Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами

Методика использования динамической геометрической среды GeoGebra при решении задач с параметрами графическими методами

При решении широкого класса задач с параметром довольно часто оказывается полезным графический метод. Предлагаю на конкретных примерах рассмотреть методику решения задач с параметрами графическими методами: методом сечений и координатно-параметрическим методами с использованием геометрической среды GeoGebra.

Задача 1. Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение ?

Прежде, чем приступать к решению данной задачи графическим методом, необходимо предложить школьникам самостоятельно решить её известным им аналитическим методом. 

1 этап. Аналитический метод. Поскольку данное уравнение квадратное, то количество его решений будет зависеть от значения его дискриминанта . Рассмотрим все возможные случаи:

1. Если , т.е. , то уравнение имеет два решения: ;

2. Если , т.е. , то уравнение имеет единственное решение: .

3. Если , т.е. , то уравнение решений не имеет.

Далее, не забываем акцентировать внимание учеников на правильную запись ответа.

Ответ:      при  уравнение имеет два решения;

при  уравнение имеет одно решение;

при  решений нет.

2 этап. Решим эту же задачу графическим методом в геометрической среде программы GeoGebra.

Прежде, необходимо школьникам напомнить суть графических методов решения задач с параметрами: метода сечений и координатно-параметрического метода. После приступаем к решению этой задачи несколькими способами.

1 способ. Сначала попробуем решить данную задачу методом сечений. Для этого перепишем уравнение в виде . Далее строим графики функций  и  в системе координат хОу. График функции  представляет собой семейство прямых, параллельных оси Ох.

Произведём это построение в графической среде программы GeoGebra следующим образом:

1. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции  и . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов (рис.7).

2. Изменяя значения параметра а, будем получать различное количество решений исходного уравнения:

а) при    прямая будет всегда иметь с графиком функции  две  точки пересечения, следовательно, уравнение имеет два решения;

б) при  прямая  имеет с графиком функции   только одну точку пересечения, следовательно, уравнение имеет одно решение;

в) при   прямая  не имеет с графиком функции  точек пересечения, а следовательно, уравнение решений не имеет.

рис. 7

Ответ       при  уравнение имеет два решения;

при  уравнение имеет одно решение;

при  решений нет.

2 способ. Решим исходное уравнение координатно-параметрическим методом. Для этого выразим параметр а через переменную х: .

 1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.

2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим функцию. После нажатия на клавишу Enter график сразу появится в области графического представления и панели объектов (рис.8).

рис. 8

Записывая ответ, поставим в соответствие каждому фиксированному значению параметра а значение искомой величины х. Для этого график функции  «рассекается» горизонтальными прямыми.

Ответ:      при  уравнение имеет два решения;

при  уравнение имеет одно решение;

при  решений нет.

Далее, рассмотрим решение ещё одной задачи графическим методом с использованием программы GeoGebra.

Задача 2. Исследовать число решений уравнения  в зависимости от величины действительного параметра а.

Решение. Данную задачу будем решать координатно-параметрическим методом.

Воспользовавшись определением абсолютной величины, преобразуем исходное уравнение в каждой из получившихся «частичных» областей. Они получаются делением координатно-параметрической плоскости прямыми .

Произведём это деление в графической среде программы GeoGebra следующим образом:

1. В первую очередь, нам необходимо переобозначить координатные оси, поскольку мы будем работать в координатно-параметрической плоскости. Это значит, что одна из осей будет координатной (её мы обозначим Ох), а вторая – параметрической (её мы обозначим Оа). Для этого в главном меню выберем вкладку «Настройки – Дополнительно – Настройки - полотно – Ось абсцисс – Ось ординат» и в строке «Обозначение» придадим им соответствующие обозначения x и а.

2. В строке ввода (внизу диалогового окна) вводим последовательно функции . После нажатия на клавишу Enter они сразу появятся в области графического представления и панели объектов. Тем самым разделили координатно-параметрическую плоскость на четыре «частичные» области (рис.9).

рис.9

Далее, преобразуем исходное уравнение для каждой из полученных частичных областей:

1. при  исходное уравнение примет вид: ;

2. при  исходное уравнение примет вид: ;

3. при  исходное уравнение примет вид: ;

4. при  исходное уравнение примет вид: ;

Таким образом, исходное уравнение можно заменить равносильной совокупностью смешанных систем:

Теперь строим графики каждой из полученных функций. Для этого:

1. Набираем в строке ввода функцию .

2. Нажимаем Enter. График этой функции (пунктирная  прямая линия) появится в области графического представления. Далее необходимо выбрать ту её часть, которая находится в рассматриваемой области (луч АВ), т.е. при . Получим (рис. 10):

рис. 10

3. Аналогично строим графики функций , ,  и выделяем соответствующие рассматриваемым областям их части. В результате получим следующий график (рис. 11):

рис. 11

4. Далее, при помощи инструмента «Ползунок» на панели инструментов добавляем ползунок, обозначенный l, который будет определять значение изменяемого параметра a.

5. Набираем в строке ввода функцию ;

6. В зависимости от принимаемых параметром а значений, будем получать различное количество решений уравнения .

Так, при  прямая l не имеет общих точек пересечения с графиком функции  следовательно, решений нет (рис. 12);

 

рис. 12

При  прямая l и график функции  имеют одну точку пересечения, следовательно, уравнение  имеет одно решение (рис. 13);

рис.13

При  прямая l пересекается с графиком функции  в двух точках. Следовательно при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка  уравнение  имеет ровно два решения (рис. 14);

рис. 14

При прямая l пересекается с графиком функции  в трёх точках следовательно, уравнение имеет три решения (рис. 15);

 рис. 15

При  прямая l имеет с графиком функции  четыре общие точки. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка  уравнение имеет четыре решения (рис.16);

рис. 16

При  прямая l имеет с графиком функции  три точки пересечения, а следовательно три решения (рис. 17);

рис.17

И, наконец, при  прямая l имеет с графиком функции  две точки пересечения. Следовательно, при каждом принимаемом значении параметром а из промежутка  уравнение имеет два решения (рис.18).

рис. 18

Ответ:      при  – решений нет;

                                           при  – три решения;

                             при – четыре решения;

                             при  – три решения;

                             при  – два решения.

Таким образом, на первых занятиях решения задач с параметрами графическими методами, не нужно принуждать школьников решать задачи графическими методами. Необходимо дать им возможность самостоятельного выбора метода решения той или иной задачи (функционального или аналитического). И только после этого, на примерах в сравнении с аналитическим или функциональным методами показать школьникам преимущества графического метода, того что использование этого метода в совокупности зачастую упрощает и сокращает время решения той или иной задачи с параметром.