Методическое пособие: Производная. Интеграл.

Математика.

Производная. Интеграл.

Учебное пособие

Автор-составитель:  М.В.Лапин

для студентов всех специальностей

Содержание

Введение…………………………………………………………………….    3

       I.            Производная и её приложения……………………………………… 

1.   Формулы дифференцирования…………………...

2.   Геометрический смысл производной……………

3.   Физический смысл производной………………………..

4.   Приложения производной к исследованию функции…

5.   Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке……………………………………………..

6.   Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции………

7.   Применение дифференциала для приближенных вычислений

8.   Вопросы для самопроверки………………………………

    II.            Неопределённый интеграл………………………………..

1.   Таблица основных интегралов……………………...

2.   Методы интегрирования…………………………….

 III.            Определённый интеграл…………………………………..

1.   Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла……………………………………………..

2.   Вопросы для самопроверки…………………………

IV.            Задания для самоконтроля………………………………..            

   V.            Литература…………………………………………………

6

8

10

11

11

15

16

18

19

20

21

21

27

29

31

31

36

Введение

Современное образование сопровождается бурным развитием IT-технологий, что обуславливает  рост интереса молодежи к техническим и физико-математическим дисциплинам. Понятия производной и интеграла являются фундаментальными в курсе математики.

Основной целью изучения этих тем в Рыбинском полиграфическом колледже является вооружение учащихся математическими знаниями и навыками, необходимыми для будущей профессиональной деятельности.

В результате изучения темы «Производная. Интеграл» студент должен

 знать:

-     определение производной, ее геометрический и механический смысл;

-     правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала   функции   и   его   геометрический смысл;

-     общую схему построения графиков функций с помощью производной;

-     определение первообразной,  неопределенного и определённого интеграла и их свойства; формулы интегрирования;

-     способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапе­ции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенно­го интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного ин­теграла;

уметь:

-     дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;

-     находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

-     применять производную для нахождения промежутков монотонности и экс­тремумов функции;

-     находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

-     находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

-     выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным услови­ям;

-     восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускоре­нию, количество электричества по силе тока и т.д.

-     вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

-     находить площади криволинейных трапеций; объемы тел вращения;

-     решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интегра­ла.

Программой предусмотрено проведение лекционных, практических занятий, цель которых состоит в том, чтобы закрепить у студентов теоретические знания, полученные в процессе изучения дисциплины, способствовать выработке умений решения прикладных задач.

Программа изучения дисциплины предусматривает са­мостоятельную внеаудиторную работу студентов. В процессе самостоятельной работы студент изучает программу, рекомен­дованную литературу, периодические и специальные издания.

Пояснительная записка

Учебное пособие адресовано студентам всех специальностей для самостоятельного изучения темы «Производная. Интеграл» дисциплины «Математика». Оно составлено в соответствии с ГОСТ СПО, рабочей программной дисциплины «Математика».

Предлагаемое пособие  состоит из 5 разделов:

-       Производная и её приложения  

-       Неопределённый интеграл

-       Определённый интеграл

-       Задания для самоконтроля

-       Литература

Студент должен ознакомиться с содержанием дисци­плины, каждой ее темой,  для контроля знаний сле­дует ответить на вопросы для самопроверки, приведенные после каждой темы.

Учебный материал следует изучать систематически, в той последовательности, которая дана в учебном пособии.

I.      Производная и её приложения

Студент должен:

знать:

-     определение производной, ее геометрический и механический смысл;

-     правила и формулы дифференцирования функций; определение дифференциала   функции   и   его   геометрический смысл;

определение второй производной, ее физический смысл;

-     необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции, су­ществования экстремума;

-     необходимые и достаточные условия выпуклости и вогнутости графика функции;

-     определение точки перегиба;

-     общую схему построения графиков функций с помощью производной; правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на про­межутке;

уметь:

-     дифференцировать функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, находить производные сложных функций; вычислять значение производной функции в указанной точке;

-     находить угловой коэффициент и угол наклона касательной, составлять уравнение касательной и нормали к графику функции в данной точке; находить скорость изменения функции в точке;

-     применять производную для исследования реальных физических процессов (нахождения скорости неравномерного движения, угловой скорости, силы переменного тока, линейной плотности неоднородного стержня и т.д.);

-     находить производные второго порядка, применять вторую производную для решения физических задач;

-     находить дифференциал функции, с помощью дифференциала приближенно вычислять значение и приращение функции в указанной точке.

-     применять производную для нахождения промежутков монотонности и экс­тремумов функции;

-     находить с помощью производной промежутки выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба;

-     проводить исследования и строить графики многочленов; находить наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной на проме­жутке;

-     решать несложные прикладные задачи на нахождение наибольших и наи­меньших значений реальных величин.

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M₁, где OM₁=S+∆S (∆S — приращение расстояния). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t  - выражает среднюю скорость движения точки за время ∆t:

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

 Производной функции y = f(x)  в точке х  называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х при условии, что х0, т.е.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Производная сложной функции находится на основа­нии следующей теоремы: если y=f(u) и и=φ(х) — дифференцируемые функции своих аргументов, то про­изводная сложной функции y=f(φ(x)) существует, и равна произведению производной функции у по проме­жуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной х:

y’(x)=y’(u)u’(x)

Формулы дифференцирования.

Для простых функций		Для сложных функций
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17

Правила дифференцирования:

1.

2.

3.

4.

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Пример 3:

     

Пример 4: Найти производную функции

 и вычислить её значение при t = 2.

Пусть t=2     

Геометрический смысл производной.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции y = f(x) в точке , равен значению производной функции в точке , т.е.

Уравнение этой касательной имеет вид:

Прямая,   перпендикулярная   касательной   в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид

^у—у0=

Пример 5: Составить уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой = 3.

Найдём - значение данной функции при = 3   

 - угловой коэффициент касательной в точке = 3.

Уравнение касательной будет иметь вид:

Физический смысл производной.

Если тело движется прямолинейно по закону s=s(t) , то скоростью движения тела в данный момент времени t называется предел отношения приращения пути D s к приращению времени D t , когда приращение времени стремится к 0. Вторая производная пути s по времени t равна ускорению движения тела в данный момент времени.

Производная функции y = f(x) равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х.

V(x) = f `(x)

 Пусть S(t) – функция задающая движение тела

Тогда: V(t) = S`(t), а(t) = V`(t)

Пример 6: Закон движения точки по прямой задан формулой   .

Найти скорость и ускорение движения точки  в конце первой секунды.

Решение: Т.к. V(t) = S`(t), то

Т.к. а(t) = V`(t), то

Приложения производной к исследованию функции.

Условие постоянства    функции.   Диффе­ренцируемая функция y=f(x) постоянна на промежутке X тогда и только тогда, когда f'(x) =0 внутри X.

Условие возрастания функции. Диффе­ренцируемая функция y=f(x) монотонно возрастает на промежутке X тогда и только тогда, когда ее производ­ная не отрицательна внутри этого промежутка: f'(x) ≥0, причем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно возрастающей функции образует c положительным направлением оси Ох острый угол или  параллельна ей.

Условие убывания функции. Дифференцируемая функция y=f(x) монотонно убывает на проме­жутке X тогда и только тогда, когда ее производная не положительна внутри этого промежутка: f'(x)≤0, при­чем производная f'(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри X.

Это условие геометрически означает, что касательная к графику монотонно убывающей функции образует с положительным направлением оси Ох тупой угол или параллельна ей.

Экстремумы   функции. Говорят, что функция y=f(x) имеет максимум в точке Х₁, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках,  достаточно близких к Х_1. Таким образом, Х= Х₁ — точка максимума, a y_max=f(x₁) — максимум функции.

Говорят, что функция y=f(x) имеет минимум в точ­ке Х₂, если значение функции в этой точке мень­ше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к Х₂, Таким образом, Х= Х₂ — точка минимума, a y_min=f(x₂)-минимум функции.

Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум,   то  говорят,   что в этой точке имеет место экст­ремум. Значение функции в этой точке называется экст­ремальным.

 Необходимое условие экстремума. Если функция y=f(x) имеет экстремум при х=х₀, то ее про­изводная в этой точке равна нулю или бесконечности ли­бо вовсе не существует, при этом сама функция в точке определена.

Пусть  -  критическая точка на [а;в]

f `(x)	+	0	-
f (x)		max

f `(x)	-	0	+
f (x)		min

- точка max                                                                 - точка min

- max функции                                                          - min  функции

 Задание:

Найти промежутки возрастания и убывания функции  .

Решение:

1) Вычисляем производную функции

2) Для определения знака производной на промежутке используем метод интервалов

Пусть , т.е.

Наносим корни на ось и определяем знак производной на каждом промежутке. Для этого подставляем число из промежутка в формулу производной

 

Значит: у возрастает на [-1;1]

              у убывает на (- ;1][1;+ )

Задание: Найти точки экстремума и экстремумы функции .

Решение:

1) Находим производную функции

2) Находим критические точки

 существует для любого

= 0, если

3)Определяем промежутки возрастания и убывания функции:

 

                                           -1                   1

Значит  - точка  минимума

f min = f(-1) = 3(-1)-(-1)=  - 3+1 = - 2

 - точка максимума

f max = f(1) = 3

ответ: f min = - 2 ; f max = 2.

Исследование функции с помощью производной и построение их графиков.

Задание: исследовать  функцию и построить её график.

Алгоритм исследования	Образец записи исследования и построения графика
1. Найти область определения функции f (x)(ответить на вопрос: каким может быть х?)	D(f) = R
2.Найти производную функции	f `(x) =
3.Найти критические точки функции. Для этого: а) определить, в  каких точках производная не существует; б) решить уравнение f `(x) = 0	а) f `(x) сущ. при
4. Начертить координатную прямую и отметить на ней критические точки. Определить знак производной на каждом интервале.	-1                          1
5. На координатной прямой найти промежутки возрастания и убывания функции f `(x)	-1                            1
6. Найти точки экстремума функции	- точка  минимума  - точка максимума
7.Найти экстремумы функции	f(-1) = 3(-1)-(-1)=  - 2= f min f(1) = 3= f max
8.Найти точки пересечения с осями: с ох: у = 0 с оу: х =0	С ох: или  А(0;0) В(;0) и С(-;0) С оу: А(0;0)
9. Строим график	2                                                                                           -1     1                                -2

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задание: найдите наибольшее и наименьшее

значение функции  на

Алгоритм решения	Образец записи решения
1. Найти производную функции:
2. Найти критические точки функции	сущ. при =0=0 ,,
3.Выбрать крит. точки внутри данного отрезка	Х = 1
4.Найти значение функции в крит. точках, принадлежащим данному отрезку и на концах отрезка.
5. Из значений, найденных в п.4 выбрать наибольшее и наименьшее.	У наимен. = - 4 при х = 1 У наибол. = 5 при х = 2

Решение задач геометрического содержания на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Задача:

Найти наибольший обьём правильной треугольной пирамиды, у которой длина апофемы равна дм.

Алгоритм решения	Образец записи решения
1. Построить рабочий чертёж. Обозначить за х любую неизвестную величину.
2. Записать общую формулу объема пирамиды.
3.Найти выражения длин отрезков, входящих в формулу(*) : а) обозначить длину любого отрезка за х; б) рассматривая «подходящий» треугольник, выразить через х длины отрезков из (*)	а) Пусть = х б) Из: Из:; :
4.Подставить найденные выражения в формулу(*)
5.Упростить полученное выражение и записать его как функцию от х
6. Найти (по смыслу задачи область) определения функции.	х – длина отрезка Из: D(V) = (0; )
7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке.	сущ. при                   0               2              2 Значит: наибол. =(2) = =12 Ответ: наибол. = 16

Дифференциал функции y = f(x) в точке х – это dy = f `(x)х, если f(x) = х, то

dх = 1х.

Тогда: dy = f `(x)
Пример 1:

Решение:

Пример 2: Вычислить значения дифференциала функции при

Решение: Вычислим дифференциал

Применение дифференциала для приближенных вычислений.

Пример 2: Вычислить  приближенное значение приращения функции

При изменении аргумента от х = 1 до х = 1,001

Решение: Находим дифференциал аргумента:

Пример 3: Найти приближенное значение

Тогда

Пример 4: Найти приближенное значение ln 0,97

Пример 5: Найти приближенное значение

Вопросы для самопроверки:

1.     Что называется производной функции в точке?

2.     Какая функция называется дифференцируемой?

3.     Какие правила для вычисления производной Вы знаете?

4.     Какую функцию называют сложной?

5.     Чему равна производная сложной функции?

6.     Формулы дифференцирования.

7.     Что называется дифференциалом функции?

8.     Механический и геометрический смысл производной.

9.     Какая точка называется критической?

10. Что такое экстремумы функции?

11. Признаки возрастания и убывания функции.

12. План исследования функции.

13. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции?

II.  Неопределённый интеграл.

Студент должен:

знать:

-     определение первообразной;

-     определение неопределенного интеграла и его свойства; формулы интегрирования;

-     способы вычисления неопределенного интеграла;

уметь:

-     находить неопределенные интегралы, сводящиеся к табличным с помощью основных свойств и простейших преобразований;

-     выделять первообразную, удовлетворяющую заданным начальным услови­ям;

-     восстанавливать закон движения по заданной скорости, скорость по ускоре­нию, количество электричества по силе тока и т.д.

Нахождение производной имеет большое практическое значение. Однако, часто приходится решать обратную задачу: по известной производной отыскивать функцию, от которой найдена эта производная, т.е. выполнять действия, обратные дифференцированию. Это действие называется интегрированием.

Определение: Дифференцируемая функция F(х) называется первообразной для функции f(x) на (а; в), если F `(x) = f(x) для

Теорема: Если F(х) является первообразной для f(x), то F(х)+С – тоже является первообразной для f(x), где С – любая постоянная.

Определение: Совокупность F(х)+С всех первообразных функций f(x) на (а; в) называют неопределённым интегралом. Обозначают

Свойства неопределённого интеграла:

1) Неопределённый интеграл суммы двух функций равен сумме неопределённых интегралов слагаемых, т.е.

2) Интеграл разности двух функций равен разности неопределённых интегралов, компонентов т.е.

3)Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4) Если , то

Таблица основных интегралов

1.	8.
2.	9.
3.	10.
4.	11.
5.	12.
6.	13.
7.	14.

Методы интегрирования.

I.Непосредственное интегрирование( с помощью таблицы интегралов).

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

II.Интегрирование методом подстановки

Если интеграл не привести к табличному  с помощью элементарных преобразований, то пользуются методом подстановки.

Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной удаётся свести данный интеграл к новому, который берётся непосредственно.

Для интегрирования методом постановки можно использовать следующий алгоритм:

1. Часть подынтегральной функции надо заменить новой переменной.

2. Найти дифференциал от обеих частей замены.

3. Всю подынтегральную функция выразить через новую переменную.

4. Найти полученный табличный интеграл.

5. Сделать обратную замену.

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 7:

III. Интегрирование по частям.

Формула интегрирования по частям:

Она применяется, если подынтегральную функцию удаётся представить  в вид произведения двух множителей u и dV. Общего правила для определения того, какой множитель обозначить за u, нет.

Пример 8:

Пример 9:

Пример 10:

Пример 11:

Получили:

 

IV. Интегрирование дробно – рациональных функций.

Функция вида называется дробно – рациональной, где Р(х) и Q(x) – многочлены.

Дробь может быть правильной (если степень Р(х) меньше степени Q(x)) и неправильной.

Могут быть четыре случая:

1) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет разные корни

Найдём коэффициенты А и В

Пусть: х = 3.   Тогда:

Пусть: х = 2.   Тогда:

        

2) f(x) – правильная дробь и Q(x) имеет кратные (повторяющиеся корни)

Пусть: х = 3.   Тогда:

Пусть: х =0.   Тогда:

        

3) f(x) – правильная дробь и Q(x)  не имеет корней

         

уравнение корней не имеет

ё

        

4) f(x) – неправильная дробь

         

Дробь – неправильная. Выделим целую часть.

              

         

            

                

                             

 

Приведем, таким образом, дробь к 1, 2 или 3 случаю.

          

III.           Определённый интеграл

Студент должен:

знать:

-       определение определенного интеграла, его геометрический смысл и свойства;

-       способы вычисления определенного интеграла; понятие криволинейной трапе­ции, способы вычисления площадей криволинейных трапеций с помощью определенно­го интеграла; способы вычисления объемов тел вращения с помощью определенного ин­теграла;

уметь:

-       вычислять определенный интеграл с помощью основных свойств и формулы Ньютона-Лейбница;

-       находить площади криволинейных трапеций; находить объемы тел вращения;

-       решать простейшие прикладные задачи, сводящиеся к нахождению интегра­ла.

Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке от а до в называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к 0 длины наибольшего частичного интервала. Для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл, служит Формула Ньютона – Лейбница.                           

Пример 1: 

     

Пример 2:

                             

 

Пример 3:

             

             

Вычисление площади фигуры с помощью определённого интеграла.

 

1.Заштрихованная фигура является

криволинейной трапецией. Её площадь S

вычисляется по формуле:

 S =

 

Пример:

                                                      

2.

S =

Пример:

3.Абсциссу точки пересечения графиков  «С»

найдём из уравнения f(x) = g(x).

Пример:

Найдём из уравнения

4.а и b находим из уравнения f(x) = g(x).

Пример:

Вопросы для самопроверки.

1.     Дайте определение неопределённого интеграла.

2.     Какие методы интегрирования известны.

3.     Запишите формулу интегрирования по частям.

4.     Дайте определение определённого интеграла.

5.     Запишите формулу Ньютона – Лейбница.

6.     Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

IV.            Задания для самоконтроля

Тема: «Производная и её приложения»  

I.Найти производную функции y = f(x) и вычислить её значение в точке Х₀.

1.    

2.    

3.    

4.    

5.    

6.    

7.    

8.    

9.    

10.         Вычислить

11.

12.

13.         Вычислить

14.

15.

16.                 Вычислить

17.            Вычислить

18.            Вычислить

19.

20.

21.

22.          Вычислить

23.

24.

25.

26.            Вычислить

27.

28.

29.

30.

II. Задачи на применение производной.

1.     Резервуар ёмкостью 108  с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого  минимальное количество эмали?

2.     Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

3.     Тело движется прямолинейно по закону . Найти максимальную скорость движения тела

4.     Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна , чтобы его объём был наибольшим?

5.     Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

6.     Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [1;2].

7.     Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

8.     Какой из цилиндров с объёмом имеет  наименьшую полную поверхность?

9.     Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

10. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [-2;2].

11. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

12. Докажите, что из всех прямоугольников с площадью 400, квадрат имеет наименьший периметр.

13. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке.

14. Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат, а площадь полной поверхности равна 600 .Найдите параллелепипед наибольшего объёма и определите его размеры.

15. Какое число, будучи сложенным с обратным ему числом, дают наименьшую сумму?

16. Каковы должны быть размеры цилиндрического сосуда ёмкостьюл., открытого сверху, чтобы на его изготовление потребовалось наименьшее количество материала?

17.  Резервуар ёмкостью 108  с квадратным основанием, открытый сверху, нужно покрыть эмалью. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы израсходовать для этого  минимальное количество эмали?

18. Число 25 запишите в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

19. Какие размеры должен иметь цилиндр, площадь полной поверхности которого равна , чтобы его объём был наибольшим?

20. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

21. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

22. Какой из цилиндров с объёмом имеет  наименьшую полную поверхность?

23. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого равен , а стороны основания относятся как 1:3? Какие размеры должен иметь ящик, чтобы площадь его полной поверхности была наименьшей?

24. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

25. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 8 см. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

26. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции  на отрезке [-2;2].

27. Тело движется прямолинейно по закону . Найти максимальную скорость движения тела

28. Докажите, что из всех прямоугольников, имеющих периметр 32 см, наибольшую площадь имеет квадрат.

29. Около стены нужно сделать забор, чтобы огородить прямоугольный участок земли наибольшей площади. Общая длина забора 60 м. Найти длину части забора, параллельной стене.

30. Число 50 представьте в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы произведение этих чисел было наибольшим.

Тема: «Интегралы и их приложения»

1 Задание: Вычислить интегралы.	2 задание: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
1.	и осью ох
2.
3.	и осью ох
4.
5.	и осью ох
6.
7.	и осью ох
8.
9.	и осью ох
10.	и осью ох
11.
12.
13.	и осью ох
14. dx
15.	и ось ох
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.

V.   Литература

1.        И.Д. Пехлецкий. Математика. Учебное пособие для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования. Издательский центр «Академия», Москва, 2002.

2.        Н.В. Богомолов. Сборник задач по математике. Москва.Дрофа. 2009.

3.        А.А.Дадаян. Математика. Москва. Форум. 2008.

4.        А.А.Дадаян. Сборник задач по математике. Москва. Форум. 2008.

Заключение

В приложениях математики к различным отраслям науки понятие производной и интеграла занимает дно из важнейших мест. Использование производных и интегралов – наиболее эффективное и распространённое средство решения многих прикладных задач естествознания и техники.

Данное учебное пособие способствует формиро­ванию ключевых компетенций студентов по вопросам изучения математики, имеют практическую направленность.

Предлагаемое издание может быть использовано сту­дентами любой формы обучения.