Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическое пособие для студентов 2 курса по математике

Методическое пособие для студентов 2 курса по математике


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и науки Хабаровского края

КГБОУ СПО «Хабаровский машиностроительный техникум»


Рассмотрено и рекомендовано ПЦК

Естественно-научных и математических дисциплин

Председатель ПЦК

_______________________

«____»_________2015г.

Протокол № ___________

УТВЕРЖДАЮ

зам. директора по УВР

_________И.Н. Пухляр

«____»_________2015г.







Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы студентов


по дисциплине Математика

специальности 150415 «Сварочное производство», 151901 «Технология машиностроения», 270841«Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения», 140448 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования», 080118 «Страховое дело».


Составитель:

Преподаватель математики Кичигина Надежда Ивановна___________


2015

Оглавление

  1. Глава 1. Математический анализ………………………3

1.1. Предел функции……………………………………3

1.2. Производная функции……………………………..7

1.3. Производная сложной функции……………..…..10

1.4 Интегральное исчисление………………………...16

1.5 Неопределенный hello_html_m5bc1a2f6.gif. Его свойства………………17

1.6. Определенный интеграл. Вычисление

площадей плоских фигур……………………………..21

    1. Метод замены переменной

(метод подстановки)………………………………22

    1. Дифференциальные уравнения…………………..23

1.9. Однородные дифференциальные

уравнения первого порядка………………………..25

1.10 Частные производные…………………………….27

  1. Глава 2. Ряды……………………………………………28

2.1. Числовые ряды……………………………………..28

2.2. Знакопеременные ряды…………………………...31

2.3. Функциональные ряды…………………………….31

3. Глава 3. Основы дискретной математики…………….33

3.1. Множества и отношения………………………….33

4. Глава 4. Основы теории комплексных чисел…………35

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа…….35

4.2. Геометрическое представление

комплексных чисел…………………………………….37

4.3. Показательная форма комплексного числа………39

5. Глава 5. Основы теории вероятностей………………….42

5.1. Вероятность. Случайные события…………………42

5.2. Случайная величина. Ее функция распределения..44

5.3. Математическое ожидание и дисперсия

случайной величины………………………………..45

Самостоятельные работы ………………………………..48

Контрольная работа № 1………………………………...57

Глава 1. Математический анализ.

    1. Предел функции.

  1. Определение. Таблица замечательных пределов.

Обозначения: hello_html_m463324a2.gifмножество вещественных чисел.

Опр. 1.1. hello_html_m5c83e916.gif, допустим, что каждому значению hello_html_m10d6c1e8.gif по какому – либо закону поставлено в соответствие hello_html_6e41ad18.gif. Это сопоставление определяет однозначное отображение и называется функцией одной переменной с областью определения X и множеством значений Y.

Обозн. hello_html_m20a274c8.gif

Пример.

hello_html_mf22f503.gif


Пусть hello_html_5d3651ff.gif определена в некоторой окрестности точки а.

Опр. 1.2. число b называется пределом функции hello_html_5d3651ff.gif при hello_html_74501ff3.gif, если для любой последовательности аргументов hello_html_4cc39510.gif сходящихся к а, соответствующая последовательность значений функций hello_html_2c7191d2.gifсходится у b.

Обозн. hello_html_46c0d322.gif


Таблица пределов:

hello_html_m475d0dc9.gif


Свойства пределов:

1) hello_html_71cc4e75.gif;

2) hello_html_m63a19ba1.gif;

3) hello_html_m597079a5.gif;

4) hello_html_5150caed.gif (при hello_html_m1fa56ee9.gif).




Пример. Вычислить предел.

hello_html_5302a608.gif

Задача:

hello_html_m7c6ee333.gif







    1. 1.2. Производная функции.

  1. Непрерывность функции.

Опр. 2.1. Функция hello_html_370aa5e2.gif называется непрерывной в точке а, если она имеет предел hello_html_m14c4fba5.gif и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. hello_html_70996cfc.gif

Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмем точку хhello_html_m1b762db3.gifХ. Дадим значению х приращение hello_html_m1a37c755.gif, тогда функция получит приращение hello_html_55c1d18a.gif.

Опр. 2.2. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

hello_html_4b14011.gif.

Пример. hello_html_m7c74bfd2.gif


hello_html_m3521487b.gif


Таблица производных:

1. hello_html_m765da4d.gif.

2. hello_html_7191fdf9.gif.

3. hello_html_mca4f1b3.gif.

4. hello_html_357b14c7.gif.

5. hello_html_m6180a476.gif.

6. hello_html_m1e8f1c6.gif.

7. hello_html_m2348bd7f.gif.

8. hello_html_7da5476a.gif.

9. hello_html_626065ca.gif.

10. hello_html_m58fe29e1.gif.

11. hello_html_2aa7af4e.gif.

12. hello_html_2133fe75.gif.

13. hello_html_m2edefecc.gif.


Свойства производных:

Если С - постоянное число, hello_html_60586c04.gif - функции, имеющие производные, тогда:

hello_html_606bfb5e.gif (I);

hello_html_m3b8e993d.gif (II);

hello_html_m68b86bf5.gif (III);

hello_html_1e9ca608.gif (IV);

hello_html_m1270bd80.gif (V).

Пример. Вычислить производную функций.

hello_html_66799415.gif







Задача. Найти производные функции.

hello_html_m55e3f373.gif


    1. 1.3. Производная сложной функции.

Исследование функции с помощью производной.


Пусть hello_html_mcd8fc58.gifкомпозиция двух функций.

Т.3.1. Если функция hello_html_4fb2cec1.gif дифференцируема по x, а функция hello_html_6c48bc15.gif дифференцируема по y, то сложная функция hello_html_m220b14d8.gif дифференцируема по x, причем её производная вычисляется по формуле: hello_html_m227a1ce2.gif


Пример. hello_html_m651f1bb9.gif


Задача. Найти производную сложной функции.

hello_html_463bed8f.gif


Опр.3.1. Точки мах и min функции называются точками экстремума функции.

Пример. Y=|x|, x=0 – точка min.


Т.3.2. пусть выполняются следующие условия:

1. hello_html_571db299.gifстационарная точка дифференцируемой функции, т.е. hello_html_m47b42220.gif.

2. При переходе аргумента x через точку hello_html_55ad76ab.gif производная меняет знак,

Тогда точка hello_html_55ad76ab.gif является точкой экстремума функции hello_html_7cde62b0.gif, причем:

  1. Если при переходе через точку hello_html_55ad76ab.gif производная меняет знак с «-» на «+», то hello_html_55ad76ab.gif - точка минимума.

  2. Если при переходе через точку hello_html_55ad76ab.gif производная меняет знак с «+» на «-», то hello_html_55ad76ab.gif - точка максимума.

Пример. hello_html_m3d6184af.gif

Опр. 3.2. Функция hello_html_370aa5e2.gif называется выпуклой вниз на (a,b), если какова бы ни была точка hello_html_571db299.gif, график этой функции целиком находится над графиком касательной, проходящей через эту точку.


Аналогично выпуклая вверх с заменой слов «над» графиком на слова «под» графиком.

Опр.3.3. Точка hello_html_571db299.gif называется точкой перегиба графика функции hello_html_370aa5e2.gif, если при переходе через эту точку, функция меняет направление выпуклости.


Т.3.3. Пусть hello_html_370aa5e2.gif дважды дифференцируема на (a,b) и точка hello_html_571db299.gifявляется точкой перегиба, тогда hello_html_3ac4e8c3.gif.

Пример. hello_html_388f7eb1.gif

Т.3.4. пусть точка hello_html_55ad76ab.gif является корнем уравнения hello_html_3ac4e8c3.gif, тогда если при переходе через точку hello_html_55ad76ab.gif вторая производная меняет знак , то точка hello_html_55ad76ab.gif является точкой перегиба функции hello_html_370aa5e2.gif, причем:

1) Если при переходе через hello_html_55ad76ab.gifhello_html_6290dfb7.gif меняет знак с «-» на «+» , то выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх.

2) Если при переходе через hello_html_55ad76ab.gifhello_html_6290dfb7.gif меняет знак с «+» на «-» , то выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз.


Схема исследования функции с помощью производной:

1) найти область определения функции;

2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);

3) исследовать функцию на четность (нечетность) и на периодичность (для тригонометрических функций);

4) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;

5) определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;

6) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;

7) найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.

Пример. Исследовать функцию hello_html_6e3c1384.gifи построить ее

график. Решение:

1. Область определенияhello_html_m10bbe969.gif.

2. Функция непрерывна во всей ее области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.

3. Функция четная, так какhello_html_70bbff31.gif:

hello_html_41af98f0.gif.

График функции симметричен относительно оси ординат.

4. Экстремумы и интервалы монотонности.

hello_html_m6c7ec7ef.gif. Из уравнения hello_html_31bc1cf0.gif получим три критические точки: hello_html_2ed98976.gifhello_html_76cf086b.gifhello_html_2b34725a.gif. Исследуем характер критических точек. Для этого методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (- ∞; -1), (-1; 0), (0 ; 1), (1; + ∞).

hello_html_m4912c939.png

На интервалах (-∞; -1) и (0; 1) функция убывает, на интервалах (-1 ; 0) и (1 ; +∞) - возрастает. При переходе через критические точки x1 = -1 и х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этих точках функция имеет минимум. hello_html_7f952b26.gif; hello_html_m78bac16f.gif. При переходе через критическую точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум уmax=ƒ(0)=5.

5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.

hello_html_m49afbf15.gif. Из уравнения hello_html_m3ab12401.gif

получим hello_html_2f769421.gifи hello_html_31bdc5c0.gif. Определяем знак второй производной в каждом из интервалов:

hello_html_mba93803.gif, hello_html_71dda0c6.gif, hello_html_100df7e4.gif.

hello_html_26f08dc.png

Таким образом, кривая, вогнутая на интервалах hello_html_mba93803.gifи hello_html_100df7e4.gif и выпуклая на интервалеhello_html_71dda0c6.gif, а hello_html_m71d20d8c.gif, hello_html_m6c36f000.gif - точки перегиба.

hello_html_4b49456f.gif;

hello_html_m19fd0d8.gif.

6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: hello_html_3315f8aa.gif, hello_html_m3f88c7d3.gif;

hello_html_3b87371b.gif.

Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.

7. Дополнительные точки, уточняющие график:

hello_html_7c556982.gif; hello_html_47e01fef.gif. Построим график функции:


hello_html_b739a78.gif














Задачи.

1. Вычислить производные.

hello_html_m57604e55.gif

  1. Построить график функции.

hello_html_m1a9427c8.gif


§1.4 Интегральное исчисление

  1. Первообразная функции

Опр. 4.1.

Функция F(x) над первообразной функции F(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка hello_html_3d81802c.gif

Пр: 1) F(x)=sin x – первообр. F(x)=cosx , т.к. hello_html_m2d31be31.gif

2)hello_html_m377945ff.gif - первооб.hello_html_m7365236a.gif,т.к hello_html_m26fabb13.gif.

Задача Док – ть, что F(x) – первооб. F(x)

1.hello_html_m6f65be74.gif 3.hello_html_m410547e4.gif

2.hello_html_3077bc2e.gif 4.hello_html_m36a4912a.gif


§1.5 Неопределенный hello_html_m5bc1a2f6.gif. Его свойства.

Опр. 5.1. Интегрирование – это процесс нахождения первообразованых


Опр. 5.2. Множество первообразованых для данной функции F(x) над неопределенным интегралом и обозначается hello_html_m379ea50c.gif

Пр. hello_html_m6776d2d9.gif

hello_html_5577ae7f.gif

Таблица неопределенных интегралов

  1. hello_html_m3d8f24d6.gif.

  2. hello_html_207c7f2e.gif.

  3. hello_html_m514741db.gifhello_html_d7904da.gif.

  4. hello_html_m9e82ea8.gif.

  5. hello_html_3e436241.gifhello_html_m72127c9c.gif.

  6. hello_html_m42cdc68e.gif.

  7. hello_html_14d1dad6.gif.

  8. hello_html_784a8bda.gif.

  9. hello_html_m2a007b43.gif.

  10. hello_html_12abab3e.gif.

  11. hello_html_43b4257e.gif.

12. hello_html_3874034c.gif.

13.hello_html_5096a054.gif.

14.hello_html_5719eb0f.gif

Свойства неопределенного интеграла:

  1. Если hello_html_m770c8044.gif – постоянная величина, то hello_html_m2d94397d.gif.

  2. hello_html_m48a4327c.gif

  3. hello_html_5171cad5.gif.

  4. hello_html_m2007675a.gif.

  5. hello_html_m45e1f45c.gif.

Задача: Вычислить неопределенный интеграл.

hello_html_60c684d8.gif

Задача. Вычислить неопределенный интеграл.

hello_html_50974b1c.gif






Самостоятельная работа.


hello_html_3b42da95.gifhello_html_400d48e6.gif



§1.6. Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур.

Опр.6.1. Фигура, ограниченная снизу отрезком hello_html_7e50c4a4.gif оси ох, сверху

графиком функции hello_html_370aa5e2.gif, с боков отрезками х=а, х=b,

hello_html_3efb13cc.gif


hello_html_7b2dcded.gifhello_html_314c70be.gif


hello_html_m5ee0d1.gif


hello_html_5351c983.gif называется криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

hello_html_4aecceb0.gif


Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции hello_html_370aa5e2.gif , т.е. к интегрированию F(x).

Опр. 6.2. Разность hello_html_2c035287.gifназывается интегралом от функции F(x) и обозначается hello_html_m7727bb2e.gif.

hello_html_m6bf0ddf1.gif - формула Ньютона – Лейбница.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком hello_html_4d9879c9.gif

hello_html_6ac59c09.gifhello_html_7e9b3592.gifhello_html_m5bb5dfea.gifhello_html_2417137c.gifhello_html_645808b7.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_626d0dc2.gif





Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.

hello_html_m56bfb0e3.gif



Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

hello_html_m4489a3cc.gif


Задача 2. Вычислить определенный интеграл.

hello_html_345881f3.gif


§1.7. Метод замены переменной (метод подстановки).


Существует три метода вычисления интегралов: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.

Пример.

hello_html_1687f7d4.gif

Задачи.

hello_html_4d083240.gifhello_html_5d995cfa.gif


Самостоятельная работа №1 .



§1.8. Дифференциальные уравнения.

Опр.8.1. Диф.уравнением называется уравнение, связывающее функцию hello_html_5d3651ff.gif, переменную x и производную f(x).

Опр. 8.2. Если функция hello_html_5d3651ff.gif зависит только от переменной x, то диф.урав. называется обыкновенным.

Общий вид обыкновенного диф.уравнения. hello_html_m9c31688.gif.

Опр. 8.3. Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком диф.уравнения.

hello_html_4520088.gif-диф.уравнение первого порядка.

hello_html_m1cef9216.gif- диф. Уравнение второго порядка.

Решить диф.уравнение – значит найти первообразную функции f(x), т.е. вычислить неопределенный интеграл от F(x).


Пусть дано диф.ур. первого порядка hello_html_28a9a3a1.gif, необходимо его решить.

hello_html_50503923.gifобщее решение диф.уравнения.

Алгоритм решения диф.уравнений:

1. hello_html_3277d57e.gif

2. домножаем обе части уравнения на hello_html_1c4d0704.gif и переносим слагаемые с hello_html_1c4d0704.gif в другую сторону.

3. Переменные, содержащие x переносим к hello_html_1c4d0704.gif, а переменные, содержащие y к hello_html_m4f7f7b74.gif.

4. Интегрируем обе части уравнения.

Пример. Решить диф.уравнение.

hello_html_522cb1a4.gif

Уравнению вида hello_html_28a9a3a1.gif можно придать вид

hello_html_m3f1c2762.gif


Опр.8.4. Уравнение (*) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (**) – уравнением с разделенными переменными.

Пример. hello_html_54e4fe00.gif



§1. 9. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.


Опр. 9.1. Функция hello_html_m77fcd7b9.gifназывается однородной, если hello_html_m31b8eb6.gif


Пример. hello_html_m36c181d5.gif


Опр. 9.2. Уравнение вида hello_html_391178d6.gif называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Опр. 9.3. Уравнение hello_html_m4db9ac4d.gif называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Такое уравнение вычисляется с помощью замены hello_html_m1548d8d.gif подставим в (1) =>

hello_html_m6dcf5a8c.gif


Задача. Решить диф.уравнение.

hello_html_m4e729d6a.gif


5.hello_html_3a21393e.gif 9.hello_html_m4b9dd468.gif

6.hello_html_58f09fb8.gif 10.hello_html_11fe23a4.gif

7.hello_html_m6f44171.gif 11.hello_html_6b731719.gif

8.hello_html_6035658f.gif 12.hello_html_mc08c289.gif

13.hello_html_m121245c7.gif



§1.10 Частные производные


Дана функция двух переменных Z=F(x,y),дадим аргументу x приращение Bx, а арг. Y менять не будем, Т.Е. перейдем от точки с координатами (x,y) к точке с координатоми (x+bx,y).

Тогда функция F(x,y) получит приращениеhello_html_3514d382.gif,которое над частным приращ. Ф-ии. F(x,y) по переменой x.

Опр.10.1:hello_html_m3100762e.gif hello_html_m5b3cf655.gif hello_html_7582c011.gif

Он над частной производной ф-ии

F(x,y) и обозн.hello_html_48120067.gif

Аналогична опред-ся ч.пр. F(x,y) по Y

hello_html_5f04a58e.gifhello_html_m2d965177.gif

Т.Е ч.пр.hello_html_589e6380.gifэто обычная производная ф. F(x,y) по переменой x при фиксиров.знач. y, а ч.пр hello_html_m32aebdc3.gifэто есть обыч. Пр. Ф. F(x,y) по переменой y при фиксир. Знач. X


Пр; Найти ч.пр. ф-ии hello_html_47213dad.gif

hello_html_m652d4ea5.gif


hello_html_m68f0efc.gif


Задачи:


1.hello_html_551b4f01.gif 6.hello_html_m7ebb46ea.gif

2.hello_html_146874.gif 7.hello_html_m7772dd88.gif

3.hello_html_m2c80f768.gif 8.hello_html_m1ee0cadf.gif

4.hello_html_m55114dbf.gif 9.hello_html_m7d0ba18c.gif

5.hello_html_m58cad429.gif 10.hello_html_m411f8942.gif



Глава 2. Ряды.

§ 2.1. Числовые ряды.

Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.

Опр.1.1. Числовым рядом называется выражение вида hello_html_6c3f97.gif, где hello_html_m32fdaefe.gifчисла.

Для сокращенного обозначения рядов используют знак hello_html_m615ebf32.gif

Пример. hello_html_m5c453930.gif

Опр. 1.2. Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда hello_html_m245e5b7f.gif.

hello_html_221a4209.gif

Опр. 1.3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. hello_html_76f02699.gif, где S – сумма ряда. (если предел не существует или равен hello_html_m74e6612e.gif, то ряд расходится).

Пример. Определить сходимость ряда hello_html_6de24baf.gif - геометрическая прогрессия.

hello_html_120119a4.gif

Докажем сходимость каждого ряда.

hello_html_14f342d8.gif


Эти ряды являются рядами бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем <1, тогда hello_html_mb5cd458.gif. Так как сумма ряда конечное число, то ряд сходится.

Т. 1.1. (Необходимый признак сходимости рядов).

Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т.е. hello_html_64c79574.gif.

Пример. hello_html_6011c15e.gifряд расходится.



Признак Даламбера сходимости рядов.

Пусть дан ряд hello_html_m615ebf32.gif Допустим, что hello_html_7e01c9e5.gif, тогда

  1. Если p<1, то ряд сходится.

  2. Если p>1, то ряд расходится.


Пример. hello_html_m65889173.gifряд сходится.

Задача. Написать первые пять элементов ряда по заданному общему элементу и проверить сходится ли ряд.

hello_html_m6676862b.gif



§ 2.2. Знакопеременные ряды.

Опр.2.1. Рассмотрим ряд, у которого все элементы по очереди меняют знак: hello_html_415c4ead.gif , где hello_html_m54a7f13.gif. Такой ряд называется знакочередующимся.

Пример. hello_html_61ab66d8.gif

Т.2.1. (Признак Лейбница).

Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет следующим условиям:

  1. Все элементы ряда убывают hello_html_6b39f162.gif.

  2. Общий элемент ряда стремится к 0 при hello_html_m259b9116.gif.


Тогда ряд сходится.


§ 2.3. Функциональные ряды.

Опр. 3.1. Пусть дана бесконечная последовательность функций hello_html_m7099479f.gif, где все функции определены на некотором множестве, тогда ряд hello_html_m596e8bc3.gif называется функциональным рядом.

Если вместо аргумента x поставить конкретное число, то получим числовой ряд hello_html_m7accfa98.gif.

Опр. 3.2. Если этот ряд сходится, то точка hello_html_3fea5f90.gif называется точкой сходимости ряда.

Опр. 3.3. совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.

Факториал ! n!=1*2*3*4*…*n

3!=1*2*3

2!=1*2

1!=1

0!=1

Пример. hello_html_m30a7ff2f.gif

Определить сходимость данного ряда по признаку Даламбера.

hello_html_592f1399.gifряд сходится.


Задача. Определить сходимость ряда.

hello_html_b13db94.gif


Контрольная работа по трем темам: производная, ряды, диф.уравнения.


Глава 3. Основы дискретной математики.

§3.1. Множества и отношения.


Опр. 1.1. Множество это совокупность объектов, которые объединены как-либо свойствами.


hello_html_m2ff2fe28.gif

1. Z - Множество целых чисел hello_html_m7a490840.gif

2. Q - Множество рациональных чисел hello_html_m34c3fe7b.gif

3. N - Натуральные числа (1,2,3…)

4. R - Действительные числа

5. C - Комплексные числа

Опр.1.2. Подмножеством В данного множества А называется множество, которое содержит некоторые элементы мн. А или множество, каждый элемент которого принадлежит мн.А.

Обозн. hello_html_m7308de43.gif

Пустое множество это множество, которое не содержит ни одного элемента.

Обозн. hello_html_m53d4ecad.gifØ

Опр.1.3. пересечением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству В.

hello_html_5195cf1c.gif

Опр. 1.4. Объединением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит или множеству А, или множеству В, или одновременно двум множествам.

hello_html_3610a6fd.gif

Опр.1.5. Разностью множеств А и В называется множество только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.

hello_html_4f6d9d86.gif

Опр.1.6. hello_html_6464e356.gif. Дополнением множества В до множества А называется множество таких элементов, которые принадлежат А, и не принадлежат В.

hello_html_m600bc327.gif

Пример. А={0,1,2,…,9}, В={5,6,7,…,15}, C={0,1,2,…,15}

Найти hello_html_19f57a6d.gif

Операции над множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера.


hello_html_m72432fe8.gifhello_html_m25a4d41c.gifhello_html_m25a4d41c.gifhello_html_m72432fe8.gif

hello_html_m25a4d41c.gifhello_html_m25a4d41c.gif





hello_html_m72432fe8.gifhello_html_m72432fe8.gif


hello_html_m25a4d41c.gifhello_html_m25a4d41c.gifhello_html_m34a8dc54.gif





hello_html_m72432fe8.gifhello_html_m72432fe8.gif

hello_html_6845cefa.gifhello_html_6845cefa.gifhello_html_1e22cd58.gif






Опр. 1.7. Два множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А принадлежит В и наоборот.


Задача 1. С помощью диаграмм Эйлера найти

hello_html_2177f4da.gif

Задача 2. А={0,1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3,4,6,8}, C={-1,0,3,4,7,8}

Найти hello_html_m39487671.gif

Самостоятельно

А={0,1,2,3}, B={-1,2,3,4,5,6}

Найти hello_html_4821ca89.gif



Глава 4. Основы теории комплексных чисел.

§4.1. Алгебраическая форма комплексного числа.


В XVI веке итальянский математик Дж.Кордано и Р.Бомбелли, решая квадратное уравнение hello_html_m235e93e0.gif ввели символ hello_html_m2ac71e86.gif, который в XVIII веке петербургский ученый Л.Эйлер обозначил hello_html_5a554d8.gif, отсюда решение данного квадратного уравнения имеет вид hello_html_m7d0ec3aa.gif так появилось множество комплексных чисел.


Опр.1.1. Комплексным числом z называется выражение вида hello_html_m4ac4ec9c.gif, где a- действительная часть комплексного числа, b-мнимая часть, hello_html_m55d2bba9.gif- мнимая единица.

hello_html_m4ac4ec9c.gif - алгебраическая форма комплексного числа.

Опр.1.2. Два к.ч. hello_html_500b0b0e.gif называются равными, если их действительные и мнимые части равны, т.е. hello_html_m156b881c.gif.

К.ч. вида hello_html_72d7b4b0.gif называется нулевым.

К.ч. вида hello_html_m63a55b7a.gif называются комплексно – сопряженными.

Пример. hello_html_746034c2.gifhello_html_m5c221037.gifкомплексно – сопряженные.


Опр. 1.3. Суммой двух к.ч. hello_html_m637042ad.gif называется к.ч. вида hello_html_m6645bd8a.gif.

Опр.1.4. Разностью двух к.ч. hello_html_m637042ad.gif называется к.ч. вида hello_html_704f4feb.gif.

Пример. hello_html_m4498ff3.gif


Опр. 1.5. Произведение двух к.ч. hello_html_m637042ad.gif называется к.ч. вида hello_html_m9ecf684.gif.

Пример. hello_html_m5e1d633e.gif


Опр. 1.6. Частным двух к.ч. hello_html_m637042ad.gif называется к.ч. вида hello_html_fdc7854.gif

Пример. hello_html_m32d83cd3.gif

§4.2. Геометрическое представление комплексных чисел.

Для геометрического представления к.ч. используют точки и векторы координатной плоскости. В качестве к.ч. hello_html_m4ac4ec9c.gif используют точку с абсциссой а и ординатой b.

hello_html_73e4854c.gif












































hello_html_6d15691a.gif







Если к.ч. hello_html_3750bfcb.gif 0, то его можно представить в виде

hello_html_79ab4b37.gif тригонометрическая форма к.ч,

где hello_html_36aa97b9.gif модуль к.ч

Угол hello_html_2e28ff68.gif - угол, образованный hello_html_m65595af1.gif с осью OX, назначенный аргументом к.ч. и обознается hello_html_m22e3acc2.gif, причем tg hello_html_m320c3367.gif

Чтобы перейти от алгебраической формулы к.ч к тригонометрической и обратно, необходимо сделать следующие преобразования:

hello_html_57a0e4f5.gif, hello_html_16fc2346.gif, hello_html_m1b1499a5.gif

Пример.

hello_html_m74507eff.gif. Составить тригонометрическую форму к.ч. и изобразить его?

hello_html_6f61eef3.gif


Действия над к.ч. в тригонометрической форме:

hello_html_m409d4c.gif


Практическое занятие 7.

Действия над комплексными числами.


Задача 1. hello_html_553682d1.gif найти: hello_html_65e4d7c2.gif


Задача 2. Построить к.ч. A(-1), B(i), C(-2), D(-3i), E(2-3i),F(-4-2i), M(3+i),

N(-6+2i), P(2+2i), K(-2+2i), L(-2-2i).


Задача 3. Представить в тригонометрической форме к.ч.

hello_html_551d7d85.gif


Задача 4. представить в тригонометрической форме к.ч.

hello_html_m6fd05eb6.gif


§4.3. Показательная форма комплексного числа.


Кроме алгебраической и тригонометрической формы к.ч. имеют также показательную форму: hello_html_60d5d622.gif

Если hello_html_1876a5d3.gif, то hello_html_1997f960.gif

Если hello_html_6d3ee9c4.gif, то комплексно-сопряженное имеет вид: hello_html_70a1a9d3.gif.

Сравним записи комплексных чисел hello_html_m37200cb0.gif.

Пусть hello_html_meb4bab8.gif- тождество Эйлера.

Аналогично комплексно-сопряженные: hello_html_m7dcfcaa4.gif

Складывая два эти равенства, получим: hello_html_m1bef80c2.gif.

Вычитая эти два равенства, получим: hello_html_7f99edb3.gif

Пример. Найти показательную форму комплексного числа hello_html_351a073e.gif.

Решение. hello_html_2187bb9b.gif


Задачи:

  1. Найти показательную форму комплексного числа.

hello_html_2df64274.gif

  1. Найти тригонометрическую форму комплексного числа.

hello_html_5814dfa2.gif

  1. Найти hello_html_5c209dfa.gif, если hello_html_12b39427.gif.

  2. Самостоятельно: Найти hello_html_5c209dfa.gif, если hello_html_m4b100384.gif.


Действия над к.ч.

  1. Дано hello_html_3abc7b89.gif

Найти hello_html_53601ab2.gif

2. Дано hello_html_336d06ce.gif Найти тригонометрическую и показательную формы к.ч.

3. Дано hello_html_4c5650a1.gif Найти алгебраическую и показательную формы к.ч.

4. Решить уравнение hello_html_2db6c7e1.gif.


Контрольная работа №2.


Глава 5. Основы теории вероятностей.

§5.1. Вероятность. Случайные события.

Т.В. изучает закономерности, имеющие место в массовых случайных явлениях.

Опр.1.1. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.

Пример 1. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь.

Событие А1 – достали стандартную деталь.

Событие А2 – достали нестандартную деталь.

События А1 и А2 несовместные

Пример 2. Брошена игральная кость.

Событие А1 – появилось два очка.

Событие А2 – появилось четное число очков.

События А1 и А2 совместные.

Опр.1.2. Пусть событие А связано с опытом. Повторим опыт n раз, при этом событие А появится m раз, тогда m/n называется частотой появления события А.

Опр.1.3. вероятностью события А называется число, равное m/n, где m – число событий, благоприятных для А, n – обще число событий, тогда вероятность события А обозначается Р(А)= m/n.

Свойства вероятности Р(А):

1. hello_html_m6c42d4f2.gif.

2. Р(u)=1, где u – достоверное событие.

3. Р(v)=0, где v – невозможное событие.


Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)


Теорема произведения вероятностей:

Вероятность произведения двух несовместных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)


Опр.1.4. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется отношение вероятности произведения А*В к вероятности события А.

Р(В/А)=Р(А*В)/Р(А)


Задачи:

  1. В коробке находятся 100 шаров, отмеченных номерами 1,2,3,…..,100. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 5.

  2. Из коробки, в которой находятся 7 красных, 8 желтых, 5 зеленых шаров, наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: А) красным, Б) желтым, В) черным, Г) зеленым.

  3. Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется А) стандартной, Б) нестандартной.

  4. Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что А – выпало 3 очка, В – выпало нечетное число очков.

  5. Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб.

  6. В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской, 12 пар детской. Найти вероятность того, что наугад взятая пара окажется недетской.


§5.2. Случайная величина. Ее функция распределения.

Опр.2.1. случайная величина – действительная функция, заданная на пространстве элементарных событий данного испытания.

Почти в каждой задаче в результате эксперимента возникает некоторое число. Например, испытание – бросается игральная кость. Число Х – выпавшее число очков.

Опр.2.2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.

Опр.2.3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.

Пример. Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. Х – полное время горения.

Случайная величина обозначается X, Y, Z, а ее возможные значения х1, х2, х3 …

Опр.2.4. Законом распределения сл.в. называется правило, устанавливающее связь между возможными значениями сл.в. и их вероятностями.

Закон распределения дискретной сл.в. может быть задан таблицей или с помощью формулы. Если дискретная сл.в. Х принимает конкретное множество значений х1,х2,…хn с вероятностями р1,р2,…, рn, то закон ее распределения может быть задан формулой р1+р2+…рn=1.

Этот закон можно задать таблицей и графически.


Х

х1

х2

х3

хn

Р

р1

р2

р3

рn

Пример. Дискретная сл.в. задана законом:

Х

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Р

0,1

0,2

0,4

р4

0,1


Найти вероятность р4 = Р(Х=0,8). Построить график распределения?

Решение: р1+р2+р3+р4+р5=1 => р4=1-(р1+р2+р3+р5)=1-(0,1+0,2+0,4+0,1)=0,2


hello_html_m2de41005.gif

hello_html_m7a2e057f.gifhello_html_26725a7c.gifhello_html_m534256bc.gif


hello_html_mbcd3f8b.gifhello_html_37f8dae0.gif





Задача. Дискретная сл.в. задана законом:

Х

3

4

5

6

7

Р

Р1

0,15

Р3

0,25

0,35




Найти р1=Р(Х=3) и р3=Р(Х=5), если р3 в 4 раза больше р1?


§5.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение hello_html_1eb298cc.gif.

Опр.3.1. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число

Х

х1

х2

х3

хn

Р

р1

р2

р3

рn

M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn


Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х

1

2

3

4

5

6

Р

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

  1. М(СХ)=С*М(Х).

  2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

  3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)


Опр.3.2. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр.3.3. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается hello_html_11eeb3f5.gif

Опр.3.4. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии. hello_html_m19dd8fbd.gif .

На практике часто используют формулу hello_html_m35817992.gif.

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х

0

1

2

Р

0,3

0,5

0,2

Найти D(X)? hello_html_1eb298cc.gif?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины hello_html_42aedc35.gif

hello_html_42aedc35.gif

(0-0,9)hello_html_m3172e248.gif

(1-0,9)hello_html_m3172e248.gif

(2-0,9)hello_html_m3172e248.gif

Р

0,3

0,5

0,2


D(X)=(0-0,9)hello_html_m3172e248.gif*0,3+(1-0,9)hello_html_m3172e248.gif*0,5+(2-0,9)hello_html_m3172e248.gif*0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.


hello_html_m1dca6187.gif


Задача. Найти М(Х)? D(X)? hello_html_1eb298cc.gif? Сл.в., заданной по закону:

Х

1

2

3

4

Р

0,3

0,1

0,2

0,4



















Самостоятельные работы (карточки с заданиями).



Карточки по теме: «Производная функции».

Задание: Найти производную?

Вариант

Примеры

1

hello_html_m74c30bc3.gif


2

hello_html_m4ddd69ae.gif


3

hello_html_m6730ff62.gif


4

hello_html_m4d9b7fea.gif


5

hello_html_2abeeda9.gif


6

hello_html_m3ceac73e.gif


7

hello_html_m370e954c.gif


8

hello_html_7aacc066.gif


9

hello_html_7e907131.gif


10

hello_html_m731781a2.gif


11

hello_html_7d835337.gif


12

hello_html_3612bd70.gif


13

hello_html_m4680c2c1.gif


14

hello_html_m6ed46ed1.gif


15

hello_html_m76f452c9.gif


16

hello_html_mbe7c32b.gif


17

hello_html_m6dac102a.gif


18

hello_html_m4cc73d0f.gif


19

hello_html_m19e16f2a.gif


20

hello_html_m428aac66.gif


21

hello_html_m31d73e55.gif


22

hello_html_m30592878.gif


23

hello_html_b24ab75.gif


24

hello_html_m612575e4.gif


25

hello_html_m1055340f.gif


26

hello_html_md90487d.gif


27

hello_html_m2052b7b3.gif


28

hello_html_5be32052.gif


29

hello_html_m14c2d88a.gif


30

hello_html_a4752a.gif




Карточки по теме: «Комплексные числа, действия над ними».

Задания:

  1. Найти сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел.

  2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа.

  3. Найти показательную и алгебраическую форму комплексного числа.

  4. Решить уравнение.

Вариант

Примеры

Z1=-1+3i, z2=3-2i,

Z=1+i

Z=4(cos90+isin90)

9hello_html_m69ec7d93.gif-12x+7=0

Z1=0,5+i, z2=1-1,5i,

Z=3+4i

Z=3/5(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif-10x+50=0

Z1=-1+2i, z2=4-3i,

Z=6+6i

Z=8(cos270+isin270)

hello_html_m69ec7d93.gif-10x+50=0

Z1=3+i, z2=1,5+i,

Z=1-2i

Z=0,5(cos30+isin30)

hello_html_m69ec7d93.gif+25=0

Z1=10+i, z2=i,

Z=1+i

Z=4(cos45+isin45)

hello_html_m69ec7d93.gif+7=0

Z1=2-2i, z2=-1+i,

Z=2+0i

Z=2(cos180+isin180)

hello_html_m69ec7d93.gif+3x-4=0

Z1=-2+i, z2=3-i,

Z=2+3i

Z=9(cos270+isin270)

hello_html_m69ec7d93.gif+2x+2=0

Z1=-1+7i, z2=8,

Z=7+0i

Z=-3(cos180+isin180)

hello_html_m69ec7d93.gif+9=0

Z1=-i, z2=-4-5i,

Z=-4+4i

Z=0,5(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif+16=0

Z1=0,5-i, z2=-0,5-i,

Z=-1-i

Z=7(cos60+isin60)

hello_html_m69ec7d93.gif+2x-1=0

Z1=1-i, z2=1+i,

Z=2+5i

Z=4(cos120+isin120)

9hello_html_m69ec7d93.gif+1=0

Z1=0,5+0,5i, z2=-i,

Z=1-hello_html_m212d7500.gifi

Z=8(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif+9=0

Z1=-1+i, z2=3-2i,

Z=1+i

Z=3(cos45+isin45)

hello_html_m69ec7d93.gif+2x+8=0

Z1=i, z2=7+3i,

Z=1+i

Z=3(cos270+isin270)

hello_html_m69ec7d93.gif-2x+4=0

Z1=4,5+2i, z2=-1+i,

Z=1+i

Z=0,5(cos30+isin30)

hello_html_m69ec7d93.gif+100=0

Z1=2-i, z2=1-i,

Z=-1+i

Z=25(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif+3=0

Z1=3+7i, z2=1-2i,

Z=1+i

Z=3(cos30+isin30)

9hello_html_m69ec7d93.gif+12x+7=0

Z1=3+0i, z2=2-3i,

Z=-4+3i

Z=1(cos60+isin60)

hello_html_m69ec7d93.gif+2=0

Z1=10-i, z2=-1+i,

Z=1+3i

Z=4(cos60+isin60)

hello_html_m69ec7d93.gif+5=0

Z1=-5-i, z2=7i,

Z=1+i

Z=7,5(cos120+isin120)

hello_html_m69ec7d93.gif+8=0

Z1=0,4+i, z2=0,6-2i,

Z=hello_html_m212d7500.gif+i

Z=9(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif+3x+7=0

Z1=2+5i, z2=4,

Z=hello_html_m5abc1c44.gif+hello_html_m5abc1c44.gifi

Z=2(cos360+isin360)

hello_html_m69ec7d93.gif+2x+7=0

Z1=7-8i, z2=-1+5i,

Z=-1-i

Z=4(cos60+isin60)

hello_html_m69ec7d93.gif+3x+4=0

Z1=3+2i, z2=-7+5i,

Z=hello_html_m212d7500.gif+i

Z=3(cos30+isin30)

hello_html_m69ec7d93.gif-2x+2=0

Z1=3+4i, z2=0,5-i,

Z=1-2i

Z=3(cos45+isin45)

hello_html_m69ec7d93.gif+2=0

Z1=-3-4i, z2=0,3-1i,

Z=1+2i

Z=8(cos60+isin60)

hello_html_m69ec7d93.gif+4=0

Z1=-1+3i, z2=3-2i,

Z=4+i

Z=9(cos90+isin90)

hello_html_m69ec7d93.gif-12x+7=0

Z1=-1+i, z2=3-2i,

Z=1+i

Z=4(cos0+isin0)

9hello_html_m69ec7d93.gif-2x+7=0

Z1=-4+3i, z2=1-2i,

Z=1+i

Z=4(cos30+isin30)

9hello_html_m69ec7d93.gif-12x+7=0

Z1=-1+3i, z2=3-2i,

Z=1+5i

Z=2(cos90+isin90)

9hello_html_m69ec7d93.gif-12x+4=0




Контрольная работа №1 по теме: «Предел функции, производная, интеграл, ряд, дифференциальные уравнения»


  1. Вычислить предел

hello_html_17fd3aa4.gifhello_html_4e828a37.gif

  1. Найти производную

hello_html_374e5477.gifhello_html_56d8ad5.gif

  1. Вычислить интеграл

hello_html_1cf1597c.gifhello_html_4b339772.gif

  1. Найти hello_html_5d31e8e9.gif

hello_html_m22f3f7a5.gifhello_html_m2ac3e7ef.gif

  1. Определить сходимость ряда по признаку Даламбера

hello_html_m6db36b72.gifhello_html_m30aa7a2d.gif



  1. Расписать первые три элемента ряда

hello_html_m1a9dc5f.gifhello_html_2c95e598.gif

  1. Решить дифференциальное уравнение

hello_html_31a5415.gifhello_html_m6da0897f.gif

Контрольная работа №2 по теме: «Комплексные числа»


1. Выполнить действия над комплексными числами hello_html_49500699.gif

hello_html_4f1f02ac.gifhello_html_46fc68fb.gif

2. Перевести в тригонометрическую и показательную форму, построить график

hello_html_1f027671.gifhello_html_m3d3af7e8.gif


3. Перевести в алгебраическую форму

hello_html_m4ae02162.gifhello_html_69754db8.gif


4. Решить квадратное уравнение

hello_html_789205f0.gifhello_html_6095184c.gif































Список литературы


  1. Виноградов И. М.Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2007.

  2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2008

  3. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф.

учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е

изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.

  1. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс,

4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.

  1. Спирина. М.С. Теория вероятностей и математическая статистика:

учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина,

П.А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 352 с.

  1. Шипачев В. Основы высшей математики: учебное пособие для ВТУЗов. –

М: Высш. шк., 2007




58



Краткое описание документа:

Пособие предназначено для самостоятельной работы студентов второго курса по математике всех специальностей. Разработано на основе учебно-методического комплекса по математике, автор Кичигина Н.Х. в пособии собраны материалы по темам: производные, ряды, интегралы, случайные события, вероятность. Пособие содержит не только теоретический материал, но и практические задания, что позволит студет более основательно подготовиться по данным темам. пособие также содержит проверочные работы, что позволит студентам закрепить свои знания. надеюсь, что данное пособие сэкономит ваше время на подготовку к занятиям.

Автор
Дата добавления 29.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров625
Номер материала 549104
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх