Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое указание по выполнению практических работ по математике (1-2 курс)

Методическое указание по выполнению практических работ по математике (1-2 курс)

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТІРЛІГІ

АКАДЕМИК СӘТБАЕВ АТЫНДАҒЫ ЕКІБАСТҰЗ ИНЖЕНЕРЛІК - ТЕХНИКАЛЫҚ ИНСТИТУТЫНЫҢ КОЛЛЕДЖІ


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

ЕКИБАСТУЗСКИЙ КОЛЛЕДЖ ИНЖЕНЕРНО - ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМЕНИ АКАДЕМИКА САТПАЕВА


hello_html_3692baae.jpg










Колледждің барлық

мамандығына (мамандықтар тобына) арналған


Математика

пәні бойынша

Ә Д І С Т Е М Е Л І К Н Ұ С Қ А У Л А Р

практикалық жұмыстарды орындауға арналған




М Е Т О Д И Ч Е С К И Е У К А З А Н И Я

по выполнению практических работ


по дисциплине

Математика


для специальности






Курс

1,2

Семестр

1, 2,3

Курс


Семестр










Методические указания по выполнению практических работ составлены на основании рабочей учебной программы для средних профессиональных учебных заведений по дисциплине «Математика» для всех специальностей колледжа.



Құрастырған/Составил:

оқытушысы:


Омирбаева А.М.

преподаватель

подпись



пәндік-циклдiк комиссиясында мақұлданды /

Одобрено цикловой методической комиссией


Хаттама №


ЦӘК төрағасы


Баграмова Ж.К.

Протокол №


Председатель ЦМК

подпись






«


»


20


ж/г



Келісілді / Согласовано:


директордың ОЖ бойынша орынбасары


Б.К. Орынбаев

зам. директора по учебной работе

подпись






директордың ГӘЖ бойынша орынбасары


Т.И. Иконникова

зам. директора по НМР

подпись






Рецензент:





















Содержание


Пояснительная записка…………………………………….……………..…...

4

Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств


    1. Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения.

Свойства уравнений………………..…………………………………………….


5

1.2 Неравенство и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств………………………………………………………………………...


7

1.3 Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений

по формуле Крамера...............................................................................................


10

Раздел 2.Функции, их свойства и графики


2.1 Числовая функция. Способы задания функции. График функции.

Свойства функции...................................................................................................


12

2.2 Предел функции в точке. Основные свойства предела.................................

14

Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции


3.1 Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств…………………….……..…..…....

17

3.2 Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств………………………………………………………………………...


20

Раздел 4. Тригонометрические функции


4.1 Решение тригонометрических уравнений.…………………..…………..…

22

4.2 Решение тригонометрических неравенств……………..…………………..

28

4.3 Тождественные преобразования тригонометрических выражений….…..

30

Раздел 5. Векторы и координаты


5.1 Понятие вектора. Действия с векторами……..……………………………..

32

5.2 Уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящий через одну точку, через две точки. Угол между прямыми…………………………………………

37

Раздел 6. Производная и ее приложения


6.1 Производные суммы, произведения и частного двух функций. Правило дифференцирования сложной функции.……………………….….……………


41

6.2 Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций…...………………..……………………………..


43

6.3 Производные степенной, показательной, логарифмической функций…...

45

6.4 Применение производной к построению графиков функции .……………

47

Раздел 7. Первообразная функция и интеграл


7.1 Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства……………….

51

7.2 Определенный интеграл. Основные свойства и вычисление определенного интеграла…………………………………………………..……


54









Пояснительная записка

Методические указания предназначены для проведения практических работ по дисциплине "Математика" учащихся первого курса (для всех специальностей колледжа).

Содержание практических работ позволяет освоить:

  • методы и способы решения систем уравнений;

  • методы и способы решения систем неравенств;

  • исследование графиков функции;

  • практические приемы вычисления пределов;

  • виды и методы решения простейших логарифмических уравнений и неравенств;

  • виды и методы решения простейших показательных уравнений и неравенств;

  • виды и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств;

  • различные способы задания прямой;

  • практические приемы нахождения частных производных функций многих переменных;

  • исследование функции с помощью производной;

  • практические приемы вычисления с помощью методов интегрального исчисления;

В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с четким алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и разноуровневый набор заданий. Выполнение практической работы помогает сконцентрировать внимание на главных проблемах изучаемого материала, способствуют развитию зрительной памяти, развивают навыки самостоятельной работы с материалом и закрепляют полученные знания.

Методические указания могут быть использованы для самостоятельной работы студентов.

Ход выполнения практической работы

Практические работы необходимо выполнять в специальных тетрадях с указанием номера, темы, целей работы.

  1. Познакомиться с теоретическим материалом

  2. Сделать краткий конспект теоретического материала в рабочих тетрадях (основные понятия, определения, формулы, примеры)

  3. В тетрадях для практических работ выполнить задания по варианту.

  4. Сдать преподавателю тетради для практических работ.

Критерии оценивания практических работ

Оценка «5» ставится, если верно и рационально решено 90%-100% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет, неискажающий сути решения.

Оценка «4» ставится при безошибочном решении 80% предлагаемых заданий.

Оценка «3» ставится, если выполнено 70% предлагаемых заданий, допустим 1 недочет.

Оценка «2» - решено мене 50% предлагаемых заданий.

Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Практическая работа №1.1

Уравнения и системы уравнений. Корень уравнения. Свойства уравнений ”


Цель работы:

Научиться находить корни уравнения и системы уравнений различными способами.


Содержание работы: Общие приемы решения систем уравнений

  1. Система линейных уравнений называется определённой, если она имеет единственное решение.

  2. Несовместной называется линейная система, не имеющая решения.

  3. Неопределенной называется линейная система имеющая бесконечное множество решений.

Существуют различные приёмы решения систем уравнений.

  1. Метод подстановки заключается в следующем:

    • Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);

    • Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;

    • Находят корни этого уравнения;

    • Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

2. Метод сложения основан на следующих теоремах:

  • Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;

  • Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

  • Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

  • Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения hello_html_m2a7a804d.png ни при каких значениях hello_html_m595130f8.png одновременно не обращаются в нуль, то системы

hello_html_4c89f0f0.pnghello_html_3762f18c.pngравносильны.



I вариант

II вариант

III вариант

«3»

а) hello_html_m7e8ff2fb.gif

а) hello_html_4517385a.gif

а) hello_html_m63c65ebb.gif

б) hello_html_m48aa1adb.gif

б) hello_html_m229251d6.gif

б) hello_html_m698dcae2.gif

в) hello_html_m451df87d.gif

в) hello_html_37792c62.gif

в) hello_html_m6469f8cf.gif

г) hello_html_m4851bdca.gif

г) hello_html_me1f669c.gif

г) hello_html_be19456.gif

«4»

а) hello_html_m521e1906.gif

а) hello_html_m26e06d98.gif

а) hello_html_m7d00eed3.gif

б) hello_html_m641bfd6.gif

б) hello_html_393af8f1.gif

б) hello_html_m6e1eaa7.gifhello_html_m53d4ecad.gif

в) hello_html_m4fc28d9c.gif

в) hello_html_32921d5d.gif

в) hello_html_64528f98.gif

г) hello_html_15cd2ce9.gif

г) hello_html_m4937c3b0.gif

г) hello_html_1864b816.gif

«5»

а) hello_html_m490b2d8a.gif

а) hello_html_39803b15.gif

а) hello_html_4b02511a.gif

б) hello_html_m4dbd8433.gif

б) hello_html_5da3525d.gif

б) hello_html_4c6d6a4b.gif

в) hello_html_m145c210d.gif

в) hello_html_m517dad89.gif

в) hello_html_3d6c67aa.gif






Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Практическая работа №1.2

Неравенства и системы неравенств. Решение неравенство. Свойства неравенств ”


Цель работы:

Совершенствовать навыки применения различных методов при решении неравенств различной сложности и систем неравенств.


Содержание работы: Иррациональными называют неравенства, в которые переменные или функция от переменной входят под знаком корня. Основным стандартным методом решения иррациональных неравенств является последовательное возведение обеих частей неравенства в степень с целью освобождения от корня. Но эта операция часто приводит к появлению посторонних корней или, даже, к потере корней, т.е. приводит к неравенству, неравносильному исходному. Поэтому, надо очень тщательно следить за равносильностью преобразований и рассматривать только те значения переменной, при которых неравенство имеет смысл:

  1. если корень четной степени, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным и значение корня тоже неотрицательное число.

  2. если корень степени - нечётное число, то подкоренное выражение может принимать любое действительное число и знак корня совпадает со знаком подкоренного выражения.

  3. возводить в чётную степень обе части неравенства можно только, предварительно убедившись в их неотрицательности;

  4. возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечётную степень всегда является равносильным преобразованием.


  1. Метод подстановки заключается в следующем:

    • Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором y выражено через х (или х через y);

    • Полученное выражение подставляют вместо y (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной;

    • Находят корни этого уравнения;

    • Воспользовавшись выражением y через х (или х через y), находят соответствующие значения х (или y).

2. Метод сложения основан на следующих теоремах:

  • Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной;

  • Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

3. Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов:

  • Вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы;

  • Вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

4. Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

5. Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении: если обе части уравнения hello_html_m2a7a804d.png ни при каких значениях hello_html_m595130f8.png одновременно не обращаются в нуль, то системы

hello_html_4c89f0f0.pnghello_html_3762f18c.pngравносильны.






























I вариант

II вариант

III вариант

«3»

а) hello_html_m2416db78.gif

а) hello_html_m1ea329a4.gif

а) hello_html_m1bae1974.gif

б) hello_html_187bbd.gif

б) hello_html_37eee7a5.gif

б) hello_html_7aacef01.gif

в) hello_html_m63d32806.gif

в) hello_html_m1cd3d38c.gif

в) hello_html_743428b.gif

г) hello_html_732c4c55.gif

г) hello_html_m4a63310c.gif

г) hello_html_m45f3a419.gif

«4»

а) hello_html_m45f13166.gif

а) hello_html_3cc68f76.gif

а) hello_html_m79287ae8.gif

б) hello_html_m1e72acf3.gif

б) hello_html_m6bb27ba2.gif

б) hello_html_4dfcf14b.gifhello_html_m53d4ecad.gif

«5»

а) hello_html_m45f3a419.gif

а) hello_html_m45f3a419.gif

а) hello_html_m45f3a419.gif

б) hello_html_7d048e6f.gif

б) hello_html_7d048e6f.gif

б) hello_html_7d048e6f.gif

в) hello_html_m7421e42f.gif

в) hello_html_m7421e42f.gif

в) hello_html_m7421e42f.gif
















Раздел 1. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Практическая работа №1.3

Определители ІІ и ІІІ порядков. Решение систем двух (трех) уравнений по формуле Крамера.”


Цель работы:

1. Познакомиться с формулами Крамера

2. На конкретных примерах научиться решать системы уравнения методом Крамера


Содержание работы:

Формулы Крамера: hello_html_me5d42ff.png

Возможны 3 случая:

1. Δhello_html_m75472b93.png0 Тогда xi= Δ xi/ Δ - решение существует, причем единственное.

2. Δ =0 , а какой-либо из Δ xihello_html_m75472b93.png 0 , то есть у нас в xi= Δ xi/ Δ производится деление на 0, система не имеет решения (несовместна).

3. Δ =0 и все Δ xi=0 то система  имеет бесконечно много решений.

Пример: Решите систему

hello_html_m758c58ab.png

Решение:

hello_html_m5d7d5e00.png






I вариант

II вариант

III вариант

«3»

а) hello_html_m75e38554.gif

а) hello_html_m64d11787.gif

а) hello_html_m50b8ff37.gif

б) hello_html_43f022a9.gif

б) hello_html_33597074.gif

б) hello_html_m46d5a5a.gif

в) hello_html_82b1ea4.gif

в) hello_html_28a28edf.gif

в) hello_html_77f1fe37.gif

«4»

а) hello_html_m145c210d.gif

а) hello_html_17cab002.gif

а) hello_html_2e8229dc.gif

б) hello_html_m3c0dae78.gif

б) hello_html_6a3ff7e8.gif

б) hello_html_m517dad89.gifhello_html_m53d4ecad.gif

«5»

а) hello_html_3fea66e3.gif

а) hello_html_7f9a86f6.gif

а) hello_html_m182cd4a.gif






















Раздел 2.Функции, их свойства и графики

Практическая работа №2.1

Числовая функция. Способы задания функции. График функции. Свойства функции


Определение : Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.


Обозначение: y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

hello_html_meacac18.png


Способы задания функции.

  1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

  2. табличный способ (с помощью таблицы);

  3. описательный способ (с помощью словесного описания);

  4. графический способ (с помощью графика).


Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность


Функция называется четной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = f(x)

hello_html_3e31686c.png

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
      – область определения функции симметрична относительно нуля
      – для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

hello_html_m997cdb6.png

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом hello_html_209fc93b.png, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

hello_html_m45303db7.pngГрафик периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.


3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

hello_html_m2c60cb3f.pngФункция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, чтоx1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

hello_html_3c8e37c5.png

I вариант

II вариант

III вариант

  1. Найти область определения функции:

а) hello_html_e4035cd.gif

а) hello_html_m7c8c08ee.gif

а) hello_html_155cdf1.gif

  1. Исследовать функцию на четность и нечетность:

а) hello_html_m4bdf510c.gif

а) hello_html_67450bb6.gif

а) hello_html_m537720d0.gif

б) hello_html_mde2527b.gif

б) hello_html_72d25ec8.gif

б) hello_html_45c9c069.gif

в) hello_html_7d28613c.gif

в) hello_html_670ad4ba.gif

в) hello_html_m53ec6b30.gif

  1. Найти интервалы возрастания и интервалы убывания функции:

а) hello_html_m71b2a101.gif

а) hello_html_m27d000b6.gif

а) hello_html_m17d74269.gif

б) hello_html_174d670b.gif

б) hello_html_m25d58ae8.gif

б) hello_html_3daf84b0.gifhello_html_m53d4ecad.gif

  1. Назовите период функции: 

а)

hello_html_m3a8df16f.png

а)

hello_html_m7ac2b2e6.png

а)

hello_html_3f661461.png

Раздел 2.Функции, их свойства и графики

Практическая работа №2.2

Предел функции в точке. Основные свойства предела”

Предел функции

Определение. Число А называется пределом функции y = f(x) при х стремящихся к х0 (или в точке х0 , если для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих условиям

|x х0| < δ , x х0 , имеет место неравенство | f(x) –А| < ε.

hello_html_9fef968.jpghello_html_m1b155941.jpg

hello_html_560bd77f.gif
или


Определение. Число А называется пределом функции f(x), при х →∞

hello_html_m5341bdc0.jpg

если для любого ε > 0 существует, что если х>М, то

hello_html_631d92b9.jpg


Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х →∞

hello_html_m7c59f5cd.jpg

если для любого ε > 0 существует М > 0, что если х<–М, то

hello_html_m3cd2ba19.jpg




Основные теоремы о пределах функций


hello_html_d6fad2c.jpghello_html_mc41e1f9.jpgЕсли функции f(x) и q(x) определены в некоторой окрестности точки а, возможно, за исключением самой точки а, и существуют пределы и , то

hello_html_599fec57.gif

hello_html_6ecc7dd.jpg

Пример 1. Вычислить


Здесь f(x)=5x+2 и q(x) = х–5. Так как q(3) = 3–5 = –2 ≠ 0, то

hello_html_4da48e01.jpg



hello_html_m50efa4bf.jpg

Пример 2. Вычислить


hello_html_m2d9eef3e.jpg



hello_html_m6f3ddfbc.jpg


Пример 3. Вычислить предел


Здесь f(x)= 5x+2 и q(x) = 1 – x

hello_html_886b947.jpg




hello_html_ce04cd6.jpg

Пример 4. Вычислить предел


Пhello_html_7aeef867.jpgрименяем замечательный предел , где е*>2,7182Н.. – иррациональное число

(основание натурального логарифма). Преобразуем функ­цию:

hello_html_m3c1f3650.jpg











I вариант

II вариант

III вариант

Вычислить предел функции:

а) hello_html_7abdd275.gif

а) hello_html_2fa4c970.gif

а) hello_html_780c544a.gif

б) hello_html_m6a52128c.gif

б) hello_html_m1a6616e2.gif

б) hello_html_m5aff059d.gif

в) hello_html_780c544a.gif

в) hello_html_m503e23d8.gif

в) hello_html_6bdef514.gif

г) hello_html_m41c1d789.gif

г) hello_html_m2181ba7a.gif

г) hello_html_7e7a708.gif

д) hello_html_m1a3caad7.gif

д) hello_html_m5425722b.gif

д) hello_html_m4617a284.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Вычислить пределы функций, используя замечательные пределы:

а) hello_html_288fd9bf.gif

а) hello_html_m280c1cfa.gif

а) hello_html_6b479a3b.gif

б) hello_html_7cd57118.gif

б) hello_html_7cd57118.gif

б) hello_html_7cd57118.gif









Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции

Практическая работа №3.1

Логарифмы. Решение простейших и сводящихся к ним логарифмических уравнений и неравенств ”


Определение. Логари́фм числа hello_html_cc26c0a.png по основанию hello_html_2d86191.png (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») определяется какпоказатель степени, в которую надо возвести основание hello_html_2d86191.png, чтобы получить число hello_html_cc26c0a.png.

Обозначение: hello_html_5dc0266.png, произносится: "логарифм hello_html_cc26c0a.png по основанию hello_html_2d86191.png".

Из определения следует, что нахождение hello_html_2031694f.png равносильно решению уравнения hello_html_1ea17958.png. Например, hello_html_6d178743.pngпотому что hello_html_m4dd73a60.png


Решение логарифмических уравнений


Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.

  1. hello_html_m4ad22e95.png при hello_html_m37d09e1f.png , hello_html_5fa0967d.png;

  2. hello_html_a0252f3.png.

Простейшие логарифмические уравнения имеют вид: hello_html_m3ce17422.png

  1. hello_html_1022e6fd.png

  2. hello_html_7965393d.png



Решение логарифмических неравенств


Решение логарифмических неравенств, сводится к решению:

  1. простейших неравенств вида hello_html_mca427a.png. В каждом из этих случаев нужно различать, каким числом является а, так как от этого зависит характер монотонности логарифмической функции. Если hello_html_m7a942093.png, то функция возрастает, а если hello_html_m2555952c.png, - убывает. Поэтому приходится рассматривать различные простейшие неравенства.

  2. или неравенств вида hello_html_m6cfc9338.png

  1. hello_html_m736bc619.png;

  2. hello_html_m15c86d62.png;

Решение системы логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов.

Используются обычные приемы решения логарифмических уравнений, такие как метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду hello_html_1f0df26c.png, затем к виду hello_html_108da5d9.png и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.






























I вариант

II вариант

III вариант

Вычислить:

а) hello_html_1f847682.gif

а) hello_html_m6bb3a1cd.gif

а) hello_html_m148ec4a.gif

б) hello_html_7e3164fc.gif

б) hello_html_e3438e9.gif

б) hello_html_m272b7fcd.gif

в) hello_html_m14e08c30.gif

в) hello_html_7cbb6ab0.gif

в) hello_html_620d82b8.gif

г) hello_html_m3c8ea98.gif

г) hello_html_m21ddf87d.gif

г) hello_html_m400c6385.gif

д) hello_html_790d071e.gif

д) hello_html_m77142296.gif

д) hello_html_75b40bfa.gif

Решить уравнения:

а) hello_html_7ed37c0b.gif

а) hello_html_715a5a68.gif

а) hello_html_534e4dac.gif

б) hello_html_m53e1b96e.gif

б) hello_html_3f0bb17b.gif

б) hello_html_3ac9350c.gif

в) hello_html_61d42a26.gif

в) hello_html_m34f13d86.gif

в) hello_html_37f50113.gif

г) hello_html_7624488b.gif

г) hello_html_55376c24.gif

г) hello_html_f9ae2f1.gif

д) hello_html_m2213d82f.gif

д) hello_html_d404f16.gif

д) hello_html_74b59b8c.gif

е) hello_html_6189ea58.gif

е) hello_html_m5d8e31a8.gif

е) hello_html_m515daa6.gif

Решить неравенства:

а) hello_html_m688690e.gif

а) hello_html_68d07a9d.gif

а) hello_html_m408084bb.gif

б) hello_html_m6e9ebec6.gif

б) hello_html_6b343da5.gif

б) hello_html_6fce318b.gif

в) hello_html_m25b6aff6.gif

в) hello_html_m1f971602.gif

в) hello_html_413a2441.gif

Решить системы уравнений:

а) hello_html_2aa21068.gif

а) hello_html_m4c6af3ee.gif

а) hello_html_65afeed.gif

б) hello_html_51caf448.gif

б) hello_html_m6c5e2f59.gif

б) hello_html_m657386e.gif

в) hello_html_7f93b214.gif

в) hello_html_26895531.gif

в) hello_html_m1c91ec79.gif

г) hello_html_m331887a8.gif

г) hello_html_m4bf1dbb0.gif

г) hello_html_m664f5ba.gif

д) hello_html_m6c7ec70c.gif

д) hello_html_m6c7ec70c.gif

д) hello_html_m6c7ec70c.gif

Раздел 3. Показательная, логарифмическая и степенная функции

Практическая работа №3.2

Решение простейших и сводящихся к ним показательных уравнений и неравенств ”


Показательные уравнения

Простейшие показательные уравнения имеют вид: hello_html_m60d10b4d.png.

Уравнение hello_html_macf9bb7.png при hello_html_2defb74e.png и при hello_html_65858955.png корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.

Решение показательных неравенств

При решении показательных неравенств вида hello_html_m6e4652f5.png следует помнить, что показательная функция hello_html_4773b6bd.pngвозрастает при hello_html_m7a942093.png и убывает при hello_html_m2555952c.png . Значит, в случае, когда hello_html_m7a942093.png, от неравенства hello_html_m6e4652f5.png следует переходить к неравенству того же смысла hello_html_6fd24078.png. В случае же, когда hello_html_m2555952c.png, от неравенства hello_html_m6e4652f5.png следует переходить к неравенству противоположного смысла hello_html_2ae2891f.png.

Решение системы показательных уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения показательных уравнений, такие как метод уравнивания показателей и метод введения новой переменной, а также обычные приемы решения систем уравнений.





















I вариант

II вариант

III вариант

Решить уравнения:

а) hello_html_m7ce1a71d.gif

а) hello_html_m49a95d0d.gif

а) hello_html_m2ffa42ef.gif

б) hello_html_m7ecbe4f3.gif

б) hello_html_m6622e1fd.gif

б) hello_html_m3d3eea59.gif

в) hello_html_6c5e39b1.gif

в) hello_html_m3c581a92.gif

в) hello_html_877b0a0.gif

г) hello_html_2b418fc3.gif

г) hello_html_59cf66d7.gif

г) hello_html_m289ba2c6.gif

д) hello_html_37293cfd.gif

д) hello_html_37293cfd.gif

д) hello_html_37293cfd.gif

Решить неравенства:

а) hello_html_54563159.gif

а) hello_html_m4c4d697d.gif

а) hello_html_fe866b8.gif

б) hello_html_23d27df7.gif

б) hello_html_568fe21f.gif

б) (0,04)5x-x2-8 < 625.

в) hello_html_m56ead943.gif

в) 25x + 1 < 6 × 5x + 1 - 5.

в) hello_html_m4a0db6.gif

Решить системы уравнений:

а) hello_html_71031b01.gif

а) hello_html_5de131d1.gif

а) hello_html_6845740a.gif

б) hello_html_m76612f1f.gif

б) hello_html_19bc7f17.gif

б) hello_html_36c8fd99.gif





















Раздел 4. Тригонометрические функции

Практическая работа №4.1

Решение тригонометрических уравнений ”


Определение. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 


Простейшие тригонометрические уравнения.

 

hello_html_40bb4001.png


hello_html_7f79ac32.png

hello_html_68112aed.png


Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.  Этот метод нам хорошо известен из алгебры  ( метод замены переменной и подстановки ).

  hello_html_m581d8e10.png

2. Разложение на множители.  Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:

                                                                sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:

                              hello_html_m652d53a1.png

П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е .     cos 2 x + sin x · cos x  sin 2 x  cos 2 x = 0 ,

                                             sin x · cos x  sin 2 x = 0 ,

                                             sin x · ( cos x  sin x ) = 0 ,

                               hello_html_m675d97ca.png

П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x  cos 8x + cos 6x = 1. 

Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

                                2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

                                cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

                                   cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

  1).  cos 4x = 0 ,               2).  sin 3x = 0 ,          3). sin x = 0 ,

      hello_html_4586f94b.png

3

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное  уравнение, надо:

    а)  перенести все его члены в левую часть;

   б)  вынести все общие множители за скобки;

   в)  приравнять все множители и скобки нулю;

   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; 

   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan 

П р и м е р .   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

                              sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

                              tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения:  y1 = -1,  y2 = -3,  отсюда

                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,

                              hello_html_m3a3e3b25.png

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р .  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 

Р е ш е н и е 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) = =7sin ² ( x /2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

                        2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

                             tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

                                     .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

                                            a sin x + b cos x = c ,

где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.

hello_html_7d9205.png

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos hello_html_1060d499.png и sin hello_html_1060d499.png ( здесь hello_html_1060d499.png - так называемый вспомогательный угол ), инаше уравнение принимает вид:

 hello_html_393c475d.png

 hello_html_3114f881.png

6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin 2x · sin 6x = cos 4x.

Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:

                                         cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

                                                 cos 8x = 0 ,

                                            8x = p / 2 + pk ,

                                           x = p / 16 + pk / 8 .

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р .   Решить уравнение:  3 sin x – 4 cos x = 3   hello_html_m50791a19.png   hello_html_1316547f.png






I вариант

II вариант

III вариант

Решить уравнения:

а) hello_html_604a1a22.gif

а) hello_html_m68d1fc2b.gif

а) hello_html_40709a83.gif

б) hello_html_255b1f10.gif

б) hello_html_m3ae12328.gif

б) hello_html_31d95daa.gif

в) hello_html_4161eb2d.gif

в) hello_html_m2f5dd078.gif

в) hello_html_m3428f7a1.gif

г) hello_html_4542006b.gif

г) hello_html_m606b3d14.gif

г) hello_html_68f57485.gif

д) hello_html_m1b1c51bf.gif

д) hello_html_m6c7dbc2e.gif

д) hello_html_22867a55.gif

е) hello_html_m75319960.gif

е) hello_html_4af36582.gif

е)hello_html_512c3f87.gif

ж) hello_html_18c2e5dd.gif

ж) hello_html_m2a07483b.gif

ж) hello_html_m59c4ff81.gif

з) hello_html_m67bfa286.gif

з) hello_html_54d9c1ec.gif

з) hello_html_m15cd2e1f.gif

и) hello_html_6e46699a.gif

и) hello_html_m3669f750.gif

и) hello_html_cdb7dea.gif





























Раздел 4. Тригонометрические функции

Практическая работа №4.2

Решение тригонометрических неравенств”

Определение. Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств: 


sinx>a, sinx≥a, sinxcosx>a, cosx≥a, cosxtanx>a, tanx≥a, tanxcotx>a, cotx≥a, cotx

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Неравенство hello_html_318bfe43.png. Если hello_html_m7a942093.png , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть больше единицы. Если hello_html_m4f877fa3.png , то решением неравенства является любое число, так как синус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале hello_html_m7b12c95.png .   Ответ: hello_html_7bcd4157.png .

Неравенство hello_html_m131591ed.png. Если hello_html_m7a942093.png , то решением неравенства является любое число, так как синус всегда меньше или равен 1. Если hello_html_m4f877fa3.png , то это неравенство решения не имеет, так как синус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале hello_html_m6e39251c.png .   Ответ: hello_html_2f853ca3.png .

Неравенство hello_html_m63640de2.png . Если hello_html_m7a942093.png , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть больше единицы. Если hello_html_m4f877fa3.png , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда больше или равен -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале hello_html_m7b12c95.png . Ответ: hello_html_60d0101.png .

Неравенство hello_html_69b1fcfe.png . Если hello_html_m7a942093.png , то решением неравенства является любое число, так как косинус всегда меньше или равен 1. Если hello_html_m4f877fa3.png , то это неравенство решения не имеет, так как косинус не может быть меньше -1. Рассмотрим теперь случай, когда а лежит на полуинтервале hello_html_m6e39251c.png .   Ответ: hello_html_m3626dd6b.png .



Неравенство hello_html_27616036.png:   hello_html_2286ba85.png

Неравенствоhello_html_568cd938.png :   hello_html_1ee7f7b8.png

Неравенство hello_html_m4c1b1470.png :   hello_html_d90bc43.png

Неравенство hello_html_m2c211c06.png :   hello_html_22909ba9.png


 

I вариант

II вариант

III вариант

Решить неравенства:

а) hello_html_4bbf78e1.gif

а) hello_html_33022536.gif

а) hello_html_16761037.gif

б) hello_html_1d2222b1.gif

б) hello_html_m47a0bfd9.gif

б) hello_html_m438a4c0e.gif

в) hello_html_3b492870.gif

в) hello_html_1812ad8c.gif

в) hello_html_m4351ac88.gif

г) hello_html_7b267a22.gif

г) hello_html_m39dedba4.gif

г) hello_html_m7875b10d.gif

д) hello_html_1b061454.gif

д) hello_html_1f44b85a.gif

д) hello_html_78a2863b.gif

е) hello_html_45202059.gif

е) hello_html_7e1f9176.gif

е) hello_html_6eb714de.gif





















Раздел 4. Тригонометрические функции

Практическая работа №4.3

Тождественные преобразования тригонометрических выражений ”


В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби,  можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.


Пример 1.Вычислить А = (sin(2x – π)cos(3π – x)+sin(2x – 9π/2)cos(x+ π/2))2+(cos(x–π/2)cos(2x–7π/2) + sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2))2

Решение.

Из формул приведения следует:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin2xcosx + cos2xsinx)2 +(-sinxsin2x + cosxcos2x)2 = sin2 (2x + x) + cos2 (x+2x) = sin2 3x + cos2 3x = 1

Ответ: 1.

Основными приемами доказательства тригонометрических  тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований; 
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Решение.

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

-4cosxcos(x + π/3)cos(x + 2π/3) = -2cosx(cos((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) = -2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) = 2cos xcos 2x - cos x = (cos3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.


I вариант

II вариант

III вариант

Упростить выражение:

а) hello_html_m1ea77ece.gif

а) hello_html_m40073bbe.gif

а) hello_html_71f0e12b.gif

б) hello_html_m746f487a.gif

б) hello_html_6aab26dc.gif

б) hello_html_m21284e44.gif

в)hello_html_4adf0ebe.gif

в) hello_html_m70d658bb.gif

в) hello_html_m4118f49b.gif

г) hello_html_114cdb16.gif

г) hello_html_m2cc3f756.gif

г)hello_html_49a83520.gif

Доказать тождества:

а) hello_html_64606df2.gif

а) hello_html_m6ec73dfa.gif

а) hello_html_7a39e214.gif

б) hello_html_52910172.gif

б) hello_html_47fb9022.gif

б) hello_html_5e6e6220.gif

Вычислить:

а) hello_html_1cd39b73.gifесли hello_html_m25f55e92.gif

а) hello_html_m73bb6f3.gif если hello_html_m63f91dca.gif

а) hello_html_256d677.gif если hello_html_1608af56.gif

б) hello_html_m4769bcc2.gif если hello_html_m4dd864d.gif

б) hello_html_m41d7d67f.gif если hello_html_m3757add9.gif

б) hello_html_m1c2c8177.gif если hello_html_596764f3.gif















Раздел 5. Векторы и координаты

Практическая работа №5.1

Понятие вектора. Действия с векторами ”


Определение: «Вектор — это направленный отрезок». Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: hello_html_m2a88039c.png или hello_html_20991715.png

Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_8a9ad90.png, помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_8a9ad90.png.

hello_html_m7e7837b3.png

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_8a9ad90.png. К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_8a9ad90.png.

hello_html_m16fda0fa.png

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

hello_html_m180d670c.png

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов hello_html_2c05aa6e.png и hello_html_5c86df41.png получаем:

hello_html_m2a8388b6.png, hello_html_m59c04ab7.png

Вычитание векторов

Вектор hello_html_m3486da43.png направлен противоположно вектору hello_html_29d6f54d.png. Длины векторов hello_html_29d6f54d.png и hello_html_m3486da43.pngравны.

hello_html_m5d94330a.png

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_29d6f54d.png — это сумма вектора hello_html_6ccfdd8b.png и вектора hello_html_m50e77d07.png.

hello_html_m45b9cb15.png

Умножение вектора на число

При умножении вектора hello_html_6ccfdd8b.png на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины hello_html_6ccfdd8b.png. Он сонаправлен с вектором hello_html_6ccfdd8b.png, если k больше нуля, и направлен противоположно hello_html_6ccfdd8b.png, если k меньше нуля.

hello_html_73835e2b.png

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

hello_html_m18a37316.png

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. 
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов hello_html_6ccfdd8b.png и hello_html_8a9ad90.png

hello_html_40a7cc04.png

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

hello_html_6eec5703.png

Свойства векторов.

Определение. Два вектора hello_html_49a0564b.png и hello_html_m14dd403c.png называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой.

Нулевой вектор hello_html_m3440b43e.png коллинеарен любому вектору.

Теорема 1. Два ненулевых вектора hello_html_49a0564b.png  и hello_html_m14dd403c.pngколлинеарны,  когда они пропорциональны т.е. hello_html_m14dd403c.png = khello_html_49a0564b.png, k – скаляр.

Определение. Три вектора hello_html_49a0564b.pnghello_html_m14dd403c.pnghello_html_m6a086c8a.png называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости или лежат в ней.

Теорема 2. Три ненулевых вектора hello_html_49a0564b.pnghello_html_m14dd403c.pnghello_html_m6a086c8a.png компланарны,  когда один из них является линейной комбинацией двух других, т.е. hello_html_m6a086c8a.png = khello_html_49a0564b.png + lhello_html_m14dd403c.png, k ,l – скаляры.



Задания для самостоятельной работы



1. Даны координаты двух смежных вершин А и В квадрата АВСD: А(а; 0) и В(0; а). Найдите координаты остальных вершин квадрата.

Сколько решений имеет задача?



2. Даны две смежные вершины параллелограмма АВСD: А(–1; 3) и В(2; 1). Найдите координаты двух других вершин параллелограмма, если известно, что диагональ АС параллельна оси Ох, а диагональ ВD параллельна оси Оу.



3. Треугольник задан координатами своих вершин: А(1; 0; –1), В(3; 2; 0) и С(–2; 4; 3). Является ли данный треугольник прямоугольным; равнобедренным?

4. Векторы hello_html_m3c71a4c3.gif и hello_html_mc6c5482.gif служат диагоналями параллелограмма АВСD. Выразите векторы hello_html_m7f6da22e.gif и hello_html_m442cbb0d.gif через векторы hello_html_3f5f812c.gif и hello_html_62804c10.gif.



5. Точки К и М служат серединами сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника АВСD. Выразите вектор hello_html_12e7c3ad.gif через векторы hello_html_m47b15412.gif и hello_html_m4703dcf7.gif.



6. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; –2). Определите координаты и длины векторов hello_html_13b4ed0e.gif, hello_html_2927a4e6.gif и hello_html_m25e67ffa.gif, где АМ – медиана, BD – биссектриса и СН – высота треугольника АВС.



7. Одна из вершин параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 находится в точке А(1; 2; 3), а концы выходящих из нее ребер – в точках В(9; 6; 4), D(3; 0; 4) и А1(5; 2; 6). Найдите:

а) длину диагонали АС1 этого параллелепипеда;

б) угол, образуемый этой диагональю с ребром АВ;

в) объем параллелепипеда;

г) площадь основания АВСD и высоту параллелепипеда, опущенную на это основание.



8. Четырехугольник задан координатами своих вершин: А(0; 0), В(0; 4), С(2; 4) и D(7; 0). Можно ли в него вписать окружность?

Примечание. Если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.



9. В треугольнике АВС проведена медиана АМ. Найдите ее длину, если известны координаты вершин треугольника: А(5; –4), В(-1; 2) и С(5; 1).



10. Вычислите площадь квадрата, две смежные вершины которого А(3; –7) и В(–1; 4).



11. Найдите координаты точки С, делящей отрезок АВ в отношении 3 : 2, считая от вершины А, если А(–2; 1), В(8; 6).



12. Однажды Лебедь, Рак и Щука …

Воз расположен в точке О пересечения медиан треугольника АВС, а Лебедь, Рак и Щука – в вершинах треугольника. Определите суммарное воздействие на воз, т.е. hello_html_m76c1c284.gif.



13. Лежат ли точки А(2; 4; 1), В(3; 7; 5) и С(4; 10; 9) на одной прямой?

Указание. I способ. Используйте условие коллинеарности векторов.

II способ. Сравните расстояния АВ, ВС и АС.



14. В треугольнике АВС известно: hello_html_4e32afbc.gif(3; –4) и hello_html_m47b15412.gif(1; 5). Вычислите длину высоты СН этого треугольника.

Указание. С помощью векторного произведения векторов определите площадь треугольника, а затем воспользуйтесь формулой площади треугольника, которая выражается через высоту.



15. Треугольник АВС задан координатами своих вершин: А(1; 1), В(5; 4) и С(13; –2) – условия задачи 6 (см. выше). Вычислите площадь треугольника АВС различными способами:

а) с помощью основания и высоты (используйте результат задачи 6);

б) с помощью формулы hello_html_246d382c.gif;

в) с помощью формулы Герона;

г) с помощью векторного произведения.



16. Зная одну из вершин треугольника АВС А(2; –5; 3) и векторы, совпадающие с двумя его сторонами hello_html_4e32afbc.gif(4; 1; 2) и hello_html_m47b15412.gif(3; –2; 5), найдите координаты остальных вершин треугольника и вектор hello_html_m172a0e1e.gif.

Указание. Используйте формулу определения координат вектора по координатам его начала и конца.



17. Будут ли компланарны векторы hello_html_m7e2476c7.gif и hello_html_6f33d5da.gif:

а) hello_html_m11209060.gif, hello_html_6f33d5da.gif(7; –18; 2);

б) hello_html_41b925b6.gif, hello_html_6f33d5da.gif(3; 1; –1)?

Указание. Используйте условие компланарности векторов (равенство нулю смешанного произведения векторов).

















Раздел 5. Векторы и координаты

Практическая работа №5.2

Уравнения прямой. Уравнения прямой, проходящий через одну точку, через две точки. Угол между прямыми ”


1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку A(x1y1) в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом k,

y - y1 = k(x - x1).     (1)

Это уравнение определяет пучок прямых, проходящих через точку A(x1y1), которая называется центром пучка.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1y1) и B(x2y2), записывается так:

hello_html_m744c488a.jpghello_html_m3374b762.jpghello_html_eff3f87.jpghello_html_m20d64b02.jpg     (2)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

hello_html_7573822e.jpghello_html_m142132f4.jpghello_html_33de8ba.jpghello_html_m2fd01095.jpg     (3)

3. Углом между прямыми A и B называется угол, на который надо повернуть первую прямую A вокруг точки пересечения этих прямых против движения часовой стрелки до совпадения ее со второй прямой B. Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k1x + B1,         

y = k2x + B2,     (4)

то угол между ними hello_html_m59fc113e.jpg определяется по формуле

hello_html_6a7d2bfc.jpghello_html_1cc568f.jpghello_html_m3b3142a3.jpghello_html_33415927.jpg     (5)

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A1x + B1y + C1 = 0,         

A2x + B2y + C2 = 0,     (6)

угол между ними определяется по формуле

hello_html_1fa72a1d.jpghello_html_1cc568f.jpghello_html_58889fe8.jpghello_html_33415927.jpg     (7)

4. Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k1 = k2.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

hello_html_4e39abb.jpghello_html_3d22cf4.jpghello_html_4b23daf7.jpghello_html_49b3c1dd.jpg     (9)

5. Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

hello_html_7573822e.jpghello_html_m3c0e029b.jpghello_html_m77e7b475.jpghello_html_m2db48ba9.jpg     (10)

Это условие может быть записано также в виде

k1k2 = -1.     (11)

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A1A2 + B1B2 = 0.     (12)

6. Координаты точки пересечения двух прямых находят, решая систему уравнений (6). Прямые (6) пересекаются в том и только в том случае, когда

hello_html_39f1b2de.jpghello_html_m45eec24e.jpghello_html_m1595e40e.jpghello_html_m30195283.jpg


Задания для самостоятельной работы

  1. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1;2) и (2;1).

  2. Стороны треугольника заданы уравнениями: (AB) 2x + 4y + 1 = 0, (AC) x - y + 2 = 0, (BC) 3x + 4y -12 = 0. Найти координаты вершин треугольника.

  3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(2, 5) параллельно прямой 3x - 4y + 15 = 0.

  4. Найти уравнение прямой, проходящей через точку A(5, -1) перпендикулярно к прямой 3x - 7y + 14 = 0.

  5. Даны две противоположные вершины квадрата A(2, 1) и C(4, 5). Найти две другие.

  6. Найти угол между двумя прямыми y = 2x + 4 и y = 3x - 1.

  7. Найти угол между двумя прямыми 3x + 4y - 7 = 0 и 4x - 3y + 8 = 0.

  8. Найти уравнения прямых, проходящих через точку A(3, 4) под углом в 60 градусов к прямой 2x + 3y + 6 = 0.

  9. Через центр тяжести треугольника, вершины которого A(2, 3), B(-1, 4), C(5, 5), провести прямую, перпендикулярную стороне AB.

  10. Определить, какие из точек M1(3; 1), M2(2; 3), M3(6; 3), M4(-3; -3), M5(3; -1), M6(-2; 1) лежат на прямой hello_html_12176417.png и какие на ней не лежат.

  11. Точки P1, P2, P3, P4, P5 расположены на прямой hello_html_1a060aca.png; их абсциссы соответственно равны числам 4; 0; 2; -2; -6. Определить ординаты этих точек.

  12. Точки Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 расположены на прямой hello_html_m727250c3.png; их ординаты соответственно равны числам 1; 0; 2; -1, 3. Определить абсциссы этих точек.

  13. Определить точки пересечения прямой hello_html_4ebb42f0.png с координатными осями и построить эту прямую на чертеже.

  14. Найти точку пересечения двух прямых hello_html_m46300b4e.pnghello_html_m6509ef87.png.

  15. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС даны соответственно уравнениями hello_html_79857168.pnghello_html_5ce5ab19.pnghello_html_4ce17419.png. Определить координаты его вершин.

  16. Даны уравнения двух сторон параллелограмма hello_html_4a8f69c9.pnghello_html_m73125a05.png и уравнение одной из его диагоналей hello_html_5b520627.pngОпределить координаты вершин этого параллелограмма.

  17. Стороны треугольника лежат на прямых hello_html_m29189118.pnghello_html_1fde3116.png hello_html_4fba9cf4.png. Вычислить его площадь S.

  18. Площадь треугольника S=8, две его вершины суть точки А(1; -2), В(2; 3), а третья вершина С лежит на прямой hello_html_68ff3a03.png. Определить координаты вершины С.

  19. Площадь треугольника S=1,5, две его вершины суть точки А(2; -3), В(3; -2), центр масс этого треугольника лежит на прямой hello_html_57baf655.png. Определить координаты третьей вершины С.

  20. Составить уравнение прямой и построить прямую на чертеже, зная ее угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый ею на оси Oy:

  1. k=2/3, b=3;

  2. k=3, b=0;

  3. k=0, b=-2;

  4. k=-3/4, b=3;

  5. k=-2, b=-5;

  6. k=-1/3, b=2/3.

  1. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на оси Oy, для каждой из прямых:

  1. hello_html_m7abf89bf.png

  2. hello_html_md3f928d.png

  3. hello_html_44de94e9.png

  4. hello_html_74545f07.png

  5. hello_html_m4c7ca4a1.png

  1. Дана прямая hello_html_233b151a.png. Определить угловой коэффициент k прямой:

  1. Параллельной данной прямой;

  2. Перпендикулярно к данной прямой.

  1. Дана прямая hello_html_m3c8e93c9.png. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0(2; 1):

  1. Параллельно данной прямой;

  2. Перпендикулярно данной прямой.

  1. Даны уравнения двух сторон прямоугольника hello_html_7f37c93b.pnghello_html_m22a779a3.png и одна из его вершин А(2; -3). Составить уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

  2. Даны уравнения двух сторон прямоугольника hello_html_m28c58937.pnghello_html_74bdeb20.png и уравнение одной из его диагоналей hello_html_m11dbd654.png. Найти вершины прямоугольника.

  3. Найти проекцию точке Р(-5; 13) относительно прямой hello_html_mfc71350.png.

  4. Найти точку Q, симметричную точке Р(-5; 13) относительно прямой hello_html_12176417.png.

  5. В каждом из следующих случаев составить уравнение прямой, параллельной двум данным прямым и проходящей посередине между ними:

  1. hello_html_m228249a5.png, hello_html_6c73aff7.png

  2. hello_html_24194d35.png, hello_html_54dfc19.png

  3. hello_html_md3f928d.png, hello_html_1caba9ba.png

  4. hello_html_2a920158.png, hello_html_1e37e2ef.png

  5. hello_html_m7fd1583e.png, hello_html_5df88e99.png

  1. Вычислить угловой коэффициент k прямой, проходящей через две данные точки:

  1. M1(2; -5), M2(3; 2);

  2. P(-3, 1), Q(7; 8);

  3. A(5; -3), B(-1; 6).

  1. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника A(5; -4), B(-1; 3), C(-3; -2) параллельно противоположным сторонам.



Раздел 6. Производная и ее приложения

Практическая работа №6.1

Производные суммы, произведения и частного двух функций. Правило дифференцирования сложной функции ”


Производная произведения (функции) на постоянную:

hello_html_65554adc.png

Производная суммы (функций):

hello_html_165f2d7f.png

Производная произведения (функций):

hello_html_18c0e820.png

Производная частного (функций):

hello_html_m3a738772.png
 

Производная сложной функции:

hello_html_m4ae0abba.png



Задание.

Найти производную функции hello_html_51b0cbd1.png

Решение.

Воспользуемся правилом дифференцирования частного:

hello_html_2b6fae8.png

Производная суммы/разности равна сумме/разности производных и константу можно выносить за знак производной, поэтому имеем:

hello_html_46a2527.png

hello_html_m60d9d3e8.png

hello_html_m2cc591ad.png

hello_html_673e7c7f.png

hello_html_316879b3.png

Ответ.

hello_html_316879b3.png



Задание.



Найти производную функции hello_html_m24cc21db.png

Решение.

Для нахождения производной данной функции используем правила дифференцирования и таблицу производных. Так как производная суммы/разности равна сумме/разности производных, то

hello_html_71c7e2eb.png

постоянный множитель можно вынести за знак производной

hello_html_m14ba8872.png

Воспользуемся формулой для производной степенной функции:

hello_html_48bc722.png

hello_html_ma6a18d0.png

hello_html_m1b5a779a.png

Ответ.

hello_html_m1b5a779a.png



I вариант

II вариант

III вариант

Найти производные функций:

а) y = x4

а) f(x) = 3x5

а) y = 4x-2

б) y = 3x3(x2 - 7x + 4)


б) f(x) = hello_html_m27dcb39e.gif

б) y = x2hello_html_34a81afd.gif

в) y =hello_html_m637deb59.gif

в) y =hello_html_m2da4ff4e.gif

в) f(x) = hello_html_176274bb.gif

г) Найти f'(3)

f(x) =hello_html_m171557e8.gif

г) Найти f'(1,24) f(x) = hello_html_m1f3f2d87.gif

г) Найти f'(0,917) f(x) = 3x3hello_html_m701e77fd.gif

д) y=(2x3-4x2+x)7

д) y=(x3-1)7

д) y=1/(x2-1)4


Раздел 6. Производная и ее приложения

Практическая работа №6.2

Производные тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций ”


Производные тригонометрических функций:

hello_html_50ea7f89.png

Производные обратных тригонометрических функций:

hello_html_m9fe41c9.png



Задача 1. Дано: hello_html_m71e3ca07.png

Вычислить: hello_html_599c2779.png


Решение:


hello_html_m5581ec2f.png - нашли производную данной функции,

hello_html_38ae5f72.png – подставили значение hello_html_645f2960.png.

Ответ:hello_html_m5d9c7018.png


Задача 2. Дано:hello_html_7b2fd1f9.png


Вычислить: hello_html_7c82f791.png 


Решение:

hello_html_m4876e3af.png

hello_html_m23108040.pngОтвет: hello_html_610c8fe4.png

I вариант

II вариант

III вариант

Найти производные функций:

а) y = sin7x

а) y = tg4x

а) y = cos5x

б) y = tgx-ctg2x


б) y = sin4x·cosx

б) y = hello_html_621b01d9.gif

в) Найти f'hello_html_m3c224567.gif, y = sin3x

в) Найти f'hello_html_m3c224567.gif, y = -1/4 cos4x

в) Найти f'hello_html_m3c224567.gif, f(x)= -ctg5x

г) f(x)=sin(2x+1)3cos(1–x)

г) f’(x) = 2cos(2x+1)–3sin(1-x)

г) f(x) = 4sinx + x²

д) f(x) = tgx + ctgx

д) f(x) = cos(x + 2)

д) f(x) = –2ctg10x



Найдите производную функции:

hello_html_62da72bb.png

Найдите производную функции:

hello_html_7483726e.png

Найти производную функции:

hello_html_2de7ca39.pnghello_html_6e42a78.png



Раздел 6. Производная и ее приложения

Практическая работа №6.3

Производные степенной, показательной, логарифмической функций ”



hello_html_m1bd81824.png







I вариант

II вариант

III вариант

Найти производные функций:

а) y=ln(x3-4x+5)

а) y=lg(3x2-x3)

а) у=lnhello_html_30638499.gif

б) y=lnhello_html_m10e725c3.gif

б) f(x)=lnhello_html_me1d20e3.gif

б) y=lnhello_html_c05c479.gif

в) у=ln2x

в) y=lnhello_html_m7b3a8e2d.gif

в) y=ln2x3

г) y=log3(x2+4x)

г) y=log5hello_html_5fda9d1c.gif

г) y=ln(x+hello_html_dc50994.gif)

д) y=x·e2x

д) y=3x ·lnx

д) y=x5 · 3lnx

е) f(x)=hello_html_m3506f695.gif

е) f(x)=lnhello_html_354c0d47.gif

е) y=hello_html_329e88eb.gif

ж) hello_html_484deb3b.gif

ж) hello_html_m38428db5.gif

ж) hello_html_2e6a0bbc.gif

з) hello_html_m3530b192.gif

з) hello_html_2a224835.gif

з) hello_html_7560f6e5.gif

и) hello_html_ma8f94ef.gif

и) hello_html_m5dab63.gif

и) hello_html_6a20ee2c.gif

к) hello_html_m7b4afe1d.gif

к) hello_html_5ae5c231.gif

к) hello_html_m26e077bd.gif

л) hello_html_760003e4.gif

л) hello_html_m7225bd18.gif

л) hello_html_16428cfc.gif

м) Найти hello_html_59db5913.gif, hello_html_m693c74a8.gif

м) Найти hello_html_3e53b1bb.gif, hello_html_m4bf85f68.gif

м) Найти hello_html_m66c08067.gif, hello_html_m547d5023.gif























Раздел 6. Производная и ее приложения

Практическая работа №6.4

Применение производной к построению графиков функции ”


Исследование функций с помощью производной


Способность производной характеризовать скорость изменения функции (а значит, и ее графика) лежит в основе исследования функций с помощью про­изводной и построения графика.

Для возрастающей функции (рис. 3) угол наклона касательной острый, т.е. f `(x) = tgα > 0, для убывающей (рис. 4) − тупой, т.е. f '(x) = tgα < 0.

Можно по известному знаку производной судить о поведении функции.

hello_html_79b5e18f.jpg










Функция постоянна в каждом интервале, в котором ее производная равна нулю, возрастает в каждом интервале, где производная положительна, и убыва­ет в тех интервалах, где производная отрицательна.

Особую роль играют так называемые критические точки из области оп­ределения функции, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль, либо не существует.

Среди критических точек отметим точки экстремума.


Экстремумы функции


Говорят, что функция y = f (x) имеет максимум в точке x1 (рис.5), если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, доста­точно близких к x1 , т.е. если f(+∆x) < f(x1) для любых ∆x, как положи­тельных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким обра­зом, x= x1 − точка максимума, a ymax = f (x1) − максимум функции.

Говорят, что функция у = f(x) имеет минимум в точке x2 (рис.5), если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, доста­точно близких к x2 , т.е. если f(x2 + ∆x)>(х2) для любых ∆x, как положи­тельных, так и отрицательных, но достаточно малых по модулю. Таким образом, x= x2 − точка минимума, a ymin = f (x2) − минимум функции.





hello_html_m48a2f018.jpg








Для исследования функции по первой производной следует:

1 .Найти область определения функции,

2.Найти первую производную и критические точки.

3. Отметить границы области определения и критические точки на числовой прямой.

4. Исследовать знак производной в каждом из полученных интервалов.

5. Выписать точки экстремума и вычислить экстремумы функции.


Пример 9. Найти экстремумы функции у = (1 − х )


Решение

1hello_html_m49d0f1ab.gif .Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому определяем критические точки из условия f '(x) = 0. Находим производную.

у' = 3(1 − x2 )2 (1 − х2)' = 3(1 − х2)2(−2 х) = −6х(1 − х2)2

у' = 0; −6х(1 − х2)2 = 0 ; x1 = 0; х2= −1; x3=1.

3hello_html_c2515eb.jpg. Отметим эти критические точки на числовой прямой (рис.6).







4. Исследуем знак производной у' = −6х(1 − х2)2в каждом из полу­ченных интервалов: у'(−2)> 0, у'(−0,5) > 0, у'(0,5) < 0, у'(−2) < 0.

5. Точка х = 0 − точка максимума, так как при переходе через нее слева на­право производная меняет знак с плюса на минус: ymax = y(0)=1.
Точки х = −1 и х = 1 не являются точками экстремума.

Можно провести исследование функции с помощью второй производной.

Если в точке х = х0 первая производная равна нулю (f'(x0) =0), а вторая

производная отлична от нуля, то х = х0 − точка экстремума.

При этом если вторая производная в этой точке положительна

(f ''(x0) > 0), то х = х0 − точка минимума; если вторая производная в этой точке отрицательна (f ''(x0) < 0), то х = х0 − точка максимума.


Для исследования функции на экстремум по первой и второй производ­ной следует:

  1. Найти область определения функции.

  2. Найти первую производную функции и стационарные точки, т.е. точки, в которых она обращается в нуль.

  3. Найти вторую производную и исследовать ее знак в каждой крити­ческой точке.

  4. Выписать точки экстремума и вычислить (если нужно) экстремумы функции.

hello_html_177dff42.jpghello_html_m49d0f1ab.gif

Пример 10. Найти экстремумы функции


Решение

1. Областью определения функции служит множество всех действительных чисел, т.е.

2. Функция имеет производную всюду, поэтому критические точки определяем из условия f ' (x) = 0.

hello_html_17821ac9.jpg



3. Находим вторую производную функции f '' (x) = 6 x − 6 . Исследуем знак второй производной в каждой критической точке: f '' (0) = − 6 < 0 , значит, x=0 - точка максимума, ymax = y (0) = 1.
f '' (2) = 6 > 0, значит, x=2 - точка минимума ymin = y (2)= 23 − 3·22 + 1 = −3.


Наибольшее и наименьшее значение функции


Наибольшим значением функции называется самое большее, а наи­меньшим - самое меньшее из всех ее значений.

Функция может иметь только одно наибольшее значение и только одно наименьшее значение или может не иметь их совсем.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке а ≤ х ≤ b, где она непрерывна, следует:

  1. Найти экстремумы функции на данном отрезке.

  2. Найти значение функции на концах отрезка: f(a) и f(b)

  3. Из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
    Пример 11. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

hello_html_m6b3a9105.jpg

на отрезке [-2;4].


Решение

1. Найдем экстремумы функции, для чего найдем производную функции и критические точки из условия у' =0 y' = 0 при x1=0, x 2 – 2x − 3 = 0 ,

hello_html_m59a1bf17.jpg

hello_html_72852e0.jpg


Отметим критические точки 1 рода x=−1, x=0, x=3, на числовой прямой (рис.7).

Исследуем знак производной в каждом из полученных интервалов:


hello_html_30dc4fd0.jpg





у'(2) < 0, у'(−0,5) > 0, у'(1) < 0, у'(4) < 0.


Таким образом,

hello_html_44d7521c.jpg









I вариант

II вариант

III вариант

Найти интервалы монотонности функций:

а) hello_html_m40ebdd18.gif

а) hello_html_75561258.gif

а) hello_html_m5c3954f5.gif

б) hello_html_75561258.gif

б) hello_html_m1fc31c31.gif

б) hello_html_m256b063d.gif

в) hello_html_m6081df00.gif

в) hello_html_3b533890.gif

в) hello_html_7e353886.gif

Исследовать на экстремум функции:

а) hello_html_m7e754ede.gif

а) hello_html_269012b5.gif

а) hello_html_m12366c96.gif

б) hello_html_1c26d7d9.gif

б) hello_html_m4b9e97e8.gif

б) hello_html_3d0f2467.gif

в) hello_html_2835623f.gif

в) hello_html_6da6c6c5.gif

в) hello_html_e3f975.gif

г) hello_html_m43a1fa92.gif

г) hello_html_69251f4c.gif

г) hello_html_m30032c54.gif

Исследовать функции и построить их графики

а) hello_html_152bfb2b.gif

а) hello_html_m5d7169aa.gif

а) hello_html_m2a86345e.gif

б) hello_html_49d9606a.gif

б) hello_html_3b354262.gif

б) hello_html_m28ed8454.gif

в) hello_html_69251f4c.gif

в) hello_html_165da378.gif

в) hello_html_m72054af2.gif





Раздел 7. Первообразная функция и интеграл

Практическая работа №7.1

Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства ”


Определение первообразной.


Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство hello_html_14490dcd.png для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство hello_html_3d37c4f8.png. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.


Определение неопределенного интеграла.


Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается hello_html_m2b5908f3.png.


Выражение hello_html_577cf418.png называют подынтегральным выражением, а  f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

  1. hello_html_55b40d50.png
    Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

  2. hello_html_m15501c62.png
    Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

  3. hello_html_6e722a8e.png, где k – произвольная константа.
    Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

  4. hello_html_2bc3b24b.png
    Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

hello_html_4ca21175.jpg










I вариант

II вариант

III вариант

Найти первообразную функции:

а) hello_html_m40ebdd18.gif

а) hello_html_75561258.gif

а) hello_html_m5c3954f5.gif

б) hello_html_75561258.gif

б) hello_html_m1fc31c31.gif

б) hello_html_m256b063d.gif

в) hello_html_m6081df00.gif

в) hello_html_3b533890.gif

в) hello_html_7e353886.gif

Исследовать на экстремум функции:

а) hello_html_m7e754ede.gif

а) hello_html_269012b5.gif

а) hello_html_m12366c96.gif

б) hello_html_1c26d7d9.gif

б) hello_html_m4b9e97e8.gif

б) hello_html_3d0f2467.gif

в) hello_html_2835623f.gif

в) hello_html_6da6c6c5.gif

в) hello_html_e3f975.gif

г) hello_html_m43a1fa92.gif

г) hello_html_69251f4c.gif

г) hello_html_m30032c54.gif

Исследовать функции и построить их графики

а) hello_html_152bfb2b.gif

а) hello_html_m5d7169aa.gif

а) hello_html_m2a86345e.gif

б) hello_html_49d9606a.gif

б) hello_html_3b354262.gif

б) hello_html_m28ed8454.gif

в) hello_html_69251f4c.gif

в) hello_html_165da378.gif

в) hello_html_m72054af2.gif



























Раздел 7. Первообразная функция и интеграл

Практическая работа №7.2

Определенный интеграл. Основные свойства и вычисление определенного интеграла ”

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для для верхнего и нижнего пределов интегрирования: hello_html_10e41064.png.

Рассмотрим примеры вычисления определенного интеграла.

Пример 1. Вычислить интеграл

hello_html_m66c0cc13.png.

Пример 2. Вычислить hello_html_69e3854e.pnghello_html_m47a52e3.png

Свойства определенного интеграла

Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции интегрируемы на заданных промежутках.

Свойство 1. hello_html_46a40456.png 

Для доказательства составим интегральные суммы (3) в обоих случаях с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет знаковhello_html_78ddbe93.png: слева hello_html_41d2e2ea.png>0, справа hello_html_41d2e2ea.png<0. Значит, в пределе получится нужное равенство.

Свойство 2. hello_html_6a5aa388.png 

В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма – тоже.

Свойство 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: если hello_html_7158d9f8.png, то hello_html_m68656fb0.png 

Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:

hello_html_m7fc7dafa.png 

Свойство 5. Если отрезок [ab] разбит точкой с на две части [ac] и [cb], то

hello_html_m5340e70a.png 

Свойство 6. Если всюду на отрезке [ab] функция неотрицательна hello_html_44a19b0b.png то hello_html_m3d5ce910.png а если hello_html_m3e88119.png то hello_html_1d0dfda.png


Свойство 7. (Интегрирование неравенств).

Если на отрезке [ab] функции hello_html_m1f36a008.png и hello_html_m2911ebfb.png удовлетворяют условию hello_html_409a6ff8.png, то

hello_html_532ef71.png 



I вариант

II вариант

III вариант

Вычислить определенный интеграл:

а) hello_html_33db4041.gif

а) hello_html_m3c002eac.gif

а) hello_html_m47475723.gif

б) hello_html_363dd84d.gif

б) hello_html_m497c0f86.gif

б) hello_html_6bee9231.gif

в) hello_html_375efe41.gif

в) hello_html_ma10d52b.gif

в) hello_html_1edcc1ff.gif

г) hello_html_m5baaa9ab.gif

г) hello_html_m183a08cb.gif

г) hello_html_m5811b613.gif

д) hello_html_713e813.gif

д) hello_html_439804d7.gif

д) hello_html_m4bd84e6b.gif

е) hello_html_m5fa5e46d.gif

е) hello_html_m49a5860a.gif

е) hello_html_m16c5bd65.gif

ж) hello_html_501353df.gif

ж) hello_html_m2fdc7921.gif

ж) hello_html_m1b5677fb.gif













Литература:

  1. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа: Учебник для  10 –11 кл. общеобраз. учреждений. М.: Просвещение, 2003. – 384с.: ил

  2. Апанасов П.Т., Орлов "Сборник задач по математике" М: Высшая школа, 1987 г.

  3. Валуцз И. И., Дилигун Т Д. математика для техникумов на базе средней школы. - М. Наука, 1989









Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 12.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров269
Номер материала ДВ-147997
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх