Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие: Производная. Интеграл.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие: Производная. Интеграл.

библиотека
материалов


















Математика.

Производная. Интеграл.


Учебное пособие




Автор-составитель: М.В.Лапин




для студентов всех специальностей




















Содержание


Введение……………………………………………………………………. 3

  1. Производная и её приложения………………………………………

  1. Формулы дифференцирования…………………...

  2. Геометрический смысл производной……………

  3. Физический смысл производной………………………..

  4. Приложения производной к исследованию функции…

  5. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке……………………………………………..

  6. Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции………

  7. Применение дифференциала для приближенных вычислений

  8. Вопросы для самопроверки………………………………

  1. Неопределённый интеграл………………………………..

  1. Таблица основных интегралов……………………...

  2. Методы интегрирования…………………………….

  1. Определённый интеграл…………………………………..

  1. Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла……………………………………………..

  2. Вопросы для самопроверки…………………………

  1. Задания для самоконтроля………………………………..

  2. Литература…………………………………………………











6

8

10

11

11


15

16

18

19

20

21

21

27


29

31

31

36



Введение

Современное образование сопровождается бурным развитием IT-технологий, что обуславливает рост интереса молодежи к техническим и физико-математическим дисциплинам. Понятия производной и интеграла являются фундаментальными в курсе математики.

Основной целью изучения этих тем в Рыбинском полиграфическом колледже является вооружение учащихся математическими знаниями и навыками, необходимыми для будущей профессиональной деятельности.

В результате изучения темы «Производная. Интеграл» студент должен

знать:

  • определение производной, ее геометрический и механический смысл;

  • правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала функции и его геометрический смысл;

  • общую схему построения графиков функций с помощью производной;

  • определение первообразной, неопределенного и определённого интеграла и их свойства; формулы интегрирования;

  • способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапе­ции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенно­го интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного ин­теграла;

уметь:

  • дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;

  • находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

  • применять производную для нахождения промежутков монотонности и экс­тремумов функции;

  • находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

  • находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

  • выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным услови­ям;

  • восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускоре­нию, количество электричества по силе тока и т.д.

  • вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

  • находить площади криволинейных трапеций; объемы тел вращения;

  • решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интегра­ла.

Программой предусмотрено проведение лекционных, практических занятий, цель которых состоит в том, чтобы закрепить у студентов теоретические знания, полученные в процессе изучения дисциплины, способствовать выработке умений решения прикладных задач.

Программа изучения дисциплины предусматривает са­мостоятельную внеаудиторную работу студентов. В процессе самостоятельной работы студент изучает программу, рекомен­дованную литературу, периодические и специальные издания.



Пояснительная записка


Учебное пособие адресовано студентам всех специальностей для самостоятельного изучения темы «Производная. Интеграл» дисциплины «Математика». Оно составлено в соответствии с ГОСТ СПО, рабочей программной дисциплины «Математика».

Предлагаемое пособие состоит из 5 разделов:

  • Производная и её приложения

  • Неопределённый интеграл

  • Определённый интеграл

  • Задания для самоконтроля

  • Литература

Студент должен ознакомиться с содержанием дисци­плины, каждой ее темой, для контроля знаний сле­дует ответить на вопросы для самопроверки, приведенные после каждой темы.

Учебный материал следует изучать систематически, в той последовательности, которая дана в учебном пособии.


  1. Производная и её приложения

Студент должен:

знать:

  • определение производной, ее геометрический и механический смысл;

  • правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала функции и его геометрический смысл;

определение второй производной, ее физический смысл;

  • необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, су­ществования экстремума;

  • необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции;

  • определение точки перегиба;

  • общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на про­межутке;

уметь:

  • дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;

  • находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке;

  • применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождения скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.);

  • находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

  • находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке.

  • применять производную для нахождения промежутков монотонности и экс­тремумов функции;

  • находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

  • проводить исследования и строить графики многочленов; находить наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на проме­жутке;

  • решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наи­меньших значений реальных величин.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

hello_html_m105b47e6.png

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где OM1=S+∆S (∆S — приращение расстояния). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t  - выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t:

hello_html_948d820.png

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

hello_html_5bdb9c22.png

Производной функции y = f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции hello_html_2e85d6ba.gifу к приращению аргумента hello_html_2e85d6ba.gifх при условии, что hello_html_2e85d6ba.gifхhello_html_m6b7fc4d1.gif0, т.е.

hello_html_m4cdb0cc8.gif

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная сложной функции находится на основа­нии следующей теоремы: если y=f(u) и и=φ(х) — дифференцируемые функции своих аргументов, то про­изводная сложной функции y=f(φ(x)) существует, и равна произведению производной функции у по проме­жуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

y’(x)=y’(u)u’(x)


Формулы дифференцирования.

Для простых функций

Для сложных функций

1.

hello_html_778c228e.gif



2.

hello_html_2745ff1b.gif



3.

hello_html_m40f41df2.gif

hello_html_m4493b46a.gif

hello_html_5db3f2dc.gif

4.

hello_html_m4d54bc9e.gif

hello_html_m4f76e447.gif

hello_html_m11752ac.gif

5.

hello_html_f03402f.gif

hello_html_3fa1495.gif

hello_html_m22ace35c.gif

6.

hello_html_mebbec84.gif

hello_html_m6b009d87.gif

hello_html_maa8ef04.gif

7.

hello_html_m4ae43ec.gif

hello_html_m7fa45c29.gif

hello_html_73d8eb88.gif

8.

hello_html_28fed8ee.gif

hello_html_m476be304.gif

hello_html_m378d00cc.gif

9.

hello_html_md00d9b0.gif

hello_html_m20a1edf6.gif

hello_html_2ba81507.gif

10.

hello_html_m5c8ff41d.gif

hello_html_m58d3b87f.gif

hello_html_504f3c88.gif

11.

hello_html_56b9fae0.gif

hello_html_3b8b8afb.gif

hello_html_m3cd0a730.gif

12.

hello_html_m1420b198.gif

hello_html_m41e9b9e2.gif

hello_html_36fc147b.gif

13.

hello_html_594fd994.gif

hello_html_7bb03d43.gif

hello_html_m5f60947a.gif

14.

hello_html_m14ea0b17.gif

hello_html_m6aa7bb41.gif

hello_html_7d928fec.gif

15.

hello_html_m6015435.gif

hello_html_671dd75e.gif

hello_html_5cac679e.gif

16.

hello_html_195253aa.gif

hello_html_m739dbae0.gif

hello_html_66633046.gif

17

hello_html_m6a55d005.gif

hello_html_11e007b9.gif

hello_html_6ccee25a.gif


Правила дифференцирования:

1.hello_html_61d7ef40.gif

2. hello_html_1c718336.gif

3. hello_html_m32e47df9.gif

4. hello_html_6388327.gif

Пример 1: hello_html_m4c0511f8.gif

Решение:

hello_html_m155b478e.gif

Пример 2:

hello_html_4a10aa20.gif


Пример 3:

hello_html_a7b0266.gif

hello_html_5cbb77f2.gif


Пример 4: Найти производную функции

hello_html_m50e189cb.gifи вычислить её значение при t = 2.

hello_html_5639792e.gif



Пусть t=2 hello_html_m4949c083.gif


Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке hello_html_m62e3f20d.gif, равен значению производной функции в точке hello_html_m147b635.gif, т.е. hello_html_5057853.gif

Уравнение этой касательной имеет вид:

hello_html_53822a30.gif

Прямая,   перпендикулярная   касательной   в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

hello_html_5cf9ab64.png

Пhello_html_3e79f5b5.pngоэтому уравнение нормали имеет вид

у—у0=

Пример 5: Составить уравнение касательной к графику функции hello_html_4f40f0c1.gif в точке с абсциссой hello_html_m147b635.gif= 3.

Найдём hello_html_m49a05223.gif- значение данной функции при hello_html_m147b635.gif= 3 hello_html_m5e1c7431.gif

hello_html_m1f03da4d.gif

hello_html_6f5cbec.gif- угловой коэффициент касательной в точке hello_html_m147b635.gif= 3.

Уравнение касательной будет иметь вид:

hello_html_m311a9f18.gif


Физический смысл производной.

Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t) , то скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути s к приращению времени t , когда приращение времени стремится к 0. Вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени.

Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х.

V(x) = f `(x)

Пусть S(t) – функция задающая движение тела

Тогда: V(t) = S`(t), а(t) = V`(t)

Пример 6: Закон движения точки по прямой задан формулой hello_html_37ccc5aa.gif.

Найти скорость и ускорение движения точки в конце первой секунды.

Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то

hello_html_m14370db4.gif

Т.к. а(t) = V`(t), то hello_html_2405da47.gif



Приложения производной к исследованию функции.

Условие постоянства функции. Диффе­ренцируемая функция y=f(x) постоянна на промежутке X тогда и только тогда, когда f'(x) =0 внутри X.

hello_html_m50f757a7.jpg

Условие возрастания функции. Диффе­ренцируемая функция y=f(x) монотонно возрастает на промежутке X тогда и только тогда, когда ее производ­ная не отрицательна внутри этого промежутка: f'(x) ≥0, причем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует c положительным направлением оси Ох острый угол или параллельна ей.

Условие убывания функции. Дифференцируемая функция y=f(x) монотонно убывает на проме­жутке X тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: f'(x)≤0, при­чем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.

Экстремумы функции. Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум в точке Х1, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к Х1. Таким образом, Х= Х1 — точка максимума, a ymax=f(x1) максимум функции.

Говорят, что функция y=f(x) имеет минимум в точ­ке Х2, если значение функции в этой точке мень­ше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к Х2, Таким образом, Х= Х2 — точка минимума, a ymin=f(x2)-минимум функции.


Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экст­ремум. Значение функции в этой точке называется экст­ремальным.

Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум при х=х0, то ее про­изводная в этой точке равна нулю или бесконечности ли­бо вовсе не существует, при этом сама функция в точке определена.

Пусть hello_html_m147b635.gif - критическая точка на [а;в]


hello_html_m34308b86.gif

hello_html_m147b635.gif

hello_html_m5df52a8d.gif

f `(x)

+

0

-

f (x)

hello_html_m77bd903b.gif

max

hello_html_38ed15e2.gif



hello_html_4a47d696.gif

hello_html_m147b635.gif

hello_html_m3c34aaf0.gif

f `(x)

-

0

+

f (x)

hello_html_m5e49bc6d.gif

min

hello_html_m628cefd9.gif


hello_html_6421b9db.gif- точка max hello_html_m147b635.gif- точка min

hello_html_4afdb3f7.gif- max функции hello_html_4afdb3f7.gif- min функции

Задание:

Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_39c994af.gif.

Решение:

1) Вычисляем производную функцииhello_html_45990e7e.gif

2) Для определения знака производной на промежутке используем метод интервалов

Пусть hello_html_m74191b74.gif, т.е. hello_html_123326be.gif

Наносим корни на ось и определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого подставляем число из промежутка в формулу производной

hello_html_m6f0ad7e7.gif



Значит: у возрастает на [-1;1]

у убывает на (- hello_html_m74e6612e.gif;1]hello_html_4969d799.gif[1;+ hello_html_m74e6612e.gif)


Задание: Найти точки экстремума и экстремумы функции hello_html_39c994af.gif.

Решение:

1) Находим производную функцииhello_html_39c994af.gif

hello_html_m26fa70ee.gif

2) Находим критические точки

hello_html_m4e120540.gifсуществует для любого hello_html_31889ac4.gif

hello_html_m4e120540.gif= 0, если hello_html_61ef1bf4.gif

3)Определяем промежутки возрастания и убывания функции:


hello_html_5103afab.gif


hello_html_2a9634cf.gifhello_html_4ea26f09.gifhello_html_1f03ce1.gif-1 1


Значит hello_html_m32e82597.gif - точка минимума

f min = f(-1) = 3(-1)-(-1)hello_html_m5d4c989e.gif= - 3+1 = - 2

hello_html_37a861f6.gif- точка максимума

f max = f(1) = 3hello_html_17297f88.gif

ответ: f min = - 2 ; f max = 2.



Исследование функции с помощью производной и построение их графиков.


Задание: исследовать функциюhello_html_39c994af.gif и построить её график.


Алгоритм исследования

Образец записи исследования и построения графика

1. Найти область определения функции

f (x)(ответить на вопрос: каким может быть х?)

D(f) = R

2.Найти производную функции

f `(x) = hello_html_m54d17911.gif

3.Найти критические точки функции. Для этого: а) определить, в каких точках производная не существует; б) решить уравнение

f `(x) = 0

а) f `(x) сущ. при hello_html_1d92b132.gif

hello_html_7eb17165.gif

4. Начертить координатную прямую и отметить на ней критические точки. Определить знак производной на каждом интервале.

hello_html_5103afab.gif


-1 1

5. На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции f `(x)

hello_html_5103afab.gif

hello_html_2e222765.gif

hello_html_5e2b9625.gifhello_html_m2ee56ac.gif-1 1


6. Найти точки экстремума функции

hello_html_m32e82597.gif- точка минимума

hello_html_37a861f6.gif- точка максимума

7.Найти экстремумы функции

f(-1) = 3(-1)-(-1)hello_html_m5d4c989e.gif= - 2= f min

f(1) = 3hello_html_17297f88.gif= f max

8.Найти точки пересечения с осями:

с ох: у = 0

с оу: х =0

С ох: hello_html_m16c24f70.gif

или hello_html_m5dc1b039.gifhello_html_m4f883f78.gif А(0;0) В(hello_html_m980c3de.gif;0) и

С(-hello_html_m980c3de.gif;0)

С оу:hello_html_12b2e185.gif А(0;0)

9. Строим график

hello_html_m2006bd4d.gifhello_html_m705d28a7.gif


hello_html_m6613b99f.gif

hello_html_4d0be3ca.gif2

hello_html_4d0be3ca.gif

hello_html_m5545a809.gifhello_html_4d0be3ca.gif

-1 hello_html_m705d28a7.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gifhello_html_m13a61b2e.gif1

hello_html_4d0be3ca.gif

hello_html_4d0be3ca.gif-2






Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задание: найдите наибольшее и наименьшее

значение функции hello_html_m7128d447.gif на hello_html_m1d043994.gif

Алгоритм решения

Образец записи решения

1. Найти производную функции:

hello_html_m4bff26d7.gif

2. Найти критические точки функции

hello_html_m4e120540.gifсущ. при hello_html_1d92b132.gif

hello_html_m4e120540.gif=0hello_html_1b730b13.gifhello_html_m133dda57.gif=0hello_html_1b730b13.gifhello_html_m3d996707.gif

hello_html_f637a13.gif,hello_html_37a861f6.gif, hello_html_70890d4.gif

3.Выбрать крит. точки внутри данного отрезка

Х = 1

4.Найти значение функции в крит. точках, принадлежащим данному отрезку и на концах отрезка.

hello_html_66bdec2b.gif

hello_html_65f890b7.gif

hello_html_3ae8eb19.gif

5. Из значений, найденных в п.4 выбрать наибольшее и наименьшее.

У наимен. = - 4 при х = 1hello_html_m53d4ecad.gif

У наибол. = 5 при х = 2


Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Задача:

Найти наибольший обьём правильной треугольной пирамиды, у которой длина апофемы равна hello_html_m40ff39aa.gifдм.

Алгоритм решения

Образец записи решения

1. Построить рабочий чертёж. Обозначить за х любую неизвестную величину.

hello_html_32e54267.gif




2. Записать общую формулу объема пирамиды.

hello_html_m57f5f1d6.gif

3.Найти выражения длин отрезков, входящих в формулу(*) :

а) обозначить длину любого отрезка за х;

б) рассматривая «подходящий» треугольник, выразить через х длины отрезков из (*)

а) Пусть hello_html_m60332f0a.gif= х

б) Изhello_html_m8ec697d.gif: hello_html_d5e05d2.gif

hello_html_435b9b0f.gif

Изhello_html_m37e5ae35.gif:hello_html_m7ee81f4d.gif;

hello_html_m25b405f9.gif:

4.Подставить найденные выражения в формулу(*)

hello_html_75324168.gif

5.Упростить полученное выражение и записать его как функцию от х

hello_html_m7fadde4e.gif

6. Найти (по смыслу задачи область) определения функции.

х – длина отрезка hello_html_51edb88e.gif

Изhello_html_m8ec697d.gif: hello_html_m731bf55b.gif

D(V) = (0; hello_html_m40ff39aa.gif)

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.

hello_html_25cba56e.gif

hello_html_m18135e6a.gifсущ. при hello_html_6a5b87cf.gifhello_html_m64246318.gif

hello_html_6ee03b6.gif


hello_html_m705d28a7.gif

hello_html_7c385cce.gifhello_html_me6c3a60.gifhello_html_m78a68ba0.gif0 2 2hello_html_m980c3de.gif


Значит: hello_html_e8783a9.gifнаибол. =hello_html_e8783a9.gif(2) = =12hello_html_22416c17.gif

Ответ: hello_html_e8783a9.gifнаибол. = 16hello_html_m980c3de.gifhello_html_m8aee796.gif



Дифференциал функции y = f(x) в точке х – это dy = f `(x)hello_html_18bd92d7.gifх, если f(x) = х, то

dх = 1hello_html_m5076e77b.gifх.

Тогда: dy = f `(x) hello_html_49a59a.gif
Пример 1:hello_html_75621515.gif

Решение:

hello_html_7c21959.gif

Пример 2: Вычислить значения дифференциала функции hello_html_m1847497c.gifпри hello_html_m48c4339d.gif

Решение: Вычислим дифференциалhello_html_m667c57ad.gif

hello_html_m65551d91.gif


Применение дифференциала для приближенных вычислений.


Пример 2: Вычислить приближенное значение приращения функции hello_html_m7a799e5e.gif

При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001

Решение: Находим дифференциал аргумента:

hello_html_68a95ac1.gif


Пример 3: Найти приближенное значение

hello_html_1fe97d0b.gif

Тогда hello_html_47d4f546.gif

hello_html_m4c1e4c0d.gif

Пример 4: Найти приближенное значение ln 0,97

hello_html_639731e9.gif


Пример 5: Найти приближенное значение hello_html_10d80d3c.gif

hello_html_m49d65374.gif



Вопросы для самопроверки:

  1. Что называется производной функции в точке?

  2. Какая функция называется дифференцируемой?

  3. Какие правила для вычисления производной Вы знаете?

  4. Какую функцию называют сложной?

  5. Чему равна производная сложной функции?

  6. Формулы дифференцирования.

  7. Что называется дифференциалом функции?

  8. Механический и геометрический смысл производной.

  9. Какая точка называется критической?

  10. Что такое экстремумы функции?

  11. Признаки возрастания и убывания функции.

  12. План исследования функции.

  13. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?


  1. Неопределённый интеграл.

Студент должен:

знать:

  • определение первообразной;

  • определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;

  • способы вычисления неопределенного интеграла;

уметь:

  • находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

  • выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным услови­ям;

  • восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускоре­нию, количество электричества по силе тока и т.д.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действия, обратные дифференцированию. Это действие называется интегрированием.


Определение: Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (а; в), если F `(x) = f(x) для hello_html_92f5ee4.gif


Теорема: Если F(х) является первообразной для f(x), то F(х)+С – тоже является первообразной для f(x), где С – любая постоянная.

Определение: Совокупность F(х)+С всех первообразных функций f(x) на (а; в) называют неопределённым интегралом. Обозначают hello_html_m19863576.gif

Свойства неопределённого интеграла:


1) Неопределённый интеграл суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов слагаемых, т.е.

hello_html_m5f54e68f.gif

2) Интеграл разности двух функций равен разности неопределённых интегралов, компонентов т.е.

hello_html_6ec49398.gif

3)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

hello_html_58cbc4f.gif

4) Если hello_html_264e3ded.gif, то hello_html_m324b77a5.gif


Таблица основных интегралов

1. hello_html_27da94b4.gif

8. hello_html_172b7453.gif

2. hello_html_4004a512.gif

9. hello_html_616f21ea.gif

3. hello_html_m21ad528d.gif

10. hello_html_m199df5b5.gif

4. hello_html_m53a2a025.gif

11. hello_html_413d9200.gif

5. hello_html_m66b94cf.gif

12. hello_html_m7860e77.gif

6. hello_html_m41552c08.gif

13. hello_html_2d8ed3a.gif

7. hello_html_116ea9ef.gif

14. hello_html_222dfcf7.gif


Методы интегрирования.


I.Непосредственное интегрирование( с помощью таблицы интегралов).

Пример 1:

hello_html_m73c8ed62.gif




Пример 2:

hello_html_77bb323f.gif


Пример 3:hello_html_m3cacc400.gif


Пример 4: hello_html_1597926c.gif

II.Интегрирование методом подстановки

Если интеграл не привести к табличному с помощью элементарных преобразований, то пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому, который берётся непосредственно.


Для интегрирования методом постановки можно использовать следующий алгоритм:

  1. Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.

  2. Найти дифференциал от обеих частей замены.

  3. Всю подынтегральную функция выразить через новую переменную.

  4. Найти полученный табличный интеграл.

  5. Сделать обратную замену.



Пример 1:

hello_html_44ac297b.gif




Пример 2:

hello_html_50781fd8.gif

Пример 3:

hello_html_65e58f6a.gif

Пример 4:

hello_html_a397450.gif

Пример 5:

hello_html_770563e3.gif

Пример 6:

hello_html_m65130570.gif

Пример 7:

hello_html_a724f37.gif


III. Интегрирование по частям.


Формула интегрирования по частям:

hello_html_36cce265.gif

Она применяется, если подынтегральную функцию удаётся представить в вид произведения двух множителей u и dV. Общего правила для определения того, какой множитель обозначить за u, нет.

Пример 8:

hello_html_2dfc01a2.gif


Пример 9:

hello_html_355cc33e.gif

Пример 10:

hello_html_m7d43e793.gif

Пример 11:

hello_html_m1c07330b.gif


Получили:

hello_html_m2d941a6c.gif


IV. Интегрирование дробно – рациональных функций.

Функция видаhello_html_m18a14c1.gif называется дробно – рациональной, где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Дробь может быть правильной (если степень Р(х) меньше степени Q(x)) и неправильной.

Могут быть четыре случая:

1) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет разные корни

hello_html_7cdd4800.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_997099.gif

Найдём коэффициенты А и В

hello_html_f7445e6.gif

Пусть: х = 3. Тогда: hello_html_m8915a60.gif

Пусть: х = 2. Тогда: hello_html_m51f58066.gif

hello_html_m6a90a63e.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_46a26976.gif

2) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет кратные (повторяющиеся корни)

hello_html_m63aeca13.gifhello_html_23c43b71.gif


hello_html_m675cf8dd.gif


Пусть: х = 3. Тогда: hello_html_m2f719a18.gif

Пусть: х =0. Тогда: hello_html_m23dd492b.gif

hello_html_23c43b71.gifhello_html_be05998.gif

3) f(x) – правильная дробь и Q(x) не имеет корней

hello_html_a2c0b40.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_m1ff1e8ff.gif

hello_html_1835399f.gifуравнение корней не имеет

hello_html_591835f.gifё

hello_html_23c43b71.gifhello_html_64f7c0d6.gif

4) f(x) – неправильная дробь

hello_html_a5a4a04.gifhello_html_23c43b71.gif

Дробь – неправильная. Выделим целую часть.

hello_html_m254fab89.gifhello_html_2bcb23c7.gifhello_html_m4e091894.gif

hello_html_316eda99.gif hello_html_m73fe4118.gif

hello_html_m1792c1cd.gif

hello_html_20a047a5.gif

hello_html_m145312ca.gif

hello_html_506a9a2b.gif

Приведем, таким образом, дробь к 1, 2 или 3 случаю.


hello_html_69e896c.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_m38e367aa.gif



  1. Определённый интеграл

Студент должен:

знать:

  • определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;

  • способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапе­ции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенно­го интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного ин­теграла;

уметь:

  • вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

  • находить площади криволинейных трапеций; находить объемы тел вращения;

  • решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интегра­ла.


Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке от а до в называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 длины наибольшего частичного интервала. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит Формула Ньютона – Лейбница.

hello_html_aa8ca5.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_2bbcbb5d.gif

Пример 1:

hello_html_3fe21826.gifhello_html_64a7b839.gif

Пример 2:

hello_html_23c43b71.gifhello_html_m46bbf813.gif

hello_html_53343b55.gif

hello_html_m6f348956.gifhello_html_23c43b71.gifhello_html_7b2dcded.gif

Пример 3:

hello_html_m5432725d.gifhello_html_23c43b71.gif

hello_html_ma46ca7c.gif


hello_html_23c43b71.gifhello_html_5b970866.gifhello_html_m4a2d0a10.gif



Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

hello_html_615d6aae.gif


1.Заштрихованная фигура является

криволинейной трапецией. Её площадь S

вычисляется по формуле:

S = hello_html_m1e119406.gif

hello_html_m7560faa.gif


Пhello_html_m5cf16018.gifример:

hello_html_734e8030.gifhello_html_3fe21826.gifhello_html_m29e80765.gifhello_html_m217cd265.gif


2hello_html_46be6bab.gifhello_html_m482d194e.gif.

S = hello_html_60d9b621.gif


Пhello_html_m20bdc732.gifhello_html_1d0aeb54.gifример:


hello_html_m4c4c0276.gifhello_html_3fe21826.gif



3hello_html_5b770186.gif.Абсциссу точки пересечения графиков «С»

найдём из уравнения f(x) = g(x).

hello_html_5aedf5d.gif

Пример:

hello_html_4bc032f9.gifhello_html_53ffc0aa.gif

Найдём из уравнения hello_html_m2379030d.gif

hello_html_657236c7.gifhello_html_6c8e2f49.gifhello_html_3fe21826.gif


4hello_html_3c1697ba.gif.а и b находим из уравнения f(x) = g(x).

hello_html_m2bf49a13.gif

Пример:

hello_html_6d46a7d.gif

hello_html_7d8a1de9.gifhello_html_16cda9cf.gif

Вопросы для самопроверки.

  1. Дайте определение неопределённого интеграла.

  2. Какие методы интегрирования известны.

  3. Запишите формулу интегрирования по частям.

  4. Дайте определение определённого интеграла.

  5. Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

  6. Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.




  1. Задания для самоконтроля

Тема: «Производная и её приложения»

I.Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке Х0.

  1. hello_html_m7ec20b88.gif

  2. hello_html_mdfa8993.gif

  3. hello_html_m4dbe2b35.gif

  4. hello_html_62b203b9.gif

  5. hello_html_684d37e5.gif

  6. hello_html_5577d63.gif

  7. hello_html_m479d7048.gif

  8. hello_html_4599262d.gif

  9. hello_html_m596f48dc.gif

  10. hello_html_24b43e4a.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  11. hello_html_773c22de.gif

  12. hello_html_6a76815f.gif

  13. hello_html_m433f13dc.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  14. hello_html_2723679.gif

  15. hello_html_55b33be9.gif

  16. hello_html_m6c3607fa.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  17. hello_html_1441877e.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  18. hello_html_7b4679a6.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  19. hello_html_m4d81a7c1.gif

  20. hello_html_4824f6ef.gif

  21. hello_html_7d5158e3.gif

  22. hello_html_3e41d05b.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  23. hello_html_2e12b8e8.gif

  24. hello_html_m207cb195.gif

  25. hello_html_m33a9ca85.gif

  26. hello_html_m74631446.gifВычислить hello_html_m765e0b99.gif

  27. hello_html_m4dbe2b35.gif

  28. hello_html_4824f6ef.gif

  29. hello_html_m596f48dc.gif

  30. hello_html_m3788ebad.gif


II. Задачи на применение производной.

  1. Резервуар ёмкостью 108 hello_html_m6503d019.gif с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?

  2. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

  3. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_7c66bb4e.gif. Найти максимальную скорость движения тела

  4. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна hello_html_f10c00b.gifhello_html_m70e35db0.gif, чтобы его объём был наибольшим?

  5. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

  6. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_b9b222.gif на отрезке [1;2].

  7. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

  8. Какой из цилиндров с объёмомhello_html_7d4a1c9.gifhello_html_3620a21f.gif имеет наименьшую полную поверхность?

  9. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

  10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_m4a815485.gif на отрезке [-2;2].

  11. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

  12. Докажите, что из всех прямоугольников с площадью 400hello_html_m70e35db0.gif, квадрат имеет наименьший периметр.

  13. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_705e5dd7.gif на отрезкеhello_html_m58545164.gif.

  14. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат, а площадь полной поверхности равна 600 hello_html_m70e35db0.gif.Найдите параллелепипед наибольшего объёма и определите его размеры.

  15. Какое число, будучи сложенным с обратным ему числом, дают наименьшую сумму?

  16. Каковы должны быть размеры цилиндрического сосуда ёмкостьюhello_html_ma695565.gifл., открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?

  17. Резервуар ёмкостью 108 hello_html_m6503d019.gif с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого минимальное количество эмали?

  18. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

  19. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна hello_html_f10c00b.gifhello_html_m70e35db0.gif, чтобы его объём был наибольшим?

  20. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

  21. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

  22. Какой из цилиндров с объёмомhello_html_7d4a1c9.gifhello_html_3620a21f.gif имеет наименьшую полную поверхность?

  23. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого равен hello_html_479f913b.gifhello_html_3620a21f.gif, а стороны основания относятся как 1:3? Какие размеры должен иметь ящик, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей?

  24. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

  25. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

  26. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_m4a815485.gif на отрезке [-2;2].

  27. Тело движется прямолинейно по закону hello_html_7c66bb4e.gif. Найти максимальную скорость движения тела

  28. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

  29. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

  30. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.






Тема: «Интегралы и их приложения»


1 Задание:

Вычислить интегралы.

2 задание:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

1.hello_html_681d93c7.gif

hello_html_ab3f54c.gifи осью ох

2.hello_html_m2a40d677.gif

hello_html_9a3fb93.gif

3. hello_html_m18a5296.gif

hello_html_7b95fcdc.gifи осью ох

4. hello_html_70d9d11a.gif

hello_html_m279c92c3.gif

5. hello_html_m70acfaae.gif

hello_html_c4685c2.gifи осью ох

6. hello_html_m24f0e4d1.gif

hello_html_m6b465c8.gif

7. hello_html_m7d194e6.gif

hello_html_m5aaba6d8.gifи осью ох

8. hello_html_64a8f5f1.gif

hello_html_7c3ffb47.gif

9. hello_html_m75fbdc35.gif

hello_html_45d3ab7d.gifи осью ох

10. hello_html_5ee3ddd8.gif

hello_html_513de0cc.gifи осью ох

11. hello_html_m5337db44.gif

hello_html_63f47f15.gif

12. hello_html_m42d724bc.gif

hello_html_36ada0c9.gif

13. hello_html_m591059d7.gif

hello_html_m37eb6d56.gifи осью ох

14. hello_html_304b896f.gifdx

hello_html_1a8c8599.gif

15. hello_html_mfdb7e64.gif

hello_html_6904063d.gifи ось ох

16. hello_html_m1de270bd.gif

hello_html_m2a32b77f.gif

17. hello_html_5dd53785.gif

hello_html_5f7bd9f7.gif

18. hello_html_m2de5d06.gif

hello_html_m7eae3b35.gif

19. hello_html_m2b97af92.gif

hello_html_20ceb943.gif

20. hello_html_58d8e871.gif

hello_html_4f6c6f1c.gif

21. hello_html_7ddfaa80.gif

hello_html_49dc94a.gif

22. hello_html_5dfd6c1.gif

hello_html_m6d6ed7a1.gif

23. hello_html_4461d26b.gif

hello_html_3126d090.gif

24. hello_html_m44509295.gif

hello_html_4cf9b5ad.gif

25. hello_html_5b24e768.gif

hello_html_m15ea641f.gif

26. hello_html_m571bb18d.gif

hello_html_m79657d90.gif

27. hello_html_m211ad37f.gif

hello_html_475c2880.gif

28. hello_html_m2a573247.gif

hello_html_m296b0757.gif

29. hello_html_4f272cb3.gif

hello_html_m554f1da0.gif

30. hello_html_m19353f4a.gif

hello_html_m62c6731d.gif



  1. Литература

  1. И.Д. Пехлецкий. Математика. Учебное пособие для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Издательский центр «Академия», Москва, 2002.

  2. Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. Москва.Дрофа. 2009.

  3. А.А.Дадаян. Математика. Москва. Форум. 2008.

  4. А.А.Дадаян. Сборник задач по математике. Москва. Форум. 2008.




Заключение

В приложениях математики к различным отраслям науки понятие производной и интеграла занимает дно из важнейших мест. Использование производных и интегралов – наиболее эффективное и распространённое средство решения многих прикладных задач естествознания и техники.

Данное учебное пособие способствует формиро­ванию ключевых компетенций студентов по вопросам изучения математики, имеют практическую направленность.

Предлагаемое издание может быть использовано сту­дентами любой формы обучения.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1680
Номер материала ДВ-114288
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх