Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие по теме "Тригонометрические уравнения"

Методическое пособие по теме "Тригонометрические уравнения"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тригонометрические уравнения

hello_html_m13aadbcc.gif



hello_html_48575ac1.jpghello_html_302b35d2.jpg









hello_html_4b61378c.jpg









Составитель:

Баскакова Т.В.


hello_html_m1c1ef9a9.gif


КГБОУ НПО “Профессиональное училище № 86»















Методическое пособие

По теме тригонометрические уравнения

















КРАСНОЯРСК 2011

Составитель:

Баскакова Т.В.



Тригонометрические уравнения : Методическое пособие для обучающихся/ Т. В.Баскакова. Профессиональное. училище № 86, 2011. – 50 c.



Предназначено для организации внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся.

Состоит из опорных конспектов, теории с сопровождением примеров от простых к сложным и теста для проверки усвоения материала


Опорные конспекты составлены на весь раздел «Тригонометрия», что позволяет обучающимся вспомнить и использовать на практике тригонометрические знания. В пособии рассматриваются методы решения тригонометрических уравнений.









КГБОУ НПО «Профессиональное

училище№86», 2011

Рецензия

на методическое пособие для внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся по теме «Тригонометрические уравнения» дисциплина «Математика», составленное преподавателем КГБ ОУ НПО «Профессиональной училище №86» Баскаковой Татьяны Владимировны


Методическое пособие предназначено для организации аудиторной и внеаудиторной самостоятельной работы обучающихся, а так же может быть использовано для самостоятельной подготовки к экзамену.

Данное пособие состоит из 3 частей: опорные конспекты, примеры методов решения тригонометрических уравнений, с дифференцированными заданиями (по уровню сложности) для самостоятельного решения обучающимися, тестирование.

Особо отметим, что в первой части «опорные конспекты» даны в полном объеме по данному разделу в «тригонометрии», что позволяет обучающимся вспомнить ранее изученный материал и приступить к изучению нового. Представленные в пособии задания направлены на отработку умений решать тригонометрические уравнения различного типа, умение выполнять тождественные преобразования тригонометрических выражений, умение провести анализ предложенного уравнения с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов.

Рецензируемое пособие логично и доступно конструировано, что позволяет обучающимся самостоятельно работать с ним.

Данное пособие входит в состав учебно-методического комплекса по дисциплине «математика»

Пособие представляет практическую ценность и может быть рекомендовано к печати, а также к использованию на практике.


Рецензент:

hello_html_74782dfb.gif








ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Раздел «Тригонометрия» является наиболее сложным для обучающихся. Одной из причин этого является недостаточное количество программных часов, отводимое на изучение этого раздела, а так же поверхностное изложение некоторых важных вопросов, и связанных с решением тригонометрических уравнений, отбором и исследованием корней. Говоря об умениях решать тригонометрические уравнения нужно иметь в виду, что эти умения образуют целый комплекс, в который входят следующие:

- умения отыскать на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам

- умение провести анализ предложенного уравнения с целью получения оснований для отнесения уравнения к одному из известных видов;

- умение решать простейшие тригонометрические уравнения и иллюстрировать решение с помощью графика, тригонометрического круга;

- умение применять свойства тригонометрических функций при решении уравнений

- умение решать алгебраические уравнения определенных видов (линейные, квадратные, дробно-рациональные, однородные, сводящиеся к совокупностям алгебраических уравнений указанных видов)

Перечисленные умения формируются в течение длительного времени, рядом из них обучающиеся должны владеть, приступая к изучению тригонометрических уравнений. Но рассмотрение приемов решения тригонометрических уравнений предполагает своего рода перенос этих умений на новое содержание.

Предложенные ниже методики предусматривает овладение учащимися умениями решать простейшие тригонометрические уравнения и знакомство с приемами решения тригонометрических уравнений .

Анализ сдачи единого государственного экзамена показал, что обучающиеся допускают много ошибок при выполнении заданий именно этого раздела или вообще не берутся за такие задания. Этот недостаток в получении тригонометрических знаний помогает устранять данное методическое пособие. Оно может служить пособием при подготовке к урокам, самостоятельным и контрольным работам, тестам,  для самостоятельной подготовки к экзаменам.

Опорный конспект, опорная схема, рисунок, как одна из форм изложения сведений о язык не способствует развитию как познавательных мотивов, так и социальных и творческих, облегчает понимание новой информации и закрепляет её в долговременной памяти – всё это обуславливает актуальность темы «опорные конспекты как средство формирования информационной, учебно- познавательной, коммуникативной компетенции».

Основное содержание данного пособия составляют методы решения тригонометрических   уравнений. Изложение материала построено на решении дифференцированных примеров (по уровню сложности) и сопровождается всеми необходимыми для этого теоретическими сведениями. Пособие содержит разбор конкретных заданий, предлагаемых на вступительных экзаменах, а также достаточное количество примеров и задач для самостоятельной работы, тренировки обучающихся.

Пособие начинается с исторических сведений и основных опорных конспектов по данной теме. Работу  с пособием лучше начинать с повторения единичной окружности, последовательно разбирая пример за примером и закрепляя затем рассмотренные методы решения  тригонометрических задач на приведённых в конце задачах  для самостоятельной работы.. Для определения полученных знаний обучающиеся выполняют тест.

Успехов!!!

Исторические сведения о развитии тригонометрии

Слово «тригонометрия» составлено из двух греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрео» — измеряю. Основной задачей тригонометрии является нахождение неизвестных параметров треугольника по данным значениям других его параметров. Например, по данным сторонам треугольника можно вычислить его углы, по известным значениям площади и двух углов вычислить его стороны и т. д.

Первые методы нахождения неизвестных параметров данного треугольника были развиты учеными Древней Греции за несколько веков до нашей эры. Греческие астрономы знали

синусов, косинусов и тангенсов. Вместо таблиц этих величин они употребляли таблицы, позволявшие отыскивать хорду окружности по стягиваемой ею дуге. Дуги измерялись в градусах и минутах.

Все древние цивилизации вносили свой вклад в дело накопления тригонометрических знаний. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилова, возраст которой определяется вторым тысячелетием до нашей эры, решается тригонометрическая задача.

Значительно развили тригонометрию индийские средневековые астрономы и арабские ученые. В X веке багдадский ученый Абу-ль-Вефа присоединил к понятиям синусов и косинусов понятия тангенсов, котангенсов, секансов и косекансов. Абу-ль-Вефа установил также основные соотношения между ними. Благодаря работам знаменитого арабского ученого Насир эд-Дина (1201—1274) тригонометрия становится самостоятельной научной дисциплиной. Насир эд-Дин рассмотрел все случаи решения плоских и сферических треугольников. В XII веке с арабского языка на латинский был переведен ряд астрономических работ, по которым европейцы познакомились с тригонометрией, не многие работы Насир эд-Дина остались им неизвестны.

Выдающийся немецкий астроном XV века Региомонтан (1436—1476) заново сформулировал теоремы Насир эд-Дина. Региомонтан составил таблицы синусов плоских углов с точностью до седьмой значащей цифры. В середине XVIII века, благодаря русскому академику Леонарду Эйлеру (1707—1783), тригонометрия приняла современный вид. Он разработал её как науку о тригонометрических функциях, ввел записиsinx, tgx, обозначил а, в, с для сторон и А,В,С  для противоположных углов Δ АВС.

Эйлер рассматривал тригонометрические функции аргумента х - радианной меры соответствующего угла, давая этому аргументу различные значения: положительные, отрицательные и даже комплексные. Он же ввел и обратные тригонометрические функции.

I. Опорные конспекты



Числовая окружность

Единичная окружность — это окружность, радиус которой принят за единицу измерения.

ЧГруппа 782исловая окружность — это единичная окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности:









УГруппа 768казанное соответствие можно определить следующим образом: каждому числу соответствует такая точка Р числовой окружности, чтобы дуга ОР имела длину || и была отложена в положительном направлении если > 0 и в отрицательном, если

< 0:

Признаки числовой окружности:

1) начало отсчета – правый конец горизонтального диаметра;

2) единичный отрезок – длина радиуса окружности;

3) положительное направление – против часовой стрелки.

Откладывать можно дуги какой угодно длины. То есть числовую окружность можно рассматривать как окружность радиуса 1, на которую «намотана» числовая прямая:

Группа 698



2. Основное тригонометрическое тождество и следствия из него:

hello_html_m3034b379.gif

II. Формулы (теоремы) сложения аргументов:

hello_html_5fb3b483.gif

III. Формулы приведения:

1) функция меняется на кофункцию при переходе через вертикальную ось и не меняется при переходе через горизонтальную;

2) перед приведенной функцией ставится знак приводимой функции, считая углом первой четверти.

IV Формулы двойного аргумента:

hello_html_m54962e04.gif

V. Формулы понижения степени

: hello_html_52a3d257.gif



3Группа 691. Простейшие тригонометрические уравнения











Если правая часть уравнения — отрицательное число, то следует воспользоваться свойствами соответствующих обратных тригонометрических функций, тогда:

hello_html_m3aeccf18.gifГруппа 594



!!! Частный случай











hello_html_32a3c4b9.gifАрксинусом числа а называется такое число х из интервала hello_html_m10be499.gif, синус которого равен а.

hello_html_m336b9fc0.gifГруппа 577

Арккосинусом числа а называется такое число х из интервала [0; ], косинус которого равен а.

hello_html_m7e56ac1c.gifГруппа 559

Арктангенсом числа а называется такое число х из интервала hello_html_ma7b3705.gif, тангенс которого равен а.

hello_html_63bade51.gif

АГруппа 542рккотангенсом числа а называется такое число х

из интервала (0; ), котангенс которого равен а


1. Для отрицательных значений аргумента:

hello_html_m3f05c940.gif hello_html_m7cc2d0bd.gif







V Угол поворота

Полный оборот — это угол поворота, равный 2 рад (или 360).

Группа 439

















Некоторые положения конечной точки угла поворота:

Группа 302





















Значения тригонометрических функций некоторых углов

Формулы приведения

hello_html_2a2cc208.jpghello_html_m637c7647.jpghello_html_m4f3ba9f.jpghello_html_m5b81d0eb.jpg


0






sin

0


hello_html_1f4a5d0.gif

hello_html_66d0d8b7.gif

1

0

1

cos

1

hello_html_66d0d8b7.gif

hello_html_1f4a5d0.gif


0

1

0

tg

0

hello_html_m225a10a0.gif

1

hello_html_93b6d1d.gif

0

ctg

hello_html_93b6d1d.gif

1

hello_html_m225a10a0.gif

0

0



Числовая окружность на координатной плоскости



hello_html_4b61378c.jpg

Формулы половинного аргумента (знак – по функции в левой части):

hello_html_59626c46.gifФормулы сумм:

hello_html_2ffcd017.gifФормулы произведений:

hello_html_684f67ac.gif

Универсальная тригонометрическая подстановка:

hello_html_1c6294aa.gif

II Методы решения тригонометрических уравнений

II.IПростейшие тригонометрические уравнения

Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений смотри опорный конспект №2

Каждая из функций hello_html_768b53ee.pngи hello_html_m66807db5.pngопределена на отрезке [-1; 1] и hello_html_m48f7c249.png

Функция hello_html_768b53ee.pngявляется нечетной, то есть hello_html_29d0c2d.png. Функция hello_html_m66807db5.pngне является ни четной, ни нечетной: hello_html_29626f98.png.
Функции hello_html_2be6aa69.pngи hello_html_m314a06c.pngопределены на всей числовой прямой и hello_html_m6f524a6e.png

Функция hello_html_2be6aa69.pngявляется нечетной, то есть hello_html_m1a8285f.png. Функция hello_html_m314a06c.pngне является ни четной, ни нечетной: hello_html_m7545601.png.
При решении тригонометрического уравнения, не являющегося простейшим, его сводят тем или иным способом к одному или нескольким простейшим.
Пример 1. Решить уравнение

hello_html_9923b02.png(1)

Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности

hello_html_m56d7172.png

Решением первого уравнения этой совокупности является семейство hello_html_875d79c.png, а второго – семейство hello_html_m4b3cb6ba.png. Объединение этих двух множеств и есть решение уравнения(1). Эти решения можно для краткости записать в виде hello_html_m78655a0f.png.
Ответ: hello_html_m78655a0f.png


Пример 2. Решить уравнение

hello_html_29d3af0d.png(2)

Решение.
Грубая ошибка, которую допускают при решении этого уравнения состоит в следующем: обучающиеся записывают решение hello_html_a57ba07.png, однако они не учитывают, что hello_html_10078f97.png, следовательно, уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: hello_html_m2be5a23d.pngÆ


Пример 3. Решить уравнение

hello_html_cedf88f.png(3)

Решение.
Применив формулу решения простейшего тригонометрического уравнения, получим

hello_html_21206ee9.png(4)

Далее многие обучающиеся для нахождения х возводят левую и правую часть уравнения (4) в квадрат, не учитывая, что hello_html_5e27821b.png, а это влечет за собой hello_html_m3255aec0.png. Так как последнему неравенству удовлетворяют только hello_html_17a80b41.png, то

hello_html_4c4e168c.png

Ответ: hello_html_4c4e168c.png

II. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Метод разложения на множители заключается в следующем: если

hello_html_m7526ac12.png

То всякое решение уравнения

hello_html_54996f01.png

(1)

Является решением совокупности уравнений

hello_html_m1e620c5.png

(2)

Обратное утверждение, неверно: не всякое решение совокупности уравнений (2) является решением уравнения (1). Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений (2) могут не входить в область определения функции hello_html_m9308c57.png.
Поэтому, если при решении тригонометрического уравнения методом разложения на множители, функции, входящие в уравнение, определены не для всех значений аргумента, после нахождения решения должна быть сделана проверка, чтобы исключить лишние корни. Можно поступать другим способом: находить область допустимых значений исходного уравнения и выбирать только те корни, которые входят в найденную область допустимых значений.

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m1494a857.png

(3)

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество (смотри опорный конспект №3), уравнение представим в виде

 hello_html_1e074347.png  

   hello_html_m5164512b.png

Грубой ошибкой, которую часто допускают при решении, является сокращение левой и правой части уравнения (4) на hello_html_502be792.png, так как при этом теряются корни. При правильном подходе к решению данного уравнения следует перенести все слагаемые в правую часть и вынести общий множитель за скобки, получая равносильное уравнение

hello_html_m4dcfe57a.png 
↔ hello_html_m4e3e446e.png


Ответ: hello_html_m53562ad0.png  hello_html_2acff080.png

Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m23009ca1.png

(5)

Решение.
Преобразуем правую часть уравнения (5) следующим образом

hello_html_m64159478.png

Затем перенесем все слагаемые в левую часть и получим

hello_html_m6f79eec3.png

(6)

ОДЗ уравнения (6) являются все hello_html_70a5e6bd.png, за исключением hello_html_2acd0440.png. На данной ОДЗ уравнение (6) равносильно совокупности двух уравнений

hello_html_m4dd50732.png

Первое уравнение имеет решение hello_html_4d3bb4f9.png, а второе hello_html_33526ef6.png. Однако ОДЗ принадлежат лишь hello_html_79af625.png, которые и являются решением исходного уравнения (5).
Ответ: hello_html_m49428082.png

Примеры для самостоятельного решения:

  1. Решить уравнение hello_html_29936e13.png

  2. При всех значениях а решить уравнение hello_html_m320a35e5.png

  3. При всех значениях а решить уравнение hello_html_220b051d.png

III. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

При решении уравнений указанного типа в основном применяются следующие тригонометрические тождества:

hello_html_m7c56a7a2.png
hello_html_44f5d14a.png
hello_html_m51d3937c.png

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m1010e3d7.png(1)

(1)

Решение.
Используя основное тригонометрическое тождество, осуществим замену hello_html_7eb019f6.png, тогда уравнение (1) примет вид

hello_html_m71cf8491.png

Введем подстановку hello_html_575f33df.png, тогда получим квадратное уравнение

hello_html_7a4d3715.png

Решая его, находим корни hello_html_7510017a.pnghello_html_722932bf.png. Затем осуществляя обратную подстановку hello_html_m7a0e4726.pngили hello_html_7caa002.png, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: hello_html_41645120.png hello_html_27444464.png

Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m138c739b.png(2)


Решение.
Введем подстановку hello_html_m6dde29f4.png, тогда уравнение (2) примет вид

hello_html_m112d006c.png

откуда hello_html_m43b6abe.png. Так как hello_html_2412bd27.pnghello_html_m33fbbae9.png, то корень hello_html_mc02f075.pngне подходит. Следовательно,

hello_html_m5d496f80.png

Ответ: hello_html_1054f51d.png

Примеры для самостоятельного решения:

1.Решить уравнение hello_html_m81ef9b2.pngОтвет: hello_html_m2407da6d.png

2.Решить уравнение hello_html_m1f7af386.pngОтвет: hello_html_m73cadb3a.png

3.Решить уравнение hello_html_2b82d6e8.png

IV Решение однородных уравнений.

Уравнение вида

hello_html_me7c997e.png
hello_html_m28b59882.png…1






где hello_html_m7f0b4c5b.png– действительные числа, называются однородными уравнениями степени hello_html_1a149314.pngотносительно функций hello_html_7e15d84d.pngи hello_html_618ee203.png.
К квадратичным уравнениям вида (1) приводятся уравнения вида

hello_html_2d2ca26a.png2


при этом следует применить формулы синуса и косинуса двойного угла

hello_html_2620cc1.png
hello_html_m7b375864.png,

а также тождество

hello_html_76c08639.png

Общий подход к решению однородных уравнений основан на том, что корни уравнений hello_html_5325fd7c.pngили hello_html_m4606f1b6.pngне являются корнями уравнения (1), так как, если, например, hello_html_m4606f1b6.png, то из уравнения (1) следует, что и hello_html_5325fd7c.png, что противоречит основному тригонометрическому тождеству hello_html_m4b2b63cf.png. Следовательно, левую и правую части уравнения (1) можно разделить на hello_html_fe46cb4.pngи ввести подстановку hello_html_m3f0ac1ef.png







Пример 1. Решить уравнение

hello_html_6d277ecd.png

(3)


Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим hello_html_m6da22625.png. Тогда уравнение (3) примет вид

hello_html_m1990a548.png

Применив формулу hello_html_5f8ddd51.png, получим

hello_html_m25118e5f.png

откуда

hello_html_3ddd391f.png

Следовательно,

hello_html_8650ba8.png

Ответ:  hello_html_8650ba8.png


Примеры для самостоятельного решения:

  1. Решить уравнение hello_html_m7e04f20c.png

  2. Решить уравнение hello_html_c487dc0.png

  3. Решить уравнение hello_html_mf6f53a.png

V.Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента.

Рассмотрим уравнение

hello_html_3eb633a3.png

(1)

Разделим левую и правую часть уравнения (1) на hello_html_m2a036688.png:

hello_html_4db8595b.png

Так как

hello_html_m6b489869.png

то существует угол φ такой, что

hello_html_40261de7.png

при этом

hello_html_ma43b2a9.png

Тогда уравнение (1) примет вид

hello_html_31aec407.png

Отметим, что к выбору угла φ в задачах с параметрами нужно относиться внимательно: выбор hello_html_79611770.pngи выбор hello_html_m6f07aac7.pngбудут не всегда равносильны.


Пример 1. Решить уравнение



hello_html_82f1ca2.png

(2)

Решение.
Разделим левую и правую часть уравнения на hello_html_273fd622.png. Тогда получим

hello_html_m2d9a3013.png

Ответ можно записать в другом виде. Для этого положив hello_html_m67fe5f85.pngполучим hello_html_m6449257d.png
Ответ:  hello_html_m6449257d.png

Пример 2. Решить уравнение

hello_html_66903d31.png

(3)


Решение.
Разделим левую часть на 2 и положим hello_html_m6da22625.png. Тогда уравнение (3) примет вид

hello_html_m1990a548.png

Применив формулу hello_html_5f8ddd51.png, получим

hello_html_m25118e5f.png

откуда

hello_html_3ddd391f.png

Следовательно,

hello_html_8650ba8.png

Ответ:  hello_html_8650ba8.png

Примеры для самостоятельного решения:

  1. Решить уравнение hello_html_m3c307383.png.

Ответ: hello_html_m2dc3fa3b.png

  1. Решить уравнение hello_html_m3dad5ae1.png.

[свериться с ответом]

Ответ:  hello_html_m11ea7921.png

  1. Решить уравнение hello_html_m5db417b2.png.

Ответ:  hello_html_m5155a93e.png

  1. При всех значениях а решить уравнение hello_html_cae0c5.png.

Ответ: 

при hello_html_4630d53e.png
при hello_html_3e79a542.png


  1. Решить уравнение hello_html_m3c307383.png.

Ответ: hello_html_m2dc3fa3b.png

  1. Решить уравнение hello_html_m3dad5ae1.png.

Ответ:  hello_html_m11ea7921.png

  1. Решить уравнение hello_html_m5db417b2.png.

VI.Решение уравнений с применением формул понижения степени.

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы понижения степени

hello_html_6970370b.png
hello_html_69fb747d.png


Пример 1. Решить уравнение

hello_html_m7a5e867f.png

Решение.
Применив формулу понижения степени, получим

hello_html_md5ef5ae.png
hello_html_m42ed79f7.png
hello_html_m65f326fb.png
hello_html_m4cd924be.png

Последнее уравнение равносильно совокупности трех уравнений

hello_html_220bcc10.png

которые имеют соответственно следующие множества решений

hello_html_m6ce7f84d.png

Решение из множества hello_html_2e64e981.pngпри hello_html_m4300bc76.pngсодержаться в множестве hello_html_me8a043e.png(hello_html_1b8a6870.png), а при hello_html_m2d5d825b.pngв множестве hello_html_m79388ecd.png
Ответ: hello_html_415de2cf.png

Примеры для самостоятельного решения:

  1. Решить уравнение hello_html_m34d576e0.png.

Ответ: hello_html_53531823.png


  1. Решить уравнение hello_html_m16e68775.png

VII.Решение уравнений методом универсальной подстановки.

Тригонометрическое уравнение вида

hello_html_m48f84cb3.png

(1)

где R – рациональная функция, hello_html_561ebef8.png, с помощью тригонометрических формул двойного и тройного аргумента, а также формул сложения можно свести к рациональному уравнению относительно аргументов hello_html_m370d7829.pngпосле чего уравнение (1) может быть сведено к рациональному уравнению относительно hello_html_m2b1ab60.pngс помощью формул универсальной тригонометрической подстановки (Смотри ОК №6,7)

hello_html_m37299e06.png
hello_html_47d371a7.png

(2)

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку hello_html_776108f2.pngне определен в точках hello_html_m4cb73d9c.png, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы hello_html_m4cb73d9c.pngкорнями исходного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение

hello_html_49a928f4.png

Решение.
По условию задачи hello_html_m360165aa.png. Применив формулы (2) и сделав замену hello_html_m18d89cd6.png, получим

hello_html_4b4223da.png

откуда t=0 и, следовательно, hello_html_m28eddd77.png
Ответ: hello_html_m28eddd77.png


Пример 2. Решить уравнение

hello_html_m48b25a2d.png

Решение.
По условию задачи hello_html_m6ab24304.png. Используем формулы (2) и заменим hello_html_m18d89cd6.png, тогда получим

hello_html_m3466e86e.png

откуда hello_html_7d782ae1.png. Следовательно, hello_html_m51db668f.png.
Заметим, что в данном случае применение подстановки hello_html_m18d89cd6.pngне сужает ОДЗ исходного уравнения.
Ответ: hello_html_m51db668f.png

Примеры для самостоятельного решения:

Решить уравнение

hello_html_m446f232a.pngОтвет: hello_html_7006ca27.png


hello_html_m5f690a3b.pngОтвет: hello_html_m61c72560.png

hello_html_5a0a59bb.png

Ответ: hello_html_m37b699de.png

VIII. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений.

Не всякое уравнение f(x)=g(x) в результате преобразований может быть сведено к уравнению того или иного стандартного вида, для которого существует определенный метод решения. В таких случаях оказывается полезным использовать такие свойства функций f(x) и g(x), как монотонность, ограниченность, четность, периодичность и др. Так, если одна из функций убывает, а вторая возрастает на промежутке X, то при наличии у уравнения f(x)=g(x) корня на этом промежутке, этот корень единственный, и тогда его, например, можно найти подбором. Если, далее, функция f(x) на промежутке X ограничена сверху, причем hello_html_78a68304.png, а функция g(x) ограничена снизу, причем hello_html_6c4c178a.png, то уравнение f(x)=g(x) равносильно системе уравнении hello_html_m3acc3999.png. Иногда для решения уравнения f(x)=g(x) можно построить графики функции y=f(x), y=g(x) и определить абсциссы точек пересечения. В этом параграфе также рассматривается применение производной для исследования тригонометрических уравнений. Ответ:  hello_html_m5155a93e.png

Ответ: hello_html_m6c0bae0d.png

Ответ: hello_html_b18da5e.png

Пример 1. Решить уравнение

hello_html_18c55a95.png……(1)

(1)

Преобразуем уравнение (1) к виду

hello_html_m7e07b6cf.png

Так как hello_html_66313a34.png, а hello_html_523ab5be.png, то последнее уравнение равносильно системе

hello_html_6798a47.png

(2)

Второе уравнение системы (2) имеет единственный ко­рень х=2, подставляя его в первое уравнение, убеждаемся, что он удовлетворяет ему. Следовательно, х=2 - корень системы (2), а значит, и уравнения (1).
Ответ: х=2





Примеры для самостоятельного решения:

  1. Решить уравнение hello_html_m51e96ab8.png

  2. Решить уравнение hello_html_m51e96ab8.png

  3. Решить уравнение hello_html_m1959e44a.gif

III тестирование

hello_html_m1e01b3c5.jpg

hello_html_m23d3301.jpghello_html_32640f7c.jpghello_html_m420cca44.jpg

hello_html_m7896a450.jpghello_html_1222d36f.jpg

hello_html_6879c1b9.jpghello_html_m695d2f1d.jpg



hello_html_m44f36a1a.jpghello_html_mb53ac78.jpg

hello_html_m2e16d6af.jpg

Литература:

1. Азаров А.И. и др. Тригонометрические уравнения: Учеб. пособие / А.И. Азаров, О.М. Гладун, В.С. Федосенко / - ООО"Тривиум", 2008. - 160с.

2. Евдокимова Н.Н. Тригонометрия: Теория и примеры. - СПб: Издательский Дом "Литера", 2005. - 64с.

3. Ивлев Б.М. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса / Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. - 8-е изд. - М.: Просвещение, 2006. - 176с.

4. Коноплева О.А. Математика в таблицах: 7 - 11 классы. - СПб.: "Тригон", 2005. - 104с.

5. Математика. Сборник тестов ЕГЭ 2007 - 2011. Под редакцией Ф.Ф. Лысенко. - Ростов-на-Дону: Легион, 2011. - 192с.

6. Математика. Способы решения экзаменационных задач - 2009. Под редакцией З.С. Стромова. - Волгоград: Братья Гринины, 2009. - 64с.

7. Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: дидакт. материалы для 10 кл. / М. К. Потапов, А.В. Шевкин. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2007. - 159с.

Оглавление



ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 4

Исторические сведения о развитии тригонометрии 7

I. Опорные конспекты 10

II Методы решения тригонометрических уравнений 18

II.IПростейшие тригонометрические уравнения 18

II. Решение тригонометрических уравнений разложением на множители. 20

III. Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным. 24

IV Решение однородных уравнений. 26

V.Решение уравнений с помощью введения вспомогательного аргумента. 29

VI.Решение уравнений с применением формул понижения степени. 32

VII.Решение уравнений методом универсальной подстановки. 33

VIII. Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений. 36

III тестирование 38

38

Литература: 49

Оглавление 50

hello_html_5e4c1d3a.gif



Автор
Дата добавления 08.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров810
Номер материала ДA-032767
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх