Методическое пособие "Использование алгоритмов на уроках математики в начальной школе"

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ

 

 

Методическое пособие

 

 

Для студентов педагогических колледжей

и учителей начальных классов

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧЕЛЯБИНСК

2012

 

 

 

Использование алгоритмов на уроках математики в начальной школе: методическое пособие для студентов педагогических колледжей и учителей начальных классов / Сост. Г.Г.Мальцева. – Челябинск: ЧПК №2, 2012. –  32 с.

 

 

 

 

В данном методическом пособии рассматриваются теоретические и методические аспекты формирования и развития у младших школьников мышления посредством использования алгоритмов на уроках математики в начальной школе. Пособие предназначено для студентов педагогических колледжей и учителей начальных классов. Его цель – методическая помощь студенту и учителю при организации работы с алгоритмическими обучающими средствами на уроках математики, способствуя тем самым развитию алгоритмического мышления у младших школьников.

 

 

 

 

 

Мальцева Галина Геннадьевна

 

Использование алгоритмов на уроках математики в начальной школе

Методическое пособие

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г.Г. Мальцева, 2012

ГБОУ СПО (ССУЗ) ЧПК № 2, 2012

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

Практика обучения и педагогические исследования в области начального математического обучения показывают, что в настоящее время необходимо отказаться от представления об учебном процессе как процессе передачи информации.

Современное общество требует от нового поколения умения планировать свои действия, находить необходимую информацию для решения задачи, моделировать будущий процесс. Поэтому школьный курс математики, развивающий алгоритмическое мышление, формирующий соответствующий стиль мышления, является важным и актуальным.

Переход на новый образовательный стандарт начального образования влечёт за собой реализацию системно-деятельностного подхода, предполагающего использование в учебном процессе активных способов обучения, в том числе и алгоритмизации.

Федеральный государственный образовательный стандарт (ФГОС) начального общего образования предусматривает требования к результатам освоения основных образовательных программ, которые отражают индивидуальные, общественные, государственные потребности, и включают в себя предметные, метапредметные и личностные результаты.

В настоящем методическом пособии рассматриваются теоретические и методические аспекты установленных ФГОС требований к результатам (метапредметным и предметным) обучающихся, освоивших основную образовательную программу начального общего образования:

метапредметным, включающим освоенные обучающимися универсальные учебные действия (познавательные, регулятивные и коммуникативные), обеспечивающие овладение ключевыми компетенциями, составляющими основу умения учиться, и межпредметными понятиями.

предметным, включающим освоенный обучающимися в ходе изучения учебного предмета опыт специфической для данной предметной области  деятельности по получению нового знания, его преобразованию и применению, а также систему основополагающих элементов научного знания, лежащих в основе современной научной картины мира.

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования определяет метапредметные результаты в области освоения начального математического образования, которые должны отражать:

1)   использование знаково-символических средств представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач;

2)   овладение логическими действиями сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовидовым признакам, установления аналогий и причинно-следственных связей, построения рассуждений, отнесения к известным понятиям;

3)   овладение базовыми предметными и межпредметными понятиями, отражающими существенные связи и отношения между объектами и процессами;

Предметные результаты освоения основной образовательной программы начального общего образования с учётом специфики содержания предметной области «Математика и информатика» должны отражать:

… «2) овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчёта, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов;

…4)…умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, …, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные».

Проблема развития  алгоритмического мышления в начальной школе – одна из важнейших в психолого-педагогической практике. Основной способ её решения – поэтапное формирование логических приёмов мышления с постепенным переходом непосредственно к элементам алгоритмизации.

В данном пособии обоснована взаимосвязь логического и алгоритмического мышления младших школьников, представлены теоретические и методические аспекты формирования элементов логической и алгоритмической грамотности школьников посредством использования алгоритмов на уроках математики в начальной школе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Взаимосвязь логического и алгоритмического

мышления школьников

 

Умение последовательно, чётко и непротиворечиво излагать свои мысли тесно связанные с умением представлять сложное действие в виде организованной последовательности простых действий называется алгоритмическим. Оно находит своё выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или алгоритм (если он существует), в результате выполнения которого цель будет достигнута.

Под способностью алгоритмически мыслить понимается умение решать задачи различного происхождения, требующие составления плана действий для достижения желаемого результата.

Основной особенностью алгоритмического мышления считается умение определять последовательность действий (алгоритм), необходимую для решения поставленной задачи. Очевидно, что потребность в подобном умении возникла достаточно давно, однако до ХХ века алгоритмическое мышление не выделялось как отдельный тип мышления. Выделять алгоритмическое мышление в качестве отдельного типа мышления стали сравнительно недавно, толчком к чему, несомненно, послужило развитие вычислительной техники.

Основные логические структуры мышления формируются в возрасте 5-11 лет. Запоздалое формирование этих структур протекает с большими трудностями и часто остаётся незавершённым. Следовательно, обучать детей в этом направлении целесообразно с начальной школы.

Учёт этих возрастных особенностей позволяет успешно развивать у детей алгоритмическое мышление и творческие способности, поддерживать постоянный интерес к предмету, даёт возможность на высоком уровне изучать математику.

Задачей начального курса математики является формирование вычислительной культуры, развитие алгоритмического мышления и творческих способностей младших школьников. Алгоритмическое мышление на уроках математики развивается  с помощью игр, сюжет которых основан на известных сказках; творческие способности учащихся развиваются посредством художественной деятельности, при подготовке и проведении викторин, конкурсов рисунков и т.п.

Алгоритмическое мышление, рассматриваемое как представление последовательности действий, наряду с образным и логическим мышлением определяет интеллектуальную мощь человека, его творческий потенциал. Навыки планирования, привычка к точному и полному описанию своих действий помогают школьникам разрабатывать алгоритмы решения задач самого разного происхождения.

Алгоритмическое мышление является необходимой частью научного взгляда на мир. В то же время оно включает и некоторые общие мыслительные навыки, полезные и в более широком контексте.

Алгоритмическое мышление включает в себя ряд особенностей, свойственных логическому мышлению, однако требует и некоторых дополнительных качеств. Основными из них считаются умение находить последовательность действий, необходимых для решения поставленной задачи, и выделение в общей задаче ряда более простых задач, решение которых приведёт к решению исходной задачи. Наличие логического мышления не обязательно (хотя и достаточно часто) предполагает наличие мышления алгоритмического.

На сегодняшний день одна из современных образовательных проблем - проблема «общения» с компьютерной техникой, требует умения понимать различного рода алгоритмические языки, а также наличия определённого уровня сформированности алгоритмического мышления. Отсюда и возникает задача формирования элементов алгоритмической грамотности уже в начальной школе. Большинство программ по математике начальной школы ориентировано на формирование логического и алгоритмического мышления, все они содержат раздел, посвящённый алгоритмам. Ведущая роль в решении сложившейся дидактической проблемы принадлежит учителю, который может организовать работу с алгоритмическими обучающими средствами на уроках математики, способствуя тем самым развитию алгоритмического мышления у младших школьников.

Формирования элементов алгоритмической грамотности, по мнению ведущих педагогов-методистов,  должно осуществляться на основе логических знаний и умений учащихся.  Так А.И. Газейкина выделяет следующие комплексы методических приёмов, применение которых способствует развитию алгоритмического мышления:

1.        Создание нового алгоритма, его запись, проверка и исполнение самим обучаемым или выбранным исполнителем.

2.        Усвоение алгоритмов решения основных типовых задач.

3.        Поиск и исправление синтаксических и семантических ошибок в алгоритме.

4.        Оптимизация готового алгоритма.

Учитывая связи между элементами логической и алгоритмической грамотности, в начальном курсе математики представлен следующий план реализации единой логико-алгоритмической линии:

Логическая:

1.        Умение узнавать предмет по данным признакам.

2.        Умение сравнивать.

3.        Умение распределять предметы по определённым признакам группы.

4.        Умение устанавливать соотношения общего и частного.

5.        Понимание смысла слов: и, или, все, каждый, некоторые.

6.        Умение получать умозаключение.

7.        Умение обосновывать умозаключение.

8.        Умение составлять алгоритм.

9.        Умение проверять правильность алгоритма.

Алгоритмическая:

1.        Понимание сущности алгоритма, его свойств.

2.        Умение читать алгоритм.

3.        Умение четко исполнять алгоритм.

4.        Знакомство с основными типами алгоритмов.

5.        Умение преобразовывать алгоритм.

6.        Умение выбирать рациональный алгоритм.

Важным средством формирования обобщённого способа действия на уроках математики является алгоритм.

Многие действия в своей жизни человек совершает по определённым правилам. При этом эффективность действий во многом зависит от того, насколько  чётко человек представляет то, что он должен делать в каждый момент времени, в какой последовательности и каким должен быть результат его действий.

Другими словами, результат деятельности напрямую зависит от того, насколько он представляет себе алгоритмическую сущность своих действий. Современная жизнь насыщена различными техническими средствами, в частности, компьютерной техникой. Это требует от человека строгого соблюдения определённой последовательности действий при их использовании, что, в свою очередь, невозможно без предварительного освоения соответствующих алгоритмов.

Таким образом, освоение алгоритмов выполняемых действий становится важным компонентом деятельности человека в современном мире, составной частью его культуры мышления и поведения. Алгоритм является одним из основных понятий, используемых в различных областях знаний.

В связи с этим можно утверждать, что главной целью использования алгоритмов на уроках математики является развитие алгоритмического, конструктивного, логического мышления учеников, а также формирование операционного типа мышления, которое направлено на выбор оптимального решения определённой поставленной задачи из нескольких возможных. Развитие этих специфических видов мышления даёт весомый вклад в развитие общего научного мировоззрения и умственных способностей личности.

 

Формирование элементов логической и алгоритмической

грамотности младших школьников

 

В поисках путей сохранения высоких результатов обучения с переходом учащихся на следующую ступень возникает необходимость формирования и развития общеучебных умений учащихся. В связи с реализацией компетентностного подхода значение этой работы неизмеримо возросло, так как учёные обозначили общеучебные умения как базово инвариантные элементы ключевых компетентностей.

Какую же роль выполняет алгоритм в системе обучения? Это, прежде всего точное и легко понимаемое описание того, что шаг за шагом выполняет ученик, которое после последовательного выполнения всегда приводит к правильному решению поставленных задач.

Таким образом, алгоритмирование определяет строгую логическую последовательность, непрерывность мыслительной деятельности, постепенно подводящей ученика к самостоятельному «открытию» истины и позволяющей избежать логических провалов. Работу по формированию алгоритмической грамотности необходимо начинать с первого класса, ибо уже с поступления в школу ученик осуществляет мыслительную деятельность и алгоритмическая грамотность – одно из важнейших условий её успешности.

Рассмотрим, как можно реализовать логико-алгоритмическую линию при изучении математики в начальной школе.

Остановимся вначале на логических знаниях и умениях, на основе которых должно осуществляться формирование алгоритмической грамотности учащихся. К ним относятся следующие знания и умения:

- знание точного смысла слов и, или, все, каждый;

- умение сравнивать;

- умение точно узнавать предмет по данным признакам;

- установление отношений общего к частному.

Поясним эти позиции более подробно.

1. Знание точного смысла слов и, или, все, каждый.

Для этого целесообразно использовать первые уроки в школе. С помощью контрольных вопросов выясняется, правильно ли дети понимают смысл указанных слов. В случае затруднений необходимо выполнить следующие задания:

1. Выбери из слов все, некоторые, каждый нужное слово и запиши его вместо точек, чтобы предложения были верными:

... треугольники – красные.

… круги – синие.

2. Нарисуй 3 квадрата и 2 треугольника. Раскрась 3 квадрата или 2 треугольника.

3. Нарисуй 5 звёздочек. Каждую из них раскрась красным карандашом. Сколько звёздочек ты нарисовал? Сколько звёздочек раскрасил? Почему?

2. Умение сравнивать.

Термин «сравнить» обычно используется в двух смыслах: а) для установления количественных отношений; б) для установления отношения сходства и различия объектов или их групп. Важно, чтобы учащиеся овладели приёмом сравнения на качественном уровне. Для этого можно использовать следующие задания:

1. Сравни два рисунка, две картинки, два каких-либо предмета.

2. Раскрась две картинки так, чтобы они были одинаковыми (различными).

Любое имеющееся задание можно усложнить, увеличивая число свойств одинаковых фигур, и тем самым уменьшить число отличительных свойств одинаковых фигур от остальных фигур ряда, например:

3. Выдели общие признаки группы предметов (цвет, форма, размер и т.д.).

При выполнении этих заданий вначале выделяются свойства каждой фигуры, а затем – общее свойство, присущее всем фигурам данной группы. Таким общим свойством может быть не только форма, цвет фигур, но и их количество, размер, назначение (например, посуда, одежда, орудия труда) и т.д.

3. Умение точно узнавать предмет по данным признакам.

Для формирования этого умения полезны следующие задания: а) поиск соответствующих фигур в предложенном ряду; б) поиск недостающих фигур. В заданиях такого вида вначале на основе сравнения и анализа выявляется закономерность в расположении фигур (чисел), исходя из которой формулируются существенные признаки искомой фигуры (числа), и в соответствии с ними указывается искомая фигура (число). Например:

1. Вставь пропущенное число: 5, 15, 25, ... , 45.

2. Впиши в таблицу недостающие цифры.

 

 

Развитие логического мышления связано с развитием речи, поэтому при выполнении заданий, аналогичных приведённым выше, важно, чтобы учащиеся умели объяснить, что они сделали и какой результат получили.

Целесообразно также предлагать задания, в которых требуется найти ошибку при продолжении ряда фигур (чисел), при заполнении матриц, таблиц.

4. Установление отношений общего к частному.

1. Реши примеры, подчеркни те, в ответе которых получилось 7.

2. Запиши все числа от 1 до 9. Подчеркни числа 6, 7, 8, 9. Объясни, какие числа нужно подчеркнуть, не перечисляя их.

Учащимся также стоит предлагать задания, в которых они должны уметь выделять ряд, вид фигур и формулировать видовое отличие, например: охарактеризовать фигуры, расположенные в ряду (столбце), и т.п.

Элементами алгоритмической грамотности являются:

– умение наглядно представить алгоритм;

– умение распределять предметы по каким-либо признакам в группы (группировка предметов);

– умение чётко исполнять алгоритм.

Раскроем смысл этих умений.

5. Наглядное представление (изображение) алгоритма.

У учащихся 1-х классов понятие алгоритма ещё ослаблено, но им доступны такие способы описания алгоритмов, как развёрнутое словесное описание, таблицы, граф-схемы, блок-схемы.

а) Развёрнутое словесное описание алгоритмов.

Начинать работу по составлению словесного описания алгоритмов следует с простейших, доступных и понятных детям, т.е. само действие не должно вызывать у них затруднений.

Например, можно составить вместе с детьми алгоритм перехода улиц.

б) Таблицы.

Следующий способ – таблица, содержащая несколько строк. Указан способ её заполнения. Заполнение таблиц готовит к восприятию идеи описания циклических процессов. Например, при изучении темы «Сложение и вычитание в пределах 10» можно предложить следующее задание:

К каждому числу первой строки таблицы прибавь 3 и запиши результат в соответствующей клеточке второй строки.

 

 

Такую таблицу можно использовать неоднократно, если в первом столбце заменять знак и число.

в) Граф-схемы.

В 1-м классе рассматриваются линейные граф-схемы. Узлы в них фиксируют состояние алгоритмического процесса, а стрелки – производимые преобразования. Граф-схемы, описывающие данный процесс, используются для совершенствования вычислительных навыков и знакомства с различными способами задания алгоритмов. Интерпретация граф-схем и задания к ним могут быть разными.

Граф-схемы используют при решении и составлении задач (выражений).

6. Умение распределять предметы по каким-либо признакам в группы (группировка предметов).

Для этого необходимо: а) выделять основные группировки; б) отнести объекты данного множества к группам. В 1-м классе можно использовать следующие задания.

а) Группировка по указанному признаку.

1. Распредели записанные числа в две группы: однозначные числа и двузначные числа.

1,  25,  77,  7,  10,  9,  19.

2. Распредели фигуры на группы: а) по цвету; б) по форме.

3. Реши примеры. Подчеркни примеры с одинаковыми ответами (действиями) карандашом одного цвета.

б) Выделение признака, по которому произведена группировка.

Чем похожи между собой примеры в каждом столбике?

11 + 5         10 – 8

11 + 9         12 – 1

12 + 4         9 – 5

7. Умение чётко исполнять алгоритм.

Это умение формируется на протяжении всего периода обучения в школе. Задания, выраженные в виде алгоритма (алгоритмического предписания), очень разнообразны.

Успешность их выполнения зависит от умения учащихся чётко исполнять заданный алгоритм.

Из вышеизложенного вытекает следующий вывод: алгоритмирование подчиняет мысли учеников постоянному, строго логическому ходу, дисциплинирует и тренирует мышление, которое играет важнейшую роль в формировании ключевых и предметных компетентностей.

 

Использование алгоритмов на уроках математики

в начальной школе

 

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) – сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью её решение. Но определённую подготовку к её достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Для этого, начиная с 1-го класса, нужно, прежде всего, учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работу следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных им. Можно составить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрёстком, алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какого-либо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т.д.

Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляет собой следующий алгоритм:

1.        Налить стакан горячей воды в кастрюлю.

2.        Взять чайную ложку напитка.

3.        Засыпать (всыпать) кофейный напиток в кастрюлю с водой.

4.        Нагреть содержимое кастрюли до кипения.

5.        Дать напитку отстояться.

6.        Налить напиток в стакан.

Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, а говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определённые действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.

Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими. Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере не в общем виде, в них находят отражение не все операции, входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (800 ∙ 4) выполняется так:

1. Представим первый множитель в виде произведения однозначного числа и единицы, оканчивающейся нулями: (8 ∙ 100) ∙ 4.

2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

    (8 ∙ 100) ∙ 4 = 8 ∙ (100 ∙ 4).

3. Воспользуемся переместительным свойством умножения:

    8 ∙ (100 ∙ 4) = 8 ∙ (4 ∙ 100).

4. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

     8 ∙ (4 ∙ 100) = (8 ∙ 4) ∙ 100.

5. Заменим произведение в скобках его значением:

    (8 ∙ 4) ∙ 100 = 32 ∙ 100.

6. При умножении числа на 1 с нулями нужно приписать к числу столько нулей, сколько их во втором множителе:  32 ∙ 100= 3200.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчётливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности. Например:

·       Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9 ∙ (8 ∙ 100)                    800 ∙ 7

(9 ∙ 8) ∙ 100                    (8 ∙ 7) ∙ 100

(9 ∙ 100) ∙ 8                    8 ∙ (7 ∙ 100)

9 ∙ 100                           8 ∙ 700

72 ∙ 100                         56 ∙ 100

·       Объясни, как получено выражение, записанное справа:

4 ∙ 6 ∙ 10 = 40 ∙ 6            2 ∙ 8 ∙ 10 = 20 ∙ 8

8 ∙ 5 ∙ 10 = 8 ∙ 50            5 ∙ 7 ∙ 10 = 7 ∙ 50

·       Можно ли утверждать, что значения произведений в каждой паре одинаковы:

45 ∙ 10                  54 ∙ 10                  32 ∙ 10

9 ∙ 50                   60 ∙ 9                    8 ∙ 40

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определённой программы.

Например, задание «найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» можно представить в виде алгоритмического предписания так:

1.   Запиши число 3.

2.   Увеличь его на 2.

3.   Полученный результат увеличь на 2.

4.   Повторяй операцию 3 до тех пор, пока не запишешь 5 чисел.

Словесное алгоритмическое предписание можно заменить схематическим:

 

         + 2            + 2             + 2             + 2

 

Это позволит учащимся более чётко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.

Наряду со словесными и схематическими предписаниями можно задать алгоритм в виде таблицы.

Например, задание: «Запиши числа от 1 до 6. Каждое увеличь: а) на 2; б) на 3» можно представить в такой таблице:

 

 

 

Таким образом, алгоритмические предписания можно задавать словесным способом, схемой и таблицей.

Действуя с конкретными математическими объектами и обобщениями в виде правил, дети овладевают умением выделять элементарные шаги своих действий и определять их последовательность.

Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алгоритмического предписания следующим образом. Для того чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:

1) из суммы вычесть одно из слагаемых;

2) сравнить полученный результат с другим слагаемым;

3) если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено верно;

4) в противном случае ищи ошибку.

Для формирования умения составлять алгоритмы нужно научить детей: находить общий способ действия; выделять основные, элементарные действия, из которых состоит данное; планировать последовательность выделенных действий; правильно записывать алгоритм.

Рассмотрим задания, цель которых – выявление способа действия:

·           Даны числа (см. рисунок). Составь выражения и найди их значения. Сколько всего примеров на сложение можно составить? Как нужно рассуждать при этом, чтобы не пропустить ни одного случая?

 

  31             40

 

  41             10

 

  11             20

 

При выполнении данного задания ученики осознают необходимость выделения общего способа действия. Например, фиксировать первое слагаемое 31, в качестве второго прибавлять все числа второго столбика, затем в качестве первого слагаемого фиксировать, например, число 41 и опять выбирать все числа из второго столбика, и т.д. Можно фиксировать второе слагаемое и перебирать все числа первого столбика. Важно, чтобы ребёнок понял, что, придерживаясь какого-то определённого способа действия, он не упустит ни одного случая и ни один из случаев не запишет дважды.

·           В зале три люстры и 6 окон. К празднику для украшения от каждой люстры к каждому окну протянули гирлянду. Сколько всего повесили гирлянд? (При решении можно использовать схематический рисунок.)

  ●               ●                ●                ●                 ●                ●

 

 

 

 

 

 

Для формирования у учащихся умения выявлять способ действия полезны комбинаторные задания. Их особенность в том, что они имеют не одно, а множество решений, и при их выполнении необходимо осуществлять перебор в рациональной последовательности. Например:

·           Сколько различных пятизначных чисел можно записать, используя цифры 55522 (цифру 5 можно повторять три раза, 2 – два раза).

Для решения этой комбинаторной задачи можно воспользоваться построением «дерева возможностей». Выписывается сначала одна цифра, с которой можно начать запись числа. Дальнейший алгоритм действий сводится к записи цифр, которые можно поставить после каждой цифры, пока не получим пятизначное число. Следуя данному алгоритму, необходимо комбинировать и подсчитывать, сколько раз повторились цифры 5 и 2.

 

 

                                               5

                                         5                2

                                 5        2           2          5    

                         2           5      2     5         2      5

                   2           2              5    5         5         2

 

Получились «веточки» с различными числами: 55522, 55252, 55225, 52552, 52525, 52255. Затем записывается цифра 2.

 

                                               2

                                              5       2

                                     2           5       5

                              5          5           2        5

                        5           2                   5         5

 

Записываем числа, двигаясь по «веточкам»: 22555, 25525, 25552, 25255. Ответ: можно записать 10 чисел.

 

Использование алгоритмов на уроках математики

на примере изучения темы «Уравнения»

 

Выполняя любые задания, ученик использует в своих суждениях план, который определяет «шаги», ведущие к достижению поставленной цели. Иначе говоря, использует алгоритм – совокупность математических операций, выполняемых в заданном порядке, которые позволяют решать учебные задачи определённого типа.

Использование в учебной деятельности алгоритмов позволяет учащимся начальных классов:

- учиться рассуждать, переносить общие суждения на частные;

- развивать математическую речь; последовательно, грамотно излагать применяемые знания;

- ускорить осознание изучаемого материала;

- увеличить количество тренировочных упражнений;

- больше времени уделять самостоятельной работе;

- формировать навыки самоконтроля.

Рассмотрим различные способы подачи алгоритмов.

1. Алгоритм даётся заранее и является направляющей линией при изучении теории и формирования практических навыков.

Поясним, как это делается, на конкретном примере:

*     Алгоритм решения уравнений на нахождение неизвестной части через использование предметной иллюстрации

·      Прочитай компоненты уравнения, соотнеся их с понятиями: целое, часть, часть.

·      Зачеркни в целом известную часть.

·      Запиши оставшуюся часть.

 

Х +                        =

        

           Х =

 

I слагаемое – часть,

II слагаемое – часть,

сумма – целое.

2. Алгоритм может быть сформулирован в процессе изучения материала и служит базой для рассуждений при выполнении заданий данного типа.

Составим и решим уравнение, заданное в условиях, отличных от прежних. Сформулируем алгоритм нахождения корня уравнения, основанный на способе графического моделирования.

Предложим вспомогательные и математические модели уравнений с использованием числового отрезка.

Для обсуждения способа нахождения корня уравнения предложим систему вопросов:

- С какого числа записано уравнение? Почему?

- Когда в уравнении ставят знак «–», а когда «+»?

- Какое число записывают после знака «=»? Почему?

- Как найти корень уравнения, опираясь на числовой отрезок?

Осуществим план составления уравнения и нахождения его корня.

*  Алгоритм решения уравнения с помощью числового отрезка

·      Запишу число, от которого направлена стрелка.

·      Поставлю знак арифметического действия (если направление движения влево – «–», вправо – «+»).

·      Обозначу неизвестный компонент буквой х.

·      Запишу знак равенства и число, на котором завершено движение стрелки.

·      Посчитаю, сколько единиц между числами.

·      Запишу ответ.

 

Алгоритм решения уравнений           на основе взаимосвязи между    частями и целым	Алгоритм решения уравнений          на основе взаимосвязи между    компонентами и результатами арифметических действий
1.     Прочитаю уравнение, соотнеся его с терминами: часть, часть, целое (подчеркну части чертой, целое обведу кружком). 2.     Вспомню правило, которое необходимо использовать в решении. 3.     Применю сформулированное правило. 4.     Читаю ответ	1.    Прочитаю уравнение, называя компоненты арифметического действия. 2.    Вспомню правило нахождения неизвестного компонента. 3.    Применю сформулированное правило, найду неизвестный компонент. 4.    Читаю ответ
3 + х =  7 х  = 7 – 3 х = 4	х  + 28 = 53 х = 53 – 28 х = 25
1. 3 – часть, х – часть, 7 – целое (3 и х подчеркну, 7 обведу кружком). 2. Чтобы найти неизвестную часть, нужно от целого отнять часть. 3. 7 – 3 = 4 4. 4	1. х – первое слагаемое, 28 – второе слагаемое, 53 – сумма. 2. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. 3. 53 – 28 = 25 4. 25 – корень уравнения

 

Всегда ли можно пользоваться алгоритмом?

Да, если рассматривается решение стандартных математических заданий. Но при выполнении заданий, сформулированных в нестандартной форме или предполагающих нестандартное решение, алгоритм сковывает. Однако набор различных алгоритмов даёт ученику возможность формировать свой путь рассуждения.

Составляя алгоритм решения уравнения на основе взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий, можно опираться на алгоритм решения уравнений на основе взаимосвязи между частью и целым (см. таблицу).

Шаги алгоритмов и последовательность их выполнения одинаковые, но применяемые знания различны.

В ходе решения уравнения вида 17 + 17 = 17 ∙ х  можно преобразовать левую часть и использовать знакомый алгоритм на основе взаимосвязи между компонентами и результатами арифметических действий. Проанализировав вид уравнения, можно найти рациональный способ его решения и составить к нему соответствующий алгоритм.

*  Алгоритм решения уравнений на основе знаний конкретного смысла умножения

·      Заменю сумму одинаковых слагаемых действием умножения.

·      Сравню левую и правую части уравнения.

·      Сделаю вывод.

17 + 17 = 17 ∙ х 

17 ∙ 2 = 17 ∙ х 

 2 = х 

Алгоритм можно предлагать в различных формах.

1. Словесная запись предполагает описание последовательности выполнения действий на естественном языке. Например:

*          Алгоритм решения уравнений через взаимосвязь  между компонентами и результатами арифметических действий в две ступени

·      Установлю, какое действие выполняется последним.

·      Установлю, чем выражены компоненты этого действия.

·      Вспомню и применю правило нахождения неизвестного компонента.

·      Преобразую правую часть уравнения.

·      Прочитаю полученное уравнение, называя компоненты.

·      Вспомню и применю правило нахождения неизвестного компонента.

·      Найду корень уравнения.

·      Проверю, сделаю вывод.

(х + 3) : 8 = 5

 х + 3 = 5 ∙ 8

 х + 3 = 40

 х = 40 – 3

 х = 37

 (37 + 3) : 8 = 5

                 5 = 5

2. Запись, где алгоритм представлен в виде программы действий. Например:

*          Программа нахождения неизвестного уменьшаемого

(здесь под знаками       и       подразумеваются численные значения).      

        

 

 

 

 

3. Запись алгоритма на языке блок-схем. Они состоят из блоков и стрелок, которые указывают последовательность выполнения действий. Например: 

*          Алгоритм решения уравнений на основе части и целого   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Предложенные модели алгоритмов рассмотрены на примере темы «Уравнения» по учебникам математики Л.Г. Петерсон.

Основной целью обучения составлению алгоритмов и их использования на уроках математики в начальной школе является формирование у детей умения планировать свои действия, осуществлять поиск решения поставленной перед ними задачи. Одновременно дети осваивают соответствующий объём знаний, предусмотренный программой.

 

Составление алгоритма на уроках математики

при решении примеров в столбик

 

Алгоритм представляет собой план действий, приводящий к заданной цели. Составление алгоритма на уроках математики позволяет детям не только научиться решать примеры, но и контролировать свои действия.

Дети, участвуя в составлении алгоритма, настолько увлекаются процессом пошаговых действий, что при его использовании ошибочных ответов почти не допускают.

Как происходит процесс усвоения учащимися точных знаний? Ответ на этот вопрос дал выдающийся психолог П.Я. Гальперин: «Каждое новое умственное действие ребёнок осваивает поэтапно. На первом этапе он ориентируется в новом для него действии, узнаёт, какие операции и в какой последовательности нужно осуществить. На втором этапе он пробует совершить эти операции, проверяя правильность каждого шага, т.е. совершает новое действие в материальном виде. На последнем этапе ребёнок приучается выполнять новое действие быстро, автоматизированно, проверяя только конечный результат».

Приводим конспект урока математики во 2-м классе (Учебник «Моя математика» авт. Т.Е. Демидовой, С.А. Козловой, А.П. Тонких).

Урок математики во 2-м классе

Тема урока: «Сложение двузначных чисел в столбик с переходом через десяток» (урок введения нового знания)

Цели урока:

1) познакомить с письменным приёмом сложения вида 72 + 18, когда сумма – круглое число;

2) развивать аналитическое мышление – умения работать по алгоритму, выделять главное, развивать навыки самоконтроля;

3) воспитывать добросовестное отношение к труду, навыки сотрудничества.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

Учитель:

– Сегодня к нам на урок пришёл наш хороший знакомый. Вы его узнали? (Это Петя). Он пришёл не с пустыми руками, а принёс очень интересные задания.

Задание № 1. «Разминка» (работа с сигнальными карточками).

 

32 + 8 =	40
46 + 4 =	50
53 + 7 =	60
65 + 5 =	70
87 + 3 =	90

 

 

– Что интересного в этих примерах? (При сложении единиц получаем десяток, а в ответе – круглое число.)

– Молодцы! Петя составил для вас примеры ещё одного вида, они лежат перед вами:

 

32               43               72

16               14               18

48               57               90

 

 

 

3. «Открытие» нового знания.

Цель работы на этом этапе урока:

1) дать детям возможность самостоятельно понять и постараться объяснить то новое, что появилось в записи в столбик», увидеть проблему, постараться решить её;

2) самостоятельно, в доступных формулировках, вывести алгоритм сложения чисел, когда сумма – круглое число.

– Прежде чем мы приступим к этому заданию, вспомним алгоритм сложения в столбик. О чём мы должны помнить? (Начинаем сложение с разряда единиц.)

Дети работают в парах.

– Проверяем.

Дети называют ответ (читают компоненты суммы), учитель открывает запись.

– Какой ответ получился в последнем примере?

Одни дети утверждают, что 80, другие – 90.

– Кто прав? Как вы нашли эту сумму? (Один из учеников: При сложении единиц мы получили 10 единиц – это 1 десяток 0 единиц, пишем под единицами 0, а десяток переходит к десяткам, надписываем над десятками. Складываем десятки и прибавляем 1 десяток, который перешёл к десяткам от сложения единиц. Всего получилось 9 десятков. Подписываем под десятками. Читаю: сумма чисел 72 и 18 равна 90.)

1

72

18

90

– Что нового в этом примере? Что нового появилось в записи в столбик? (Единица над разрядом десятков.)

– Зачем? Какая тема нашего урока, кто догадался? («Сложение двузначных чисел в столбик нового вида, с переходом через десяток».)

Учитель открывает запись темы на доске.

– Цель нашего урока – научиться складывать двузначные числа в столбик, с переходом через десяток.

А теперь прочитаем объяснение в учебнике.

Работа с текстом учебника со знаком «!». Читает хорошо подготовленный ученик, учитель показывает на примере пошаговые действия.

– Дополним наш алгоритм новыми знаниями.

Дети сами должны будут внести в алгоритм предложенные дополнения, расставив их по шагам (см. таблицу ниже).

4. Первичное закрепление.

Цель работы на данном этапе урока – учиться работать с алгоритмом письменного сложения для случаев, когда сумма – круглое число.

Выполнение задания № 2 с опорой на составленный алгоритм. Примеры записаны на доске в столбик:

28 + 2                  28 + 22

28 + 12                 28 + 32

Несколько учеников решают примеры на доске с комментированием, остальные – в тетрадях.

– Как изменяются компоненты сложения в этих равенствах? Что происходит с суммой? (Второе слагаемое увеличивается на 1 десяток, от этого и увеличивается сумма.)

5. Физминутка.

– Петя приготовил нам свою физминутку – математическую. Когда я назову двузначное число, вы сделаете два наклона, однозначное число – приседание:

22, 3, 55, 90, 100, 7, 77, 70, 2, 10, 44.

6. Первичная проверка новых знаний.

– Молодцы, а теперь Петя хочет проверить, как вы усвоили новый материал. Он предлагает решить примеры. Кому нужна помощь?

Учитель открывает запись на доске:

27 + 13

36 + 14

48 + 12

– Сверяем с решением на обратной стороне доски.

 

Складываю единицы. Подписываю под единицами

10 ед. – это 1 дес. 0 ед.; пишу под единицами 0, а 1 дес. надписываю над десятками

Складываю десятки

Прибавляю 1 дес. к десяткам

Пишу под десятками

Читаю результат

 

Самооценка своей работы (по алгоритму).

7. Систематизация и повторение.

Решение текстовой задачи.

– Петя предлагает вам решить задачу. (Раздаёт карточки с записью условия.)

Ребята двух классов собирали шишки для уроков труда. Ученики первого класса собрали 26 шишек, ученики второго класса – на 14 шишек больше, чем ученики первого класса. Сколько всего шишек собрали ребята?

– Самостоятельно читаем задачу, подчёркиваем все величины и опорные слова. Далее работаем всем классом под руководством учителя:

1) выносим все величины на доску;

2) устанавливаем их взаимосвязь;

3) строим вспомогательную схему;

4) сопоставляем полученную на доске схему с теми, что были предложены учителем, и выбираем оптимальную – ту, которая ясна и понятна и поможет решить задачу (дать ответ).

Проверка схем.

– Есть ли у Пети такая же схема, как вас? Решаем задачу самостоятельно.

Проверяем, сличая своё решение с записью на обратной стороне доски:

1) 26 + 14 = 40 (ш.) – собрал второй класс.

2) 26 + 40 = 66 (ш.) – всего собрали ребята.

Ответ: 66 шишек.

8. Занимательный материал.

– Посмотрите, какие интересные примеры принёс нам Петя:

32                   *4

1*                   26

50                   40

Вы догадались, как их решать?

9. Итог урока. Рефлексия.

– Что нового вы сегодня узнали на уроке?

– Что вам удалось? Над чем надо потрудиться?

10. Домашнее задание.

«Составь примеры для соседа» (5 примеров на сложение двузначных чисел нового вида).

 

Алгоритм урока-игры «На лыжне»

Автор Е.А. Серекурова – учитель первой категории школы № 19, г. Удачный, Республика Саха (Якутия)

 

В начальном курсе математики (автор Л.Г. Петерсон) изучается тема «Программа действий. Алгоритм», основной целью которой является формирование представления о понятиях «программа», «алгоритм», «блок-схема».

На первых уроках учащиеся знакомятся и учатся составлять простые линейные алгоритмы: подготовка к рисованию, заваривание чая и др. Затем дети знакомятся с более сложными алгоритмами – разветвляющимися, где порядок операций зависит от ответа на вопрос. Кроме этого, в учебниках математики постоянно встречается задание-игра «Вычислительные машины», где требуется выполнить вычисления по заданному алгоритму.

При изучении темы «Программа действий. Алгоритм» на одном из занятий учащимся можно предложить задание на составление алгоритма прошедшего урока. В следующий раз рекомендуется поработать по  составлению алгоритма урока «Вычитание суммы из числа», заданного блок-схемой:

устный счёт

повторение свойств сложения (решение примеров с доски)

изучение нового материала

вывод, заучивание правила

закрепление изученного

самостоятельная работа

взаимопроверка, оценка самостоятельной работы

решение примеров и задач на повторение

итог урока, анализ и оценка своей деятельности на уроке

домашнее задание

 

В дальнейшем алгоритм урока необходимо усложнить введением балльной системы оценки деятельности учащихся. За каждый правильный ответ или решённое задание ученик получает 1 балл. В конце урока баллы суммируются, в зависимости от количества набранных баллов выставляется оценка.

После усложнения алгоритма урока ученики сами проверяют правильность выполнения задания, сверяясь с учителем, или с ответами на карточках, или с доской (ответы написаны с обратной стороны доски).

На следующих уроках рекомендован постепенный переход к работе учащихся по разветвляющемуся алгоритму, а чтобы интерес у детей не пропал, необходимо использовать на уроке элемент дидактической игры.

Приводим пример алгоритма урока-игры математики «На лыжне». Эту игру можно использовать много раз, особенно на уроках повторения и закрепления, нужно только менять номера заданий в соответствии с изученной темой.

Стоит, наверное, пояснить, что при подготовке к первому уроку-игре «На лыжне» учащихся необходимо познакомить с блок-схемой дома, а потом ещё раз повторить её  на уроке.

При организации учебной деятельности на уроке математики по заданной блок-схеме  у учащихся формируются умения:

- работать в паре, группе и самостоятельно;

- определять для себя основную цель работы на уроке;

- оценивать свою деятельность;

- анализировать собственные учебные достижения на уроке.

Кроме того, наблюдения показали, что знания, полученные самостоятельно и осознанно, да ещё и оценённые товарищем или одноклассником, более прочные. А это тоже очень важно.

Обучение алгоритмам даёт возможность достичь обязательного уровня обучения наиболее слабым учащимся и не может привести к стандартизации мышления и подавлению творческих сил детей, так как выработка различных автоматизированных действий (навыков) – необходимый компонент творческого процесса, без них он просто невозможен.

Обучение алгоритмам не сводится к их заучиванию, оно предполагает и самостоятельное открытие, построение и формирование алгоритмов, а это и есть творческий процесс.

Наконец, алгоритмизация охватывает далеко не весь учебный процесс, а лишь те его компоненты, где она является целесообразной. Система алгоритмов позволяет в определённой мере автоматизировать учебный процесс на этапе формирования навыков в решении типовых задач и создаёт широкие возможности для активной самостоятельной работы учащихся.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                   

 

                                                                                                   Да                                                                               Нет

 

 

 

 

 

                                                                                                   Да                                                                               Нет

 

 

 

 

 

 

 

                                    Да                                                                      Нет

 

 

 

 

 

 

 

                       

 

 

                                                       Да                                                                                                           Нет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Библиографический список

1.        Байрамукова, П.У. Методика обучения математике в начальных классах [Текст]: курс лекций / П.У. Байрамукова, А.У. Уртенова. – Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. – 299 с.

2.        Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе [Текст]: учеб. пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. «Педагогика и методика начального образования» / А.В. Белошистая. – М. : Гуманитар. изд. центр ВЛАДОС, 2001. – 455 с.

3.        Гажук, Н.И. Формирование элементов логической и алгоритмической грамотности [Текст] / Н.И. Гажук // Начальная школа плюс до и после. – 2011. – № 7. – С. 30-33.

4.        Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах [Текст]: Учеб. пособие для студ. пед. учеб. заведений и фак-ов нач. классов педвузов / Н.Б. Истомина. – М. : LINKA-PRESS; Издательский центр «Академия», 1998. – 288 с.

5.        Медведева, Н.В. Составление алгоритма на уроках математики при решении примеров в столбик [Текст] / Н.В. Медведева // Начальная школа плюс до и после. – 2010. – № 3. – С. 48-50.

6.        Серекурова, Е.А. Модульные уроки в начальной школе [Текст] / Е.А. Серекурова // Начальная школа плюс до и после. – 2002. - № 1. – С. 70-72.

7.        Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Текст]. – М., Издательство «Просвещение», 2010.