Методическое пособие по выполнению расчетно-графической работы по теме "Кинематика. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения."

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине «Механика. Теоретическая механика».

Раздел: «Кинематика».

Разработал

старший преподаватель

кафедры УЯР                                           М.А.Микова

1. Основные понятия и определения.

При изучении раздела «Кинематика  точки» рассматриваются характеристики движения точки и методы их определения  при различных способах задания движения.

             Важным понятием является понятие траектории движения.

Траекторией точки называется геометрическое место ее последовательных положений в пространстве с течением времени относительно рассматриваемой системы отсчета.

По виду траектории движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Форма траектории зависит от выбранной системы отсчета. Одно и тоже движение точки может быть прямолинейным относительно одной системы координат и криволинейным относительно другой.

1.1  Скорость точки.

Скорость - это векторная величина, характеризующая быстроту изменения пройденного точкой расстояния.

Определение скорости зависит от способа задания движения.

При векторном способе задания движение точки определяется ее радиус – вектором, который изменяется с течением времени по заданному закону   r = r (t), при этом мгновенная скорость точки в любой момент времени равна первой производной от ее радиус -  вектора по времени

                                 v = dr / dt

         При задании движения в декартовой системе координат положение точки определяется ее координатами, которые изменяются с течением времени согласно заданным уравнениям: x = x(t), y = y(t), z = z(t).

            Мгновенная скорость при координатном способе задания движения определяется через составляющие скорости по осям координат и равна их геометрической сумме.

                                    v = v_x + v_y +  v_z

Составляющие скорости по осям координат равны первой производной от соответствующей координаты точки.

                   v_x = dx /dt = ẋ;        v_y = dy /dt = ẏ;           v_z = dz / dt =ż

По известным проекциям скорости определяют ее модуль.

           v =  √v_x² +v_y² + v_z² = √ ẋ² + ẏ² + ż ²

Направление вектора скорости определяют по направляющим косинусам.

         cos (Ox, v) = v_x / v,              cos (Oy, v) = v_y / v,

                   cos (Oz, v) = v_z / v.

         При естественном способе задания движения положение точки по известной траектории определяется пройденным расстоянием согласно заданному закону ее движения по траектории s = s (t). Этот способ полностью определяет скорость точки по величине и направлению. Алгебраическую скорость находят дифференцированием по времени заданного закона движения. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в данной точке.

                             v_τ = ds / dt = ṡ

1.2.Ускорение точки.

            Ускорение – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости движущейся точки.

Определение ускорения также зависит от способа задания движения.

            При векторном способе задания движения ускорение точки определяется как первая производная скорости по времени.  

                        а = dv / dt =  d²r / dt²

         При задании движения в декартовой системе координат мгновенное ускорение определяется через составляющие ускорения по осям координат и равно их геометрической сумме.

                                    а = а_x + а_y +  а_z

Составляющие ускорения по осям координат равны первой производной от соответствующей координаты точки.

               а_x = dv_x /dt;        а_y = dv_y /dt;         а_z = dv_z / dt

По известным проекциям ускорения определяют его модуль.

  

                                 а = √ а_x² + а_y² + а_z² 

Направление вектора ускорения определяют по направляющим косинусам.

         cos (Ox, а) = а_x / а,              cos (Oy, а) = а_y / а,

                   cos (Oz, а) = а_z / а.

         При естественном способе задания движения ускорение точки определяется в проекциях по осям естественного трехгранника. Проекция ускорения на положительное направление касательной называется касательным ускорением.

                   а_τ = (dv_τ /dt) τ = ṡ*τ;       

           Касательное ускорение характеризует изменение вектора скорости по величине и направлено по касательной к траектории.

            Проекция ускорения на главную нормаль называется нормальным ускорением. Нормальное ускорение характеризует изменение вектора скорости по направлению и направлено внутрь вогнутости траектории.

                        a_n = v² / ρ

            Проекция ускорения на бинормаль, направленная по единичному вектору b, равна нулю; следовательно, ускорение точки расположено в соприкасающейся плоскости траектории.

Т.к. касательная и главная нормаль взаимно перпендикулярны, модуль ускорения можно определить по формуле:

   

                    а = √ а_τ² + а_n²

            Движение является ускоренным, если скорость и касательное ускорение одинаковы по знаку.

            Движение является замедленным, если скорость и касательное ускорение имеют разные знаки.

2. Расчетно – графическая работа

 по теме:

 «Кинематика. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения».

            В расчетно – графической работе требуется определить скорость и ускорение точки по заданным уравнениям ее движения.

2.1 Содержание работы.

1.      Определить уравнение траектории движения точки и начертить ее.

2.      Найти координаты точки в момент времени t и обозначить эту точку на траектории.

3.      Найти проекции и модули векторов скорости V и ускорения точки a  в момент времени t.

4.      Построить из точки векторы скорости V и ускорения точки a, соблюдая масштаб величин.

5.      Построить векторы касательного a_τ  и нормального a_n ускорений точки и сделать вывод о темпе ее движения (ускоренное или замедленное).

6.      Аналитически найти величины касательного a_τ  и нормального a_n ускорений точки, а также радиус кривизны траектории в данной точке.

2.2. Таблица исходных данных по вариантам.

Таблица	исходных данных
Номер	Уравнения движения		t
варианта	х = x(t), см	y = y(t), см	с
1	-2t2 + 3	-5t	1/2
2	2t2+2	t/2	1
3	-t2/3 + 3	t2/3 -1	1
4	4t	-4(t2+l)	2
5	2t	-Зt2 + 4	1
6	Зt2 + 2	-14t	1/2
7	Зt2 +1	3t2- 3	1
8	7t2+3	7t2 - 6	I
9	-3t	Зt2 + 6	2
10	-4t	-2t2	1
11	- 5t2 +2	-3t	1/2
12	5t/6	-5t2/36 +5	1
13	5t2/3	-5t2/3	1
14	-2t	-2(t2 -1)	2
15	4t	-Зt2 +3	1
16	-3t	4 t2 + l	1/2
17	7t	-7 t2-1	1
18	1+З t2	-3t	1
19	-5 t2- 4	3t	1
20	- 2- 6 t2	3 -З t2	1
21	6 t2- 2	t	1
22	7 t2-3	5t	1/4
23	3-З t2	4-З t2	1
24	-4t/3	-4 t2	1
25	-6t	-2 t2-4	1
26	8t + 2	- t2 -7	1
27	-3 - t2 /6	-t	1
28	- 6 t2+ 3	-4t	1
29	5 t2+ 5	t + 3	1
30	t2/3 - 1	-2 t2/3 + 3	1
31	З t2+3	5t/3	1
32	3t	4 t2+1	1,5
33	5t	З t2+3	l
34	- t2 -7	8t	l
35	2t	6 t2-2	2
36	2-4 t2	4t	1
37	5t	t2/5  - 1	5
38	8 t2-1	2t	1
39	4 t2	8t	1

2.3.  Пример выполнения работы.

Движение точки задано уравнениями (х и у задано в см)

х = - 4t² +1

у = - 3t

Определить cкорость и ускорение точки M при t = 1c.

Решение.

1. Определение уравнения траектории точки.

 Из второго уравнения выразим время t через координату у и подставить в первое уравнение.

       t = - y /3

       x = - 4y²/9 +1

Получили квадратичную зависимость координаты х от у, которая представляет собой уравнение параболы, симметричной оси х. Ветви параболы направлены в сторону отрицательных значений оси х (влево), а вершина находится в точке (1, 0). График траектории показан на рис.1.

 

2.     Координаты точки в момент времени t = 1с.

Подставляем t = 1с в уравнения движения и вычисляем координаты точки.

                                х = - 4*1+1 = -3 (см);        у = -3*1 = -3 (см.)

3. Скорость и ускорение точки.

3 1. Скорость точки.

Проекции скорости вычисляем как производные по времени от уравнений движения.

     V_x= ẋ = -4*2t = -8t               при t = 1c            V_x = - 8 см/с

      V_y = ẏ = -3                             при  t = lc           V_y = - З см./с;

   

    V = √ V_x² +V_y²     = √ 64t² +9    при t = 1 c        V = 8,54 см/с

При графическом построении векторов V_x и V_y,  составляющих вектор скорости V, следует учесть, что отношение длин этих векторов равно

               V_x / V_y = 8 / 3 = 2,66.

Tе.  вектор V_y  рисуем параллельно оси Y произвольной длины из точки вниз, а вектор  V_x - параллельно оси X влево в 2,66 раза больше.

3.2 Ускорение точки

Проекции ускорения вычисляем как производные по времени от проекций скорости

a_x = dv_x /dt = - 8 см/с² = const

а_v =  dv_y /dt = 0

при всех значениях t ускорение точки равно a = 8 см/с²

Вектор ускорения имеет одну проекцию, поэтому изображаем его в точке произвольной длины параллельно оси Х влево. (см. рис. 2)

4.Построение касательного и нормального ускорений.

            Проведем вдоль вектора скорости касательную к траектории движения точки. Перпендикулярно ей построим нормаль к траектории в заданной точке. Разложим вектор ускорения на две составляющих, опустив перпендикуляры на касательную и нормаль. (Рис. 3)

а_τ – касательное ускорение

а_n – нормальное ускорение.

Из чертежа (Рис. 3) видно, что вектор касательного ускорения совпадает по направлению с вектором скорости. Следовательно, движение точки является ускоренным.

5. Аналитическое определение величины касательного и нормального ускорений точки

            Касательное ускорение определяется как производная от модуля скорости по времени.

                     а_τ = dV/dt = 1/2*[64t² +9] ^-1/2 * 64*2t

при t = 1 c       а_τ = 7,5 см/с²

             Нормальное ускорение определим, зная величину полного ускорения и касательного ускорения.

                      

                          a_n = √ a² - а_τ²   = √ 64 – 51 = 2,8 см/с²

 6. Определение радиуса кривизны траектории в данной точке.

             ρ = V²/a_n = 73/2,8 = 26,1 см

Краткое описание документа:

Методическое пособие может быть использовано при выполнении расчетно-графической работы по теоретической механике по теме "Кинематика точки". Методическое пособие содержит основы теоретического материала по теме, содержание расчетно-графической работы, таблицу исходных данных по вариантам, пример выполнения задания.