Методическое пособие "Проблемное обучение на уроках математики и во внеурочной деятельности по предмету как методологическая основа ФГОС"

Управление образования Администрации города Новочеркасска Методический кабинет Е.В. Кузнецова Методическое пособие «Проблемное обучение на уроках математики и во внеурочной деятельности по предмету как методологическая основа ФГОС» Новочеркасск 2021 Печатается по решению методического Совета городского методического кабинета Управления образования Администрации г.Новочеркасска                                       (протокол от 26.09.2021 №2)                          Кузнецова Е.В.  Проблемное обучение на уроках математики и во внеурочной деятельности по предмету как методологическая основа ФГОС. – Новочеркасск, 2021-47с.

Печатается по решению методического Совета городского методического     кабинета Управления образования Администрации г.Новочеркасска            (протокол от 26.09.2021 №2)                            Кузнецова Е.В.  Проблемное обучение на уроках математики и во       внеурочной деятельности по предмету как методологическая основа                        ФГОС. – Новочеркасск, 2021 – 47с.

Знание только тогда знание, когда оно добыто
усилием собственной мысли, а не памятью.
Л.Н. Толстой

     Следует отметить проблемы, которые наблюдаются при обучении учащихся: низкий уровень мотивации; отсутствие интереса к предмету; высокий уровень тревожности; быстрая утомляемость на уроках.

    Возникает вопрос, каким образом решить данные проблемы. На мой взгляд, активизация познавательной деятельности учащихся на уроках является одним из путей решения данных проблем.

    Активизацию познавательной деятельности учащихся можно добиться средствами современных педагогических технологий.

    В данной работе речь пойдет о проблемном обучении. Формирование у учащихся метапредметных результатов относится сегодня к важнейшему требованию, определенному ФГОС.

    Формирование метапредметных и личностных результатов предполагает активное включение учащихся в процесс обучения. Технология проблемного обучения становится педагогическим инструментов решения этой задачи.

    Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение знаниями, умениями, навыками и развитие мыслительных операций.

    На уроках с применением технологии проблемного обучения создаются условия для получения учащимися опыта формирования таких универсальных учебных действий, как: сравнение, сопоставление, обобщение, аналогия, умение устанавливать взаимосвязи, моделирование. Кроме того, в ходе эврестического диалога у учащихся формируются умения выдвигать гипотезу.

    Технология проблемного обучения является наряду с технологиями продуктивного чтения и оценивания учебных успехов, главенствующей для УМК.

   Для уроков математики характерно создание проблемной ситуации с затруднением, когда возникает противоречие между необходимостью и невозможностью выполнить задание, а также использование подводящего к теме диалога и сообщения темы с мотивирующим приемом “яркое пятно”, обеспечивающего принятия темы с учениками.

   Проблемная ситуация специально создается учителем путем применения особых методических приемов:

• учитель подводит школьников к противоречию и предлагает им самим найти способ его решения;
• сталкивает противоречия практической деятельности;
• излагает различные точки зрения на один и тот же вопрос;
• предлагает классу изучение явлений с разных позиций;
• побуждает учащихся сравнивать, обобщать. делать выводы;
• определяет проблемные теоретические и практические задания;
• ставит проблемные задачи.

    При использовании проблемных ситуаций на уроке необходимо выполнение некоторых условий.

Учитель должен:

• уметь создавать проблемные ситуации и управлять этим процессом;
• формулировать возникшую проблемную ситуацию путем указания ученикам на причины невыполнения поставленного практического учебного задания или невозможности объяснить им те или иные продемонстрированные факты.
• Ученики при проблемной ситуации должны уметь:
• сделать новое “открытие” при изучении нового материала;
• использовать свои знания в новых ситуациях;
• проявлять активную поисковую деятельность.

    При применении технологии проблемного обучения важно .чтобы были хорошо развиты у учащихся ниже перечисленные способности.

1. Рефлексировать (анализ выполненного задания, умение найти ошибку и решить проблему);
2. Целеполагать (ставить и удерживать цели);
3. Моделировать (умение составить схему, модель);
4. Планировать (умение составлять план своей деятельности);
5. Коммуникативная способность.

    Отметим, что при подготовке проблемного урока учителю необходимо четко прописать последовательность действий, как учителя, так и ученика.

   Приведем примеры проблемных ситуаций.

Тема: “Сравнение положительных и отрицательных чисел”, 6 класс (проблемная ситуация с затруднением, ведущая к диалогу).

На уроке дается задание сравнить числа (сравнение чисел второго столбика вызывает затруднение).

Сравни числа:

а)	б)
1 и 2	-1 и - 3
3 и 3,5	- 0,5 и 0
0,25 и 0,5	-1 и 2

Таблица 1

Вопросы:

1. Вы смогли решить задание?
2. Что не получается?
3. Чем это задание не похоже на предыдущее?
4. Какой возникает вопрос?
5. Какова же тема нашего урока?

Ученики сформулировали тему урока “Сравнение положительных и отрицательных чисел”. Вновь возвращаемся к сравнению положительных чисел. Ученики отмечают парами на координатной прямой числа: 1 и 2; 3 и 3,5; 0, 25 и 0,5. Задается вопрос: как располагаются числа каждой пары на координатной прямой? (Большее число всегда расположено правее).

На координатной прямой ученики отмечают другие пары чисел: -1 и -3; - 0,5 и 0; -1 и 2. Используют указанное правило.

Далее проводится работа в группе. Предлагается сравнить числа -115 и -397. Это задание вызывает затруднение, т.к. в тетради такие числа отметить нельзя и сразу возникает вопрос нахождения иного способа сравнения.

Задания:

Используя другой рисунок с координатной прямой выпишите все отрицательные числа в порядке возрастания (ответ: -3; -1; -1; -0,5);

2) Найдите модули этих чисел (ответ: |-3| = 3; |-1| = 1; |-1| = 1; |-0,5| = 0,5).

3) Запишите модули этих чисел в порядке возрастания. (Ответ: 0,5; 1; 1; 3).

4) Что интересного в расположении чисел и их модулей вы заметили? (Ответ: чем больше отрицательное число, тем меньше модуль).

5) Как же сравнить числа – 115 и -397?

(Ответ: сравнить по модулю.

|-115| = 115;

|-397| = 397;

115<397;

-115>-397)

Вывод: больше то отрицательное число, у которого модуль меньше. Далее устанавливается закономерность, что положительные числа расположены справа от нуля, а отрицательные – слева от нуля. Заменив в этой формулировке несколько слов получается новое правило: Положительные числа больше нуля, а отрицательные меньше нуля.

(1>0; 2>0; 1>0; -3<0; -1<0; -1<0; )

Вывод: положительное число всегда больше отрицательного.

(2>-3; 0,25>-1)

Правило в общем виде:

c<0, если c – отрицательное.

p>0, если p - положительное.

При изучении темы сложения дробей с разными знаменателями в 6 классе в устный счет, состоящий из примеров на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, можно включить пример, где знаменатели разные. Сразу создается проблема, из которой выходят учащиеся, анализируя и сравнивая, чем похожи дроби, чем отличаются друг от друга. Сообща выходят из проблемной ситуации.

Примеры:

а) 27/13 + 7/13;

б) 4/7 + 2/7;

в) 23/40 + 16/40;

г) 2/15 + 4/5.

Учащиеся начинают рассуждать, что умеют складывать только дроби с одинаковыми знаменателями. Они приходят к мысли, что необходимо сделать знаменатели одинаковыми, а этот материал ранее, и у ребят достаточно знаний справиться с этим заданием. Проблема оказывается решенной, и выводится новое правило – новое открытие.

Были приведены примеры проблемных заданий:

1) Тема “Деление и дроби”. Чтобы найти корень уравнения вида ax=b, надо b разделить на a. Если b не делится на a нацело, то уравнение не имеет натуральных корней. Как объяснить тот факт, что уравнение 5x=1 имеет корень?

2) Тема “Проценты”. В конкурсе участвовали два класса. Из 5 “а” класса – 50% учащихся, а из 5 “б” – 40% учащихся.

При подсчете оказалось, что количество участников из каждого класса одинаково. Почему?

3) Тема “Деление обыкновенных дробей”. Постановка проблемы. x=2/7:1/7. (Ученики еще не умеют выполнять деление обыкновенных дробей и вместе с учителем определяют тему урока и ставят перед собой задачи урока).

Использование проблемного метода обучения позволяет получить хорошие результаты: учащиеся более грамотно и четко формулируют вопросы, участвуют в обсуждении, имеют желание высказывать и отстаивать свою точку зрения, развиваются логическое мышление, память, умение самостоятельно работать, самоконтроль, активизируется мыслительная и познавательная деятельность учащихся на уроке.

Рекомендуется решение проблем осуществлять в сотрудничестве, т.е. широко использовать групповую форму работы. Правильно организованное сотрудничество дает хорошие результаты в учебно-воспитательном процессе. Возрастают и объем усваиваемого материала, и глубина его понимания, не остается учеников, не работающих на уроке, ученики комфортнее чувствуют себя в школе.

Ниже представляется конспект открытого урока, по теме: “Умножение разности двух выражений на их сумму” (Получение формулы сокращенного умножения), проведенного по учебнику под редакцией С.А. Теляковского. Алгебра. 7 класс. В уроке используются технология проблемного обучения и деятельностный подход в обучении.

План урока.

1. Вступление. Оргмомент. Мотивация к учебной деятельности.

Девиз урока: “Знания сам добывай и вовремя их применяй”.

2. Устная работа. Повторение ранее изученного материала.

1. Разгадывание кроссворда (повторение теоретического материала).
2. Работа по вопроснику (ответ на вопрос).
3. Выполнение действий со степенями.
4. Решение выражений с окошечками.
5. Вывод.

3. Подготовка к работе на основном этапе. (Обучающий математический диктант с дополнительным заданием, необходимым для дальнейшей работы.

4. Усвоение новых знаний и способов действий.

1. Постановка проблемы и ее решение коллективным способом.
   Работа проводится по плану, составленному на карточке.
2. Вывод о проделанной исследовательской работе.
3. Проверка полученной закономерности.

5. Первичная проверка понимания, закрепления знаний и способов действий.

1. Работа у доски с комментированием. Вычисления выражений с использованием тождества (a-b)(a+b)=-.
2. Работа в группе (с проверкой). Применение формулы (a-b)(a+b)=- для решения различных выражений.
   № 912 (a, б, в, г, з, и).\
3. Работа в группе. Разъяснение геометрического смысла формулы (a-b)(a+b)=- для а, в – положительных и а>b.
4. Обучение коллективным способом (с проверкой). В это время за доской ученик выполняет это задание № 916 (а, б, в, д). В конце проверка. Другой ученик играет в игру “Найди пару”.

6. Рефлексия учебной деятельности и оценивание учащихся.

Задание на дом.

Алгебра 7 класс.

Тема: умножение разности двух выражений на их сумму.

Девиз: “Знания сам добывай и при необходимости их применяй”.

Учебник под редакцией С.А. Теляковского.

Авторы Ю.А. Макарычев, М.Т. Миндюк и др.

Общедидактическая цель урока: восприятие учащимися и первичное закрепление ими нового учебного материала, осмысление связей и отношений в объектах изучения.

Образовательные аспекты урока: триединая дидактическая цель (ТДЦ).

• познакомить учащихся новой формулой сокращенного умножения и его содержательным смыслом;
• сформировать умение читать и записывать формулу умножения разности двух выражений на их сумму (a-b)(a+b)=-;
• показать применение данной формулы при решении других задач;
• способствовать формированию умений по применению этой формулы при решении различных задач (при умножении многочленов);
• закрепить ранее изученный теоретический материал.

Развивающие аспекты ТДЦ:

• развитие математической речи;
• развитие умений выделять главное, сравнивать, обобщать;
• формирование самостоятельности мышления.

Воспитательные аспекты ТДЦ: воспитание чувства само- и взаимоуважения, чувства коллективизма, воспитание интереса к математике через игровые моменты.

Формы организации познавательной деятельности (ФОПД): групповая, фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: таблица с кроссвордом, карточки для работы в группе, вопросники для работы в паре, таблицы с формулами сокращенного умножения для фронтальной работы, проектор.

Ход урока

I. Вступление.

Учитель. Начинаем наш урок математики. Математика – интересный предмет. Но ее можно хорошо знать только благодаря добросовестной и настойчивой учебе. Мудрость “Без труда не выловишь рыбку из пруда” не обходит стороной и математику.

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело”... “Такого же мнения был и ведущий советский психолог Леонид Владимирович Занков, которому принадлежат слова: “Учиться надо весело, чтоб хорошо учиться”.

Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету. Будьте активны, внимательны и с интересом изучайте материал урока, с большим желанием выполняйте любое задание.

Представьте, что ваш класс – научно-исследовательский институт. Вы, ученики – сотрудники этого института. В институте будут работать несколько лабораторий по изучению математических процессов, которые будут заниматься исследованием алгебраического материала с применением различных преобразований с использованием новых технологий. Во главе каждой лаборатории есть заведующие. Они главные консультанты по выполнению исследовательской работы. (Представляются руководители лабораторий, т.е. руководители групп).

Заведующие лабораториями о результатах работы будут сообщать главному ответственному за выполнение исследовательской работы, т.е. учителю.

Перед началом исследовательской работы слово предоставляется заведующим лабораторий. Они дадут полезные советы. (Ученики подготовлены заранее).

1-й ученик. Настройтесь на успех!

2-й ученик. Воспринимайте математические примеры, как игру.

3-й ученик. Необходимо хорошо понимать смысл правил и теорем.

4-й ученик. Создайте себе окружение из формул, чтобы лучше их запомнить, а в случае необходимости их применить.

5-й ученик. Не ломайте голову в одиночестве. Лучше работать с друзьями сообща. Обмениваясь каждый своим мнением, легче и веселее идти к истинному ответу.

Учитель. Постоянно контролируйте свои действия, т.е. каждый раз проверяйте верность произведенных математических операций. И успех будет обеспечен.

Тема нашей исследовательской работы звучит так “Умножение разности двух выражений на их сумму”. Какие задачи вы поставили перед собой?

Ученики называют:

1. Умножить разность двух выражений на их сумму по правилу умножения многочленов.
2. Узнать, что получится после умножения разности и суммы двух выражений и применить этот способ умножения при решении других задач.

Учитель еще раз повторяет задачи урока и добавляет, что будут работать под девизом: “Знания сам добывай и вовремя их применяй”.

Рис.1

II. Устная работа.

1. Разгадывание кроссворда.

Учитель. Чтобы провести исследовательскую работу, необходимы теоретические знания. Проверим сейчас их запас с помощью математического кроссворда (Рис.1.).

По горизонтали:

1. Символ, с помощью которого обозначают натуральные числа. (Цифра).
2. Выражение . (Многочлен).
3. Значение переменной, при которой уравнение обращается ы верное числовое равенство. (Корень).
4. Степень многочлена . (Восемь).
5. Зависимость одной переменной от другой. (Функция).
6. Выражение, которое является произведениями чисел, переменных и их степеней. (Одночлен).
7. График функций . (Парабола).

Учитель. Какое слово получили по вертикали? (Формула).

Что об этом слове знаем? (Это буквенная запись какого-либо математического утверждения).

Какие формулы получили на последних уроках?

(Ученики вспоминают изученные формулы сокращенного умножения – квадрат суммы и разности двух выражений. Учитель вывешивает таблицы с формулами).

;

.

2. Работа по вопроснику.

Учитель. Найдите по вопроснику №27 и №28 и проверьте друг друга знания ответов на эти вопросы, необходимые для дальнейшей работы.

(Ученики отвечают на вопросы: как умножить многочлен на многочлен? Что называется тождеством?)

3. Выполнение математических операций со степенями.

Вычислить:

А) *=;

Б) =;

В) =;

Г)*)=.

4. Решение выражений с окошечками.

В окошечко вставь одночлен.

А)? ; (Ответ: )

Б)= 14ac + ? (Ответ: ).

5. Вывод после устной работы.

Учитель. Какие математические понятия помогли выполнить ранее представленное вам задание?

Ученики перечисляют:

1. Умножение степеней;
2. Возведение степени в степень;
3. Степень произведения;
4. Возведение одночлена в степень;
5. Умножение одночленов;
6. Квадрат суммы и разности двух выражений.

Обучающий математический диктант с дополнительным заданием, необходимым для дальнейшей работы. Работа проводится у доски и на местах. К доске вызывается ученик. Ученик пишет за доской.

Учитель. Запишите выражения.

1. Вторая степень одночлена . 
2. Разность квадратов 2d и 5k – – 
3. Квадрат разности 12x и 8y. – 
4. Утроенное произведение одночлена  – (=)
5. Произведение двух сумм 7x и 3 и 2x и 1 – (7x + 3) (2x +1)
6. Произведение разности а и в и их суммы – (а – в) (а + в)

(После диктанта проведена взаимопроверка. Ученик, писавший диктант, выполняет на доске умножение многочлена 7x + 3 на многочлен 2x + 1.

(7x + 3) (2x +1)=  + 7x + 6x + 3 = + 13x + 3

6. Изучение нового материала.

1.  Постановка проблемы и ее решение коллективным способом.

Учитель. Произведение (а – в)*(а + в) является предметом нашего исследования. Следует умножить разность двух выражений на их сумму. В каждой лаборатории есть план работы на карточке. Действовать всем сотрудникам надо сообща. Воспользуйтесь теоретическими знаниями, выполните некоторые преобразования, приложите все умения и вы обязательно совершите новое открытие.

Прочитайте план работы.

На карточке написано.

1. Умножьте разность а – в на сумму а + в;
2. Приведите подобные слагаемые, если они есть;
3. Запишите, какое тождество получили.
4. Сделайте вывод, чему равно произведение разности и суммы двух выражений.

2. Вывод о проделанной работе.

После всей работы ученики делают вывод:

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений. Все записывают в тетрадь

(а – в)*(а + в)=+ ва – ва –=

Проверка установленной закономерности.

Учитель: проверим эту закономерность при произведении других двучленов. (Ученик у доски решает).

(2x – 3) (2x + 3)= + 6x – 6x – 9= - 9 = 

Оказывается справедлива эта закономерность и при умножении разности и суммы различных выражений. Полученная формула (а – в)*(а + в)=

тоже является тождеством сокращенного умножения. В дальнейшем произведение разности и их суммы двух любых выражений будем искать по этой формуле. Таким образом, ряд формул сокращенного умножения пополнился.

(Учитель вывешивает еще одну таблицу с формулой (а – в)*(а + в)=. И читают правила по учебнику).

7. Первичная проверка понимания, закрепления знаний и способ действий.

1. Работа у доски с комментированием.

(3x-7y) (3x+7y)= -=;

() (=-=.

2. Работа в группе. (с проверкой).

Выполняется №912 а, б, в, г, з, и.

Учитель: прежде чем начать выполнение номера по учебнику, сравните, чем отличаются выражения.

1) (а – в)*(а + в)=;

2) (а + в)*(а – в)=;

3) (а – в)*(в + а)=.

Во 2 выражении переставлены множители на основе переместительного свойства умножения; в 3 выражении во втором множителе, представляющего в виде суммы, переставили местами слагаемое на основе переместительного закона сложения.

Вывод: все выражения 1, 2, 3 равны, значит все части равны , т.к. все выполняли строго по математическим законам.

(а – в)*(а + в)

(а + в)*(а – в)

(а – в)*(в + а)

Далее выполняют ученики № 912 (а, б, в, г, з, и) и в конце отвечает та группа, которая первая решит все задание.

a) (x-y) (x+y)=

б) (p+g) (p-g)=;

в) (в – a)*(в + а)=;

г) (p-5) (p+5)=;

з) (7+3y) (3y-7)=;

и) (n-3m) (3m+n)=.

3. Разъяснение геометрического смысла получения формулы.

(а – в)*(а + в)=.

Работа проводится в группе (с проверкой).

Полученная формула содержит загадку. Следует по чертежу, на рис.2., который у всех на столах, разъяснить геометрический смысл формулы

(а – в)*(а + в)=; для любых а, в положительных, а>в.

Рис.2

(Площадь прямоугольника со сторонами а-в и а+ в равна площади квадрата со стороной а минус площадь квадрата со стороной в).

4. Коллективный способ обучения (с проверкой).

В группах выполняется задание №916 а, б, в, д. В это время за доской ученик выполняет это же задание, затем проводится проверка. Другой ученик играет у доски в игру “Найди пару”.

№916

А) (2а + ? ) (2а - ? )= (Ответ: в);

Б) (? - 3x) (? + 3x) =  (Ответ: 4y);

В) (5x + ? ) (5x - ? ) = (Ответ: );

Д) (? ) ( + ? ) = 121(Ответ: ).

Играющему ученику даны карточки. На одних из них записана левая часть тождества, на других правая. Ученик должен положить 2 карточки рядом так, чтобы получилось тождества.

1. () ()= - = ()

2. (0,7x  (0,7x  =

3.  

4.  =  -  + 

5.   = 

Ученик оставляет на наборном полотне только те тождества, которые соответствуют теме сегодняшнего урока, т.е. (1), (2), (5).

8. Подведение итогов урока. Задание на дом.

Учитель. Какая проблема стояла перед нами сегодня? Какое открытие сегодня сделали? (Произведение разности двух выражений на их сумму равна разности квадратов этих выражений).

Итак, сегодня вы получили новую формулу сокращенного умножения

(а – в)*(а + в)= и применяли эту формулу при умножении двучленов. Эта была главная цель нашей работы.

(Выставляются отметки).

Спасибо всем участникам исследовательской деятельности. Дальнейших успехов.

Чтобы прочно вошла в ваше сознание эта формула, поработайте над ней при выполнении следующего задания дома

№912 (к, л, м).

№916 (г,е).

П.33.

Литература.

1. Ершова А.П., В.В. Голобородько. Алгебра и геометрия г класс, самостоятельные и контрольные работы. “Илекса”. “Гимназия” Москва – Харьков. 2000 г.
2. Кордемский Б.А. Увлечь школьников математикой. Москва. “Просвещение”. 1998 г.
3. Мордкович А.Г. Математика 7 класс. Москва. “Мнемозина”. 1999 г.
4. Якиманская И.С. технология личностно-ориентированного образования. Библиотека журнала “Директор школы”. Москва. Сентябрь, 2000 г.
5. Учебник под редакцией С.А. Теляковского. Алгебра
6. Алгебра. 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных организаций: к учебнику А.Г. Мордковича/ Л.А. Александрова; под ред. А.Г. Мордковича, - 11 –е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2015. - 112 с.: ил.
7. Алгебра. 7 класс. В 2 Ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович/ Н.П. Николаев. - 4 –е изд., стер. – М. Мнемозина, 2012. - 192 с.: ил.
8. Активизация мыслительной деятельности учащихся при изучении математики. А.Д. Семушкин и др. Пособие для учащихся. – М.: “Просвещение”, 1978.
9. Виды учебной деятельности школьников в дистанционном обучении. Г.А. Андрианова. - Интернет-журнал “Эйдос”. - 2004. – Режим доступа: http: // www.eidos.ru/journal/2001/0516.htm
10. Проектирование  современного урока в соответствии с требованиями  ФГОС ООО: методическое  пособие/авт.-сост:  С.В.Фаттахова. Казань, 2015, 90 С.
11. Проблема культурного развития ребенка из книги: (Выготский Л.С. Психология развития человека. — М.: Изд-во Смысл; Эксмо, 2005. — 1136 с.).
12. Справочник учителя математики. Н.А. Ким. – Волгоград: “Учитель”, 2012.
13. Учитель учится математике. Л.И. Фридман. Книга для учащихся. М.: “Просвещение”, 1985.