Методическое пособие по математике по специальности "Технология машиностроения"

Департамент образования и науки Брянской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Брянский профессионально-педагогический колледж»

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ

раздела дисциплины «Математика»

для  студентов 2 курса

специальности «Технология машиностроения»

                                           Разработала :                    Плющева А.В.

Брянск, 2015

Аннотация

 Данное пособие ставит своей целью оказание помощи обучающимся колледжа в организации их самостоятельной работы по овладению системой знаний, умений  и навыков по разделам курса математики.

 Эта работа требует упорства и умения читать, понимать прочитанное и применять его практически. В этом заключается суть умения работать с учебными пособиями.

Некоторые практические советы.

 Прежде всего необходимо ознакомиться с содержанием того или иного раздела или темы. Затем следует выбрать в качестве основного учебное пособие и придерживаться его при изучении всей части курса.

  Учитесь самоконтролю.

  Помните: учебник нужно не просто читать, а изучать; основой запоминания является  понимание, знание забывается – понимание никогда; повторение - важнейшее средство, предотвращающее забывание.

   Обязательно отвечайте на вопросы самоконтроля.

О решении задач

    Решение задач является лучшим способом закрепления материала. При этом следует придерживаться следующих советов:

1. Внимательно изучите цель, поставленную в задаче; выявите, какие    теоретические положения связаны с данной задачей в целом или с  некоторыми ее элементами;

2.Составьте план решения;

3.Если не видно сразу хода решения, то последовательно отвечайте на вопросы: что дано; что нужно найти; достаточно ли данных, чтобы найти неизвестное и т.д.

Требования к выполнению и оформлению зачетной работы.

1. По каждой теме в конце даются задания для контроля знаний полученных обучающимися. Результаты выполнения данных заданий позволяют преподавателю оценить и зачесть объем материала,   изученного студентом самостоятельно.

2.После изучения темы или раздела студент может получить консультацию     преподавателя.

3.Зачетная работа должна обучающимися  выполняться самостоятельно, аккуратно

   и полно.

Содержание

1.  Предел функции. Вычисление пределов функции……………………………..4

2.  Производная и ее приложения……………………………………………….…11

3.  Неопределенный интеграл. Методы интегрирования………………………...22

4.  Определенный интеграл……………………………………………………..….27

5.  Дифференциальные уравнения………………………………………………....34

6.  Матрицы. Действия с матрицами……………………………………………....44

7.  Определитель матрицы……………………………………………………….….51

8.  Системы линейных уравнений и методы их решений…………………..…….58

9.  Случайная величина и закон её распределения…………………………….….78

10. Комплексные числа……………………………………………………………. 84

11. Литература………………………………………………………………….……96

Тема:   Предел функции

Цели

Обучающийся должен уметь:

− вычислять пределы функций в точке и на бесконечности;

− раскрывать неопределенности.

Обучающийся должен знать:

− место понятия предела в математическом анализе;

− понятие предела функции в точке и на бесконечности;

− теоремы о пределах;

− понятие бесконечно малой, бесконечно большой функции;

− виды неопределенностей, способы их раскрытия;

− замечательные пределы.

Теория пределов играет основополагающую роль в математическом анализе, позволяет определить характер поведения функции при заданном изменении аргумента. С помощью предела можно выяснить, имеет ли функция в заданной точке разрыв. Через пределы определяются такие понятия математики как производная, неопределенный и определенный интегралы, составляющие основу дифференциальных уравнений, которые, в свою очередь получили непосредственное применение в медицинской практике. Пределы являются основным средством в построении теории рядов.

Теория пределов позволяет определить характер поведения функции у= f(x) при заданном изменении аргумента.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме, может быть, самой точки х₀.

Определение 1:  Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ (или при х, стремящемся к х₀), если для каждого ε>0 найдется такое  число δ>0, что для всех х, удовлетворяющих  неравенству 0<|x- х₀|<δ, выполняется неравенство | f(x)-А|<ε.

В этом случае пишут       или    f(x)→А при  х→ х₀

Геометрически существование данного предела  означает, что каково бы ни было ε>0, найдется такое  число δ>0, что для всех х, заключенных между х₀+ δ и х₀ – δ (кроме, быть может, самой точки х₀), график функции у= f(x) лежит в полосе, ограниченной прямыми у=А+ ε и у=А- ε (рис. 1)

    _у

                                                                                                   ^х

Таким образом, понятие предела функции дает возможность ответить на вопрос, к чему стремятся значения функции, когда значения аргумента стремятся к х₀.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция  f(x) называется бесконечно малой при  х а , если           

Функция   f(x) называется бесконечно большой при  х а , если             

Функция обратная бесконечно малой, есть величина бесконечно большая.   И, наоборот, функция обратная бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.

При вычислении пределов непрерывных функций применяют теоремы о пределах:

1) Предел постоянной величины есть постоянная.

             

 2) Предел суммы (разности) переменных, имеющих пределы, равен сумме (разности) их пределов.

             

3) Предел произведения переменных, имеющих пределы, равен произведению их пределов.

             

Следствия

а) Постоянный множитель может быть вынесен из-под знака предела.

               

б) Предел степени переменной, имеющей предел, равен степени её предела.

             

4) Предел частного двух переменных, имеющих пределы, равен частному их пределов при условии, что предел делителя отличен от нуля.

,

Вычисление пределов

Пример 1: Вычислить      

  Таким образом, для вычисления предела многочлена f(x) при  достаточно  вместо переменной  поставить значение  , к которому  она  стремится, выполнить соответствующие действия.

Ответ: 49

Пример2:     Найти предел   

Вывод: если в функцию подставить значение x=3, то получим тот же результат.

Ответ:2

Поэтому для нахождения предела непрерывной функции при берут значения  функции в этой точке.

Замечания:

1) Если предел делителя равен нулю, а предел делимого если число, отличное от нуля, то предел дроби не существует, т.е. дробь стремится к бесконечности.

Пример3:             

Ответ:

2) Если предел делимого существует, а делитель стремится к бесконечности, то предел равен нулю.

Пример 4:                

Делитель стремится к  , значит, обратное ему число стремится к бесконечно малому числу, т.е. 0. Следовательно, произведение

Ответ:0

Иногда при подстановке в функцию предельного значения аргумента получаются выражения, не имеющие конкретного смысла:

Их называют неопределенностями.

Пример5:        Вычислите предел:

При подстановке x=3 получаем неопределенность . Преобразуем дробь:

Так как , а только стремится к 3, то можно сократить на (x-3):

.

Ответ:6

Пример 6:       Найти , при а) x₀=1; б) х₀=2; в) х₀=.

а)

Так как предел знаменателя отличен от нуля, можно применить теорему о пределе частного. Тогда

б) Здесь предел знаменателя равен нулю:

Непосредственное применение теорем о пределах приводит к неопределенному выражению вида . Для раскрытия этой неопределенности разложим числитель и знаменатель дроби на множители, и сократим дробь на множитель (x – 2)

Тогда .

в) Чтобы найти , разделим числитель и знаменатель на х².

При стремлении х к  , числитель и знаменатель стремятся к  , т.е. имеется неопределенность вида  . Для раскрытия неопределенности почленно разделим числитель и знаменатель на  х с наибольшим показателем степени (х²), применим свойства пределов:

получим:

Ответ: а) ; б) 1; в) .

Пример 7: Найти .

Так как , то теорему о пределе частного применять нельзя (неопределенность   ).

 Преобразуем данное выражение. Для этого умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, получим:

Ответ:

Пусть функция f(x) имеет вид:  , где

- отличные от нуля действительные коэффициенты

- неотрицательные числа.

Наибольшее из чисел  называют степенью числителя дроби, а наибольшее из чисел   - степенью знаменателя.

Замечания:

1) Если степень числителя ниже степени знаменателя, то

Пример 8:     ,

т.к. степень числителя равна 3, а степень знаменателя – 4.

Ответ: 0

2) Если степени равны, то искомый предел равен отношению старших коэффициентов

Пример 9:       

Ответ:

3)  Если степень числителя выше степени знаменателя, то

Пример 10:

, т.к. степень числителя равна 4, а степень знаменателя – 3.

Ответ:

т. е.  =

Замечательные пределы

При вычислении пределов функций нередко используют эквивалентность бесконечно малых, а также два замечательных предела.

Две бесконечно малые α и β называются эквивалентными, если

Пусть u(x)→0  при   х→х₀ тогда

                                                     

- первый замечательный предел

     т.е. sin x    и     х     при   х0  являются эквивалентными бесконечно      малыми    и  обозначают     sin x ~ x.

-    второй замечательный предел

     - основание натурального логарифма.

Пример 11:  Вычислить предел

Для раскрытия неопределенности  воспользуемся тригонометрическим тождеством, свойствами дробей и первым замечательным пределом

Ответ:

Пример 12: Вычислить предел

Ответ:

Упражнения

Найдите пределы функций:

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17)

18) 19) 20)        21) 22) 23) 24) 25)

Контроль знаний № 1

  Вычислить пределы:

 

Тема:   Производная и ее приложения.

Понятие производной – одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки и техники.

Изучение функции с помощью производной составляет предмет дифференциального исчисления. Быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например скорость охлаждения тела, скорость химической реакции и т.п., также выражается при помощи производной.

Цели

Обучающийся должен уметь:

− вычислять производные функций по определению и таблице производных;

− применять теоремы о производных;

− решать задачи с использованием производных.

Обучающийся должен знать:

− определение производной функции;

− таблицу производных;

− теоремы о дифференцировании суммы, произведения, частного, сложной функции;

− геометрический и физический смысл производной функции.

− области практического применения производной функции.

Определение 1:   Производной функции  f(x) в точке  называется предел отношения приращения функции  к приращению аргумента , если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.

                                .

Пример 1:  Найдите производную функции , пользуясь определением.

Решение.

1)

2)

3)

4) Найдем производную:

Ответ: y’=3

Определение  2: Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.

Геометрический смысл производной

Определение  3:  Производная функции f(x) в точке  равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой , т.е.

                                             f ‘()=k=tg α.

в этом заключается геометрический смысл производной.

 -  уравнение касательной 

Определение  4:  Мгновенная скорость прямолинейного движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

                             V(t)=s’(t)=,

в этом заключается  физический (механический) смысл производной.

Правила дифференцирования.

Основные формулы дифференцирования

Пример 2: Найти производную функции  у=

Ответ: y’=

Пример 3: Найти производную функции  y=

Ответ: y’=

Сложная функция.

 Понятие сложной функции ши­роко используется в математике. Со сложными функ­циями мы уже неоднократно встречались в курсе мате­матики при рассмотрении различных вопросов. Напри­мер, вычисляя значение функции f(x)=lg(x² – х + 2), хR, в некоторой точке х₀, мы поступаем следующим образом: сначала находим значение квадратного трех­члена   g(x)= x² – х + 2 в точке х₀   т.е. у₀=g(x₀),   а затем находим значение его логарифма, т. е. h(y₀)=lgy₀=lg g(x₀) . Итак, f(x_a) = h[g(x_a)]. Если считать x₀ переменной, то получим функцию f(x)=h[g(x)] от пе­ременной х. Функция f(x)=h[g(x)] и есть сложная функция, составленная из функций g и h.

Пусть заданы две функции у=g(x) и z=h(y), при­чем область определения функции h содержит множе­ство значении функции g. Функция, заданная формулой z = h[g(x)], называетcя сложной функцией, состав­ленной из функций g и h, или суперпозицией функ­ций g и h.

Подобным же образом можно рассматривать слож­ные функции, являющиеся суперпозицией более чем двух функций.  

Теорема:   Пусть функция у=g(x) , имеет производную в точке , а функция z=h(y) определена на интервале, содержащим множество значений функции f(x), и имеет производную в точке у₀=g(x₀). Тогда сложная функция z = h[g(x)], имеет производную в точке х₀, которая вычисляется по формуле:  или

Пример 4:   Найти производную функции:   f(x)=(x²+3x+10)²

Решение: Будем рассматривать данную функцию как сложную, а именно, как композицию функций u(x) и  y(u) , где  y(u)=u²  и u(x)=x²+3x+10 . Тогда

Пример 5: Найти производную функции 

Вторая производная

Определение  5: Второй производной функции  y=f(x)  называется производная от ее первой производной

 Вторая производная функции обозначается одним из символов:

        

 Таким образом     

 Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка:

                   или   

Механический смысл второй производной

 Ускорение a(t) прямолинейного движения материальной точки в момент времени t равно первой производной от скорости по времени или второй производной от пути по времени, т.е.                          a(t)=

Пример 6:  Найти производную четвертого порядка для функции .

 Очевидно, что и все последующие производные будут равны нулю.

Исследование функции  методами дифференциального исчисления

Признаки возрастания и убывания функции

         Если производная функции f(x) в данном промежутке значений х положительна, то функция возрастает в этом промежутке, а если производная отрицательна, то функция убывает.

Пример 7: Найти интервалы монотонности функции .

Данная функция определена и дифференцируема на всей действительной прямой.

 функция возрастает на

 функция убывает на

 Признаки максимума и минимума

1.Первый признак.

(Пусть f(x)-дифференцируема в окрестности точки)

     Если производная  при переходе через точку  меняет знак плюса на минус, то  является точкой максимума;

     если производная  при переходе через точку  меняет знак минуса на плюс, то  является точкой минимума;

    если производная при переходе через точку  не меняет знак, то в точке

 функция не имеет экстремума.

2.Второй признак.

     Если функция f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , причем  а  , то в точке функция

f(x) имеет максимум, если    и минимум, если 

Пример 8: Найти точки максимума и минимума функции

1.        Находим производную: .

2.                   

3.        Находим вторую производную:

4.        Определяем знак второй производной:

                 

Следовательно,  - точка максимума         - точка минимума

5.                         Вычисляем максимальное и минимальное значения функции:

      

         Выпуклость (вогнутость) графика функции. Точки перегиба.

1.Если на интервале (а;b) дважды дифференцируемая функция у=f(x), x, имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Определение 6: . Точкой перегиба кривой называется точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

2.Если функция у=f(x), x, дважды дифференцируема на интервале(а;b) и при переходе через  вторая производная  меняет знак, то точка кривой с абсциссой х= является точкой перегиба.

    Первое правило нахождения максимума и минимума функции у=f(x),

1. Найти производную .

2. Приравняв её к нулю, отыскать корни полученного уравнения; пусть эти корни( критические значения аргумента) будут  и т.д.

3. Расположив значения,… в порядке возрастания их величин, подставить в производную любое число, меньшее  а затем подставить любое число, большее но меньшее если при этом знак производной окажется:

  1) сначала +, затем  -,  функция при х= имеет максимум,

  2) сначала  - ,  затем +,  функция при х= имеет максимум,

  3) в обоих случаях одинаковый, то при х=функция не имеет ни максимума, ни минимума.

  Таким же образом определить знак  для х<  и для х>, но для х<знак   уже определен, остается найти ее знак в промежутке значений  х   между   и  и по чередованию знаков установить, будет ли функция при  х= иметь максимум или минимум или не будет иметь ни того ни другого и т.д.

4. Найти максимальные и минимальные значения функции, т.е. вычислить  и т.д.

Пример 9:  Исследовать на выпуклость график функции и найти точки перегиба

Точка перегиба .

План исследования функции с помощью производной и построение графика:

1)  Найдите область определения и область значений функции,

2)  Установите, является ли функция чётной или нечётной, (найдите y=f(–x). Если f(–x) = f(x)  , то функция четная и ее график симметричен относительно оси ординат;

если f(–x) = – f(x), то функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат).

3) Исследовать  функцию на периодичность (функция периодична, если существует такое число Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x))

4) Исследуйте функцию на монотонность.

5) Найдите точки экстремума и значения функции в этих точках.

6) Найдите интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

7) Найдите нули функции и её значения при x=0 . (Точки пересечения с осями координат).

8) Постройте график.

Пример 10: Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию и построить ее график: .

1.   Область определения функции , т.к. функция f(x) непрерывна как сумма непрерывных функций .

2.   Найдем f(-x). , т.е. .

Значит, функция не является четной и не является нечетной.

3.   Функция не периодична, т.к. не существует такого числа Т, для которого выполнялось бы равенство f(x+T)=f(x).

4.    Найдем первую производную:

.

 .

5.  Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции:

В точке  имеем минимум, так как . В точке  имеем максимум, так как .

Определим знак первой производной. На интервале  Для этого найдем . Значит, на промежутке , функция возрастает.

На интервале , так как  - функция убывает. На интервале , так как  - функция возрастает.

6.   Найдем вторую производную:

 -

Найдем значения в экстремальных точках.

Определим направление выпуклости графика функций:

Поскольку , а  при , то при  - функция выпукла вверх, а при  - функция выпукла вниз. Следовательно, в точке  имеется перегиб. Найдем

По результатам составим таблицу:

X		-0,22		0.67		1,55
	+	0	-	-	-	0	+
	-	-	-	0	+	+	+
y		2,11		0,74		-0,63
Вывод		max		точка перегиба		min

7. Определим точки пересечения с осью Ох и Оу.

Пусть х=0, тогда .

Пусть теперь y=0, т.е. . Чтобы решить кубическое уравнение, разложим правую часть на множители:

Тогда , откуда , т.е. , т.е. , т.е.

Значит, точки пересечения с осями координат (0;2); (-1;0); (1;0);(2;0).

8. Строим график функции:

Правило Лопиталя

      Теорема (Теорема Лопиталя). Пусть функции  и  дифферен­цируемы в некоторой окрестности точки  , кроме, быть может, самой этой точки, и g'(x)¹ 0 для всех хÏU(х₀), . Тогда если f(x) = g(x) = 0 (или f(x) = g(x) = ¥) и существует , то существует и , причем   =.

     Если отношение в свою очередь представляет собой неопределенность  вида   или , то правило Лопиталя можно приме­нять второй раз и т. д.

Пример 11:  =

 = .

Пример 12:   .

Пример 13:   Найти xlnx.

Упражнения

1. Найдите производные функций, пользуясь определением:

а) б) в)

г) д)

2. Найдите производные функций:

1) 2) 3) 4) 5)  6) 7)

8) 9) 10) 11) 12)

13) 14) 15) 17)

3. Найти пределы, используя правило Лопиталя.

11)

2)

3)

4. Продифференцировать функции

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

5. Найдите значение производной функции:

 6. Найти промежутки монотонности для функции

7. Исследуйте на экстремум следующие функции:

     8. Проведите исследование функции и постройте ее график

                                         

9. Решите задачи:

б)  Зависимость температуры T тела от времени t задана   уравнением . С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=10 c?

в)Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону   Найдите скорость растворения вещества.

Контроль знаний № 2.

1.         Найти производные функций:

2. Найти  если   

__________________________________________________________________

3.     Вычислить ускорение движения в конце второй секунды.

___________________________________________________________________

4. Найти максимум и минимум функции   

________________________________________________________________

5. Исследовать и построить график функции  

Тема:   Неопределенный интеграл. Методы интегрирования.

Неопределенный интеграл – одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, зная функцию скорости этой точки).

Цели

Обучающийся должен уметь:

− находить первообразные функции, неопределенный интеграл;

− применять метод непосредственного интегрирования и замены переменной.

Обучающийся должен знать:

− определение понятия первообразной, неопределенного интеграла;

− свойства неопределенного интеграла;

− таблицу интегралов;

− методы интегрирования;

− область применения неопределенного интеграла.

Как известно, в дифференциальном исчислении решается задача о нахождении производной или дифференциала заданной функции. Однако на практике часто приходится решать обратную задачу: по заданной производной или по заданному дифференциалу находить саму функцию. Для решения этой задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования. Функцию, восстанавливаемую по заданной производной или  дифференциалу, называют первообразной.

Для дифференциального исчисления: дана функция , требуется найти ее производную.

Для интегрального исчисления: дана функция , необходимо найти такую функцию , что .

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной   для функции  f(x), если   ,  или, что то же самое,                     

Пример 1:  Найти первообразную для функции .

Решение: Функция является первообразной для . Но в качестве первообразной может быть функция , , т.е. , где С – произвольная константа.

Для функции   f(x) существует множество первообразных   F(x)+c.

Определение 2.   Множество всех первообразных  F(x)+c    для функции   f(x) называется    неопределенным интегралом и обозначается 

     Таким образом          =F(x) +c.

Функция  называется подынтегральной функцией,

- подынтегральным выражением,

х – переменной интегрирования,

символ - знаком неопределенного интеграла,

С – постоянной интегрирования.

Пример 2:  Найти , т.к.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

2)   Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.  

3)   Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному  выражению, т.е.   

4)    Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

5)   Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух непрерывных функций  равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.   

Таблица основных интегралов.

Методы интегрирования.

1.Непосредственное интегрирование.

Это такой способ интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и применения свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличных интегралов.

Пример 3:  Найти интеграл

  2.Интегрирование методом замены переменной (методом подстановки)

   Сущность этого метода заключается в том, что путем введения новой переменной интегрирования удается свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно легко берется непосредственно.

Пример  4:  Найти     .

 Сделаем подстановку    Найдем  дифференциал обеих частей подстановки:      откуда     Следовательно,

  

3.Интегрирование по частям.

Сущность метода интегрирования по частям соответствует его названию. При вычислении интеграла этим методом подынтегральное выражение   представляется в виде произведения множителей   u    и     dv; при этом   dx   обязательно входит в  dv.  В результате получается, что заданный интеграл находят по частям:

  Рекомендации для выбора функций u  и dv.

1. При вычислении интегралов вида  , ,  за функцию принимается непосредственно , , .

2. При вычислении интегралов вида , , , за функцию u  принимается многочлен .

3. При вычислении интегралов вида ,  формула интегрирования по частям применяется последовательно 2 раза, причем оба раза за u  выбирается либо показательная функция, либо тригонометрическая.

Пример  5:    Найти          .

Положим  u=3x-1;    dv=,   тогда    du=3dx,  v=.

 Следовательно, 

Упражнения.

1. Найдите интеграл и проверьте результат дифференцированием

2.Найдите интегралы

1		9		16) 17) 18) 19) 20)   21) 22) 23) 24)
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

3. Найдите интегралы, используя замену переменной

1		9		17  18 19 20
2		10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8		16

4. Найдите интегралы, применяя формулу интегрирования по частям

1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

5. Используя указанные подстановки, найти интегралы:

а)

б)

                                   Контроль знаний  № 3

1.Доказать, что функция   F(х)=     есть  первообразная  для  функции      f =     на  промежутке  .

________________________________________________________

2. Найти первообразную для функции  f(x)=3sin x-2cos x.

_________________________________________________________

3. Для функции     f(x)=  найти первообразную, график которой проходит     через точку  М(1; -1).

4. Вычислить неопределенный интегралы

_____________________________________________________________

______________________________________________________________

Тема:   Определенный интеграл.

Определенный интеграл применяется для решения таких прикладных задач, как: вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел вращения, длин дуг, работу сил за определённый промежуток времени, среднее значение функций и т. п.

Цели

Обучающийся должен уметь:

-  Вычислять определенный интеграл.

-  Решать прикладные задачи с применением определенного интеграла.

Обучающийся должен знать:

-  Понятие определенного интеграла, формулу Ньютона-Лейбница.

-  Свойства определенного интеграла.

- Геометрический смысл определенного интеграла.

- Области применения определенного интеграла.

В отличие от неопределенного интеграла, представляющего собой множество всех первообразных от данной функции, определенный интеграл есть число. Связь между определенным и неопределенным интегралами устанавливается формулой Ньютона-Лейбница:

где: 

функция  -  подынтегральная функция,

- подынтегральное выражение,

х – переменная интегрирования,

символ - знак  интеграла,

F(x)- любая первообразная от функции ,

 - знак вставки,

а – нижний предел интегрирования,

b – верхний предел интегрирования.

    Геометрический смысл определенного интеграла:   Определенный интеграл    численно равен  площади   S  криволинейной трапеции, ограниченной

графиком функции   f(x), осью абсцисс и прямыми  х = а   и  х = b,  т.е. S=  

 

Свойства определенного интеграла.

1.

2.

3.

4.

5.

Все формулы и методы  неопределенного интегрирования распространяются и на определенное интегрирование.

1.Непосредственное интегрирование

Пример1 :  Вычислите определенный интеграл

       

Пример 2:  Вычислите определенный интеграл

2.Интегрирование подстановкой

Пример 3:  Вычислите определенный интеграл методом подстановки

Пример 4:  Вычислите

3.Интегрирование по частям

                                    

Пример 5: Вычислите интеграл , используя формулу интегрирования по частям

Приложения определенных интегралов

  Вычисление площади криволинейной трапеции

Если f(x)≥0  при хÎ[a;b] ,то

  Вычисление объема тела вращения

Пусть криволинейная трапеция D c границей y= f(x), х = а   и  х = b  (a<b), y=0  вращается вокруг оси ОХ. Объем тела вращения вычисляется по формуле

Пример 6: Вычислите площадь, ограниченную параболой , прямыми  и  и осью абсцисс.

Искомая площадь выражается интегралом

     

Пример 7: Найти площадь фигуры ограниченной линиями  у= и х+у=3

На рисунке представлена фигура, площадь которой требуется найти.

Найдем точки пересечения параболы и прямой для этого решим следующую систему уравнений:

При решении квадратного уравнения системы ,  получаем два корня x₁=2  и  x₂=1.

Дальше систему уравнений можно не решать, т.к. нас интересуют только абсциссы точек пересечения.

=3-x, (т.к. прямая лежит выше параболы в рассматриваемой области).

Теперь можно вычислить площадь фигуры:

Ответ: 4,5 кв.ед.

Упражнения.

1. Вычислите определенный интеграл

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15)

2. Найдите функцию по ее дифференциалу

3. Вычислите определенный интеграл с помощью подстановки

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) 8)

4. Вычислите определенный интеграл методом интегрирования по частям

а)  , 

5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

Контроль знаний  №4

1.Вычислить:

  1)._______________________________________________________

  2). _____________________________________________________

  3). ___________________________________________________

  4).   ___________________________________________________

2 .Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

          

_________________________________________________________________________

3.Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс    криволинейной трапеции, ограниченной линиями                  у=2х+1,  х=0, х=2, у=0.

Тема:   Дифференциальные уравнения.

В настоящее время диапазон применения дифференциальных уравнений очень широк. С их помощью решаются задачи математики, физики, биологии, электротехники, радиотехники, экономики, технологии производства и многих других сфер человеческой деятельности. Дифференциальные уравнения получаются в тех случаях, когда используются процессы, в описании которых используются такие величины, как скорость (быстрота) протекания процесса, изменение скорости и т. д. С помощью дифференциальных уравнений можно создать математическую модель изучаемого физического, химического или биологического процесса. Решение этих уравнений позволяет предсказать свойства изучаемого явления и прогнозировать конечный результат.

Цели  

Обучающийся должен уметь:

- находить общие и частные решения ДУ с разделяющимися переменными;

- находить общие и частные решения ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами;

- составлять ДУ для решения задач прикладного характера.

Обучающийся должен знать:

- понятие дифференциального уравнения (ДУ), порядок ДУ, общего и частного решения;

- понятие ДУ с разделяющимися переменными, алгоритм их решения

- понятие ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, алгоритм их решения;

Определение 1:  Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную х, искомую функцию y и ее производные

Решить дифференциальное уравнение – значит найти такую функцию , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. Эта функция называется решением дифференциального уравнения.

Определение 2: Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Пример:  - уравнение первого порядка

 - уравнение третьего порядка.

При решении дифференциальных уравнений сначала получается общее решение, затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого необходимо:

·         Подставить начальные данные в общее решение и вычислить С.

·         Полученное числовое значение С подставить в общее решение.

Определение 3: Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши.

Геометрически частное решение представляется одной интегральной кривой, а общее решение – совокупностью интегральных кривых

 (зависит от С)

Пример 1: Найти решение задачи Коши:                           

Решение:      - общее решение

Найдем С, подставив в общее решение:

Следовательно, решение задачи Коши: .

Виды дифференциальных уравнений и их решение

а) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными переменными

Определение 4: Уравнение вида f(x)= φ(x), где f(x)  и  φ(x) - данные функции, называется дифференциальным уравнением первого порядка с разделенными переменными.

Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием. Рассмотрим на конкретном примере решение таких уравнений.

Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения :

, если  при

Интегрируем обе части уравнения     

Данное выражение получилось в результате интегрирования.

Это и есть общее решение данного уравнения. Подставив в общее решение начальные условия, находим  С из предыдущего уравнения

Подставим  С в общее решение и получим частное решение данного уравнения

б) Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение 5:  Дифференциальное уравнение первого порядка  называется уравнением с разделяющимися переменными.

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными используется следующий алгоритм:

1)     Выразить производную функции через дифференциалы   dx  и dy

2)     Члены с одинаковыми дифференциалами перенести в одну сторону равенства и вынести дифференциал за скобку

3)     разделить переменные (если )

4)      проинтегрировать обе части полученного равенства по  и  соответственно и найти общее решение., т.е. написать уравнение

5)      решить это уравнение относительно y (если это возможно) и получить общее решение в виде .

 Если это сделать нельзя, то говорят, что уравнение  неявно задает общее решение.

6)      Если заданы начальные условия, то находят частное решение.

Примечание: в зависимости от вида уравнения некоторые пункты плана решения могут быть опущены.

Пример 3: Найти общее решение дифференциального уравнения:

Заменим  на     

Умножим все члены равенства на  dx :       

Сгруппируем все члены, содержащие  dy  и  dx , и запишем полученные выражения в разных частях равенства         (1+x)dy=-(1+y)dx

Разделим обе части равенства на  (1+x) и (1+y) т.е. разделим  переменные

Проинтегрируем  обе части равенства     

.     Воспользовавшись теоремой о логарифмах преобразуем  правую часть равенства

и  свойством логарифмов: если равны логарифмы чисел при данном основании, то равны и соответствующие им числа

Находим у и получаем общее решение дифференциального уравнения

в) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 6:  Дифференциальное уравнение первого порядка

называется линейным, если имеет следующий вид:  , где и  - заданные функции от

При решении таких уравнений применяют метод Бернулли, который заключается в следующем:

·         Приводят уравнение к виду , где  - функции переменной  или постоянные величины

·         Используя подстановку  и подставляют это выражение в уравнение.

·         Группируют члены уравнения, выносят одну из функций  за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение.

·         Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию.

·         Записывают общее решение, подставив выражение для найденных функций  в равенство

·         Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных

условий и подставляют  в общее решение.

Заменив в равенстве  функции  найденными значениями, получим решение:  

Пример 4: Решить дифференциальное уравнение: 

Разделим все члены уравнения на cosx

Подставим выражение  в уравнение

Вынесем общий множитель u за скобки

Приравняем к нулю выражение в скобках

Разделим переменные и  найдем общее решение

, учитывая это перепишем уравнение в виде

Заменим u’ на  , найдем  и проинтегрируем  обе части уравнения

 ,      ,      

Подставим значения  в равенство   

Находим общее решение  дифференциального уравнения

г) Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение 7: Функция называется однородной функцией к-того измерения (к-той степени), если при любом  имеет место тождество:

Пример 5: Функция  - однородная функция третьей степени:

Определение 8:  Дифференциальное уравнение первого порядка

называется однородным, если  - однородная функция нулевого измерения.

Его можно представить в виде:

, где и - однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к  дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой:

, где - новая неизвестная функция.

Пример 6:  Найдите решение уравнения

Решение.

Проверим, являются ли функции и  - однородными функциями одинакового измерения:

 - второго измерения

 - второго измерения.

Вывод: данное уравнение является однородным.

Подставим  и  в уравнение:

Разделяем переменные ():

Возвращаемся к подстановке:

 

д) Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение 9: Уравнения, содержащие производные или дифференциалы второго порядка, называются дифференциальными уравнениями второго порядка.

Дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно имеет вид:    

Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида  Такое уравнение решается двукратным интегрированием:

   или      или

Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функции , которую обозначим через F(х). Таким образом y’= или  или

Интегрируем еще раз:     

  или 

Данное выражение представляет собой общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные . Следовательно,  решение дифференциальных уравнений вида  осуществляется по следующему плану:

·         Интегрируют обе части уравнения и находят   .

·         Интегрируя   находят общее решение, содержащее две произвольные постоянные.

Если требуется найти частное решение, то определяют  из начальных условий и подставляют их в общее решение.

Пример 7: Найти общее решение уравнения:  

Решение:  Пусть

е) Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида , где  - постоянные величины. Решение таких дифференциальных уравнений производится по следующему плану:

·         Записывают дифференциальное уравнение в виде

·         Составляют его характеристическое уравнение .

·         Вычисляют дискриминант  :

а) если , то уравнение имеет два разных корня  и  , а общее решение записывается в виде:  

б) если , то уравнение имеет два равных корня  =  , а общее решение записывается в виде:  

в) если , то уравнение имеет комплексные корни , а общее решение записывается в виде:         

Пример 8:  Найти частное решение дифференциального уравнения:

Составим характеристическое уравнение

16   D>0  2 корня    =

- общее решение дифференциального уравнения

Составление дифференциальных уравнений по условию задачи

Составление дифференциальных уравнений по условию задачи напоминает составление алгебраических уравнений. Дифференциальное уравнение задачи составляют по ее условию и в зависимости от этого условия оно получается либо как соотношение между дифференциалами переменных величин, либо как соотношение, содержащее производные неизвестной функции. При составлении дифференциального уравнения задачи в виде соотношения между производными используют геометрический, физический или механический смысл производной. Решение таких задач необходимо выполнять по следующему плану:

·         Из переменных величин выделяют функцию и аргумент, устанавливают физический смысл функции и ее производной.

·         Используя известные сведения из физики, механики, электротехники и других дисциплин, выражают зависимость между функцией, ее производной и аргументом, т.е. составляют дифференциальное уравнение.

·         Определяют, к какому типу относится составленное уравнение и находят его общее решение.

·         Если в задаче даны начальные условия, то получается частное решение уравнения.

Пример 9:   Рассмотрим применение дифференциального уравнения на примере решения конкретной задачи:

Концентрация лекарственного вещества в крови человека уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент времени. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое.

Данным соотношением связана скорость изменения концентрации с концентрацией  в любой момент времени. Знак минус поставлен потому, что концентрация убывает с ростом времени. Получилось дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

Подставим в последнее равенство концентрацию лекарственного вещества при  и найдем

мг/л

Из формулы  при   и    найдем

Подставили в формулу  значения       

   и получим закон изменения концентрации

Упражнения.

1. Проверьте, является ли функция y=f(x) решением дифференциального уравнения

2. Найдите общие решения уравнений:

а)

б)

2. Найдите общие решения уравнений:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) и)

3. Найдите частные решения, удовлетворяющие указанным условиям:

а)

б)

в)

г)

4. Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и тем­пературой воздуха. Температура воздуха равна 20° С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60° С. Определить закон изменения температуры в теле в зависимости от времени I.

5. 

1) 2) 3) 4)

Контроль знаний  № 5

1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция: 

________________________________________________________________

2. Решить дифференциальное уравнение

________________________________________________________________

3. Найдите решение задачи Коши:   

________________________________________________________________

4. Решите однородное дифференциальное уравнение  

________________________________________________________________

5. Решите линейные дифференциальные уравнения:     

________________________________________________________________

6

________________________________________________________________

7

________________________________________________________________

Тема:  Матрицы. Действия с матрицами.

Теория матриц и определителей имеет широкое применение, как в самой математике, так и в ее приложениях. Это очень удобный и часто используемый в самых разнообразных исследованиях математический аппарат.

Например, общие затраты предприятия, стоимость единицы сырья и т.д. описываются линейными алгебраическими выражениями, которые анализируются и решаются с помощью матриц и определителей. Также теория матриц и определителей широко применяется в математическом прогнозировании цен и т.д.

Цель:

Обучающийся должен уметь:

- производить операции над матрицами  

Обучающийся должен знать:

- определение матрицы, виды матриц

Матрицы. Основные понятия

      Определение 1: В общем случае матрицей размерности m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов:

А_(m´n)  = .

     Матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами  А, В, С,…

     Определение 2:Числа называются элементами матрицы, первый индекс  – номер строки, второй индекс j – номер столбца, на пересечении которых находится элемент.

– квадратная матрица второго порядка,

– квадратная матрица третьего порядка.

    Определение 3: В квадратной матрице диагональ, образованная элементами a₁₁, a₂₂, a₃₃,.., a_nn , называется главной диагональю матрицы.

     Определение 4: Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю:

.

    Определение 5: Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной матрицей:

E =.

Большой буквой  в дальнейшем будем обозначать единичную матрицу.

Определение 6:  Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размеры m´n и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны a_ik = b_ik.

Линейные операции над матрицами

       Матрицы можно складывать между собой и умножать на числа. Такие действия называются линейными операциями над матрицами.

     1. Суммой двух матриц  и  одинаковой размерности m´n называется матрица  такой же размерности, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц A и В. Из этого определения следует, что складывать можно только матрицы одинаковой размерности, т.е. матрицы с одинаковым количеством строк и столбцов.

Пример 1:     А+В = ;

Пример 2:     матрицы  а)      А = и В =

б)

сложить нельзя, так как они имеют разное количество столбцов.

Для разности матриц правило аналогичное,  необходимо найти разность соответствующих элементов.

Пример 4:   Найти разность матриц

 , 

          2. Произведением матрицы  на число l называется матрица lА, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы А на число l.

Пример 5:  А=  . Вычислить 3∙А

3×=

3. Умножение матриц. Рассмотрим умножение матрицы  на матрицу .  Подчеркнем, что число столбцов матрицы А, равно числу строк матрицы В. Отличие произведения А_(3´3) × В_(3´2) заключается только в том, что матрица В имеет теперь два столбца, поэтому матрица D = А_(3´3)× В_(3´2) тоже имеет два столбца, т.е. столько же столбцов, сколько их в матрице В. При этом первый столбец матрицы D равен произведению матрицы А на первый столбец матрицы В, а второй столбец матрицы D – это произведение матрицы А на второй столбец матрицы В:

А_(3´3)× В_(3´2) = =

=.

     Приведем еще несколько примеров умножения матриц.

Пример 6:

     Покажем, что АЕ = ЕА = А, где А – квадратная матрица произвольного порядка, Е – единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Действительно, пусть А – квадратная матрица третьего порядка, тогда

АЕ = =

      ==

     = = А.

Равенство ЕА = А доказывается аналогично.

 Пример 7:

Пример 8:        .

     В этом случае произведение не существует, так как число столбцов матрицы А (равно 2) не равно числу строк матрицы В (равно 3).

Пример 9:       А=, В =.

Найти АВ и ВА.

АВ =×=

==;

ВА =×=        

= =.

    Как видим, в этом случае существуют оба произведения АВ и ВА, однако они не равны между собой.

Пример 10:

×=     = .

  Пример 11:           ×=

 == .

Транспонирование матрицы.

Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы.

Пример 12:   Транспонировать матрицу 

Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец:

 D^T - транспонированная матрица

Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом  или штрихом справа вверху.

Пример13 (пошаговый): Транспонировать матрицу

 

Сначала переписываем первую строку в первый столбец:

Потом переписываем вторую строку во второй столбец:

И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец:

Упражнения

 1. Пусть  А=, В=. Найдите матрицу С=3А+5В

2. Даны матрицы В и С. Найдите В+С, С-2В, -5В+4С, С-В

а) В=, С= ,          б)  В=, С=

в) В=, С=,   г) В=, С=

3. Найдите произведения матриц:

№	Задания	№	Задания
1)	×.	5)	×.
2)	×.	6)	×.
3)	×.	7)	×.
4)	.	8)	×.

Контроль знаний № 6

1.  Пусть  А= , В= . Найдите матрицу  С=А-2В _________________________________________________________________ 

2.  Найдите  C+D, C-D, -2D, -  C, если  С=, D=.

_________________________________________________________________

3. Найдите произведения матриц:

а) А= , В= .

б)        

_________________________________________________________________

Тема:   Определитель матрицы.

Цели

Обучающийся должен уметь:

 -вычислять определители второго, третьего, четвертого порядков.

Обучающийся должен знать:

-определение определителя;

-методы вычисления определителей.

Определители второго и третьего порядков

     Рассмотрим матрицу второго порядка А=.

Определение 1: Определитель матрицы А называется определителем второго порядка, обозначается detA или |A| и вычисляется как разность произведений элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали. Таким образом, по определению

 

= detA= det= = a11 a22 – a12 a21.

Определитель третьего порядка вычисляется по правилу треугольника, которое схематически изображено ниже.

=

= +   + –––=         

= a₁₁×a₂₂×a₃₃ +  a₁₂× a₂₃×a₃₁ +  a₂₁ ×a₃₂ ×a₁₃ – a₃₁ ×a₂₂ ×a₁₃ – a₂₁ ×a₁₂ ×a₃₃ – a₃₂ ×a₂₃ ×a₁₁.

     По схеме правила треугольника определитель третьего порядка равен сумме произведений диагональных элементов и элементов, расположенных в вершинах треугольников. При этом произведения элементов, образующих главную диагональ и два первых треугольника, берутся со знаком плюс (т.е. со своим знаком), а произведения элементов, образующих вторую диагональ и два других треугольника – со знаком минус (т.е. с  противоположным знаком).

 

Пример 1:

 = (–3)×5 – 2×(–4) = –15+8 = –7.

 

Пример 2:

 = (–1)×4×(–3)+ (–2)×0×2+3×1×5–5×4×2–3×(–2)×(–3) –1×0×(–1) = 12 +15 – 40 –18 = – 31.

Ещё один способ вычисления определителя: решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

!!! Внимание! Матрица знаков – это понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя. В ней знаки получаются следующим образом (-1)¹⁺¹=+1 (1+1 элемент стоит в первой строке первого столбца), (-1)¹⁺²=-1 (1+2 элемент стоит в первой строке второго столбца)и т.д.

Пример 3:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, миноров  Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется минором  данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Ну и третий элемент первой строки.

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях(3 строки и 3столбца) ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере раскрыт определитель  по четвертому столбцу:

Пример 4:

Свойства определителей

     Свойство 1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Представление определителя в виде такой суммы называется разложением определителя по элементам строки (или столбца). Например,

   –

– разложение определителя по элементам первой строки;

  –

– разложение определителя по элементам второго столбца.

     Как видим, с помощью такого разложения вычисление определителя третьего порядка сводится к вычислению определителей второго порядка.

Пример 5:       Вычислить определитель     .

Решение:   Разложим определитель по элементам первого столбца, получим

= 8×­– 0×+0×= 8×(2+4) = 48.

     Свойство 2. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на некоторое число, то определитель не изменится.

     Этим свойством можно воспользоваться для “создания” нулей в определителе и последующего применения свойства 1.

Пример 6:    Вычислить определитель           .

Решение    

      К элементам первого столбца прибавим соответствующие элементы второго столбца, умноженные на (–3). Так как по свойству 2 определитель не изменится, получаем

==14×=14×29 = 406.

    Свойство 3. Если все элементы некоторой строки (или столбца) матрицы равны нулю, то ее определитель равен нулю.

Это следует из свойства 1.

     Свойство 4. Если в матрице А строки заменить столбцами, то ее определитель не изменится:

.

     Свойство 5. При перестановке двух строк матрицы ее определитель меняет знак:

.

    Свойство 6.  Если матрица А имеет две одинаковые строки, то detA=0.

     Доказательство следует из свойства 1; при перестановке двух строк матрицы знак определителя должен измениться, но, с другой стороны, определитель должен остаться прежним, так как перестановка одинаковых строк местами не изменит матрицу. Следовательно, detA= = – detA Þ  detA=0.

     Свойство 7. Общий множитель элементов некоторой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.

    Рассмотрим это свойство для определителя третьего порядка. Пусть элементы третьей строки имеют общий множитель l. Тогда по свойству 7 выполняется равенство

.

Из этого равенства следует, что для умножения определителя на некоторое число l достаточно умножить на это число одну строку (или столбец) определителя (сравните с правилом умножения матрицы на число).

Упражнения

1. Вычислите определитель второго порядка

a)  ,  б) ,   в)  , г)  , д)  ,  е)  , ж)  ,    

2. Вычислите определитель третьего порядка

 а) ,  б) , в) , г) ,

д) ,  е) , ж) , з) ,

3. Решите уравнения и неравенства

а) ,     б) ,  в) , г) ,

4. Вычислите определитель четвертого порядка

а) ,              б) ,       в) .    

Контроль знаний № 7

1. Вычислите определитель второго порядка

 

________________________________________________________________

2. Вычислите определитель третьего порядка

________________________________________________________________

________________________________________________________________

3. Вычислите определитель четвертого порядка

______________________________________________________________

Тема:  Системы линейных уравнений и методы их решений.

Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), несомненно, является важнейшей темой курса линейной алгебры. Огромное количество задач из всех разделов математики сводятся к решению систем линейных уравнений.

Цели

Обучающийся должен уметь:

 -решать системы линейных уравнений методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы.

Обучающийся должен знать:

Определение 1: Система m линейных алгебраических уравнений с n  неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система  уравнений  вида

                                (1)

Здесь  — количество уравнений, а  — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными.

Определение 2: Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе —неоднородной.

Определение 3: Решение системы (1) — совокупность n чисел c₁, c₂, …, c_n, таких что подстановка каждого c_i вместо x_i в систему (1) обращает все её уравнения в тождества.

Определение 4: Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

или:

.

Здесь  — это матрица системы,  — столбец неизвестных, а  — столбец свободных членов. Если к матрице  приписать справа столбец свободных членов, то получившаяся матрица называется расширенной.

Матричные обозначения в методе Гаусса

     Пример 1:    Решить систему уравнений

                                

Решение 

     Выпишем матрицу системы и через разделительные черточки припишем к ней столбец правых частей уравнений.

.

     Такая матрица называется расширенной матрицей системы.

     Со строками и столбцами расширенной матрицы можно производить преобразования, которые равносильны сложению уравнений системы, перестановке местами слагаемых в уравнениях и другим действиям, преобразующим данную систему к эквивалентной. Такими преобразованиями являются:

     1) перестановка местами строк матрицы (эквивалентно перестановке местами уравнений системы);

     2) перестановка местами столбцов “левой части” матрицы (эквивалентно перестановке слагаемых в уравнениях);

     3) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на число, неравное нулю (эквивалентно умножению уравнения на некоторое число);

     4) прибавление к элементам некоторой строки соответствующих элементов другой строки (эквивалентно сложению двух уравнений системы).

     Рассмотрим последовательность применения этих операций.

     1. Процесс исключения удобно начать, когда ведущим элементом  является единица. Для этого поменяем местами вторую строку с первой:

.

     2. Оставляя первую строку без изменений, к элементам второй строки прибавим элементы первой строки,  умноженные на –3, а к элементам третьей строки прибавим элементы первой строки, умноженные на  – 4, расширенная матрица преобразуется к виду:

.

     3. Ведущим элементом второго шага является –1 во второй строке и втором столбце. Первую и вторую строку оставим без изменений, а к третьей строке прибавим вторую строку,  умноженную на –5:

.

     4. Теперь вторую строку умножим на –1, а третью – разделим на –11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

,

которому соответствует преобразованная система уравнений:

     Последнее уравнение дает х₃ = 2; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х₂ = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х₁= –1.    

Таким образом,  –  решение системы.

Пример 2:   Решить систему линейных уравнений АХ = В методом Гаусса:

А=;  В =.

Решение

     Для того чтобы на каждом шаге исключения ведущим элементом была единица, при решении этой системы производится перестановка столбцов матрицы , поэтому сверху над столбцами указываются неизвестные, содержащиеся в этом столбце:

   х₁        х₂     х₃                                             

.

     Поменяем местами первый и второй столбцы матрицы

    х₂    х₁     х₃

.

     Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 4, а к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на  –2, получим

     х₂    х₁      х₃

.

     Поменяем местами вторую строку с третьей

    х₂    х₁      х₃                                         

.

      К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на 11, тогда расширенная матрица будет иметь вид

     х₂    х₁      х₃

,

которому соответствует преобразованная система уравнений:

      Последнее уравнение дает х₃ = 1; подставляя это значение во второе уравнение, получаем х₁ = 3 и, наконец, из первого уравнения находим х₂ = 1. Решение системы .

Решение  систем линейных  уравнений  методом  Крамера

     Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

     Обозначим D определитель матрицы :  D=.  

Умножим на  обе части этого равенства. По свойству 7 умножение определителя на число эквивалентно умножению его строки или столбца на это число, поэтому, умножая на х₁ первый столбец, получим равенство

  = .

Прибавим к элементам первого столбца элементы второго столбца, умноженные на  , и элементы третьего столбца, умноженные на  .

По свойству 2 определитель не изменится.

D×х₁ =.

D×х₁ = = D₁ .

Здесь D₁ обозначен последний определитель.

     Таким же образом можно получить еще два аналогичных равенства, добавляя которые к последнему равенству, получаем

D×х1 = D1 ; D×х2 = D2 ; D×х3 = D3 .

D=,     D₁ =,     D₂=,

D₃ =.     

1) Если D ≠ 0, то система имеет единственное решение х₁  = ;    х₂  =  ;    х₃  = 

формулы Крамера

2) D = 0, а хотя бы один из определителей D₁ , D₂ или D₃ не равен нулю. В этом случае система несовместна.

3) D = D₁ = D₂ = D₃ =0.

Система имеет бесчисленное множество решений.

 

Пример 3:     В качестве примера рассмотрим применение  метода Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Решение

     Переставим слагаемые в первом уравнении:

Вычислим определители.

D = = –16 – 9 = –25;      D_х = = 4–54 = –50;

D_y = = –72 – 3 = –75.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

 = = = 2;   y = = = 3.

Таким образом, решение системы (2; 3).

 

Пример 4:  Решить систему      методом Крамера.

Решение

Вычислим определители

 –  = 15 + 1 + 9 + 10 = 35;

  

 –  = –20 + 6 – 12 + 40 = 14;

 –  = –120 – 4 – 18 – 40 = – 182;

 –  = 24–18 + 8 + 72 – 4 – 12 = 70.

Найдем неизвестные по формулам Крамера:

; 

 ;

Таким образом, решение системы  (0,4; –5,2; 2).

Решение системы с помощью обратной матрицы

Обратная матрица

Определение 5: Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной  матрице А, если и только если выполняются равенства  = =Е

Рассмотрим квадратную матрицу А . Обратную матрицу  можно найти по следующей формуле:

                                             ,

где  – определитель матрицы ,  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример 6:   Найти обратную матрицу для матрицы 

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы.

!!!  В том случае, если определитель матрицы равен  нулю  – обратной матрицы не  существует!

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров  .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице

Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор?

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы  :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

Это просто. В матрице миноров нужно поменять знаки  у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые  обведены в кружок!

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

5) Ответ.

Вспоминаем  формулу 

Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Необходимо выполнить матричное умножение  либо

Проверка:

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три».

Пример 7:       Найти обратную матрицу для матрицы 

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле:  , где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

1) Находим определитель матрицы.

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Подробно рассмотрим  пару миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить:

Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, однообразный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:

  – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо сменить знаки строго у следующих элементов:

В данном случае:

 – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ:

Проверка:

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

 Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения 

Для изучения данного метода необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение.

Пример 8    Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:  АХ=b, где

 Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице А нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле .

Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу  и выполнить матричное умножение .

Обратную матрицу найдем по формуле:

, где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

!!!  Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров 

!!! Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент  находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент  находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее).

Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

!!!  Ни в коем случае не вносим    в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления.

Осталось провести матричное умножение.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется  в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Ответ: 

Матричные уравнения

Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы Х, которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица.

Пример 9:  Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Как решить матричное уравнение?

Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами.

В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака:

Причёсываем правую часть:

Выразим , для этого обе части уравнения умножим на  :

Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2:

Ответ: 

Как выполнить проверку?

Подставим найденное значение     в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

Последним действием вынесли «тройку» из матрицы.

Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно.

Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство:  .

Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%-ам, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения:

Распространённый алгоритм решения матричного уравнения:

На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов:

  либо  , где  А,В  –  известные матрицы.

Как привести уравнение к виду  или ?  Все действия вы видели в Примере №1 – это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание.

На втором шаге необходимо выразить Х или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно Х.

1)  . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на  слева  (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует):

!!! Внимание! Произведение матриц не коммутативно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение.

По свойству матричных операций:, поэтому:

Единичную матрицу можно убрать

Чего и требовалось достичь. Матрица  А^-1  нам не известна.

2) . Умножаем обе части уравнения на  справа:

Согласно свойству матричных операций , получаем:

Единичную матрицу убираем:

Готово. Матрица  нам опять же не известна.

Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде  либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении.

На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение  или , и, собственно, получаем ответ.

После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – необходимо подставить найденное значение  в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся».

Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно:

Решение матричного уравнения вида 

 Пример 10:  Решить матричное уравнение, выполнить проверку

Решение: Уравнение уже имеет вид , поэтому никаких предварительных действий проводить не нужно.

Для разрешения уравнения относительно  умножим обе его части на  слева:

Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения.  Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы .

Из условия известны матрицы , однако, обратной матрицы  мы не знаем. Придётся её найти:

Обратную матрицу найдем по формуле:

, где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

На финише проводим матричное умножение и получаем решение:

Ответ: 

Проверка: Подставим найденное значение  в левую часть исходного уравнения:

 

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Решение матричного уравнения вида 

Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями:

Пример 11:

Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения.

Решение: Уравнение имеет готовый вид , что позволяет сразу же заняться «иксом».

Для разрешения уравнения относительно  умножим обе его части на  справа:

При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде ».

Матрица В известна. Берём матрицу  

 , где  – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

 – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

 – матрица алгебраических дополнений.

 – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Таким образом, обратная матрица:

Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица «едет во втором вагоне»:

Ответ: 

Проверка: Подставим найденное значение  в левую часть исходного уравнения:

Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно.

Упражнения

1. Найти обратную матрицу к матрице А

а)  А=,   б) А=,

2. Решите уравнение АХ = В , если

№	А	В
1)	,	,
2)	,	,
3)	,	,

2. Решите уравнение ХА = В , если

№	А	В
1)	,	,
2)	,	,
3)	,	,

3. Решите системы линейных уравнений методом Гаусса.

а),                б)  ,                 в)  ,

г)

4. Решите системы линейных уравнений методом Крамера.

№	Система уравнений	№	Система уравнений
1		3
2		4

5. Решите системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы

а)   ,     б)    в)

Контроль знаний № 8

1. Найти обратную матрицу к матрице А

А=

______________________________________________________________________

2. Решить систему уравнений: 1) методом Крамера, 2) методом Гаусса, 3) с помощью обратной матрицы

___________________________________________________________________________

3. Решить систему уравнений

г)

_________________________________________________________________________

Тема:   Случайная величина и закон её распределения.

Математическая статистика – наука о математических методах систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов. В результате применения статистического метода мы получаем оценку вероятности того или иного предположения. Кроме того каждый статистический метод основан на собственной математической модели и результат его правильный настолько, насколько эта модель соответствует действительности.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- составить вариационный, выборочный, статистический ряд,

- применять формулы для подсчета выборочных характеристик случайной величины,

- оценивать выборку по подсчитанным характеристикам.

Обучающийся должен знать:

- понятие случайной величины,

- закон распределения случайной величины,

- понятие дискретной случайной величины,

- понятие генеральной и выборочной совокупности, вариационного ряда, статистического распределения, выборочного распределения,

- формулы выборочных характеристик случайной величины (математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение)

Определение 1: Случайная величина - величина, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Обозначение случайной величины: X, Y, Z

Значения случайной величины х₁, х₂, …у₁, у_{2, …}

Пример 1: Опыт 1: Бросаем игральную кость. Случайная величина – количество выпадающих очков .

Опыт 2: Человек стреляет до первого попадания в цель. Случайная величина – количество выстрелов.

Опыт 3: Человек стреляет по мишени. Случайная величина – расстояние от центра до пробоины.

Определение 2: Дискретной случайной величиной называют такую величину, множество значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Примеры дискретной случайной величины:

− количество пациентов с диагнозом «грипп»,

− значения чисел на верхней грани брошенной игральной кости

−  порядковые значения текущего месяца

Определение 3: Непрерывной случайной величиной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Множество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно и несчетно. Возникает при измерениях.

Примеры непрерывных случайных величин:

− расстояние между населенными пунктами;

− показатели крови (холестерин, гемоглобин, сахар…).

В дальнейшем будем рассматривать дискретные случайные величины.

Чтобы охарактеризовать случайную величину, необходимо не только указать  множество ее значений, но и указать, как часто случайная величина принимает то или иное значение. Любое правило, которое устанавливает связь между значением случайной величины и вероятностью ее появления называется законом распределения случайной величины.

Для дискретных случайных величин закон распределения записывается в виде таблицы:

Х				…
Р				…

Причем

Пример 2:  Игральная кость бросается один раз. Случайная величина х – число выпавших очков.

Х	1	2	3	4	5	6
Р

Одним из основных методов обработки статистических данных является выборочный метод. При выборочном исследовании из всей совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их подвергают исследованию.

Определение 4:

Генеральная статистическая совокупность - совокупность всех исследуемых объектов (бесконечно большая величина).

Выборочная совокупность или выборка – множество объектов, случайно ото-бранных из генеральной совокупности.

Число наблюдений в совокупности называется ее объемом.

N – объем генеральной совокупности.

n – объем выборки.

Варианта х_i – значения случайной величины.

Частота встречаемости ni –– означает, сколько раз встретилось значение х_i.

Вариационный ряд – выборка, представляющая собой неубывающую числовую последовательность.

Статистическое распределение (статистический ряд)записывают в виде таблицы:

xi				…	xk
ni	n1	n2	n3	…	nk

x_i - варианты,

n_i - частота встречаемости варианты

Для графического изображения статистического дискретного ряда на координатной плоскости откладываются точки  (x_i; n_i)и соединяются отрезками, образуя ломаную – полигон частот.

Выборочное распределение – записывают в виде таблицы

xi				…	xk
				…

 n=n₁+n₂+…+n_k - объем выборки

Основные числовые характеристики случайной величины

Размах выборки ( ) – разность между максимальным и минимальным значением вариант.

Медиана (Me) - это серединная, центральная варианта, делящая вариационный ряд пополам на две равные части.

Например, если число наблюдений составляет 33, медианой будет варианта, занимающая 17-е ранговое место, так как в обе стороны от нее находится по 16 наблюдений.

В ряде с четным числом наблюдений за медиану принимается полусумма в центре находящихся двух величин.

Мода (Мо) – это чаще всего встречающаяся или наиболее часто повторяющаяся величина признака. При приближенном нахождении моды в простом (не сгруппированном) ряде, она определяется как варианта с наибольшим количеством частот.

Пример 3: Статистическое распределение случайной величины представлено в таблице

xi	1	2	5	6	8	10	12	13	15
ni	2	3	3	5	6	4	4	2	1

Вычислите объем выборки и размах , моду Mо и медиану Me.

Объем выборки – сумма n_i,  n=2+3+3+5+6+4+4+2+1=30

Размах выборки: = 15-1=14

Модой является варианта х=8, Mо=8

Медианой является полусумма 15 и 16 вариант: х₁₅=х₁₆=8, значит Me=8

Математическое ожидание (выборочное среднее) – среднее арифметическое выборки.

Математическим ожиданием  дискретной случайной величины Х называется сумма произведений возможных значений случайной величины Х на их вероятности:

Пример 4: Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа очков, выпадающих на игральной кости.

Х	1	2	3	4	5	6
Р

Решение.  

Пример показывает, что математическое ожидание может не совпадать ни с одним из ее возможных значений.

Смысл математического ожидания:  около этого числа колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых случайной величиной Х в большинстве серий опытов.

Дисперсия («рассеяние») случайной величины — мера разброса случайной вели- чины, равная математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Чем больше разброс, тем больше дисперсия.

Среднее квадратическое отклонение

При помощи квадратического отклонения можно установить степень типичности средней, пределы рассеяния ряда, пределы колебаний вокруг средней отдельных вариант.

Применение среднего квадратического отклонения дает возможность оценки и сравнения разнообразия нескольких однородных рядов распределения, так как - величина именная, выражается абсолютным числом в единицах изучаемой совокупности

Пример 5:   Пусть случайные величины Х и У это число очков, выбиваемых при одном выстреле первым и вторым стрелком соответственно:

Х	1	2	3		У	1	2	3
Р	0,3	0,2	0,5		р	0,1	0,6	0,3

Найти математическое ожидание, дисперсию случайных величин Х и У, а также среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Вывод: в среднем стрелки выбивают по 2 очка.

По формуле :

	-1,2	-0,2	0,8
	1,44	0,04	0,64

	-1,2	-0,2	0,8
	1,44	0,04	0,64

Вывод: у первого стрелка рассеивание больше, чем у второго.

Чем меньше дисперсия, тем лучше значение случайной величины Х.

Упражнения.

1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для выборки с данным статистическим распределением:

Х	2	5	7	10		У	1	3	6	26
Р	16	12	8	14		Р	8	40	10	2

2. В итоге пяти измерений длины стержня были  получены следующие результаты: 92, 94, 103, 105, 106 (мм). Найти среднюю длину стержня, дисперсию ошибок прибора, среднее квадратическое отклонение.

3. Даны результаты измерения роста (в см) группы из 100 студентов. Рост: [154;158], [158;162], [162;166], [166;170], [170;174], [174;178], [178;182]. Соответствующее число студентов: 10, 14, 26, 28, 12, 8, 2. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение. В качестве вариант взять середины интервалов.

4. Проведите исследования и для каждой группы найдите математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Оцените результаты.

а) Соберите данные о росте студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на 2 группы: юноши и девушки.

б) Соберите данные о весе студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: проживающих в общежитии и проживающих дома.

в) Соберите данные о результатах ЕГЭ по математике студентов вашей группы, разбив их на 2 группы: закончившие школы г. Брянска и закончившие школы области.

г) Соберите данные среди студентов вашей группы о частоте пульса после 10 приседаний, разбив результаты на 2 группы: курящих и некурящих.

5.

6.  В результате измерений были получены следующие результаты: 3,2; 3,4; 3,3; 3,5; 3,6; 3,7; 3,4; 3,3; 3,4; 3,7; 3,2. Вычислите выборочное среднее.

8. Найдите выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее, квадратическое отклонение, запишите выборочное распределение, если совокупность задана таблицей распределения:

хi	2	4	5	6
ni	8	9	10	3

9.  Решите задачу:

На приемных экзаменах 45 студентов получили следующие баллы

39   41   40   42    41   40   42   44    40   43   42   41   43   42   39   41   42   39    41   37   43   41   38    43   42   41   39   40   41   38   44   40   41   40   42   40   41   42   40    43   38    39     41   41   42.

а) Постройте таблицу статистического распределения

б) Постройте таблицу выборочного распределения

в) Найдите размах выборки

г) Найдите моду и медиану выборки

д) Вычислите математическое ожидание

е) Вычислите дисперсию

ж) Вычислите среднее квадратическое отклонение

Контроль знаний  № 9

1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (в В):

227; 219; 223; 220; 222; 218; 219; 222; 221; 226; 226; 218; 220; 220; 221; 225; 224; 217; 219; 220. Постройте статистическое распределение.

____________________________________________________________________________

2. По данному закону распределения дискретной случайной величины Х найти числовые характеристики: а) математическое ожидание М(Х); б) дисперсию D(X).

хi	-2	-1	0	2	3
pi	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

__________________________________________________________________________

3.  Для выборки 3, 8, -1, 3, 0, 5, 3, -1, 3, 5 вычислите числовые характеристики случайной величины: моду, медиану, математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

_________________________________________________________________________

Тема:    Комплексные числа.

Известно, что при некоторых значениях коэффициентов a, b, c квадратное уравнение вида ax²+bx+c=0 имеет два корня, а при некоторых – ни одного. Например, требуется решить уравнение:  x²+1=0

 Очевидно, что решение имеет вид: x= . А такого действительного числа не существует. Т.е. уравнение не имеет действительных корней. Поэтому говорят, что некоторые квадратные уравнения нельзя решить в действительных числах.  То же можно сказать и о кубических уравнениях вида:  ax³+bx²+cx+d=0  при некоторых сочетаниях коэффициентов a, b, c, d они имеют три действительных корня, при других коэффициентах – лишь один  действительный корень.

Будем считать, что уравнение любой степени относительно x разрешимо и имеет число корней равное степени x. Но для этого требуется иметь возможность извлекать корень четной степени не только из положительного числа, но и из отрицательного.

Цели

Обучающийся должен уметь:

- переводить комплексные числа из одной формы представления в другую;

- совершать действия над комплексными числами;

- решать уравнения с комплексными корнями.

Обучающийся должен знать:

- понятие комплексного числа;

- представление комплексного числа в алгебраической форме;

- действия над комплексными числами, представленными в алгебраической форме;

- представление комплексного числа в тригонометрической форме;

- действия над комплексными числами, представленными в тригонометрической форме;

- представление комплексного числа в показательной форме;

-  действия над комплексными числами, представленными в показательной форме.

Алгебраическая форма комплексного числа

 Определение 1:   Комплексным числом называется выражение ,

в котором (действительные числа), а такое число, квадрат которого равен  –1,

.

Число  называют мнимой единицей.

     Выражение  называют алгебраической формой комплексного числа,  – действительной частью, а  – мнимой частью комплексного числа z. При этом используются обозначения , .

     Если , тогда – действительное число. Если , тогда  – такое число называют чисто мнимым

     Два комплексных числа  и  считаются равными, если  и ;  Û   Ù у = 0. Понятия “больше” и “меньше” для комплексных чисел не существуют.

     Комплексное число называется сопряженным по отношению к комплексному числу . Например,  . Очевидно, что .

Чтобы всё было понятнее, комплексным числам можно дать геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как известно, буквой R принято обозначать множество действительных чисел. Множество  комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой С. Заметим, что множество действительных чисел содержится во множестве комплексных чисел R C.  Поэтому на чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
 – действительная ось
 – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат По осям нужно задать размерность, отмечаем:

ноль;

единицу по действительной оси;

мнимую единицу  по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Пример 1: Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, , 
, , 
, , , 

Числа , ,  – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , ,  – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , ,  и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не  чертят, потому что они сливаются с осями.

      С комплексными числами можно производить арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

      1) Сложение (вычитание). Чтобы сложить два комплексных числа  и  нужно сложить их действительные и мнимые части

.

      Аналогично производится вычитание  +

Пример 2:   ,  .

1) = =;

2) .

2) Умножение:

.

     Формула умножения комплексных чисел (6.4) получается, если числа  и  перемножить как два многочлена и учесть, что . При умножении комплексных чисел удобнее использовать это правило, чем формулу (1.4).

Пример 3:

=  –  = .

Пример 4:        В качестве примера, найдем произведение комплексно сопряженных чисел:  

 = .

Здесь использована формула сокращенного умножения

 , в которой принято , .

      Таким образом, произведение сопряженных комплексных чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей, т.е. равно действительному числу

.

3) Деление:       На предыдущей формуле основано построение формулы деления комплексных чисел:

      Таким образом, делитель и делимое нужно умножить на комплексное число, сопряженное делителю, тогда в знаменателе будет действительное число. Потом нужно перемножить комплексные числа в числителе.

Пример 5:     , . Найти: , .

Решение

1)  = ;

2)  = .

Пример 6:    , найти .

Решение

=

=

Ответ: .

Пример 7:   Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Приём – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Тригонометрическая форма комплексного числа

       Каждому комплексному числу можно сопоставить точку на  плоскости. Эта точка будет иметь координаты .

y

Im z

z = x + i y

·

·

y

                                                                                 

0 00O

x

x

Re z

Определение 2: Модулем комплексного числа z называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости.

Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений a  и b.

!!! Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Определение 3: Аргументом комплексного числа  называется  угол   между  положительной  полуосью действительной оси    и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке.

Аргумент не определён для единственного числа: .

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа  стандартно обозначают:  или 

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. 

!!! Внимание: Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Пример 8: Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , . Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: 

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

Пример 9: Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Очевидно, что  (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Ясно, как день, обратное проверочное действие: 

Пример 10: Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Очевидно, что  (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

Пример 11: Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Очевидно, что  (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Проверка: 

Пример 12: И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ:  (270 градусов),

и, соответственно: . Проверка: 

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла:  (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид: 

!!! Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Показательная форма комплексного числа

Любое комплексное число (кроме нуля)  можно записать в показательной форме:
, где  – это модуль комплексного числа, а  – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Пример13 : Число  записать в показательной форме.

Решение: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Пример14 : Число  в показательной форме будет выглядеть так: 

Пример 15 : Записать в показательной форме число: 

  

 И т.д.

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми  любимого квадрата.

Пример 16: Возвести в квадрат комплексное число 

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей  и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применение известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:

.

Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба сумма и куба разности.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ую, 10-ую или 100-ую степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень  справедлива формула:

Данная формула следует из  правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел ,  нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Пример 17:    Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме.

 

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет  радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что  и  – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:

 

(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя  – ни в коем случае не ошибка.

     Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Пример 18:  Возвести в степень комплексные числа , , 

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и»,  получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Извлечение корней из комплексных чисел

Пример 19: Вычислить   

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень –  можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , ,  и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

Квадратное уравнение с комплексными корнями

Пример 20:   Решить квадратное уравнение 

Вычислим дискриминант: 

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

 – сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение  имеет два сопряженных комплексных корня: , 

Упражнения

1. На комплексной плоскости постройте точки

а) z=2+2i,                    б) z=i,                       в) z=-i+1,            г) z=-i.

2.Найдите комплексно-сопряженные числа для следующих чисел и постройте их на комплексной плоскости

а) z=3-2i,                    б) z=5i,                       в) z=6,            г) z=i.

3. Даны числа z₁=2+3i и z₂=1-2i. Найдите числа: 1);  2);  3);  4) ;  5) ;  6) .

4. Запишите комплексные числа в тригонометрической форме:

1) –1; 2) – ; 3) ; 4) ; 5) .

5. Возвести в степень комплексные числа , , ( )³⁰, .

6. Найти корни уравнения  и разложить квадратный двучлен на множители.

7.Решите квадратные уравнения

а)  x²+x+1=0;                        б)  x²-x+1=0;

в)  x²+1=0 ;                            г)  2x²+3=0

8. Решите уравнение:   .

Контроль знаний №10

1. Выполните действия над комплексными числами и :

1);  2);  3);  4) ;  5) ;  6) .

_________________________________________________________________

2. Найдите действительную и мнимую части комплексного числа .

_________________________________________________________________

3. Представить в алгебраической форме комплексное число .

___________________________________________________________________

4. Найдите .

___________________________________________________________________

5. Вычислить .

___________________________________________________________________

6. Числа представьте в тригонометрической форме   и 

___________________________________________________________________ 

7. Решите квадратное уравнение 2x²-6x+9=0

___________________________________________________________________

Рекомендуемая литература

1. Баврин И.И., В.Л. Матросов  Высшая математика  -М., ВЛАДОС,2009.

2. Бутузов В.Ф., Крутицкая  Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах  -М.: Физматлит,2010.

3. Валуцэ И.И., Дилигул  Г.Д. Математика для техникумов  -М.: Наука, 1990

4. Выгодский  М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Росткнига,2013

5. Высшая математика. Учебное пособие для пединститутов/Под ред. Г.Н.Яковлева. – М, 2007.

6. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений/Под ред. В.А.Гусева. – 2-е изд, стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007.

7. Дадаян  А.А.  Математика: Учебник.-М.: ФОРУМ:ИНФРА-М, 2003

8. Дорофеева А.В. Высшая математика. –М.: Дрофа, 2003.

9. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник. – М.: Издательский центр «Академия», 2008.

10. Подольский В.А., Суходский А.М., Мироненко Е.С. Сборник задач по математике: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2006.

11. Шипачев В.С. Сборник задач по высшей математике. – М.: Высшая математика, 2006

12. Щипачев  В.С. Основы высшей математики  - М.: Высшая школа, 2011.