Примеры нахождения производной
Найти производные функции
а) y= 4+ cos
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
Производная сложной функции. Примеры нахождение производных сложной функции.
у = cos 4
= (cos 4)'-(4)' = 4 sin 4x
-
-
-
-
(Эта функция, которую нужно рассмотреть как показательную, так и степенную)
Прологарифмируем исходное равенство и используем свойства логарифма.
Прологарифмируем последнее равенство
Примечание: конечно, можно рассмотреть производную произведения, но это будет намного громоздко.
Задача на физический смысл производной.
Задача №1
Пусть при движении тела его координата меняется по закону x() = 5 + sin 3 - 2 cos где - время.
Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела.
Решение:
При движении тела по закону имеем ,где функция, выражающая зависимость скорости тела от времени.
= (5 + sin3 -2cos )' = 5 + 3cos3 -2(-sin )= 5 + 3cos3 + sin
Начальная скорость тела = = 5 + 3cos0 + sinO = 8
Пусть (t) - функция зависимости ускорения тела от времени.
Известно, что =. Тогда = (5+3cos3 + sin)'= - 9sin+cos
Начальное ускорение тела
Ответ:
Задача №2
Точка движение по координатной прямой по закону (t) = 0,75t2 +t - 7, где (t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 19?
Решение:
Ответ: 12.
§5 Геометрический смысл производной, касательная
Задача№3
Найти уравнение касательной к графику функции
в точке с абсциссой 2
Решение: уравнение касательной к графику функцииy в точке имеет вид
1. найдем производную функции
2. найдем значение функции и значение производной в точке х = 2
3. =23 - 222+1=8-8+1=1
=3 22 - 42=12-8=4
Подставим эти значения в уравнение касательной, получим:
у = 4* - 7 - уравнение искомой касательной
Задача №4.
В каких точках касательная к графику функции образует с осью абсцисс угол 45º
Решение:
Используя геометрический смысл производной, имеем:
Т.к. tg 45º=1, то
Решая квадратное уравнение, находим его корни:
,
Найдем значения функции при х = 2, и х = 3
Ответ:
Задача №5
Составьте уравнения касательной к графику у = 4 –2 в точках пересечения ее графика с осью О и найдите угол между касательными.
Решение:
1. Касательная к графику функции в точке имеет уравнение). Задача сводится к нахождению точки и производной .
2. Найдем точки пересечения данной кривой с осью . На оси у = 0, поэтому решаем уравнение или .
= 0 и = 4 - корни этого уравнения. Получили две точки (0;0) и (4;0)
3. Находим производную
4. В точки (0;0) (0) = 4 и уравнение касательной имеет вид у = 4х.
5. В точки (4;0) (4) = 4 - 2 • 4 = -4 и уравнение касательной получаем в виде
или
6.Если - угол между касательными, то , где - угловые коэффициенты касательных, ,
Задача №6 (В-8,2010 год)
В точке А графика функции проведена касательная к нему, параллельная прямой . Найдите сумму координат точки А.
Решение: Пусть - координаты точки А. Прямая (касательная) проходящая через точку А параллельна прямой , а это значит, что угловые коэффициенты этих прямых одинаковые, угловой коэффициент прямой , равен - 2, то и у прямой, проходящей через точку А он гак же равен - 2. А угловой коэффициент прямой, не что иное как производная функции в точке т.е.:
Найдем значение функции при = 3;
А (3; 14).
В ответе нужно указать сумму координат точки А, т.е. 3 + 14 = 17
Ответ: 17.
Задача № 7
На рисунке изображен график и касательная к нему в точке с абсциссой х0.
Найдите значение производной в точке х0.
Значение производной функции в некоторой точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в его точке с абсциссой . Угловой коэффициент касательной равен тангенсу наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, т.е. tg ΔABO
Рассмотрим треугольник АВО
f(x0) = tgB = = 2
Ответ: f(x0)= 2
Замечание: Если угол острый - производная положительная, если угол тупой, то производная отрицательная.
Задача № 8
(II способ нахождения производного в точке х0.)
На рисунке изображен график и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции в точке х0.
На касательной найдем 2 «хорошие точки» с целыми координатами А(-6;4), В(6;7).
или
Итак,
Ответ:
Задача№ 9.
Через точку (1; -3) проходят две касательные к графику f{x) = x2 -х + 5. Найдите сумму ординат точек касания (или ее целую часть, если эта сумма не является целым числом).
Решение:
Для того чтобы написать уравнение касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой , мы пользуемся формулой
Но дело в том, что , не задано. Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку (а: в) имеет вид
В нашем случае оно примет вид
Эго уравнение прямой будет уравнением касательной, когда х2 - х + 5 = имеет единственное решение, (т.е. когда D квадратного уравнения равен 0), которое и будет искомой точкой .
х2 - х + 5 =
х2 - х + 5
Абсцисса вершины параболы равна
У нашей функция сумма ординат равна 26.
Ответ: 26
Самостоятельно:
Через точку (-1; -4) проходят две касательные к графику /(*) = *2 - 2х + 5. Найдите сумму ординат точек касания (или ее целую часть, если эта сумма не является целым числом).
Ответ: 40
Задача №10.
Функция определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображен график ее производной.
Найдите число касательных к графику функции , которые наклонены под углом 60° к положительному направлению оси абсцисс.
Решение:
Итак, задача сводится к нахождению количества корней уравнения
График функции изображен на рисунке, а график функции - прямая, параллельная оси ох и отсекающая на оси оу отрезок, равный . Как видим, эти два графика имеют единственную точку пересечения.
Ответ: 1.
Задание 7 № 119973
Прямая является касательной к графику функции Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Решение.
Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:
В нашем случае имеем:
По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.
Приведём другое решение.
Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения Найдем его:
Дискриминант обращается в нуль при или
Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение При имеем:
Аналогично при имеем:
Точка касания имеет положительную абсциссу при
Ответ: −33.
Задание 7 № 119972
Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.
Решение.
Прямая является касательной к графику функции в точке тогда и только тогда, когда одновременно и В нашем случае имеем:
Искомое значение а равно 0,125.
Ответ: 0,125.
Приведем другое решение.
По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x+ 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда
Задание 7 № 27504
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтому
Ответ: 0,25
Применение производной к исследованию функций
Необходимые знания:
Признак максимума функции.
Если функция непрерывна в точке , а >0, то на интервале (а;х0) и < 0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой максимума функции.
х0-точка
максимума функции
Итак, если при переходе через х0 производная меняет свой знак с «плюса» на «минус», то этой точке функция имеет максимум.
Признак минимума функции.
Если функция непрерывна в точке , а >0, то на интервале (а;х0) и < 0 на интервале (х0;в), то точка х0 „ является точкой минимума функции .
На практике: если в точке х0 производная меняет свой знак с «минус» на «плюса», то х0 есть точка минимума.
Задача 1.
Функция у = f(x) определена на промежутке [-4, 5].
На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции
у = f(x) на промежутке [-4, 5].
График производной пересекает ось абсцисс в трех точках, значит, производная трижды обращается в ноль: при х = -2, х = -I, х = З.В точках х = -2 и х = 3 производная меняет знак с «плюса» на «минус» и только в точке х = -1 производная меняет знак с «минус» на «плюса», значит именно в этой точке функция у = f(x) имеет минимум.
Ответ:-1
Задача 2 (В-11; 2010 год.)
Найдите длину наибольшего отрезка монотонности функции. f(x) = 50 x3- 225x2 -756x+931. включающего точку x = 0
Решение: Найдем длину наибольшего отрезка возрастания, либо убывания функции, содержащую точку х = 0.
= 150x2 -450x-756
150x2 -450x-756=0
75x2 -225x-378=0
D=50625+113400=164025
O [-1,2; 4,2]
Найдем длину отрезка [-1,2; 4,2],
4,2 – (-1,2)=4,2+1,2=5,4
Ответ: 5,4
Задача 3
Найдите промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции
и на отрезке [-П; П].
Решение: областью определения функции является множество все действительных чисел, поэтому она определена при всех х из промежутка [-П; П]. Находим производную
1 + 2 sin х.
1 + 2 sin х=0
Найдем критические точки функции:
;
И критических точек в указанный промежуток входит х = - и х = -
Так как = 1, то при
- точка максимума
- точка минимума
Ответ: функция возрастает при , и при - убывает.
При
) - максимум,
) - минимум.
Задача 5 (С-1,2007)
Найдите точки максимума функции.
Инструкция:
Если функция сложная, постарайтесь ее упростить, не забывая о ее области определения.
Если первый шаг выполнен, то следующий шаг но алгоритму нахождения экстремальных значений функции.
1) f(x) =
Если х2 -16≠0, х≠±4.
Итак, исходная функция определяема для всех х, кроме х≠±4
При
х = -4 не входит в область определения функции
Точка максимума х = -2
Ответ: - 2.
§7 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке
Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а, в].
Алгоритм решения исходной задачи.
Найти производную функции.
Найти критические точки, т.е. решить уравнение = 0.
Выяснить какие критические точки принадлежат отрезку [а, в].
Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [а, в] и на концах промежутка.
Из полученных значений найти наибольшее и наименьшее, они будут соответствовать наибольшему и наименьшему значению функции.
Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2, 0].
Решение: Действуем по алгоритму:
Ответ: 4,5; -1
Сделай сам.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке [2;3]
Задача 2
Пример 2
Найти наибольшее значение функции
Решение:
Воспользуемся понятием модуля:
Найдем область определения функции
=4 + 7 = 11; = 4 - 7 = -3
Итак, функция определена при [-3;11]. Используя 1 и 2 рассмотрим 2 случая.
1 случай
[-3; 3,5]
D1=64+93=157
В точке – минимум функции
2 случай
3,5≤х≤11
Исходная функция перепишется в виде
D1=64+105=169
в точке функция имеет максимум
Сравнивая и делаем вывод, что наибольшее значение равно 287
Ответ: 287
Задание 12 № 77498
Найдите наибольшее значение функции на отрезке [0;]
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной на заданном отрезке:
Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:
В точке заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:
Ответ: 12
§8 Нахождение наибольшего и наименьшего значения без применения производной.
При решении многих задач на наибольшее и наименьшее значение можно применять неравенство Коши, связывающее среднее арифметическое и средне геометрическое положительных чисел:
В неравенстве равенство будет выполнятся, когда все числа равны.
На практике часто используют следствия из неравенства Коши:
произведение и положительных величин с данной суммой становится наибольшим, когда все эти величины равны;
сумма п положительных величин с данным произведением становится наименьшим, когда все эти величины равны.
Пример I. Найти наименьшее значение функции
на промежутке (0;+∞)
Решение: Перепишем функцию следующим образом:
Задача свелась к нахождению наименьшего значения суммы положительных величин, произведение которых постоянно:
Следовательно, наименьшее значение суммы будет достигаться при равенстве всех слагаемых, т.е. при откуда х = 1. Наименьшее значение функции на промежутке (0;+∞) равно 4.
§9 Построение графиков функции
Пример 1
Решение: (схема исследования вам знакома)
.Найдем область определения функции
D1 (у) = (-∞;+∞)
Находим производную функции и для удобства разлагаем ее на множители
Находим критические точки функции, то есть такие точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Решение уравнения
находим , ,
Наносим на числовую ось область определения функции и критические точки, которые попадают в область определения. Находим знак производной на каждом интервале, на которые критические точки делят область определения.
Найдем значение функции в критических точках
Для построения графика функции полученные результаты объединим в таблице
X (-∞ ;0)
0
(0, 6)
6
(6 .12)
12
(l2 +∞)
f'’(*)
-
0
+
0
-
0
+
f(*)
0
1296
0
min
max
min
Ребята, мы построили график функции, но чтобы вы увидели достаточно полное исследование функции, покажем следующий пример.
Для этого введем некоторые дополнительные понятия математического анализа.
Асимптоты графика функции
Асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, но не пересекает ее. Существует 3 вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Покажем их на рисунках:
1)Если функция , в точке х0 терпит разрыв ( т.е. не существует), то прямая
, является вертикальной асимптотой .
2)Если при неограниченном увеличении либо уменьшении х(x→±∞) значение функции приближается к конечному числу, то речь идет о горизонтальной асимптоте.
3) уравнение наклонной асимптоты, где ;
Еще важной характеристикой функции является характер ее выпуклости. Покажем это на рисунках.
График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале (a ,b), если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.
График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале (a ,b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.
За выпуклость (вогнутость) функции «отвечает» вторая производная функции
- называют точками перегиба если слева и справа нее II производная меняет свой знак.
График функции при является выпуклой, график функции
при является вогнутым.
Полученные знания об асимптотах функции и о выпуклости графика функции можно дать общее исследование функции.
Полный план исследования функции.
Область определения функции .
Решение вопроса о четности, нечетности, периодичности функции.
Точка разрыва функции и интервалы непрерывности.
Построение асимптот графика.
Экстремумы функции и интервалы монотонности.
Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.
Нахождение точек пересечения графика с осями координат (если это возможно).
Пример. Исследовать функцию и постройте ее график.
Решение:
1 .Функция определена на все числовой оси за исключением точки х = 1
х = 1 - вертикальная асимптота.
2. функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодичной.
3. Будем искать наклонную асимптоту в виде
Теперь найдем
- наклонная асимптота.
4.Найдем первую производную
Найдем стационарные (т.е. критические точки) при x=3 и x=1
5.Найдем вторую производную
ни при каком х
На интервале (-∞ ;1) вторая производная положительна, и график выпуклый, в интервале (l ;+∞) вторая производная отрицательна и график вогнутый.
6.Найдем координаты точек пересечения с осями координат
при
при
(0;9); ( 3; 0) точки пересечения с осями координат
Ребята, как вы думаете, могли бы мы точно построить график исходной функции, не используя понятия второй производной и асимптот? Конечно нет.
Без понятие второй производной и асимптот трудно построить график не «гладкой» функции.
§10 Задачи с параметром с применением производной
Сначала эта покажется сложным, но сначала все сложно...
Мусаши
Найти все значения , при каждом из которых наименьшее значение трехчлена на отрезке [0;2] равно 3.
Решение.
Рассмотрим функцию
- точка экстремума
Найдем значения функции, в точках, и ;
Рассмотрим следующие выражения
Пусть [0;2], т.е [0;4]. Тогда при 0 ≤ а ≤2 получим .
при 2 ≤ а ≤4 получим..
Таким образом .
По условию что не соответствует рассматриваемому случаю, т.к. 0.5 = -0.25, не принадлежит промежутку [0:2]
2)Пусть а > 4, тогда > и поэтому [0;2]
По условию
(а2 -10а+ 18 = 3) => (а2 -10а + 15 = 0) => a1 ; а2 =
Случай а = не соответствует случаю a>4
3)Пусть a < 0, тогда и [0;2]
Следовательно,
=> ()=> a1 ; а2 =
Учитывая, что а < о, получим (а =)
Ответ: ;
Задача 1 (СЗ 2007 г.)
Найти все значения , при каждом из которых неравенство
не имеет решений.
Решение: Исходное неравенство перепишется к виду
1)
где
.
исследуем функцию f: ее производная
отрицательна при 2 < t < t0, и положительна при
t >t0 ,
поэтому
3) наибольшее значение функции g достигается, например, в точке
и равно gнаибольшее
4) при любом значении x >1 справедлива оценка g(x)< f(2x), так как
поэтому при х≥1 исходное неравенство равносильно совокупности:
5) исходное неравенство не выполняется ни при одном значении х тогда и только тогда, когда
gнаибольшее
Ответ:
Задача 2
При каких значениях прямая пересекает график функции более чем в двух различных точках?
Решение:
Рассмотрим функцию , Построим схематично ее график. Функция определена и дифференцируема на множестве действительных всех чисел.
Тогда график функции выглядит следующим образом
Прямая пересекает график функции более чем в двух различных точках если
Ответ:
Гущин № 508258
Все а, не имеет решения?
(1 + sin x)4 – 4 sin x = 7 – a – a2, [0; 2]
(1 + sin x)4 – 4(1 + sin x) = 3 – a – a2; [0; 2]
Пусть 1 + sin x = t
t4 – 4t = 3 – a – a2
Рассм. f(t) = t4 – 4t; [0; 2]
F’(t) = 4t3 – 4 = 0
t = 1
y = 3- a – a2 - прямые параллельные-оси оtf’(t) - +
f (t) 1 t
xmin = 1
ymin = 1 – 4 = -3
f(0) = 04 - 4×0 = 0 ; f(2) = 24 - 4×2 = 16 – 8 = 8
y 8
0 2 t
-3
3 – a – a2< -3 или 3 – a – a2> 8
a2 + a – 6 > 0 a2 + a + 5 < 0
a2 + a – 6 = 0 0
a1 = -3 a2= 2
+ - +
//////////// -3 2 /////////////a
Ответ: ( -∞; -3) ( 2; +∞).
§11 Решение геометрических задач
Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?
Решение:
ABCA1B1C1
V
Sпол – min, AB-?
Пусть у - сторона основания АВ, h - ее
высота.
точка минимума
Ответ:
Найдите наибольшую площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину. Высота Н конуса равна 1; радиус R основания равен 3
Решение:
Беглое знакомство с условием и привычность рассмотрения осевого сечения конуса
«навязывает» это сечение в качестве безусловного кандидата на сечение
наибольшей площади. Это интуитивное представление может быть подкреплено
еще тем, что треугольник, получающийся в сечение, имеет наибольшую длину
основания.
Решение:
Пусть плоскость сечения пересекает круг, лежащий в основании конуса по отрезке
АВ . Рассмотрим перпендикуляр ОК к отрезку АВ и положим х = ОК. Тогда
площадь треугольника ОАВ как функция от X будет выражаться так:
;
0 ∉
-2 ∈
2 ∈
Ответ: 5
Пример II. В правильной четырехугольной пирамиде сумма высоты и стороны основания равна 3. Найти наибольший возможный объем пирамиды.
Решение:
Пусть х - сторона основания, h - высота пирамиды, V - объем пирамиды.
. По условию задачи x + h = 3 следовательно, объем пирамиды равен
Представим V(x) следующим образом: ; 0 < х < 3.
Рассмотрим произведениекак произведение трех положительных множителей , сумма которых постоянна. Наибольшее значение произведения достигается лишь в случае, если х = 6-2х, т.е. при х = 2. Следовательно, наибольший объем пирамиды
Ответ:
Районная олимпиада 2009 года. 10 класс.
В прямом круговом конусе сумма площади основания и осевого сечения равна З. Найдите сумму всех целых значений, которые может принимать объем этого конуса
Решение:
Объем конуса находится по формуле
. По условию задачи
отсюда найдем высоту
поскольку V > 0, то
, т.к.
Итак, (0 ;)
Задача свелась к нахождению наибольшего значения объема конуса на промежутке
(0 ;)
условия задачи
не удовлетворяет
Итак, 0< V < V(1)
V(l)=6.573...
V = 1;2;3;4;5;6- целые значения конуса, которые он может принимать.
Ответ: 1+2+3+4+5+6=21
§12 Практическое применение
1.Человек, гуляющий в лесу, находится в 5 км от прямолинейной дороги и в 13 км от дома, стоящего у дороги. Скорость его передвижения по лесу 3 км/ч, по дороге - 5 км/ ч. Найдите наименьшее время, за которое он сможет прийти домой.
Решение:
Решение сводится к нахождению места, у которого человек выйдет на дорогу. Кажется естественным, что лучше всего выйти из леса как можно быстрее, т.е. перпендикулярно к дороге, потому что дальше можно продолжать движение с большей скоростью. Но, с другой стороны, если избрать маршрут ACD, то не исключена возможность выиграть время за счет того, что проигрыш во времени на отрезке АС по сравнению с АВ ,будет компенсирован выигрышем его на отрезке CD (по сравнению с BD). Поэтому первоначальное предположение уже не должно выглядеть таким самоочевидным
Дано:
АВ = 5 км
AD = 13 км
VBD= 3 км/ ч
VBD=5 км/ч
tнаим
Решение:
ΔABD; по теореме Пифагора
BD =
Пусть ВС = X км
АС =
Ответ:
Задание 17 № 515747
В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?
Решение.
Поскольку неважно, какой металл добывать, то пусть в первой области добывают только алюминий. Имеем: кг.
Во второй области y рабочих трудится на добыче никеля, тогда (250 − y) — на добыче алюминия. Необходимо найти максимум функции: Для этого необходимо найти производную и приравнять ее к нулю:
Таким образом, f(y) принимает наибольшее значение при Для второй области . Тогда всего можно добыть 250 + 50 = 300 кг.
Ответ: 300 кг.
Задача
Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.
В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.
За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
Решение.
№Пусть рабочие первого завода за неделю производят х приборов, второго завода — у приборов. И при этом будет выполнено условие, х + у = 20. Тогда доля человеко-часов, затраченных на первом заводе составит 4x3, а на втором —у3. Таким образом, Леониду придется запланировать на оплату труда рабочих обоих заводов тысяч рублей за неделю. Так как у = 20 - х, то , S(x) = 4х3 + (20 - х)3, 0≤ х ≤ 20.
Найдем наименьшее значение функции S(x) = 4х3 + (20 - х)3 на [0; 20]
S(x) =4х3 + 8000 - 3 * 400х + 3 *20х2 - х3 = Зх3 + 60х2 - 1200х + 8000
S’(x) = 9х2 + 120х- 1200; S’(x)=0
9х2 + 120х - 1200 = 0; Зх2 + 40х - 400 = 0 ;
Положительное значение искомого корня Заметим, что на [0; 20] это единственная точка экстремума. Если она окажется точкой минимума функции, то функция именно в этой точке и достигает наименьшего значения.
S’(6) = 9x36 + 120x6 - 1200= 36 (9+20) - 1200 = 1044 - 1200< 0;
S’(7) = 9x49 + 120x7 - 1200 = 441+ 840 - 1200 = 1281 - 1200> 0
Итак, критическая точка функции точка х = является точкой минимума функции S(x).
Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при х = 6, либо при х = 7.
S(6) = 4x216 + 143 = 864 + 2744 = 3608 (тысяч руб.);
S(7) = 4x343 + 133 = 1372 + 2197 = 3569 (тысяч руб.)
Итак, искомая сумма 3 569 000 рублей.
Ответ: 3 569 000 рублей.
ЕГЭ 2013
Найдите все значения а, при каждом из которых имеет единственный корень уравнения
Решение. Так как и при х=4 подкоренное выражение отрицательно , то можно записать
Рассмотрим функцию , . Функция непрерывна на . Найдем ее производную
Из уравнения получаем
Рисуем эскиз графика в системе координат Оха и проводим прямые Определяем значения параметра, при которых эти прямые пересекают график функции в одной точке.
Ответ:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.