Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Методическое пособие по проведению лабораторной работы «Биномиальное распределение»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие по проведению лабораторной работы «Биномиальное распределение»

библиотека
материалов

Методическое пособие по проведению лабораторной работы «Биномиальное распределение»

Автор:

Корчуганова Ирина Борисовна ( irborkor@mail.ru)

Место работы:

Бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования вологодской области "Череповецкий металлургический колледж" (БОУ СПО ВО ЧМК)

Предмет: Математика.

Тема: «Биномиальное распределение».

Продолжительность: 1 пара ( 130 минут)

Технологии: справочные, обучающие, информационно-поисковые, демонстрационные и расчётные.

Цели урока:

Дидактические:

1. Установление межпредметных связей;

2. Проверка и углубление знаний по теме «Вероятность события»;

3. Формирование практических умений решения задач;

Развивающие

1. Развитие познавательной активности и интереса студентов к изучаемым предметам;

2. Развитие логического мышления .

3. Развитие абстрактного и наглядно-образного мышления.

4. Формирование умений оформления результатов учебной деятельности;

Воспитательные:

1. Формирование интереса к изучаемой дисциплине;

2. Формирование сознательной дисциплины и норм поведения ,

3. Формирование умений осуществлять взаимоконтроль учебно-познавательной деятельности, учебно-практической деятельности;

4.Формирование умений осуществлять самоконтроль хода и результатов учебной деятельности.


Методические рекомендации по проведению лабораторной работы по теме «Биномиальное распределение». Для обучающихся вычисления с применением данной формулы очень трудоёмки, особенно когда в одной задаче необходимо применить формулу неоднократно. Решение задач на применение формулы Бернулли показало, что применение пакета MathCAD позволяет студентам лучше усвоить программный материал, не отвлекаясь на проведение вычислений и сэкономить время.

Во всех компьютерных кабинетах БОУ СПО ВО «Череповецкий металлургический колледж» установлен пакет MathCAD, студенты и преподаватели могут использовать его при решении различных задач.



Лабораторная работа «Биномиальное распределение »


  1. Цели работы:

- научиться пользоваться формулой Бернулли для составления закона распределения случайной величины;

- научиться графически изображать закон распределения случайной величины c помощью пакета MathCAD.

- научиться вычислять вероятности заданного события c помощью пакета MathCAD.

  1. Оборудование: MathCAD

  2. Теоретическое обоснование

Пусть некоторый опыт повторяется в неизменных условиях n раз, причём каждый раз может наступить (успех), либо не наступить (неудача) некоторое событие А, где Р (А) = р – вероятность успеха. Р (hello_html_m5e37755c.gif) = 1-р= q – вероятность неудачи.

Тогда вероятность того, что в m случаях из n произойдёт событие А вычисляется по формуле Бернулли: Р=hello_html_m740ec0bc.gifhello_html_m11e1295f.gif

Условия, приводящие к формуле Бернулли, называются схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Так как вероятности Pn(m) для различных значений m представляют слагаемые в разложении бинома Ньютона hello_html_35b0dc6c.gif ,

то оно называется биномиальным.


Пример 1

В корзине чёрные, красные и белые шары Вероятность выбора белого шара 0,8 Наугад берут 10 шаров. Найти вероятность того, что среди них окажется:

а) четыре белых шара; б) не более одного белого.


Решение. р=0,8 q=1-p=1-0,8=0.2 , n=10.

a) m = 4 Р10(4)= hello_html_59e9cc77.gif


б) p=0.6 n=10 m=0 и m=1. P10(mhello_html_m158bb40e.gif)=Р10(0)+P10(1)=hello_html_36cfd6a7.gif


Ответ : вероятность того, что среди взятых десяти шаров четыре будут белого цвета равна 0,0088; а вероятность того, что среди взятых десяти шаров будут белого цвета один или ни одного 0,000004198.

Пример 2

Некоторый стрелок попадает в цель с вероятностью 0,6. Oн собирается произвести 10 выстрелов. Найти вероятность того, что он попадёт в цель:

а) три раза, б) хотя бы один раз.

Решение: р = 0,6, q = 1-p = 1- 0,6 = 0,4, n=10.

a) p=0.6 n=10 m=3 P10(3)= hello_html_m489483f0.gif

б) p=0.6 n=10 m=1…10. hello_html_683e90aa.gif

Пример 3

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет 0,8. Найти вероятность четырёх попаданий при шести выстрелах.

Решение:

Здесь n=6. m=4, р=0,8 q=0,2.

По формуле Бернулли находим

Р6(4)=hello_html_4e85b6d5.gif р4q 6-4 = hello_html_m1023a3ac.gif=0,246

Под случайной величиной, связанной с некоторым опытом, понимается всякая величина, которая при осуществлении этого опыта принимает то или иное числовое значение. Для полной характеристики случайной величины необходимо знать те значения, которые она может принимать, а также вероятности, с которыми она принимает эти значения.

Будем обозначать случайную величину Х, её значения х1, х2, …,хn а соответствующие им вероятности р1, р2, … рn. Если для случайной величины Х известны все значения х1, х2, …,хn которые она может принимать, и все вероятности р1, р2, … рnс которыми эти значения принимаются, то говорят, что задан закон распределения случайной величины Х. Закон распределения удобно записывать в виде таблицы 1.


Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины


Xi

X1

X2

Xn

Pi

P1

P2

Pn



Пример 4


Устройство состоит из трёх взаимно независимых элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном испытании равна 0,1. Составить закон распределения случайной величины Х – число элементов, отказавших в одном испытании. Построить многоугольник распределений.


Решение :

Случайная величина Х может принимать четыре значения:

x1=0, x2=1, x3=2, x4=3 .

Вероятность значения каждой вычислим по формуле Бернулли:


p1=P3(0)= hello_html_ae8644.gif

p2=P3(1)= hello_html_m21cbbb86.gif

p3=P3(2)= hello_html_m1dfcad63.gif

p4=P3(3)= hello_html_m1d2a75ef.gif


Таким образом, случайная величина Х имеет биномиальное распределение:

Таблица 2 – Закон распределения дискретной случайной величины


Xi

0

1

2

3

Pi

0,729

0,243

0,027

0,001




Закон распределения случайной величины можно изобразить графически с помощью многоугольника распределений. Выполним это в MathCAD.

hello_html_m6bf147a1.png

Рисунок 1 - – Многоугольник распределения дискретной случайной величины


  1. Порядок выполнения работы


    1. Проработать теоретический материал по теме.

    2. Ответить на контрольные вопросы.

    3. Получить вариант, задание.

    4. Выполнить задание.

    5. Сделать вывод по работе.

    6. Оформить отчёт.



Приложение А – Варианты заданий


Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при N выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна Р.

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) k<А;

б) k≥В;

в) больше С;

г) не больше D;

д) от E до F.



Вариант

N

P

A

B

C

D

E

F

1

12

0.4

7

5

10

8

3

8

2

13

0.5

8

5

9

6

2

6

3

14

0.6

6

8

6

4

4

9

4

15

0.7

5

9

9

10

1

7

5

16

0.6

8

10

10

10

4

9

6

17

0.5

7

11

13

10

5

15

7

18

0.4

10

12

14

11

12

16

8

12

0.8

6

7

10

8

1

5

9

13

0.9

7

8

10

6

7

10

10

14

0.8

8

9

7

6

7

11


Приложение В – Образец решения задачи:


Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при 12 выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7.

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) k<11; б) k≥6; в) больше 4; г) не больше 8;

д) от 5 до 12.


Методические рекомендации.


1. Переключитесь на английский алфавит.

2. Введите значения переменных через знак присвоения :=

n - число выстрелов ; m – число попаданий;

р – вероятность попадания при каждом выстреле.


Ниже значений введите формулу Бернулли.




hello_html_m598c99e2.png

hello_html_2b42060a.png

















Можно округлить результаты до трёх- четырёх цифр после запятой с помощью команды Result Format

hello_html_61e4a598.png


















Полученные таблицы, объединённые в одну, и будут образовывать закон распределения.

m

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Р

0

0

0

0.001

0.008

0.029

0.079

0.158

0.231

0.24

0.168

0.071

0.014


Для графического изображения закона распределения выполните следующее:

  1. Щелкните в том месте экрана, где необходимо создать график

( обязательно ниже, чем определены переменные и функция hello_html_1937ea0a.gif).

  1. Вhello_html_m60d661e0.pngыберите на математической панели кнопку построения графиков

hello_html_m7974154c.png

  1. На ней выберите кнопку Декартов график или нажмите клавиши [Shift] + [2].

  2. Нhello_html_3d2439d0.png
    а экране появится пустой график с двумя полями ввода, по одному на каждой оси.


  1. Чтобы увидеть график, заполните пустые поля:


  • Пустое поле в середине горизонтальной оси предназначено для независимой переменной m.

  • Пустое поле в середине вертикальной оси содержит выражение или имя функции, график которой нужно построить, т.е. hello_html_1937ea0a.gif

  1. Пhello_html_3c1d8983.pngосле того как поля ввода будут заполнены, щелкните указателем мыши вне графической области.

7. Чтобы по горизонтальной оси значения были целыми, нужно в меню hello_html_5db6185b.png убрать hello_html_m24e17b14.png

и поставить или подобрать нужное число ( в данном примере 15).

hello_html_617edc2.png








По графику видно, что наиболее вероятное число попаданий равно 9, а наименее вероятное число попаданий 0.

Чhello_html_m7663e23b.pngтобы с помощью МАТHCAD найти сумму нескольких значений одной и той же функции, необходимо выбрать в палитре символов «Производные, интегралы и пределы» оператор суммирования.

Для этого в свободном месте щёлкните. Затем нажмите клавиши[ctrl] [shift] 4. Появится знак суммирования с четырьмя пустыми полями hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_16e8603d.gif В нижнем поле слева от знака = введите имя переменной. Эта переменная m – индекс суммирования. Она определена только внутри оператора суммирования. В поле справа от знака = и в поле над знаком суммы введите целые числа. В оставшемся поле введите выражение, которое необходимо просуммировать. Обычно оно содержит индекс суммирования. В нашем примере это выражение hello_html_1937ea0a.gif . Чтобы увидеть результат, нажмите знак =.

Теперь определим вероятность того, что число попаданий:


а) m < 11; б) m ≥ 6; в) больше 4; г) не больше 8; д) от 5 до 12.




аhello_html_m77327455.gif)

б) hello_html_4cd4f55d.png

в) hello_html_613e6b3e.png


г)hello_html_5b19e68e.png



д) hello_html_4403e2c6.png













Литература


  1. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов.- М.: Наука, 1989.

  2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

  3. Калинина В.П., Понкин В.Ф. Математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1998.

  4. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум. – М.: Финансы и статистика, 1999.

  5. Черняк А. А., Черняк Ж. А., Доманова Ю. А. Высшая математика на базе Mathcad. Общий курс. – СПб.: БХВ – Петербург, 2004.




Приложение С – Шаблон оформления лабораторной работы.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА


Биномиальное распределение


1 Цели работы:


1.1.Научиться пользоваться формулой Бернулли для составления закона распределения случайной величины;

1.2.Научиться графически изображать закон распределения случайной величины c помощью пакета MathCAD.

1.3.Научиться вычислять вероятности заданного события c помощью пакета MathCAD.


  1. Оборудование MathCAD


3. Выполнение работы Вариант

Составить, используя MathCAD , закон распределения случайной величины Х-число попаданий в цель при …. выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле равна …..

Изобразить графически закон распределения.

Найти наиболее вероятное число попаданий.

Найти наименее вероятное число попаданий.

Определить вероятность того, что число попаданий:

а) m<….; б) m ≥….; в) больше …..; г) не больше …..; д) от …..до …...

Таблица 1 – Закон распределения дискретной случайной величины

хi

0

1


pi




Многоугольник распределения:

hello_html_478f392.gif


Наиболее вероятное число попаданий. равно ______________________

Наименее вероятное число попаданий. равно ______________________

Вероятность того, что число попаданий:

а) m < hello_html_m7e67153.gif

б) mhello_html_29e9df81.gif

в) Больше hello_html_147f587c.gif

г) Не больше hello_html_4f8d448e.gif

д) От до hello_html_m7a2b8607.gif

4. Вывод

В ходе выполнения данной работы построен многоугольник распределения в Mathcad следующим образом: ______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________












Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

 Методические рекомендации по проведению лабораторной работы по теме «Биномиальное распределение». Для обучающихся вычисления с применением данной формулы очень трудоёмки, особенно когда в одной задаче необходимо применить формулу неоднократно.  Решение  задач на применение формулы Бернулли показало, что применение пакета MathCAD позволяет студентам лучше усвоить программный материал, не отвлекаясь на проведение вычислений и сэкономить время.

Во всех компьютерных кабинетах БОУ СПО ВО «Череповецкий металлургический колледж» установлен пакет MathCAD, студенты и преподаватели могут использовать его при решении различных задач

Автор
Дата добавления 18.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров341
Номер материала 312909
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх