Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.
Подать заявку на курс
- Математика
Методическое пособие по теме: "Решение задач к зачету №12"
Решение зачета 12 Применение производной к исследованию функций
1.Степенная функция
1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 3.
2.Найдите точку минимума функции
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума Ответ: −1.
3. Найдите точку максимума функции
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума. Ответ: 3.
2.Иррациональные функции
1.Найдите точку максимума функции
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума
2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:
.
3.Найдите точку минимума функции .
Решение.
Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке
в нашем случае — в точке −3. Поскольку функция
возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение.
Ответ: −3.
3. Частные двух функций
1.Найдите точку минимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума .
Ответ: −1.
2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
Найденная производная обращается в нуль в точках 3 и −3, из них на отрезке [−4; −1] лежит только точка −3.
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
3.Найдите точку минимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка минимума . Ответ: 26.
4.Произведение двух функций
1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:
.
Ответ: 0.
2. Найдите точку максимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума
.
Ответ: 10.
3.Найдите точку максимума функции .
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума
4. Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: 5.
5.Показательная функция
1.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:
Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:
6.Логарифмическая функция
1.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 20.
2.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
. Ответ: −3.
3.
Найдите точку максимума функции
Решение.
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке
, в нашем случае — в точке
Функция
в этой точке определена. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, то
— точка максимума функции.
Ответ:2.
7.Тригонометрические функции
1.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
.
Ответ: 12.
2.Найдите наименьшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции: Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.
Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является
Ответ: 9.
3.Найдите наибольшее значение функции на отрезке
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является
Ответ: −5.
4. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку
.
Решение.
Найдем производную заданной функции:
.
На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 1,5.
Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума — число 1,5.
8. Исследование без производной
1.Найдите точку максимума функции .
Решение.
Квадратный трехчлен с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке
, в нашем случае — в точке −9. Поскольку функция
возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.
Ответ: −9.
2.Найдите точку минимума функции .
Решение.
Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке
, в нашем случае — в точке 15. Поскольку функция
возрастает, и заданная функция
определена в точке 15, она также достигает в ней минимума.
Ответ: 15.
3.Найдите точку минимума функции .
Решение.
Поскольку функция возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение
. Квадратный трехчлен
с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке
, в нашем случае — в точке 4.
Ответ: 4.
4.Найдите наименьшее значение функции .
Решение.
Квадратный трехчлен с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке
, в нашем случае — в точке -7. Функция
в этой точке определена и принимает значение
. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.
Ответ: 13.
| Автор | |
|---|---|
| Дата добавления | 12.11.2015 |
| Раздел | Математика |
| Подраздел | Другие методич. материалы |
| Просмотров | 193 |
| Номер материала | ДВ-148374 |
Просмотров: 194
Комментариев: 0
Просмотров: 274
Комментариев: 0
Просмотров: 702
Комментариев: 0
Просмотров: 165
Комментариев: 0
Просмотров: 300
Комментариев: 0
Просмотров: 237
Комментариев: 0
Просмотров: 411
Комментариев: 0