Методическое пособие "Применение производной при решении прикладных задач"

Сергиев – Посадский радиомеханический техникум

МЕТОДИЧЕСКОЕ

ПОСОБИЕ

ДЛЯ  УЧАЩИХСЯ 1-х курсов всех специальностей

Тема: «Применение производной

при решении прикладных задач».

(из опыта работы)

рассмотрен и одобрен на заседании предметной (цикловой) комиссии общеобразовательного и социально-экономического циклов

Протокол № _______ от «____» __________20____ г.

Председатель ПЦК ___________  Н.Ю. Грубова

                                                             Пересвет

2013 г

Математика является одной из самых древних наук, но роль ее в различных областях естествознания в разное время была неодинаковой.

Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке математических понятий и соотношений, т.е. возможность построить математическую модель изучаемого объекта.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако, благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг факторов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как ведет себя объект в различных условиях.

Математические модели успешно применяются в физике, химии, биологии, экономике, помогают увидеть силу межпредметных связей, важную роль математики, дающей мощный аппарат для решения многих задач, которые выдвигаются и успешно решаются в различных областях науки и практики.

Данная работа посвящена использованию понятий начал анализа в задачах естествознания,  приводящих к понятию производной и использующие эти понятия (задачи о силе электрического тока, скорости химической реакции, скорости роста популяции и др.).

Еще несколько задач, приводящих к понятию производной.

Задача о силе электрического тока.

Пусть q=q(t)-количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника за время t; количество электричества есть функция времени. Для определения скорости изменения количества электричества с течением времени пользуются понятием силы тока. Обозначим ∆q количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени ∆t от момента t до момента t+∆t.

Отношение называется средней силой тока за время от t до t+∆t и обозначается J_ср. В случае постоянного тока J_ср будет постоянной. Если в цепи переменный ток, то J_ср будет различна для различных промежутков времени. Поэтому для цепи переменного тока вводят понятие силы тока J в данный момент времени t, определив ее как предел средней силы тока за промежуток времени от t до t+∆t, если ∆t→0.

J=, т.е. J(t)=q′(t).

Задача о скорости химической реакции.

Пусть дана функция m=m(t), где m - количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию к моменту времени t. Приращению времени ∆t будет соответствовать приращение ∆m величины m. Отношение -средняя скорость химической реакции за промежуток времени ∆t. Предел этого отношения при стремлении ∆t к нулю, т.е.  есть скорость химической реакции в данный момент времени t, V=m′(t).

Из рассмотренных выше задач, приводящих к понятию производной, следует несколько выводов:

1.      Скорость прямолинейного движения есть производная пути S=S(t) по времени t, т.е. V=S′(аналогично ускорение есть производная скорости а=V′). В этом состоит механический смысл производной.

2.      Скорость химической реакции есть производная количества вещества m=m(t) по времени t, т.е. V=m′(t).

3.      Скорость роста популяции есть производная размера популяции p=p(t) по времени t, т.е. V=p′(t).

4.      Скорость роста численности населения есть производная от количества населения А=А(t) по времени t, т.е. V=A′(t).

5.      Сила переменного тока J есть производная количества электричества q=q(t) по времени t, т.е. J =q′(t).

6.      Угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в точке с абсциссой х₀ есть производная f′(x₀). В этом состоит геометрический смысл производной.

7.      Производительность труда f(t) есть производная от выработки продукции F(t) по времени t, т.е. f(t)=F′(t).

Примеры.

I. Если популяция в момент времени t насчитывает p(t)=3000+100t² особей (t измеряется в часах), то скорость роста популяции есть p′(t)=200t.

Скорость роста популяции увеличивается со временем.

Если t=5, то скорость роста составляет р′(5)=200·5=1000 особей в час.

Если t=10, то р′(10)=200·10=2000 особей в час.

II. Ракета при движении совершает колебательное движение вокруг своей оси по закону . Найти угловую скорость и ускорение движения в момент времени . Дать характеристику движения.

Решение:

 (рад/с)

ε

ε (рад/с²)

 неравномерное движение

Ответ: =6 рад/с, ε=18 рад/с².

III. Пуля, попадая в твердое тело, движется в нем по закону S(t)=ln(1+kV₀t), где V₀ - скорость, с которой пуля входит в тело, k – постоянная положительная величина.

Решение: V(t)=S′(t)

V(t)=

Ответ: V=; а=-k∙V².

IV. Материальная точка движется вдоль оси ОХ согласно закону x(t). Найти скорость и ускорение движения в начальный момент времени. Описать характер движения и схематически изобразить движение материальной точки, если:

а). x(t)=

 (м/с)

          (м/с²)

                                                                               х

Равнозамедленное движение в сторону, противоположную оси ОХ.

б).

V(t)=x′(t)=5+t; V(0) 5 (м/с)

a(t)=V′(t)=1;    a=1 (м/с²)

                                                           x

Равноускоренное движение в сторону оси ОХ.

в). х(t)=-;

V(t)=x′(t)=-;      V(0)==3,5 (м/с)

a(t)=V′(t)=-1,5;              а=-1,5 (м/с²)

                                                           х

Равнозамедленное движение в сторону оси ОХ.

V. Материальная точка движется по прямой. Уравнение движения: S(t)= (м). Найдите ее скорость в момент времени t=3 (c). В какой момент времени ускорение будет равно 9 м/с²?

Решение: а). V(t)=S′(t)=3t²-3t+2;

V(3)=27-9+2=20 (м/с).

б). a(t)=V′(t)=6t-3;

6t-3=9; 6t=12; t=2 (с).

Ответ: V(3)=20 м/с; а=9 м/с² в момент времени t=2с.

VI. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ(t). Найти угловую скорость и угловое ускорение движения. Дать характеристику движения, если:

А

                    

О     

В

а) φ(t)=12t+4

Е(t)=

Е=0                                                Равномерное движение по окружности.

б). φ(t)=5t³+6t

Е(t)=

                                    Неравномерное движение по окружности.

в). φ(t)=2t²+8t

E(t)=

                                    Равнопеременное движение по окружности.

VII. Тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону S(t)=(5-t)(2t-6)+50. Найти кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

Решение: Е_к=

V(t)=S′(t)=-(2t-6)+2(5-t)=-2t+6+10-2t=-4t+16

V(t₀)=-4·2+16=-8+16=8 (м/с)

Е_к= (Дж)

Ответ: Е_к=160Дж.

VIII. Материальная точка массой 10 кг движется прямолинейно по закону S(t)=. Найти скорость и силу, действующую на эту точку в момент времени t=1с.

   Решение: F=ma

V(t)=S′(t)=6t²-5t-7

V(t₀)=6-5-7=-6 (м/с)

a(t)=12t-5; a(t₀)=12-5=7 (м/с²)

F=10·7=70 (Н)

Ответ: F=70 H.

IX. Температура тела изменяется в зависимости от времени по закону Т=100-.

а). Какова скорость изменения температуры тела в момент времени t=1с?

б). В какой момент времени скорость изменения температуры равна 4⁰ в секунду?

Решение: а)  (в сек)

б)  (t+1)²=16; t+1=4; t=3 (с)

Ответ: а) скорость изменения температуры 1⁰ в сек.

б) скорость изменения температуры 4⁰ в сек достигается в момент времени 3с.

Задачи для самостоятельного решения.

1.      Найти скорость и ускорение материальной точки в момент времени t=t₀, движущейся прямолинейно по закону S(t), где t измеряется в секундах, а S – в метрах, если:

а). S(t)=5t²;                       t₀=10

б). S(t)=5t²-2t;                   t₀=5

в). S(t)=-5t²+24t;               t₀=2

г). S(t)=(6-5t)(5t+2)-10;    t₀=1

д). S(t)=;      t₀=8

2.        Материальная точка массой m движется прямолинейно по закону S(t), где t измеряется в секундах, а S – в метрах. Найдите скорость и силу, действующую на эту точку в момент времени t, если:

а). S(t)=;      t=3 с;  m=2 кг

б). S(t)=(6-t)(2t+3)-18;        t=2 с;  m=5 кг

в). S(t)=2t³-2,5t²+3t+1;        t=1 c;  m=8 кг

г). S(t)=;    t=3 c;  m=4 кг

д). S(t)=;       t=2 c;  m=5 кг

3.      Угол поворота тела вокруг оси изменяется в зависимости от времени по закону У(t), где У измеряется в радианах, а t – в секундах. Найдите угловую скорость вращения тела, и угловое ускорение в указанный момент времени t, если:

а). У(t)=0,3t²-0,5t+0,2;     t=10

б). У(t)=4t-0,3t²;               t=2

в). У(t)=1,5t²-0,1t;            t=10

г). У(t)=;       t=

д). У(t)=;     t=

4.      Сила тока У изменяется в зависимости от времени t по закону У(t), где У измеряется в амперах, t - в секундах. Найдите скорость изменения силы тока в конце указанной секунды, если:

а). У=0,4t²;       t=8

б). У=2t²-5t;     t=10

в). У=t(3t-1);    t=3

5.      Температура тела изменяется в зависимости от времени по закону Т(t), где t измеряется в секундах, Т – в градусах. Какова скорость изменения температуры в указанный момент времени, если:

а). Т=0,2t²-4t;      t=10

б). Т=-2t+0,5t²;   t=5

в). Т=90-;     t=4

Задачи для решения на уроках математики

Задача 1. Снаряд массой m=20 кг выпущен вертикально вверх из зенитного орудия с начальной скоростью V₀=100 м/с. найдите кинетическую энергию снаряда в момент времени t=10 с. На какой высоте кинетическая энергия равна нулю?

Решение: а). Высота h снаряда подчиняется закону h(t)=V₀t-, где g – ускорение свободного падения, g≈9,8 м/с². Следовательно, скорость снаряда в момент времени t равна V(t)=h′(t)=V₀-gt.

V(10)=100-g∙10≈100-9,8∙10=100-98=2 (м/с)

Е_к==40 (Дж)

б). Кинетическая энергия равна нулю, когда скорость равна нулю, т.е.

V₀-gt=0, откуда t=. Е_к=0, если снаряд находится на высоте ;  (м)

Ответ: Е_к≈40 Дж, h≈510 м.

Задача 2. Высота снаряда, вылетевшего с начальной скоростью V₀ под углом α к горизонту измеряется по закону h(t)=V₀sinα. Известно, чтоV₀=500 м/с, а через 1с скорость изменения высоты снаряда была равна 24g м/с. Под каким углом к горизонту вылетел снаряд?

При решении взять g≈10 м/с².

Решение: V(t)=h′(t)==V₀sinα-gt;

V(1)=500sinα-g;

500sinα-g=24g;

α                           h(t)                                 500sinα=25g

sinα=

α≈30⁰.

Ответ: снаряд вылетел под углом 30⁰ к горизонту.

Задача 3. Осветительная ракета запускается вертикально вверх с поверхности Земли и движется по закону h(t)=80t-4t² (h измеряется в метрах, t – в секундах). Труба, высота которой 40 м, находится в 18 м от места запуска ракеты. Найдите скорость изменения длины тени от трубы в тот момент времени, когда длина тени равна 10 м.

Решение:

y B M          C 40 18 O       D                   A                  x

Место запуска ракеты – точка О, точка D – основание трубы, С – верх трубы. Если ракета в произвольный момент времени находится в точке В, то конец тени от трубы находится в точке А. ОD=18 м, CD=40 м, ОВ=h(t), ВМ=h(t)-40

Длина тени от трубы равна длине отрезка AD. Обозначим AD=x(t′).

∆BMC~∆CDA. Отсюда, , откуда x(t)=. Скорость изменения тени найдем, как производную функции x(t), используя правило дифференцирования сложной функции: .

В этом выражении неизвестен момент времени t, который соответствует значению x(t)=10 (м). Так как x(t)=.

Из условия задачи имеем h(t)=80t-4t²;

112=80t-4t²; 4t²-80t+112=0.

Отсюда, t₁=10-6; t₂=10+6, где t₁ соответствует подъему ракеты, а t₂ – ее спуску.

h′(t)=80-8t; h′(t₁)=80-8(10-6)=48

h′(t₂)=80-8(10+6)=-48

Поэтому, х′(t₁)=- (м/с)

х′(t₂)= (м/с).

Знак „-” скорости изменения величины x(t) говорит о том, что длина тени при подъеме ракеты уменьшается, а при спуске ракеты тень от трубы увеличивается.

Ответ: x′(t)= (м/с).

Задача 4. Из пункта А выходит мотоцикл, движущийся равноускоренно по закону S(t)=. В какой момент времени мотоцикл догонит автомашину, которая вышла из А одной минутой раньше мотоцикла и движется в том же направлении со скоростью 15 м/с? С какой скоростью мотоцикл удаляется от автомашины в момент из встречи?

Решение: За 1 мин машина прошла 15·60=900 (м). Поэтому, расстояние между машиной и мотоциклом в любой момент времени t после выхода мотоцикла до момента их встречи равно S(t)= м.

В момент встречи это расстояние равно нулю, т.е. имеем  (не удовлетворяет условию задачи), t₂=30 (с). Следовательно, встреча произошла через 30 с после выхода мотоцикла. V_мот.=; V(30)=3·30=90 (м/с), а скорость удаления мотоцикла равна 90м/с-15/с=75м/с.

Ответ: t=30 c, V_уд.=75 м/с.

Задача 5. Лестница длиной 5 м приставлена к стене таким образом, что верхний ее конец находится на высоте 4 м. В некоторый момент времени лестница начинает падать, при этом верхний конец приближается к поверхности земли с постоянным ускорением 2м/с². С какой скоростью удаляется от стены нижний конец лестницы в тот момент, когда верхний конец находится на высоте 3 м?

Решение: Пусть верхний конец лестницы находится в момент времени t на высоте h(t), h(0)=4(м), а нижний конец находится на расстоянии x(t) от основания стены. Тогда высота h(t) описывается формулой h(t)=4-. Учитывая, что а=2 м/с², имеем h(t)=4-t².

5м 4м 3м х(t)

Для нахождения момента времени t, когда h(t)=3 имеем уравнение 4-t2=3, из которого t2=4-3; t2=1, t=1 (с). По теореме Пифагора расстояние .

Скорость изменения расстояния V(t)=x’(t)= =.

V(1)= (м/с).

Ответ: скорость удаления нижнего конца лестницы от стены равна 1,5 м/с.

Задача 6. При нагревании круглый металлический диск расширяется, причем его радиус увеличивается равномерно со скоростью V=0,2 см/ч. Вычислите начальный радиус диска, если известно, что через 15 мин после начала нагревания скорость увеличения площади диска равна 2,02π см²/ч.

Решение: Пусть начальный радиус диска равен r. Тогда в момент времени t радиус будет равен r₁=r+Vt, а площадь диска при этом будет равной S(t)=πr₁²=π(r+Vt)².

Скорость увеличения площади S’(t)=2πV(r+Vt).

При t=15 мин=ч	S΄=2,02π (по условию задачи)
C другой стороны	S΄=2π·0,2=0,4πr+0,02π
Следовательно	0,4πr+0,02π=2,02π 0,4πr=2π 0,4r=2 r=5 (см)

Ответ: начальный радиус диска 5 см.

Задача 7. Паром подтягивается к берегу при помощи каната, который наматывается на ворот со скоростью 40 м/мин. Ворот находится на берегу на 10 м выше поверхности воды. Найти скорость движения парома в тот момент, когда он находится в 30 м от берега.

Решение: Пусть паром находится в точке В, а ворот – в точке А и x(t) – расстояние от парома до берега, АВ=S(t).

По теореме Пифагора: AB=

 - скорость наматывания каната.

A 10м 30м О             х(t)                 B          x	По условию задачи S’(t)=-40, т.к. расстояние АВ сокращается. По условию x(t)=30, тогда S’(t)=  (м/мин).

Значит, скорость движения парома в 30 м от берега равна  м/мин, знак „-” означает, что паром приближается к берегу, т.е. x(t) уменьшается.

Ответ: V(t)= м/мин.

Задачи на экстремум.

Задача. Заводу поручено изготовить резервуар емкостью 4м³ открытый сверху с квадратным основанием. При этом внутренняя поверхность должна быть покрыта оловом. Какими следует выбрать размеры резервуара, чтобы на его покрытие было израсходовано наименьшее количество олова?

Алгоритм решения.

1. Выявить величину, о наибольшем или наименьшем значении которой говорится в задаче.	1.      Sпов. – наименьшая Sпов.=Sосн+Sбок=АВ2+4АВ·АА1
2. Ввести переменную, задание которой определяет величину, указанную в задаче.	2.      Пусть АВ=х. Тогда V=x2·AA1,
3. Указать допустимые значения для переменной.	3. х>0
4. Выразить величину из пункта 1 как функцию переменной х.	4. S(x)=x2+4∙x∙
5. Найти наибольшее или наименьшее значение функции (п.4) на интервале, указанном в п.3.	5.      S’(x)=2x- S’(x)=0; 2x3-16=0 x=2 S’(x)     -                         + 0 S(x)                    2                                         x т. min

На интервале (0; +∞) функция S(x) определена и непрерывна и имеет единственную стационарную точку х=2 – т.min. Значит, minS(x)=S(2)

(0; +∞)

Следовательно, чтобы на покрытие резервуара ушло наименьшее количество олова, его размеры должны быть равны AB=AD=2 (м), АА₁==1 (м).

Ответ: 2х2х1.

Задача 1. Составляется электрическая цепь из двух параллельно соединенных сопротивлений. При каком соотношении между этими сопротивлениями, сопротивление всей цепи максимально, если при последовательном соединении этих сопротивлений оно равно 16 Ом?

Решение:

1.        Обозначим r – сопротивление электрической цепи, состоящей из двух параллельно соединенных сопротивлений r₁и r₂. Тогда:

2.      Пусть r₁=x, тогда r₂=16-x (т.к. r₁+r₂=R при последовательном соединении).

3.      0<x<16

4.      Рассмотрим функцию:

r(x)= и найдем наибольшее значение этой функции на интервале (0; 16).

5.        r΄(x)=(16-2x); r΄(x)=0; 16-2x=0

x=8

r’(x)

0                      +                         -                           x

r(x)                        8                                 16

т.max

На интервале (0; 16) функция r(x) и определена и непрерывна и имеет единственную стационарную точку x=8 – т.max. Значит maxr(x)=r(8)

(0; 6)

r₁=8; r₂=16-8=8

Ответ: сопротивление всей цепи максимально, если r₁=r₂=8 Ом.

Задача 2. В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону Р(t)=1000+, где t – выражаетчся в часах.

Найти максимальный размер этой популяции.

Решение: найдем наибольшее значение функции р(t) на интервале (0; +∞).

p’(t)=0; 100-t²=0; t=±10

p’(t)

0                       +                           -                           t

p(t)                           10

т.max

На интервале (0; +∞) функция р(t) определена и непрерывна, и имеет единственную стационарную точку t=10 – т.max.

Значит maxp(x)=p(10)=1000+

(0; +∞)

Ответ: максимальный размер популяции составляет 1050 особей и достигается по прошествии 10 часов роста.

Задача 3. Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода (О₂). Найти концентрацию О₂, при которой содержащаяся в смеси окись азота окисляется с наибольшей скоростью.

Решение: в условиях практической необратимости скорость реакции 2NO+O₂=2NO₂ выражается формулой V=kx²∙y, где x - концентрация NO, у – концентрация О₂, а k – константа, зависящая от температуры. Концентрацию будем выражать в объемных процентах.

Пусть х – концентрация NО в любой момент времени.

Тогда 100-х – концентрация О₂.

Рассмотрим функцию V(x)=k∙x²(100-x)=k(100x²-x³), где 0<x<100.

V’(x)=k(200x-3x²)=kx(200-3x)

V’(x)=0, x(200-3x)=0, x=0, x=

V’(x)

0                        +                   -                                 x

V(x)                      66                             100

т.max

На интервале (0; 100) функция V(x) определена и непрерывна, и имеет единственную стационарную точку х=66 - т.max. Значит maxV(x)=V.

(0; 100)

Следовательно, скорость реакции наибольшая, если х=66%; у=33%.

Ответ: концентрация О₂ в смеси, при которой окись азота окисляется с наибольшей скоростью, составляет 33%.

Задача 4. Два тела начинают двигаться одновременно по прямым Ох и Оу, пересекающимся под прямым углом. Первое тело движется со скоростью 10 м/с по прямой Ох от точки А к точке О, причем АО=100 м; второе тело движется со скоростью 5 м/с по прямой Оу от точки В к точке О причем ВО=200 м. Найдите наименьшее расстояние между телами во время движения.

Решение:

у В М V=5 м/с 200 м α 0                      100 м К     А V=10 м/с

Пусть t – время движения, по прошествии которого расстояние между телами будет наименьшим. Тогда 1-е тело будет находиться в точке К и ОК=100-10t, а 2-е – в точке М и ОМ=200-5t. По теореме Пифагора МК== = =

Рассмотрим функцию d(t)= , и найдем ее наименьшее значение при t>0.

Так как функция d(t)>0 на интервале (0; +∞), то наименьшее значение функций d(t) и d²(t) достигается в одной и той же точке.

Поэтому, рассмотрим функцию d²(t)=125(t²-32t+400);

(d²(t))’=125(2t-32); (d²(t))’=0; 2t-32=0; t=16

(d²(t))’

0                        -                   +                                 t

d(t)                            16

т.min

На интервале (0; +∞) функция d(t) определена и непрерывна и имеет единственную стационарную точку t=16 – т.min.

Значит, mind(t)=d(16)=.

(0; +∞)

Таким образом, наименьшее расстояние между телами достигается по прошествии 16 с после начала движения и равно  м.

Ответ:  м.

Задача 5. Стоимость бриллианта пропорциональна квадрату его массы. При обработке бриллиант массой 25 карат был расколот на две части. Каковы массы частей, если известно, что при этом произошла максимальная потеря стоимости?

Решение: стоимость бриллианта р=k∙m², т.е.p=625k.

Пусть х – масса одного куска бриллианта, образовавшегося при расколе.

Тогда (25-х) – масса другой части.

kx² – стоимость одной части, а k(25-x)² – стоимость другой части, где 0<x<25.

f=625k-kx²-k(25-x)² – потеря стоимости бриллианта в результате раскола (k – коэффициент пропорциональности).

Рассмотрим функцию:

f(x)=625k-kx²-k(25-x)² и найдем ее наибольшее значение на интервале (0; 25).

f’(x)=-2kx+2k(25-x)=-4kx+50k

f’(x)=0; -4kx+50k=0;

-4x=-50; x=

f’(x)

0                        +                   -                                 x

f(x)                          12,5                               25

т.max

На интервале (0; 25) функция f(x) определена и непрерывна, и имеет единственную стационарную точку х=12,5 - т.max. Значит, maxf(x)=f(12,5).

(0; 25)

Следовательно, масса частей 12,5 карат и 12,5 карат.

Ответ: m₁=m₂=12,5 карат.

Литература:

1.                И. И. Баврин «Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике» Москва «Просвещение», 1999.

2.                О.Н.Доброва «Задание по алгебре и математическому анализу» Москва «Просвещение», 1996.

3.                С.М.Саакян, А.М.Гольдман, Д.В.Денисов «Задачи по алгебре и началам анализа для 10-11 кл.» Москва «Просвещение», 1990.