1165257
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыМетодическое пособие по теме: "Решение задач к зачету №12"

Методическое пособие по теме: "Решение задач к зачету №12"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Решение зачета 12 Применение производной к исследованию функций

1.Степенная функция

1. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

Ответ: 3.


2.Найдите точку минимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума  Ответ: −1.



3.
 Найдите точку максимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

 

В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума. Ответ: 3.



2.Иррациональные функции

1.Найдите точку максимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

 


2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:

.

3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке  в нашем случае — в точке −3. Поскольку функция  возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение.

 

Ответ: −3.




3. Частные двух функций

1.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

Искомая точка минимума .

Ответ: −1.



2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найденная производная обращается в нуль в точках 3 и −3, из них на отрезке [−4; −1] лежит только точка −3.

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

 


3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума . Ответ: 26.



4.Произведение двух функций

1. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найдем нули производной:

 

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: .

 

Ответ: 0.


2. Найдите точку максимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 10.


3.Найдите точку максимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

 


4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

.

Ответ: 5.


5.Показательная функция

1.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

 

 

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:

 



6.Логарифмическая функция

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

Ответ: 20.


2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

. Ответ: −3.

3.


Найдите точку максимума функции 


Решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае — в точке  Функция  в этой точке определена. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, то  — точка максимума функции.

 

Ответ:2.



7.Тригонометрические функции

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

.

Ответ: 12.


2.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:  Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.

 

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

 

Ответ: 9.


3.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является 

 

Ответ: −5.



4. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

 

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 1,5.

 

Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума — число 1,5.

 


8. Исследование без производной

1.Найдите точку максимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке −9. Поскольку функция  возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

 

Ответ: −9.


2.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке 15. Поскольку функция  возрастает, и заданная функция  определена в точке 15, она также достигает в ней минимума.

 

Ответ: 15.


3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Поскольку функция  возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение . Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке 4.

 

Ответ: 4.


4.Найдите наименьшее значение функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке , в нашем случае — в точке -7. Функция  в этой точке определена и принимает значение . Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.

 

Ответ: 13.




Общая информация

Номер материала: ДВ-148374

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.