Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по теме: "Решение задач к зачету №12"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по теме: "Решение задач к зачету №12"

библиотека
материалов

Решение зачета 12 Применение производной к исследованию функций

1.Степенная функция

1. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

Ответ: 3.


2.Найдите точку минимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума  Ответ: −1.



3.
 Найдите точку максимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

 

В точке 3 производная меняет знак с плюса на минус, поэтому эта точка является точкой максимума. Ответ: 3.



2.Иррациональные функции

1.Найдите точку максимума функции 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

 


2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Найденная производная неотрицательна на заданном отрезке, заданная функция возрастает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является:

.

3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке  в нашем случае — в точке −3. Поскольку функция  возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума подкоренное выражение.

 

Ответ: −3.




3. Частные двух функций

1.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

Искомая точка минимума .

Ответ: −1.



2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найденная производная обращается в нуль в точках 3 и −3, из них на отрезке [−4; −1] лежит только точка −3.

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

 


3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума . Ответ: 26.



4.Произведение двух функций

1. Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найдем нули производной:

 

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение: .

 

Ответ: 0.


2. Найдите точку максимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума .

Ответ: 10.


3.Найдите точку максимума функции .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найдем нули производной:

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума 

 


4. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

.

Ответ: 5.


5.Показательная функция

1.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной:

 

 

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:

 



6.Логарифмическая функция

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

Ответ: 20.


2.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

. Ответ: −3.

3.


Найдите точку максимума функции 


Решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает наибольшего значения в точке , в нашем случае — в точке  Функция  в этой точке определена. Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим единицы, возрастает, то  — точка максимума функции.

 

Ответ:2.



7.Тригонометрические функции

1.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

 

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

 

.

Ответ: 12.


2.Найдите наименьшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:  Найденная производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей.

 

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

 

Ответ: 9.


3.Найдите наибольшее значение функции  на отрезке .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

 

Найденная производная неположительна на заданном отрезке, заданная функция убывает на нем, поэтому наибольшим значением функции на отрезке является 

 

Ответ: −5.



4. Найдите точку максимума функции , принадлежащую промежутку .


Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

.

 

На заданном промежутке (первая четверть без граничных точек) синус не обращается в нуль и принимает только положительные значения. Поэтому единственный нуль производной — число 1,5.

 

Определим знаки производной функции: она положительна при x < 1,5 и отрицательна при x > 1,5. Поэтому искомая точка максимума — число 1,5.

 


8. Исследование без производной

1.Найдите точку максимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с отрицательным старшим коэффициентом достигает максимума в точке , в нашем случае — в точке −9. Поскольку функция  возрастающая, а заданная функция определена при найденном значении переменной, она достигает максимума в той же точке, в которой достигает максимума подкоренное выражение.

 

Ответ: −9.


2.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке 15. Поскольку функция  возрастает, и заданная функция  определена в точке 15, она также достигает в ней минимума.

 

Ответ: 15.


3.Найдите точку минимума функции .


Решение.

Поскольку функция  возрастающая, заданная функция достигает минимума в той же точке, в которой достигает минимума выражение . Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает минимума в точке , в нашем случае — в точке 4.

 

Ответ: 4.


4.Найдите наименьшее значение функции .


Решение.

Квадратный трехчлен  с положительным старшим коэффициентом достигает наименьшего значения в точке , в нашем случае — в точке -7. Функция  в этой точке определена и принимает значение . Поскольку логарифмическая функция с основанием, большим 1, возрастает, найденное значение является искомым наименьшим значением заданной функции.

 

Ответ: 13.





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 12.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров193
Номер материала ДВ-148374
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх