Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическое пособие по математике "Прогрессии" (9 класс)

Методическое пособие по математике "Прогрессии" (9 класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов


МАОУ Центр образования №47












Методическое пособие

по теме «Прогрессии»










Выполнила:

учитель математики

МАОУ ЦО №47

Кидалова Лариса Леонидовна









Иркутск

2015 г.


Содержание


Предисловие


3

Исторические сведения


4

Арифметическая прогрессия

    1. Основные понятия

    2. Формула n-ого члена арифметической прогрессии

    3. Свойства арифметической прогрессии

    4. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии

    5. Задачи обязательного уровня

    6. Задачи среднего уровня

    7. Задачи повышенной сложности

    8. Задачи для самостоятельного решения



6

7

8

9


10

12

15

18

Геометрическая прогрессия

    1. Основные понятия

    2. Формула n-ого члена геометрической прогрессии

    3. Свойства геометрической прогрессии

    4. Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии

    5. Бесконечная геометрическая прогрессия

    6. Задачи обязательного уровня

    7. Задачи среднего уровня

    8. Задачи повышенной сложности

    9. Задачи для самостоятельного решения



19

20

21

22


22

24

27

29

36

Литература


38
















Пояснительная заниска


Что математика … имеет высокую образовательную силу,

что она развертывает и упражняет

превосходно умственные способности учащихся,

в этом не сомневался еще никто

из самых заклятых ненавистников ужасной и неприступной науки.

Смышленость учеников растет постоянно во время их математических занятий,

это так же верно и неизбежно, как то,

что мускулы человека крепнут, и ловкость его увеличивается,

когда он занимается гимнастическими упражнениями.

Писарев Д. И.


Тема «Прогрессии» не особенно глубоко изучается в школьном курсе элементарной алгебры.

Данное методическое пособие поможет систематизировать имеющиеся знания и ликвидировать пробелы в них, если таковые окажутся. Особенно оно может быть полезно при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе и при подготовке к вступительным экзаменам в высшие учебные заведения. Им могут пользоваться как школьники и слушатели подготовительных отделений вузов, так и учителя.

Обозначения, принятые в пособии, совпадают с обозначениями, принятыми в школьных учебниках.

Пособие отличается логическим единством и достаточной степенью подробности в изложении материала. Вводимые математические понятия и методы решения задач проиллюстрированы многочисленными примерами.

В пособии рассмотрены две прогрессии: арифметическая и геометрическая.


Структура изложения материала:

  1. Теоретическая часть, где понятия сопровождаются примерами, а в доказательстве различных утверждений также используется метод полной математической индукции.

  2. Практическая часть содержит задачи обязательного уровня, среднего уровня и повышенной сложности. Также включены задачи из вступительных экзаменов различных вузов страны. Этот раздел содержит примеры решения задач, разбирая которые можно восстановить, а если отсутствовали, то и приобрести необходимые умения и навыки, связанные с соответствующим теоретическим материалом. Решение каждого упражнения сопровождается подробным пояснением со ссылкой на используемый теоретический материал. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомочности того или иного шага. При решении упражнений теоретический материал находит практическое применение. Очень часто именно использование теоретического материала в практической деятельности вызывает наибольшие затруднения. Этот раздел может устранить многие трудности, если они возникнут при самостоятельном решении задач из раздела «Задачи для самостоятельного решения», в котором предложены только тексты с ответами.


Интерес к «трудному» предмету, каким для многих учащихся представляется математика, можно воспитывать различными средствами. Одним из них служит ознакомление с историей науки. В данном пособии приведены интересные исторические факты, связанные с прогрессиями.


В заключении нужно отметить, что данное методическое пособие можно успешно использовать не только в общеобразовательных классах и классах с углубленным изучением математики, но и для организации дифференцированной работы на уроках, занятий математического кружка.



Историческая справка


Слово «прогрессия» (лат. progressio) буквально означает «движение вперед» (как слово «прогресс»).

С начала нашей эры известна следующая задача-легенда: «Индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного Сессу, чтобы наградить его за остроумную выдумку. Сесса, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую – 2 зерна, за третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что царь не в состоянии выполнить это скромное желание Сессы».

В этой задаче надо найти сумму 64 членов геометрической прогрессии hello_html_m5abe6441.gif с первым членом 1 и знаменателем 2.

Эта сумма равна 264-1=18446744073709551615.

Такое количество зерна пшеницы можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше всей поверхности Земли.

Задачи на геометрические и арифметические прогрессии встречаются у вавилонян, в египетских папирусах, в древнекитайском трактате «Математика в 9 книгах». Так, в одной из клинописных табличек вавилонян предлагается найти сумму девяти членов прогрессии: 1; 2; 22; …

В папирусе Райнса предлагается задача: «У семи лиц по семь кошек, каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает по семь колосьев, из колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики числа этого ряда и их сумма?»

Отметим также, что Архимед знал, что такое геометрическая прогрессия, и умел вычислять сумму любого числа ее членов. Правило нахождения суммы членов арифметической прогрессии впервые встречается в «Книге абак» Леонардо Пизанского (1202 г.). Формула для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии была известна П. Ферма (XVII в.).

В Старорусском юридическом сборнике «Русская правда» (X-XI вв.) содержатся выкладки количества зерна, собранного с определенного участка земли; некоторые из них содержат вычисление суммы геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Интересные задачи на прогрессии есть в «Арифметике» Магницкого. Вот одна из таких задач: «Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. «Хорошо, - ответил продавец, - если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне платить таким образом: за первый гвоздь заплатишь полушку hello_html_7ae7d756.gif копейки), за второй гвоздь – две полушки, за третий гвоздь – четыре полушки и так далее за все гвозди: за каждый в два раза больше, чем за предыдущий». Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?».


С формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии связан интересный эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777-1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму всех натуральных чисел от 1 до 40 включительно: 1+2+3+4+5+…+40». Каково же было удивление учителя, когда один из его учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил». Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было только одно число, но зато верное.

Вот схема его рассуждений. Сумма чисел в каждой паре равна 41:

1; 2; 3; …; 20

40; 39; 38; …; 21

таких пар 20, поэтому искомая сумма равна 41*20=820.

Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Греческих математиков интересовала связь прогрессий с так называемыми многоугольными числами, вычислением площадей, объемов, красивыми числовыми соотношениями типа:

1=12

1+3=22

1+3+5=32

1+3+5+7=42

1=13

3+5=23

7+9+11=33

13+15+17+19=43

Большой популярностью даже в наши дни пользуются магические квадраты. Это квадраты, в каждую клетку которых вписаны числа так, что суммы чисел вдоль любой горизонтали, любой вертикали и любой диагонали равны.




hello_html_7c12e983.gif















Такой магический квадрат изображен на гравюре немецкого художника А. Дюрера «Меланхолия». Любопытно, что средние числа в последней строке изображают год 1514, в котором была создана эта гравюра.


Арифметическая прогрессия


3.1. Основные понятия.

Рассмотрим бесконечную последовательность натуральных четных чисел 2; 4; 6; 8; 10; …

Каждый ее член, кроме первого, равен сумме предшествующего члена и числа 2:

4=2+2 6=4+2 8=6+2 10=8+2 и т.д.


Определение 1: арифметической прогрессией называется числовая последовательностьhello_html_24b5ed60.gif, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, называемым разностью арифметической прогрессии.


То есть арифметическая прогрессия – это числовая последовательность, заданная по правилу: hello_html_3da930ba.gifиhello_html_m3eb4d443.gifданы; hello_html_e76793c.gif,

где hello_html_3da930ba.gif- первый член арифметической прогрессии; d – разность арифметической прогрессии; ann-ый член арифметической прогрессии.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.е. a2a1=a3-a2=…=ak-ak-1=… , значит d=an+1-an

При вычитании равенства (2) из равенства (1) получим: an+1-an=an-an-1.

Преобразуем выражение an+1+an-1=2an. Откуда hello_html_7deb84d.gif

То есть hello_html_m4b800c72.gif.

Следовательно, можно дать еще одно определение арифметической прогрессии.


Определение 2: арифметической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен среднему арифметическому последующего и предыдущего членов.

Данное определение иногда называют характеристическим свойством арифметической прогрессии.


Например, числа 1; 2; 3; 4; …; n; … образуют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 1 и разностью d=1.

Числа же 7; 4; 1; -2; -5; …; 7-3n; … образуют арифметическую прогрессию с первым членом, равным 7 и разностью d=-3. В данном случае n-ый член прогрессии есть an=7-3n.

Последовательность 5; 5; 5; 5; …; 5; … есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 5 и разностью d=0.

Итак, если hello_html_468d7cb6.gif, то арифметическая прогрессия называется возрастающей,

если hello_html_m696b584a.gif - убывающей. Если d=0, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.


Для обозначения того, что последовательность (an) является арифметической прогрессией, применяют иногда запись a1; a2; a3; …; an; … hello_html_m53d4ecad.gif

Значок заменяет словосочетание «арифметическая прогрессия».

Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например за an, то получится конечная арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an.


3.2. Формула n-ого члена арифметической прогрессии.


Пусть дана арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an; …

Выразим каждый ее член через первый a1 и разность этой прогрессии d по определению

а2=a1+d

а3=a2+d=a1+2d

а4=a3+d=a1+3d

а5=a4+d=a1+4d

На (n-1)-м этапе этих рассуждений получим an=a1+(n-1)d.


Для любой арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an; … ее n-ый член an выражается через ее первый член a1 и разность этой прогрессии d при помощи формулы: an=a1+(n-1)d,называемой формулой n-ого члена арифметической прогрессии.


Докажем методом полной индукции:

  1. проверим для n=1 а1=a1+0d=a1 – верно

  2. предположим, что верно для n=k, т.е. верно равенство ak=a1+(k-1)d

  3. докажем верность и для n=k+1

ak+1=ak+d= a1+(k-1)d+d=a1+kd-d+d=a1+kdверно

Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость свойства 1 для любого натурального числа n.


Пример1: Является ли конечная последовательность 12; 8,5; 5; 1,5; -2 арифметической прогрессией?

Если данная последовательность является арифметической прогрессией, то должны быть равны разности второго и первого, третьего и второго, четвертого и третьего, пятого и четвертого ее членов: 8,5-12=5-8,5=1,5-5=-2-1,5=-3,5=d

Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является арифметической прогрессией с разностью d=-3,5.

Так, бесконечная числовая последовательность 1; 3; 1; 3; 1; … не является арифметической прогрессией, т.к. 3-1hello_html_3750bfcb.gif 1-3.


Пример 2: Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена cn=5n+8 является арифметической прогрессией.

Достаточно показать, что при всех натуральных n значение разности cn+1 и cn не зависит от n. cn+1=5(n+1)+8=5n+13; cn+1- cn=5n+13 – (5n+8)=5

Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является арифметической прогрессией с разностью d=5.



3.3. Свойства арифметической прогрессии.


Свойство 1: используя определение 2 арифметической прогрессии hello_html_7deb84d.gif верно и более общее свойство hello_html_m4b10dcd.gif

Доказательство: по свойству 1 имеем:

an+k=a1+(n+k-1)d; an-k=a1+(n-k-1)d .

Сложим почленно эти равенства: an+k+an-k=2a1+nd+kd-d+nd-kd-d=2a1+2nd-2d=

=2a1+2d(n-1)=2(a1+(n-1)d)=2an. Откуда hello_html_m4b10dcd.gif

Например: hello_html_m1352d0c.gif.


Свойство 2: для любой арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an; … верно равенство ak+al=ar+as, где k, l, r, s – номера членов, удовлетворяющих условию k+l=r+s.


Доказательство:

Используя свойство 1 имеем: ak+al=a1+(k-1)d+a1+(l-1)d=2a1+(k+l-2)d

ar+as=a1+(r-1)d+a1+(s-1)d=2a1+(r+s-2)d. Так как k+l=r+s, то и k+l-2=r+s-2,

а значит ak+al=ar+as.

Например: a3+a7=a2+a8=a1+a9=a4+a6=a5+a5.


Из этого свойства можно сформулировать более частные случаи:

а) у конечной арифметической прогрессии a1; a2; a3; …; an сумма членов, равноотстоящих от ее концов, равна сумме крайних членов, т.е. для k=1, 2, 3, …, n ak+an-k+1=a1+an, где 1+n=k+(n-k+1). (доказательство аналогично предыдущему). То есть a1+an=a2+an-1=…

Например: a6+a15=a1+a20 или a10+a11=a1+a20

б) при любом натуральном k имеет место равенство: ap+al=ap+k+al-k (доказательство аналогично предыдущему).



Свойство 3:hello_html_31821717.gif

Перепишем формулу n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d в виде an=dn+(a1-d) и введем обозначения: an=y a1-d=m. Получим y=dn+m или y=dx+m, где hello_html_56123252.gif. Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве hello_html_4798b60e.gif натуральных чисел, где разность арифметической прогрессии d- есть угловой коэффициент этой линейной функции.

Например, графиком арифметической прогрессии 1; 2; 3; 5; … являются изолированные точки на прямой y=x, т.к. a1=1 d=1, то m=a1-d=0.



3.4. Формула суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

I. Пусть дана арифметическая прогрессия a1; a2; a3; …; an; …

Число, равное сумме n-первых членов арифметической прогрессии обозначается Sn, т.е. Sn= a1+ a2+ a3+ …+ an-1+an. Члены a1 и an называются крайними членами суммы.

Сумма n-первых членов арифметической прогрессии Sn равна произведению полусуммы крайних членов на число ее членов, т.е. справедлива формула hello_html_m61b42155.gif.

Доказательство:

Рассмотрим конкретный пример для отыскания Sn. Дана конечная арифметическая прогрессия 1; 2; 3; …; 98; 99; 100. сумму ее членов вычислим следующим образом: S100=1+2+3+…+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=

=101+101+101+…+101=101*50=5050


Применим аналогичную идею для произвольной арифметической прогрессии. Имеем:

Sn= a1+ a2+ a3+ …+ an-1+an

Sn= an+ an-1+ an-2+ …+ a2+a1

При сложении почленно этих равенств получим:

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an-1+a2)+(an+a1)

a2+an-1=a1+d+a1+(n-1-1)d=a1+a1+(n-1)d=a1+an

a3+an-2= a1+2d+a1+(n-2-1)d=a1+a1+(n-1)d=a1+an и т.д.

Таким образом, сумма в каждой скобке равна (a1+an), а таких скобок n, следовательно, 2Sn=(a1+an)n, а значит hello_html_m61b42155.gif.

Данную формулу можно доказать методом полной индукции.

  1. проверим для n=1 hello_html_m3d8a1a8f.gif – верно

  2. предположим, что верно для n=k, т.е. справедлива формула hello_html_3caf3489.gif

  3. докажем верность и для n=k+1

hello_html_5e295dfe.gifhello_html_7471200.gif

Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость формулы для любого натурального числа n.

II. Сумму n-первых членов арифметической прогрессии Sn можно выразить через ее первый член a1 и разность d.

hello_html_m61b42155.gif=hello_html_m7dec4f8a.gif

Эту формулу также можно доказать методом полной индукции.

III. Иногда полезно использовать соотношение для сумм:

Sn+k=Sn+Sk+nkd или Sn+Sk=Sn+k-nkd

Доказательство:

hello_html_38cf6aa1.gif


hello_html_m1be6b423.gif.


3.5. Задачи обязательного уровня


1. Определите, является ли заданная последовательность арифметической прогрессией.

  1. 2; 4; 6; 8; 10; 12;… Да, т.к. a1=2; d=2

  2. 3; 1; 3; 1; 3; … Нет, т.к. 1-3hello_html_3750bfcb.gif3-1.


2. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена an=-1,5+4n, является арифметической прогрессией.

Требуется доказать, что разность an+1-an одна и та же для всех n, т.е. не зависит от n.

an+1-an=-1,5+4(n+1)+1,5-4n=4. Разность является числом постоянным, значит, последовательность является арифметической прогрессией. Что и требовалось доказать.


3. Записать первые шесть членов арифметической прогрессии, если

а) a1=-3; d=2

b) an=3-2n

  1. a2=a1+d=-1; a3=-1+2=1; a43; a5=5; a6=7

Ответ: -3; -1; 1; 3; 5; 7.

  1. a1=3-2=1; a2=3-4=-1; a3=3-6=-3; a4=3-8=-5; a5=3-10=-7; a6=3-12=-9

Ответ: 1; -1; -3; -5; -7; -9.


4. Найдите сто тридцатый член арифметической прогрессии, если a1=-1,2; d=hello_html_m6ff4997e.gif

a130=a1+129d=7,8

Ответ: a130=7,8


5. Число –29 является членом арифметической прогрессии 21; 16; 11; …

  1. Найдите номер этого члена.

Пусть n – искомый номер. Т.к. a1=21, d=-5; an=-29, то по формуле n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d имеем: -29=21-5(n-1) n=11; значит a11=-29.

б) Является ли число –10 членом этой прогрессии?

Предположим, что –10 является членом данной прогрессии. Тогда по формуле n-го члена имеем: -10=21-5(n-1), откуда n=7,2. Т.к. n- натуральное числа, 7,2 hello_html_m3dfb1ba2.gifhello_html_4798b60e.gif, то –10 не является членом данной арифметической прогрессии.

в) Является ли число 30 членом этой прогрессии?

Нет, т.к. данная прогрессия является убывающей (dhello_html_5cf0a0f0.gif, а 30hello_html_m434ae539.gif.


6. Найдите разность арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; …

d=a2-a1=100-90=10

Ответ: d=10


7. Решить следующие задачи, где по трем известным величинам требуется определить две неизвестные.

a1

d

N

an

Sn

1.

1,5

1,5

3,6

54

999

2.

-28

7

9

28

0

3.

10

10

14

140

1050

4.

0

0,5

11

5

27,5

5.

-38

2

15

-10

-360

6.

-9

0,5

25;12

3;-3,5

-75

7.

1

2/3

100

67

3400

8.

-45

3

31

45

0

9.

0,2

0,1

51

5,2

137,7

Полезно научить учащихся выражать неизвестную величину из формулы n-ого члена и суммы n-первых членов арифметической прогрессии.


an=a1+(n-1)d

hello_html_m61b42155.gif

1. a1=an-(n-1)d

1. hello_html_m51c92650.gif

2. hello_html_726dfa0a.gif

2. hello_html_m29dcfbf.gif

3. an=a1+nd-d

hello_html_m1864cfb7.gif

3. hello_html_3828f743.gif


Обратить особое внимание на задачу №6.

Используем формулу для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=hello_html_m5a8a6614.gif

-75=hello_html_367debd9.gif Преобразуем выражение к уравнению вида n2-37+300=0, n=25; n=12. Оба значения уравнения являются натуральными числами, значит, существует две арифметические прогрессии, а, следовательно, и два n-ых члена этой прогрессии.

a25=-9+24*0,5=3; a12=-9+11*0,5=-3,5.

Полезно сделать проверку для нахождения S12 и S25, чтобы учащиеся убедились в правильности решения.

Ответ: n=25; a25=3; или n=12; a12= -3,5.


8. Составьте формулу n-ого члена арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; …

Из условия имеем a1=2; d=a2-a1=3

Составим формулу n-ого члена этой прогрессии:

an=a1+(n-1)d=2+(n-1)*3=2+3n-3=3n-1

Ответ: an=3n-1


9. Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии, если известно, что a11+a13=122.

Используя определение 2 арифметической прогрессии (или так называемое характеристическое свойство) имеем: hello_html_m6c37403a.gif

Ответ:а12=61


10. Найдите a3+a15, если известно, что a1+a17=35.

По свойству 3 имеем: a3+a15= a1+a17=35



    1. Задачи среднего уровня

К задачам среднего уровня можно добавить следующие типы задач.


11. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, арифметической прогрессией? Если да, то укажите первый член и разность прогрессии.

а) an=3*2n

d= an+1-an=3*2n+1-3*2n=3*2n

d зависит от n, значит данная последовательность не является арифметической прогрессией.

б) an=hello_html_m643af305.gif

d=-1hello_html_a7084f8.gif. d не зависит от n, значит данная последовательность является арифметической прогрессией. Найдем a1=hello_html_m1928b78d.gif.

12. Запишите формулу n-ого члена арифметической прогрессии, если известно, что a7=-5; a12=55.

По формуле n-ого члена арифметической прогрессии имеем систему двух уравнений:

hello_html_m6ba0844c.gifhello_html_meacbc54.gif

Решая систему методом алгебраического сложения, получаем: d=12; a1=-77.

Запишем формулу n-ого члена арифметической прогрессии:

an=a1+(n-1)d=-77+12(n-1)=12n-89 .

Ответ: an=12n-89 .


13. Найдите седьмой член арифметической прогрессии, если известно, что a3+a11=20.

По свойству 2 имеем: hello_html_m4a43dae0.gif.

Ответ: а7=10


14. Сколько нужно взять членов в арифметической прогрессии, первый член которой равен 16, а разность равна 8, чтобы сумма членов составила 1840?

Используем формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=hello_html_m5a8a6614.gif; получаем равенствоhello_html_m5fa09615.gif. Преобразуем выражение к уравнению вида n2+3n-460=0. Откуда n=-23 или n=20. Так как –23 не является натуральным числом, то n=20.

Ответ: n=20.


15. Найдите те значения x, при которых числа 5х+2; 7х+1; 3х-6 образуют арифметическую прогрессию.

1 способ: d=(7х+1)-(5х+2)=2x-1; d=(3x-6)-(7x+1)=-4x-7; приравняв правые части обоих равенств, имеем уравнение: 2х-1=-4х-7, откуда х=-1.

2 способ: согласно характеристического свойства арифметической прогрессии имеем уравнение: hello_html_53d1a60a.gif, откуда х=-1.

При этом значении х заданные выражения 5х+2; 7х+1; 3х-6 принимают соответственно значения –3; -6; -9. Это арифметическая прогрессия. Ее разность d=-3.

Ответ: х=-1.


16. Между числами –8 и –35 вставьте два числа так, чтобы получились четыре последовательных члена арифметической прогрессии.

a1=-8; a4=-35. Найдем d из равенства a4=a1+3d; -35=-8+3d; d=-9. Тогда a2=a1+d=-8-9=-17; a3=a2+d=-26. Получаем конечную арифметическую прогрессию –8; -17; -26; -35.

Ответ: -17; -26.


17. Найдите сумму всех натуральных чисел от 2 до 98 включительно.

2; 3; 4; …; 98 – конечная арифметическая прогрессия с первым членом a1=2 и разностью d=1; an=98. Найдем количество членов данной прогрессии по формуле n-ого члена: 98=2+n-1; n=97. Используя формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии, получаем равенство S97=hello_html_6cce264f.gif

Ответ: S97=4850.


18. Начиная с какого номера n все члены арифметической прогрессии будут больше заданного числа А, если an=7n-121; A=hello_html_m980c3de.gif?

Так как hello_html_39fa8a8e.gif, то и anhello_html_202408de.gif. Значит 7n-121hello_html_m752ee80d.gif; следовательно, n=18.

Сделаем проверку: a18=7*18-121=5; 5hello_html_m5aa8286d.gif.

Ответ: n=18.

19. Являются ли числа 4,6 и –1,2 членами арифметической прогрессии, заданной формулой n-ого члена an=13-0,4n?

Предположим, что данные числа являются членами данной прогрессии. Тогда по формуле n-го члена имеем:

4,6=13-0,4n; n=21 – является натуральным числом, значит, число 4,6 является членом данной прогрессии.

-1,2=13-0,4n; n=35,5 - не является натуральным числом, значит, число –1,2 не является членом данной прогрессии.


20. Второй член арифметической прогрессии составляет 96% от первого. Сколько % от первого члена составляет семнадцатый член этой прогрессии?

По условию a2=0,96a1; d=a2-a1=-0,04a1; a17=a1+16(-0,004a1)=0,36a1.

Значит, семнадцатый член арифметической прогрессии составляет 36% от первого члена этой прогрессии.

Ответ: 36%


21. Найдите сумму всех трехзначных чисел, не делящихся на 19.

Выделим все числа, делящиеся на 19. Первое из них 114, anhello_html_m1bb673a0.gif; по формулу n-ого члена получаем неравенство 114+19(n-1)hello_html_m1bb673a0.gif; откуда nhello_html_m69eecec6.gif.

Так как n – натуральное число, то n=47.

Значит, последнее трехзначное число, делящееся на 19, это an=114+46*19=988.

Последовательность 114; 133; …; 988 является арифметической прогрессией с первым членом, равным 114 и разностью d=19. Найдем сумму всех трехзначных чисел, делящихся на 19 по формуле S47=hello_html_m50dd97aa.gif

Последовательность всех трехзначных чисел 100;101; …; 999 является арифметической прогрессией с первым членом, равным 100 и разностью d=1. Найдем сумму всех трехзначных чисел по формуле S47=hello_html_m69d4167e.gif

Значит, сумма всех трехзначных чисел, не делящихся на 19,

будет равна 494550-25897=468653.

Ответ: 468653.


22. Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии и сумму ее первых двадцати членов, если известно, что a7=-100; a9=-78.

По формуле n-ого члена арифметической прогрессии имеем систему двух уравнений:

hello_html_2c0d9292.gifhello_html_m5b02a27c.gif

Решая систему методом алгебраического сложения, получаем: d=11; a1=-166.

a15=a1+14d=-166+14*11=-12; S20=hello_html_7aa2ca6b.gif

Ответ: a15= -12; S20=1850.


23. Улитка ползет по дереву. За первую минуту она проползла 30см, а за каждую следующую минуту – на 5см больше, чем за предыдущую. За какое время улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25 м, если считать, что движение начато от его основания?

Составим последовательность чисел 30; 35; 40; …, которая является арифметической прогрессией с первым членом, равным 30 и разностью d=5.

Так как длина дерева 5,25 м=525см, Sn=525

Используем формулу для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=hello_html_m5a8a6614.gif; 525=hello_html_m414d96c6.gif. Преобразуем выражение к уравнению вида 5n2+55n-1050=0. Откуда n=-21 или n=10. Так как –21 не является натуральным числом, то n=10. Следовательно, за 10 минут улитка достигнет вершины дерева длиной 5,25см.

Ответ: 10 минут.


24. Определить первый член и разность арифметической прогрессии, в которой:

а) a7-a3=8; a2*a7=75

б) a4:a6=-1; a2*a8=-1

в) a42+a122=1170; a7+a15=60

Во всех случаях используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии

an=a1+(n-1)d и сводим к решению системы двух уравнений. Во всех случаях, получается, по две арифметические прогрессии.

Ответ: а) a1=3; d=2 или a1=-17; d=2

б) a1=4/3; d=-1/3 или a1=-4/3; d=1/3

в) a1=-12; d=4,2 или a1=0; d=3.


25. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с шестого по двадцать пятый включительно, если первый ее член равен 21, а разность равна –0,5?

Решение задачи сводится к нахождению суммы S=S25-S5.



3.7. Задачи повышенной сложности


26. При каких значениях a корни уравнения 3х3-(а+1)х2+(а-2)х=0, взятые в определенном порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Найдем корни данного уравнения.

3-(а+1)х2+(а-2)х=0; х(3х2-(а+1)х+а-2)=0

hello_html_m1badc84.gifhello_html_59c9a8e.gif

Данное уравнение имеет три корня. Рассмотрим случаи различного расположения данных чисел в арифметической прогрессии (xn).

a) 0; 1;hello_html_3b54d0de.gif x1=0; d=1; x3=x1+2d=2; hello_html_3b54d0de.gif=2; a=8

получаем арифметическую прогрессию 0; 1; 2

б) 0; hello_html_3b54d0de.gif;1 x1=0; x3=x1+2d; 1=0+2d; d=0,5; x2=x1+d=0,5; hello_html_3b54d0de.gif=0,5; a=3,5

получаем арифметическую прогрессию 0; 0,5; 1

в) 1;0; hello_html_3b54d0de.gif x1=1; d=-1; x3=x1+2d=-1; hello_html_3b54d0de.gif=-1; a=-1

получаем арифметическую прогрессию 1; 0; -1

г) 1; hello_html_3b54d0de.gif;0 x1=1; x3=x1+2d; 0=1+2d; d=-0,5; x2=x1+d=0,5; hello_html_3b54d0de.gif=0,5; a=3,5

получаем арифметическую прогрессию 1; 0,5; 0

д) hello_html_3b54d0de.gif; 0; 1 d=1; x3=x1+2d; 1=x1+2; x1=-1; hello_html_3b54d0de.gif=-1; a=-1

получаем арифметическую прогрессию -1; 0; 1

е) hello_html_3b54d0de.gif; 1; 0 d=-1; x3=x1+2d; 0=x1-2; x1=2; hello_html_3b54d0de.gif=2; a=8

получаем арифметическую прогрессию 2; 1; 0

Ответ: a=-1; 3,5; 8


27. Найти х из уравнения (х+1)+(х+4)+(х+7)+…+(х+28)=155

Последовательность (х+1); (х+4); (х+7); …; (х+28) составляет конечную арифметическую прогрессию с первым членом a1=х+1 и разностью d=3; Sn=155.

Используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии an=a1+(n-1)d.

Из уравнения х+28=х+1+3(n-1) находим n=10.

Используем формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии Sn=hello_html_m5a8a6614.gif; получаем равенствоhello_html_ab4c9d2.gif. Откуда x=1.

Ответ: x=1.

28. В арифметической прогрессии Sn-a1-an=21; Sn-a2-an-a1-an-1=7. Найдите Sn и n.

Преобразуем выражения следующим образом:

Sn-(a1+an)=21; (1)

Sn-(a2+an-1)-(a1+an)=7; Sn-2(a1+an)=7 (2)

Вычитая из равенства (1) равенство (2) получим a1+an=14. При подстановке в (1) получим Sn=35; найдем n из формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии hello_html_m61b42155.gif; n=5.

Ответ: Sn=35; n=5.

29. Вычислите первый член арифметической прогрессии с разностью 8, зная, что сумма первых десяти членов в 4 раза больше суммы первых пяти членов.


hello_html_340b6dbf.gif; hello_html_69c541cc.gif; по условию S10=4S5; составляем уравнение (2a1+9d)5=20(a1+2d); 10a1=5d; a1 =0,5d=4.

Ответ: a1=4.


30. Найти сумму первых тридцати нечетных чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1.

Общий вид чисел, которые при делении на 5 дают в остатке 1: 5k+1.

При k=0; 1; 2; 3; … получим числа 1; 6; 11; 16; 21;

По условию нам надо брать только нечетные числа из этого ряда, т.е. 1; 11; 21;

Эта последовательность является арифметической прогрессией с первым членом,

равным 1 и разностью d=10. Найдем a30=a1+29d=291; тогда S30=(1+291)15=4380.

Ответ: S30=4380.


31. Найти арифметическую прогрессию с положительными членами, если дано: a1+a2+a3+a4+a5=25 (1)

a1*a2*a3*a4*a5=945 (2)

Перепишем первое уравнение в виде: a1+ (a1+d) + (a1+2d) + (a1+3d) + (a1+ 4d) =25; 5a1+10d=25; a1+2d=5 откуда a3=5; a1=5-2d

Тогда второе уравнение перепишется так: (5-2d)(5-d)5(5+d)(5+2d)=945.

Преобразуем уравнение к виду: 4d4-125d2+436=0; откуда hello_html_m273c17d1.gif

Рассмотрим получившиеся арифметические прогрессии:

а) d=-2; a1=5-2d=9 9; 7; 5; 3; 2; -1; … не удовлетворяет условию задачи, т.к. есть отрицательные члены

б) d=2; a1=5-2d=1 1; 3; 5; 7; 9; … удовлетворяет условию задачи

в) d=0,5hello_html_c8b1742.gif; a1=5-hello_html_c8b1742.gifhello_html_26bca7f9.gif - не удовлетворяет условию задачи

г) d=-0,5hello_html_c8b1742.gif; a1=5+hello_html_c8b1742.gif; dhello_html_26bca7f9.gif, значит прогрессия убывающая, будут отрицательные члены - не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 1; 3; 5; 7; 9;


32. Найти m-ый член арифметической прогрессии, в которой Sn=pn+qn2.

Так как по условию Sn=pn+qn2 действительно для любого числа членов n, то при n=1 S1=p+q, а значит a1=p+q, т.к. S1 – сумма одного члена – есть первый член.

Пусть n=m, n=m–1; тогда Sm=pm+qm2; Sm-1=p(m-1)+q(m-1)2;

am= Sm- Sm-1= pm+qm2- p(m-1)-q(m-1)2=2qm+p-q.

Ответ: am=2qm+p-q.


33. Первый член арифметической прогрессии равен числу, логарифм которого при основании hello_html_7b1a9ff6.gif равен 1,5. Если произведение первых трех членов арифметической прогрессии разделить в отдельности на каждый из них, то сумма полученных частных равна 167. Найти сумму десяти первых членов этой прогрессии.

Прежде всего, вычисляем a1 из условия hello_html_106529b6.gif. Отсюда a1=(hello_html_7b1a9ff6.gif)1,5=3. Пусть разность прогрессии равна d, тогда a2=3+d; a3=3+2d.

По условию задачи имеем уравнение:

hello_html_14cb68fd.gif;hello_html_6ec581ad.gif; (3+d)(3+2d)+3(3+2d)+3(3+d)=167 или d2+9d-70=0, откуда d=-14 или d=5.

Следовательно, будет две арифметической прогрессии:

а) 3; -11; -25;

a10=3+9*(-14)=-123; S10=(3-123)*5=-600

б) 3; 8; 13; …

a10=3+9*5=48; S10=(3+48)*5=255.

Ответ: S10= -600 или S10=255.


34. Сумма n членов арифметической прогрессии определяется из уравнения

hello_html_9764e74.gif, где an=7n-6. Определить число членов n прогрессии.

hello_html_2d78c278.gif

Потенцируя, получаем уравнение:

hello_html_m1048d74d.gif; hello_html_m6195b99.gif; преобразуем к уравнению вида s2-138s-13464=0;

hello_html_715bcbec.gifs=-66 не удовлетворяет области допустимых значений для логарифма, значит Sn=204.

По условию задачи an=7n-6. При n=1 a1=1.

Найдем n из формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии hello_html_m61b42155.gif; 204=hello_html_69a6dc4b.gif; 7n2-5n-408=0; откуда n=8 или n=-7hello_html_m14d9cd40.gif.

-7hello_html_m14d9cd40.gif не является натуральным числом, значит, число членов данной прогрессии будет 8.

Ответ: n=8


35. Найдите стороны прямоугольного треугольника, если известно, что они составляют арифметическую прогрессию, разность которой d=25.

Стороны треугольника a-d; a; a+d.

По теореме Пифагора имеем (а+25)2=(а-25)22; 100а-а2=0; откуда а=0 или а=100. Так как сторона треугольника не может быть равной 0, то а=100. Следовательно, стороны треугольника 75; 100; 125.

Ответ: 75; 100; 125.


36. Доказать, что для арифметической прогрессии с отличными от 0 членами имеет место равенство:

hello_html_297dc.gif


Обозначим левую часть равенства через А и выполним некоторые преобразования:

А=hello_html_3e45bdd0.gifhello_html_m524823d8.gif=hello_html_3e45bdd0.gifhello_html_2899a5e9.gif=

=hello_html_3e45bdd0.gifhello_html_m77eb84bb.gif)=hello_html_m1f112ff9.gif(hello_html_m368b6d4f.gif)=

=hello_html_b6202d4.gif.

Что и требовалось доказать.


3.8. Задачи для самостоятельного решения


37. В возрастающей арифметической прогрессии а4 и а7 являются корнями квадратного уравнения 0,1х2-5х+58,9=0. Сумма n членов на 30 больше наименьшего целого числа, которое при делении на 37 дает остаток 33, а при делении на 53 – остаток 12. определить число членов n.

Ответ: n=30

38. Найти сумму четырех членов арифметической прогрессии, содержащей целые и положительные члены, если известно, что произведение этих чисел равно 1680, а разность прогрессии равна модулю при переходе от системы логарифмов с основанием 81 к системе логарифмов с основанием 3.

Ответ: 32

39. Определить х из уравнения 1+7+13+ … +х=280

Ответ: х=55

40. Найти все арифметические прогрессии с целыми и положительными членами, в которых S5=35

Ответ: 1) a1=5; d=1 2) a1=3; d=2 3) a1=1; d=3


41. В арифметической прогрессии a1+a3+a5+ … +a2n+1=25; a1+a2n-1=10. Найдите n.

Ответ: n=4

42. В арифметической прогрессии Sn=7; S2n=34; a1+a2n=17. Найти S30.

Ответ: S30=2205.


43. Найти Sn арифметической прогрессии, любой член которой равен am=2m-1.

Ответ: Sn=n2

44. Найти n=hello_html_2f5dedd1.gif таких дробей, числители которых составляют возрастающую арифметическую прогрессию, а знаменатели – арифметическую убывающую. Разности обеих этих прогрессий по абсолютной величине равны между собой. Предпоследняя из искомых дробей равна обратному значению последней; знаменатель второй больше ее числителя на n единиц, а сумма всех числителей искомых дробей относится к сумме их знаменателей, как (n-1):(n+2).

Ответ: hello_html_m7d75825b.gif

45. Разность арифметической прогрессии равна 27; седьмой и восьмой члены ее соответственно равны квадратам двух последовательных натуральных чисел. Найти эту прогрессию.

Ответ: 7; 34; 61; …

46. Определить при каком значении m корни уравнения x4-(3m-5)x2+(m+1)2=0 составляют арифметическую прогрессию.

Ответ: m=-25; -hello_html_6822bc4c.gif.

Геометрическая прогрессия


4.1. Основные понятия.

Рассмотрим бесконечную числовую последовательность 2; 6; 18; 54; 162;

Каждый член данной последовательности, кроме первого, равен произведению предшествующего члена и числа 3:

6=2*3 18=6*3 54=18*3 162=54*31и т.д.

Определение 1: геометрической прогрессией называется числовая последовательность (bn), у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же, отличное от 0 число, называемым знаменателем геометрической прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, заданная по правилу: b1 и q даны; hello_html_m28ae0f53.gif,

где hello_html_76d9d4d1.gif- первый член геометрической прогрессии; q – разность геометрической прогрессии; bnn-ый член геометрической прогрессии.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение ее любого члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т.е. b2:b1=b3:b2=…=bn:bn-1=bn+1:bn=… Это число и есть знаменатель геометрической прогрессии. Значит, q= bn+1:bn


При делении равенства (1) на равенств (2) получим: hello_html_48fb552f.gif.Преобразуем выражение bn+1 bn-1=bn2. Откуда hello_html_8dec3c6.gif=hello_html_558e036c.gif при n hello_html_m3495ebb6.gif.

То есть hello_html_m68fefefa.gif.

Следовательно, можно дать еще одно определение геометрической прогрессии.


Определение 2: геометрическая прогрессия – это такая числовая последовательность (bn), модуль каждого члена которой, начиная со второго, равен среднему геометрическому последующего и предыдущего членов.

hello_html_8dec3c6.gif=hello_html_558e036c.gif при n hello_html_m3495ebb6.gif.

Данное определение иногда называют характеристическим свойством геометрической прогрессии.

Случай, когда b1=0, как правило, не рассматривается, т.к. получается последовательность из одних нулей. Поэтому в геометрической прогрессии часто включается условие b1hello_html_504a29.gif


Например, числа 3; -6; 12; -24; … образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 3 и знаменателем q= -2.

Если b1=1 и q=10, то получим геометрическую прогрессию 1; 10; 100; …; 10n-1; …

Ее n-ый член есть bn=10n-1.

Последовательность 3; 3; 3; 3; …; 3; … есть геометрическая прогрессия с первым членом, равным 3 и знаменателем q=1.

Итак, если hello_html_3d3c09a8.gif, то геометрическая прогрессия является монотонной последовательностью.

При b1=1 и q=10 - это возрастающая прогрессия.

При b1=3 и q=1/3 (3; 1; 1/3; 1/9; …) или b1=-2 и q=3 (-2; -6; -18; …) -это убывающие прогрессии.

Если hello_html_2f2dce5a.gif, то прогрессия является ни убывающей, ни возрастающей. Например: b1=2 и q= -3 (2; -6; 18; -54; …) или b1= -2 и q= -3 (-2; 6; -18; 54; …)

Если q=1, то все ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной последовательностью.


Для обозначения того, что последовательность (bn) является геометрической прогрессией, применяют иногда запись b1; b2; b3; …; bn; … hello_html_m53d4ecad.gif

Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».

Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким-то конкретным членом последовательности, например, за bn, то получится конечная геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn.


4.2. Формула n-ого члена геометрической прогрессии.


Пусть дана геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …

Выразим каждый ее член через первый b1 и знаменатель этой прогрессии q по определению

b2=b1 q

b3=b2 q=b1 q2

b4=b3 q=b1 q3

b5=b4 q=b1 q4

На (n-1)-м этапе этих рассуждений получим bn=b1 qn-1.


Для любой геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn; … ее n-ый член bn выражается через ее первый член b1 и знаменатель этой прогрессии q при помощи формулы: bn=b1 qn-1,называемой формулой n-ого члена геометрической прогрессии.


Докажем методом полной индукции:

  1. проверим для n=1 b1=b1 q0=b1 – верно

  2. предположим, что верно для n=k, т.е. верно равенство bk=b1 qk-1

  3. докажем верность и для n=k+1

bk+1=bk q= b1 qk-1 q=b1 q(k+1)-1 –верно

Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость свойства 1 для любого натурального числа n.


Пример1: Является ли конечная числовая последовательность 3; 9; 27; 81; 243 геометрической прогрессией?

Если данная последовательность является геометрической прогрессией, то должны быть равны отношения второго и первого, третьего и второго, четвертого и третьего, пятого и четвертого ее членов: 9:3=27:9=81:27=243:81=3=q

Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является геометрической прогрессией со знаменателем q=3.

Так, бесконечная числовая последовательность 3; 6; 9; 12; 15; … не является геометрической прогрессией, т.к. 6:3hello_html_3750bfcb.gif 9:3.


Пример 2: Доказать, что последовательность, заданная формулой n-го члена bn=hello_html_m232f280d.gif является геометрической прогрессией.

Достаточно показать, что при всех натуральных n значение частного bn+1 и bn не зависит от n. bn+1=hello_html_m3d06aa73.gif; bn+1:bn=hello_html_m9504fb5.gif

Делаем вывод, что, данная последовательность чисел является геометрической прогрессией со знаменателем q=2.



4.3. Свойства геометрической прогрессии.


Свойство 1: используя определение 2 геометрической прогрессии

hello_html_8dec3c6.gif=hello_html_558e036c.gif при n hello_html_m3495ebb6.gif.

верно и более общее свойство hello_html_201dfeb5.gif


Доказательство: по свойству 1 имеем:

bn+k=b1 qn+k-1 , bn-k=b1 qn-k-1 .

Умножим почленно эти равенства: bn+k bn-k=b12 q2n-2=(b1 qn-1)2=(bn)2.

Откуда hello_html_201dfeb5.gif

Например: hello_html_5ef5c317.gif.


Свойство 2: если последовательность b1; b2; b3; …; bn; …является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов ее членов, т.е. b12; b22; b32; …; bn2; … является геометрической прогрессией.

У второй геометрической прогрессии первый член равен b12, а знаменатель равен q2.


Свойство 3: для любой геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn; … верно равенство bk bn=bm bl, где k, n, m, l – номера членов, удовлетворяющих условию k+n=m+l.

Доказательство:

Используя свойство 1 имеем: bk bn=b1 qk-1 b1 qn-1=b12 qk+n-2

bm bl=b1 qm-1 b1 ql-1=b12 qm+l-2. Так как k+n=m+l, то и k+n-2=m+l-2, а значит bk bn=bm bl.

Например: b3 b7=b2 b8=b1 b9=b4 b6=b5 b5.


Из этого свойства можно сформулировать более частные случаи:

а) у конечной геометрической прогрессии b1; b2; b3; …; bn произведение членов, равноотстоящих от ее концов, равно произведению крайних членов, т.е. для k=1, 2, 3, …, n bk bn-k+1=b1 bn, где 1+n=k+(n-k+1). (доказательство аналогично предыдущему). То есть b1 bn=b2 bn-1=…

Например: b6 b15=b1 b20 или b10 b11=b1 b20

б) при любом натуральном k имеет место равенство: bp bl=bp+k bl-k (доказательство аналогично предыдущему).


Свойство 4.

Перепишем формулу n-ого члена геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 в виде bn=hello_html_m749a805.gif и введем обозначения: bn=y hello_html_m2d4308cf.gif=m. Получим y=mqn или y=mqx, где hello_html_56123252.gif. Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому эту функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию y=mqx, заданную на множестве hello_html_4798b60e.gif натуральных чисел.

Графиком геометрической прогрессии будут служить изолированные точки с абсциссами х=1; 2; 3; …, лежащие на графике показательной функции.

Например, y=2x (2; 4; 8; 16; 32; …)

y=hello_html_m45dd8fe8.gif (hello_html_m33195d7c.gif



4.4. Формула суммы n-первых членов геометрической прогрессии


I. Пусть дана геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …

Число, равное сумме n-первых членов геометрической прогрессии обозначается Sn,

т.е. Sn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn. Члены b1 и bn называются крайними членами суммы.

Для суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn справедлива формула

Sn=hello_html_m76c0402c.gif при qhello_html_m46593ef6.gif .

Доказательство:

Пусть q=1 Sn= b1+ b1+ b1+ b1+…+ b1. Таких членов будет n, а значит Sn= nb1

Пусть qhello_html_3750bfcb.gif1 Для отыскания Sn применим искусственный прием.

Sn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn. Умножим обе части равенства на q;

qSn= qb1+ qb2+ qb3+ …+ qbn-1+qbn

qSn= b2+ b3+ …+ bn-1+bn+qbn

Для получения Sn в правой части прибавим и отнимем b1.

qSn= b1+ b2+ b3+ …+ bn-1+bn-b1+bnq ; qSn=Sn -b1+bnq ; qSn- Sn= bnq-b1; Sn(q-1)= bnq-b1 Откуда Sn=hello_html_m76c0402c.gif. Что и требовалось доказать.

Докажем справедливость формулы методом полной индукции.


  1. проверим для n=1 hello_html_1d73e109.gif – верно

  2. предположим, что верно для n=k, т.е. справедлива формула Sk=hello_html_m40806677.gif.

  3. докажем верность и для n=k+1

Sk+1=Sk+bk+1=hello_html_m40806677.gif+bkq=hello_html_m37f3fe47.gif - верно.


Тем самым, согласно принципу полной индукции, доказана справедливость формулы для любого натурального числа n.


II. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии Sn можно выразить через ее первый член b1 и знаменатель q.

Sn=hello_html_m76c0402c.gif=hello_html_m1abdf650.gifhello_html_38a01ff2.gif=hello_html_m2afc133f.gif, при qhello_html_m46593ef6.gif

Эту формулу также можно доказать методом полной индукции.


4.5. Бесконечная геометрическая прогрессия

Рассмотрим бесконечную периодическую дробь 0,(1)=0,111111…..

Рассмотрим последовательность чисел 0,1; 0,11; 0,111;

Каждый из членов этой последовательности можно рассмотреть как сумму n первых членов бесконечной геометрической прогрессии 0,1; 0,01; 0,001; …

S1=0,1

S2=0,11=0,1+0,01

S3=0,111=0,1+0,01+0,001

На n-ом этапе этих рассуждений получим:

Shello_html_m3c1a8eb6.gifhello_html_m79cbe20.gifn=0,111…11=0,1+0,01+0,001+…+0,00…01


n раз n слагаемых

При n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к числу 0,(1).

Если при n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к некоторому числу, то это число называют суммой данной последовательности.

Таким образом, число 0,(1)- сумма бесконечной геометрической прогрессии 0,1; 0,01; 0,001; …

Найдем сумму этой прогрессии с помощью рассмотренной раннее формулы: Sn=hello_html_m2afc133f.gif. b1=0,1; q=0,1; Sn=hello_html_604e6f5.gif.

При n, стремящемся к бесконечности, 0,1n стремится к нулю, разность 1-0,1n стремится к числу 1, и, следовательно, произведение hello_html_7f23d169.gifстремится к числуhello_html_1294f5ce.gif.

Значит Sn=hello_html_1294f5ce.gif =0,(1). hello_html_1294f5ce.gifи 0,(1) – это две различные записи одного и того же числа.

Утверждение: n-я степень числа, по модулю меньше единицы, стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.


Используя это утверждение, докажем, что: любая бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем, по модулю меньшим единицы, имеет сумму.

Геометрическая прогрессия b1; b2; b3; …; bn; …называется убывающей, если hello_html_6d96ab45.gif.

Например: 1;hello_html_m1434c5fe.gif- убывающая, т.к. q=1/2 ; hello_html_6d96ab45.gif

Надо доказать, что при n, стремящемся к бесконечности, сумма n первых членов этой прогрессии стремится к некоторому числу. Преобразуем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:

Sn=hello_html_m2afc133f.gif=hello_html_4d642ac4.gif=hello_html_2b66b92c.gif=hello_html_m5054d627.gif-hello_html_3aaf99ea.gif= hello_html_m5054d627.gif-hello_html_m5054d627.gifqn.

Так как hello_html_6d96ab45.gif, то при n, стремящемся к бесконечности, qn стремится к нулю. Значение разности 1- qn стремится к 1, и, следовательно, значение произведения числа hello_html_m5054d627.gif и разности 1- qn стремится к числу hello_html_m5054d627.gif. Значит сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии при hello_html_6d96ab45.gifS=hello_html_m5054d627.gif. Исходя из этого, при n, стремящемся к бесконечности, n-й член бесконечной геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 при hello_html_6d96ab45.gifстремится к нулю.

Можно доказать, что: если при n, стремящемся к бесконечности n-й член бесконечной последовательности не стремится к нулю, то последовательность суммы не имеет.

Значит, ни арифметическая прогрессия, ни геометрическая прогрессия при hello_html_6eceda28.gifне имеют суммы.


4.6. Задачи обязательного уровня


47. Определите, является ли заданная последовательность геометрической прогрессией.

  1. 5; -5; 5; -5; 5;… Да, т.к. b1=5; q=-1

  2. 2; 4; 6; 8; 10; … Нет, т.к. 4:2hello_html_3750bfcb.gif6:4.


48. Доказать, что последовательность, заданная формулой n-ого члена bn=5n-1, является геометрической прогрессией.

Требуется доказать, что отношение bn+1:bn одно и то же для всех n, т.е. не зависит от n.

bn+1:bn=5n+1-1: 5n-1=5. Частное является числом постоянным, значит, последовательность является геометрической прогрессией.


49. Записать первые пять членов геометрической прогрессии, если

а) b1=6; q=2

b) bn=hello_html_7038322d.gif

а) b2=b1q=12; b3=12*2=24; b4=48; b5=96;

Ответ: 6; 12; 24; 48; 96.

в) b1=hello_html_m19e8bb17.gif; b2=hello_html_m6668fbe7.gif; b3=hello_html_5c3ffb90.gif; b4=hello_html_m41e7c8ef.gif; b5=hello_html_68ef0b2f.gif.

Ответ: hello_html_m19e8bb17.gif; hello_html_1294f5ce.gif; hello_html_5c3ffb90.gif; hello_html_m41e7c8ef.gif; hello_html_68ef0b2f.gif.



50. Найдите седьмой член геометрической прогрессии, если b1=2hello_html_1caef8ee.gif; q=hello_html_m3d4efe4.gif

b7=b1q6=2hello_html_1caef8ee.gif(hello_html_m3d4efe4.gif)6=hello_html_m26313e0.gif

Ответ: b7=hello_html_m534baf7e.gif

51. Найдите знаменатель геометрической прогрессии 7; 1; hello_html_5028d57f.gif

q=b2:b1=hello_html_241beab6.gif

Ответ: q=hello_html_241beab6.gif


52. Число 192 является членом геометрической прогрессии 6; 12; 24; …

  1. Найдите номер этого члена.

Пусть n – искомый номер. Т.к. b1=6, q=2; bn=192, то по формуле n-ого члена геометрической прогрессии bn=b1 qn-1 имеем: 192=6*2n-1; 2n-1=32; 2n-1=25; n=6; значит b6=192.

б) Является ли число 36 членом этой прогрессии?

Нет, т.к. b3=24, а значит b4=48. Число 36 находится между числами 24 и 48.

Либо 36=6*2n-1; 2n-1=6. Нет такого натурального числа m, чтобы 6=2m.

в) Является ли число 3 членом этой прогрессии?

Нет, т.к. данная прогрессия является возрастающей, а 3hello_html_2354b435.gifa1.


53. Решить следующие задачи, где по трем известным величинам требуется определить две неизвестные.

b1

q

N

bn

Sn

1.

3

2

6

96

189

2.

1

2

9

512

1023

3.

1,5

4

4

96

127,5

4.

256

0,5

8

2

510

5.

2; 32

3; -hello_html_m324906d0.gif

3

18

26

6.

-1

2

5

-16

-31

7.

15

hello_html_304ced3f.gif

3

hello_html_61f798aa.gif

hello_html_1a6950c1.gif

8.

-4,5

-3

4

121,5

90

9.

4

-hello_html_50c7c0d7.gif

3

hello_html_50c7c0d7.gif

3hello_html_50c7c0d7.gif


Полезно перед решением этих задач научить учащихся выражать неизвестную величину из формулы n-ого члена и суммы n-первых членов геометрической прогрессии.


bn=b1 qn-1

Sn=hello_html_m76c0402c.gif при qhello_html_m46593ef6.gif

b1=hello_html_6814828e.gif

q=hello_html_m527d8304.gif

qn-1=hello_html_m2a7de768.gif; если n- четное, то q=hello_html_4b4aac3c.gif;

если n- нечетное, то q=hello_html_m78531b32.gifhello_html_4b4aac3c.gif.

b1=Sn-q(Sn-bn)

bn=hello_html_m5cd9b77a.gif


В данном задании задачи №5 и №7 относятся к задачам среднего уровня и повышенной трудности. Поэтому на решение этих задач следует обратить особое внимание.

В задаче №5 используем формулу n-ого члена и суммы n-первых членов геометрической прогрессии. Имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.

hello_html_m6d608609.gifqhello_html_m46593ef6.gif. Выразим из второго уравнения системы b1и подставим его значение в первое уравнение: b1=26-8q; 18=(26-8q)q2. Преобразуем уравнение к виду 4q3-13q2+9=0. q=1 является корнем уравнения, т.к. 4-13+9=0, поэтому последнее уравнение можно разложить на множители: (q-1)(4q2-9q-9)=0.hello_html_m1ce97db0.gif hello_html_m4ce7c07b.gif

q=1 не удовлетворяет условию задачи, значит решением будет q=3; -hello_html_m324906d0.gif.


Мы получили два значения знаменателя, значит, существует две геометрические прогрессии, а, следовательно, и два первых члена этих прогрессии.

а) q=3; b1=18: q2=2 2; 6; 18; …

б) q= -hello_html_m324906d0.gif; b1=18:hello_html_17c04a1d.gif=32 32; -24; 18;

Ответ: q=3; b1=2 или q= -hello_html_m324906d0.gif; b1 =32


В задаче №7 используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии, имеем: hello_html_m3d7a1fb0.gif. Преобразуем выражение, используя формулу разности кубов, к виду: 9q2+9q-4=0. Откуда hello_html_774eb183.gif. Аналогично предыдущей задаче, существуют две геометрические прогрессии, удовлетворяющие данным условиям.

а) q= -hello_html_249368e9.gif; b3=15hello_html_464f533d.gif 15; -20; hello_html_m4a1c9737.gif; …

б) q=hello_html_m19e8bb17.gif; b3=15hello_html_7107245.gif 15; 5; hello_html_62072530.gif

Ответ: q= -hello_html_249368e9.gif; b3=hello_html_m29b8ae51.gif или q=hello_html_m19e8bb17.gif; b3=hello_html_m48a4ab27.gif.

В этих задачах полезно сделать проверку для нахождения суммы первых трех членов получившихся прогрессий, чтобы учащиеся убедились в правильности решения.


54. Составьте формулу n-ого члена геометрической прогрессии 8; 4; 2;…

Из условия имеем b1=8; q=b2 :b1=hello_html_m3d4efe4.gif

Составим формулу n-ого члена этой прогрессии:

bn=b1 qn-1=8(hello_html_m3d4efe4.gif)n-1=hello_html_550ede91.gif

Ответ: bn=hello_html_550ede91.gif


55. Найдите девятый член геометрической прогрессии, если известно, что b4 b14=144.

Используя определение 2 геометрической прогрессии (или так называемое характеристическое свойство) имеем: hello_html_212cacc0.gif

Ответ: hello_html_mc15591d.gif


60. Найдите b2 b7, если известно, что b4 b9=17.

По свойству 4 имеем: b2 b7= b4 b9 =17


4.7. Задачи среднего уровня.

К задачам среднего уровня можно добавить следующие типы задач.

61. Выясните, является ли последовательность, заданная формулой n-ого члена, геометрической прогрессией? Если да, то укажите первый член и знаменатель прогрессии.

а) bn=-hello_html_m29e289cc.gif

q= bn+1 :bn=-hello_html_137cb169.gif

q зависит от n, значит данная последовательность не является геометрической прогрессией.

б) bn=hello_html_m73d7093d.gif

q= bn+1:bn =hello_html_m50c2d433.gif:(hello_html_m73d7093d.gif)=hello_html_50c7c0d7.gif. q не зависит от n, значит, данная последовательность является геометрической прогрессией. Найдем b1=hello_html_m4dc51dc4.gif.

62. Начиная с какого номера n все члены геометрической прогрессии будут больше заданного числа А, если bn=3,5hello_html_3485c084.gif; A=14?

Так как bnhello_html_2db6e215.gif, значит, 3,5hello_html_3485c084.gifhello_html_2db6e215.gif; hello_html_3485c084.gifhello_html_6260e6fb.gif; hello_html_3485c084.gifhello_html_5f8ad157.gif; n-2hello_html_6260e6fb.gif; nhello_html_m3972bb99.gif; следовательно, n=7.

Сделаем проверку: b7=3,5hello_html_m68838f65.gif=14hello_html_1caef8ee.gif; b6=14.

Ответ: n=7.


63. Является ли число –0,218 членом геометрической прогрессии (bn),

если bn= 3,5(-hello_html_2b007cd9.gif .

Предположим, что является, тогда имеет место равенство: -0,218=3,5(-hello_html_2b007cd9.gif

Путем преобразований приходим к выражению вида: hello_html_7c88ff04.gif

Делаем вывод: так как нет такого натурального числа n, чтобы выполнилось данное равенство, то число –0,218 не является членом заданной геометрической прогрессии.


64. Между числами 1 и hello_html_623e5dff.gif вставьте два положительных числа так, чтобы получились четыре последовательных члена геометрической прогрессии.

b1=1; b4=hello_html_623e5dff.gif. Найдем q из равенства b4=b1 q3; hello_html_623e5dff.gif= q3; q=hello_html_m3d4efe4.gif. Тогда b2=b1q=hello_html_m3d4efe4.gif; b3=b2 q=hello_html_50c7c0d7.gif. Получаем конечную арифметическую прогрессию 1; hello_html_m3d4efe4.gif; hello_html_50c7c0d7.gif; hello_html_623e5dff.gif .

Ответ: hello_html_m3d4efe4.gif ;hello_html_50c7c0d7.gif.

65. Найдите те значения переменной x, при которых числа х-1; hello_html_48bbe6ae.gif; 6х образуют конечную геометрическую прогрессию.

b1= х-1; b2=hello_html_48bbe6ae.gif; b3=6х Из условия следует, что хhello_html_22af37e2.gif

1 способ: q=b2:b1=b3:b2 Имеет место равенство: hello_html_m55342944.gif; (hello_html_48bbe6ae.gif)2=6х(х-1); 3hello_html_m48af1203.gif=6х2-6х; так как хhello_html_22af37e2.gif, то =2-6х; 6х2-9х=0. Откуда х=0 или х=1,5. х=0 не удовлетворяет условию задачи, значит х=1,5.

2 способ: согласно характеристического свойства геометрической прогрессии имеем уравнение: (hello_html_48bbe6ae.gif)2=6х(х-1), откуда х=1,5.

При этом значении х=1,5 заданные выражения х-1; hello_html_48bbe6ae.gif; 6х принимают соответственно значения hello_html_7fca6d6d.gif. Это геометрическая прогрессия. Ее знаменатель q=hello_html_4c8c016f.gif.

Ответ: х=1,5.


66. Найдите двенадцатый член геометрической прогрессии. Если b7-b5=48; b5+b6=48.

По условию задачи имеем систему уравнений: hello_html_m147c91cf.gif

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.

hello_html_205aad6.gif; hello_html_7cb238e.gif

Так как правые части обоих уравнений системы равны, приравняем их левые части:

b1q4(q2-1)=b1q4(q+1); b1hello_html_504a29.gif; qhello_html_504a29.gif; b1q4hello_html_504a29.gif

Разделим обе части уравнения на b1q4.

Получаем: q2-1=q+1; (q-1)(q+1)-(q-1)=0; (q+1)(q-2)=0; откуда q= -1 или q=2.

Рассмотрим два случая:

а) q= -1; b1q4(q+1)=48; откуда 0hello_html_37bb50a0.gif, значит q= -1 не является решением.

б) q=2; b1q4(q+1)=48; откуда b1=1. Найдем b12=b1q11=1*211=2048.

Ответ: b12=2048.


67. Прирост населения города составляет 10% в год. В конце 1997 г. население города составляло 15 миллионов человек. Сколько человек будет проживать в городе в конце 2001 года?


1996 1997 1998 1999 2000 2001

b1b2b3b4b5b6

Последовательность чисел b1; b2; b3; b4; b5; b6 есть конечная геометрическая прогрессия с первым членом b1и знаменателем q=0,1

10%=0,1, значит, в конце 1997 года население города будет составлять

b2= b1+0,1b1=1,1b1; 1,1b1=15000000; b1=13636364;

q= b2: b1=1,1; b6=b1q5=13636364*1,15=21961500

Ответ: 21 миллион 961 тысяч 500 человек.


68. Составьте конечную геометрическую прогрессию из шести членов, зная, что сумма трех первых членов равна 14, а сумма трех последних 112.

По условию задачи имеем систему уравнений: hello_html_62f21406.gif

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии имеем систему уравнений с двумя неизвестными b1и q.

hello_html_122c13d1.gif; hello_html_136fbf6f.gif

Разделим первое уравнение системы на второе: hello_html_7245428.gif; hello_html_76f26185.gif; откуда q=2 . Подставив его значение в любое из уравнений системы получим b1=2. Зная первый член и знаменатель, составим геометрическую прогрессию: 2; 4; 8; 16; 32; 64.

Ответ: 2; 4; 8; 16; 32; 64.


69. Найдите сумму 1+х+х23+…+х100.

Все слагаемые данной суммы образуют геометрическую прогрессию, где b1=1, q=1.

Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn=hello_html_m76c0402c.gif имеем: Sn=hello_html_7a277fa.gif.

Ответ: 1+х+х23+…+х100=hello_html_m37999e93.gif


70. Найдите сумму квадратов первых шести членов геометрической прогрессии, если известно, что b1=3, q=2.

По свойству 3 (если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия с первым членом b12 и знаменателем q2) имеем: Sn=hello_html_3559dae6.gif

Ответ: Sn=12285.


4.8. Задачи повышенной сложности


71. При каких значениях переменной t числа 4t-2; 6-2t; 6+2t; 24-8t являются четырьмя последовательными членами геометрической прогрессии.

По определению знаменателя геометрической прогрессии имеем:

hello_html_1fbddd90.gifили hello_html_m4243a8e3.gif= hello_html_55546467.gif= hello_html_m6c6fa5e1.gif (1)

а) Рассмотрим пропорцию hello_html_m4243a8e3.gif=hello_html_55546467.gif; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2+11t-12=0; откуда t=12 или t= -1.

Сделаем проверку: при подстановке значения t=12 в уравнение (1) имеем: hello_html_m732b088e.gif

Делаем вывод: t=12 не удовлетворяет условию задачи.

При подстановке значения t= -1 в уравнение (1) имеем: hello_html_m57331482.gif. Делаем вывод: t= -1 не удовлетворяет условию задачи.


б) Рассмотрим пропорцию hello_html_m4243a8e3.gif=hello_html_m6c6fa5e1.gif; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2-4t+3=0; откуда t=3 или t= 1.

thello_html_3750bfcb.gif3 по условию задачи.

Сделаем проверку: при подстановке значения t= 1 в уравнение (1) имеем: 2=2=2

Делаем вывод: t=1 удовлетворяет условию задачи.

в) Рассмотрим пропорцию hello_html_55546467.gif=hello_html_m6c6fa5e1.gif; путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: t2-10t+9=0; откуда t=9 или t= 1.

t= 1 является решением задачи.

Сделаем проверку для значения t=9: при подстановке значения t=9 в уравнение (1) имеем: hello_html_m2ca93e5b.gif

Делаем вывод: t=9 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: t=1


72. Найти восьмой член геометрической прогрессии, в которой сумма первых пяти членов равна 93, а сумма членов от второго до шестого включительно равна 186.

Из условия задачи имеем:

S5=93 или b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4=93 или b1(1+q+q2+q3+q4)=93 (1)

S6-b1=186 или b1+b1q+b1q2+b1q3+b1q4+b1q5=186 или b1q(1+q+q2+q3+q4)=186 (2)

При делении второго уравнения на первое получим q=2; найдем значение b1 из любого уравнения. b1=3; b8= b1 q7= 3*27=384.

Ответ: b8=384


73. Чему равно произведение: hello_html_4eaf6822.gif.

Данное произведение можно представить так: hello_html_m424ff449.gif.

Последовательность чисел hello_html_5a0106bc.gif - есть геометрическая прогрессия с первым членом b1=hello_html_m3d4efe4.gif ; знаменателем q=hello_html_m3d4efe4.gif и n-ым членом bn=hello_html_m57afea82.gif. Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии имеем: Sn=hello_html_m76c0402c.gif=hello_html_m6242c0c0.gif .

Ответ: hello_html_4eaf6822.gif=hello_html_420fe03e.gif.


74. Найти произведение: hello_html_m5cb2a8c2.gif.

Данное произведение можно представить так: hello_html_6e073ca8.gif.

Последовательность чисел hello_html_985a3c3.gif - есть бесконечная убывающая геометрическая прогрессия с первым членом b1=hello_html_m162abd99.gif ; знаменателем q=hello_html_m3d4efe4.gif. Используя формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии имеем: S=hello_html_m5054d627.gif=hello_html_m1ccd401d.gif.

Следовательно, hello_html_m5cb2a8c2.gif=hello_html_4b8bd011.gif

Ответ: hello_html_m5cb2a8c2.gif=hello_html_2371db7f.gif.

75. Найдите сумму hello_html_1e5f6139.gif

Данное выражение можно представить в виде суммы двух бесконечно убывающих прогрессий, а именно hello_html_m35c7b7b8.gif.

Используем формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии при hello_html_6d96ab45.gifS=hello_html_m5054d627.gif.

Сумма первой бесконечно убывающей прогрессии будет равна hello_html_m693c10b3.gif

Сумма второй бесконечно убывающей прогрессии будет равна hello_html_6b95f104.gif

Следовательно, общая сумма hello_html_m53b37bd.gif.

Ответ: hello_html_1e5f6139.gifhello_html_m1cdae6a2.gif


76. Решить уравнение (1+x2)2=2ax(1-x2), где a равняется пределу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, у которой b1=hello_html_74c0df08.gif, b2=hello_html_m3d4efe4.gif. Найдем знаменатель геометрической прогрессии: q=b2:b1=hello_html_m388953b4.gif.

Сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии при hello_html_6d96ab45.gif равна

S=hello_html_m5054d627.gif = hello_html_68e326b8.gif. Значит, a= hello_html_m334843e6.gif.

Решаем уравнение (1+x2)2=hello_html_48aabe54.gifx(1-x2).

Путем преобразований приведем данное выражение к уравнению вида: 6x4+25x3+12x2-25x+6=0.

Путем подбора найдем корень данного уравнения.

x=1 6+25+12-25+6hello_html_3750bfcb.gif0; х= -1 6-25+12+25+6hello_html_3750bfcb.gif0; х=2 96+200+48-50+6hello_html_3750bfcb.gif0;

х= -2 96-200+48+50+6=0, значит корень уравнения х= -2 и мы можем разделить левую часть уравнения на (х+2).

При делении получим выражение 3+13х2-14х+3.

Аналогичным образом найдем корень данного выражения: х=-3.

При делении 3+13х2-14х+3 на х+3 получим квадратный трехчлен 2-5х+1, который имеет корни х=hello_html_m3d4efe4.gif и х=hello_html_m19e8bb17.gif. Следовательно, левую часть уравнения четвертой степени можно разложить на множители следующим образом:

6x4+25x3+12x2-25x+6=(х+2)(х+3)(х-hello_html_m3d4efe4.gif)(х-hello_html_m19e8bb17.gif),

откуда (х+2)(х+3)(х-hello_html_m3d4efe4.gif)(х-hello_html_m19e8bb17.gif)=0 или х=hello_html_m3d4efe4.gif ; х=hello_html_m19e8bb17.gif; х= -2; х= -3.

Ответ: х= -3; -2; hello_html_m19e8bb17.gif;hello_html_m3d4efe4.gif


77. Найти четыре числа, составляющие геометрическую прогрессию, зная, что сумма крайних членов равна большему, а сумма средних членов равна меньшему корню уравнения hello_html_m2678c086.gif.

Прежде всего, решаем уравнение: hello_html_m4f6192ac.gif.

Откуда х2-65х+1050,5=0,5 или х2-65х+1050=0; х=30;х=35.

Меньший корень уравнения 30, а больший корень уравнения 35, значит, из условия задачи имеем систему двух уравнений с неизвестными первым членом и знаменателем геометрической прогрессии: hello_html_194ff094.gif; hello_html_30515bfc.gif; hello_html_6facc0a0.gif.

При b1hello_html_3750bfcb.gif0 и qhello_html_3750bfcb.gif-1 разделив первое уравнение на второе, получим: hello_html_1d9ab5a2.gif или hello_html_m7641c8ca.gif. Путем преобразований приведем к уравнению вида: 6q2-13q+6=0, откуда q=hello_html_615a29fb.gifили q=hello_html_42567408.gif.

Мы получили два значения знаменателя, а, значит, существует две геометрические прогрессии, а, следовательно, и два первых члена этих прогрессии.

а) q=hello_html_615a29fb.gif; b1=8 8; 12; 18; 27; …

б) q=hello_html_42567408.gif; b1=27 27; 18; 12; 8; …

Ответ: 8; 12; 18; 27.


78. Сумма первых двух членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 39, а сумма кубов тех же чисел равна 17199. Найти при основании hello_html_m6ba33760.gifлогарифм предела суммы членов этой прогрессии.

Пусть х - первый член, у - второй член этой прогрессии. Тогда по условию задачи имеем систему двух уравнений: hello_html_m77188c34.gif. При решении данной системы находим две пары решений: х=15; у=24 или х=24; у=15. так как прогрессия по условию убывающая, то b1=24; b2=15, а поэтому q=hello_html_m1354f1a2.gif.

Используя формулу суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии имеем: S=hello_html_m5054d627.gif= 24:hello_html_42b31bdf.gif=64. Решаем уравнение: hello_html_m787059.gif; откуда hello_html_3676a869.gif

Ответ: hello_html_m32ab96a4.gif.


79. Найти геометрическую прогрессию со знаменателем q=2, последний член которой равен квадрату четвертого члена, а сумма на единицу меньше числа х, определяемого из уравнения hello_html_63021cb1.gif.

Решаем уравнение hello_html_m70f64fae.gif; hello_html_3476cacd.gif; hello_html_m40eca1cc.gif; х=27=128. А, следовательно, Sn=128-1=127. По условию bn=b42=(b1q3)2=64b12. Используя формулу суммы n-первых членов геометрической прогрессии Sn=hello_html_m76c0402c.gif имеем: hello_html_m32b0f787.gif. Путем преобразований приведем к уравнению вида: 128b12-b1-127=0, откуда b1=1или b1=hello_html_38c997fa.gif.

Следовательно, исходных прогрессий будет две: 1; 2; 4; 8; … или hello_html_38c997fa.gif; hello_html_1c4abcd8.gif

Ответ: 1; 2; 4; 8; … или hello_html_38c997fa.gif; hello_html_1c4abcd8.gif


80. Найти S= hello_html_m77476601.gif (1)

3; 4; 5; 6; … - арифметическая прогрессия, где первый член равен 3, а разность d=1.

4; 8; 16; 32; … - геометрическая прогрессия, где первый член равен 4, а знаменатель q=2.

Умножим обе части равенства (1) на знаменатель q=2: 2S=hello_html_m2ef9b52a.gif(2).

Вычтем второе выражение из первого:

S-2S=hello_html_173aa52a.gif=hello_html_m4d04d150.gifhello_html_7dbe30f8.gif

Стоящая в скобках сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем hello_html_m3d4efe4.gifи первым членом hello_html_50c7c0d7.gif, ее сумма равна hello_html_m5054d627.gif=hello_html_43504744.gif.

Следовательно, -S=hello_html_4d36c1c6.gif; S=2.

Ответ: S=2.


81. Доказать, что hello_html_319170eb.gif

hello_html_m741e6f6d.gif- геометрическая прогрессия со знаменателем hello_html_m3d4efe4.gif, 2; 4; 8; 16; … - геометрическая прогрессия со знаменателем 2.

Преобразуем левую часть исходного равенства: hello_html_m5c151fdc.gifhello_html_m14233242.gif.

Найдем сумму S= hello_html_m58190b58.gif

Умножим обе части равенства на знаменатель 2: 2S=hello_html_m6a8957ca.gif

S-2S=hello_html_m59a9875.gif=hello_html_3dcb3fcc.gifhello_html_m7b3444fd.gif. Стоящая в скобках сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем hello_html_m3d4efe4.gifи первым членом hello_html_50c7c0d7.gif, ее сумма равна hello_html_m5054d627.gif=hello_html_43504744.gif.

Следовательно, -S=hello_html_17bb716f.gif; S=1.

Следовательно, hello_html_m14233242.gif=21=2. Что и требовалось доказать.



82. При каких значениях а три корня уравнения (х-а)(х2-13х+36)=0 различны и, взятые в некотором порядке, составляют геометрическую прогрессию?


Найдем корни данного уравнения.

hello_html_m61e46238.gifhello_html_m25e1fa40.gif

Данное уравнение имеет три корня. Рассмотрим случаи различного расположения данных чисел в геометрической прогрессии (bn).

a) 4; 9; a b1=4; b2=9; q= b2: b1=hello_html_6f1b1394.gif; b3=b2 q; a=9hello_html_a8352bc.gif;

получаем геометрическую прогрессию 4; 9; hello_html_m74d672c3.gif

б)4; a; 9 b1=4; b3=9; b3=b1q2; q2=hello_html_6f1b1394.gif; q=hello_html_m57467fe.gif.

q=hello_html_615a29fb.gif b2=b1q; a=4hello_html_m45d89d57.gif ;получаем геометрическую прогрессию 4; 6; 9

q= -hello_html_615a29fb.gif b2=b1q; a=4hello_html_m76feff33.gif; получаем геометрическую прогрессию 4; -6; 9

в) 9; 4; a b1=9; b2=4; q= b2: b1=hello_html_m3a3a212f.gif; b3=b2q; a=4hello_html_341faec6.gif4

получаем геометрическую прогрессию 9; 4; hello_html_m3c5fa9ba.gif

г) 9; a; 4 b1=9; b3=4; b3=b1q2; q2=hello_html_m3a3a212f.gif; q=hello_html_5059b3a1.gif.

q=hello_html_42567408.gif b2=b1q; a=9hello_html_736d0240.gif; получаем геометрическую прогрессию 9; 6; 4

q= -hello_html_42567408.gif b2=b1q; a=4hello_html_m68171adf.gif ; получаем геометрическую прогрессию 9; -6; 4

д) a; 4; 9 q=hello_html_6f1b1394.gif; b2=b1q; b1=b2:q; a=hello_html_m13adf256.gif ;

получаем геометрическую прогрессию hello_html_m3c5fa9ba.gif; 4; 9

е) a; 9; 4 q=hello_html_m3a3a212f.gif; b2=b1q; b1=b2:q; a=hello_html_md32321b.gif ;

получаем геометрическую прогрессию hello_html_m74d672c3.gif; 9; 4

Ответ: a=-6; hello_html_m3c5fa9ba.gif; 6; hello_html_m74d672c3.gif .


83. Историческая задача.

Арабский историк Асафад рассказывает, что шах Шерам, желая наградить Сессу, изобретателя шахматной игры, спросил: что он желает получить?

Сесса отвечал: «дайте мне столько пшеницы, сколько потребуется, если на первую клетку шахматной доски положить 1 зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т.д. постоянно удваивая число зерен вплоть до последней, 64-й клетки». Удивленный скромностью изобретателя, шах приказал тотчас же выдать ему требуемое количество зерна.

Найти:

а) Сколько зерен нужно было выдать?

б) Какую площадь нужно было бы засеять, чтобы собрать требуемое количество зерна, если 1 га дает 25 гектолитров, а гектолитр содержит около 2 миллионов зерен?

в) Какова стоимость требуемого зерна, если гектолитр стоит 20 франков?


а) 1; 2; 4; 8; … - геометрическая прогрессия с первым членом b1= 1, знаменателем q=2 , n=64. S64=hello_html_44f39284.gif=264-1=18 446 744 073 709 551 615.

Итак, всего нужно было выдать 18 446 744 073 709 551 615 зерен.

б) Гектар дает 25*2 млн.=50 млн. зерен. Следовательно, нужно было бы засеять 18 446 744 073 709 551 615 : 50 000 000 = 368 934 881 474 га. Поверхность суши содержит приблизительно 13 миллиардов га. Следовательно, потребовалась бы площадь в 28 раз большая всей поверхности суши. А если принять в расчет бесплодные земли, леса и т.д., то очевидно, что для уплаты потребовался бы сбор всего урожая на земле в течение нескольких столетий.

в) Стоимость требуемого количества зерна составляет 184 467 млрд. франков.


84. Две прогрессии – арифметическая и геометрическая – имеют по четыре члена, причем первый и последний члены у обеих прогрессий одинаковы. Определить, у какой из этих прогрессий сумма членов больше?

Пусть a; b; c; d – члены арифметической прогрессии (1)

a; k; m; d – члены геометрической прогрессии (2).

Обе прогрессии будут одновременно возрастающими или убывающими. Пусть прогрессии будут возрастающими, тогда dhello_html_3b008c03.gifa. Так как числа a; k; m; d составляют геометрическую прогрессию, то hello_html_5227945.gif; откуда hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m23305b91.gif; но mhello_html_3b008c03.gifa, а, следовательно, и d-mhello_html_3b008c03.gifk-a, или d+ahello_html_3b008c03.gifk+m. Но если бы числа a; b; c; d составляли арифметическую прогрессию, d+a=b+c, потому неравенство d+ahello_html_3b008c03.gifk+m можно переписать в виде b+chello_html_3b008c03.gifk+m, из чего видно, что для арифметической прогрессии сумма членов будет больше.

Ответ: для арифметической прогрессии сумма членов будет больше.


85. Три целых числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе увеличить на 8, то прогрессия сделается арифметическою; но если после этого увеличить последний член на 64, прогрессия снова сделается геометрическою. Найти эти числа.


x; y; z-геометрическая прогрессия (1);

x; y+8; z-арифметическая прогрессия (2);

x; y+8; z +64- геометрическая прогрессия(3).

Из первого условия находим знаменатель геометрической прогрессии:

q1=hello_html_m6e8c7e80.gif или у2z

Из второго условия находим разность арифметической прогрессии:

d=y+8-x=z-y-8 или 2у=z+x-16

Из третьего условия находим знаменатель геометрической прогрессии:

q2=hello_html_5ffd2f51.gif или (y+8)2=xz+64x.

Рассмотрим систему трех уравнений: hello_html_m3a4e4d2f.gifhello_html_102d5d88.gifhello_html_3561ed5b.gifhello_html_198cb094.gifhello_html_m31d61060.gifhello_html_me21d2ac.gif; xhello_html_23a79192.gif

Ответ: 4; 12; 36.


86. Доказать, что если a; b; c составляют арифметическую прогрессию, x; y; z – геометрическую прогрессию, то xbycza=xcyazb.

Так как a; b; c - арифметическая прогрессия, то пусть d – разность этой прогрессии, тогда а=b-d; c=b+d или d=b-a; d=c-b. Найдем hello_html_m2197ecd5.gif. Тогда hello_html_4c03fabe.gif; hello_html_bd5d4e5.gifили xbycza=xcyazb. Что и требовалось доказать.


    1. Задачи для самостоятельного решения


87. В геометрической прогрессии b3-b1=16; b5-b3=144. Найти S4.

Ответ: S4=80 или S4= -40.


88. В геометрической прогрессии b1+b2+… +b5=31; b2+b3+…+b6=62. Найти восьмой член этой прогрессии.

Ответ: b8=128.


89. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма первых четырех – равна 45. Найдите эту прогрессию.

Ответ: 3; 6; 12; 24; …

90. Предел суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен12, а предел суммы квадратов тех же членов равен 48. Вычислите сумму шести первых членов этой прогрессии.

Ответ: S6=hello_html_536ccabc.gif.

91. В геометрической прогрессии 1; х; х2; …; х2n произведение нечетных членов равно 64, а произведение четных членов равно 32. Найти n и x.

Ответ: n=5; x=hello_html_1caef8ee.gif.

92. Найдите сумму чисел hello_html_285b1343.gif

Ответ: S=2.

93. Найдите сумму 1-3q+4q2-5q3+… при q2 hello_html_m2cc1d384.gif.

Ответ: S=hello_html_m6e71d94d.gif.

94. В уравнении х3-8х2-6х+а=0 найти а такое, чтобы корни составляли геометрическую прогрессию.

Ответ: а=hello_html_2a362dd6.gif.

95. Сумма четырех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна –40, а сумма их квадратов равна 3280. Найдите эти числа.

Ответ: 2; -6; 18; -54.


96. Определите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

10; 9; …

Ответ: 100.


97. Дан квадрат, сторона которого равна а. Середины каждых двух смежных сторон этого квадрата соединены отрезком, и таким образом получился квадрат, вписанный в первый; точно также во второй квадрат вписан третий, в третий четвертый, и т. д. до бесконечности. Вычислить сумму периметров всех этих квадратов.

Ответ: 4а(2+hello_html_1caef8ee.gif).


98. Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна а. На высоте этого треугольника построен другой равносторонний треугольник, на высоте второго третий и т. д. до бесконечности. Определить суммы периметров и площадей всех этих треугольников.

Ответ: 6a(2+hello_html_m980c3de.gif); a2hello_html_m980c3de.gif.


99. Две прогрессии, арифметическая и геометрическая, содержат в себе по четыре члена. Если из членов геометрической прогрессии вычесть одноименные им члены арифметической прогрессии (т. е. из первого члена геометрической прогрессии вычесть первый член арифметической прогрессии и т. д.), то остатки соответственно будут числа: 1; 5; 19; 53. найдите крайние члены и сумму членов каждой из этих прогрессий.

Ответ: а1=9; d=6; b1=10; q=2.


100. Определите сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

hello_html_fee9186.gif; …

Ответ: 4+3hello_html_1caef8ee.gif.

Литература

Муравин К.С., Муравин Г.К. Пробный учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1995.

Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. 8-11 класс: пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Дрофа, 1999.

Савин А.П. Энциклопедический словарь юного математика для среднего и старшего школьного возраста. – М.: Педагогика, 1989.

Шмулевич П.К. Сборник задач, предлагавшихся на конкурсных экзаменах при поступлении в специальные высшие учебные заведения. Алгебра. Часть 2.- Санкт Петербург, 1910.

Симонов А.Я., Бакаев Д.С. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. - М.: Просвещение, 1991.

Ивлев Б.М., Абрамов А.М. и др. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. - М.: Просвещение, 1990.

Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учебное пособие для школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1992.

Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средних учебных заведений. – М.: Наука, 1984.

Ларичев П.А. Сборник задач по алгебре, часть 2. – М.: Просвещение, 1965.

Финисов П.Н. Решения алгебраических задач, часть 2. – Санкт Петербург, 1905.

Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Задачи. – М., 1903.

Маракуев Н.Н. Элементарная алгебра. Теория. – М., 1916.

Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра: пособие для самообразования. – М.: АО «Столетие», 1994.

Бычков О. Сборник примеров и задач, относящихся к курсу элементарной алгебры. - Санкт Петербург, 1913.

Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.

Мордкович А.Г., Тульчинская Е.Е., Мишустина Т.Н. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2003.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990.

Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. и др. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1999.

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра. 9 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2000.


Краткое описание документа:

Тема "Прогрессии" не особенно глубоко изучается в школьном курсе математики. Данное пособие поможет систематизировать все знания. Его можно использовать при изучении материала, обобщении, для дифференцированной работы с учащимися. Оно может быть полезно при подготовке к выпускным экзаменам в школе и при подготовке к вступительным экзаменам в другие учебные заведения.

В пособии рассмотрены две прогрессии: арифметическая и геометрическая. Структура изложения: теоретическая и практическая часть. В практической части представлены задания для обязательного уровня, среднего уровня и повышенной сложности. Эти задачи рассмотрены с решением и комментариями. В пособии представлен раздел с заданиями для самостоятельной работы с ответами. 

 

Общая информация

Номер материала: 360800

Похожие материалы