Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие: "Систематизация решений тригонометрических уравнений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие: "Систематизация решений тригонометрических уравнений"

библиотека
материалов

Систематизация типов тригонометрических уравнений 12

Уравнения, которые сводятся к простейшим решением квадратных уравнений относительно тригонометрических функций.

Решить уравнение; cos 2x + sin x = 0.

Решение.

cos 2x + sin x = 0. ( применим формулу косинуса двойного угла)

cos2 x – sin2 x + sin x = 0;

1 – sin2x – sin2x + sin x =0;

2sin2x – sin x – 1 = 0;

Пусть sin x = t , тогда

2t2 – t – 1 = 0;

t1 = 1; t2 = –hello_html_m33c297cf.gif.

Имеем: 1) sin x = 1 ; 2) sin x = hello_html_m33c297cf.gif;

х = hello_html_m480a0eaa.gif + 2pn , nÎ Z ; х = (-1)k arcsin hello_html_134db903.gif + pk , kÎ Z ;

х = (-1)k hello_html_me15f47e.gif + pk , kÎ Z ;

Ответ : hello_html_m480a0eaa.gif + 2pn , nÎ Z ; (-1)k hello_html_me15f47e.gif + pk , kÎ Z .

Однородным уравнением первой степени называется уравнение вида

a sin + b cosx = 0

Делим обе части уравнения на cosx 0, тогда получим линейное уравнение

относительно tg x.

a tg x + b = 0

tg x= – hello_html_m68c25922.gif

x = arctg (–hello_html_m68c25922.gif) + n , n Z

***************************************************

Уравнение вида a sin2x+ b sinx cos x + c cos2x = 0 называется однородным уравнением второй степени относительно тригонометрических функций .

При сведении к синусу или косинусу не будет квадратным ни относительно синуса ни относительно косинуса. Чтобы решить его, надо почленно разделить на cos2x 0 обе части уравнения, получим квадратное уравнение относительно тангенса.

Решить уравнение: sin2x+ 3 sinx× cos x – 2 = hello_html_m53d4ecad.gif0 .

( данное уравнение не однородно относительно синуса и косинуса , так как присутствует свободный член , имеющий нулевую степень , в то время , как другие два члена имеют вторую степень . Сведём это уравнение к однородному .)

Решение .

sin2x+ 3 sinx× cos x – 2 = hello_html_m53d4ecad.gif0;

sin2 x + 3 sin x cos x – 2 sin2 x – 2 cos2 x = 0 ;

sin2 x – 3 sin x cos x + 2 cos2 x = 0;

Делим на cos2 x 0. Имеем :

tg2x – 3 tg x + 2 = 0 ;

пусть tg x = t , тогда t2 – 3t + 2 = 0;

t1 = 1 ; t2 = 2.

1) tg x = 1 или 2) tg x = 2;

x = arctg 1 + pn , nÎZ; x = arctg 2 + pk , kÎZ;

x = hello_html_m4066825d.gif + pn , nÎ Z ;

Ответ : hello_html_m4066825d.gif+ pn , arctg 2 + pk , k , nÎ Z .

************************************************

Уравнения, решаемые приведением к одной тригонометрической функции одинакового аргумента.

Например: Решите уравнение : tg x + 3 ctg x = 4.


Решение.

tg x + 3 ctg x = 4 , учитывая , что ctg x = hello_html_m40ed9015.gif и сделав соответствующую замену, получим tg x + 3 hello_html_m40ed9015.gif = 4 ( получили уравнение, приведённое к одной тригонометрической функции )

Пусть tg x = t , тогда t2 + hello_html_6aefe97e.gif - 4 = 0, t2 – 4t + 3 = 0, t = 3 и t = 1.

Имеем: 1) tg x = 3 , x = arctg 3 + πn , n Z.

2) tg x = 1, x = hello_html_21ea9105.gif + πk , k Z.

Ответ: x = arctg 3 + πn , n Z ; x = hello_html_21ea9105.gif + πk , k Z.

***********************************************************************

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся тип уравнений – уравнения, решаемые разложением на множители. Причём при этом способе обязательно используется условие равенства произведения нулю .

Пример 1 : Решить уравнение 1 + cos 2x = 2 cos x.

Решение.

1 + cos 2x = 2 cos x , используя формулу тригонометрической единицы и косинуса двойного угла получим :

cos2 x + sin2 x + cos2 x – sin2 x – 2 cos x = 0 ,

можно было использовать формулу 2 cos2 x = 1 + cos 2x

2 cos2 x – 2 cos x = 0 ; Вынесем общий множитель .

2 cos x ( cos x – 1 ) = 0; Из условия равенства произведения нулю следует :

cos x = 0 и cos x = 1;

x = 2πn , n Z ; x = hello_html_44fa96bb.gif + πk , k Z ;

Ответ: 2πn , n Z ; hello_html_44fa96bb.gif + πk , k Z ;

*****************


Решить уравнение: sin 2xsin x = 0.

Решение.

sin 2xsin x = 0 , 2 sin x · cos xsin x = 0 , (Вынесем общий множитель .)


sin x ( 2 cos x – 1 ) = 0; (Из условия равенства произведения нулю следует :)


sin x = 0 или 2 cos x – 1 = 0;

x = πn , n Z cos x = hello_html_134db903.gif ,

х = ± hello_html_5fefdfd0.gif + pk , kÎ Z.

.

Ответ : πn , n Z ; ± hello_html_5fefdfd0.gif + pk , kÎ Z .

Таким образом , при решении уравнения методом разложения на множители необходимо все компоненты перенести в левую часть и найти такие тождественные тригонометрические преобразования , которые позволили бы найти общие множители .

*************************

Дробно – рациональные уравнения.


При решении уравнений данного типа используется условие равенства дроби нулю.

Дробь равна нулю , когда числитель равен нулю , а знаменатель отличен от нуля.


Например : hello_html_m190788ef.gif из условия равенства дроби нулю данное неравенство равносильно системе:

hello_html_m436ad99c.gif; hello_html_6813bb27.gif ; hello_html_92e7822.gif

hello_html_m64862fd7.png




Отметим на единичной окружности точки числителя , исключим точки знаменателя и получим :

x = + 2n , n Î Z .


Ответ: + 2n , n Î Z .



Обращаю ваше внимание , что мы рассматривали уравнение, в котором левая часть - дробь , а правая часть - нуль. Если уравнение дробно – рациональное , но в правой части выражение, отличное от нуля , то необходимо провести такое тождественное преобразование, чтобы в правой части был нуль.

*****************************

Уравнения, содержащие произведение тригонометрических функций.

Рассмотрим решение уравнения sin 5x · sin 3x + sin 10x · sin 2x = 0

Применяя формулу преобразования произведения синусов в сумму получим :

hello_html_m1dcc8527.gif( cos ( 5x – 3x ) – cos ( 5x + 3x ) ) + hello_html_m1dcc8527.gif( cos ( 10x – 2x ) – cos ( 10x + 2x )) =

hello_html_m1dcc8527.gif( cos 2x – cos 8x ) + hello_html_m1dcc8527.gif( cos 8x – cos 12x ) = 0 | · 2


cos 2x – cos 8x + cos 8x – cos 12x = 0,

cos 2x – cos 12x = 0,

- 2sinhello_html_m30ebaf5b.gif· sin hello_html_5647773d.gif = 0,

- 2 sin 7x · sin (-5x) = 0,

2 sin 7x · sin 5x = 0,

получили уже знакомое вам произведение равное нулю.

Отсюда имеем два уравнения:

sin 5x = 0 , 5x = πn , x = hello_html_1fcf381a.gifπn , nÎ Z ;

sin 7x = 0 , 7x = pk , x = hello_html_m39d89ccf.gifpk, kÎ Z.

Ответ : hello_html_1fcf381a.gifπn , nÎ Z ; hello_html_m39d89ccf.gifpk, kÎ Z.

для чего мы производили преобразование произведений в сумму?

для того , чтобы проверить не упростится ли левая часть . Упростилась .

Но затем упрощённую сумму преобразовываем в произведение . Зачем?

чтобы получить произведение равное нулю.

********************************************************************

Уравнения, содержащие сумму тригонометрических функций.

Рассмотрим решение уравнения sin xsin 2x + sin 5x + sin 8x = 0

Имеем сумму тригонометрических функций разных аргументов . Задача – преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было разложить на множители и использовать условие равенства произведения нулю.

Произведём перестановку и группировку одночленов, используя формулы преобразования суммы и разности синусов в произведение получим:

(sin x + sin 5x ) + ( sin 8x – sin 2x ) = 0,

2 hello_html_5328b37d.gif· hello_html_45dc63b2.gif + 2 hello_html_797feb2b.gif = 0,

2 sin 3x·cos ( - 2x) + 2 sin 3x · cos 5x = 0,

2 sin 3x· (cos 2x + cos 5x) = 0,

4 sin 3x· hello_html_mcc3b1b8.gif = 0,

4 sin 3x · cos hello_html_68c0b704.gif · cos hello_html_m313ee73d.gif = 0, используя условие равенства произведения нулю получим:

sin 3x = 0 , cos hello_html_68c0b704.gif = 0 , cos hello_html_m313ee73d.gif = 0,

x1 = hello_html_md849b2f.gif , x2 = hello_html_m151de7fd.gif , x3 = hello_html_m6365fd9a.gifn , k , l Z.

первый и третий ответы объединяются в один ответ.

Ответ : hello_html_md849b2f.gif , hello_html_m151de7fd.gif n , k Z .

********************************************************

Уравнения , решаемые понижением степени .

Решить уравнения: cos2 x + cos2 2xcos2 3xcos2 4x = 0.

Имеем сумму квадратов тригонометрических функций разных аргументов .

Задача – преобразовать левую часть уравнения так, чтобы можно было разложить на множители и использовать условие равенства произведения нулю. Для решения таких примеров используются формулы понижения степени .


cos2 x = hello_html_m76db4c30.gif , sin2 x = hello_html_m777aba85.gif

Решение .

cos2 x + cos2 2x – cos2 3x – cos2 4x = 0.

hello_html_m76db4c30.gif+ hello_html_1a3c60a0.gif - hello_html_m14382bd1.gif - hello_html_m24c48976.gif = 0 | · 2

1 + cos 2x + 1 + cos 4x – 1 – cos 6x – 1 – cos 8x = 0,


cos 2x + cos 4x – cos 6x – cos 8x = 0,

получили уравнение , содержащее сумму тригонометрических функций .

(cos 2x + cos 4x ) – ( cos 6x + cos 8x ) = 0, после применения формулы преобразования суммы косинусов в произведение получим:

2 cos x ( cos 3x – cos 7x ) = 0,

4 cos x · sin 5x · sin 2x = 0 , ( произведение, равное нулю )


cos x = 0, sin 5x = 0, sin 2x = 0.


x1 = hello_html_24d15dd2.gifπ n , x2 = hello_html_m26def4a5.gif , x3 = hello_html_m26dc6a24.gif n , k , l Z

Третий ответ «поглощает» точки первого ответа.

Ответ : hello_html_m26def4a5.gif , hello_html_m26dc6a24.gif , k , l Z

*******************************************************

Рассмотрим решение уравнений типа sin2n x + cos2n x = f(x)

покажем методы решения на примерах:

sin6 x + cos6 x = hello_html_m2747dee3.gif; sin4 x + cos4 x – sin x · cos x = 0 ; sin4 x + cos4 x = cos 4

Конечно, можно такие уравнения решать как уравнения с чётными степенями синуса и косинуса, однако после тяжелых преобразований мы получим алгебраическое уравнение высокой степени.

Разумно в этом случае использовать специальные тождества чётных степеней. Но, запоминать их нет необходимости. Лучше понять используемые приемы преобразования и каждый раз использовать:

Выделение полного квадрата

Тождества сокращенного умножения

Тождества двойного аргумента .

Выведем формулы тождеств чётных степеней


sin4 x + cos4 x = (sin4 x + 2sin2 x · cos2 x + cos4 x )2 sin2 x · cos2 x =

(sin2 x + cos2 x )2hello_html_7454f1d6.gif· 4 sin2 x · cos2 x = 1 - hello_html_7454f1d6.gif sin2 2x

Таким образом получили тождество : sin4 x + cos4 x = 1 - hello_html_7454f1d6.gif sin2 2x

sin6 x + cos6 x = (sin2 x)3 + (cos2 x)3 =

(sin2 x + cos2 x) (sin4 x – sin2 x · cos2 x + cos4 x ) =

sin4 x – sin2 x · cos2 x + cos4 x =

(sin4 x + 2sin2 x · cos2 x + cos4 x) – sin2 x · cos2 x – 2sin2 x · cos2 x =

(sin2 x + cos2 x )2 – 3sin2 x · cos2 x = 1 - hello_html_45c918fa.gif sin2 2x

Таким образом получили тождество : sin6 x + cos6 x = 1 - hello_html_45c918fa.gif sin2 2x

Аналогично выводятся тождества:

sin6 xcos6 x = –hello_html_m6b728d0f.gifcos 2x ( 3 + cos2 2x )

sin8 x – cos8 x = –hello_html_7454f1d6.gif cos 2x ( 1 + cos2 2x )


Решить уравнение: sin6 x + cos6 x = hello_html_m2747dee3.gif .

Решение.

sin6 x + cos6 x = hello_html_m2747dee3.gif ; ( раскладываем на множители, используя формулу суммы кубов )

(sin2 x + cos2 x) (sin4 x – sin2 x · cos2 x + cos4 x ) = hello_html_m2747dee3.gif ;

(используем формулу «тригонометрической единицы»)

sin4 xsin2 x · cos2 x + cos4 x = hello_html_m2747dee3.gif ; ( дополняем до полного квадрата)

(sin4 x + 2sin2 x · cos2 x + cos4 x)3sin2 x · cos2 x = hello_html_m2747dee3.gif;

(sin2 x + cos2 x )2 – 3sin2 x · cos2 x = hello_html_m2747dee3.gif;

(используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла )


1 - hello_html_45c918fa.gif sin2 2x = hello_html_m2747dee3.gif;

(упрощаем и сводим к решению простейших тригонометрических уравнений )

hello_html_45c918fa.gifsin2 2x = hello_html_45c918fa.gif ;

sin2 2x = 1; ( Решаем квадратное уравнение )

sin 2x = 1 или sin 2x = –1;

х = hello_html_m4066825d.gif + pn ; х = – hello_html_m4066825d.gif + pk , n, k Î Z .

Ответ : hello_html_m4066825d.gif + pk , k Î Z .

****************

Решить уравнение: sin4 x + cos4 xsin x · cos x = 0.

Решение.

sin4 x + cos4 x – sin x · cos x = 0;

( дополняем до полного квадрата и используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла, упрощаем и сводим к решению простейших тригонометрических уравнений )

(sin4 x + 2sin2 x · cos2 x + cos4 x) – 2sin2 x · cos2 x – sin x · cos x = 0;

(sin2 x + cos2 x )2 – 2sin2 x · cos2 x – sin x · cos x = 0 ;

1 - hello_html_7454f1d6.gif sin2 2x – hello_html_7454f1d6.gif sin 2x = 0 |· (-2)

sin2 2x + sin 2x – 2 = 0 ;

Пусть sin 2x = t

t2 + t – 2 = 0;

t1 = 1 , t2 = - 2 ;

sin 2x = 1 ; sin 2x = - 2 ;

х = hello_html_m4066825d.gif + pk , k Î Z . нет решения

Ответ: hello_html_m4066825d.gif + pk , k Î Z .

*************

Решить уравнение : sin4 x + cos4 x = cos 4x.

Решение.

sin4 x + cos4 x = cos 4x;

( дополняем до полного квадрата и используем формулы «тригонометрической единицы» и синуса двойного угла, упрощаем и сводим к решению простейшего тригонометрического уравнения )

(sin4 x + 2sin2 x · cos2 x + cos4 x )2 sin2 x · cos2 x = cos 4x;

(sin2 x + cos2 x )2hello_html_7454f1d6.gif· 4 sin2 x · cos2 x = cos 4x ;

1 - hello_html_7454f1d6.gif sin2 2x = 1 – 2 sin2 2x;

3 sin2 2x = 0;

sin 2x = 0;

x = hello_html_m220fb965.gif, n Î Z .

Ответ: hello_html_m220fb965.gif, n Î Z.

*****************************************************************************

уравнения с кратными аргументами х, 2х , 4х…

уравнения этой группы могут содержать разные функции разных , но кратных аргументов


Решить уравнение: cos 4x + 2cos2 x = 1.

В этом примере два аргумена х и 4х .

Если использовать тождество двойного аргумента и приводить к аргумету х , то получим уравнение четвёртой степени.

Если же использовать тождества понижения степени и приводить к аргументу 4х , то получим уравнение , содержащее корень.

Поэтому в данном уравнении целесообразно приводить к среднему аргументу 2х.

Решение.

cos 4x + 2cos2 x = 1;

( используя тождество косинуса двойного аргумента и тождество понижения степени )

(2cos22x – 1) + (1 + cos 2x) = 1;

2cos22x + cos 2x – 1 = 0 ;

Пусть cos 2x = t;

2t2 + t – 1 = 0;

t1 = hello_html_7454f1d6.gif , t2 = - 1;

cos 2x = hello_html_7454f1d6.gifили cos 2x = - 1 ;

2x = hello_html_5fefdfd0.gif + 2n , n Z ; 2х = + 2k , k Z;

х = hello_html_me15f47e.gif + n , n Z; x = hello_html_m480a0eaa.gif+ k , k Z.

Ответ: hello_html_me15f47e.gif + n ; hello_html_m480a0eaa.gif+ k , n, k Z.

********************

Решить уравнение: 4sin2 2x – 2 cos2 2x = cos 8x.


Решение.


4sin2 2x – 2 cos2 2x = cos 8x;

( используя тождество косинуса двойного аргумента и тождество понижения степени приводим аргументы к среднему значению – 4х )

2( 1 – cos 4x ) – ( 1 + cos 4x ) = 2cos2 4x – 1;

2 2 cos 4x – 1 – cos 4x ) – 2cos2 4x + 1 = 0;

2cos2 4x + 3cos 4x – 2 = 0;

Пусть cos 4x = t,

2t2 + 3t – 2 = 0;

t1 = hello_html_7454f1d6.gif , t2 = - 2;

cos 4x = hello_html_7454f1d6.gifили cos 4x = - 2 ;

4x = hello_html_5fefdfd0.gif + 2n , n Z ; нет решения

x = hello_html_m5840b64e.gif + hello_html_m220fb965.gif , n Z .

Ответ : hello_html_m5840b64e.gif + hello_html_m220fb965.gif , n Z.

*******************************************************************

Решение линейного тригонометрического уравнения введением вспомогательного угла.

a) Уравнения вида a sin x + b cos x = с , где а, b, c – действиетельные числа называется линейным . Рассмотрим вывод алгоритма его решения .

hello_html_m6db12829.gif(hello_html_m3bb5019c.gifsin х + hello_html_4c974cc.gifcos x ) = c ;

так как hello_html_44228837.gif , то


hello_html_m3bb5019c.gif= cos и hello_html_4c974cc.gif = sin , тогда tg φ = hello_html_277bf50b.gif

где = arctg hello_html_320bf66f.gif ;

hello_html_m6db12829.gif (cos sin x + sin cos x) = с ;


hello_html_m6db12829.gifsin ( x + ) = c ;

sin ( x + ) = hello_html_m4e584b87.gif; Обратите внимание , если hello_html_m6db12829.gif < c , то уравнение решения не имеет, так как | sin x | 1

х + = (-1)k arcsin hello_html_m4e584b87.gif + pk, k Î Z ;

х = (-1)k arcsin hello_html_m4e584b87.gif + pk, k Î Z ;

х = (-1)k arcsin hello_html_m4e584b87.gif arctg hello_html_320bf66f.gif + pk, k Î Z .

а) Решить уравнение sin x + cos x = 1.

Решение

sin x + cos x = 1;

а = 1; b = 1; с = 1 ; hello_html_m6db12829.gif= hello_html_m5eff4580.gif

hello_html_m5eff4580.gif sin(x + ) = 1;

sin(x + ) = hello_html_547c50e4.gif;

x + = (-1)k hello_html_m4557531a.gif+ pk, k Î Z ;

т.к. = arctg hello_html_320bf66f.gif = arctg 1 = hello_html_m4557531a.gif , то

x = (-1)k hello_html_m4557531a.gif - hello_html_m4557531a.gif + pk, k Î Z ;

x1 = hello_html_m204754a8.gif + 2π n , n Î Z ; x2 = 2π m , m Î Z.

Ответ: hello_html_m204754a8.gif + 2π n , 2π m ; n Î Z , m Î Z.

*****************************

б) Решить уравнение 3sin x + 4cos x = 5.

Решение.

3sin x + 4cos x = 5;

а = 3; b = 4; с = 5 ;

5sin(x + ) = 5 ;

sin(x + ) = 1;

x + = hello_html_34a7b9c8.gif+ 2pn, n Î Z ;

т.к. = arctg hello_html_320bf66f.gif = arctg hello_html_m25f56a79.gif , то

x = hello_html_34a7b9c8.gifarctg hello_html_m25f56a79.gif + 2pn, n Î Z ;

Ответ: hello_html_34a7b9c8.gifarctg hello_html_m25f56a79.gif + 2pn, n Î Z .

в) решим это же уравнение другим способом .

3sin x + 4cos x = 5

3 2 sin hello_html_m3cf02f4d.gifcos hello_html_m3cf02f4d.gif + 4 (cos2hello_html_m3cf02f4d.gif – sin2hello_html_m3cf02f4d.gif )- 5(sin2hello_html_m3cf02f4d.gif + cos2hello_html_m3cf02f4d.gif ) = 0 ;

9 sin2hello_html_m3cf02f4d.gif – 6 sin hello_html_m3cf02f4d.gifcos hello_html_m3cf02f4d.gif + cos2hello_html_m3cf02f4d.gif = 0 ; ( получили однородное уравнение второй степени )

Делим обе части уравнения на cos2hello_html_m3cf02f4d.gif ¹ О

9 tg2hello_html_m3cf02f4d.gif - 6tg hello_html_m3cf02f4d.gif + 1 = О ;

(3 tg hello_html_m3cf02f4d.gif – 1)2 = 0 ;

tg hello_html_m3cf02f4d.gif = hello_html_m137b52a5.gif;

hello_html_m3cf02f4d.gif= arctg hello_html_m137b52a5.gif + pn, n Î Z ;

x = 2 arctg hello_html_m137b52a5.gif + 2pn, n Î Z ;

Ответ: 2 arctg hello_html_m137b52a5.gif + 2pn, n Î Z .


*****************************************************************

Разные функции одинаковых аргументов.

При решении примеров этой группы необходимо провести такие тождественные преобразования, чтобы получилось уравнение, содержащее одинаковые функции одинаковых аргументов. Упрощённое уравнение обычно решается как квадратное или разложением на множители для получения простейшего тригонометрического уравнения .


Решить уравнение: 4tg2 3xcos -23x = 2.

Решение.

4tg2 3xhello_html_5fd8d83c.gif = 2; ( применим тригонометрическое тождество и получим уравнение, содержащее одинаковые функции одинаковых аргументов)

4tg2 3x – ( 1 + tg23x) = 2;

3tg2 3x = 3;

tg2 3x = 1 ; ( решаем квадратное уравнении )

tg 3x = 1 или tg 3x = -1;

3x =hello_html_18e9e034.gif+ n, n Z , 3x = – hello_html_18e9e034.gif+ k, k Z,

x = hello_html_4b564b01.gif + hello_html_m46c5d395.gif, n Z , x = – hello_html_4b564b01.gif + hello_html_mbc97a29.gif, k Z.

Ответ: hello_html_4b564b01.gif + hello_html_m46c5d395.gif, n Z .

****************

Решить уравнение hello_html_5327dd8b.gif.

Решение.

hello_html_5327dd8b.gif cos4 x ; ОДЗ

sin4 x – 1 = cos4 x ; cos x 0;

sin4 x – cos4 x = 1; x hello_html_7df9e78a.gif + n , n Z;

(sin2 x – cos2 x )( sin2 x + cos2 x ) = 1;

cos 2x = 1;

cos 2x = – 1,

2x = + n , n Z ;

x = hello_html_7df9e78a.gif + n , n Z, но x hello_html_7df9e78a.gif + n , n Z , следовательно решения нет.

Ответ: решения нет.


******************************************************************

Рассмотрим решение уравнений , содержащих комбинации

sin x cos x и cos x · sin x

Решить уравнение sin x + sin xcos x + cos x = 1

Если это уравнение решать понижением аргумента, то получим уравнение четвёртой степени. Поэтому для его решения используется особый метод с введением новой переменной . Сумму ( разность) принимают , например, за t (sin x + cos x = t ) Возводят левую и правую части полученного тождества в квадрат и , используя тождество тригонометрической единицы, выражают sin xcos x через переменную t . Затем делают две подстановки в исходное уравнение

Решение .

sin x + sin x ∙ cos x + cos x = 1

Пусть sin x + cos x = t , (возведём левую и правую части в квадрат)

(sin x + cos x)2 = t2 ;

sin2 x + 2sin x ∙ cos x + cos2 x = t2 ; ( выразим sin x ∙ cos x )

2sin xcos x + 1 = t2 ;

sin xcos x = hello_html_m328b172f.gif ; ( Подставляем в первое уравнение )

hello_html_m328b172f.gif+ t = 1,

t2 – 1 + 2t = 2;

t2 + 2t– 3 = 0; ( решаем квадратное уравнение )

t1 = 1 t2 = – 3; ( делаем обратную подстановку )

( получили два линейных тригонометрических уравнения)

sin x + cos x = 1 ; sin x + cos x = –3;

a = 1, b = 1, c = 1, hello_html_m6db12829.gif= hello_html_m5eff4580.gif; Решения нет, т. к.

sin(x + ) = hello_html_547c50e4.gif; sin x 1 и cos x 1

т.к. = arctg hello_html_320bf66f.gif = arctg 1 = hello_html_m4557531a.gif , то

sin(x + hello_html_m4557531a.gif ) = hello_html_547c50e4.gif;

x + hello_html_m4557531a.gif = (-1)k hello_html_m4557531a.gif+ pk, k Î Z ;

x = (-1)k hello_html_m4557531a.gif - hello_html_m4557531a.gif + pk, k Î Z ;

x1 = hello_html_m204754a8.gif + 2π n , n Î Z ; x2 = 2π m , m Î Z.

Ответ: hello_html_m204754a8.gif + 2π n , 2π m ; n Î Z , m Î Z.



Решение уравнений с помощью универсальной подстановки

Универсальной, постановкой называется группа тождеств, выражающих все тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Они называются так потому, что позволяют рационально (то есть в виде дробей) выразить все тригонометрические функции через одну.

hello_html_599cddc6.gif ; hello_html_55a0bd6c.gif ; hello_html_m27a071e1.gif

Казалось бы, что это позволяет принципиально решить проблему тригонометрических уравнений с разными функциями одинаковых аргументов. В самом деле, используя тождества универсальной подстановки, мы сразу получим уравнение с одинаковыми функциям одинаковых аргументов.

Однако, этот метод имеет два существенных недостатка:

1. Тождества универсальной подстановки определены не для всей области действительных чисел. Поэтому прежде, чем применять эти тождества, надо проверить те значения переменной, которые недопустимы для тождества, но могут быть решениями уравнения. (Иначе может произойти потеря корней!!!)

2. Применение тождеств универсальной подстановки приводит к громоздким алгебраическим дробно-рациональным уравнениям относительно тангенса половинного аргумента, что создает огромные трудности при их решении. Поэтому применять универсальную подстановку надо крайне осторожно и, как правило, тогда, когда в уравнении уже есть тангенс или котангенс половинного аргумента.


Решить уравнение: 1 – cos 6x = tg 3x.

Так как уравнение содержит два аргумента 6х и 3х , причём тангенс содержит меньший

( половинный аргумент ) , то применим формулу hello_html_55a0bd6c.gif .

Решение.

1 – cos 6x = tg 3x;

1 – hello_html_m37dbbb24.gif= 0;

hello_html_m5c762117.gif ; так как знаменатель- положительное число, то после раскрытия скобок и приведения подобных получим следующее уравнение:

hello_html_4cd3b4cf.gif;

hello_html_m34f3675e.gif;

hello_html_2c158f17.gifhello_html_m13ba00d3.gif;

hello_html_2c158f17.gif= 0 или hello_html_2c158f17.gif= 1;

hello_html_378cf3fd.gif= πn ; n Z ; hello_html_378cf3fd.gif = hello_html_m4557531a.gif + pk, k Î Z ;

x = 2πn ; n Z ; x = hello_html_m204754a8.gif + 2πk , k Î Z ;

Ответ : 2πn ; hello_html_m204754a8.gif + 2πk ; k , n Î Z .


Глухов В. В. МБОУ « Новопокровская школа»

Обучение алгоритму решения тригонометрических уравнений

Автор
Дата добавления 26.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров904
Номер материала ДБ-055649
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх