Тесты по комбинаторики и теории вероятности

Вариант 1.

1.     Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30                        2)      100             3)      120             4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128                      2)      35960         3) 36                    4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10                        2) 60                    3) 20                    4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600                      2)      300             3)      1                 4)  1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1)                         2)                    3)                              4)

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

1)                          2)  0,5                            3) 0,125                         4)  

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

1) 0,02                     2)      0,00012                3) 0,0008                       4) 0,002

                                                             Вариант 2.

1.     Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1)           100             2)      30               3)      5                 4)     120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1)           3                 2)      6                 3)      2                 4)     1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1)           10000         2)      60480         3)      56               4)    39450

4. Вычислите:

1)           2                 2)      56               3)      30               4)  

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1)                         2)                    3)                      4)

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

1) 0,25                    2)                      3)  0,5                            4)  0,125

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

1)           0,5              2)      0,4              3)      0,04            4)  0,8

Вариант 3.

1.     Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1)           24               2)      4                 3)      16               4)  20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1)           30               2)      21               3)      14               4)  7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22                       2)      11               3)      150             4)     110

4. Сократите дробь:

1) 1                          2)                  3)                  4)    

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1)                         2)  0,5                            3)                      4)   0,25

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

    1)       0,25                     2) 0, 4                            3)      0,48            4)   0,2

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что  выбранное изделие не будет бракованным.

     1)      0,8                       2)      0,1              3)  0,015              4)  0,35

                                                               Вариант 4

1.     Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5       2)      120             3)      25               4)   100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1) 12650                   2)      100             3)      75               4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

1)           120             2)      30               3)      50               4)   60

4. Упростите выражение:

1) 0,5                      2)                 3)      n           4) n-1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1)                         2)                     3)                      4)   

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

1) 0,504                   2)   0,006                       3)  0,5                  4)  0,3

7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

1)                         2)  0,5                            3)                    4)   

                                                                  Вариант 5

1.     Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

      1)     36                        2)      180             3)      720             4)     300

2.     Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1)   14                       2)      10               3)      21               4)  30

3.     Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

1)   80                       2)      56               3)      20               4)   60

4.     Упростите выражение:

1)                   2)                  3)              4)   0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1)                         2)                    3)                     4)   

6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

1) 0,21            2)      0,49            3)      0,5              4)   0,09

7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

1) 0,5                      2)      0,4              3)   0,6                           4)  0,04

                                                              Вариант 6

1.     Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

1) 12                        2)      20               3)      24               4)   4

2.     На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами  она может это сделать?

1)           792             2)      17               3)      60               4)    300

3.     В 12 – ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 – Ом этаже лифт не останавливается?

1) 100                      2)      720             3)      300             4)  60

     4. Упростите выражение:

1)                 2)                    3)                          4)  0

5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

   1)                            2)      7                 3)                     4)   

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем          вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего    – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в  мишень.

1) 0,336                   2)      0,452          3)      0,224          4)  0,144

     7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок.             Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

1)           0,9              2)      0,5              3)      0,34            4)   0,18

                                                                      Вариант 7

1.      В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

1) 4                          2)      24               3)      20               4)   16

2.  На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

1)   75                       2)  100                           3)      2300           4)   3000

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

1) 600                     2)      100             3)      300             4)720

4. Вычислите:

1)           1                 2)    13                           3)      12               4)   32

5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?

1)                            2)                      3)                          4)  

6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором  - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?

1) 0,24                     2)      0,12            3)      0,18            4)  0,072

7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что  выбранный  шарик будет не зеленым?

1)                         2)      0,5              3)                    4)   

                                                              Вариант 8

1.     Разложите  на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

1) 6                          2)      12               3)      30               4)   3

2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?

1) 300                      2)      10               3)      150             4)  15

3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

1) 18                        2)      28               3)      64               4)     56

4. Вычислите:

1)   48                       2)   94                            3)      56               4)   96

5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?

1)           0,5              2)  0,1                            3)                      4)  0,7

6.     Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

    1)  12                        2)      0,5              3)      0,12            4)    12 ∙10

7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?

1)                        2)  0,5                  3)                   4)      

                                                                Вариант 9

1.     Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы  2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).

 1)       120                2)      360             3)      180             4)   500

2.     Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек.

1)           60               2)      85               3)      6188           4)6000

3.     На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?

1)           720             2)      360             3)      500             4)   100

4. Решите уравнение:

1)           4;   -5          2)      4                 3)      -5                4)   9

5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный? 

1)                         2) 0,2                   3)                    4)  0,5

6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.

1) 0,18                     2)      0,81            3)      0,5              4)    0,01

7.     25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепеевку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку – 12, В Красные Огурейцы – остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?   

1)                         2)                    3)      0,5              4)   0,35

                                                            Вариант 10

1.     Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?

1)           180             2)      300             3)      120             4)        240

2.     Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?

1) 210                      2)      60               3)      30               4)    240

3.  На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете

4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?

1)   1200                   2)      88000         3)      11880         4)3000

4. Решите уравнение:

1)           6                 2)    -5; 6            3)      -5                   4)   30

5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке – одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?

1)                         2)      0,1              3)                      4)   0,4

6.  Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

1) 0,384                   2)      0,5              3)      0,3              4)   0,4

7.     На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.

1)           0,5              2)      0, 35           3)      0,04            4)  0,34

Проверка домашнего задания к уроку 3

1.  = 5× 6 = 30
2. =
3. =
4. Решите уравнение:

                                             (k - 3)(k – 2) = 12

                                              k² – 5 k – 6 = 0

                                       k₁ = 6            k₂ = - 1

5.     В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?

                                      25× 24 × 23 = 13800

6.     «Любовь без взаимности»  Трое юношей:  Коля, Петя и Юра влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности.

®   Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину;

®       Петя любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю;

®      Зина не любит Юру.   Кто в кого влюблён?

Домашнее задание к уроку 5

1)                В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга?

2)                Сколько можно сшить различных трёхцветных флажков, если имеются ткани пяти цветов?

3)                Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? (цифры могут повторяться)

   Первая цифра может быть любая, кроме нуля: 1,2,3,…9, т.е. её можно выбрать 9 способами. Каждая последующая цифра может быть любой: 0, 1, 2,..9, т.е. каждую цифру можно выбрать 10 способами.

Всего число возможных 7-значных номеров будет:

9× 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 9 000 000

Задачи к курсу Комбинаторика

1. Сколькими способами можно дать клички четырём щенкам, имея набор из семи имён?
2. У мамы имеются 4 яблока и 3 груши. Каждый день она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами  это может быть сделано?
3. 25 учеников встретились 1 сентября и обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
4. При расставании 25 одноклассников обменялись фотографиями. Сколько всего было роздано фотографий?
5. Сколькими способами можно окрасить квадрат, разделённый на девять квадратов, имея пять цветов?
6. В скольких случаях при выборе из колоды в 36 карт 6 карт среди них окажутся 4 туза?
7. Сколько существует способов выбора из 13 лиц на пять вакантных должностей?
8. Сколькими способами можно разместить за круглым столом пять человек?
9. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом пять девушек и пять юношей, чтобы они чередовались?
10. Буквы русского алфавита закодированы своим номером. Расшифруйте слова: 3111, 3113, 13111, 311333, 13331333, 13311131.
11. Дано множество чисел {1,2,3,4,5}. Сколько чётных трёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно получить?
12. Дано множество чисел {1,2,3,4,5}. Сколько трёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 3 (4,5,6 ….) можно получить?
13. Сколько подмножеств имеет множество из семи элементов?
14. Сколько существует пятизначных чисел, содержащих в своей записи как минимум один нуль?
15. Сколько существует пятизначных чисел, содержащих в своей записи как минимум два нуля?
16. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются справа налево и слева направо?
17. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, если каждое число состоит из трёх четных и трёх нечётных цифр, причём цифры в записи числа не должны повторяться?
18. Из двух математиков и восьми экономистов нужно составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами это можно сделать при условии, что в комиссии должен присутствовать хотя бы один математик?
19. Сколькими способами можно расставить на полке пять книг при условии, что определённые две из них должны стоять рядом?
20. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если он помнит, что цифры различные и не нуль?

Самостоятельная работа

1 вариант

1. Вычислите

а) (5!+4!) : 6!                  б) (10! – 9!) : 8!

2. Имеются ткани четырёх цветов. Сколько можно сшить разных флажков, если в каждом будут по четыре горизонтальных полосы разного цвета?

3. Сколько трёхзначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?

4. В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

5. В очереди стоят 5 мальчиков: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег.

Известно, что:

- Юра купил билет раньше Миши, но позже Олега;

- Володя и Олег не стоят рядом;

- Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.

Кто за кем стоит?

2 вариант

1. Вычислите

а)(5!+6!) : 4!                 б) (10! – 8!) : 9!

2. Имеются ткани четырёх цветов. Сколько можно сшить разных флажков, если в каждом будут по три  вертикальных полоски разного цвета?

3. В классе 15 учеников. Нужно выбрать делегацию на общешкольное собрание в составе 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

4. Сколько пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?

5. На заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Иванов, Борисов, Семёнов.

Известно, что:

- у слесаря нет ни братьев, ни сестёр и он самый младший из друзей;

- Семёнов женат на сестре Борисова и он старше токаря.

Назовите фамилии токаря, слесаря и сварщика.

Комбинаторика. Задачи по комбинаторике

Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 7?

Если бессистемно начать составлять всевозможные числа, можно что-то упустить или написать какое-то число дважды. Поэтому лучше всего придумать способ перебора, при котором ни одно из возможных чисел от нас бы не ускользнуло и, с другой стороны, который исключил бы возможность повторения. Один из таких способов — записывать возможные числа в порядке возрастания: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77. В итоге получилось 9 чисел.

2. К завтрашнему дню нужно сделать латынь, греческий и математику, в какой последовательности — безразлично. Сколько всего существует таких последовательностей?

Введем для удобства обозначения: Л — латынь, Г — греческий, М — математика. Выпишем все возможные последовательности в алфавитном порядке: ГЛМ, ГМЛ, ЛГМ, ЛМГ, МГЛ, МЛГ. Получилось 6 последовательностей — уроки можно сделать шестью способами!

При решении задач нужно обязательно выписывать все возможные варианты.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4?
2. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 5, 6, 7, 8, если при записи числа каждую цифру разрешается использовать только один раз?
3. Петя и Вася пишут контрольную по математике, причем каждый может получить любую из оценок 2, 3, 4, 5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?
4. Президент Анчурии хочет иметь государственный флаг, состоящий из трех горизонтальных разноцветных полос — серой, бурой и малиновой. Сколько у президента вариантов выбора флага?
5. На прямой отметили четыре точки A, B, C, D. Сколько при этом получилось отрезков?
6. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4x4 и внутри него по линиям клеток прочертили горизонтальные и вертикальные отрезки параллельно сторонам. Сколько всего квадратов оказалось нарисовано?
7. Петя трижды подбрасывает монету. Сколько различных последовательностей орлов и решек он может при этом получить?
8. Сколько а) двузначных; б) трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?
9. Алфавит племени Мумбо-Юмбо содержит только две буквы — А и У. Любая последовательность этих букв является словом. Сколько существует в языке этого племени слов а) из четырех букв; б) не более, чем из трех букв?
10. Турист хочет побывать в Риме, Париже, Лондоне и Афинах, но не знает, в какой последовательности. Сколько перед ним различных вариантов маршрутов?
11. Анаграммой данного слова называется слово, полученное из него перестановкой букв (например, «бьорд» является анаграммой слова «дробь»). Сколько анаграмм имеют слова «маг», «дед», «deus», «ирис»?
12. Сколькими способами можно выложить в ряд два белых и два черных шарика?
13. В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?
14. В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили выбрать два каких-то фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
15. В турнире участвовали пять шахматистов, причем каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько партий было сыграно на турнире?
16. Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти?
17. Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, фруктовые стаканчики, шоколадные брикеты и эскимо?
18. Сколькими способами можно расставить три разных цветка в две вазы?
19. В некотором царстве три города: А, Б и В. Из А в Б ведут две дороги, из Б в В — пять дорог. Сколько различных путей ведут из А в В? Прямого пути между А и В нет.
20. У Ани четыре разных платья и три разных пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 1»

Вариант 1

1. Нужно покрасить четыре шарика, и есть две краски — красная и черная. Сколько существует способов раскраски шариков?
2. Иван-царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок трем дочерям короля перстень, браслет и ожерелье. Что кому дарить, он пока не решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?
3. Сколько существует четырехзначных чисел, сумма цифр которых не превосходит 2?
4. Пять человек в классе лучше всех играют в пинг-понг. На соревнования нужно отправить двоих. Сколькими способами это можно сделать?
5. В продаже имеются пять видов ручек и четыре вида карандашей. Сколько различных наборов можно составить из двух предметов: ручки и карандаша?

_____________________________________________________________
Вариант 2

1. В понедельник в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на понедельник?
2. К трем дочерям короля приехали свататься три принца. Сколько у короля вариантов выдать дочерей замуж?
3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3?
4. Форму игроков футбольного клуба нужно раскрасить в два цвета. Президенту клуба предложили на выбор пять цветов: белый, красный, синий, желтый и черный. Сколько у него существует способов выбора раскраски?
5. В магазине продаются три вида блокнотов и пять видов карандашей. Сколько различных наборов можно составить из двух предметов: блокнота и карандаша?

1. Сколько существует чисел, больших, чем 3852, каждое из которых можно получить перестановкой цифр данного числа?
2. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых не превосходит 4?
3. Сколько существует четырехзначных чисел, сумма цифр которых больше 33?
4. На окружности отметили четыре точки. Сколько при этом получилось дуг?
5. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра меньше второй?
6. Десять знакомых обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?
7. Семеро шахматистов провели двухкруговой турнир, в котором каждый сыграл с каждым по две партии (одну партию белыми фигурами, одну — черными). Сколько партий было сыграно на турнире?
8. Девять шестиклассников получили по математике, латыни и греческому четверки и пятерки в четверти. Докажи, что хотя бы у двух из них оценки по этим предметам полностью совпадают.
9. Пятнадцать шестиклассников получили по математике, латыни, греческому и физкультуре четверки и пятерки в четверти. Можно ли теперь утверждать, что хотя бы у двух из них оценки по этим предметам полностью совпадают?
10. Двум врачам нужно посетить четырех больных, причем каждый врач должен побывать у каких-либо двух больных. Сколькими способами врачи могут распределить между собой эти посещения?
11. Есть две белые, две красные и две розовые гвоздики. Сколькими способами их можно расставить в три вазы так, чтобы в каждой вазе стояли по две гвоздики разного цвета?
12. Петя и Вася играют в пинг-понг, матч продолжается до трех побед. Сколько существует вариантов протекания матча?
13. Из Желтой страны в Голубую ведут две дороги, из Голубой страны в Розовую — четыре. Из Желтой страны в Фиолетовую ведут три дороги, из Фиолетовой страны в Розовую — тоже три. Прямых дорог из Желтой страны в Розовую и из Голубой страны в Фиолетовую нет. Сколькими путями можно добраться из Желтой страны в Розовую? из Голубой страны в Фиолетовую?
14. Алфавит племени Ни-Бум-Бум содержит только три буквы — А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из трех букв. Сколько слов в языке этого племени?
15. Задача Леонарда Эйлера. Четверо господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 2»

Вариант 1

1. Имеется ткань трех цветов: красная, зеленая и черная, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?
2. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?
3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых превосходит 15?

______________________________________________________________

Вариант 2

1. Имеется краска трех цветов: белая, красная и черная, и требуется покрасить «Москвич», «Жигули» и «Волгу». Сколько существует различных вариантов покраски машин?
2. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Пойдем гулять куда-нибудь вдвоем», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?
3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых превосходит 15?

Решение многих комбинаторных задач сводится к умножению друг на друга числа возможных вариантов независимого выбора. Вы наверняка обратили на это внимание — таковы были, например, задачи 19 и 20 из листка «Комбинаторика 1». Рассмотрим другие примеры.

1. Сколькими способами можно купить пиджак и брюки, если в магазине есть 7 видов пиджаков и 5 видов брюк?

Допустим, что пиджак уже куплен. Тогда в пару к нему можно выбрать любые из 5 брюк. Таким образом, существует 5 наборов пиджак—брюки, содержащих выбранный пиджак. Поскольку пиджаков всего 7, то имеется 7·5 = 35 различных наборов из пиджака и брюк, т.е. покупку можно сделать 35 способами.

2. В магазин привезли еще 4 вида галстуков. Сколькими способами можно теперь купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Допустим, что пара пиджак—брюки уже выбрана. К ней можно купить галстук 4 способами. Поскольку пар пиджак—брюки всего 35, имеется 35·4 = 140 способов купить пиджак, брюки и галстук. Заметим, что искомое число способов получается прямым перемножением вариантов: 140 = 7·5·4.

В некоторых задачах выбор не является независимым: осуществление выбора ограничивает число возможных вариантов на следующем этапе. Вот пример.

3. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?

Для верхней полосы флага существует 5 способов выбора цвета. Когда цвет верхней полосы выбран, для средней полосы остается 4 возможных цвета. После выбора цвета верхней и средней полос цвет нижней полосы можно выбрать 3 способами. Итого получается 5·4·3 = 60 способов составить флаг.

1. В буфете продаются 4 вида булочек и 5 видов пирожных. Сколькими способами можно купить булочку и пирожное?
2. У Кати есть 6 ручек, 3 карандаша и 4 тетради. Сколькими способами Катя может взять с собой в школу ручку, карандаш и тетрадь?
3. Сколько различных пар, состоящих из гласной и согласной букв, можно выбрать из слова «комбинаторика»?
4. В языке аборигенов далекого острова 10 прилагательных, 20 существительных и 15 глаголов. Предложением называется всякое сочетание либо существительного и глагола, либо прилагательного, существительного и глагола. Сколько всего предложений имеется в этом языке?
5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4?
6. Монету подбрасывают пять раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
7. Каждую грань кубика можно покрасить в белый, красный или черный цвет. Сколько существует вариантов раскраски кубика?
8. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны?
9. Сколько существует а) семизначных чисел; б) четных трехзначных чисел?
10. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?
11. Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?
12. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую из цифр ровно по одному разу?
14. Сколько анаграмм имеют слова «цифра», «листок»?
15. В некоторой гимназии, в некотором классе в понедельник семь уроков: математика, латынь, греческий, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 3»

Вариант 1

1. В магазине продаются 5 видов чашек, 3 вида блюдец и 4 вида ложек. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
2. В каждый из шести разных цветочных горшков можно посадить фиалку или кактус. Сколькими способами можно это сделать?
3. В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек. Сколькими способами они могут выбрать из состава кабинета премьер-министра, первого и второго вице-премьеров?
4. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых четны?

______________________________________________________________

Вариант 2

1. В магазине продаются 6 видов чашек, 2 вида блюдец и 3 вида ложек. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?
2. Кубик бросают трижды. Сколько различных последовательностей выпавших очков можно при этом получить?
3. Из десяти отличников одного нужно послать на олимпиаду по математике, другого — на олимпиаду по физике, третьего — на олимпиаду по химии. Сколькими способами это можно сделать?
4. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых четны?

Факториал натурального числа n (обозначается n! и читается «эн-факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1·2·...·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. При больших n в задачах можно не вычислять n!, так и оставляя ответ в виде факториала.

1. Сколько анаграмм имеет слово «художник»?
2. В тридевятом царстве 39 городов. Царь хочет объехать их все. Сколько у царя вариантов выбора маршрута?
3. Перестановкой нескольких различных предметов называется любой способ выложить эти предметы в ряд. Сколько существует перестановок а) 4; б) n различных предметов?
4. Найти значение выражения: а) 9!/8!; б) 1999!/2000!; в) 100!/98!; г) 11!/(4!·7!).
5. На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары?
6. «Началом» шахматной партии назовем первый ход белых и ответный ход черных. Сколько существует начал шахматной партии?
7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?
8. Сколько существует пятизначных чисел, у которых на нечетных местах стоят четные цифры?
9. Сколько существует пятизначных чисел, среди цифр которых нет одинаковых?
10. Сколькими способами из колоды 36 карт можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?
11. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. «Честным» называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколько всего существует вариантов честного обмена?
12. В процессе эволюции племени Ни-Бум-Бум (Комбинаторика 2, задача 14) в его алфавите появилась четвертая буква — Г. Словом теперь является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов стало в языке этого племени?
13. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?
14. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько книг (стопка может состоять и из одной книги)?
15. На трех книжных полках стоят соответственно 10, 20 и 30 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были с разных полок?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 4»

Вариант 1

1. Найти значение выражения 12!/(3!·9!).
2. Сколькими способами можно выложить в ряд все 36 карт из колоды?
3. Вратарь футбольной команды (игрок с номером 1) начал комбинацию, которая завершилась ударом по воротам игрока с номером 11. В ходе данной комбинации мяч побывал по одному разу у всех игроков команды. Сколько может быть таких комбинаций? Комбинацией мы называем последовательность номеров игроков, получавших мяч, например 1—2—3—4—5—6—7—8—9—10—11.
4. Сколько существует четырехзначных чисел, меньших 7000, первая и третья цифра которых четны?
5. Имеются три книжных шкафа, в каждом из которых содержится 100 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были из разных шкафов?

______________________________________________________________

Вариант 2

1. Найти значение выражения 12!/(5!·7!).
2. Сколькими способами можно выставить в ряд 38 различных попугаев?
3. Вратарь футбольной команды (игрок с номером 1) начал комбинацию, которая завершилась ударом по воротам игрока с номером 11. В ходе данной комбинации мяч побывал по одному разу у всех игроков команды. Сколько может быть таких комбинаций? Комбинацией мы называем последовательность номеров игроков, получавших мяч, например 1—2—3—4—5—6—7—8—9—10—11.
4. Сколько существует четырехзначных чисел, меньших 7000, вторая и четвертая цифра которых нечетны?
5. Имеются три книжных шкафа, в каждом из которых содержится 100 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были из разных шкафов?

Министерство образования Российской Федерации

Управление образования администрации города Кудымкара

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 9»

Комбинаторика

Программа курса по выбору

 для предпрофильной подготовки

Составитель: Щукина Т.И.,

учитель  математики   

г. Кудымкар    2007

Рассмотрено на заседании ШМО

«___»_________________200   г.

Руководитель ШМО: _________

Зам. директора по УВР: ________

Рецензенты:                                                           ____________________________

                                                                                ____________________________

Пояснительная записка

Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне естественно. Программа рассчитана  в основном для учащихся 8-9-х классов, т.к. её содержание соответствует уровню знаний и интересов детей именно этой возрастной категории.    Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей постепенно возвращаются в школьную программу и становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. Именно при проведении уроков по этим курсам, учитель имеет возможность формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать интеллект воспитанников, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы. Однако на практике количество учебных часов, как правило, не позволяет включить данный курс в учебный процесс без ущерба для изучения других тем. Одним из выходов в данной ситуации является изучение элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей в виде элективных курсов.

Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики: теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными науками – программированием, кодированием информации и т.д. Комбинаторные задачи включены в тесты ГИА и ЕГЭ по математике, а в учебниках этот материал почти не рассматривается. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных профессий. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для решения практических задач. Он рассчитан на учащихся, которые проявляют интерес к математике и ориентирован на естественно-математический профиль на III ступени обучения. Курс рассчитан на 10-11 часов.

Цели курса:

·         углубление знаний учащихся;

·          овладение конкретными математическими понятиями;

·         воспитание у учащихся интереса к математике;

·          развитие  интуиции, логического и вероятностного мышления;

·         знакомство с историей развития математики.

Задачи курса:

·         познакомить учащихся с основными понятиями комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания;

·         познакомить учащихся с основными приложениями комбинаторики.

Технологии обучения: уроки-лекции, уроки-беседы, семинары, практикумы по решению задач, практикумы по составлению задач. На каждое занятие имеется мультимедийная презентация. Материал оформлен в виде учебного пособия.

Деятельность учащихся: оформление конспектов уроков, решение задач, составление задач, участие в семинарах, практикумах, оформление на компьютере и защита творческих работ. Выступление со своими работами в классах в рамках «Недели математики» в школе.

Знания, умения, навыки:

o   уметь находить факториал числа, решать примеры с факториалами;

o   знать понятия перестановки, размещения, сочетания;

o   уметь решать стандартные комбинаторные задачи;

o   уметь применять формулу бинома Ньютона.

Содержание программы

1. Введение.    2 час.

Основные понятия теории множеств: объединение, пересечение, произведение. Виды комбинаторных задач. Правило суммы и произведения. Магические и латинские квадраты.

2. Основные понятия комбинаторики.    5 час.

Понятие факториала. Решение примеров на преобразование выражений с факториалами.  Перестановки. На простых примерах демонстрация решения комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, иллюстрация этого метода с помощью дерева возможных вариантов.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Рассматриваются определения и свойства сочетаний, рекуррентная формула для вычисления сочетаний.

3. Приложения комбинаторики.     3 час.

Треугольник  Паскаля. Бином Ньютона. Знакомство с биографиями учёных. Учащиеся должны научиться пользоваться треугольником Паскаля при возведение бинома в натуральную степень. Знать свойства бинома Ньютона. Учащиеся должны знать формулу Ньютона и основные следствия. Учащиеся должны уметь доказывать формулу бинома  Ньютона для п = 4, п = 5 и пользоваться ею, выписывать любой член в формуле Ньютона, пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную степень.

Начальные сведения из теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики.

4. Заключение.    1 час.

Тематическое планирование

Литература

1. Ткачёва М. В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2004.
2. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.
3. Антипов И.Н. , Виленкин Н.П. и др. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. М. Просвещение. 1983.
4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.:Просвещение,2003.
5. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 кл./ Автор-составитель Студенецкая В.Н. – Волгоград: Учитель, 2005.
6. Ткачева М.В. Домашняя математика – 8 .  М. Просвещение. 1994.
7. http://www.math-on-line.com/olimpiada-edu/katalog-math-combinat-kolich.html Список занимательных  комбинаторных задач для учеников 5-8 классов.       

Вариант 1.

1.     Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

4. Вычислить: 6! -5!

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?

7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?

                                                             Вариант 2.

1.     Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

4. Вычислите:

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?

7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?

Вариант 3.

1.     Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

4.Вычислите:  

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.

7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что  выбранное изделие не будет бракованным.

Вариант 4

1.     Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.

4. Вычислите:

5. Какова вероятность, что ребенок родится в июле 7 числа?

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?

7. Из 30 учеников класса  11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?

Вариант 5

1.     Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

2.     Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

3.     Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

4.     Вычислите: 5! – 4! – 3!

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.

7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?

                                                              Вариант 6

1.     Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?

2.     На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами  она может это сделать?

3.     В 12 этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2  этаже лифт не останавливается?

     4. Вычислите: 4! +5! - 6!

5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем          вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего    – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в  мишень.

     7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок.             Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

                                                                      Вариант 7

1.      В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

2.  На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?

3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?

4. Вычислите:

5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?

6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором  - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?

7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что  выбранный  шарик будет не зеленым?

                                                              Вариант 8

1.     Разложите  на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

2. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный? 

3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?

4. Вычислите:

5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?

6.     Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?

Курс по выбору «Комбинаторика»

Урок № 1.

Тема:    Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач.

    Цель занятия: Познакомить учащихся  со структурой курса. Требования к учащимся. Дать  понятие комбинаторных задач. Научить строить «дерево вариантов»

Наглядность и раздаточный материал:  Презентация №1. Портреты учёных-математиков. Танграм и фигурки из него. Тест №1. Карточки  с задачами.

Оргмомент.

1.     Требования к учащимся: завести тетрадь, выполнять  домашние задания, выполнение самостоятельных работ, в конце курса – написание и защита реферата (объём от 3 до 5 листов)

2.     Темы рефератов:

Ø Танграм

Ø Магические квадраты

Ø Латинские квадраты

Ø Факториал

Ø Перестановки

Ø Размещения

Ø Сочетания

Ø Бином Ньютона

1.     Что изучает комбинаторика?

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.

Например:

1)    5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?

2)    В столовой имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?

3)    В классе 25 учеников. На городскую ёлку нужно выбрать 2 человек. Сколькими способами это можно сделать?

4)    В басне И.А. Крылова «Квартет»:

Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?

В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina - сочетать, соединять. Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого       конечного множества.

Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.

2.     Исторический обзор.

С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 -  1716 г.г.)

немецкий философ и математик.

Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года — древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.

• Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления.
• Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.
• Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.
• В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики. Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены  известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.

Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

                     Леонард Эйлер

(1707 - 1783 г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России. Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.

В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной школы.

3.     Геометрические комбинации

Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.

Упражнения.

На каждой парте разрезанный Танграм. Учащимся предлагается собрать по образцу несколько фигурок.

Даётся разъяснение о написании реферата по теме Танграм.

4.     Логический тест.

5.     Методы решения комбинаторных задач

Задача. Дано множество чисел {1,2,3,4}. Составьте: а) двузначные числа

б) четырёхзначные числа

Решение:

Метод перебора: двузначные числа – 12,  13,  14,

                                                                 21,  23,  24,

                                                                 31,  32,  34,

                                                                 41,  42,  43. Всего 12 чисел.

«Дерево вариантов»:    

                                                                     1234 

                                                                     1243

                                                                     1324                  6 чисел

                                                                     1342              

                                                                     1423

                                                                     1432

Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Упражнения.

1.     Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место.  Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?

2.     Петя и Вася пишут контрольную по математике. Каждый может получить любую из оценок 2,3,4,5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?

П2 В2    П2 В3     П2 В4     П2 В5

П3 В2    П3 В3     П3 В4     П3 В5

П4 В2    П4 В3     П4 В4     П4 В5

П5 В2    П5 В3     П5 В4     П5 В5,  всего 16 вариантов.

Домашнее задание:

·        Составить числа из 5 двоек

·        Составить фигурки из Танграма

·        Решить задачи:

1)    Сколькими способами можно выложить в ряд 2 белых и 2 чёрных шарика?

2)    В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили взять два каких-либо фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?

3)    У Ани 4 платья и 3 пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

4)    В Норильске, Москве, Ростове и Пятигорске живут 4 супружеские пары. Имена этих супругов: Антон, Борис, Давид, Григорий, Ольга, Мария, Светлана, Екатерина. Известно, что

- Антон живёт в Норильске;

- Борис и Ольга супруги;

- Григорий и Светлана не живут в одном городе4

- Мария живёт в Москве;

- Светлана – ростовчанка.

Кто на ком женат и кто где проживает?

Курс по выбору «Комбинаторика»

Урок № 2.

Тема урока:    Магический и латинский квадрат. Правило       произведения

Цель урока: Познакомить учащихся с магическими и латинскими квадратами. Научить решать комбинаторные задачи с помощью правила произведения

Наглядность и раздаточный материал: Презентация №1, слайды с магическими и латинскими квадратами, карточки с задачами

1.     Повторение

1)    Что изучает Комбинаторика?

2)    Методы решения комбинаторных задач

3)    Решите задачу: Имеются ткани 3 цветов. Сколько можно сшить флажков с тремя различными горизонтальными полосами?

Решите задачу: Фамилии четырёх друзей: Иванов, Петров, Семёнов, Николаев, а их имена: Иван, Пётр, Семён, Николай. Известно, что только у Николаева имя совпадает с фамилией; Семёнова зовут не Петром. Определите имена и фамилии друзей.

2.     Правило произведения

Теорема: Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то число различных пар равно m ∙ n

Задача 1. Имеются 4 вида конвертов без марок и 5 видов марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

Решение: 4 ∙ 5 = 20

Задача 2. В магазине имеются 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить пиджак, брюки и галстук?

Решение: 7∙ 5 ∙ 4 = 140

3.    Игра «Черный ящик»  (по карточкам)

4.    Магические квадраты

Маги́ческий, или волшебный квадрат — это квадратная таблица , заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n². Магические квадраты существуют для всех порядков , за исключением n = 2.

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Единственный нормальный магический квадрат 3×3 был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

Магический квадрат третьего порядка существует всего один, все остальные магические квадраты 3-го порядка получаются из него же поворотом.  

Самый ранний уникальный магический квадрат 4 × 4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Всего их существует 880. 

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия :

Построение магических квадратов

Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата.

                        Рис. 1                                                       Рис. 2

                         Рис. 3                                                        Рис. 4

Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n²), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.  

                                                                                       Рис. 5

5.     Латинские квадраты

 Латинским квадратом n × n называется квадрат, в каждой строке и в каждом столбце которого находятся числа от 1 до n. Задачей отыскания латинских квадратов занимался Леонард Эйлер