Методическое пособие по выполнению расчетно-графической работы по теме "Расчет вала на кручение"

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по выполнению расчетно-графической работы

по дисциплине «Сопротивление материалов».

Тема: «Расчет вала на кручение».

Разработал

старший преподаватель

кафедры ПиЭ АЭС                                          М.А.Микова

Сосновый Бор

2019

1. Основные понятия и определения.

            Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент М_К. Кручение вызывает-ся действием внешних пар сил, приложенных в плоскости поперечного сечения тела. Крутящий момент – это внутрен-ний силовой фактор, для его определения применяем метод РОЗУ (метод сечений). График распределения крутящих моментов по длине тела называется эпюрой крутящих моментов.

Правило определения крутящего момента в любом сечении: крутящий момент в любом произвольном сечении равен алгебраической сумме всех внешних моментов, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.

            Правило знаков: условимся считать M_к положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки.  M_к считаем отрицательным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным по часовой стрелке.

Условие прочности стержня при кручении принимает вид

τMax = Mк Мах / Wp  ≤ [τ ]

Где [τ ] — допускаемое напряжение на кручение.

W_р = 2Jp /d — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления.

Полярный момент сопротивления для круга определяется по формуле

                                      W_р = πd³/16 ,

где d–диаметр круга.

Полярный момент сопротивления для кольца определяется по формуле

                                   W_р = πD³ (1 – c⁴)/16,

где D – наружный диаметр кольца,

c =d/D – коэффициент кольца,

d – внутренний диаметр кольца

Распределение касательных напряжений по сечению не зависит от упругих свойств материала и способа нагружения, а зависит от расположения точки относительно центра сече-ния. Максимальные касательные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от центра. Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.                                  

Эпюра распределение касательных напряжений по круглому сечению

 

                                                   Эпюра распределения

                                                    касательных  напряжений

                                                     по кольцевому сечению

Полный угол закручивания стержня длиной l

В случае, когда по длине стержня М_z и G*J_p постоянны, получаем формулу:

Формула справедлива, если:

1. стержень нагружен одним внешним моментом в крайнем сечении,

2. сечение стержня постоянно по всей длине,

 3. однородность материала стержня по всей длине

При невыполнении хотя бы одного условия полный угол закру-чивания определяется как сумма углов поворота отдельных участков стержня:

2.Задания по расчетно – графической работе по теме:

 «Расчет вала на кручение».

            В расчетно – графической работе требуется для вала, передающего вращение и нагруженного по схеме, выполнить следующие расчеты:

1. Построить эпюру крутящих моментов.
2. Подобрать сечение сплошного и кольцевого вала по условию прочности и жесткости.
3. Сделать сравнение весовых характеристик.
4. В опасном сечении кольцевого вала построить эпюру касательных напряжений.
5. Определить полный угол закручивания и построить эпюру φ для вала кольцевого сечения.

2.1. Таблица исходных данных.

Номер		ω рад/сек	N2	N3	N4	L1	L2	L3	с	[τ]	[φ0]
варианта	схемы		кВт			м				н/мм2	град/м
1	1	60	70	35	26	1,1	1,1	1,1	0,6	50	0,3
2	2	70	90	25	37	1,2	1,2	1,2	0,7	80	0,4
3	3	120	80	75	46	1,3	1,4	1,3	0,6	65	0,3
4	4	100	37	23	67	1,4	1,4	1,4	0,5	68	0,4
5	5	90	24	37	82	1,5	1,5	1,5	0,7	73	0,5
6	6	110	75	60	85	1,6	1,6	1,6	0,7	70	0,6
7	7	90	46	38	64	1,4	1,6	1,8	0,6	57	0,5
8	8	105	56	62	31	1,2	1,4	1,5	0,8	67	0,4
9	9	95	63	42	27	0,9	0,7	1,4	0,7	58	0,5
10	10	140	56	32	24	0,7	1,3	1,1	0,6	63	0,4
11	1	60	70	35	26	1,1	1,1	1,1	0,6	50	0,3
12	2	70	90	25	37	1,2	1,2	1,2	0,7	80	0,4
13	3	120	80	75	46	1,3	1,4	1,3	0,6	65	0,3
14	4	100	37	23	67	1,4	1,4	1,4	0,5	68	0,4
15	5	90	24	37	82	1,5	1,5	1,5	0,7	73	0,5
16	6	110	75	60	85	1,6	1,6	1,6	0,7	70	0,6
17	7	90	46	38	64	1,4	1,6	1,8	0,6	57	0,5
18	8	105	56	62	31	1,2	1,4	1,5	0,8	67	0,4
19	9	95	63	42	27	0,9	0,7	1,4	0,7	58	0,5
20	10	140	56	32	24	0,7	1,3	1,1	0,6	63	0,4

Расчетные схемы

       M₁                M₂                                                  M₃                                    M₄

       

1                    

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

                    L₁                        L₂                                  L₃

3. Пример выполнения работы.

Исходные данные.

Мощность: N₁ = 20 кВт;       N₃ = 50 кВт;       N₄ = 70 кВт

Угловая скорость: ω = 100 рад/сек;

Коэффициент кольца: с = 0,8

Модуль упругости II рода: G = 8*10⁴ н/мм²

Длина участков вала: L₁= 1м,  L₂= 1,4м;  L₃= 1,5м

Допускаемое касательное напряжение: [τ] = 80 н/мм²

Допускаемый относительный угол закручивания:

[φ₀] = 0,4 град/м.

Расчетная схема.

     М₁                  М₂                  М₃                              М₄     

 

                   1 м                 1,4 м                  1,5 м        

 

Решение:

1. Построение эпюры крутящих моментов.

Определим внешний момент М₂ из условия равновесия вала.    Σ М_i = 0;    М₁ + М₃ + М₄ – М₂ = 0

М = N / ω

М₁ = 20/100 = 0, 2 кН м        М₃ = 50/100 = 0,5 кН м

      М₄  = 70/ 100 = 0,7 кН м        М₂ = М₁ + М₃ + М₄  = 1,4 кН м

 Определяем крутящие моменты по участкам.

       М_к1 = 0

       М_к2 = М = 0,2 кН м

       М_к3 = М₁ – М₂ =  - 1,2 кН м

        М_к4 =М₁ + М₃ – М₂   = - 0,7 кН м

        М_к5  = М₁ + М₃ + М₄ – М₂ = 0

По полученным значения крутящих моментов строим эпюру и находим опасный участок – третий, так как на нем действует максимальный по модулю крутящий момент.

            М₁                  М₂                  М₃                              М₄     

 

   0,5м       1 м                 1,4 м                  1,5 м         0,5м

 

      1               2                  3                        4                5

                 Эпюра крутящих моментов

                  _{0,2 кН м}

 

0

                                                                      0,7 кН м

                                               1,2 кН м           

                                 Эпюра углов поворота

                      0,00116 рад                                                                                   

 

0                                               0,0079рад                                                                        0,014рад

2. Подбор сечения сплошного вала.

а) По условию прочности.

          τ_к = М_{к мах} / W_p ≤ [τ_к]

Полярный момент сопротивления круглого сечения

                                                   ₃

W_р = pd³/16, откуда    d ≥√16 М_{к мах} / p [τ_к]

           ₃

    d ≥√16* 1,2*10⁶ / 3,14*80 = 42 (мм)

б) По условию жесткости.

φ₀ = М_{к мах} / GJ_p ≤ [φ₀]

                                                ₄

J_р = pd⁴/32, откуда    d ≥√32 М_{к мах} / p G [φ₀]

        ₄

 d ≥√32* 1,2*10⁶ *57,3/ 3,14*8*10⁴ *0,4*10^-3= 68,4 (мм)

принимаем d = 68,4 мм.

3. Подбор сечения кольцевого  вала.

а) По условию прочности.

          τ_к = М_{к мах} / W_p ≤ [τ_к]

Полярный момент сопротивления круглого сечения

                                                      ₃

W_р = pD³(1 – с⁴)/16, → D ≥√16 М_{к мах} / p(1 – с⁴) [τ_к]

           ₃

   D ≥√16* 1,2*10⁶ / 3,14*0,59*80 = 60 (мм)

    d = D*c = 60*0,8 = 48 мм

б) По условию жесткости.

φ₀ = М_{к мах} / GJ_p ≤ [φ₀]

                                                    ₄

J_р = pD⁴(1 – с⁴)/32, → D ≥√32 М_{к мах} / p G [φ₀](1 – с⁴)

        ₄

 D ≥√32* 1,2*10⁶ *57,3/ 3,14*8*10⁴ *0,4*10^{3 *}0,59 =

= 78 (мм)

принимаем D = 78 мм.   d = D*c =78*0,8 = 62,4 мм

4. Определение весовых характеристик.

Вес одного погонного метра вала сплошного сечения

Q₁ = 1*γ* pd²/4 = 1*γ* p*68,4²/4 = 36,7γ

Вес одного погонного метра вала кольцевого сечения

Q₂ = 1*γ* pD²(1 – c²)/4 = 1*γ* p*78^2*0,36/4 = 17,2γ

Отношение весов

Q₁ /Q₂ = 36,7γ / 17,2γ = 2,13

Вес вала круглого сечения в 2,13 раза больше, чем вес вала кольцевого сечения.

5.Построение эпюры касательных напряжений в опасном сечении вала кольцевого сечения.

Касательные напряжения определяются по формуле

τ = М_{к мах} ρ/ J_p

Полярный момент инерции кольцевого сечения равен                                                    

J_р = pD⁴(1 – с⁴)/32 = 3,14*78⁴ *0,59/32 = 214*10⁴ мм⁴

Касательные напряжения по сечению распределяются по линейному закону.

Напряжения на наружной поверхности сечения при ρ = 39 мм

τ = 1,2*10⁶*39 / 214*10⁴ = 21,8 н/мм²

Напряжения на внутренней поверхности сечения при

ρ = 31,2 мм

τ = 1,2*10⁶*31,2 / 214*10⁴ = 17,5 н/мм²

По результатам расчетов строим эпюру касательных напряжений.

                                                                                  21,8 н/мм²

 

                                                                                     17,5 н/мм²

 

6. Определение полного угла закручивания.

Угол закручивания на каждом участке определяется по формуле

. φ_i  = М_{к i} *L_i / GJ_p

По полученным расчетным значениям строится эпюра углов поворота. Это график, каждое значение ординаты которого определяет угол поворота данного сечения относительно неподвижного или условно принятого за неподвижное сечения.

Так как участок 1 ненагружен, то угол поворота его сечений равен нулю. Принимаем его за неподвижное сечение.

Угол поворота на участке 2

φ₂ = М_{к 2} *L₂ / GJ_p=

= 0,2*10⁶*1*10³/8*10⁴*214*10⁴ = 0,00116 рад

Угол поворота на участке 3

φ₃ = М_{к 3} *L₃ / GJ_p=

= - 1,2*10⁶*1,3*10³/8*10⁴*214*10⁴ = - 0,0091 рад

Угол поворота на участке 4

φ₄ = М_{к 4} *L₄ / GJ_p=

= - 0,7*10⁶*1,5*10³/8*10⁴*214*10⁴ = - 0,0061 рад

Угол поворота на участке 5

φ₅ = М_{к 5} *L₅ / GJ_p= 0

По результатам вычислений строим эпюру углов поворота.

Краткое описание документа:

Методическое пособие предназначено для самостоятельной работы обучающихся по выполнению расчетно-графической работы по теме "Расчет вала на кручение".

В пособии представлен краткий теоретический материал, задания по вариантам, расчетные схемы, пример выполнения задания с построением эпюр крутящих моментов и углов поворота сечений.