Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическое пособие "Уроки комбинаторики"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическое пособие "Уроки комбинаторики"

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ 1 комбинаторика.ppt

библиотека
материалов
Курс по выбору для предпрофильной подготовки №1 Автор: Щукина Т.И., г. Кудым...
Цели курса: Познакомиться с основными понятиями комбинаторики; Развитие интуи...
Курс рассчитан на учащихся, проявляющих интерес к математике Курс рассчитан н...
Вы узнаете что значит 2! + 3! Можно ли подсчитать вероятность выигрыша в лоте...
Темы рефератов: Магические квадраты Латинские квадраты Танграм Факториал Пере...
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Иванов Петров Семёнов Николаев Иван Семён Пётр Николай + - - - - - - + + + Ав...
Древнекитайская головоломка Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
1 = 2+2-2/2-2 2 = 2*(2+2)/(2+2) 3 = 22/22 +2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар...
Составьте фигурки из Танграма Составьте магический квадрат 4Х4 Составьте лати...
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
14 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Курс по выбору для предпрофильной подготовки №1 Автор: Щукина Т.И., г. Кудым
Описание слайда:

Курс по выбору для предпрофильной подготовки №1 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 Цели курса: Познакомиться с основными понятиями комбинаторики; Развитие интуи
Описание слайда:

Цели курса: Познакомиться с основными понятиями комбинаторики; Развитие интуитивного, логического, вероятностного мышления; Развитие вычислительных навыков; Расширение знаний по школьному курсу математики. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 Курс рассчитан на учащихся, проявляющих интерес к математике Курс рассчитан н
Описание слайда:

Курс рассчитан на учащихся, проявляющих интерес к математике Курс рассчитан на 10 часов Ведёт курс Щукина Татьяна Ивановна Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Вы узнаете что значит 2! + 3! Можно ли подсчитать вероятность выигрыша в лоте
Описание слайда:

Вы узнаете что значит 2! + 3! Можно ли подсчитать вероятность выигрыша в лотерее? Познакомитесь с биномом Ньютона Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5 Темы рефератов: Магические квадраты Латинские квадраты Танграм Факториал Пере
Описание слайда:

Темы рефератов: Магические квадраты Латинские квадраты Танграм Факториал Перестановки Размещения Сочетания Бином Ньютона Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7 Иванов Петров Семёнов Николаев Иван Семён Пётр Николай + - - - - - - + + + Ав
Описание слайда:

Иванов Петров Семёнов Николаев Иван Семён Пётр Николай + - - - - - - + + + Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 Древнекитайская головоломка Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Древнекитайская головоломка Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 10 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 11 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 12 1 = 2+2-2/2-2 2 = 2*(2+2)/(2+2) 3 = 22/22 +2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар
Описание слайда:

1 = 2+2-2/2-2 2 = 2*(2+2)/(2+2) 3 = 22/22 +2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 13 Составьте фигурки из Танграма Составьте магический квадрат 4Х4 Составьте лати
Описание слайда:

Составьте фигурки из Танграма Составьте магический квадрат 4Х4 Составьте латинский квадрат 4Х4 Составьте из пяти «2» числа от 1 до … Сколько разных двузначных чисел можно составить из чисел 1 и 2 Сколько разных трёхзначных чисел можно составить из чисел 1,2, 3 Что интересного можно сказать о числе 2010? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 14 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ 2 перестановки.ppt

библиотека
материалов
№ 2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Factor (лат) – сомножитель Факториал это функция, определённая для целых неот...
0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5·= 12...
Вычислите: 13! 14! 20! 19! 5! ·6! 8! 1 14 20 15 7 Автор: Щукина Т.И., г. Куды...
Сколько трёхзначных чисел можно получить, используя числа 1,2,3? 123 132 213...
Сколькими способами можно рассадить музыкантов из басни И.А. Крылова? Автор:...
 Заметили вы закономерность? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова...
Примеры задач 5 друзей решили сфотографироватьсяСколькими способами их можно...
Число перестановок из n-элементов вычисляется по формуле: Рn = n! Автор: Щуки...
Придумать и решить три задачи на перестановки. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымка...
11 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 № 2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

№ 2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 Factor (лат) – сомножитель Факториал это функция, определённая для целых неот
Описание слайда:

Factor (лат) – сомножитель Факториал это функция, определённая для целых неотрицательных чисел и равная произведению всех чисел от 1 до n. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5·= 12
Описание слайда:

0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5·= 120 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Вычислите: 13! 14! 20! 19! 5! ·6! 8! 1 14 20 15 7 Автор: Щукина Т.И., г. Куды
Описание слайда:

Вычислите: 13! 14! 20! 19! 5! ·6! 8! 1 14 20 15 7 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5 Сколько трёхзначных чисел можно получить, используя числа 1,2,3? 123 132 213
Описание слайда:

Сколько трёхзначных чисел можно получить, используя числа 1,2,3? 123 132 213 231 312 321 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Сколькими способами можно рассадить музыкантов из басни И.А. Крылова? Автор:
Описание слайда:

Сколькими способами можно рассадить музыкантов из басни И.А. Крылова? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7  Заметили вы закономерность? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Заметили вы закономерность? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками. Обозначаются Рn Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Примеры задач 5 друзей решили сфотографироватьсяСколькими способами их можно
Описание слайда:

Примеры задач 5 друзей решили сфотографироватьсяСколькими способами их можно рассадить? Сколько фигурок можно сложить из Танграма? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 10 Число перестановок из n-элементов вычисляется по формуле: Рn = n! Автор: Щуки
Описание слайда:

Число перестановок из n-элементов вычисляется по формуле: Рn = n! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 11 Придумать и решить три задачи на перестановки. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымка
Описание слайда:

Придумать и решить три задачи на перестановки. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ 3 Размещения.ppt

библиотека
материалов
№ 3 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
n! =1·2·3·…· n 0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! =...
2! ·3! 5! (3! + 4!) 6! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова...
Придумайте задачи на перестановки Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский к...
Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядко...
Даны числа 1,2,3,4. Сколько можно составить двузначных чисел? Автор: Щукина Т...
Сколько можно составить трёхзначных чисел из чисел 1,2,3,4,5? Автор: Щукина...
Из команды в 10 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими с...
Придумать и решить три задачи на размещения. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар,...
10 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 № 3 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

№ 3 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 n! =1·2·3·…· n 0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! =
Описание слайда:

n! =1·2·3·…· n 0! =1 1! =1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2·3 = 6 4! = 1·2·3·4 = 24 5! = 1·2·3·4·5·= 120 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 2! ·3! 5! (3! + 4!) 6! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

2! ·3! 5! (3! + 4!) 6! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками. Обозначаются Рn Рn = n! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5 Придумайте задачи на перестановки Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский к
Описание слайда:

Придумайте задачи на перестановки Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядко
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7 Даны числа 1,2,3,4. Сколько можно составить двузначных чисел? Автор: Щукина Т
Описание слайда:

Даны числа 1,2,3,4. Сколько можно составить двузначных чисел? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 Сколько можно составить трёхзначных чисел из чисел 1,2,3,4,5? Автор: Щукина
Описание слайда:

Сколько можно составить трёхзначных чисел из чисел 1,2,3,4,5? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Из команды в 10 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими с
Описание слайда:

Из команды в 10 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами можно обозначить вершины четырёхугольника, если даны буквы A, B, C, D, E, F? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 10 Придумать и решить три задачи на размещения. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар,
Описание слайда:

Придумать и решить три задачи на размещения. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ 4 Сочетания.ppt

библиотека
материалов
 № 4 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова...
Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядко...
Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3? Сколько трёхзначн...
Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько разных коктейлей можно получить, е...
Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, назыв...
На окружности отмечены 10 точек. Сколько разных треугольников с вершинами в э...
20 человек разбиты на группы по 5 человек в каждой группе. Сколькими способам...
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
13 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  № 4 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

№ 4 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следова
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов, называются перестановками. Обозначаются Рп Рп = п! Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядко
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся друг от друга составом и порядком, называются размещениями. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3? Сколько трёхзначн
Описание слайда:

Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3? Сколько трёхзначных чисел можно составить из чисел 1, 2, 3, 4? Из 5 членов команды «Знатоков» нужно выбрать капитана и секретаря. Сколькими способами это можно сделать? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5 Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько разных коктейлей можно получить, е
Описание слайда:

Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько разных коктейлей можно получить, если для каждого берутся три сока? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, назыв
Описание слайда:

Комбинации из n-элементов по к, отличающиеся только составом элементов, называются сочетаниями из n-элементов по к. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7 На окружности отмечены 10 точек. Сколько разных треугольников с вершинами в э
Описание слайда:

На окружности отмечены 10 точек. Сколько разных треугольников с вершинами в этих точках можно получить? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 20 человек разбиты на группы по 5 человек в каждой группе. Сколькими способам
Описание слайда:

20 человек разбиты на группы по 5 человек в каждой группе. Сколькими способами это можно сделать? Четверо студентов сдали экзамен, все получили разные отметки. Сколькими способами могут быть поставлены им отметки? Сколькими способами могут быть распределены 1, 2, 3 место, если число участников 10 человек? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 10 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 11 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 12 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 13 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ 5 Бином Ньютона.ppt

библиотека
материалов
№ 5 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
ПАСКАЛЬ Блез французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Ра...
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
НЬЮТОН Исаак - английский математик, механик, астроном и физик, создатель кл...
Бином – двучлен. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треуг...
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
9 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 № 5 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

№ 5 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 ПАСКАЛЬ Блез французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Ра
Описание слайда:

ПАСКАЛЬ Блез французский математик, физик, религиозный философ и писатель. Работы по арифметике, теории чисел, алгебре, геометрии, теории вероятностей. В 1641г. сконструировал суммирующую машину. 1623-1662 г.г. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5 НЬЮТОН Исаак - английский математик, механик, астроном и физик, создатель кл
Описание слайда:

НЬЮТОН Исаак - английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисления. Открыл дисперсию света, исследовал интерференцию и дифракцию, развивал корпускулярную теорию света. Построил зеркальный телескоп. Сформулировал основные законы классической механики. Открыл закон всемирного тяготения, создал теорию движения небесных тел, создав основы небесной механики. 1643-1727 г.г. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Бином – двучлен. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Бином – двучлен. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7 Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треуг
Описание слайда:

Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля Коэффициенты симметричны Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ 6 Вероятность.ppt

библиотека
материалов
 № 6 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треуг...
 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две...
В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих. Какова вероятность тог...
Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, к...
Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных...
Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного собы...
Вычислите вероятность выпадения герба при одном	бросании монеты. 2. В денежно...
Какова вероятность любого выигрыша в «Спортлото» 6 из 36? В колоде 36 карт. К...
12 1

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1  № 6 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

№ 6 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 2 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 3 Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 4 Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треуг
Описание слайда:

Свойства: Число слагаемых на 1 больше степени Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля Коэффициенты симметричны Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 5  Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край
Описание слайда:

Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 6 Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две
Описание слайда:

Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две «шестёрки»? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 7 В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих. Какова вероятность тог
Описание слайда:

В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих. Какова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного цвета? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 8 Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, к
Описание слайда:

Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, которым они подчиняются, называется теорией вероятности. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 9 Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных
Описание слайда:

Определение: Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 10 Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного собы
Описание слайда:

Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Вероятность любого события принимает значения от 0 до 1. Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 11 Вычислите вероятность выпадения герба при одном	бросании монеты. 2. В денежно
Описание слайда:

Вычислите вероятность выпадения герба при одном бросании монеты. 2. В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один билет? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

№ слайда 12 Какова вероятность любого выигрыша в «Спортлото» 6 из 36? В колоде 36 карт. К
Описание слайда:

Какова вероятность любого выигрыша в «Спортлото» 6 из 36? В колоде 36 карт. Какова вероятность того, что среди розданных шести карт будут четыре туза? Автор: Щукина Т.И., г. Кудымкар, Пермский край

Выбранный для просмотра документ Tests-1-10 комбинаторика.doc

библиотека
материалов

Тесты по комбинаторики и теории вероятности

Вариант 1.


  1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?


1) 30 2) 100 3) 120 4) 5


2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?


1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788


3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?


1) 10 2) 60 3) 20 4) 30


4. Вычислить: 6! -5!


1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000


5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?


1) hello_html_529ef1.gif 2) hello_html_m1b8b6b55.gif 3) hello_html_m677d2438.gif 4) hello_html_529ef1.gif


6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?


1) hello_html_615a29fb.gif 2) 0,5 3) 0,125 4) hello_html_m19e8bb17.gif


7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?


1) 0,02 2) 0,00012 3) 0,0008 4) 0,002





задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

3

2

4

1

2

3

4

Вариант 2.


  1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?


1) 100 2) 30 3) 5 4) 120


2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?


1) 3 2) 6 3) 2 4) 1


3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.


1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите: hello_html_19474a66.gif


1) 2 2) 56 3) 30 4) hello_html_249368e9.gif


5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?


1) hello_html_m674cc152.gif 2) hello_html_m6c6af55.gif 3) hello_html_1294f5ce.gif 4) hello_html_7ca9f75b.gif


6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?


1) 0,25 2) hello_html_60757ca1.gif 3) 0,5 4) 0,125


7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?


1) 0,5 2) 0,4 3) 0,04 4) 0,8




задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

4

1

2

2

3

1

1





Вариант 3.


  1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?


1) 24 2) 4 3) 16 4) 20


2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?


1) 30 2) 21 3) 14 4) 7



3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?


1) 22 2) 11 3) 150 4) 110


4. Сократите дробь: hello_html_1f1f207b.gif


1) 1 2) hello_html_e1e437a.gif 3) hello_html_6db72c68.gif 4) hello_html_770ac6a6.gif


5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?


1) hello_html_24fd3bbf.gif 2) 0,5 3) hello_html_m19e8bb17.gif 4) 0,25


6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.


1) 0,25 2) 0, 4 3) 0,48 4) 0,2


7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.


1) 0,8 2) 0,1 3) 0,015 4) 0,35




задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

1

2

4

3

2

4

1

Вариант 4


  1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?


1) 5 2) 120 3) 25 4) 100


2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?


1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000


3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.


1) 120 2) 30 3) 50 4) 60



4. Упростите выражение: hello_html_6f664be1.gif


1) 0,5 2) hello_html_6d67b066.gif 3) nhello_html_726beed0.gif 4) nhello_html_4fbf37b8.gif-1


5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?


1) hello_html_m111bc89a.gif 2) hello_html_51c59c71.gif 3) hello_html_m4f344bb5.gif 4) hello_html_m11d88302.gif


6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?


1) 0,504 2) 0,006 3) 0,5 4) 0,3


7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?


1) hello_html_5ec71670.gif 2) 0,5 3) hello_html_20db3a66.gif 4) hello_html_a3164c2.gif



задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

2

1

4

3

2

1

1




Вариант 5


  1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?


1) 36 2) 180 3) 720 4) 300


  1. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?


1) 14 2) 10 3) 21 4) 30


  1. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?


1) 80 2) 56 3) 20 4) 60


  1. Упростите выражение: hello_html_mba1fe6f.gif


1) hello_html_30183024.gif 2) hello_html_222e9d95.gif 3) hello_html_m23b62f68.gif 4) 0


5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?


1) hello_html_6d4caf94.gif 2)hello_html_m27e1c5d6.gif 3) hello_html_2dd55618.gif 4) hello_html_m1046cb3c.gif


6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.


1) 0,21 2) 0,49 3) 0,5 4) 0,09


7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?


1) 0,5 2) 0,4 3) 0,6 4) 0,04



задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

3

3

2

2

2

4

1

Вариант 6


  1. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?


1) 12 2) 20 3) 24 4) 4


  1. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?


1) 792 2) 17 3) 60 4) 300


  1. В 12 – ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 – Ом этаже лифт не останавливается?


1) 100 2) 720 3) 300 4) 60


4. Упростите выражение: hello_html_9aa68de.gif


1) hello_html_39e8d86.gif 2) hello_html_mb745018.gif 3) hello_html_m4b3203fc.gif 4) 0


5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

1) hello_html_241beab6.gif 2) 7 3) hello_html_279295b9.gif 4) hello_html_m3d8d4e3f.gif


6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.


1) 0,336 2) 0,452 3) 0,224 4) 0,144


7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?


1) 0,9 2) 0,5 3) 0,34 4) 0,18


задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

3

1

2

3

1

2

1

Вариант 7


  1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)


1) 4 2) 24 3) 20 4) 16


2. На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?


1) 75 2) 100 3) 2300 4) 3000


3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?


1) 600 2) 100 3) 300 4)720


4. Вычислите: hello_html_41b8b854.gif

1) 1 2) 13 3) 12 4) 32


5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?


1) hello_html_5e830b54.gif 2) hello_html_m29f15756.gif 3) hello_html_m15b1e1d3.gif 4) hello_html_67004c2.gif


6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?


1) 0,24 2) 0,12 3) 0,18 4) 0,072


7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?


1) hello_html_3ed86707.gif 2) 0,5 3) hello_html_m533c2902.gif 4) hello_html_1846118a.gif




задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

2

3

4

1

2

3

1


Вариант 8


  1. Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?


1) 6 2) 12 3) 30 4) 3


2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?


1) 300 2) 10 3) 150 4) 15


3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?


1) 18 2) 28 3) 64 4) 56


4. Вычислите: hello_html_m7e8cc121.gif


1) 48 2) 94 3) 56 4) 96


5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?


1) 0,5 2) 0,1 3) hello_html_241beab6.gif 4) 0,7


  1. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

1) 12 2) 0,5 3) 0,12 4) 12 ∙10hello_html_m2144ab30.gif



7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?


1) hello_html_21f2598d.gif 2) 0,5 3) hello_html_7d1ae4ea.gif 4) hello_html_22a9b104.gif


задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

1

2

4

3

2

4

1

Вариант 9


  1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).


1) 120 2) 360 3) 180 4) 500


  1. Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек.


1) 60 2) 85 3) 6188 4)6000


  1. На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?


1) 720 2) 360 3) 500 4) 100


4. Решите уравнение: hello_html_688a7550.gif


1) 4; -5 2) 4 3) -5 4) 9


5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?


1) hello_html_m42dfbc36.gif 2) 0,2 3) hello_html_4fb89807.gif 4) 0,5


6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.


1) 0,18 2) 0,81 3) 0,5 4) 0,01


  1. 25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепеевку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку – 12, В Красные Огурейцы – остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?

1) hello_html_3bbc265c.gif 2) hello_html_6529aedd.gif 3) 0,5 4) 0,35


задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

2

3

1

2

3

1

2

Вариант 10


  1. Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?


1) 180 2) 300 3) 120 4) 240


  1. Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?


1) 210 2) 60 3) 30 4) 240


3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете

4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?


1) 1200 2) 88000 3) 11880 4)3000


4. hello_html_m53d4ecad.gifРешите уравнение: hello_html_7d2ce9ee.gif


1) 6 2) -5; 6 3) -5 4) 30

5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке – одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?


1) hello_html_3c6da312.gif 2) 0,1 3) hello_html_m19e8bb17.gif 4) 0,4


6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие, окажется высшего сорта равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.


1) 0,384 2) 0,5 3) 0,3 4) 0,4


  1. На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.


1) 0,5 2) 0, 35 3) 0,04 4) 0,34



задания

1

2

3

4

5

6

7

ответа

3

1

3

1

2

1

4


Выбранный для просмотра документ Домашнее задание к уроку 5.doc

библиотека
материалов

Домашнее задание к уроку 5

    1. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга?

hello_html_17fe269f.gif


    1. Сколько можно сшить различных трёхцветных флажков, если имеются ткани пяти цветов?

hello_html_1cf00f68.gif

    1. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? (цифры могут повторяться)


Первая цифра может быть любая, кроме нуля: 1,2,3,…9, т.е. её можно выбрать 9 способами. Каждая последующая цифра может быть любой: 0, 1, 2,..9, т.е. каждую цифру можно выбрать 10 способами.

Всего число возможных 7-значных номеров будет:

9 10 10 10 10 10 10 = 9 000 000

Выбранный для просмотра документ Задачи к курсу Комбинаторика.doc

библиотека
материалов

Задачи к курсу Комбинаторика


  1. Сколькими способами можно дать клички четырём щенкам, имея набор из семи имён?

  2. У мамы имеются 4 яблока и 3 груши. Каждый день она выдаёт сыну по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

  3. 25 учеников встретились 1 сентября и обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

  4. При расставании 25 одноклассников обменялись фотографиями. Сколько всего было роздано фотографий?

  5. Сколькими способами можно окрасить квадрат, разделённый на девять квадратов, имея пять цветов?

  6. В скольких случаях при выборе из колоды в 36 карт 6 карт среди них окажутся 4 туза?

  7. Сколько существует способов выбора из 13 лиц на пять вакантных должностей?

  8. Сколькими способами можно разместить за круглым столом пять человек?

  9. Сколькими способами можно рассадить за круглым столом пять девушек и пять юношей, чтобы они чередовались?

  10. Буквы русского алфавита закодированы своим номером. Расшифруйте слова: 3111, 3113, 13111, 311333, 13331333, 13311131.

  11. Дано множество чисел {1,2,3,4,5}. Сколько чётных трёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно получить?

  12. Дано множество чисел {1,2,3,4,5}. Сколько трёхзначных чисел, не содержащих одинаковых цифр и кратных 3 (4,5,6 ….) можно получить?

  13. Сколько подмножеств имеет множество из семи элементов?

  14. Сколько существует пятизначных чисел, содержащих в своей записи как минимум один нуль?

  15. Сколько существует пятизначных чисел, содержащих в своей записи как минимум два нуля?

  16. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются справа налево и слева направо?

  17. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, если каждое число состоит из трёх четных и трёх нечётных цифр, причём цифры в записи числа не должны повторяться?

  18. Из двух математиков и восьми экономистов нужно составить комиссию из восьми человек. Сколькими способами это можно сделать при условии, что в комиссии должен присутствовать хотя бы один математик?

  19. Сколькими способами можно расставить на полке пять книг при условии, что определённые две из них должны стоять рядом?

  20. Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры. Сколько различных вариантов нужно набрать, чтобы дозвониться, если он помнит, что цифры различные и не нуль?



Самостоятельная работа

1 вариант

1. Вычислите

а) (5!+4!) : 6! б) (10! – 9!) : 8!

2. Имеются ткани четырёх цветов. Сколько можно сшить разных флажков, если в каждом будут по четыре горизонтальных полосы разного цвета?

3. Сколько трёхзначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?

4. В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?

5. В очереди стоят 5 мальчиков: Юра, Миша, Володя, Саша и Олег.

Известно, что:

- Юра купил билет раньше Миши, но позже Олега;

- Володя и Олег не стоят рядом;

- Саша не стоит рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей.

Кто за кем стоит?


2 вариант

1. Вычислите

а)(5!+6!) : 4! б) (10! – 8!) : 9!

2. Имеются ткани четырёх цветов. Сколько можно сшить разных флажков, если в каждом будут по три вертикальных полоски разного цвета?


3. В классе 15 учеников. Нужно выбрать делегацию на общешкольное собрание в составе 5 человек. Сколькими способами это можно сделать?


4. Сколько пятизначных чисел можно получить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, если все цифры в числе разные?


5. На заводе работают три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Иванов, Борисов, Семёнов.

Известно, что:

- у слесаря нет ни братьев, ни сестёр и он самый младший из друзей;

- Семёнов женат на сестре Борисова и он старше токаря.

Назовите фамилии токаря, слесаря и сварщика.



Выбранный для просмотра документ Комбинаторика к.р..doc

библиотека
материалов

Комбинаторика. Задачи по комбинаторике

Комбинаторика — своеобразный и очень интересный раздел математики, в котором решаются задачи выбора и расположения элементов некоторого множества в соответствии с заданными правилами. Простейшие комбинаторные задачи связаны с перебором различных вариантов, удовлетворяющих поставленным условиям. Рассмотрим некоторые примеры.

1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 3, 5, 7?

Если бессистемно начать составлять всевозможные числа, можно что-то упустить или написать какое-то число дважды. Поэтому лучше всего придумать способ перебора, при котором ни одно из возможных чисел от нас бы не ускользнуло и, с другой стороны, который исключил бы возможность повторения. Один из таких способов — записывать возможные числа в порядке возрастания: 33, 35, 37, 53, 55, 57, 73, 75, 77. В итоге получилось 9 чисел.

2. К завтрашнему дню нужно сделать латынь, греческий и математику, в какой последовательности — безразлично. Сколько всего существует таких последовательностей?

Введем для удобства обозначения: Л — латынь, Г — греческий, М — математика. Выпишем все возможные последовательности в алфавитном порядке: ГЛМ, ГМЛ, ЛГМ, ЛМГ, МГЛ, МЛГ. Получилось 6 последовательностей — уроки можно сделать шестью способами!

При решении задач нужно обязательно выписывать все возможные варианты.



  1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4?

  2. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 5, 6, 7, 8, если при записи числа каждую цифру разрешается использовать только один раз?

  3. Петя и Вася пишут контрольную по математике, причем каждый может получить любую из оценок 2, 3, 4, 5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?

  4. Президент Анчурии хочет иметь государственный флаг, состоящий из трех горизонтальных разноцветных полос — серой, бурой и малиновой. Сколько у президента вариантов выбора флага?

  5. На прямой отметили четыре точки A, B, C, D. Сколько при этом получилось отрезков?

  6. На клетчатой бумаге нарисовали квадрат 4x4 и внутри него по линиям клеток прочертили горизонтальные и вертикальные отрезки параллельно сторонам. Сколько всего квадратов оказалось нарисовано?

  7. Петя трижды подбрасывает монету. Сколько различных последовательностей орлов и решек он может при этом получить?

  8. Сколько а) двузначных; б) трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2?

  9. Алфавит племени Мумбо-Юмбо содержит только две буквы — А и У. Любая последовательность этих букв является словом. Сколько существует в языке этого племени слов а) из четырех букв; б) не более, чем из трех букв?

  10. Турист хочет побывать в Риме, Париже, Лондоне и Афинах, но не знает, в какой последовательности. Сколько перед ним различных вариантов маршрутов?

  11. Анаграммой данного слова называется слово, полученное из него перестановкой букв (например, «бьорд» является анаграммой слова «дробь»). Сколько анаграмм имеют слова «маг», «дед», «deus», «ирис»?

  12. Сколькими способами можно выложить в ряд два белых и два черных шарика?

  13. В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?

  14. В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили выбрать два каких-то фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?

  15. В турнире участвовали пять шахматистов, причем каждый шахматист сыграл с каждым из остальных по одной партии. Сколько партий было сыграно на турнире?

  16. Вите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти?

  17. Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, фруктовые стаканчики, шоколадные брикеты и эскимо?

  18. Сколькими способами можно расставить три разных цветка в две вазы?

  19. В некотором царстве три города: А, Б и В. Из А в Б ведут две дороги, из Б в В — пять дорог. Сколько различных путей ведут из А в В? Прямого пути между А и В нет.

  20. У Ани четыре разных платья и три разных пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 1»

Вариант 1

  1. Нужно покрасить четыре шарика, и есть две краски — красная и черная. Сколько существует способов раскраски шариков?

  2. Иван-царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок трем дочерям короля перстень, браслет и ожерелье. Что кому дарить, он пока не решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?

  3. Сколько существует четырехзначных чисел, сумма цифр которых не превосходит 2?

  4. Пять человек в классе лучше всех играют в пинг-понг. На соревнования нужно отправить двоих. Сколькими способами это можно сделать?

  5. В продаже имеются пять видов ручек и четыре вида карандашей. Сколько различных наборов можно составить из двух предметов: ручки и карандаша?

_____________________________________________________________
Вариант 2

  1. В понедельник в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько вариантов расписания можно составить на понедельник?

  2. К трем дочерям короля приехали свататься три принца. Сколько у короля вариантов выдать дочерей замуж?

  3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых равна 3?

  4. Форму игроков футбольного клуба нужно раскрасить в два цвета. Президенту клуба предложили на выбор пять цветов: белый, красный, синий, желтый и черный. Сколько у него существует способов выбора раскраски?

  5. В магазине продаются три вида блокнотов и пять видов карандашей. Сколько различных наборов можно составить из двух предметов: блокнота и карандаша?



  1. Сколько существует чисел, больших, чем 3852, каждое из которых можно получить перестановкой цифр данного числа?

  2. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых не превосходит 4?

  3. Сколько существует четырехзначных чисел, сумма цифр которых больше 33?

  4. На окружности отметили четыре точки. Сколько при этом получилось дуг?

  5. Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра меньше второй?

  6. Десять знакомых обменялись рукопожатиями. Сколько всего было сделано рукопожатий?

  7. Семеро шахматистов провели двухкруговой турнир, в котором каждый сыграл с каждым по две партии (одну партию белыми фигурами, одну — черными). Сколько партий было сыграно на турнире?

  8. Девять шестиклассников получили по математике, латыни и греческому четверки и пятерки в четверти. Докажи, что хотя бы у двух из них оценки по этим предметам полностью совпадают.

  9. Пятнадцать шестиклассников получили по математике, латыни, греческому и физкультуре четверки и пятерки в четверти. Можно ли теперь утверждать, что хотя бы у двух из них оценки по этим предметам полностью совпадают?

  10. Двум врачам нужно посетить четырех больных, причем каждый врач должен побывать у каких-либо двух больных. Сколькими способами врачи могут распределить между собой эти посещения?

  11. Есть две белые, две красные и две розовые гвоздики. Сколькими способами их можно расставить в три вазы так, чтобы в каждой вазе стояли по две гвоздики разного цвета?

  12. Петя и Вася играют в пинг-понг, матч продолжается до трех побед. Сколько существует вариантов протекания матча?

  13. Из Желтой страны в Голубую ведут две дороги, из Голубой страны в Розовую — четыре. Из Желтой страны в Фиолетовую ведут три дороги, из Фиолетовой страны в Розовую — тоже три. Прямых дорог из Желтой страны в Розовую и из Голубой страны в Фиолетовую нет. Сколькими путями можно добраться из Желтой страны в Розовую? из Голубой страны в Фиолетовую?

  14. Алфавит племени Ни-Бум-Бум содержит только три буквы — А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из трех букв. Сколько слов в языке этого племени?

  15. Задача Леонарда Эйлера. Четверо господ при входе в ресторан отдали швейцару свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получит чужую шляпу?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 2»

Вариант 1

  1. Имеется ткань трех цветов: красная, зеленая и черная, и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

  2. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

  3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых превосходит 15?

______________________________________________________________

Вариант 2

  1. Имеется краска трех цветов: белая, красная и черная, и требуется покрасить «Москвич», «Жигули» и «Волгу». Сколько существует различных вариантов покраски машин?

  2. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Пойдем гулять куда-нибудь вдвоем», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

  3. Сколько существует трехзначных чисел, сумма цифр которых превосходит 15?

Решение многих комбинаторных задач сводится к умножению друг на друга числа возможных вариантов независимого выбора. Вы наверняка обратили на это внимание — таковы были, например, задачи 19 и 20 из листка «Комбинаторика 1». Рассмотрим другие примеры.

1. Сколькими способами можно купить пиджак и брюки, если в магазине есть 7 видов пиджаков и 5 видов брюк?

Допустим, что пиджак уже куплен. Тогда в пару к нему можно выбрать любые из 5 брюк. Таким образом, существует 5 наборов пиджак—брюки, содержащих выбранный пиджак. Поскольку пиджаков всего 7, то имеется 7·5 = 35 различных наборов из пиджака и брюк, т.е. покупку можно сделать 35 способами.

2. В магазин привезли еще 4 вида галстуков. Сколькими способами можно теперь купить комплект из пиджака, брюк и галстука?

Допустим, что пара пиджак—брюки уже выбрана. К ней можно купить галстук 4 способами. Поскольку пар пиджак—брюки всего 35, имеется 35·4 = 140 способов купить пиджак, брюки и галстук. Заметим, что искомое число способов получается прямым перемножением вариантов: 140 = 7·5·4.

В некоторых задачах выбор не является независимым: осуществление выбора ограничивает число возможных вариантов на следующем этапе. Вот пример.

3. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов?

Для верхней полосы флага существует 5 способов выбора цвета. Когда цвет верхней полосы выбран, для средней полосы остается 4 возможных цвета. После выбора цвета верхней и средней полос цвет нижней полосы можно выбрать 3 способами. Итого получается 5·4·3 = 60 способов составить флаг.

  1. В буфете продаются 4 вида булочек и 5 видов пирожных. Сколькими способами можно купить булочку и пирожное?

  2. У Кати есть 6 ручек, 3 карандаша и 4 тетради. Сколькими способами Катя может взять с собой в школу ручку, карандаш и тетрадь?

  3. Сколько различных пар, состоящих из гласной и согласной букв, можно выбрать из слова «комбинаторика»?

  4. В языке аборигенов далекого острова 10 прилагательных, 20 существительных и 15 глаголов. Предложением называется всякое сочетание либо существительного и глагола, либо прилагательного, существительного и глагола. Сколько всего предложений имеется в этом языке?

  5. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3 и 4?

  6. Монету подбрасывают пять раз. Сколько различных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

  7. Каждую грань кубика можно покрасить в белый, красный или черный цвет. Сколько существует вариантов раскраски кубика?

  8. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых нечетны?

  9. Сколько существует а) семизначных чисел; б) четных трехзначных чисел?

  10. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

  11. Король решил выдать замуж трех своих дочерей. Со всех концов света явились во дворец сто юношей. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе женихов?

  12. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 и 6, используя каждую из цифр ровно по одному разу?

  13. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 и 5, используя каждую из цифр ровно по одному разу?

  14. Сколько анаграмм имеют слова «цифра», «листок»?

  15. В некоторой гимназии, в некотором классе в понедельник семь уроков: математика, латынь, греческий, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 3»

Вариант 1

  1. В магазине продаются 5 видов чашек, 3 вида блюдец и 4 вида ложек. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

  2. В каждый из шести разных цветочных горшков можно посадить фиалку или кактус. Сколькими способами можно это сделать?

  3. В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек. Сколькими способами они могут выбрать из состава кабинета премьер-министра, первого и второго вице-премьеров?

  4. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых четны?

______________________________________________________________

Вариант 2

  1. В магазине продаются 6 видов чашек, 2 вида блюдец и 3 вида ложек. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

  2. Кубик бросают трижды. Сколько различных последовательностей выпавших очков можно при этом получить?

  3. Из десяти отличников одного нужно послать на олимпиаду по математике, другого — на олимпиаду по физике, третьего — на олимпиаду по химии. Сколькими способами это можно сделать?

  4. Сколько существует четырехзначных чисел, все цифры которых четны?

Факториал натурального числа n (обозначается n! и читается «эн-факториал») — это произведение всех натуральных чисел от 1 до n: n! = 1·2·...·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. При больших n в задачах можно не вычислять n!, так и оставляя ответ в виде факториала.

  1. Сколько анаграмм имеет слово «художник»?

  2. В тридевятом царстве 39 городов. Царь хочет объехать их все. Сколько у царя вариантов выбора маршрута?

  3. Перестановкой нескольких различных предметов называется любой способ выложить эти предметы в ряд. Сколько существует перестановок а) 4; б) n различных предметов?

  4. Найти значение выражения: а) 9!/8!; б) 1999!/2000!; в) 100!/98!; г) 11!/(4!·7!).

  5. На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары?

  6. «Началом» шахматной партии назовем первый ход белых и ответный ход черных. Сколько существует начал шахматной партии?

  7. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

  8. Сколько существует пятизначных чисел, у которых на нечетных местах стоят четные цифры?

  9. Сколько существует пятизначных чисел, среди цифр которых нет одинаковых?

  10. Сколькими способами из колоды 36 карт можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

  11. У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. «Честным» называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколько всего существует вариантов честного обмена?

  12. В процессе эволюции племени Ни-Бум-Бум (Комбинаторика 2, задача 14) в его алфавите появилась четвертая буква — Г. Словом теперь является любая последовательность, состоящая не более чем из четырех букв. Сколько слов стало в языке этого племени?

  13. Сколько существует шестизначных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

  14. На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько книг (стопка может состоять и из одной книги)?

  15. На трех книжных полках стоят соответственно 10, 20 и 30 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были с разных полок?

Контрольная работа к листку «Комбинаторика 4»

Вариант 1

  1. Найти значение выражения 12!/(3!·9!).

  2. Сколькими способами можно выложить в ряд все 36 карт из колоды?

  3. Вратарь футбольной команды (игрок с номером 1) начал комбинацию, которая завершилась ударом по воротам игрока с номером 11. В ходе данной комбинации мяч побывал по одному разу у всех игроков команды. Сколько может быть таких комбинаций? Комбинацией мы называем последовательность номеров игроков, получавших мяч, например 1—2—3—4—5—6—7—8—9—10—11.

  4. Сколько существует четырехзначных чисел, меньших 7000, первая и третья цифра которых четны?

  5. Имеются три книжных шкафа, в каждом из которых содержится 100 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были из разных шкафов?

______________________________________________________________

Вариант 2

  1. Найти значение выражения 12!/(5!·7!).

  2. Сколькими способами можно выставить в ряд 38 различных попугаев?

  3. Вратарь футбольной команды (игрок с номером 1) начал комбинацию, которая завершилась ударом по воротам игрока с номером 11. В ходе данной комбинации мяч побывал по одному разу у всех игроков команды. Сколько может быть таких комбинаций? Комбинацией мы называем последовательность номеров игроков, получавших мяч, например 1—2—3—4—5—6—7—8—9—10—11.

  4. Сколько существует четырехзначных чисел, меньших 7000, вторая и четвертая цифра которых нечетны?

  5. Имеются три книжных шкафа, в каждом из которых содержится 100 книг. Все эти книги разные. Сколькими способами можно выбрать из них пару книг так, чтобы книги в паре были из разных шкафов?


6


Выбранный для просмотра документ Комбинаторика программа.doc

библиотека
материалов

Министерство образования Российской Федерации

Управление образования администрации города Кудымкара

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 9»








Комбинаторика



Программа курса по выбору

для предпрофильной подготовки





Составитель: Щукина Т.И.,

учитель математики


























г. Кудымкар 2007


Рассмотрено на заседании ШМО

«___»_________________200 г.


Руководитель ШМО: _________


Зам. директора по УВР: ________



Рецензенты: ____________________________

____________________________

































Пояснительная записка

Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне естественно. Программа рассчитана  в основном для учащихся 8-9-х классов, т.к. её содержание соответствует уровню знаний и интересов детей именно этой возрастной категории.    Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей постепенно возвращаются в школьную программу и становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности – умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчёты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчёт числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах. Именно при проведении уроков по этим курсам, учитель имеет возможность формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать интеллект воспитанников, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы. Однако на практике количество учебных часов, как правило, не позволяет включить данный курс в учебный процесс без ущерба для изучения других тем. Одним из выходов в данной ситуации является изучение элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей в виде элективных курсов.

Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики: теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными науками – программированием, кодированием информации и т.д. Комбинаторные задачи включены в тесты ГИА и ЕГЭ по математике, а в учебниках этот материал почти не рассматривается. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных профессий. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для решения практических задач. Он рассчитан на учащихся, которые проявляют интерес к математике и ориентирован на естественно-математический профиль на III ступени обучения. Курс рассчитан на 10-11 часов.

Цели курса:

  • углубление знаний учащихся;

  • овладение конкретными математическими понятиями;

  • воспитание у учащихся интереса к математике;

  • развитие интуиции, логического и вероятностного мышления;

  • знакомство с историей развития математики.

Задачи курса:

  • познакомить учащихся с основными понятиями комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания;

  • познакомить учащихся с основными приложениями комбинаторики.

Технологии обучения: уроки-лекции, уроки-беседы, семинары, практикумы по решению задач, практикумы по составлению задач. На каждое занятие имеется мультимедийная презентация. Материал оформлен в виде учебного пособия.

Деятельность учащихся: оформление конспектов уроков, решение задач, составление задач, участие в семинарах, практикумах, оформление на компьютере и защита творческих работ. Выступление со своими работами в классах в рамках «Недели математики» в школе.

Знания, умения, навыки:

  • уметь находить факториал числа, решать примеры с факториалами;

  • знать понятия перестановки, размещения, сочетания;

  • уметь решать стандартные комбинаторные задачи;

  • уметь применять формулу бинома Ньютона.


Содержание программы

1. Введение. 2 час.

Основные понятия теории множеств: объединение, пересечение, произведение. Виды комбинаторных задач. Правило суммы и произведения. Магические и латинские квадраты.

2. Основные понятия комбинаторики. 5 час.

Понятие факториала. Решение примеров на преобразование выражений с факториалами. Перестановки. На простых примерах демонстрация решения комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, иллюстрация этого метода с помощью дерева возможных вариантов.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Рассматриваются определения и свойства сочетаний, рекуррентная формула для вычисления сочетаний.

3. Приложения комбинаторики. 3 час.

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Знакомство с биографиями учёных. Учащиеся должны научиться пользоваться треугольником Паскаля при возведение бинома в натуральную степень. Знать свойства бинома Ньютона. Учащиеся должны знать формулу Ньютона и основные следствия. Учащиеся должны уметь доказывать формулу бинома Ньютона для п = 4, п = 5 и пользоваться ею, выписывать любой член в формуле Ньютона, пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную степень.

Начальные сведения из теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики.

4. Заключение. 1 час.


Тематическое планирование

№ урока

Тема

Количество

часов

Форма проведения занятий

Форма контроля

всего

теория

практика

1-2

Введение. Способы решения комбинаторных задач

2

1

1

Беседа

Решение задач.


Основные понятия комбинаторики

5

3

2



3

4

5

6

7

- факториал числа

- перестановки;

- размещения;

- сочетания

- решение задач




Лекция. Практикум по решению задач

Решение задач.

Придумать комбинаторную задачу и оформить её решение на ПК.


Приложения комбинаторики.

3

2

1



8

9

10


Треугольник Паскаля

Бином Ньютона

Теория вероятностей




Лекция.

Практические занятия

Оформление статьи для стенгазеты.

11

Заключение.

1

-

1

Защита творческих работ.

Зачёт


Итого

11

6

5




Литература

  1. Ткачёва М. В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность. Учебное пособие для 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2004.

  2. Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2004.

  3. Антипов И.Н. , Виленкин Н.П. и др. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. М. Просвещение. 1983.

  4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7-9 кл. общеобразовательных учреждений. – М.:Просвещение,2003.

  5. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 кл./ Автор-составитель Студенецкая В.Н. – Волгоград: Учитель, 2005.

  6. Ткачева М.В. Домашняя математика – 8 . М. Просвещение. 1994.

  7. http://www.math-on-line.com/olimpiada-edu/katalog-math-combinat-kolich.html Список занимательных  комбинаторных задач для учеников 5-8 классов.       


Выбранный для просмотра документ Комбинаторика.doc

библиотека
материалов

Управление образования администрации города Кудымкара

Муниципальная средняя общеобразовательная школа № 1








Программа курса по выбору


Комбинаторика




Составитель: Щукина Т.И.,

учитель математики































Пояснительная записка

Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне естественно.

Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики: теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными науками – программированием, кодированием информации и т.д. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для решения практических задач. Он рассчитан на учащихся, которые проявляют интерес к математике и ориентирован на естественно-математический профиль на III ступени обучения.

Задачи курса:

  • познакомить учащихся с основными понятиями комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания;

  • развитие у учащихся интуиции, логического и вероятностного мышления;

  • расширить знания учащихся по темам «Многоугольники», «Многочлены» и др.

  • развивать вычислительные навыки учащихся.








Тематическое планирование

Курс рассчитан на 12 часов.

Тема

Количество

часов

Форма проведения занятий

Форма контроля

всего

теория

практика

1.

Введение. Основные понятия теории множеств.

2

1

1

Беседа

Решение задач.

2.

Основные понятия комбинаторики:

- перестановки;

- размещения;

- сочетания.

6

3

3

Лекция.

Самостоятельная

работа.

Решение задач.

Придумать комбинаторную задачу и оформить её решение на ПК.

3.

Приложения комбинаторики.

3

1

2

Лекция.

Практические занятия

Оформление статьи для стенгазеты.

4.

Заключение.

1

-

1

Защита творческих работ.

Зачёт












Содержание программы

1. Введение. 2 час.

Основные понятия теории множеств: объединение, пересечение, произведение. Виды комбинаторных задач. Правило суммы и произведения.

Решение логических задач. Магический квадрат. Латинский квадрат. Танграм.

2. Основные понятия комбинаторики. 6 час.

Перестановки. Понятие факториала.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями.

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями.

3. Приложения комбинаторики. 3 час.

Свойства чисел Сhello_html_1c28c962.gif. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Начальные сведения по теории вероятностей.

4. Заключение. 1 час.


Знания, умения, навыки:

  • уметь находить n!, решать примеры с факториалами;

  • знать понятия перестановки, размещения, сочетания;

  • уметь решать стандартные комбинаторные задачи;

  • уметь применять формулу бинома Ньютона.


Литература

Антипов И.Н. , Виленкин Н.П. и др. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. М. Просвещение. 1983.

Антипов И.Н, Березин В.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. М. Просвещение. 1983.

Ткачева М.В. Домашняя математика – 8 . М. Просвещение. 1994.


Выбранный для просмотра документ Магические квадраты.doc

библиотека
материалов

Магические квадраты нечётного порядка

4

9

2

3

5

7

8

1

6

2

7

6

9

5

1

4

3

8

Магический квадрат третьего порядка существует всего один, все остальные магические квадраты 3-го порядка получаются из него же поворотом.









Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n2), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.  

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

10

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

3

 

9

 

15

 

 

 

 

11

 

7

 

3

 

 

 

2

 

8

 

14

 

20

 

 

16

 

12

 

8

 

4

 

1

 

7

 

13

 

19

 

25

21

 

17

 

13

 

9

 

5

 

6

 

12

 

18

 

24

 

 

22

 

18

 

14

 

10

 

 

 

11

 

17

 

23

 

 

 

 

23

 

19

 

15

 

 

 

 

 

16

 

22

 

 

 

 

 

 

24

 

20

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

      Рис. 1                                             Рис. 2

3

16

9

22

15

 

11

24

7

20

3

20

8

21

14

2

4

12

25

8

16

7

25

13

1

19

17

5

13

21

9

24

12

5

18

6

10

18

1

14

22

11

4

17

10

23

23

6

19

2

15

                         Рис. 3                     Рис. 4

 

6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46

                                        Рис. 5

Выбранный для просмотра документ Метод террас доп..doc

библиотека
материалов

Метод террас






1










2


6








3


7


11






4


8


12


16




5


9


13


17


21




10


14


18


22






15


19


23








20


24










25























 










 

 

 








 

 

 

 

 






 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 






 

 

 

 

 








 

 

 










 































Рис. 1 Рис. 2




























3

20

7

24

11







16

8

25

12

4







9

21

13

5

17







22

14

1

18

10







15

2

19

6

23










































1hello_html_m74f8bb3f.gif










2hello_html_58164baa.gif


6








3


7


11






4


8

hello_html_2450d8e1.gif

12


16




5hello_html_m6aa58d8d.gif


9


13


17


21




10


14


18


22






15


19


23








20


24










25

















Рис. 3 Рис. 4


Выбранный для просмотра документ Пояснительная записка.doc

библиотека
материалов

Пояснительная записка


Методическое пособие «Уроки комбинаторики» предназначено для учителей математики.

Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне естественно.

Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики: теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными науками – программированием, кодированием информации и т.д. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных профессий. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, лингвистам. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для решения практических задач.

Тему «Комбинаторика» можно изучать как самостоятельный курс при введении предпрофильной подготовки в 8-9 классах или как отдельные уроки при изучении математики в среднем звене. Данная тема не рассматривается в учебниках математики среднего звена, по которым работают большинство учителей, а элементы комбинаторики входят в базовый стандарт по математике за курс основной школы. Учителям приходится перебирать много дополнительной литературы, чтобы подобрать необходимый материал, интересные задачи. Поэтому данное пособие можно использовать как при подготовке к урокам, так и для проведения факультативных занятий по математике, занятий математического кружка.

Цель работы: собрать материал по данному курсу в доступной и занимательной форме, подобрать достаточное количество задач и упражнений для фронтальной и индивидуальной работы.

Технологии обучения: уроки-лекции, уроки-беседы, семинары, практикумы по решению задач, практикумы по составлению задач.

К данному пособию прилагается 6 мультимедийных презентаций, которые используются на уроках в качестве наглядности. Также прилагается электронная версия данного пособия, что позволяет распечатывать в необходимых количествах раздаточный материал для самостоятельной и групповой работы в классе и дома.

По данному методическому пособию мной в 2006-2011 г.г. были проведены курсы по предпрофильной подготовке с учащимися 8-9 классов. Учащиеся с интересом занимались на данном курсе, по окончанию все выполнили небольшие творческие работы. Со своими работами учащиеся выступали в рамках «Недели математики» Все учащиеся, посещавшие этот предпрофильный курс, сдали выпускные экзамены за курс основной школы без троек.

Выбранный для просмотра документ ФАКТОРИАЛ.doc

библиотека
материалов


ФАКТОРИАЛ.


Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.

Например:

4! = 1*2*3*4 = 24.

Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что нуль – факториал должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n! растёт с увеличением n очень быстро. Так,


1!=1,

2!=2,

3!=6,

4!=24,

5!=120,

..,

10!=3 628 800.


При преобразовании выражений, содержащих факториал, по­лезно использовать равенство


(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n1)! (1)



Английский математик Дж. Стирлинг в 1970г. предложил очень удобную формулу для приближённого вычисления функции n!:


n! ≈ (

n

)

n

* √ 2 n ,

е



где е = 2,7182... — основание натуральных логарифмов.


Относительная ошибка при пользовании этой формулой очень невелика и быстро падает при увеличении числа n.

Способы решения выражений, содержащих факториал, рассмотрим на примерах.

Пример 1. (n! + 1)! = (n! + 1) • n!.


Пример 2. Вычислить 10!
8!

Решение. Воспользуемся формулой (1):

10! =10*9*8! = 10*9=90
8! 8!


Пример 3. Решить уравнение (n + 3)! = 90
(n + 1)!

Решение. Согласно формуле (1) имеем


= (n + 3)(n + 2) = 90.

(n + 3)! =(n + 3)(n + 2)(n+1)!
(n + 1)! (n + 1)!

Раскрыв скобки в произведении, получаем квадратное уравнение

n2 + 5n - 84 = 0, корнями которого являются числа n = 7 и n = -12. Од­нако факториал определен только для неотрицательных целых чисел, т. е. для всех целых чисел n ≥ 0. Поэтому число n = -12 не удовлетворя­ет условию задачи. Итак, n = 7.


Пример 4. Найти хотя бы одну тройку натуральных чисел х, у и z, для которой верно равенство х! = y! • z!.


Решение. Из определения факториала натурального числа n сле­дует, что


(n+1)! = (n + 1) • n!


Положим в этом равенстве n + 1 = у! = х, где у — произвольное нату­ральное число, получим

x!=y! • (x-1)!


Теперь видим, что искомые тройки чисел можно задать в виде


(y!;y;y!-1) (2)

где y- натуральное число, больше 1.


Например, справедливы равенства

2! = 2! • 1!

6! = 3! • 5!

24! = 4! • 23!


Пример 5. Определить, сколькими нулями оканчивается деся­тичная запись числа 32!.

Решение. Если десятичная запись числа Р = 32! оканчивается k нулями, то число Р можно представить в виде

Р = q • 10k,

где число q не делится на 10. Это означает, что разложение числа q на простые множители не содержит одновременно 2 и 5.

Поэтому, чтобы ответить на поставленный вопрос, попробуем опреде­лить, с какими показателями в произведение 1 • 2 • 3 • 4 • ... • 30 • 31 • 32 входят числа 2 и 5. Если число k — наименьший из найденных показателей, то число Р будет оканчиваться k нулями.

Итак, определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 2. Очевидно, что их количество равно 32/2 = 16. Затем определим, какое количество среди найденных 16 чисел делится на 4; затем — какое количество из них делится на 8 и т. д. В результате получим, что среди тридцати двух первых натуральных чисел на 2 делится 16 чисел,

из них на 4 делятся 32/4 = 8 чисел, из них на 8 делятся 32/8 = 4 числа, из них на 16 делятся 32/16 = 2 числа и, наконец, из них на 32 делятся 32/32=1, т.е. одно число. Понятно, что сумма полученных количеств:

16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31

равна показателю степени, с которым число 2 входит в 32!.


Аналогично определим, сколько чисел среди натуральных чисел от 1 до 32 делятся на 5, а из найденного количества на 10. Разделим 32 на 5.

Получим 32/5 = 6,4. Следовательно, среди натуральных чисел от 1 до 32

существует 6 чисел, которые делятся на 5. Из них на 25 делится одно

число, так как 32/25 = 1,28. В результате число 5 входит в число 32! с пока­зателем, равным сумме 6+1 = 7.

Из полученных результатов следует, что 32!= 23157т, где число т не делится ни на 2, ни на 5. Поэтому число 32! содержит множитель

107 и, значит, оканчивается на 7 нулей.


Итак, в данном реферате определено понятие факториала.

Приведена формула английского математика Дж Стирлинга для приближённого вычисления функции n!

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по­лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!


На примерах подробно рассмотрены способы решения задач с факториалом.

Факториал используется в различных формулах в комбинаторике, в рядах и др.

Например, количество способов выстроить n школьников в одну шеренгу равняется n!.

Число n! равно, например, количеству способов, которыми можно n различных книг расставить на книжной полке, или, например, число 5! равно количеству способов, которыми пять человек можно рассадить на одной скамейке. Или, например, число 27! равно количеству способов, которыми наш класс из 27 учеников можно выстроить в ряд на уроке физкультуры.




Литература.





  1. Рязановский А.Р., Зайцев Е.А.

Математика. 5-11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики. –М.:Дрофа, 2001.- (Библиотека учителя).


  1. Энциклопедический словарь юного математика. /Сост. А.П.Савин.-М.:Педагогика, 1985


  1. Математика. Справочник школьника. /Сост. Г.М. Якушева.- М.: Филолог. об-во «Слово», 1996.






















4


Выбранный для просмотра документ Формулы комбинаторик1.doc

библиотека
материалов

Формулы комбинаторики

  1. 0! = 1

    1! =1

    2! = 2

    3! = 6

    4! = 24

    5! = 120

    Факториал


n! = 1 2 3 n


  1. Перестановки из n элементов

Pn = n!



3. Размещения из n элементов по m (nm)

hello_html_603761dd.gif

hello_html_m28e1221.gif= Pn = n!

hello_html_m6a43ca35.gif= hello_html_m4bbb1209.gif= n!

hello_html_m608f41d5.gif= n(n – 1)(n – 2)…(n – m + 1)


hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m53d4ecad.gif



  1. Сочетания из n элементов по m (nm)

hello_html_53a5abe2.jpg

hello_html_4f0ca139.gif

hello_html_m321aa4e7.png

hello_html_4545003d.jpg





5. Треугольник Паскаля

n









0

1








1

1

1







2

1

2

1






3

1

3

3

1





4

1

4

6

4

1




5

1

5

10

10

5

1



6

1

6

15

20

15

6

1


7

1

7

21

35

35

21

7

1











  1. Бином Ньютона

hello_html_m8c229.gif


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4

hello_html_m73dafc8.jpg





Выбранный для просмотра документ дом. задание урок 3.doc

библиотека
материалов

Проверка домашнего задания к уроку 3

  1. hello_html_5e49f9e6.gif= 5 6 = 30

  2. hello_html_m3d0c742a.gif= hello_html_m38e88c44.gif

  3. hello_html_m1bd3ade2.gif= hello_html_m1980ee1c.gif

  4. Решите уравнение: hello_html_29fb94d5.gif

hello_html_m7c108864.gif

(k - 3)(k – 2) = 12

k2 – 5 k – 6 = 0

k1 = 6 k2 = - 1

  1. В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?

25 24 23 = 13800

  1. «Любовь без взаимности» Трое юношей: Коля, Петя и Юра влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности.

    • Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину;

    • Петя любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю;

    • Зина не любит Юру. Кто в кого влюблён?


Коля

Петя

Юра

Таня

- -

- -

+ -

Зина

+ -

- +

- -

Галя

- +

+ -

- +








Выбранный для просмотра документ комбинаторика с.р..doc

библиотека
материалов

Вариант 1.

  1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?


2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?


3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?


4. Вычислить: 6! -5!


5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?


6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?


7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?



Вариант 2.


  1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?


2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?


3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.


4. Вычислите: hello_html_19474a66.gif


5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?


6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?


7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?





Вариант 3.


  1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?


2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?


3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?


4.Вычислите: hello_html_m7caff649.gif


5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?


6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.


7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.

Вариант 4


  1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?


2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?


3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.


4. Вычислите: hello_html_m31e29175.gif


5. Какова вероятность, что ребенок родится в июле 7 числа?


6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?


7. Из 30 учеников класса 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?


Вариант 5


  1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?


  1. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?


  1. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?


  1. Вычислите: 5! – 4! – 3!


5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?


6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.


7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?


Вариант 6


  1. Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?


  1. На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?


  1. В 12 этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 этаже лифт не останавливается?


4. Вычислите: 4! +5! - 6!


5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?

6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.


7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?

Вариант 7


  1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)


2. На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?


3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?


4. Вычислите: hello_html_41b8b854.gif

5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?


6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?


7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?


Вариант 8


  1. Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?


2. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?


3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?


4. Вычислите: hello_html_m7e8cc121.gif


5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?


  1. Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?


Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 1.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 1.


Тема: Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач.

Цель занятия: Познакомить учащихся со структурой курса. Требования к учащимся. Дать понятие комбинаторных задач. Научить строить «дерево вариантов»

Наглядность и раздаточный материал: Презентация №1. Портреты учёных-математиков. Танграм и фигурки из него. Тест №1. Карточки с задачами.


Оргмомент.

  1. Требования к учащимся: завести тетрадь, выполнять домашние задания, выполнение самостоятельных работ, в конце курса – написание и защита реферата (объём от 3 до 5 листов)

  2. Темы рефератов:

  • Танграм

  • Магические квадраты

  • Латинские квадраты

  • Факториал

  • Перестановки

  • Размещения

  • Сочетания

  • Бином Ньютона

  1. Что изучает комбинаторика?

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.

Например:

  1. 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?

  2. В столовой имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?

  3. В классе 25 учеников. На городскую ёлку нужно выбрать 2 человек. Сколькими способами это можно сделать?

  4. В басне И.А. Крылова «Квартет»:

Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?


В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina - сочетать, соединять. Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёному-генетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.


  1. Исторический обзор.

С комбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход Лейбницем. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646 - 1716 г.г.)

немецкий философ и математик.

hello_html_m778e6a2b.png

Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года — древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.

Лhello_html_4577f6c5.pngеонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.

Леонард Эйлер

(1707 - 1783 г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России. Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

В XX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.

В настоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной школы.


  1. Геометрические комбинации

Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.


hello_html_mfae9cbf.pnghello_html_50f8ad72.pnghello_html_7fc166a6.png

hello_html_m31d34640.png

























Упражнения.

На каждой парте разрезанный Танграм. Учащимся предлагается собрать по образцу несколько фигурок.

Даётся разъяснение о написании реферата по теме Танграм.

  1. Логический тест.

  2. Методы решения комбинаторных задач

Задача. Дано множество чисел {1,2,3,4}. Составьте: а) двузначные числа

б) четырёхзначные числа

Решение:

Метод перебора: двузначные числа – 12, 13, 14,

21, 23, 24,

31, 32, 34,

41, 42, 43. Всего 12 чисел.

«Дерево вариантов»:

hello_html_m1f4c6b62.pnghello_html_1bac81e0.gif1234

1243

1324 6 чисел

1342

1423

1432












Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

Упражнения.

  1. Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?



1

2

3

4

Коля

-

-

+

-

Боря

-

+

-

-

Вова

+

-


-

Юра

-

-

-

+

  1. Петя и Вася пишут контрольную по математике. Каждый может получить любую из оценок 2,3,4,5. Сколько существует вариантов получения ими оценок?

П2 В2 П2 В3 П2 В4 П2 В5

П3 В2 П3 В3 П3 В4 П3 В5

П4 В2 П4 В3 П4 В4 П4 В5

П5 В2 П5 В3 П5 В4 П5 В5, всего 16 вариантов.


Домашнее задание:

  • Составить числа из 5 двоек

  • Составить фигурки из Танграма

  • Решить задачи:

  1. Сколькими способами можно выложить в ряд 2 белых и 2 чёрных шарика?

  2. В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили взять два каких-либо фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?

  3. У Ани 4 платья и 3 пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?

  4. В Норильске, Москве, Ростове и Пятигорске живут 4 супружеские пары. Имена этих супругов: Антон, Борис, Давид, Григорий, Ольга, Мария, Светлана, Екатерина. Известно, что

- Антон живёт в Норильске;

- Борис и Ольга супруги;

- Григорий и Светлана не живут в одном городе4

- Мария живёт в Москве;

- Светлана – ростовчанка.

Кто на ком женат и кто где проживает?

6


Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 2.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 2.

Тема урока: Магический и латинский квадрат. Правило произведения

Цель урока: Познакомить учащихся с магическими и латинскими квадратами. Научить решать комбинаторные задачи с помощью правила произведения

Наглядность и раздаточный материал: Презентация №1, слайды с магическими и латинскими квадратами, карточки с задачами


  1. Повторение

  1. Что изучает Комбинаторика?

  2. Методы решения комбинаторных задач

  3. Решите задачу: Имеются ткани 3 цветов. Сколько можно сшить флажков с тремя различными горизонтальными полосами?

hello_html_m3ff09562.png

Решите задачу: Фамилии четырёх друзей: Иванов, Петров, Семёнов, Николаев, а их имена: Иван, Пётр, Семён, Николай. Известно, что только у Николаева имя совпадает с фамилией; Семёнова зовут не Петром. Определите имена и фамилии друзей.


Иван

Петр

Семён

Николай

Иванов

-

+

-

-

Петров

-

-

+

-

Семёнов

+

-

-

-

Николаев

-

-

-

+


  1. Правило произведения

Теорема: Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то число различных пар равно m n

Задача 1. Имеются 4 вида конвертов без марок и 5 видов марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?

Решение: 4 ∙ 5 = 20

Задача 2. В магазине имеются 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида галстуков. Сколькими способами можно купить пиджак, брюки и галстук?

Решение: 7∙ 5 ∙ 4 = 140


  1. Игра «Черный ящик» (по карточкам)

  2. Магические квадраты

Маги́ческий, или волшебный квадрат — это квадратная таблица hello_html_5fecbcc1.png, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой. Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2. Магические квадраты существуют для всех порядков hello_html_7960c6dd.png, за исключением n = 2.

hello_html_20e99ae1.png

Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой

hello_html_4004fbc5.png

Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:

Порядок n

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

M (n)

15

34

65

111

175

260

369

505

671

870

1105













4

9

2

3

5

7

8

1

6

Единственный нормальный магический квадрат 3×3 был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э..

Магический квадрат третьего порядка существует всего один, все остальные магические квадраты 3-го порядка получаются из него же поворотом.



2

7

6

9

5

1

4

3

8

4

9

2

3

5

7

8

1

6



Самый ранний уникальный магический квадрат 4 × 4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Всего их существует 880.

7

12

1

14

2

13

8

11

16

3

10

5

9

6

15

4

Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия :

67

1

43

13

37

61

31

73

7


3

61

19

37

43

31

5

41

7

11

73

29

67

17

23

13



Построение магических квадратов

Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата.

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

4

 

10

 

 

 

 

 

 

6

 

2

 

 

 

 

 

3

 

9

 

15

 

 

 

 

11

 

7

 

3

 

 

 

2

 

8

 

14

 

20

 

 

16

 

12

 

8

 

4

 

1

 

7

 

13

 

19

 

25

21

 

17

 

13

 

9

 

5

 

6

 

12

 

18

 

24

 

 

22

 

18

 

14

 

10

 

 

 

11

 

17

 

23

 

 

 

 

23

 

19

 

15

 

 

 

 

 

16

 

22

 

 

 

 

 

 

24

 

20

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

25

 

 

 

 

      Рис. 1                                             Рис. 2

3

16

9

22

15

 

11

24

7

20

3

20

8

21

14

2

4

12

25

8

16

7

25

13

1

19

17

5

13

21

9

24

12

5

18

6

10

18

1

14

22

11

4

17

10

23

23

6

19

2

15

                         Рис. 3                    Рис. 4

6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46

Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n2), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас.  

 

                                       

Рис. 5

  1. Латинские квадраты

Латинским квадратом n × n называется квадрат, в каждой строке и в каждом столбце которого находятся числа от 1 до n. Задачей отыскания латинских квадратов занимался Леонард Эйлер

1

2

3

3

1

2

2

3

1

1

2

3

4

2

1

4

3

3

4

1

2

4

3

2

1

.





В качестве примера, приводящего к латинским квадратам, рассмотрим упрощенную задачу о составлении расписания. Пусть пять преподавателей Pi ( i = 1, 2, ..., 5) школы в течение пяти последовательных уроков должны провести занятия в пяти классах Kj ( j = 1, 2, ..., 5). При этом каждый из преподавателей обязан дать один урок в каждом классе. В этой ситуации оказывается, существует 1344 возможных различных расписаний. Ниже приведено одно из них:



К1

К2

К3

К4

К5

Р1

1

2

3

4

5

Р2

2

1

4

5

3

Р3

3

4

5

2

1

Р4

4

5

1

3

2

Р5

5

3

2

1

4


Домашнее задание:

  1. составьте магический квадрат 3 × 3

  2. составьте латинский квадрат 3 × 3

  3. составьте латинский квадрат 4 × 4

  4. составьте магический квадрат 7 × 7

  5. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

  6. Король решил выдать замуж трёх дочерей. На смотр явились 100 женихов. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе жениха?

Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 3.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 3.

Тема урока: Факториал числа

Цель урока: Познакомить учащихся с понятием факториала числа. Научить решать примеры на преобразование выражений, содержащих факториал

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 2. Карточки с заданиями


  1. Разбор домашних задач

  2. Факториал числа

Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель». Обозначается она n!. Знак факториала «!» был введён в 1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.

Д

n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ n

ля каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.





Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что 0! должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».

Функция n! растёт с увеличением n очень быстро.

1!=1,

2!=2,

3!=6,

4!=24,

5!=120,

..

10!=3 628 800.

При преобразовании выражений, содержащих факториал, по­лезно использовать равенство

(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!





  1. Преобразование выражений, содержащих факториал

Вычислить:

    1. hello_html_m61d58d85.gif3) hello_html_m723c9204.gif

    2. hello_html_m4c777d5d.gif4) hello_html_2293fe18.gif

Упростить выражение:

1) hello_html_m3b7c75a1.gif 3) hello_html_m4d062a50.gif

2) hello_html_24aba7e6.gif 4) hello_html_636e5003.gif

Решить уравнение:

1) hello_html_42d67446.gif 2) hello_html_m79607e1d.gif


  1. Тест № 2

  2. Итоги урока. Пояснения к написанию реферата по теме «Факториал»


Домашнее задание к уроку № 3:

  1. Вычислите: 1) hello_html_5e49f9e6.gif 2) hello_html_m3d0c742a.gif 3) hello_html_m1bd3ade2.gif

  1. Решите уравнение: hello_html_29fb94d5.gif

  2. В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать старосту, культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?

  3. «Любовь без взаимности» Трое юношей: Коля, Петя и Юра влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности. - Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину; - Петя любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю; – Зина не любит Юру. Кто в кого влюблён?
















Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 4.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 4.

Тема урока: Перестановки

Цель урока: Познакомить учащихся с понятием перестановок. Научить решать задачи на перестановки.

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 2. Карточки с заданиями для самостоятельной работы

Ход урока:

  1. Повторение (по слайдам)

  2. Самостоятельная работа

  1. Как переводится с латинского термин «комбинаторика»?

  2. Кто из учёных занимался вопросами комбинаторики?

  3. Кем впервые был введён знак (!) и в каком году ?

  4. Чему равен 0! ?

  5. 6!

  6. 4! 3!

  7. Составьте магический квадрат 3×3

  8. Составьте латинский квадрат 4×4

  9. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

  10. В столовой имеются 2 первых блюда, 3 вторых и 4 напитка. Сколько вариантов выбора обеда?

  1. Перестановки из п элементов

В басне И.А. Крылова «Квартет» Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?

hello_html_2364dbc7.gif







hello_html_m1f4c6b62.png



Вспомним «дерево вариантов». Обозначим животных цифрами .

Пусть

1 – козёл,

2 – осёл,

3 – мартышка,

4 – мишка.

Получим, что возможных вариантов их расстановки 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24

В задаче были подсчитаны всевозможные комбинации из четырёх элементов,

отличающиеся друг от друга только порядком расположение в них элементов. Такие комбинации называются перестановками из нескольких элементов.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются перестановками из n элементов.

Лейбницем в 1666 г. в работе «Рассуждение о комбинаторном искусстве» впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок.

Число всевозможных перестановок из n элементов обозначают Рn (Р- первая буква французского слова permutation – перестановка).

С помощью правила произведения можно обосновать, что

Рn= n(n-1)321.

После применение переместительного закона умножения перепишем формулу в виде:

Pn=123 (n-1)n.

Для сокращённой записи произведения первых n натуральных чисел используется факториал n!

Рn= n!


  1. Решение задач.

    1. 5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть? (120)

    2. Сколько фигурок можно составить из Танграма? (5040)

    3. Свидетель ДТП заметил номер машины, совершившей наезд. Он запомнил, что в номере буквы АВ и цифры 2, 3, 4, но не помнит их порядок. Сколько вариантов номеров нужно проверить милиции, чтобы найти нарушителя? (6)

    4. Сколько различных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0,1,2,3,4? (96)

    5. Придумать задачу на применение формулы перестановок


Домашнее задание к уроку № 4

  1. Турист решил объехать 10 городов Золотого кольца. Сколько у него существует вариантов выбора маршрута?

  2. На балу собрались 10 дам и 10 кавалеров. Сколькими способами они могут разбиться на пары ?

  3. Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.

Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?

Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 5.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 5.


Тема: Размещения

Цель занятия: Познакомить учащихся с понятием «размещения». Вывести формулу для подсчёта числа размещений. Научить решать задачи на размещения.

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 3

  1. Повторение (по слайдам)

    1. Факториал

    2. Перестановки

    3. Проверка домашнего задания

  2. Размещения

Задача. Имеется множество чисел N = {1,2,3,4,5}.

а) Сколько существует пятизначных чисел, все цифры которых различны?

Решение: Данные комбинации чисел будут перестановками, Р5 = 5! = 120

б) Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Решение: Это уже не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, т.е. число трёхзначных чисел будет 5 4 3 = 60

в) Сколько существует четырёхзначных чисел, все цифры которых различны?

Решение: Это также не перестановки. Первую цифру можно выбрать 5 способами, вторую – четырьмя, третью цифру – тремя способами, четвёртую – двумя способами, т.е. число четырёхзначных чисел будет

5 4 3 2 = 120

Имеется n различных предметов. Сколько из них можно составить k-расстановок?
При этом две расстановки считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Такие комбинации, отличающиеся друг от друга порядком элементов и составом, называются размещениями.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Размещением из n элементов по k (k n) называется любое подмножество данного множества, состоящее из любых k элементов, взятых в определённым порядке из данных n элементов.

Число размещений из n элементов по k обозначают hello_html_m1dee035d.gif (читают А из n по k).

Размещения – это упорядоченные подмножества данного множества.

По правилу произведения число упорядоченных k-элементных подмножеств множества N, состоящего из n элементов, находится как произведение чисел: n (n – 1) (n – 2) (n – 3)….( n – k + 1). Или число размещений из n элементов по k вычисляется по формуле:

hello_html_7b535003.gif

Можно сказать что размещения из п элементов по п – это перестановки из п-элементов. Сравним число таких комбинаций, вычисленное по формуле размещений и по формуле перестановок:

hello_html_m4830dea3.gif, т.е. Pn = n!

Изучением «размещений» впервые занимался Якоб Бернулли во второй части своей знаменитой книги «Искусство предугадывания», опубликованной в 1713 г. Он же ввел соответствующий термин.

hello_html_458fc7c1.pngЯков (Якоб) Бернулли

Математик, физик, астроном и механик Яков Бернулли (1654 — 1705) родился в Базеле (Швейцария).

Отец хотел, чтобы сын был священником, и поэтому Я. Бернулли, поступив в Базельский университет, в основном изучал теологию и языки. Он владел немецким, французским, английским, итальянским, латинским и греческим языками. Но больше всего его привлекала математика, которую он изучал тайком от отца. Наиболее значительные достижения Якова I в развитии анализа бесконечно малых, теории рядов, вариационного исчисления и теории вероятностей. В 1687г., ознакомившись с первыми работами Г.Лейбница по дифференциальному исчислению (1684г.), Бернулли применил новые идеи к изучению свойств ряда кривых: логарифмические спирали, открытой им лемнискаты, цепной линии и др. Определил площадь сферического треугольника, вычислил площади конусоидальных и сфероидальных поверхностей, произвел многочисленные квадратуры и спрямления. Книга Бернулли "Арифметические приложения о бесконечных рядах и их конечных суммах" (1689-1704гг.) явилась первым руководством по теории рядов. Бернулли – это целая семья математиков. Совместно с братом Иоганном I, Яков положил начало вариационному исчислению. Выдвинул и частично решил изопериметрическую задачу и задачу о брахистохроне, или кривой быстрейшего спуска, поставленную братом Иоганном. В труде "Искусство предложения" Яков I в 1713г. решил некоторые задачи комбинаторики; открыл числа, позднее названные числа Бернулли; доказал так называемую теорему Бернулли - частный случай закона больших чисел, имеющего большое значение в теории вероятностей и ее приложениях к статистике; построил математическую модель для описания серии независимых испытаний (схема Бернулли). Благодаря его работам теория вероятностей приобрела важнейшее значение в практической деятельности.


  1. Решение задач

Задача № 1. Сколько двузначных чисел можно составить из чисел 1,2,3,4?

Это размещения из 4 элементов по 2. hello_html_57510b8e.gif

Задача № 2. Сколько всего 7-значных телефонных номеров, в каждом из которых цифры не повторяются?

Эhello_html_m383aaffc.gifто размещения из 10 элементов по 7.

Задача № 3. Сколькими способами могут занять 1, 2, 3 места 8 команд - участниц городского турнира по волейболу?

hello_html_m5ed76274.gif

Задача 4. Сколько двузначных чисел, цифры которых разные, можно составить из чисел 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?

Это размещения из 10 по 2, но нужно исключить те числа, первая цифра которых 0, таких чисел 9.

hello_html_m6fe0969e.gif

  1. Тест 3

  2. Домашнее задание к уроку 5.

    1. В классе 25 человек. Сколькими способами можно выбрать старосту и физорга?

    2. Сколько можно сшить различных трёхцветных флажков, если имеются ткани пяти цветов?

    3. Сколько существует различных семизначных телефонных номеров? (цифры могут повторяться)

Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 6.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 6.


Тема: Сочетания

Цель урока: Сформировать понятие сочетаний без повторений, вывести формулу для вычисления числа сочетаний. Научить находить число сочетаний. Развитие вычислительных навыков

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 4, карточки с задачами


  1. Повторение (по слайдам)

  1. Определение перестановок

  2. Определение размещений

  3. Примеры задач на перестановки и размещения

  4. Проверка домашнего задания

  1. Сочетания

Задача: Имеются 5 различных соков. Сколько различных коктейлей можно получить из этих соков, если смешивать в каждом по три вида соков?

Зhello_html_6578c60e.pngависит ли вкус коктейля от того, в каком порядке находятся в нём соки? Конечно, нет. Т.е. это не размещения.

Подсчитаем вначале, сколько будет размещений из 5 по 3:

hello_html_1ab7bf11.gif60

Но размещения АБВ и БВА в коктейле дают один и тот же результат, всего таких перестановок Р3 = 3! = 6.

Значит, число коктейлей в 6 раз меньше возможного числа размещений, 60: 6 = 10, или hello_html_m6ab7678b.gif


ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Число всех комбинаций из n элементов по k, отличающиеся друг от друга только составом элементов, называются сочетаниями из n элементом по k.

Обозначаются hello_html_5ec6d50.gif, (от фран. Combinaison – сочетание ).

Формула для числа сочетаний получается из формулы числа размещений. В самом деле, составим сначала все k-сочетания из n элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. Но из каждого k- сочетания можно сделать Рk перестановок.


Значит, справедлива формула:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m12ea5467.gif или

hello_html_m20d90be4.gifоткуда: hello_html_m5f971051.gif


Число сочетаний из n элементов по k вычисляется по формуле:

hello_html_3b8571bc.gif


Задача . Имеются киви, лимон, помидор, виноград. Вычислим, сколькими способами можно их взять, если можно брать по 2 штуки. А если брать по 3 штуки?

hello_html_m1b29942a.jpg

Проверим наше решение по формуле числа сочетаний


hello_html_1a633aae.jpg


Число сочетаний имеет некоторые свойства


hello_html_m19c18e2f.jpg


  1. Закрепление

Задача 1. Из 15 членов туристической группы надо выбрать 3 дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Решение: Речь идёт о сочетаниях из 15 элементов по 3.

hello_html_32bb31e5.gif

Задача № 2. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в олимпиаде?

hello_html_73373d6.gif

Задача 3. В классе 30 учеников. Нужно разделить их на «миги» по 5 человек. Сколькими способами это можно сделать? (142506)


  1. Домашнее задание к уроку 6

  1. В магазине продается белая, черная и синяя ткань. Нужно купить ткань двух различных цветов. Из какого числа вариантов приходится выбирать?

  2. Иван-царевич едет в гости в соседнее королевство и везет в подарок трем дочерям короля перстень, браслет и ожерелье. Что кому дарить, он пока не решил. Сколько у него вариантов распределить подарки?

  3. Поэт-модернист написал стихотворение, в котором первая строка «Хочу пойти гулять куда-нибудь», а все остальные строки разные и получены из первой перестановкой слов. Какое наибольшее количество строк может быть в этом стихотворении?

  4. В некотором государстве кабинет министров состоит из 10 человек. Сколькими способами они могут выбрать из состава кабинета премьер-министра, первого и второго вице-премьеров?

Дополнительные задачи:

1. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 7 человек, можно создать их 14 преподавателей? (ответ: 3432)

2. При встрече 12 человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий? (ответ: 66)

3. На плоскости даны 5 точек, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести через эти точки? (ответ: 10)

4. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике? (ответ: 35)


Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 7.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 7.


Тема: Перестановки. Размещения. Сочетания

Цель урока: Обобщение и закрепление знаний учащихся по всем типам комбинаторных задач. Развитие навыков решения комбинаторных задач

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 4. Карточки для самостоятельной работы

Ход урока:

  1. Повторение (по слайдам)

    1. Определение и формулы для нахождения перестановок, размещений, сочетаний

    2. Способы решения комбинаторных задач (правило произведения, способ перебора)

    3. Проверка домашних задач

    4. Определить тип комбинаторной задачи

      • Вhello_html_7d33883a.gif магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем? (53=15)

      • Уhello_html_m2cd44155.gif Димы есть пять шариков: красный, зеленый, желтый, синий и золотой. Сколькими способами он сможет украсить ими пять елок, если на каждую требуется надеть ровно один шарик? Р5 = 5! = 120

      • Вhello_html_m4e0c08d9.gifите хочется купить пять разных книг. Книги стоят одинаково, а денег хватает только на три книги. Сколькими способами Витя может выбрать три книги из пяти? hello_html_5f81ff10.gif

      • Сhello_html_m4e0c08d9.gifhello_html_m2f0c9a77.gifколькими способами можно составить трехцветный флаг из трех горизонтальных полос, если имеется материя 5 различных цветов? hello_html_d0cd504.gif

hello_html_22d258f9.gif

2. Самостоятельная письменная работа


I вариант

    1. Сколько двузначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если каждую цифру можно брать только один раз?

    2. В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его помощника. Сколькими способами это можно сделать?

    3. Сколькими способами можно выложить на полке в ряд 5 книг?

    4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 8 каких-нибудь музыкальных инструментов из имеющихся там 13. Сколько способов выбора есть у Мишки?

    5. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии Ваньков, Петров, Санеев и Колов. Известно, что:

      • Ваня и Санеев – отличники;

      • Петя и Ваньков – троечники;

      • Ваньков ростом выше Петрова;

      • Коля ростом ниже Петрова;

      • Саша и Петя одинакового роста;

Определите фамилию каждого мальчика.


I I вариант

  1. Сколько трёхзначных чисел можно составить с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, если каждую цифру можно брать только один раз?

  2. Сколькими способами можно купить две порции мороженого, если в продаже есть вафельные стаканчики, конусы, шоколадные брикеты и эскимо?

  3. В гимназии в 9 классе в понедельник 6 уроков: математика, русский, литература, история, английский и физкультура. Сколько вариантов расписания в этом классе можно составить на понедельник?

  4. Из десяти отличников 5 класса трёх школьников нужно послать на олимпиаду по математике. Сколькими способами это можно сделать?

  5. На заводе работали три друга: слесарь, токарь и сварщик. Их фамилии Борисов, Иванов и Семёнов. Известно, что:

    • у слесаря нет ни братьев, ни сестёр и он самый младший из друзей;

    • Семёнов, женатый на сестре Борисова, старше токаря

Определите фамилии друзей

Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 8.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 8.


Тема: Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

Цель урока: Кратко познакомить учащихся с биографиями Б.Паскаля и И. Ньютона, их вкладом в развитие комбинаторики. Научить составлять треугольник Паскаля. С помощью известных формул квадрата и куба двучлена обобщить эту формулу для степени n. Познакомить учащихся с обобщённой формулой бинома Ньютона. Научить применять её на практике.

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 5. Карточки с заданиями для домашней работы

  1. Треугольник Паскаля


hello_html_m375f8773.pngПАСКАЛЬ, БЛЕЗ (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия.

Его дарования проявились очень рано: в 12 лет он самостоятельно, пользуясь собственным словарем и схемами, которые рисовал в комнате для игр, пришел к некоторым геометрическим выводам и доказал 32-й теорему Евклида о сумме углов треугольника. В 16 лет он написал замечательный Опыт о конических сечениях, содержащий теорему (называемую теперь теоремой Паскаля), согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в эллипс, гиперболу или параболу, точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой. Чтобы облегчить отцу трудоемкие финансовые расчеты (его отец работал в Палате по сбору налогов), Блез придумал машину, способную складывать и вычитать, прообраз механического калькулятора. Сконструировав за несколько лет около 50 образцов арифметической машины, Блез в 1649 г. получил королевскую привилегию на свое изобретение – «Паскалево колесо». Машина в своем окончательном виде помещалась в небольшом продолговатом ящике и была проста в работе.

Паскаль написал несколько работ по теории вероятностей, что впоследствии оказало принципиальное влияние на развитие современной экономики и социологии. В историю физики Паскаль вошел, установив основной закон гидростатики и подтвердив предположение Торричелли о существовании атмосферного давления. В честь Паскаля названа единица измерения давления системы СИ. Кроме того, его имя носит один из языков программирования Pascal, а также способ расположения биномиальных коэффициентов в таблицу — треугольник Паскаля, которому он посвятил своё сочинение «Трактат об арифметическом треугольнике».


Треугольник Паскаля – это числовая таблица треугольной формы. Она была известна ещё учёным Древней Индии, но её заново открывали и изучали многие математики.









1















1

1














1

2

1













1

3

3

1












1

4

6

4

1










1

5

10

10

5

1








1

6

15

20

15

6

1



1

7

21

35

35

21

7

1












Вопрос к учащимся: «Заметили ли вы какую-нибудь закономерность? А правило составления этого треугольника? Откуда берутся эти числа и где они встречаются?»

Иногда треугольник Паскаля записывают иначе:


n









0

1








1

1

1







2

1

2

1






3

1

3

3

1





4

1

4

6

4

1




5

1

5

10

10

5

1



6

1

6

15

20

15

6

1


7

1

7

21

35

35

21

7

1


Продолжите ещё два ряда в треугольнике Паскаля.

Оказывается это коэффициенты разложения двучлена (a + b)n

Вычислим: hello_html_m7e9f9c43.gif. Сравним с числами из таблицы.

Не вычисляя, назовите чему равно hello_html_b3de0cf.gif

  1. Бином Ньютона

hello_html_409f91b9.pngИсаак НЬЮТОН (1643-1727 г.г.), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики, один из основоположников современной физики, сформулировал основные законы механики и был фактическим создателем единой физической программы описания всех физических явлений на базе механики; открыл закон всемирного тяготения, объяснил движение планет вокруг Солнца и Луны вокруг Земли, а также приливы в океанах, заложил основы механики сплошных сред, акустики и физической оптики. Построил зеркальный телескоп.

Исаак Ньютон появился на свет в небольшой деревушке в семье мелкого фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был недоношенным; бытует легенда, что он был так мал, что его поместили в овчинную рукавицу, лежавшую на лавке, из которой он однажды выпал и сильно ударился головой об пол.

Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к мечтательности. Его привлекала поэзия и живопись, он, вдали от сверстников, мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы, педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни. Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его до потери сознания. Переносить такое унизительное положение было для самолюбивого Ньютона невыносимо, и оставалось одно: выделиться успехами в учебе. Упорной работой он добился того, что занял первое место в классе.

После серьезной подготовки Ньютон в 1660 г. поступил в Кембридж. Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы. Он серьёзно занялся наукой. Многие из проведенных им экспериментов (а их насчитывается более тысячи) стали классическими и повторяются и сегодня в школах и институтах. Его труды намного опередили общий научный уровень того времени и были малопонятны его современникам.

В области математики он является автором бинома Ньютона и создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода флюксий — того, что ныне называется дифференциальным и интегральным исчислением.

Бином – двучлен. Бином Ньютона – формула, выражающая степень двучлена в виде суммы одночленов. Блез Паскаль доказал, что


коэффициенты разложения (a + b)n равны hello_html_m19edf228.gif - числу сочетаний из n по k.


hello_html_m8c229.gif(*)

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1,2,1)


(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (1,3,3,1)


(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4 (1,4,6,4,1)







И. Ньютон доказал, что формула (*) разложения бинома в сумму выполняется не только для целых степеней, но и для отрицательных, и для дробных степеней. Поэтому таблица биномиальных коэффициентов – треугольник Паскаля, а формула разложения (*) – это бином Ньютона.

Свойства бинома Ньютона:

  1. Число слагаемых на 1 больше степени

  2. Коэффициенты находятся по треугольнику Паскаля

  3. Коэффициенты симметричны

  4. Если в скобке знак минус, то знаки + и – чередуются

  5. Сумма степеней каждого слагаемого равна степени бинома

  1. Упражнения

Раскройте скобки:

    1. (х + у)5

    2. (c + d)6

    3. (m – n)7

Домашнее задание к уроку 8

Раскройте скобки:

  1. (a – b)8

  2. (c + 1)4

  3. (x + 2)5



hello_html_5e9ba4b0.png

Выбранный для просмотра документ комбинаторика урок 9.doc

библиотека
материалов

Курс по выбору «Комбинаторика»


Урок № 9.


Тема: Начальные сведения по теории вероятностей

Цель урока: познакомить учащихся с понятием достоверного, невозможного, случайного события. Ввести классическое определение вероятности

Наглядность и раздаточный материал: Презентация № 6


Ход урока:

  1. Повторение. Бином Ньютона (по слайдам)


hello_html_m8c229.gif

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (1,2,1)


(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 (1,3,3,1)


(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4a b3 + b4 (1,4,6,4,1)

Проверка домашнего задания

hello_html_5b0a460c.gif

(1 + с)4 = 1 + 4с + 6с2 + 4с3 + с4

hello_html_124ec23.gif

(2 – х)5 = 25 - 5 24х + 10 23х2 – 10 22х3 + 5 4 – х5 =


hello_html_m28f32077.gif= 32 – 80х + 80х2 – 40х3 + 10х4 – х5

hello_html_m5653b0d7.gif

(3у + 2)3 = (3у)3 + 3 (3у)2 2 + 3 (3у) 22 + 23 =


hello_html_5b0a460c.gif= 27у3 + 54у2 + 36у + 8


Решите самостоятельно:

1 вариант

2 вариант

(х – у) 6

(а – с) 7

(а + 1) 5

(х + 1) 4

(2 – 3n) 4

(2m3) 5





  1. Начальные сведения по теории вероятностей

События в материальном мире можно разбить на три категории – достоверные, невозможные и случайные.

Вhello_html_7f450c55.pngо многих играх используется игральный кубик. У кубика 6 граней, на каждой грани отмечено различное количество точек – от 1 до 6. Бросание кубика можно считать опытом, экспериментом, испытанием, а полученный результат – исходом испытания или элементарным событием. Людям интересно угадывать наступление того или иного события, предсказывать его исход. Какие предсказания они могут сделать, когда бросают игральный кубик? Например, такие:

  1. событие А – выпадает цифра 1, 2, 3, 4, 5 или 6;

  2. событие В – выпадает цифра 7, 8 или 9;

  3. событие С – выпадает цифра 1.

Событие исход наблюдении или эксперимента.

Событие А обязательно наступит. Событие, которое в данном опыте обязательно наступит, называют достоверным событием.

Например, если стакан с водой перевернуть вверх дном, то вода выльется.

Событие В никогда не наступит, это просто невозможно. Событие, которое в данном опыте наступить не может, называют невозможным событием.

А как вы думаете, событие С наступит или не наступит? На этот вопрос мы с полной уверенностью ответить не в состоянии, поскольку цифра 1 может выпасть, а может и не выпасть. Событие, которое в данном опыте может, как наступать, так и не наступить, называют случайным событием.


Упражнение.

Определите достоверные, невозможные и случайные события

  1. два попадания в цель при трёх выстрелах;

  2. выплата рубля семью монетами;

  3. наугад выбранное трёхзначное число не больше 1000;

  4. появление 17 очков при бросании трёх игральных кубиков;

  5. команда школы по волейболу будет чемпионом города


Определение:

Раздел математики, в котором изучаются случайные события и закономерности, которым они подчиняются, называется теорией вероятности.


Проделаем простейший опыт – подбросим монету и посмотри, что выпадет: герб или цифра (говорят – орёл или решка). Ваши предположения?

Оказывается, этот опыт проделывали многие учёные. Французский естествоиспытатель Ж. Бюффон в XVIII веке провел опыт с монетой 4040 раз, герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в XIХ веке провёл 24000 испытаний, герб выпал 12012 раз. Какой напрашивается вывод? Число выпадения герба и цифры примерно одинаково.

Впервые основы теории вероятностей были изложены последовательно французским учёным П. Лапласом.

ЛАПЛАС Пьер Симон (1749-1827), французский астроном, математик, физик, иностранный почетный член Петербургской АН. Автор классических трудов по теории вероятностей и небесной механике (динамика Солнечной системы в целом и ее устойчивость и др.)

Также теорией вероятности занимались: Б. Паскаль, французский математик А. Муавр, русские математики В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев, А.А. Марков и др.

Большое число вероятностных задач возникает при проведении экспериментов, при планировании, в статистике.

Классическое определение вероятности случайного события (дано П. Лапласом):

Вhello_html_3097b78d.gifероятностью случайного события А называется отношение числа возможных благоприятных событий к числу всех возможных событий



где n – общее число равновероятных событий, m – число благоприятных событий .

Свойства вероятностей:

  • Вероятность достоверного события равна единице.

  • Вероятность невозможного события равна нулю.

  • Вероятность случайного события принимает значения от 0 до 1.


  1. Решение задач.

    1. Оhello_html_m3d4efe4.gifпределить вероятность выпадения герба при бросании монеты.

Р(А) =


2hello_html_1bb138f5.gif) Какова вероятность того, что при бросании двух игральных костей выпадут две «шестёрки»?

Р(А)= (Число возможных вариантов выпадения очков первого кубика 6, второго – тоже 6, всего возможных исходов 6 6 = 36) hello_html_m53d4ecad.gif


3) В ящике лежат 10 шариков: 3 белых, 2 красных, 5 синих.

hello_html_m73a09874.gifКакова вероятность того, что вытащенный наугад шар красного цвета?

Р(А) =


4hello_html_68a3431e.png) В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого-либо выигрыша на один билет?



5hello_html_m285eabab.gif) Вероятность чего больше: вероятность выигрыша в «Спортлото» 5 из 36 или 6 из 49?

Пусть событие А - выигрыш в лотерею 5 из 36.

Пусть событие В - выигрыш в лотерею 6 из 49.

hello_html_5526a960.gifhello_html_mf23e6e1.gif

Р(А) = Р(В) =


Т.е. Р(А) Р(В)

Во многих задачах на определение вероятности большее затруднение вызывает подсчёт числа вариантов возможных благоприятных исходов. Здесь на помощь приходят знания комбинаторики.

Задача. В ящике лежат одинаковые на ощупь 20 шаров. Из них 12 белых и 8 чёрных. Наугад вынимают два шара.

Какова вероятность того, что они оба белые (событие А)?

Какова вероятность того, что они оба чёрные (событие В)?

Какова вероятность того, что они разного цвета (событие С)?

Решение. Число всех возможных событий равно числу сочетаний из 20 по 2. Число благоприятных исходов равно числу сочетаний из 12 по 2.

hello_html_4226869b.gif



Подсчитайте самостоятельно, чему равно Р(В) и Р(С)





Задачи по теории вероятностей


1. Найти вероятность того, что при одном бросании игрального кубика выпадает: а) 4; б) 5; в) чётное число очков; г) число очков больше 4; д) число очков, не кратное 3.

2. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

а) оканчивается нулём;[0,1]

б) состоит из одинаковых цифр;[0,1]

в) больше 27 и меньше 46;[0,2]

3. Двузначное число составляют из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что составленное число:

а) чётное[0,6]; б) нечётное[0,4]; в) делится на 5[0,2]; г) делится на 4?[0,3]

4. Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты – тузы черной масти;[1/6]

б) вторая карта – пиковый туз;[1/4]

5. Номер телефона состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера разные?[0,3024]

6. В ящике находятся 90 стандартных и 10 нестандартных деталей. Какова вероятность того, сто среди 10 наугад вынутых деталей все стандартные?



hello_html_267938d2.png

Выбранный для просмотра документ метод террас к уроку 2 для показа.doc

библиотека
материалов






 










 

 

 








 

 

 

 

 






 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 

 

 




 

 

 

 

 

 

 






 

 

 

 

 








 

 

 










 


















Рис. 1








1










2


6








3


7


11






4


8


12


16




5


9


13


17


21




10


14


18


22






15


19


23








20


24










25



















Рис. 2








1










2hello_html_650d825e.gif


6








3


7


11






4


8


12


16




5


9


13


17


21




10


14

hello_html_m535f21a4.gif

18


22






15


19


23








20


24










2hello_html_96f527d.gif5


















Рис. 3






























3

20

7

24

11







16

8

25

12

4







9

21

13

5

17







22

14

1

18

10







15

2

19

6

23






































Рис. 4




6

32

18

44

30

40

16

42

28

4

14

50

26

2

38

48

24

10

36

12

22

8

34

20

46


















Рис. 5


Краткое описание документа:

"Уроки комбинаторики" - это методическая разработка для проведения уроков по теме "Комбинаторика" в 7-9 классах. Можно эту разработку использовать для проведения курса по выбору или факультатива по математике. 

В данной разработке содержится программа курса, подробное планирование всех уроков по теме, ко всем урокам прилагаются презентации. На каждом занятии рассматриваются вопросы из истории математики, задачи на логическое мышление.  Много наглядности. 

К каждому уроку разработана система задач для классной и домашней работы. Подобраны материалы для контрольных работ. 

Автор
Дата добавления 25.11.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров4743
Номер материала 155090
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх