — коэффициенты системы — и b1, b2, … bm — свободные члены — предполагаются известными.

Определение 2: Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0), иначе —неоднородной.

Определение 3: Решение системы (1) — совокупность n чисел c1c2, …, cn, таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Определение 4: Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:


\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

или:

Ax = b.

Здесь A — это матрица системы, x — столбец неизвестных, а b — столбец свободных членов. Если к матрице A приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.


Матричные обозначения в методе Гаусса


Пример 1: Решить систему уравнений

hello_html_1ddf173a.gif

Решение

Выпишем матрицу системы и через разделительные черточки припишем к ней столбец правых частей уравнений.

hello_html_m76c5708c.gif.

Такая матрица называется расширенной матрицей системы.

Со строками и столбцами расширенной матрицы можно производить преобразования, которые равносильны сложению уравнений системы, перестановке местами слагаемых в уравнениях и другим действиям, преобразующим данную систему к эквивалентной. Такими преобразованиями являются:

1) перестановка местами строк матрицы (эквивалентно перестановке местами уравнений системы);

2) перестановка местами столбцов “левой части” матрицы (эквивалентно перестановке слагаемых в уравнениях);

3) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число, неравное нулю (эквивалентно умножению уравнения на некоторое число);

4) прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки (эквивалентно сложению двух уравнений системы).

Рассмотрим последовательность применения этих операций.

1. Процесс исключения удобно начать, когда ведущим элементом является единица. Для этого поменяем местами вторую строку с первой:


hello_html_m244e804a.gif.

2. Оставляя первую строку без изменений, к элементам второй строки прибавим элементы первой строки, умноженные на –3, а к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на – 4, расширенная матрица преобразуется к виду:

hello_html_m73c69a8f.gif.

3. Ведущим элементом второго шага является –1 во второй строке и втором столбце. Первую и вторую строку оставим без изменений, а к третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –5:

hello_html_m9759718.gif.

4. Теперь вторую строку умножим на –1, а третью – разделим на –11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

hello_html_m76fd7228.gif,

которому соответствует преобразованная система уравнений:


hello_html_m71144fc.gif

Последнее уравнение дает х3 = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х2 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х1= –1.

Таким образом, hello_html_m6ba7cd91.gif – решение системы.

Пример 2: Решить систему линейных уравнений АХ = В методом Гаусса:

А=hello_html_2cf73f39.gif; В =hello_html_m750549ac.gif.

Решение

Для того чтобы на каждом шаге исключения ведущим элементом была единица, при решении этой системы производится перестановка столбцов матрицы hello_html_m4f3a74e6.gif, поэтому сверху над столбцами указываются неизвестные, содержащиеся в этом столбце:

х1 х2 х3

hello_html_23848264.gif.

Поменяем местами первый и второй столбцы матрицы

х2 х1 х3

hello_html_m4835eb58.gif.

Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 4, а к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –2, получим

х2 х1 х3

hello_html_m6128bc9b.gif.

Поменяем местами вторую строку с третьей

х2 х1 х3

hello_html_74768511.gif.

К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 11, тогда расширенная матрица будет иметь вид


х2 х1 х3

hello_html_m28a20109.gif,

которому соответствует преобразованная система уравнений:


hello_html_m38260601.gif

Последнее уравнение дает х3 = 1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х1 = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х2 = 1. Решение системы hello_html_m6a77a00a.gif.



Решение систем линейных уравнений методом Крамера


Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными


hello_html_m7b6fdb24.gif


Обозначим определитель матрицы hello_html_m4f3a74e6.gif: =hello_html_m6778dade.gif.

Умножим на hello_html_me15c9e1.gif обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х1 первый столбец, получим равенство

hello_html_2e622339.gif= hello_html_20cb7366.gif.

Прибавим к элементам первого столбца элементы второго столбца, умноженные на hello_html_c11cb94.gif , и элементы третьего столбца, умноженные на hello_html_792112ff.gif .

По свойству 2 определитель не изменится.

х1 =hello_html_1b86d244.gif.


х1 =hello_html_m332b57b5.gif = 1 .

Здесь 1 обозначен последний определитель.


Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем

х1 = 1 ;

х2 = 2 ;

х3 = 3 .



=hello_html_m6778dade.gif, 1 =hello_html_m332b57b5.gif, 2=hello_html_5dbac139.gif,

3 =hello_html_58bcb9a1.gif.


1) Если  ≠ 0, то система имеет единственное решение х1 = hello_html_m353570d0.gif; х2 = hello_html_m770dd503.gif; х3 = hello_html_4de7d73d.gif

формулы Крамера


2) = 0, а хотя бы один из определителей 1 , 2 или 3 не равен нулю. В этом случае система несовместна.


3) = 1 = 2 = 3 =0.

Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример 3: В качестве примера рассмотрим применение метода Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

hello_html_284d38.gif


Решение

Переставим слагаемые в первом уравнении:

hello_html_m6334cd91.gif

Вычислим определители.

= hello_html_2deead81.gif= –16 – 9 = –25; х = hello_html_1fe6dec4.gif= 4–54 = –50;


y = hello_html_m14c7b2bd.gif= –72 – 3 = –75.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

hello_html_m76fcc87c.gif= hello_html_d043e70.gif=hello_html_28051203.gif = 2; y = hello_html_m93a7bc2.gif=hello_html_3c84b5a1.gif = 3.

Таким образом, решение системы (2; 3).

Пример 4: Решить систему hello_html_m7e9e3fbd.gif методом Крамера.

Решение

Вычислим определители

hello_html_m297e76df.gifhello_html_m465635bf.gif

hello_html_6d5a6ba0.gif= 15 + 1 + 9 + 10 = 35;



hello_html_48a5e01d.gifhello_html_4559fe2c.gif= –20 + 6 – 12 + 40 = 14;


hello_html_m62b1dd05.gifhello_html_m63f30f0f.gif

hello_html_m720c9b05.gif= –120 – 4 – 18 – 40 = – 182;


hello_html_3396eb48.gifhello_html_37090fc5.gif


hello_html_be0184c.gif= 24–18 + 8 + 72 – 4 – 12 = 70.


Найдем неизвестные по формулам Крамера:


hello_html_687a81f7.gif;

hello_html_m92d4903.gif;

hello_html_m10864bc8.gif

Таким образом, решение системы (0,4; –5,2; 2).



Решение системы с помощью обратной матрицы

Обратная матрица

Определение 5: Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если и только если выполняются равенства http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image055.gif = http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image057.gif=Е


Рассмотрим квадратную матрицу А . Обратную матрицу http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image004.gif можно найти по следующей формуле:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image006.gif,

где http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image008.gif – определитель матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image010.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0001.gif.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image013.gif

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример 6: Найти обратную матрицу для матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image015.gif

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image017.gif

!!! В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует!

В рассматриваемом примере, как выяснилось, http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image019.gif, а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image021.gif.

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0002.gif, то есть в данном случае http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image023.gif.

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image015_0000.gif

Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image026.jpg

Как найти его минор?

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image028.jpg

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image030.jpg

Рассматриваем следующий элемент матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0003.gif:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image032.jpg

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image034.jpg

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image036.jpg

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image038.jpg

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image040.jpg

Готово.

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image042.gif – матрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0004.gif.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image044.gif.

Это просто. В матрице миноров нужно поменять знаки у двух чисел:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image046.jpg

Именно у этих чисел, которые обведены в кружок!

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image048.gif – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0005.gif.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image010_0000.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image051.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image002_0006.gif.

5) Ответ.

Вспоминаем формулу http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image006_0000.gif

Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image053.gif

Необходимо выполнить матричное умножение http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image055.gif либо http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image057.gif

Проверка:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image059.gif

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример 7: Найти обратную матрицу для матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image061.gif



Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image063.gif, где http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image065.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image067.gif.

1) Находим определитель матрицы.

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image069.gif

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image071.gif, а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image021_0000.gif.

Матрица миноров имеет размерность «три на три» http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image073.gif, и нам нужно найти девять чисел.

Подробно рассмотрим пару миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image075.jpg

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image077.jpg

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image079.jpg

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image081.jpg

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image083.jpg

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, однообразный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image085.jpg

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image087.gif – матрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image067_0000.gif.

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image090.gif.

В матрице миноров необходимо сменить знаки строго у следующих элементов:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image092.jpg

В данном случае:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image094.gif – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image067_0001.gif.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image065_0000.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image098.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image067_0002.gif.

5) Ответ:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image100.gif

Проверка:

http://www.mathprofi.ru/f/kak_naiti_obratnuyu_matricu_clip_image102.gif

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.


Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения 

Для изучения данного метода необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.

Пример 8 Решить систему с матричным методом

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image062_0000.gif

Решение: Запишем систему в матричной форме: АХ=b, гдеhttp://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image098.gif

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формулеhttp://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image102.gif .

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image104.gif и выполнить матричное умножение http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image106.gif.

Обратную матрицу найдем по формуле:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image108.gif, где http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image110.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image100_0000.gif.

Сначала разбираемся с определителем:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image113.gif

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

!!! Внимание! Если http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image115.gif, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image117.gif

!!! Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:
http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image119.jpg

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image121.gif находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image123.gif находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image125.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image127.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image129.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image131.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image133.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image135.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image137.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image139.gif

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image141.gif

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image143.gif– матрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image100_0001.gif.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image145.gif – матрица алгебраических дополнений.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image147.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image149.gif

!!! Ни в коем случае не вносим http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image151.gif в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение.

http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image153.gif

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Ответ: http://www.mathprofi.ru/f/pravilo_kramera_matrichnyi_metod_clip_image155.gif

Матричные уравнения

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы Х, которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.

Пример 9: Решить матричное уравнение, выполнить проверку

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image012.gif

Как решить матричное уравнение?

Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image014.gif

Причёсываем правую часть:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image016.gif

Выразим http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image010_0000.gif, для этого обе части уравнения умножим на http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image019.gif:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image021.gif

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image023.gif

Ответ: http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image023_0000.gif

Как выполнить проверку?

Подставим найденное значение http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image023_0001.gif в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image027.gif

Последним действием вынесли «тройку» из матрицы.

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image029.gif.

Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%-ам, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения:

Распространённый алгоритм решения матричного уравнения:

На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image032.gif либо http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image034.gif, где А,В известные матрицы.

Как привести уравнение к виду http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image032_0000.gif или http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image034_0000.gif?  Все действия вы видели в Примере №1 – это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание.

На втором шаге необходимо выразить Х или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно Х.

1) http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image032_0001.gif. Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image010_0004.gif, умножим обе его части на http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image041.gif слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image043.gif

!!! Внимание! Произведение матриц не коммутативно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

По свойству матричных операций:http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image045.gif, поэтому:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image047.gif

Единичную матрицу можно убрать

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image049.gif

Чего и требовалось достичь. Матрица А-1 нам не известна.

2) http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image034_0001.gif. Умножаем обе части уравнения на http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image041_0001.gif справа:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image052.gif

Согласно свойству матричных операций http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image054.gif, получаем:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image056.gif

Единичную матрицу убираем:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image058.gif

Готово. Матрица http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image041_0002.gif нам опять же не известна.

Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image060.gif либо в виде http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image062.gif. Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении.

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image064.gif или http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image066.gif, и, собственно, получаем ответ.

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – необходимо подставить найденное значение http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image010_0005.gif в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:


Решение матричного уравнения вида http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image032_0002.gif

Пример 10: Решить матричное уравнение, выполнить проверку

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image069.gif

Решение: Уравнение уже имеет вид http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image032_0003.gif, поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image071.gif умножим обе его части на http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image073.gif слева:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image075.gif

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image077.gif» – без всяких пояснений и вывода формулы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image049_0000.gif.

Из условия известны матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image080.gif, однако, обратной матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image041_0003.gif мы не знаем. Придётся её найти:

Обратную матрицу найдем по формуле:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image083.gif, где http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image085.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image087.gif.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image089.gif

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image091.gif – матрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image087_0000.gif.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image093.gif – матрица алгебраических дополнений.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image095.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image097.gif

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image099.gif

Ответ: http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image101.gif

Проверка: Подставим найденное значение http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image071_0000.gif в левую часть исходного уравнения:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image103.gif 

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Решение матричного уравнения вида http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image152.gif

Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 11:

Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.
http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image154.gif

Решение: Уравнение имеет готовый вид http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image152_0000.gif, что позволяет сразу же заняться «иксом».

Для разрешения уравнения относительно http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image071_0005.gif умножим обе его части на http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image073_0001.gif справа:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image157.gif

При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image159.gif».

Матрица В известна. Берём матрицу http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image161.gif 

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image083_0001.gif, где http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image085_0001.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image087_0003.gif.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image163.gif

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image165.gif – матрица миноров соответствующих элементов матрицы http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image087_0004.gif.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image167.gif – матрица алгебраических дополнений.

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image169.gif – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image171.gif

Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица «едет во втором вагоне»:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image173.gif

Ответ: http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image175.gif

Проверка: Подставим найденное значение http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image071_0006.gif в левую часть исходного уравнения:

http://www.mathprofi.ru/i/matrichnye_uravneniya_primery_reshenij_clip_image177.gif

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Упражнения


1. Найти обратную матрицу к матрице А

а) А=hello_html_4ad6d1c3.gif, б) А=hello_html_m7821945d.gif,


2. Решите уравнение АХ = В , если


А

В

1)

hello_html_48f9be34.gif,

hello_html_2bb26fc8.gif,

2)

hello_html_286977a6.gif,

hello_html_m5ab4f9f2.gif,

3)

hello_html_21286562.gif,

hello_html_m3ef84a69.gif,


2. Решите уравнение ХА = В , если


А

В

1)

hello_html_4285a5c7.gif,

hello_html_m11e32266.gif,

2)

hello_html_m52e5f666.gif,

hello_html_885093d.gif,

3)

hello_html_526fe4fb.gif,

hello_html_m4cdeaed2.gif,


3. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса.


а)hello_html_14f6b9b9.gif, б) hello_html_42c1cac4.gif, в) hello_html_71efae84.gif,


г) hello_html_m21596f8.gif


4. Решите системы линейных уравнений методом Крамера.


Система уравнений

Система уравнений

1

hello_html_m6c9088e9.gif

3

hello_html_m137ffe6.gif

2

hello_html_m6822f254.gif

4

hello_html_m3e229839.gif


5. Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы


а) hello_html_3bf2560d.gif, б) http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/WM/METOD/PAIMETOV/2.htm23.gif в) hello_html_745b2638.gif


Контроль знаний № 8


1. Найти обратную матрицу к матрице А


А=hello_html_75a54ed6.gif

______________________________________________________________________

2. Решить систему уравнений: 1) методом Крамера, 2) методом Гаусса, 3) с помощью обратной матрицы

hello_html_m336fb383.gif

___________________________________________________________________________

3. Решить систему уравнений

г) hello_html_m2f49d9cb.gif

_________________________________________________________________________

Тема: Случайная величина и закон её распределения.


Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. В результате применения статистического метода мы получаем оценку вероятности того или иного предположения. Кроме того каждый статистический метод основан на собственной математической модели и результат его правильный настолько, насколько эта модель соответствует действительности.


Цели

Обучающийся должен уметь:

- составить вариационный, выборочный, статистический ряд,

- применять формулы для подсчета выборочных характеристик случайной величины,

- оценивать выборку по подсчитанным характеристикам.

Обучающийся должен знать:

- понятие случайной величины,

- закон распределения случайной величины,

- понятие дискретной случайной величины,

- понятие генеральной и выборочной совокупности, вариационного ряда, статистического распределения, выборочного распределения,

- формулы выборочных характеристик случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение)


Определение 1: Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.


Обозначение случайной величины: X, Y, Z

Значения случайной величины х1, х2, …у1, у2, …


Пример 1: Опыт 1: Бросаем игральную кость. Случайная величина – количество выпадающих очков hello_html_m44779d90.gif.

Опыт 2: Человек стреляет до первого попадания в цель. Случайная величина – количество выстрелов.

Опыт 3: Человек стреляет по мишени. Случайная величина – расстояние от центра до пробоины.


Определение 2: Дискретной случайной величиной называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.


Примеры дискретной случайной величины:

количество пациентов с диагнозом «грипп»,

значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости

порядковые значения текущего месяца


Определение 3: Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Возникает при измерениях.


Примеры непрерывных случайных величин:

расстояние между населенными пунктами;

показатели крови (холестерин, гемоглобин, сахар…).

В дальнейшем будем рассматривать дискретные случайные величины.

Чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указать множество ее значений, но и указать, как часто случайная величина принимает то или иное значение. Любое правило, которое устанавливает связь между значением случайной величины и вероятностью ее появления называется законом распределения случайной величины.

Для дискретных случайных величин закон распределения записывается в виде таблицы:


Х

hello_html_m2c209168.gif

hello_html_m1184b2c5.gif

hello_html_1c732fb5.gif

hello_html_2d5c182a.gif

Р

hello_html_6e4cd82e.gif

hello_html_m609aa0c0.gif

hello_html_m557004e2.gif

hello_html_m29e38e57.gif

Причем hello_html_f97537d.gif

Пример 2: Игральная кость бросается один раз. Случайная величина х – число выпавших очков.

Х

1

2

3

4

5

6

Р

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_m1471bb8.gif

hello_html_52edf53.gif

Одним из основных методов обработки статистических данных является выборочный метод. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию.

Определение 4:

Генеральная статистическая совокупность - совокупность всех исследуемых объектов (бесконечно большая величина).

Выборочная совокупность или выборка множество объектов, случайно ото-бранных из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N – объем генеральной совокупности.

n – объем выборки.

Варианта хi значения случайной величины.

Частота встречаемости ni – означает, сколько раз встретилось значение хi.

Вариационный ряд выборка, представляющая собой неубывающую числовую последовательность.

Статистическое распределение (статистический ряд)записывают в виде таблицы:

xi

hello_html_m2c209168.gif

hello_html_m1184b2c5.gif

hello_html_1c732fb5.gif

xk

ni

n1

n2

n3

nk


xi - варианты,

ni - частота встречаемости варианты

Для графического изображения статистического дискретного ряда на координатной плоскости откладываются точки (xi; ni)и соединяются отрезками, образуя ломаную – полигон частот.


http://edu.dvgups.ru/METDOC/ENF/VMATEM/WM/METOD/UPVM/frame/1.files/image005.gif

Выборочное распределение – записывают в виде таблицы


xi

hello_html_m2c209168.gif

hello_html_m1184b2c5.gif

hello_html_1c732fb5.gif

xk

hello_html_743dafd4.gif

hello_html_m1b39c010.gif

hello_html_m30b5898c.gif

hello_html_2a758d7c.gif

hello_html_m458a3f25.gif

n=n1+n2+…+nk - объем выборки


Основные числовые характеристики случайной величины


Размах выборки ( hello_html_m44dfdda9.gif) – разность между максимальным и минимальным значением вариант.

Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.

Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.

В ряде с четным числом наблюдений за медиану принимается полусумма в центре находящихся двух величин.

Мода (Мо) это чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется как варианта с наибольшим количеством частот.


Пример 3: Статистическое распределение случайной величины представлено в таблице


xi

1

2

5

6

8

10

12

13

15

ni

2

3

3

5

6

4

4

2

1


Вычислите объем выборки и размах hello_html_m44dfdda9.gif, моду Mо и медиану Me.


Объем выборки – сумма ni, n=2+3+3+5+6+4+4+2+1=30

Размах выборки: hello_html_m44dfdda9.gif= 15-1=14

Модой является варианта х=8, Mо=8

Медианой является полусумма 15 и 16 вариант: х1516=8, значит Me=8


Математическое ожидание (выборочное среднее) – среднее арифметическое выборки.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений случайной величины Х на их вероятности:

hello_html_m57711c37.gif

Пример 4: Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа очков, выпадающих на игральной кости.

hello_html_m62a00377.gif

Х

1

2

3

4

5

6

Р

hello_html_m7ab39ef8.gif

hello_html_m7ab39ef8.gif

hello_html_m7ab39ef8.gif

hello_html_m7ab39ef8.gif

hello_html_m7ab39ef8.gif

hello_html_m7ab39ef8.gif


Решение. hello_html_mab93ad0.gif

Пример показывает, что математическое ожидание может не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

Смысл математического ожидания: около этого числа колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной Х в большинстве серий опытов.

Дисперсия («рассеяние») случайной величины — мера разброса случайной вели- чины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Чем больше разброс, тем больше дисперсия.

hello_html_134a7627.gif

Среднее квадратическое отклонение

hello_html_627684d4.gif

При помощи квадратического отклонения можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант.

Применение среднего квадратического отклонения дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности

Пример 5: Пусть случайные величины Х и У это число очков, выбиваемых при одном выстреле первым и вторым стрелком соответственно:

Х

1

2

3


У

1

2

3

Р

0,3

0,2

0,5


р

0,1

0,6

0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию случайных величин Х и У, а также среднее квадратическое отклонение.

Решение.

hello_html_5ec23c74.gif

hello_html_m3a6551a3.gif

Вывод: в среднем стрелки выбивают по 2 очка.

По формуле hello_html_134a7627.gif:

hello_html_m78a56438.gif

-1,2

-0,2

0,8

hello_html_m6ad07414.gif

1,44

0,04

0,64


hello_html_5436bb3f.gif

-1,2

-0,2

0,8

hello_html_7385b.gif

1,44

0,04

0,64


hello_html_72207554.gif

hello_html_3da83070.gif

Вывод: у первого стрелка рассеивание больше, чем у второго.

Чем меньше дисперсия, тем лучше значение случайной величины Х.


Упражнения.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для выборки с данным статистическим распределением:

Х

2

5

7

10


У

1

3

6

26

Р

16

12

8

14


Р

8

40

10

2


2. В итоге пяти измерений длины стержня были получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти среднюю длину стержня, дисперсию ошибок прибора, среднее квадратическое отклонение.

3. Даны результаты измерения роста (в см) группы из 100 студентов. Рост: [154;158], [158;162], [162;166], [166;170], [170;174], [174;178], [178;182]. Соответствующее число студентов: 10, 14, 26, 28, 12, 8, 2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.

4. Проведите исследования и для каждой группы найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Оцените результаты.

а) Соберите данные о росте студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на 2 группы: юноши и девушки.

б) Соберите данные о весе студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: проживающих в общежитии и проживающих дома.

в) Соберите данные о результатах ЕГЭ по математике студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: закончившие школы г. Брянска и закончившие школы области.

г) Соберите данные среди студентов вашей группы о частоте пульса после 10 приседаний, разбив результаты на 2 группы: курящих и некурящих.

5.

hello_html_c2cbf4.png

6. В результате измерений были получены следующие результаты: 3,2; 3,4; 3,3; 3,5; 3,6; 3,7; 3,4; 3,3; 3,4; 3,7; 3,2. Вычислите выборочное среднее.

hello_html_1a4a424a.png



8. Найдите выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее, квадратическое отклонение, запишите выборочное распределение, если совокупность задана таблицей распределения:

хi

2

4

5

6

ni

8

9

10

3

9. Решите задачу:

На приемных экзаменах 45 студентов получили следующие баллы

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 42 39 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 39 40 41 38 44 40 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

а) Постройте таблицу статистического распределения

б) Постройте таблицу выборочного распределения

в) Найдите размах выборки

г) Найдите моду и медиану выборки

д) Вычислите математическое ожидание

е) Вычислите дисперсию

ж) Вычислите среднее квадратическое отклонение


Контроль знаний № 9

1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (в В):

227; 219; 223; 220; 222; 218; 219; 222; 221; 226; 226; 218; 220; 220; 221; 225; 224; 217; 219; 220. Постройте статистическое распределение.

____________________________________________________________________________

2. По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию D(X).

хi

-2

-1

0

2

3

pi

0,1

0,2

0,3

0,3

0,1

__________________________________________________________________________

3. Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 вычислите числовые характеристики случайной величины: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

_________________________________________________________________________


Тема: Комплексные числа.

Известно, что при некоторых значениях коэффициентов abc квадратное уравнение вида ax2+bx+c=0 имеет два корня, а при некоторых – ни одного. Например, требуется решить уравнение: x2+1=0

 Очевидно, что решение имеет вид: x=hello_html_5ad4c4d3.gif . А такого действительного числа не существует. Т.е. уравнение не имеет действительных корней. Поэтому говорят, что некоторые квадратные уравнения нельзя решить в действительных числах.  То же можно сказать и о кубических уравнениях вида: ax3+bx2+cx+d=0 при некоторых сочетаниях коэффициентов abcd они имеют три действительных корня, при других коэффициентах – лишь один  действительный корень.

Будем считать, что уравнение любой степени относительно разрешимо и имеет число корней равное степени x. Но для этого требуется иметь возможность извлекать корень четной степени не только из положительного числа, но и из отрицательного.



Цели

Обучающийся должен уметь:

переводить комплексные числа из одной формы представления в другую;

совершать действия над комплексными числами;

решать уравнения с комплексными корнями.

Обучающийся должен знать:

понятие комплексного числа;

представление комплексного числа в алгебраической форме;

действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме;

представление комплексного числа в тригонометрической форме;

действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме;

представление комплексного числа в показательной форме;

 действия над комплексными числами, представленными в показательной форме.


Алгебраическая форма комплексного числа


Определение 1: Комплексным числом называется выражение hello_html_6330aeed.gif,

в котором hello_html_3a8e753b.gif(действительные числа), а hello_html_576f80af.gifтакое число, квадрат которого равен –1,

hello_html_mf9c3084.gif.


Число hello_html_576f80af.gif называют мнимой единицей.

Выражение hello_html_m1c066ecd.gif называют алгебраической формой комплексного числа, hello_html_m76fcc87c.gif – действительной частью, а hello_html_1c7c52da.gif – мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения hello_html_11a7023d.gif, hello_html_7ac4f376.gif.

Если hello_html_maf13631.gif, тогда hello_html_m100ba3ea.gif– действительное число. Если hello_html_6683fada.gif, тогда hello_html_m251894b.gif – такое число называют чисто мнимым

Два комплексных числа hello_html_m184da946.gif и hello_html_711c3492.gif считаются равными, если hello_html_m408f401a.gif и hello_html_m26e7c53b.gif; hello_html_m248780b6.gif hello_html_6683fada.gif у = 0. Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не существуют.

Комплексное число hello_html_m1eda75de.gifназывается сопряженным по отношению к комплексному числу hello_html_6330aeed.gif. Например, hello_html_343a1fe8.gif hello_html_2b49dedb.gif. Очевидно, что hello_html_m5b414b3.gif.

Чтобы всё было понятнее, комплексным числам можно дать геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Комплексная плоскость

Как известно, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество  комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С. Заметим, что множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел Rhello_html_601e1d14.gif C. Поэтому на чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0000.gif – действительная ось
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019_0000.gif – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image014_0000.gif по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image034.gif.

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Пример 1: Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040.gif
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image042.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image044.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image046.gif
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image048.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image050.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image052.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image054.gif

Как изобразить комплексные числа на комплексной плоскости

Числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040_0001.gif – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image042_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image044_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image046_0000.gif – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019_0001.gif.

В числах http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image048_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image050_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image052_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image054_0000.gif и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа hello_html_m52d70fee.gif и hello_html_m69d3578e.gif нужно сложить их действительные и мнимые части

hello_html_mc4c5c39.gif.


Аналогично производится вычитание hello_html_m563339c1.gif+ hello_html_2330101e.gif


Пример 2: hello_html_117d12bc.gif, hello_html_548e471b.gif.

1) hello_html_m36c6d12c.gif= hello_html_5e481f6c.gif=hello_html_m342872cb.gif;

2) hello_html_703afbef.gif.


2) Умножение:

hello_html_11f1f1c.gif.


Формула умножения комплексных чисел (6.4) получается, если числа hello_html_524cc71a.gif и hello_html_6933dc0d.gif перемножить как два многочлена и учесть, что hello_html_mf9c3084.gif. При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).


Пример 3:

hello_html_69db0957.gif= hello_html_34c44dcb.gifhello_html_m5c08c83.gif = hello_html_m211ba1bc.gif.


Пример 4: В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:

hello_html_643b006e.gif = hello_html_m2de629e5.gif.

Здесь использована формула сокращенного умножения

hello_html_2621c27f.gif, в которой принято hello_html_359d939c.gif, hello_html_406caf94.gif.

Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу


hello_html_m63aebc6b.gif.


3) Деление: На предыдущей формуле основано построение формулы деления комплексных чисел:


hello_html_m64cc705c.gif



Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.


Пример 5: hello_html_117d12bc.gif, hello_html_548e471b.gif. Найти: hello_html_m4b15ca3f.gif, hello_html_m33baa3e8.gif.


Решение

1) hello_html_7382b1a0.gif = hello_html_m726fcbc0.gif;


2) hello_html_m75de8f84.gif = hello_html_6948f347.gif.

Пример 6: hello_html_m35ea78ea.gif, найти hello_html_39e131c5.gif.

Решение

hello_html_6dcf114a.gif=

=hello_html_m2456e865.gif

Ответ: hello_html_2cdcfb33.gif.

Пример 7: Дано комплексное число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image129.gif. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image131.gif).

Приём – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image108_0001.gif. В знаменателе уже есть http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image114_0000.gif, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image112_0000.gif, то есть на http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image136.gif:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image138.gif


Тригонометрическая форма комплексного числа

Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости. Эта точка будет иметь координаты hello_html_2ce39bd.gif.

y


Im z





z = x + i y

y




0 00O

x

x


Re z




Определение 2: Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0003.gif стандартно обозначают: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image147_0000.gif или http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image158.gif

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image160.gif. Данная формула справедлива для любых значений a и b.

!!! Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Определение 3: Аргументом комплексного числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0004.gif называется угол http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149_0000.gif между положительной полуосью действительной оси http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0003.gif и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Аргумент не определён для единственного числа: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image163.gif.

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0005.gif стандартно обозначают: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149_0001.gif или http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image165.gif

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image167.gif. 

!!! Внимание: Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 8: Представить в тригонометрической форме комплексные числа: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image169.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image171.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image173.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image175.gif. Выполним чертёж:

Комплексные числа на осях


На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image145_0000.gif

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

Пример 9: Представим в тригонометрической форме число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image169_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image180.gif. Формальный расчет по формуле: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image182.gif.

Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image184.gif (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image186.gif.

Ясно, как день, обратное проверочное действие: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image188.gif

Пример 10: Представим в тригонометрической форме число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image171_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image191.gif. Формальный расчет по формуле: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image193.gif.

Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image195.gif (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image197.gif.

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image199.gif

Пример 11: Представим в тригонометрической форме число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image173_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image202.gif. Формальный расчет по формуле: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image204.gif.

Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image206.gif (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image208.gif.

Проверка: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image210.gif

Пример 12: И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image175_0000.gif. Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image213.gif. Формальный расчет по формуле: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image215.gif.

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image217.gif (270 градусов),

и, соответственно: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image219.gif. Проверка: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image221.gif

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image223.gif (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image217_0000.gif и http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image223_0000.gif – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image226.gif

!!! Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image228.jpg


Показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля) http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image047.gif можно записать в показательной форме:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049.gif, где http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image051.gif – это модуль комплексного числа, а http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image053.gif – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049_0000.gif.

Пример13 : Число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image004_0002.gif записать в показательной форме.

Решение: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image055.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image057.gif. Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image059.gif.

Пример14 : Число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image061.gif в показательной форме будет выглядеть так: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image063.gif

Пример 15 : Записать в показательной форме число: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image067.gif

 http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image065.gif 

 И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image049_0001.gif.


Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Пример 16: Возвести в квадрат комплексное число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image069.gif

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image071.gif и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image073.gif:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image075.gif

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image077.gif.

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image079.gif?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image081.gif, то при его возведении в натуральную степень http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image083.gif справедлива формула:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image085.gif

Данная формула следует из  правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image999.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image998.gif нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image997.gif

Аналогично для показательной формы: если http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image996.gif, то:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image995.gif

Просто до безобразия.

Пример 17: Дано комплексное число http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image087.gif, найти http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image089.gif.

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме.

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image091.gif 

Тогда, по формуле Муавра:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image093.gif

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image095.gif, а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image097.gif радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image099.gif. Для удобства делаем дробь правильной: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image101.gif, после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image103.gif. Надеюсь всем понятно, что http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image105.gif и http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image107.gif – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image109.gif

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image111.gif 

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image109_0000.gif – ни в коем случае не ошибка.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 18: Возвести в степень комплексные числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image117.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image119.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image121.gif

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image123.gif

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image125.gif

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image127.gif

Извлечение корней из комплексных чисел


Пример 19: Вычислить http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image133.gif

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image135.gif
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image137.gif

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image139.gif? Выполним проверку:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image141.gif
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image143.gif

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image145_0001.gif.

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image147_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image149_0002.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image151.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image153.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image155.gif и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.


Квадратное уравнение с комплексными корнями

Пример 20: Решить квадратное уравнение http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image157.gif

Вычислим дискриминант: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image159.gif

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image161.gif

По известным формулам получаем два корня:

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image163_0000.gif

http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image165_0000.gif – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image157_0000.gif имеет два сопряженных комплексных корня: http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image167_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image169_0001.gif


Упражнения


1. На комплексной плоскости постройте точки

а) z=2+2i, б) z=i, в) z=-i+1, г) z=-i.


2.Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и постройте их на комплексной плоскости

а) z=3-2i, б) z=5i, в) z=6, г) z=i.


3. Даны числа z1=2+3i и z2=1-2i. Найдите числа: 1)hello_html_m36c6d12c.gif; 2)hello_html_m762efa3a.gif; 3)hello_html_m31dbc337.gif; 4) hello_html_2cdfbd21.gif; 5) hello_html_m550806ba.gif; 6) hello_html_m30394f5f.gif.

4. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

1) –1; 2) – hello_html_576f80af.gif; 3) hello_html_3c918299.gif; 4) hello_html_m47b4b3af.gif; 5) hello_html_m62458054.gif.

5. Возвести в степень комплексные числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image129_0000.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image131_0000.gif, ( http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image113.gif)30, hello_html_m1f4fca26.gif.

6. Найти корни уравнения http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image174.gif и разложить квадратный двучлен на множители.


7.Решите квадратные уравнения

а) x2+x+1=0; б) x2-x+1=0;

в) x2+1=0 ; г) 2x2+3=0

8. Решите уравнение: hello_html_65056ea4.gif.


Контроль знаний №10


1. Выполните действия над комплексными числами hello_html_3aa792af.gifи hello_html_m3745c506.gif:

1)hello_html_m36c6d12c.gif; 2)hello_html_m762efa3a.gif; 3)hello_html_m31dbc337.gif; 4) hello_html_2cdfbd21.gif; 5) hello_html_m550806ba.gif; 6) hello_html_m30394f5f.gif.

_________________________________________________________________

2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа hello_html_1980b7cb.gif.

_________________________________________________________________

3. Представить в алгебраической форме комплексное число hello_html_52bde75f.gif.

___________________________________________________________________

4. Найдите hello_html_75897625.gif.

___________________________________________________________________

5. Вычислить hello_html_533db2da.gif.

___________________________________________________________________

6. Числа представьте в тригонометрической форме  http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image002_0004.gif и http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image006_0007.gif


___________________________________________________________________ 

7. Решите квадратное уравнение 2x2-6x+9=0


___________________________________________________________________











Рекомендуемая литература

1. Баврин И.И., В.Л. Матросов Высшая математика -М., ВЛАДОС,2009.

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах -М.: Физматлит,2010.

3. Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов -М.: Наука, 1990

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Росткнига,2013

5. Высшая математика. Учебное пособие для пединститутов/Под ред. Г.Н.Яковлева. – М, 2007.

6. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений/Под ред. В.А.Гусева. – 2-е изд, стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007.

7. Дадаян А.А. Математика: Учебник.-М.: ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003

8. Дорофеева А.В. Высшая математика. –М.: Дрофа, 2003.

9. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.

10. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2006.

11. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая математика, 2006

12. Щипачев В.С. Основы высшей математики - М.: Высшая школа, 2011.







Автор
Дата добавления 28.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров401
Номер материала ДВ-017301
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх