Инфоурок Алгебра КонспектыМетодичка-шпаргалка по теме "Производная"

Методичка-шпаргалка по теме "Производная"

Скачать материал

Введение


«Математический анализ», а точнее «основы математического анализа» - единственный раздел, изучаемый в школе математически, не относящийся к элементарной математике.

Несмотря на краткость школьного курса «основ математического анализа» дает возможность выпускнику не только получить представление о математическом анализе как о мощном прикладном аппарате современной математики, но и научиться сознательно им пользоваться при решении целого ряда задач, не подающихся элементарным методам. Одним из основных понятий «математического анализа» является производная.

Используя понятие производной, можно решить следующие задачи: исследование решить следующие задачи: исследование и построение функций, нахождение экстремальных значений, нахождение наибольшего и наименьшего значений функций, решение геометрических задач, вычисление приближенных значений, решение задач с параметром, нахождение промежутков монотонности; тангенс угла наклонной касательной и гак далее.

Формирование умение решать задачи на экстремум с помощью производного имеют четкую прикладную направленность

- если не по фабуле, то по подходу к решению.

В месте с тем следует учитывать, что задачи, которые решаются с использованием производной, во многих случаях оказывается возможным решить и другими, элементарными методами.

Сопоставление различных способов решения экстремальных задач, может оказаться полезным в нескольких отношениях:

можно сравнивать единообразный характер решения задач с помощью производной приемами, которые приходится выискивать, если производной не пользоваться;

- решение экстремальных задач элементарными методами обычно находятся с большим трудом.

Оно включает элемент догадки и творчества. В то же время использование производной может оказаться принципиально несложным, но связанным с достаточно большими вычислениями. В своей работе, я постаралась собрать как можно больше различных задач, решаемые с помощью производного, тем не менее как было сказано выше показаны и задачи, которые решаются так же и не используя производную. В работе показан пример исследования и построения графика функции по схеме, которую мы, обычно, придерживается и пример исследования функции, с использованием второго производного и асимптот, без которых нельзя «увидеть» все «тонкости» графика «негладкой» функции.

Я надеюсь, что моя работа поможет ученику достаточно подготовиться к предстоящим экзаменам по теме «производная», так как в нем представлены задание и базового и профильного ровня.





Содержание


  1. Понятие производной.

  2. Таблица производных.

  3. Примеры на нахождения производных.

  4. Задачи на физический смысл производной.

  5. Геометрический смысл производной.

  6. Применение производной к исследованию функции.

  7. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

  8. Нахождение наибольшего и наименьшего без применения производной.

  9. Построение графиков функций, с использованием производной.

  10. Задачи с параметром с применением производной (№18 ЕГЭ профильного уровня).

  11. Решение геометрических задач.

  12. Применение производной к практическим задачам (№17 ЕГЭ профильного уровня).



























Понятие производной. Применение производной для исследования функции.

Определение производной, её геометрический и механический смысл.


Рассмотрим две задачи, приводящие к понятию производной функции.

Задача 1. Пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении. Обозначим s - путь, пройденный точкой, a t - время; путь, пройденный точкой за время t, зависит от t и изменяется по некоторому закону s=s(t). Отметим некоторый момент времени t0, и поставим задачу определить скорость материальной точки v0 b момент времени t0. Для этого рассмотрим другой момент времени по прошествии отрезка Δt, т. е. момент t0t. К моменту t0 путь, пройдённый точкой, составит S (t0), в момент t0t будем иметь путь

S (t0t). За промежуток времени Δt точка прошла путь, ΔS=S (t0t) - S (t0) . Средняя скорость движения за время Δt составит отношение . Эта средняя скорость отличается от мгновенной скорости в момент t0, и тем ближе величина
к скорости
, чем меньше промежуток Δt. Устремим Δt к нулю ( пишут Δt→0), тогда предел, к которому стремится средняя скорость, и является скоростью нашей точки в момент t0.



В формуле (1) рассматривается предел отношения приращения пути ΔS к приращению времени Δt.

Задача 2. Рассмотрим график непрерывной функции у =f(х). Возьмём на этом графике точку и поставим задачу написать уравнение касательной прямой к графику у =f(x), проведённой в точке .

Точка имеет координаты дадим переменной х приращение Δх и переместимся по графику из точки в точку . (в нашем случае Δх>0 и)

hello_html_208d8b83.png



§2 Таблица производных

Правила вычисления производных








Таблица производных U – сложная функция


Примеры нахождения производной

Найти производные функции



а) y= 4+ cos


б)


в)


г)


д)


е)




ж)



Производная сложной функции. Примеры нахождение производных сложной функции.



  1. у = cos 4

= (cos 4)'-(4)' = 4 sin 4x







(Эта функция, которую нужно рассмотреть как показательную, так и степенную)




Прологарифмируем исходное равенство и используем свойства логарифма.


Прологарифмируем последнее равенство




Примечание: конечно, можно рассмотреть производную произведения, но это будет намного громоздко.









Задача на физический смысл производной.

Задача №1

Пусть при движении тела его координата меняется по закону x() = 5 + sin 3 - 2 cos где - время.

Найдите начальную скорость и начальное ускорение тела.

Решение:

При движении тела по закону имеем ,где функция, выражающая зависимость скорости тела от времени.

= (5 + sin3 -2cos )' = 5 + 3cos3 -2(-sin )= 5 + 3cos3 + sin

Начальная скорость тела = = 5 + 3cos0 + sinO = 8

Пусть (t) - функция зависимости ускорения тела от времени.

Известно, что =. Тогда = (5+3cos3 + sin)'= - 9sin+cos

Начальное ускорение тела


Ответ:


Задача №2

Точка движение по координатной прямой по закону (t) = 0,75t2 +t - 7, где (t) - координата точки в момент времени t. В какой момент времени скорость точки будет равна 19?

Решение:







Ответ: 12.

§5 Геометрический смысл производной, касательная

Задача№3

Найти уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой 2

Решение: уравнение касательной к графику функцииy в точке имеет вид

1. найдем производную функции

2. найдем значение функции и значение производной в точке х = 2

3. =23 - 222+1=8-8+1=1

=3 22 - 42=12-8=4


Подставим эти значения в уравнение касательной, получим:

у = 4* - 7 - уравнение искомой касательной

Задача №4.

В каких точках касательная к графику функции образует с осью абсцисс угол 45º

Решение:

Используя геометрический смысл производной, имеем:


Т.к. tg 45º=1, то


Решая квадратное уравнение, находим его корни:

,

Найдем значения функции при х = 2, и х = 3



Ответ:


Задача №5

Составьте уравнения касательной к графику у = 4 –2 в точках пересечения ее графика с осью О и найдите угол между касательными.

Решение:

1. Касательная к графику функции в точке имеет уравнение). Задача сводится к нахождению точки и производной .

2. Найдем точки пересечения данной кривой с осью . На оси у = 0, поэтому решаем уравнение или .

= 0 и = 4 - корни этого уравнения. Получили две точки (0;0) и (4;0)

3. Находим производную

4. В точки (0;0) (0) = 4 и уравнение касательной имеет вид у = 4х.

5. В точки (4;0) (4) = 4 - 2 • 4 = -4 и уравнение касательной получаем в виде

или

6.Если - угол между касательными, то , где - угловые коэффициенты касательных, ,




Задача №6 (В-8,2010 год)

В точке А графика функции проведена касательная к нему, параллельная прямой . Найдите сумму координат точки А.

Решение: Пусть - координаты точки А. Прямая (касательная) проходящая через точку А параллельна прямой , а это значит, что угловые коэффициенты этих прямых одинаковые, угловой коэффициент прямой , равен - 2, то и у прямой, проходящей через точку А он гак же равен - 2. А угловой коэффициент прямой, не что иное как производная функции в точке т.е.:






Найдем значение функции при = 3;


А (3; 14).

В ответе нужно указать сумму координат точки А, т.е. 3 + 14 = 17

Ответ: 17.

Задача № 7

На рисунке изображен график и касательная к нему в точке с абсциссой х0.

Найдите значение производной в точке х0.

hello_html_me2ede8a.png

Значение производной функции в некоторой точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в его точке с абсциссой . Угловой коэффициент касательной равен тангенсу наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, т.е. tg ΔABO

Рассмотрим треугольник АВО

f(x0) = tgB = = 2

Ответ: f(x0)= 2

Замечание: Если угол острый - производная положительная, если угол тупой, то производная отрицательная.












Задача № 8

(II способ нахождения производного в точке х0.)

На рисунке изображен график и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной функции в точке х0.















hello_html_19dfcb6b.pnghello_html_19dfcb6b.png





На касательной найдем 2 «хорошие точки» с целыми координатами А(-6;4), В(6;7).

или

Итак,

Ответ:

Задача№ 9.

Через точку (1; -3) проходят две касательные к графику f{x) = x2 -х + 5. Найдите сумму ординат точек касания (или ее целую часть, если эта сумма не является целым числом).

Решение:

Для того чтобы написать уравнение касательной, проведенной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой , мы пользуемся формулой



Но дело в том, что , не задано. Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку (а: в) имеет вид

В нашем случае оно примет вид

Эго уравнение прямой будет уравнением касательной, когда х2 - х + 5 = имеет единственное решение, (т.е. когда D квадратного уравнения равен 0), которое и будет искомой точкой .

х2 - х + 5 =

х2 - х + 5









Абсцисса вершины параболы равна

У нашей функция сумма ординат равна 26.

Ответ: 26



Самостоятельно:

Через точку (-1; -4) проходят две касательные к графику /(*) = *2 - + 5. Найдите сумму ординат точек касания (или ее целую часть, если эта сумма не является целым числом).

Ответ: 40

Задача №10.

Функция определена на промежутке (-4; 5). На рисунке изображен график ее производной.

Найдите число касательных к графику функции , которые наклонены под углом 60° к положительному направлению оси абсцисс.

hello_html_7c58e43c.png

Решение:





Итак, задача сводится к нахождению количества корней уравнения

График функции изображен на рисунке, а график функции - прямая, параллельная оси ох и отсекающая на оси оу отрезок, равный . Как видим, эти два графика имеют единственную точку пересечения.

Ответ: 1.



Задание 7 № 119973

Прямая  является касательной к графику функции  Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Решение.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:



В нашем случае имеем:

hello_html_m282a7a7.png


По условию абсцисса точки касания положительна, поэтому x = 0,5, откуда b = −33.



Приведём другое решение.

Касательная к параболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение  должно иметь единственное решение, а значит, должен равняться нулю дискриминант уравнения Найдем его:




Дискриминант обращается в нуль при или


Проверим, положительны ли абсциссы точек касания при найденных значениях параметра. Для этого подставим их в уравнение При имеем:

hello_html_776f6ee1.png


Аналогично при имеем:


hello_html_m6a20e90a.png


Точка касания имеет положительную абсциссу при

Ответ: −33.


Задание 7 № 119972

Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax2 + 2x + 3. Найдите a.

Решение.

Прямая  является касательной к графику функции  в точке  тогда и только тогда, когда одновременно  и  В нашем случае имеем:

hello_html_e0a092.png


Искомое значение а равно 0,125.

 

Ответ: 0,125.

 

Приведем другое решение.

По смыслу задачи a ≠ 0, а значит, график заданной функции — парабола. Касательная к параболе (а также и к гиперболе) имеет с ней единственную общую точку. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ax2 + 2x + 3 = 3x+ 1 имело единственно решение. Для этого дискриминант 1 − 8а уравнения ax2 − x + 2 = 0 должен быть равен нулю, откуда

 

Задание 7 № 27504

hello_html_m54fdd0c9.png

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.



Решение.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (2; 4), B (2; 2), C (−6; 2). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB. Поэтомуhello_html_19f469b1.png


 

Ответ: 0,25









Применение производной к исследованию функций

Необходимые знания:

Признак максимума функции.

Если функция непрерывна в точке , а >0, то на интервале (а;х0) и < 0 на интервале (х0;в), то точка х0 является точкой максимума функции.

hello_html_m7546999f.png










х0-точка

максимума функции

Итак, если при переходе через х0 производная меняет свой знак с «плюса» на «минус», то этой точке функция имеет максимум.

Признак минимума функции.

Если функция непрерывна в точке , а >0, то на интервале (а;х0) и < 0 на интервале (х0;в), то точка х0 „ является точкой минимума функции .

На практике: если в точке х0 производная меняет свой знак с «минус» на «плюса», то х0 есть точка минимума.

Задача 1.

Функция у = f(x) определена на промежутке [-4, 5].

На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку минимума функции
у =
f(x) на промежутке [-4, 5].

hello_html_1a2585de.png

График производной пересекает ось абсцисс в трех точках, значит, производная трижды обращается в ноль: при х = -2, х = -I, х = З.В точках х = -2 и х = 3 производная меняет знак с «плюса» на «минус» и только в точке х = -1 производная меняет знак с «минус» на «плюса», значит именно в этой точке функция у = f(x) имеет минимум.

Ответ:-1

Задача 2 (В-11; 2010 год.)

Найдите длину наибольшего отрезка монотонности функции. f(x) = 50 x3- 225x2 -756x+931. включающего точку x = 0

Решение: Найдем длину наибольшего отрезка возрастания, либо убывания функции, содержащую точку х = 0.

= 150x2 -450x-756

150x2 -450x-756=0

75x2 -225x-378=0

D=50625+113400=164025









hello_html_3bcf4374.png



O [-1,2; 4,2]

Найдем длину отрезка [-1,2; 4,2],

4,2 – (-1,2)=4,2+1,2=5,4

Ответ: 5,4

Задача 3

Найдите промежутки возрастания и убывания, а также экстремумы функции

и на отрезке [-П; П].

Решение: областью определения функции является множество все действительных чисел, поэтому она определена при всех х из промежутка [-П; П]. Находим производную

1 + 2 sin х.

1 + 2 sin х=0

Найдем критические точки функции:

;

И критических точек в указанный промежуток входит х = - и х = -



hello_html_3bcf4374.png





Так как = 1, то при


- точка максимума

- точка минимума








Ответ: функция возрастает при , и при - убывает.

При

) - максимум,

) - минимум.

Задача 5 (С-1,2007)

Найдите точки максимума функции.



Инструкция:

  1. Если функция сложная, постарайтесь ее упростить, не забывая о ее области определения.

  2. Если первый шаг выполнен, то следующий шаг но алгоритму нахождения экстремальных значений функции.

1) f(x) =

Если х2 -16≠0, х≠±4.

Итак, исходная функция определяема для всех х, кроме х≠±4





При

х = -4 не входит в область определения функции







hello_html_3bcf4374.png





Точка максимума х = -2

Ответ: - 2.







































§7 Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [а, в].

Алгоритм решения исходной задачи.

  1. Найти производную функции.

  2. Найти критические точки, т.е. решить уравнение = 0.

  3. Выяснить какие критические точки принадлежат отрезку [а, в].

  4. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат [а, в] и на концах промежутка.

  5. Из полученных значений найти наибольшее и наименьшее, они будут соответствовать наибольшему и наименьшему значению функции.

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2, 0].

Решение: Действуем по алгоритму:





Ответ: 4,5; -1

Сделай сам.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [2;3]

Задача 2

Пример 2


Найти наибольшее значение функции

Решение:

  1. Воспользуемся понятием модуля:





  1. Найдем область определения функции






=4 + 7 = 11; = 4 - 7 = -3




hello_html_3bcf4374.png




Итак, функция определена при [-3;11]. Используя 1 и 2 рассмотрим 2 случая.

1 случай

[-3; 3,5]





D1=64+93=157






hello_html_3bcf4374.png

В точке – минимум функции





2 случай

3,5≤х≤11

Исходная функция перепишется в виде






D1=64+105=169







hello_html_3bcf4374.png





в точке функция имеет максимум

Сравнивая и делаем вывод, что наибольшее значение равно 287

Ответ: 287

Задание 12 № 77498

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [0;] 


Решение.

Найдем производную заданной функции:



Найдем нули производной на заданном отрезке:



Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

hello_html_m7fb64a63.png

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:



 

Ответ: 12


















§8 Нахождение наибольшего и наименьшего значения без применения производной.

При решении многих задач на наибольшее и наименьшее значение можно применять неравенство Коши, связывающее среднее арифметическое и средне геометрическое положительных чисел:



В неравенстве равенство будет выполнятся, когда все числа равны.

На практике часто используют следствия из неравенства Коши:

  1. произведение и положительных величин с данной суммой становится наибольшим, когда все эти величины равны;

  2. сумма п положительных величин с данным произведением становится наименьшим, когда все эти величины равны.

Пример I. Найти наименьшее значение функции

на промежутке (0;+∞)

Решение: Перепишем функцию следующим образом:



Задача свелась к нахождению наименьшего значения суммы положительных величин, произведение которых постоянно:

Следовательно, наименьшее значение суммы будет достигаться при равенстве всех слагаемых, т.е. при откуда х = 1. Наименьшее значение функции на промежутке (0;+∞) равно 4.











§9 Построение графиков функции
Пример 1



Решение: (схема исследования вам знакома)

  1. .Найдем область определения функции

D1 (у) = (-∞;+∞)

  1. Находим производную функции и для удобства разлагаем ее на множители



  1. Находим критические точки функции, то есть такие точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Решение уравнения

находим , ,

  1. Наносим на числовую ось область определения функции и критические точки, которые попадают в область определения. Находим знак производной на каждом интервале, на которые критические точки делят область определения.



hello_html_3bcf4374.png



Найдем значение функции в критических точках









Для построения графика функции полученные результаты объединим в таблице




X

(-∞ ;0)

0

(0, 6)

6

(6 .12)

12

(l2 +∞)

f'’(*)

-

0

+

0

-

0

+

f(*)


0


1296


0



min


max


min











hello_html_mc3429d0.gif

Ребята, мы построили график функции, но чтобы вы увидели достаточно полное исследование функции, покажем следующий пример.

Для этого введем некоторые дополнительные понятия математического анализа.

Асимптоты графика функции

Асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается график функции, но не пересекает ее. Существует 3 вида асимптот: вертикальная, горизонтальная, наклонная. Покажем их на рисунках:

hello_html_3fed21c9.pnghello_html_m5faeff66.pnghello_html_759c13b2.png



1)Если функция , в точке х0 терпит разрыв ( т.е. не существует), то прямая

, является вертикальной асимптотой .

2)Если при неограниченном увеличении либо уменьшении х(x→±∞) значение функции приближается к конечному числу, то речь идет о горизонтальной асимптоте.

3) уравнение наклонной асимптоты, где ;

Еще важной характеристикой функции является характер ее выпуклости. Покажем это на рисунках.hello_html_6b5e30ca.gif


hello_html_15648cd0.gif















График дифференцируемой функции называется выпуклым в интервале (a ,b), если он расположен выше любой своей касательной в этом интервале.

График дифференцируемой функции называется вогнутым в интервале (a ,b), если он расположен ниже любой своей касательной в этом интервале.

За выпуклость (вогнутость) функции «отвечает» вторая производная функции

- называют точками перегиба если слева и справа нее II производная меняет свой знак.





График функции при является выпуклой, график функции

при является вогнутым.

Полученные знания об асимптотах функции и о выпуклости графика функции можно дать общее исследование функции.





Полный план исследования функции.

  1. Область определения функции .

  2. Решение вопроса о четности, нечетности, периодичности функции.

  3. Точка разрыва функции и интервалы непрерывности.

  4. Построение асимптот графика.

  5. Экстремумы функции и интервалы монотонности.

  6. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика.

  7. Нахождение точек пересечения графика с осями координат (если это возможно).

Пример. Исследовать функцию и постройте ее график.



Решение:

1 .Функция определена на все числовой оси за исключением точки х = 1

х = 1 - вертикальная асимптота.

2. функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодичной.

3. Будем искать наклонную асимптоту в виде



Теперь найдем





- наклонная асимптота.

4.Найдем первую производную



Найдем стационарные (т.е. критические точки) при x=3 и x=1









5.Найдем вторую производную





ни при каком х

На интервале (-∞ ;1) вторая производная положительна, и график выпуклый, в интервале (l ;+∞) вторая производная отрицательна и график вогнутый.

6.Найдем координаты точек пересечения с осями координат

при

при

(0;9); ( 3; 0) точки пересечения с осями координат

hello_html_3b03096.png

Ребята, как вы думаете, могли бы мы точно построить график исходной функции, не используя понятия второй производной и асимптот? Конечно нет.

Без понятие второй производной и асимптот трудно построить график не «гладкой» функции.





§10 Задачи с параметром с применением производной

Сначала эта покажется сложным, но сначала все сложно...

Мусаши

Найти все значения , при каждом из которых наименьшее значение трехчлена на отрезке [0;2] равно 3.

Решение.

Рассмотрим функцию





- точка экстремума

Найдем значения функции, в точках, и ;







Рассмотрим следующие выражения









Пусть [0;2], т.е [0;4]. Тогда при 0 ≤ а ≤2 получим .

при 2 ≤ а ≤4 получим..

Таким образом .

По условию что не соответствует рассматриваемому случаю, т.к. 0.5 = -0.25, не принадлежит промежутку [0:2]

2)Пусть а > 4, тогда > и поэтому [0;2]

По условию

(а2 -10а+ 18 = 3) => (а2 -10а + 15 = 0) => a1 ; а2 =



Случай а = не соответствует случаю a>4

3)Пусть a < 0, тогда и [0;2]

Следовательно,

=> ()=> a1 ; а2 =

Учитывая, что а < о, получим (а =)



Ответ: ;







Задача 1 (СЗ 2007 г.)

Найти все значения , при каждом из которых неравенство

не имеет решений.

Решение: Исходное неравенство перепишется к виду

1)

где

.

  1. исследуем функцию f: ее производная



отрицательна при 2 < t < t0, и положительна при

t >t0 ,

поэтому

3) наибольшее значение функции g достигается, например, в точке

и равно gнаибольшее

4) при любом значении x >1 справедлива оценка g(x)< f(2x), так как

поэтому при х≥1 исходное неравенство равносильно совокупности:

5) исходное неравенство не выполняется ни при одном значении х тогда и только тогда, когда

gнаибольшее

Ответ:

Задача 2

При каких значениях прямая пересекает график функции более чем в двух различных точках?

Решение:

Рассмотрим функцию , Построим схематично ее график. Функция определена и дифференцируема на множестве действительных всех чисел.









Тогда график функции выглядит следующим образом





hello_html_480a9a3f.png

Прямая пересекает график функции более чем в двух различных точках если

Ответ:

Гущин № 508258

Все а, не имеет решения?

(1 + sin x)4 – 4 sin x = 7 – a – a2, [0; 2]

(1 + sin x)4 – 4(1 + sin x) = 3 – a – a2; [0; 2]

Пусть 1 + sin x = t

t4 – 4t = 3 – a – a2

Рассм. f(t) = t4 – 4t; [0; 2]

F’(t) = 4t3 – 4 = 0

t = 1

y = 3- aa2 - прямые параллельные-оси оtf’(t) - +

f (t) 1 t

xmin = 1

ymin = 1 – 4 = -3

f(0) = 04 - 4×0 = 0 ; f(2) = 24 - 4×2 = 16 – 8 = 8hello_html_74bf0f2.png

y 8













0 2 t



-3











3 – a – a2< -3 или 3 – a – a2> 8

a2 + a – 6 > 0 a2 + a + 5 < 0

a2 + a – 6 = 0 0

a1 = -3 a2= 2

+ - +

//////////// -3 2 /////////////a

Ответ: ( -∞; -3) ( 2; +∞).

































§11 Решение геометрических задач

Объем правильной треугольной призмы равен V. Какова должна быть сторона основания, чтобы площадь полной поверхности призмы была наименьшей?

Решение:

ABCA1B1C1hello_html_m6adf936.png

V

Sполmin, AB-?


Пусть у - сторона основания АВ, h - ее

высота.

















точка минимума

Ответ:


  1. Найдите наибольшую площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через его вершину. Высота Н конуса равна 1; радиус R основания равен 3


Решение:

Беглое знакомство с условием и привычность рассмотрения осевого сечения конуса

«навязывает» это сечение в качестве безусловного кандидата на сечение

наибольшей площади. Это интуитивное представление может быть подкреплено

еще тем, что треугольник, получающийся в сечение, имеет наибольшую длину

основания.


Решение:

Пусть плоскость сечения пересекает круг, лежащий в основании конуса по отрезке

АВ . Рассмотрим перпендикуляр ОК к отрезку АВ и положим х = ОК. Тогда

площадь треугольника ОАВ как функция от X будет выражаться так:


;






hello_html_14bde321.png



0

-2 ∈

2 ∈




Ответ: 5

Пример II. В правильной четырехугольной пирамиде сумма высоты и стороны основания равна 3. Найти наибольший возможный объем пирамиды.

Решение:

Пусть х - сторона основания, h - высота пирамиды, V - объем пирамиды.

. По условию задачи x + h = 3 следовательно, объем пирамиды равен



Представим V(x) следующим образом: ; 0 < х < 3.

Рассмотрим произведениекак произведение трех положительных множителей , сумма которых постоянна. Наибольшее значение произведения достигается лишь в случае, если х = 6-2х, т.е. при х = 2. Следовательно, наибольший объем пирамиды

Ответ:


Районная олимпиада 2009 года. 10 класс.


В прямом круговом конусе сумма площади основания и осевого сечения равна З. Найдите сумму всех целых значений, которые может принимать объем этого конуса


Решение:

Объем конуса находится по формуле

. По условию задачи


отсюда найдем высоту


поскольку V > 0, то


, т.к.


Итак, (0 ;)

Задача свелась к нахождению наибольшего значения объема конуса на промежутке

(0 ;)






условия задачи

не удовлетворяет



Итак, 0< V < V(1)

V(l)=6.573...

V = 1;2;3;4;5;6- целые значения конуса, которые он может принимать.


Ответ: 1+2+3+4+5+6=21



§12 Практическое применение


1.Человек, гуляющий в лесу, находится в 5 км от прямолинейной дороги и в 13 км от дома, стоящего у дороги. Скорость его передвижения по лесу 3 км/ч, по дороге - 5 км/ ч. Найдите наименьшее время, за которое он сможет прийти домой.


Решение:

Решение сводится к нахождению места, у которого человек выйдет на дорогу. Кажется естественным, что лучше всего выйти из леса как можно быстрее, т.е. перпендикулярно к дороге, потому что дальше можно продолжать движение с большей скоростью. Но, с другой стороны, если избрать маршрут ACD, то не исключена возможность выиграть время за счет того, что проигрыш во времени на отрезке АС по сравнению с АВ ,будет компенсирован выигрышем его на отрезке CD (по сравнению с BD). Поэтому первоначальное предположение уже не должно выглядеть таким самоочевидным

hello_html_baf0100.png

Дано:

АВ = 5 км

AD = 13 км

VBD= 3 км/ ч

VBD=5 км/ч

tнаим




Решение:

ΔABD; по теореме Пифагора

BD =

Пусть ВС = X км

АС =















Ответ:


Задание 17 № 515747

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?


Решение.

Поскольку неважно, какой металл добывать, то пусть в первой области добывают только алюминий. Имеем:  кг.

Во второй области y рабочих трудится на добыче никеля, тогда (250 − y) — на добыче алюминия. Необходимо найти максимум функции:  Для этого необходимо найти производную и приравнять ее к нулю:



hello_html_42e39d6f.png

Таким образом, f(y) принимает наибольшее значение при  Для второй области .  Тогда всего можно добыть 250 + 50 = 300 кг.

 

Ответ: 300 кг.




Задача


Леонид является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые приборы, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 4t3 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t3 часов в неделю, они производят t приборов.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Леонид платит рабочему 1 тысячу рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 приборов. Какую наименьшую сумму придется тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Решение.

Пусть рабочие первого завода за неделю производят х приборов, второго завода — у приборов. И при этом будет выполнено условие, х + у = 20. Тогда доля человеко-часов, затраченных на первом заводе составит 4x3, а на втором —у3. Таким образом, Леониду придется запланировать на оплату труда рабочих обоих заводов тысяч рублей за неделю. Так как у = 20 - х, то , S(x) = 4х3 + (20 - х)3, 0≤ х ≤ 20.

Найдем наименьшее значение функции S(x) = 4х3 + (20 - х)3 на [0; 20]

S(x) =4х3 + 8000 - 3 * 400х + 3 *20х2 - х3 = Зх3 + 60х2 - 1200х + 8000

S’(x) = 9х2 + 120х- 1200; S’(x)=0

2 + 120х - 1200 = 0; Зх2 + 40х - 400 = 0 ;


Положительное значение искомого корня Заметим, что на [0; 20] это единственная точка экстремума. Если она окажется точкой минимума функции, то функция именно в этой точке и достигает наименьшего значения.

S’(6) = 9x36 + 120x6 - 1200= 36 (9+20) - 1200 = 1044 - 1200< 0;

S’(7) = 9x49 + 120x7 - 1200 = 441+ 840 - 1200 = 1281 - 1200> 0

Итак, критическая точка функции точка х = является точкой минимума функции S(x).

Поскольку количество изготовленных приборов будет выражаться числом натуральным, то наименьшая сумма, необходимая для выплаты рабочим, будет достигнута либо при х = 6, либо при х = 7.

S(6) = 4x216 + 143 = 864 + 2744 = 3608 (тысяч руб.);

S(7) = 4x343 + 133 = 1372 + 2197 = 3569 (тысяч руб.)

Итак, искомая сумма 3 569 000 рублей.


Ответ: 3 569 000 рублей.

ЕГЭ 2013

Найдите все значения а, при каждом из которых имеет единственный корень уравнения


Решение. Так как и при х=4 подкоренное выражение отрицательно , то можно записать



Рассмотрим функцию , . Функция непрерывна на . Найдем ее производную

Из уравнения получаем










Рисуем эскиз графика в системе координат Оха и проводим прямые Определяем значения параметра, при которых эти прямые пересекают график функции в одной точке.












Ответ:






33

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Методичка-шпаргалка по теме "Производная""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Директор десткого сада

Получите профессию

Няня

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 421 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Презентация по теме "Комбинаторика"
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Рейтинг: 5 из 5
  • 17.12.2018
  • 3062
  • 110
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
Рабочая программа по алгебре и началам анализа. 10 класс.
  • Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.
  • 17.12.2018
  • 300
  • 0
«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 17.12.2018 2713
    • DOCX 652.2 кбайт
    • 41 скачивание
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Цораева Людмила Асланбековна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Цораева Людмила Асланбековна
    Цораева Людмила Асланбековна
    • На сайте: 5 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 15703
    • Всего материалов: 9

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Методист-разработчик онлайн-курсов

Методист-разработчик онлайн-курсов

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 66 человек из 34 регионов

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 180 человек из 45 регионов

Курс повышения квалификации

Методика преподавания математики в среднем профессиональном образовании в условиях реализации ФГОС СПО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 38 регионов

Курс повышения квалификации

Преподавание математики в школе в условиях реализации ФГОС

72/144/180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 84 человека из 36 регионов

Мини-курс

Физическая культура и спорт: методика, педагогика, психология

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Искусство: от истории к глобализации

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Преодоление расстройств: путь к психическому здоровью"

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе