Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Статьи / Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами

библиотека
материалов

Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами


При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод. Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть методику решения задач с параметрами графическими методами: методом сечений и координатно-параметрическим методами с использованием геометрической среды GeoGebra.

Задача 1. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?

Прежде, чем приступать к решению данной задачи графическим методом, необходимо предложить школьникам самостоятельно решить её известным им аналитическим методом.

1 этап. Аналитический метод. Поскольку данное уравнение квадратное, то количество его решений будет зависеть от значения его дискриминанта . Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если , т.е. , то уравнение имеет два решения: ;

2. Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение: .

3. Если , т.е. , то уравнение решений не имеет.

Далее, не забываем акцентировать внимание учеников на правильную запись ответа.

Ответ: при уравнение имеет два решения;

при уравнение имеет одно решение;

при решений нет.

2 этап. Решим эту же задачу графическим методом в геометрической среде программы GeoGebra.

Прежде, необходимо школьникам напомнить суть графических методов решения задач с параметрами: метода сечений и координатно-параметрического метода. После приступаем к решению этой задачи несколькими способами.

1 способ. Сначала попробуем решить данную задачу методом сечений. Для этого перепишем уравнение в виде . Далее строим графики функций и в системе координат хОу. График функции представляет собой семейство прямых, параллельных оси Ох.

Произведём это построение в графической среде программы GeoGebra следующим образом:

1. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции и . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов (рис.7).

2. Изменяя значения параметра а, будем получать различное количество решений исходного уравнения:

а) при прямая будет всегда иметь с графиком функции две точки пересечения, следовательно, уравнение имеет два решения;

б) при прямая имеет с графиком функции только одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение;

в) при прямая не имеет с графиком функции точек пересечения, а следовательно, уравнение решений не имеет.

hello_html_m3e108d5f.png

рис. 7

Ответ при уравнение имеет два решения;

при уравнение имеет одно решение;

при решений нет.

2 способ. Решим исходное уравнение координатно-параметрическим методом. Для этого выразим параметр а через переменную х: .

1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.

2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим функцию. После нажатия на клавишу Enter график сразу появится в области графического представления и панели объектов (рис.8).

hello_html_m441efe66.png

рис. 8

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому фиксированному значению параметра а значение искомой величины х. Для этого график функции «рассекается» горизонтальными прямыми.

Ответ: при уравнение имеет два решения;

при уравнение имеет одно решение;

при решений нет.

Далее, рассмотрим решение ещё одной задачи графическим методом с использованием программы GeoGebra.

Задача 2. Исследовать число решений уравнения в зависимости от величины действительного параметра а.

Решение. Данную задачу будем решать координатно-параметрическим методом.

Воспользовавшись определением абсолютной величины, преобразуем исходное уравнение в каждой из получившихся «частичных» областей. Они получаются делением координатно-параметрической плоскости прямыми .

Произведём это деление в графической среде программы GeoGebra следующим образом:

1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.

2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов. Тем самым разделили координатно-параметрическую плоскость на четыре «частичные» области (рис.9).

hello_html_71da64f1.png

рис.9

Далее, преобразуем исходное уравнение для каждой из полученных частичных областей:

1. при исходное уравнение примет вид: ;

2. при исходное уравнение примет вид: ;

3. при исходное уравнение примет вид: ;

4. при исходное уравнение примет вид: ;

Таким образом, исходное уравнение можно заменить равносильной совокупностью смешанных систем:


Теперь строим графики каждой из полученных функций. Для этого:

1. Набираем в строке ввода функцию .

2. Нажимаем Enter. График этой функции (пунктирная прямая линия) появится в области графического представления. Далее необходимо выбрать ту её часть, которая находится в рассматриваемой области (луч АВ), т.е. при . Получим (рис. 10):

hello_html_290a8249.png

рис. 10

3. Аналогично строим графики функций , , и выделяем соответствующие рассматриваемым областям их части. В результате получим следующий график (рис. 11):

hello_html_m4d0dc29c.png

рис. 11

4. Далее, при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок, обозначенный l, который будет определять значение изменяемого параметра a.

5. Набираем в строке ввода функцию ;

6. В зависимости от принимаемых параметром а значений, будем получать различное количество решений уравнения .

Так, при прямая l не имеет общих точек пересечения с графиком функции следовательно, решений нет (рис. 12);

hello_html_m7d75bdb1.png

рис. 12

При прямая l и график функции имеют одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение (рис. 13);

hello_html_1c1ee3e8.png

рис.13

При прямая l пересекается с графиком функции в двух точках. Следовательно при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет ровно два решения (рис. 14);

hello_html_m77f6fe85.png

рис. 14

При прямая l пересекается с графиком функции в трёх точках следовательно, уравнение имеет три решения (рис. 15);

hello_html_m302e13bf.pngрис. 15

При прямая l имеет с графиком функции четыре общие точки. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет четыре решения (рис.16);

hello_html_m7e59d141.png

рис. 16

При прямая l имеет с графиком функции три точки пересечения, а следовательно три решения (рис. 17);

hello_html_m46b99ef9.png

рис.17

И, наконец, при прямая l имеет с графиком функции две точки пересечения. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка уравнение имеет два решения (рис.18).

hello_html_68948832.png

рис. 18

Ответ: при – решений нет;

при – три решения;

при – четыре решения;

при – три решения;

при – два решения.

Таким образом, на первых занятиях решения задач с параметрами графическими методами, не нужно принуждать школьников решать задачи графическими методами. Необходимо дать им возможность самостоятельного выбора метода решения той или иной задачи (функционального или аналитического). И только после этого, на примерах в сравнении с аналитическим или функциональным методами показать школьникам преимущества графического метода, того что использование этого метода в совокупности зачастую упрощает и сокращает время решения той или иной задачи с параметром.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 02.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров267
Номер материала ДБ-062621
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх