Методическое пособие по тригонометрическим выражениям

Бурлакова Елена Петровна,

учитель математики

СКО специализированной

школы-интерната для

одаренных в спорте детей

Тригонометрические выражения

Введение

Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Одна из причин этого: отсутствие стандартных приемов  преобразования  тригонометрических выражений. Формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого  числа упражнений.

Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы:

·       основные тригонометрические тождества;

·       формулы приведения;

·       формулы суммы и разности аргументов

·       формулы двойного аргумента

·       формулы тройного аргумента

·       формулы половинного аргумента

·       формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

·       формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)

Характерная особенность преобразования тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно придти разными путями.

Применение  формул приведения: Для облегчения запоминания формул приведения следует запомнить следующее правило:

- правая часть формул приведения пишется под тем же знаком, какой имеет приводимая функция в соответствующей четверти;

- если в аргументе участвует угол π или 2π, то функция не меняется, а если участвует угол  или , то функция меняется на кофункцию.

1.           Найдите значение выражения:

Решение:

 

2.           Найдите значение выражения:

3.           Найдите значение выражения:

4.           Найдите значение выражения:

5.           Найдите значение выражения:

6.           Найдите значение выражения: 

 

7.           Вычислите:

8.            Найдите значение выражения:

9.            Найдите значение выражения:

10.        Найдите значение выражения:

11.        Найдите значение выражения:

12.        Найдите значение выражения:

Решение:

 

13.        Упростите выражение:  

Решение:

14.        Найдите значение выражения:

15.        Найдите значение выражения:

16.        Упростите выражение:  

Решение:

Применение основных тригонометрических тождеств:

17.        Найдите значение выражения:

Решение: разложить по формулам квадрата суммы и квадрата разности

18.        Упростите выражение:  

Решение: поменять второе и третье слагаемое местами и применить формулу разности квадратов

 

19.        Упростите выражение:

20.          Найдите

возвести обе части равенства в квадрат

21.         Упростите выражение:

22.        Найдите значение выражения: , если

 разделим числитель и знаменатель на

23.        Найдите значение выражения:

Решение: разложить по формуле квадрата суммы и упростить

24.        Упростите выражение:

 

25.        Упростите выражение:  

заменить  и привести к общему знаменателю

26.        Упростите выражение:

27.        Упростите выражение:

28.        . Найдите значение

29.        Упростите выражение:

30.        Упростите выражение:

заменить  и , привести к общему знаменателю, вынести общий множитель

31.        Упростите выражение:

Решение: применить формулу разности квадратов

32.        Найдите значение , если

 выразить ,  в третьей четверти

33.        Найдите значение выражения:

 применить формулы приведения, разности квадратов, тангенс суммы аргументов, половинного аргумента

34.        Найдите значение выражения:

Решение:

 

35.        Упростите выражение:

36.        Упростите выражение:

Решение:

37.        Упростите выражение:

38.        Упростите выражение:

Упростите выражение:

39.        Упростите выражение:

40.        Упростите выражение:

41.        Упростите выражение:  

Решение: вынести общий множитель, заменить

Применение формул суммы и разности аргументов:

42.        Вычислите:

 привести к общему знаменателю, применить формулы приведения

43.        Вычислите:

44.        Упростите выражение:

45.        Упростите выражение:

46.        Упростите выражение:

47.        Упростите выражение:

48.        Найдите значение выражения: , если

49.        Найдите значение выражения: , если

50.        Найдите значение  , если

51.        Найдите значение  , если

 вычислить

52.         Известно, что . Найдите .

53.        Упростите выражение:

54.       

55.        Упростите выражение:

56.         Упростите выражение:

 применить формулы приведения, раскрыть скобки и перегруппировать

Можно воспользоваться формулами тройного аргумента.

 

57.        Упростите выражение:

Применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение:

58.        Упростите выражение:

59.        Упростите выражение:

60.        Упростите выражение:

61.        Упростите выражение:

62.        Найдите значение выражения

 сгруппировать и применить формулы приведения

63.        Найдите значение выражения

 сгруппировать

64.        Упростите выражение:

 заменить  и разность

65.        Упростите выражение:

Решение: разложить на множители по формуле разности квадратов

66.        Упростите выражение:

 применить формулы половинного аргумента

67.        Упростите выражение:

 перегруппировать

 

68.        Упростите выражение:

69.        Вычислите:

 

70.        Упростите выражение:

71.        Упростите выражение:

 перегруппировать

72.        Вычислите:   

Решение:

73.        Упростите выражение:

 применить формулы приведения, основные тригонометрические тождества, формулы двойного угла

74.       

75.        Вычислите:

 добавить множитель

76.         Упростите выражение:

 применить формулу суммы котангенсов, формулы приведения

77.        Упростите выражение:

Решение: применить формулу суммы аргументов, раскрыть скобки, упростить

78.        Упростите выражение:

Решение:поменять второе и третье слагаемые, применить формулы суммы синусов и суммы косинусов, вынести общий множитель и упростить

Применение формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность):

79.        Упростите выражение:

80.        Упростите выражение:

Решение:

81.        Упростите выражение:

=

82.        Упростите выражение:

Решение:

83.         Найдите значение выражения , если

 

84.        Упростите выражение:

85.        Вычислите:  

86.        Вычислите:

87.        Упростите выражение:

88.        Упростите выражение:

89.        Упростите выражение:

90.        Найдите значение выражения:

Применение формул двойного аргумента:

91.        Найдите значение выражения:

92.        Найдите значение выражения:

 умножить и разделить на

93.        Найдите значение выражения:

94.        Вычислите

95.        Найдите значение выражения , если  

 применить основное тригонометрическое тождество и формулу косинуса двойного аргумента

96.        Найдите значение выражения , если  

97.        Упростите выражение:

98.        Упростите выражение:

99.        Найдите значение , если

   возведем обе части равенства в квадрат

100.     Найдите значение выражения:

101.     Упростите выражение:

102.     Вычислите:

103.     Упростите выражение:

104.     Найдите наибольшее значение выражения:

. Наибольшее значение равно 2.

105.     Упростите выражение:

106.     Упростите выражение:

107.     Упростите выражение:

108.     Упростите выражение:

 

109.      Упростите выражение:

110.     Упростите выражение:

111.     Упростите выражение:

112.     Упростите выражение:

113.    Упростите выражение:

114.     Найдите значение выражения: , если

115.     Найдите значение выражения: , если

116.     Найдите значение выражения: , если

;

;

;

Т.К.  значит  и  имеют разные знаки и

Применение формул тройного аргумента:

117.    Упростите выражение:

Решение:

118.    Упростите выражение:

Применение формул половинного аргумента:

119.     Найдите значение выражения , если

120.     Упростите выражение:

121.     Упростите выражение:

122.      Упростите выражение:

123.     Упростите выражение:

124.    Упростите выражение:

Решение:

125.    Упростите выражение:

126.    Найдите значение выражения:

Решение:

127.    Упростите выражение:

Вычисление обратных тригонометрических функций:

128.     Найдите значение выражения:

129.    Найдите значение выражения:

130.     Найдите значение выражения:

131.     Найдите значение выражения:

  применить формулы приведения

132.      Найдите значение:

 применить формулы суммы аргументов

133.     Найдите значение:

 применить формулы двойного угла

Литература

1.     А. П. Цыпкин, «Справочное пособие по методике решения задач по математике для средней школы», Москва «Наука», 1984 г.

2.      И. П. Рустюмова, С. Т. Рустюмова, «Пособие для подготовки к ЕНТ по математике», Алма-Аты, 2008 г.

3.     Сборник тестов по математике 2000-2012 г.