Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по теме "Сравнения. Диофантовы уравнения"

Методическое пособие по теме "Сравнения. Диофантовы уравнения"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»


Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

ГИМНАЗИЯ №16 города Тюмени


Заочная физико-математическая школа

Математическое отделение













Сравнения. Диофантовы уравнения


Задание №___ для 10 – 11-ых классов


















Тюмень 2015

Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов. Тема: Методические указания по теме «Сравнения. Диофантовы уравнения» разработаны для учеников 10 – 11-го класса.

В настоящих методических указаниях представлен теоретический материал по данной теме, приведены примеры типовых задач с подробными решениями, а также представлены задачи для самостоятельного решения, которые помогут проверить уровень понимания темы после изучения пособия.









ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: Т. Г. Латфуллин, д. ф.-м. н., профессор кафедры математического анализа и теории функций Тюменского государственного университета.

Н. В. Игнатовская, учитель математики МАОУ гимназии №16 г. Тюмени.






© ФБГОУ ВПО Тюменский государственный университет

© МАОУ гимназия №16 г. Тюмень

© Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов, 2015

ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЯ

    1. Теоретический материал


Если целые числа a и b при делении на натуральное число m дают равные остатки, то эти числа сравнимы по модулю m.

hello_html_m121cb6c4.gif(1)

Выражение (1) называется сравнением.

Свойства сравнений:

  1. Разность ab делится на m.

  2. Еслиhello_html_8820ea0.gif, то a делится нацело на m.

  3. Еслиhello_html_m121cb6c4.gif, то верно следующее сравнение hello_html_46fc9f23.gif, где hello_html_7355f82e.gif

  4. Если hello_html_m121cb6c4.gif и hello_html_m5d387928.gif, то hello_html_m5b6e4bda.gif.

  5. Если hello_html_m121cb6c4.gif и hello_html_m515d0763.gif, то имеют место следующие сравнения

  • hello_html_48fbce80.gifсравнения можно складывать;

  • hello_html_2d0b1aab.gifсравнения можно вычитать;

  • hello_html_m70dcb2a9.gifсравнения можно умножать.

  1. Если hello_html_m121cb6c4.gif, то имеет место сравнение hello_html_33a8f235.gif.

  2. Если hello_html_26cca2cf.gif, m ≠ 1, а числа k и m взаимно просты, то hello_html_m121cb6c4.gif.

    1. Примеры заданий по теме «Сравнения»


Задание 1. Решить сравнения:

  1. hello_html_m6157d8b2.gif

  2. hello_html_1d69f0c3.gif

  3. hello_html_14eca73.gif

Решение

  1. Разрешим сравнение hello_html_4b356c11.gif. По свойству 3 получим сравнение hello_html_31fd7d7b.gif. Так как 4 и 7 взаимно просты, то по свойству 7 получим hello_html_20365550.gif.

  2. Разрешим сравнение hello_html_43c1e70d.gif. По свойству 3 получим сравнение hello_html_1a25c20.gif. Так как 5 и 9 взаимно просты, то по свойству 7 получим hello_html_3c8a1e90.gif.

  3. Разрешим сравнение hello_html_1bdc469.gif. По свойству 3 получим сравнение hello_html_m6793c9c5.gif. Так как 7 и 13 взаимно просты, то по свойству 7 получим hello_html_2ea46e82.gif.

Ответ: a) hello_html_20365550.gif; b)hello_html_3c8a1e90.gif.; c)hello_html_2ea46e82.gif..

Задание 2. Доказать, что при любых натуральных значениях n

  1. hello_html_7d2b707c.gif

  2. hello_html_m4766aba9.gif

  3. hello_html_1bae123d.gif

Доказательство:

  1. Пустьhello_html_m15075c27.gif. Тогдаhello_html_m4d61edc3.gif. Разрешим данное сравнение hello_html_3c62e8a0.gif => hello_html_m3ab1c00b.gif => hello_html_m5caf67aa.gif, значит hello_html_m15075c27.gif.

  2. Пусть hello_html_m197690e4.gif. Тогдаhello_html_m5e3df2a4.gif. Разрешим данное сравнение hello_html_6c21c87f.gif => hello_html_m9b96428.gif => hello_html_28631462.gif => hello_html_m7989aa6b.gif, значит hello_html_m197690e4.gif.

  3. Пусть hello_html_1cbb9f1c.gif. Тогдаhello_html_bb90ca1.gif. Разрешим данное сравнение hello_html_me4af0fc.gif => hello_html_m51b5531.gif => hello_html_38fb531a.gif => hello_html_93b3c0e.gif, значит hello_html_1cbb9f1c.gif.

Задание 3. Найти последнюю цифру числа

  1. hello_html_m595d61aa.gif

  2. hello_html_m797b65e1.gif

  3. hello_html_m13515128.gif

Решение

  1. Заметим, что число hello_html_48513c1.gif для любого натурального n оканчивается на цифру 6, число hello_html_58db6d98.gif оканчивается на цифру 2, число hello_html_m359260e4.gif оканчивается на цифру 4 и число hello_html_m65e8dbd.gif оканчивается на цифру 8. Число hello_html_m595d61aa.gif можно представить в виде hello_html_24177b3e.gif. Значит, число hello_html_m595d61aa.gif оканчивается на цифру 4.

  2. Чтобы найти последнюю цифру числа, нужно рассмотреть данное число по модулю 10. Так как hello_html_665492a7.gif => hello_html_m5a66fbe9.gif. => hello_html_69638ef8.gif. Заметим, что число hello_html_mc792c66.gif для любого натурального n оканчивается на цифру 1, число hello_html_4132ef00.gif оканчивается на цифру 3, число hello_html_285f8819.gif оканчивается на цифру 9 и число hello_html_1b936546.gif оканчивается на цифру 7. Число hello_html_mca25a41.gif можно представить в виде hello_html_mc23f348.gif. Значит, число hello_html_m797b65e1.gif оканчивается на цифру 9.

  3. Так как hello_html_2447c23.gif => произведение hello_html_m44854b5d.gif оканчивается на 0. Значит, число hello_html_7e775f1d.gifоканчивается на ту же цифру, что и hello_html_6c84180e.gif. hello_html_1ea49de6.gif Число hello_html_m67f4c64d.gif можно представить в виде hello_html_7061e8be.gif. Значит, число hello_html_m67f4c64d.gif оканчивается на цифру 4. Тогда hello_html_6c84180e.gif оканчивается на цифру 8 hello_html_351b9ea9.gifоканчивается на цифру 8.

Ответ: a) 4; b)9; c)8.

Задание 4. Найти остаток от деления числа

  1. hello_html_39f57cda.gif;

  2. hello_html_2a8f5dcc.gif

  3. hello_html_m257d92cc.gif

Решение:

  1. hello_html_3659438a.gifТак как hello_html_m5a61de43.gif => 4hello_html_m1b048269.gif
    =>
    hello_html_286b8b1e.gif. Значит остаток от деления числа hello_html_39f57cda.gif равен 4.

  2. Так как hello_html_m15d7978d.gif => hello_html_7f687de3.gif. hello_html_1f789ece.gif => hello_html_1fbff1a4.gif. Значит остаток от деления числа hello_html_m9862138.gif равен 2.

  3. Так как hello_html_2447c23.gif и hello_html_m975738b.gif => hello_html_395e40d6.gif, т. е. hello_html_6bb1fc81.gif. Значит остаток от деления числа hello_html_m50ae39c5.gif равен 3.

Ответ: a) 4; b)2; c)3.

ГЛАВА 2. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

2.1. Линейные диофантовы уравнения.


Общий вид линейного диофантова уравнения hello_html_m63f6e93c.gif + hello_html_4314eb74.gif, где hello_html_m4cb7f5a2.gif – целые числа, а hello_html_38448dc5.gif – неизвестные данного уравнения.

Рассмотрим линейные уравнения с двумя неизвестными, то есть рассмотрим уравнения вида

hello_html_2723a433.gif. (2.1)

Предположим, что a, b, c – целые числа и поставим задачу – найти целочисленные решения уравнения (1), то есть все пары чисел x и y такие, что уравнение (1) обращается в верное числовое равенство, или показать, что таких чисел нет.

Пусть a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Если a, b, c имеют общий делитель, отличный от единицы, то разделим обе части уравнения (1) на этот общий делитель.

Пусть d – наибольший общий делитель чисел a и b. Возможны два случая hello_html_m639e5bd7.gif. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: hello_html_m67a370c.gif. Пусть уравнение (1) имеет целочисленное решение. Тогда существуют целые числа x и y, которые обращают уравнения (1) в верное числовое равенство.

Так как, d – наибольший общий делитель чисел a и b, причём hello_html_m12e4cc19.gif где m и n – целые числа, не имеющие общих натуральных делителей, отличных от единицы (m и n – взаимно просты числа).

Тогда равенство (1) примет вид hello_html_6421f5e8.gif

hello_html_15428bf2.gif. (2.2)

По предложению числа a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Но из равенства (2.2) следует, что c делится на d, где hello_html_180c3677.gifто есть a, b и c имеют общий делитель hello_html_m1fc71657.gifПолучаем противоречие, значит уравнение (2.1) при hello_html_m67a370c.gif не может иметь целочисленных решений.

Случай 2: hello_html_67539756.gif. Пусть (α,β) – целочисленное решения уравнения (2.1), тогда является верным равенство

hello_html_m1e200ee6.gif (2.3)

Если (x;y) – произвольное целочисленное решение уравнения (2.1), то равенство (2.1) является верным. Вычитая почленно из равенства (2.1) равенства (2.3), получаем

hello_html_m61b41631.gif

отсюда следует, что

hello_html_m48da6e8a.gif. (2.4)

Число α – целое и, кроме того, a и b – взаимно простые числа. Поэтому число x, определяемое формулой (2.4), будет целым тогда и только тогда, когда β-y делится на a. Обозначим

hello_html_8747ead.gif (2.5)

Тогда t –целое число, и равенство (2.4) примет вид

hello_html_m5afe4146.gif, (2.6)

а из равенства (2.5) следует, что

hello_html_m255a8c12.gif. (2.7)

Таким образом, доказано, что если (α,β) – какое-либо целочисленное решения уравнения (2.1), то все решения этого уравнения задаются формулами (2.6 и 2.7), где hello_html_25021d5.gif.

Замечание. Если hello_html_m22f93d37.gif целочисленное решение уравнения hello_html_m6d0bae9f.gif, то hello_html_15785e81.gif является целочисленным решением уравнения (2.1), так как из верного равенства hello_html_m76f2280d.gif следует верное равенство

hello_html_5157a88f.gif (2.8)

Это утверждение часто оказывается полезным при отыскании решения уравнения (2.1)

Задание 1. Решить диофантовы уравнения

  1. hello_html_613ca163.gif;

  2. hello_html_4923b949.gif;

  3. hello_html_6f0f47af.gif;

Решение.

  1. Перепишем уравнение в виде hello_html_m3948a40b.gif. Поскольку левая часть делится на 3, то и правая часть должна делиться на3. Рассмотрим три случая:

  1. Если hello_html_m73078db9.gif то hello_html_m12a08c8f.gif не делится на 3.

  2. Если hello_html_m18cd5339.gif то hello_html_m443ecb9c.gif не делится на 3.

  3. Если hello_html_231a40bd.gif то hello_html_m303ea7e2.gif делится на 3. Поэтому hello_html_m7fa22e37.gif, т. е. hello_html_1d3c4d6f.gif

  1. Заметим, что пара чисел ( –9; 13) – решение данного диофантового уравнения hello_html_4923b949.gif, где a = 36, b = 25. Тогда все решения этого уравнения задаются формулами (используем формулы 2.6 и 2.7) hello_html_49e95a47.gif; hello_html_m619bd4ea.gif, где hello_html_25021d5.gif.

  2. Используя решения пункта b) и замечания к данному пункту, получим

hello_html_330dd371.gif; hello_html_m6e829fe.gif, где hello_html_25021d5.gif.

2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными.


Рассмотрим диофантово уравнение второго порядка с двумя переменными вида

hello_html_1c74ba01.gif (2.9)

где hello_html_1413a1cc.gif и хотя бы одно из чисел a, b, c отлично от нуля. Одним из методов является разложение на множители.

Рассмотрим примеры решения данных уравнений.

Задание 1. Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению hello_html_1be357f.gif.

Решение. Преобразуем данное уравнение к следующему виду
hello_html_m767f04fa.gif. Разложив левую часть как многочлен второй степени относительно y, получим hello_html_3a9d7742.gif. Чтобы решить уравнение, надо рассмотреть решение четырёх систем

  1. hello_html_4e63d3e.gifне имеет решений в целых числах

  2. hello_html_16e49ac8.gifне имеет решений в целых числах

  3. hello_html_m549e33d8.gifимеет решение (x,y) = (2,1)

  4. hello_html_16e49ac8.gifимеет решение (x,y) = (-2,-1)

Ответ: (-2,-1); (2,1).

Задание 2. Найти все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие уравнению hello_html_6d38a0f3.gif.

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом
hello_html_m315e9e11.gif. Так как m и n – натуральные числа разной чётности, то число 144 надо представить в виде произведения чётного и нечётного множителя. Возможны следующие варианты:

  1. hello_html_617ce5ec.gifm = 13, n = 156

  2. hello_html_53a15f1.gifm = 15, n = 60

  3. hello_html_m7f365714.gifm = 21, n = 28

  4. hello_html_m298611d8.gifn = 13, m = 156

  5. hello_html_53a15f1.gifn = 15, m = 60

  6. hello_html_m7f365714.gifn = 21, m = 28

Ответ: (m,n) : (13,156); (15,60); (21,28); (156,13); (60,15); (28,21).









ГЛАВА 3. Сборник заданий для самостоятельного решения

  1. Решить сравнение hello_html_18584b9.gif.

  2. Найти последнюю цифру числа hello_html_m3a6a6f3.gif

  3. Найти остаток от деления числа hello_html_m763cd01d.gif.

  4. Решить уравнение в целых числах hello_html_2092a7aa.gif.

  5. Решите задачу. Во дворе обитают коровы и утки. На всех обитателей двора приходится 84 лапы. Сколько коров и сколько уток, если известно, что всего 27 голов во дворе

  6. Докажите, что для любых hello_html_20dbb322.gif hello_html_69c001c4.gif

  7. Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению hello_html_161979a0.gif.

  8. Найти последнюю цифру числа hello_html_2933ff37.gif

  9. Найти остаток от деления числа hello_html_m27c5beba.gif

  10. Решите задачу. В кармане у Гоши монеты номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Известно, что общее количество монет – 18, а сумма всех монет составляет 74 рубля. Найдите количество монет каждого номинала, если известно, что количество монет номиналом 5 рублей столько же, сколько и утроенное количество монет номиналом 2 рубля вместе с количеством монет номиналом 1 рубль.

  11. Решить уравнение в натуральных числах hello_html_m185faf21.gif.

  12. Разложить дробь hello_html_m5eae9016.gif на сумму двух дробей со знаменателями 3 и 7 соответственно.

  13. Решите задачу. Красный карандаш стоит 17 рублей, синий – 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея 495 рублей с условием, что число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. Сколько синих и сколько красных карандашей куплено, если всего приобретено 32 карандаша.

  14. Решите уравнение в целых числах hello_html_m36377eb2.gif.

  15. Решить уравнение в целых числах hello_html_m4bea8413.gif.

Оглавление

Глава 1. Сравнения…………………………………………………..3

п. 1.1. Теоретический материал................................................................3
п. 1.2 .Примеры заданий по теме «Сравнения».......................................3

Глава 2. Диофантовы уравнения 6

п. 2.1. Линейные диофантовы уравнения 6

п. 2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными. 9

Глава 3. Сборник заданий для самостоятельного решения…...11





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 14.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров373
Номер материала ДВ-155171
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх