Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие "Решение квадратных уравнений с параметрами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие "Решение квадратных уравнений с параметрами"

библиотека
материалов

hello_html_5fe88888.gifhello_html_57716b1d.gifhello_html_57716b1d.gifhello_html_20128f84.gifhello_html_5fe88888.gifhello_html_m6acbae6a.gifhello_html_6905b473.gifhello_html_m7628995b.gifhello_html_m539dda4d.gifhello_html_5048fed9.gifhello_html_2c0fa55d.gifhello_html_526b6be1.gifhello_html_m63dc16fa.gifhello_html_m5971d526.gifhello_html_m33ea0a29.gifhello_html_m468fe06b.gifhello_html_7ee8e09.gifhello_html_m74b4a30e.gifhello_html_m66fecd93.gifhello_html_m45f3bf0d.gifМИНИСТЕРСТВО ОБОРОНЫ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ КАЗЁННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ОРЕНБУРГКОЕ ПРЕЗИДЕНТСКОЕ КАДЕТСКОЕ УЧИЛИЩЕ»













РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ


(методическое пособие для воспитанников и преподавателей)





Составила преподаватель математики

высшей квалификационной категории

Зевина Елена Петровна


















2013г.




УДК 372.





Зевина Е.П.: РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРАМИ.

Методическое пособие для воспитанников и преподавателей.

Оренбург: ФГКОУ Оренбургское ПКУ, 2013. –32с.



В пособии представлен опыт практической деятельности преподавателя училища по методике обучения решению квадратных уравнений с параметрами.

Методическое пособие содержит задачи с параметрами, при решении которых возникают наибольшие затруднения во время обучения. Методами решения таких задач уделяется минимум внимания, и целью данного пособия является помощь учащимся в устранении данного пробела.

Данное методическое пособие составлено по итогам многолетней практики работы и подготовки учащихся к сдаче экзамена по математике в формате ЕГЭ и ГИА.







Рассмотрено на заседании методического совета ФГКОУ Оренбургское ПКУ.















ФГОУ «Оренбургское президентское кадетское училище», 2013


Содержание

  1. Введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

  2. §1. Квадратные уравнения с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1. Понятие уравнения с параметром . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2. Квадратные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    3. Теорема Виета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 6

  1. §2. Примеры решения квадратных уравнений с параметром . . . . . . . . . 7

  2. §3. Задачи для самостоятельной работы по решению квадратных

уравнений с параметром . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1. §4. Решение уравнений с параметром, приводимых к квадратным. . . .15

  2. §5. Задачи для самостоятельной работы по решению уравнений,

приводимых к квадратным . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

  1. §6. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  1. §7. Задачи для самостоятельного решения, связанные с

расположением корней квадратного трехчлена . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  1. Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  2. Список использованной литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



























Введение

У большинства выпускников и абитуриентов задачи с параметрами вызывают серьезные затруднения (как решать задачу и как довести решение до правильного ответа). Трудности при решении таких задач обусловлены во-первых: решением не по шаблону, во- вторых: рассмотрением различных случаев, в которых методы решения существенно отличаются друг от друга; в-третьих: хорошими знаниями свойств функций и правильным выделением тех свойств, которые нужно применить.

Предлагаемое пособие построено так, чтобы учащиеся самостоятельно могли понять логику решения задач с параметрами, и научились их решать.

Пособие разбито на параграфы, в конце которых приведены упражнения для самостоятельного решения. Разобраны примеры, которые расположены в последовательности «от простого к сложному», при этом предполагается, что учащийся имеет хорошие знания по математике и изучает пособие последовательно.

Пособие может быть использовано как для самостоятельной подготовки к вступительным экзаменам, так и в качестве пособия на индивидуальных и групповых занятиях.

Функции вида hello_html_m3a4b9c7c.gif, где hello_html_mef734c5.gif hello_html_m26400dfd.gif – квадратный трехчлен, в школьном курсе математики придается большое значение. Для нее строго доказываются все свойства, нужные в теории и для решения задач. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратный трехчлен с параметром часто включается в варианты письменных работ и в тесты для собеседования на вступительных экзаменах в ВУЗы. Как правило, большая часть абитуриентов с этими задачами не справляется. Значит, им надо уделять больше внимания на факультативных занятиях в школе, на страницах печати.

§1. Квадратные уравнения с параметром

1.1 Понятие уравнения с параметром

Определение. Пусть задано уравнение hello_html_3895c47d.gif, если ставится задача, для каждого действительного значения hello_html_m8f522f9.gif решить уравнение относительно hello_html_m4f3a936b.gif, то это уравнение называют уравнением с переменной hello_html_m4f3a936b.gif и параметром hello_html_m8f522f9.gif.

Решить уравнение с параметром – это значит, для каждого действительного значения hello_html_m8f522f9.gif найти значение hello_html_m4f3a936b.gif, удовлетворяющее данному уравнению.

Назовем контрольными значениями параметра (КЗП) те его значения, при которых обращается в нуль: 1) старший коэффициент в уравнении или неравенстве; 2) знаменатель дроби; 3) дискриминант квадратного уравнения.

1.2 Квадратные уравнения

Определение. Квадратным уравнением называют уравнение вида

hello_html_m213c9378.gif,

(1)

где hello_html_m4f3a936b.gif – переменная, hello_html_mac37352.gif и hello_html_m8f522f9.gif, hello_html_58847f7b.gif, hello_html_m56d84833.gif – некоторые действительные числа или выражения, зависящие от параметров.

Левая часть уравнения является квадратным трехчленом, то есть многочленом второй степени.

Корни квадратного уравнения (1) находят по формуле

hello_html_1539a920.gif.

(2)

Выражение hello_html_m54155f51.gif называют дискриминантом квадратного уравнения (1).

В случае, когда второй коэффициент квадратного уравнения четное число hello_html_4ac87832.gif, корни удобно находить по формуле

hello_html_m24eeb3bb.gif.

(3)



Число корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта:

если hello_html_mcb63647.gif, то уравнение имеет два различных действительных корня;

если hello_html_3440f268.gif, то уравнение имеет два равных действительных корня

hello_html_6427e6d9.gif

или один корень, но двойной кратности.

если hello_html_mfbec0e3.gif, то уравнение не имеет действительных корней.

При решении неполного квадратного уравнения hello_html_74dead76.gif, где hello_html_784caa4d.gif удобно пользоваться разложением на множители левой части уравнения:

hello_html_26249778.gif.

1.3 Теорема Виета

При решении полных квадратных уравнений применяют теорему Виета: если hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gifкорни квадратного уравнения hello_html_m213c9378.gif, где hello_html_mac37352.gif, то справедливы формулы для суммы и произведения этих корней:

hello_html_m1cd039c1.gif, hello_html_6c5b1863.gif.

(4)



Формулы (4) называют формулами Виета.

Верно и обратное утверждение: если числа hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif удовлетворяют равенствам (4), то эти числа являются корнями квадратного уравнения.

Формулы Виета верны и для приведенного квадратного уравнения hello_html_m2182cf03.gif. В этом случае они приобретают вид:

hello_html_m31601e76.gif, hello_html_79795a8.gif.

Квадратный трехчлен можно разложить на линейные множители:

  1. если hello_html_mcb63647.gif, то hello_html_934a64c.gif;

  2. если hello_html_3440f268.gif, то hello_html_6259adf9.gif.



§2. Примеры решения квадратных уравнений с параметром

Пример 1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение hello_html_m3eb85403.gif

  1. имеет два различных корня;

  2. не имеет корней;

  3. имеет один корень.

Решение. Так как по условию старший коэффициент hello_html_m1eb3e59e.gif, то уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант: hello_html_7dc3b2c1.gif.

Контрольными значениями параметра будут те значения, при которых дискриминант равен нулю.

КЗП: hello_html_m1dad440f.gif или hello_html_m50881fd9.gif.

Далее определим знак дискриминанта, а для этого заметим, что он представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола, причем ветви её направлены вверх.



Знак hello_html_66e6724f.gif: 1) + 2) 3) 2) + 1)

– 4 – 4 а

Возможны три случая.

1) Если hello_html_m4ca6ccc2.gif, то hello_html_mcb63647.gif и уравнение имеет два различных действительных корня

hello_html_2b74e7d8.gif.

  1. Если hello_html_m50881fd9.gif или hello_html_m27d546.gif, то hello_html_3440f268.gif и уравнение имеет один двукратный корень hello_html_41144496.gif, причем если hello_html_m50881fd9.gif, то hello_html_m3bc8fcc2.gif, а если hello_html_m27d546.gif, то hello_html_51deb4b.gif.

3) Если hello_html_m60c2102f.gif, то hello_html_mfbec0e3.gif и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: при hello_html_m4ca6ccc2.gif hello_html_2b74e7d8.gif;

при hello_html_m60c2102f.gif корней нет;

при hello_html_m50881fd9.gif hello_html_m8f463a6.gif;

при hello_html_m27d546.gif hello_html_m2821a595.gif.

Пример 2. Решить уравнение hello_html_6952b42b.gif.

Решение. Поскольку старший коэффициент данного уравнения зависит от параметр hello_html_58847f7b.gif, то это уравнение нельзя считать квадратным. Поэтому найдем первое контрольное значение параметра, приравняв старший коэффициент к нулю.

КЗП: hello_html_m6d35c97d.gif.

  1. Если hello_html_m666197b2.gif, то исходное уравнение принимает вид:

hello_html_m4d6f2baf.gif,

то есть становится линейным и его корнем является hello_html_60e7d49d.gif.

  1. Если hello_html_15c02c8c.gif, то исходное уравнение является квадратным, поэтому вычислим его дискриминант hello_html_m696591b5.gif:

hello_html_m65afae8.gif.

Найдём другие контрольные значения параметра, из условия, что дискриминант квадратного уравнения равен нулю.

КЗП: hello_html_m63c67437.gif или hello_html_m54b4b3dc.gif.

Определим знак дискриминанта. Поскольку он представляет собой квадратичную функцию, то графиком его является парабола c ветвями направленными вниз.



Знак hello_html_m696591b5.gif а) б) + в) б) а)

1 6 – b

Возможны следующие три подслучая.

а) Если hello_html_m29a21045.gif, то hello_html_m50663ac4.gif, а значит, уравнение не имеет корней.

б) Если hello_html_m6eaf57d5.gif или hello_html_m54b4b3dc.gif, то hello_html_3b4fe07b.gif и найти значение корня уравнения можно по формуле hello_html_3b3dc4a6.gif, то есть

при hello_html_m6eaf57d5.gif получим hello_html_792f3d08.gif,

при hello_html_m54b4b3dc.gif получим hello_html_10086270.gif.

в) Если hello_html_3a93b2d8.gif, то hello_html_m536ecc68.gif и уравнение имеет два различных корня

hello_html_7b1f94f1.gif.

В ходе решения данного квадратного уравнения получили три контрольных значения параметра b, которые наносим на числовую прямую для удобства записи ответа.

1 2 6 b



Ответ: при hello_html_m29a21045.gif корней нет;

приhello_html_m6eaf57d5.gif hello_html_m1c7b9ae5.gif;

при hello_html_m14304d0e.gif hello_html_7b1f94f1.gif;

при hello_html_m666197b2.gif hello_html_60e7d49d.gif;

при hello_html_m54b4b3dc.gif hello_html_m4bad9d6e.gif.

Пример 3. Найти все значения параметра, для которых квадратное уравнение hello_html_289ae70e.gif имеет хотя бы один общий корень с уравнением hello_html_m7aa1e164.gif.

Решение. В первом уравнении старший коэффициент – это выражение, содержащее параметр с. Поэтому первым контрольным значением параметра с будет то, при котором старший коэффициент уравнения равен нулю.

КЗП: hello_html_m6edad7a5.gif.

Возможны два случая.

  1. Если hello_html_2f39a30e.gif, то получим уравнение hello_html_6b4c39a.gif, которое не имеет решений.

  2. Если hello_html_3773fb1.gif, уравнение является квадратным и найдём его дискриминантhello_html_m696591b5.gif:

hello_html_mb3a296b.gif

Дискриминант представляет собой выражение первой степени. Найдем второе контрольное значение параметра, приравняв hello_html_m696591b5.gif к нулю.

КЗП: hello_html_74861fce.gif.

Определим знак hello_html_m696591b5.gif.

а) б) +

– –1 с

Итак, возможны два подслучая.

а) Если hello_html_m579580ad.gif, то hello_html_m50663ac4.gif и уравнение корней не имеет.

б) Если hello_html_m12be5a0d.gif, то hello_html_m536ecc68.gif уравнение имеет два различных корня

hello_html_725cc44f.gif.

Рассмотрим второе уравнение hello_html_m7aa1e164.gif. Его корнями являются числа hello_html_m1c7b9ae5.gif и hello_html_m14b55a82.gif.

По условию задачи хотя бы один из найденных корней должен быть также корнем уравнения hello_html_289ae70e.gif, то есть при подстановке найденного корня в это уравнение должно получиться тождество.

Если hello_html_m1c7b9ae5.gif, то получаем равенство:

hello_html_m1e8b2e57.gif,

hello_html_m2ac169c0.gif,

откуда hello_html_mf5912bd.gif. Аналогично найдём значение с, при котором корнем уравнения hello_html_289ae70e.gif является hello_html_m14b55a82.gif.

Имеем

hello_html_1bf7b34c.gif,

hello_html_33eaeaa0.gif,

hello_html_m68bc6688.gif=0,

hello_html_2dd63535.gif.

Значит, при hello_html_mf5912bd.gif и hello_html_2dd63535.gif уравнение hello_html_289ae70e.gif имеет, по крайней мере, один общий корень с уравнением hello_html_m7aa1e164.gif.

Ответ: hello_html_mf5912bd.gif и hello_html_2dd63535.gif.

Пример 4. Дано уравнение hello_html_m213c9378.gif. Доказать, что если hello_html_570f113e.gif, hello_html_2b92f0a8.gif, hello_html_m449eec04.gif – попарно различные действительные корни этого уравнения, то

hello_html_m16fc9ea2.gif.

Решение. По условию hello_html_570f113e.gif, hello_html_2b92f0a8.gif, hello_html_m449eec04.gif – попарно различные действительные корни уравнения hello_html_m213c9378.gif, поэтому одновременно выполняются следующие равенства:

hello_html_136c41ba.gif0,

hello_html_m3705cf5b.gif0,

hello_html_m388ee6.gif0.

Почленно вычитая из первого равенства сначала второе, а затем третье равенство, получим:

hello_html_m7fa2269b.gif,

hello_html_m7aa53026.gif,

hello_html_m6b9d8165.gifили hello_html_7f0b7cf7.gif.

hello_html_31aebda5.gif,

hello_html_m7d552cca.gif,

hello_html_m5aa24d1d.gifили hello_html_75c0d77c.gif

Поскольку по условию корни уравнения hello_html_570f113e.gif, hello_html_2b92f0a8.gif, hello_html_m449eec04.gif – попарно различные, то hello_html_m6d3e6766.gif и hello_html_m7cb05b46.gif, следовательно,

hello_html_7f0b7cf7.gifи hello_html_m1f6e09cb.gif.

Тогда и разность этих выражений также равна нулю:

hello_html_m63ba14da.gif,

hello_html_7d892059.gif.

Так как hello_html_m3b937b31.gif, то hello_html_2c54cabd.gif.

Подставив hello_html_2c54cabd.gif в равенство hello_html_7f0b7cf7.gif, найдем, что hello_html_m6ec0434f.gif.

Тогда из исходного уравнения следует, что hello_html_784caa4d.gif. Что требовалось доказать.

Пример 5. При каких значениях параметра с уравнение

hello_html_m28e39e91.gif

имеет более двух корней?

Решение. Квадратное уравнение имеет более двух корней, если все его коэффициенты равны нулю (см. пример 4), поэтому

hello_html_m5b1e0e2a.gif

Первое уравнение имеет корни hello_html_36327681.gif и hello_html_m28fc3a1.gif; корнями второго уравнения являются числа hello_html_36327681.gif и hello_html_48864fe6.gif, а третьего – hello_html_36327681.gif и hello_html_m1f0ae977.gif.

Общим для всех является корень hello_html_36327681.gif.

Ответ: hello_html_36327681.gif.

Пример 6. Решить относительно х уравнение hello_html_m3590ce58.gif.

Решение. Раскрыв скобки, получим уравнение вида:

hello_html_933e510.gif.

Приравняв старший коэффициент к нулю, найдем контрольное значение параметра.

КЗП: hello_html_2c54cabd.gif

2) 0 3) + а

1)

Возможны три случая:

  1. Если hello_html_2c54cabd.gif, то уравнение примет вид hello_html_7b0c4dda.gif. Это уравнение решений не имеет.

  2. Если hello_html_m266c99ef.gif, то разделив обе части исходного уравнения на а, получим уравнение вида:

hello_html_m2432ed45.gif.

Преобразуем его, выделив в левой части уравнения полный квадрат:

hello_html_m2048037c.gif,

hello_html_709e33ef.gif,

корнями этого уравнения являются hello_html_5db0ecf.gif и hello_html_m497687bb.gif.

  1. Если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_m75913c32.gif и уравнение hello_html_709e33ef.gif корней не имеет.

Ответ: при hello_html_m1782c1c8.gif hello_html_5db0ecf.gif, hello_html_m497687bb.gif,

при hello_html_2abb2a95.gif корней нет.



Пример 7. При каких значениях параметра m корни уравнения

hello_html_m4f34c377.gifравны по модулю и противоположны по знаку?

Решение. 1 способ – найти все значения параметра т, при которых уравнение имеет два корня, найти эти корни, а затем определить при каких значениях параметра m корни уравнения противоположные числа.

2 способ. Сначала найти при каких значениях параметра т уравнение имеет два корня, затем по теореме Виета найти их сумму

hello_html_m7491cdca.gif.

Так как корни уравнения противоположные числа, то их сумма равна нулю, следовательно, hello_html_1fd50eb.gif, откуда hello_html_3fbf0703.gif.

Ответ: hello_html_3fbf0703.gif.

Пример 8. Решите уравнение hello_html_m16a965ba.gif относительно х.

Решение. Данное уравнение является неполным квадратным, поэтому приведём его к виду: hello_html_m6170c7b8.gif.

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от знака параметра hello_html_m8f522f9.gif.

  1. Если hello_html_m266c99ef.gif, то hello_html_m3a73758b.gif, следовательно, уравнение имеет два корня

hello_html_6d76ba26.gifи hello_html_m96afe59.gif.

  1. Если hello_html_2c54cabd.gif, то уравнение примет вид hello_html_1cf6ad59.gif и имеет один двукратный корень hello_html_6f34565d.gif.

  2. Если hello_html_m25646f4b.gif, то hello_html_m56cc075.gif, следовательно, уравнение hello_html_m6170c7b8.gif корней не имеет.

Ответ: при hello_html_m1782c1c8.gif hello_html_6d76ba26.gif, hello_html_m96afe59.gif,

при hello_html_2c54cabd.gif hello_html_6f34565d.gif;

при hello_html_m3d2ee9a3.gif корней нет.

Пример 9. При каких значениях параметра а уравнение

hello_html_m11aad882.gif

имеет более одного корня?

Решение. Найдем контрольные значения параметра, приравняв старший коэффициент к нулю.

КЗП: hello_html_m4efad03d.gif, hello_html_2c54cabd.gif или hello_html_m9f169e4.gif.

  1. Если hello_html_2c54cabd.gif, то данное уравнение примет вид

hello_html_m7744720e.gifили hello_html_m379e4961.gif, откуда hello_html_m4bad9d6e.gif.

  1. Если hello_html_m9f169e4.gif, то уравнение примет вид

hello_html_27d4419b.gifили hello_html_202eb168.gif,

решением последнего уравнения является любое действительное число.

  1. Если hello_html_mac37352.gif и hello_html_61feebdf.gif, то данное уравнение является квадратным, поэтому найдём дискриминант:

hello_html_m3a3e87e2.gif.

По условию данное уравнение должно иметь более одного корня, поэтому найдём, при каких значениях параметра а дискриминант hello_html_m536ecc68.gif, то есть

hello_html_m24d21ba4.gif.

Так как hello_html_61feebdf.gif, то hello_html_m4c195f10.gif, тогда hello_html_34ce9632.gif или hello_html_m409203.gif.

Ответ: при hello_html_m9f169e4.gif и при hello_html_m78806138.gif уравнение имеет более одного корня.


§3. Задачи для самостоятельной работы

по решению квадратных уравнений с параметром

  1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

hello_html_m2d8cfb37.gifне имеет решений. hello_html_6f66c882.gif.

  1. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

hello_html_m2a1a073c.gifимеет два различных корня.

hello_html_6cc23892.gif.

  1. При каких значениях параметра m оба корня уравнения

hello_html_e421761.gifравны нулю? hello_html_m77a59c97.gif.

  1. При каких значениях параметра а сумма квадратов величин, обратных корням уравнения hello_html_188454b.gif, меньше обоих корней уравнения

hello_html_db5d847.gif? hello_html_m280fc8ee.gif.

  1. Найти все значения параметра а, при которых уравнения

hello_html_m7ce8c059.gifи hello_html_3d6343b7.gif

имеют хотя бы один общий корень? hello_html_20805e28.gif.

  1. Найти все значения параметра а, при которых один корень квадратного уравнения hello_html_5d56f59.gif в два раза больше другого. hello_html_m25c3a8a.gif.

  2. Для каждого значения параметра a решить относительно х следующие уравнения:

а) hello_html_655c00e5.gif;

hello_html_m3221ba0e.gif

б) hello_html_m7b20275e.gif;

hello_html_m381e3011.gif

в) hello_html_m70fea1c8.gif;

hello_html_m75a62d05.gif

г) hello_html_m61fed7ea.gif;

hello_html_3bdd03af.gif

д) hello_html_23d07b08.gif;

hello_html_m3f2554c3.gif



§4. Решение уравнений с параметром, приводимых к квадратным.

Пример 1. Решите уравнение hello_html_m2c6b7696.gif.

Решение. Дробь равна нулю тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Найдём сначала допустимые значения для переменной: hello_html_mb262811.gif.

Тогда hello_html_6b467687.gif, это квадратное уравнение, так как его старший коэффициент равен 1. Найдём дискриминант:

hello_html_m5df644fd.gif

hello_html_m2b801d71.gif.

Определим контрольное значение параметра, приравняв дискриминант к нулю.

КЗП: hello_html_11b0ce2e.gif.

  1. Если hello_html_11b0ce2e.gif, то hello_html_3440f268.gif и уравнение имеет один двукратный корень hello_html_m2ad1ca70.gif, который принадлежит области допустимых значений.

  2. Если hello_html_2de5d619.gif, то hello_html_mcb63647.gif и уравнение имеет два корня

hello_html_m6477f892.gifи hello_html_m4f79220f.gif.

Выясним, при каких значениях параметра с эти корни удовлетворяют условию hello_html_7b700d62.gif.

Если hello_html_m62fab67b.gif, то hello_html_7b700d62.gif при условии, что hello_html_m627d85e0.gif или hello_html_ba44ce.gif.

Если hello_html_707f8618.gif, то hello_html_7b700d62.gif при условии, что hello_html_m197161ea.gif или hello_html_206c07a0.gif.

Найдём корни уравнения при значениях параметра hello_html_369ed385.gif и hello_html_3fd02bf1.gif.

Если hello_html_369ed385.gif, то корень уравнения находим по формуле

hello_html_4909a523.gif,

а если hello_html_3fd02bf1.gif, то по формуле hello_html_m2e0536df.gif.

Ответ: при hello_html_2de5d619.gif и hello_html_ba44ce.gif hello_html_m62fab67b.gif;

при hello_html_2de5d619.gif и hello_html_206c07a0.gif hello_html_707f8618.gif;

при hello_html_11b0ce2e.gif hello_html_2dc32568.gif;

при hello_html_369ed385.gif hello_html_mdfaab81.gif;

при hello_html_3fd02bf1.gif hello_html_m489fcc56.gif.

Пример 2. Решите относительно х уравнение hello_html_m103e15e7.gif .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом:

hello_html_5c4aa877.gif;

hello_html_41d0dbc.gif;

hello_html_6ae841ba.gif.

Определим контрольное значение параметра, при котором знаменатель дроби равен нулю.

КЗП: hello_html_2c54cabd.gif.

  1. Если hello_html_2c54cabd.gif, то уравнение решений не имеет.

  2. Если hello_html_mac37352.gif, то hello_html_78bddde7.gif при условии, что hello_html_m6ba78a22.gif или hello_html_m72744acd.gif.

Решим квадратное уравнение hello_html_78bddde7.gif.

Найдем дискриминант hello_html_mbbd3fd3.gif

КЗП: hello_html_m27d546.gif.

а) Если hello_html_m27d546.gif, то hello_html_3440f268.gif и уравнение имеет один двукратный корень, который находим по формуле hello_html_5efbc527.gif. Так как hello_html_m27d546.gif, то hello_html_3e56d1a5.gif и он удовлетворяет условию hello_html_m72744acd.gif.

б) Если hello_html_m2da724d6.gif, то hello_html_mcb63647.gif и уравнение hello_html_78bddde7.gif имеет два корня

hello_html_a6c8ad9.gifи hello_html_569a651d.gif.

Так как hello_html_m72744acd.gif, то определим, при каких значениях параметра а найденные корни удовлетворяют этому условию.

Если hello_html_6ef74bbf.gif, то hello_html_m72744acd.gif при условии, что hello_html_4ca7be01.gif, то есть hello_html_6c6148bc.gif.

Если hello_html_3e56d1a5.gif, то hello_html_m72744acd.gif при условии, что hello_html_243f8e65.gif или hello_html_m4421c6bb.gif.

Найдём корни уравнения при значениях параметра hello_html_36429af9.gif и hello_html_m7dbb545e.gif.

При hello_html_36429af9.gif корнем уравнения будет hello_html_3e56d1a5.gif, а при hello_html_m7dbb545e.gif по формуле hello_html_6ef74bbf.gif находим, что hello_html_m4bad9d6e.gif.

Ответ: при hello_html_mac37352.gif, hello_html_6c6148bc.gif и hello_html_m2da724d6.gif hello_html_6ef74bbf.gif;

при hello_html_m4421c6bb.gif, hello_html_mac37352.gif и hello_html_m2da724d6.gif hello_html_3e56d1a5.gif;

при hello_html_m7dbb545e.gif hello_html_m4bad9d6e.gif;

при hello_html_2c54cabd.gif решений нет.



§5. Задачи для самостоятельной работы

по решению уравнений, приводимых к квадратным

  1. Решить уравнение hello_html_m4ca0b37d.gif

(–6, при hello_html_m2cc74280.gif –5, при hello_html_m21b5173c.gif 2, приhello_html_4e5b5191.gif;

3, при hello_html_23f6d120.gif; hello_html_769573b1.gif или hello_html_m210b0a78.gif во всех остальных случаях)

  1. При каких значениях параметра а уравнение

hello_html_m4d8a566.gif

имеет единственное решение? (при hello_html_2c3bde27.gif, hello_html_24f51e42.gif, hello_html_71587160.gif)

  1. Найдите все значения а, при которых вершины парабол

hello_html_m23ea5cfe.gifи hello_html_m2e721de7.gif

лежат по разные стороны от прямой hello_html_m491ec23f.gif.

hello_html_m63cd21d0.gif


§6. Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

При решении задач с параметрами приходится работать с тремя типами моделей:

  1. вербальная модель – словесное описание задачи;

  2. геометрическая модель – график квадратичной функции;

  3. аналитическая модель – система неравенств, при помощи которой описывается геометрическая модель.

Важно уметь устанавливать связь между этими моделями. Это означает, что для любого свойства, сформулированного на алгебраическом языке, нужно уметь давать геометрическую интерпретацию и, наоборот, по поведению графика параболы дать общую оценку коэффициентов квадратного трехчлена и его корней. Например,

если старший коэффициент квадратного трехчлена меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз;

если hello_html_m1d0bcbda.gif, то трехчлен имеет различные действительные корни и парабола пересекает ось абсцисс в двух точках;

если график функции hello_html_m3a4b9c7c.gif находится выше оси абсцисс, то hello_html_m25646f4b.gif и hello_html_m68735634.gif.

Последнюю геометрическую модель можно описать еще тремя способами: неравенство hello_html_m31d2f689.gif выполняется при любом х; неравенство hello_html_76e5888b.gif не имеет решений; трехчлен hello_html_mef734c5.gif не имеет действительных корней и его старший коэффициент положителен.

Многие задачи решают по следующему алгоритмическому предписанию:

  1. уравнение записывают в виде hello_html_m7cdb9447.gif;

  2. находят контрольные значения параметра и для каждого случая строят параболу (геометрическую модель);

  3. геометрическую модель описывают системой неравенств (аналитическая модель);

  4. решают систему неравенств.

Рассмотрим несколько примеров теоретического плана, показывающих некоторые общие подходы к решению задач о расположении корней квадратного трехчлена.

Пусть hello_html_6726f45b.gif – квадратный трёхчлен. Рассмотрим случай, когда старший коэффициент hello_html_m25646f4b.gif hello_html_m6dbad8ac.gif.

Обозначим корни квадратного уравнения hello_html_m7fee0c88.gif через hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif, причём hello_html_60d582c5.gif.

Пусть hello_html_m38caab32.gif и В – некоторые числа на оси Ох.

Задача 1. При каких условиях оба корня квадратного уравнения, не обязательно различные, меньше некоторого числа hello_html_m38caab32.gif?

Решение. Обозначим через hello_html_3c7fa202.gif абсциссу вершины параболы, hello_html_m7016bcfa.gif.

Так как графиком квадратного трёхчлена является парабола, то построим геометрическую модель данной задачи.http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/16/15302/15302_html_m1ec4efd2.png

Оба корня hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif квадратного уравнения меньше некоторого числа hello_html_m38caab32.gif тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

hello_html_m3b97ff.gifили hello_html_m8026107.gif

2) Корни hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif квадратного уравнения лежат по разные стороны от числа hello_html_m38caab32.gif тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

hello_html_4cc79ee0.gifили hello_html_m69565683.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/16/15302/15302_html_6ae52369.png



3) Оба корня hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif квадратного уравнения больше некоторого числа hello_html_m38caab32.gif тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

hello_html_m299ca138.gifили hello_html_m8026107.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/16/15302/15302_html_m44c1ea43.png



4) Оба корня hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif квадратного уравнения лежат между числами hello_html_m38caab32.gif и В тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

hello_html_m4b06e281.gifили hello_html_49694042.gifhttp://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/16/15302/15302_html_m6ce4f981.png


5) Корни hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif квадратного уравнения лежат по разные стороны отрезка hello_html_2d6483d4.gif на оси Ох тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: http://rudocs.exdat.com/pars_docs/tw_refs/16/15302/15302_html_m23233350.png

hello_html_50705729.gifили hello_html_316d5e58.gif



6) Квадратное уравнение имеет два различных корня hello_html_570f113e.gif и hello_html_2b92f0a8.gif и только один из них принадлежит интервалу hello_html_m47ee1dfe.gif или, другими словами, для того, чтобы парабола пересекала интервал hello_html_m47ee1dfe.gif оси Ох только в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы значения квадратного трехчлена

hello_html_m7043125f.gifв точках А и В были разных знаков, то есть искомое условие имеет вид:

hello_html_m260c69e4.gif.

Очевидно, что если

hello_html_m458ad12e.gif

то в рассматриваемом интервале лежит больший корень, а если

hello_html_601b194f.gif

то рассматриваемому интервалу принадлежит меньший корень.

7) Квадратное уравнение имеет два отрицательных корня при условиях:

hello_html_m71656ec9.gifhello_html_m249b3b4c.gif

8) Квадратное уравнение имеет два положительных корня при условиях:

hello_html_m214c1d9b.gifhello_html_4928ff02.gif



Из приведенных примеров достаточно ясно виден общий подход к решению задач рассматриваемого вида. Как правило, задачи с ограничениями на корни квадратного трехчлена сводятся к системе рациональных неравенств, которая легко решается методом интервалов. При этом для определения условий, накладываемых на коэффициенты квадратного трехчлена, рассматриваются следующие его свойства:

  • расположение параболы относительно оси Ох;

  • значения квадратного трехчлена в некоторых заданных точках;

  • положение оси симметрии параболы относительно некоторых заданных точек.

Пример 1. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения hello_html_3d6343b7.gif действительные, различные и оба больше а.

Решение. Графическая интерпретация задачи показана на рисунке. Обозначим через

hello_html_m540f9f22.gif.hello_html_m746637ce.png

Уравнение hello_html_3d6343b7.gif будет иметь два различных действительных корня, которые одновременно больше а, тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

hello_html_71904660.gifhello_html_m6d609751.gif

Решая полученную систему методом интервалов, найдем hello_html_66841f5b.gif.

Ответ: hello_html_66841f5b.gif.

Пример 2. Найдите все значения параметра а, при которых корни квадратного уравнения hello_html_3d3b0bc2.gif неположительные.

Решение. Так как уравнение квадратное, то hello_html_mac37352.gif. Обозначим через hello_html_33051226.gif.hello_html_72d19d6e.png

Рассмотрим два случая.

  1. Пусть hello_html_m25646f4b.gif. Для того чтобы уравнение

hello_html_3d3b0bc2.gif

имело неположительные корни, необходимо и

достаточно выполнение следующих условий:

hello_html_m1f92b55e.gifhello_html_318ea3e9.gif

Применив к системе метод интервалов, получим hello_html_161c9b2a.gif.

  1. Пусть hello_html_m266c99ef.gif. Тогда положение параболы определяется условиями:

hello_html_159facad.gifhello_html_45273003.gif

Решением этой системы является пустое множество.

Ответ: hello_html_161c9b2a.gif.

Пример 3. При каких значениях а уравнение
hello_html_m10e45c62.gif

имеет корни разных знаков?

Решение. Для того чтобы парабола – график hello_html_471132a2.png

функции hello_html_558d3930.gif,

пересекала ось Ox, в точках, между которыми

лежит начало координат, необходимо и достаточно,

чтобы квадратный трехчлен hello_html_m7eced531.gif принимал в точке hello_html_6f34565d.gif отрицательное значение, поэтому искомое условие имеет вид:

hello_html_m48d9dd25.gifили hello_html_68a080eb.gif.

Ответ: hello_html_m1548a7c1.gif.

Пример 4. При каких значениях параметра hello_html_m8f522f9.gif оба корня уравнения hello_html_207e55b.gif принадлежат отрезку hello_html_m16810ab7.gif?

Решение. Так как оба корня уравнения hello_html_m7e26cacc.png

hello_html_207e55b.gifпринадлежат отрезку hello_html_m16810ab7.gif,

то положение параболы

hello_html_674a6f19.gif

определяется условиями:

hello_html_4bd5544c.gifhello_html_2b833938.gif

Данную систему решаем методом интервалов, получаем hello_html_m112da8b3.gif.

Ответ: hello_html_m112da8b3.gif.

Пример 5. При каких значениях параметра а больший корень уравнения hello_html_3222f580.gif принадлежит промежутку hello_html_22bce91e.gif?

Решение. Положение параболы, являющейся графиком квадратного трехчлена hello_html_m25881c13.gif, при котором только лишь её правая ветвь пересекает промежуток hello_html_22bce91e.gif оси Оx определяется условиями: hello_html_m43fcbd19.png

hello_html_m1507f015.gifhello_html_5229426d.gif

hello_html_m506b5c1.gifhello_html_5c49d96c.gifhello_html_m1ed265e0.gif

Ответ: hello_html_140c51f9.gif.

Пример 6. При каких значениях параметра а все корни уравнения hello_html_m5ed50b78.gif лежат вне отрезка hello_html_m5c4329d9.gif?

Решение. При hello_html_2c54cabd.gif данное уравнение имеет вид hello_html_4084c717.gif и, следовательно, корней не имеет.

Если hello_html_mac37352.gif, то квадратный трехчленhello_html_709f7b0b.png

hello_html_28a5cf4d.gifвсегда имеет два корня разных знаков, так как hello_html_368db443.gif.

Положение параболы показано на рисунке.

Необходимые и достаточные условия имеют

вид:

hello_html_7229b2e1.gifhello_html_11852162.gifhello_html_m5bac1d22.gifhello_html_11852162.gifhello_html_529c0392.gifhello_html_11852162.gifhello_html_m72df3821.gif

Ответ: hello_html_150f3c01.gif.

Пример 7. Найти все значения параметра m, при которых один из корней уравнения hello_html_m39de9e1b.gif находится между числами 0 и 2, а второй между 3 и 5.

Решение. Найдём дискриминант квадратного уравнения

hello_html_6ad6526.gif.

Так как hello_html_mcb63647.gif, то уравнение имеет два корня: hello_html_m6ce3f03a.gif и hello_html_m67459644.gif. Очевидно, что hello_html_60d582c5.gif, поэтому

hello_html_1e12d575.gifhello_html_11852162.gifhello_html_265dc836.gifhello_html_11852162.gifhello_html_m11352601.gifhello_html_11852162.gifhello_html_6662c82a.gif.

Ответ: hello_html_6a00e7cd.gif



§7. Задачи для самостоятельного решения,

связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

  1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все корни уравнений hello_html_m4082a754.gif и hello_html_m4aab7390.gif различны и между двумя корнями одного из них находится ровно один корень другого. hello_html_66a13e09.gif

  2. Найдите все значения параметра а, при которых корни уравнения

hello_html_79e78c2d.gifнеотрицательны. hello_html_m54ee70be.gif

  1. При каких значениях параметра а существует единственный корень уравнения hello_html_207e55b.gif, удовлетворяющий условию hello_html_m725ca46a.gif?

hello_html_70ab328e.gif.

  1. Найдите все значения параметра k, при которых корни уравнения

hello_html_bc7ff5d.gifимеет два корня, причем один из них меньше 1, а другой больше 2. hello_html_m29a4d1d8.gif

  1. Сколько решений, удовлетворяющих условию hello_html_m6ca5a088.gif, имеет уравнение hello_html_1fa9e3db.gif в зависимости от значений параметра а?

hello_html_660d056e.gif



Заключение



Параметр – это величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой, при этом он требует к себе осторожного и вдумчивого отношения. Ведь, являясь фиксированным, но неизвестным числом, параметр ограничивает степень свободы общения с ним. Задачи с параметром – это задачи исследовательского характера, которые требуют хорошего понимания изучаемого теоретического материала.

Автор надеется, что данное методическое пособие будет полезно кадетам как в процессе изучения рассмотренных тем, так и для успешной сдачи экзаменов.





Список использованной литературы:



  1. Математика для старшеклассников. Методы решения задач с параметрами /А.И. Азаров,С.А. Барвенков-Мн.:»Аверсэв»,2003-272с.

  2. Большой энциклопедический словарь. Математика. - М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998.

  3. Задачи с параметрами. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

  4. Задачи с параметрами. Егерман Е – Математика №2, 2003.

  5. Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям/ Мещерякова Г.П.. – Математика в школе №5, 2001.

  6. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. – М.: Рольф, 1997.

  7. . Задачи с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. Шевкин А.В – М.: ТИД «Русское слово – РС», 2003.





Краткое описание документа:

Методическое пособие содержит задачи с параметрами, при решении

которых возникают наибольшие затруднения во время обучения.

Методам решения таких задач уделяется минимум внимания, и целью

данного пособия является помочь учащимя в устранении данного

пробела. В разработке рассмотрены:

-алгоритм решения квадратных уравнений с параметром;

-задачи для самостоятельной работы с использованием алгоритма;

-решение уравнений, приводимых к квадратным;

-задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена.

Пособие может быть использовано как для самостоятельной

подготовки к экзаменам, так и для работы на индивидуальных и

групповых занятиях.

Автор
Дата добавления 15.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1474
Номер материала 388721
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх