Методика обучения различным темам курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики»

Методика обучения различным темам курса «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………………………. 3
Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики».
§ 1. Таблица целей обучения линии Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики………………………………………………………………………………………………5 § 2. Методическая схема обучения решения  задачи по теории вероятностей  из ЕГЭ………………………………………………………………………………………………………7 § 3.Историческая справка для проведения занятий по теме «Комбинаторика»……………………8
§ 4. Историческая справка для проведения занятий по теме « Теория вероятностей»…………….11
Глава 2. Конспекты уроков для проведения занятий. § 5.Конспект урока по  теме «Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач»…………………………………………………………………………………………………   12
§ 6. Конспект урока по  теме « События, виды случайных событий, действия над ними»……………………………………………………………………………………………………19
Заключение……………………………………………………………………………………………  25
Список литературы……………………………………………………………………………………  25
Приложения: (стр.26- 36) 1.     Задачи по теме « Сочетания» из ЕГЭ с решениями и комментариями. 2.     Презентация для проведения занятия по теме «Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач». 3.     Презентация для проведения занятия по теме « События, виды случайных событий, действия над ними». 4.Теоретический материал и задачи для проведения занятия по теме« События, виды случайных событий, действия над ними».

Введение.

Сегодня образование России переживает методический переворот и, начиная с 2004 года в курс математики вошёл  курс « Элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики». Раздел «Вероятность и статистика» — обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования у учащихся функциональной грамотности – умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит учащемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

В результате изучения раздела «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей» учащиеся должны уметь:

• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;

• решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;

• вычислять средние значения результатов измерений;

• находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;

• находить вероятности случайных событий в простейших случаях; использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

• анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;

Актуальность проблемы:

В новых образовательных стандартах 2004 года элементы теории вероятностей и статистики включены в обязательный минимум содержания;

С 2009 года задания по теории вероятностей и статистике выносятся на итоговый экзамен в 9-ом, а затем и в 11-ом классах;

Существует нехватка качественных учебных материалов и отсутствие практического опыта  преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в школе.

Цель:

Разработка методических рекомендаций обучения различным темам разделов содержательно-методической линии «Элементы теории вероятностей, комбинаторики, статистики».

Глава 1. Теоретические основы обучения теме «Элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики».

Таблица целей обучения линии Элементы теории вероятностей, комбинаторики и математической статистики

Формулировки обобщённых целей	Формулировки учебных задач, с помощью которых достигается обобщённая цель			Опознаваемость целей
	цель считается достигнутой, если Вы:
	на первом уровне	на втором уровне	на третьем уровне
Ц 1: приоб­ретение и преобразо­вание УИ и формирова­ние ум­ственных действий	а) формулируете определения всех видов комбинаций, событий с использованием набора заданий и учебника; б) разъясняете смысл теоремы, данной в учебнике; в) сравниваете решение задач первого уровня сложности и распределяете на группы в соответствии с данными приёмами их решения	а) сравниваете различные комбинаций объектов и распределяете их на группы, используя помощь; б) выполняете анализ данных решённых задач 2-го уровня сложности и, обобщая, составляете приёмы их решения; распределяете задачи на группы	а) сравниваете различные комбинаций объектов и распределяете их на группы; б) составляете приёмы решения задач данного типа с помощью указаний; в) доказываете формулы для нахождения числа перестановок, размещений, сочетаний	ИС «Виды комбинаций объектов», «Ос-новные понятия», «Основные теоремы»; б) классификация типов задач; планы решения задач, карточки-информаторы
Ц 2: контроль усвоения теории	знаете: а) определение классической вероятности события; б) классическую вероятностную схему; в) план статистической обработки информации; г) понятие кратность варианты, понятие объем измерения; д) формулы для вычисления: частоты и процентной частоты варианты; е) таблицу распределения частот; ж) понятия: объем, размах, мода, медиана, среднее арифметическое и правила их вычисления,	знаете: а) правило для нахождения геометрической вероятности; б) теорему и схему Бернулли; понятие многоугольника распределения, понятие гистограммы распределения; в) понятия: квадрат ошибок, дисперсия и формулы для их вычисления; г) Гауссову кривую	знаете: а) теорему и правило нахождения наивероятнейшего числа «успехов» в испытаниях Бернулли; б) понятия и формулы: среднее квадратичное отклонение, мера центральной тенденции; в) алгоритм использования Гауссовой функции в вычислениях; т) закон больших чисел, понятие статистической устойчивости
Ц 3: применение знаний и умений	умеете: а) использовать основные определения, правила и теоремы для решения классических вероятностных задач уровня ЕГЭ; б) составлять  аналогичные задачи	умеете: а) использовать все определения, правила и теоремы для решения задач; б) пользоваться методами нахождения вероятности событий и вероятности числа успехов; в) решать задачи своего уровня сложности; г) составлять задачи: аналогичные данным; обобщать и конкретизировать данную задачу		приёмы решения задач различных типов
Ц 4: формирование коммуникативных умений	на своём уровне освоения темы: а) работая в группе, оказываете помощь, рецензируете ответы товарищей, организуете взаимоконтроль, взаимопроверку по выполненным заданиям предыдущих уровней с обоснованием; б) оказываете помощь товарищам, работающим на предыдущих уровнях; в) в соответствии с темой готовите сообщение и выступаете с ним; г) составляете контрольную работу в соответствии со своим уровнем освоения темы, предлагает её для решения товарищу и проверяете решение			приёмы контроля, оценки, коррекции и др.;
Ц 5: формирование организационных умений	в соответствии со своим уровнем освоения темы а) сами выбираете уровень освоения темы; б) выбираете темы для дополнительного изучения; в) формулируете цели своей учебной деятельности; г) осуществляете самопроверку с использованием образцов, алгоритмов, приёмов; д) оцениваете свою УПД по данным объективным критериям; по собственным критериям, сравнивая их с объективными критериями; е) делаете выводы по итогам предыдущей УПД, о дальнейших действиях, направленных на её коррекцию, планируете коррекцию УПД			приёмы самоконтроля, самооценки УПД

§ 2. Методическая схема обучения решения одной задачи из ЕГЭ.

Задача.

Бросили 3 игральных кубика и подсчитали сумму очков на его гранях. Какова вероятность того, что в сумме будет 15? (результат вычисления округлите до сотых).

Цель: Контроль знаний учащихся по теме «Вычисление вероятности элементарных событий».

Умение применять общую схему решения задач по вычислению вероятностей элементарных событий для конкретной задачи.  (К данному моменту предполагается что учащиеся уже знают эту схему и все её составляющие)

Содержание:

1. Назовите испытание, о котором идёт речь в данной задаче.

-Испытание ( опыт ) состоит в одновременном подбрасывании трёх игральных кубиков и подсчёт суммы выпавших очков на его гранях.

      2.Найдите общее число исходов в данном испытании.

                -Общее число исходов вычисляем по формуле  ( по комбинаторному правилу произведения)  N=216.

      3.Назвать событие, вероятность которого необходимо вычислить в задаче и определите его вид.

              -Событие А- сумма выпавших очков равна 15. Событие является элементарным.

     4.Найти число исходов, благоприятствующих наступлению события А, т.е . N(A).

         -Для подсчёта  N(A) выпишем все исходы, которые  в сумме дают 15.

Их не так уж и много. Заметим, что минимальное число очков на одной грани будет 3.

Это:

         6+6+3;      6+3+6;     3+6+6;     6+5+4 ;     6+4+5;         5+6+4;        5+4+6 ;                  4+5+6  ;           4+6+5 ;             5+5+5.

Всего 10 комбинаций.  N (A)=10.

5.Применить формулу для вычисления вероятности (классическое определение вероятности события).

Р (А) =       

Р (А) = =0.04629.

Ответ. 0.05 (результат округлён до сотых).

§ 3.Историческая справка для проведения занятий по теме «Комбинаторика».

Комбинаторная математика, комбинаторика – раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения элементов некоторого (обычно конечного) множества в соответствии с заданными правилами. Каждое такое правило определяет способ построения некоторой конструкции из элементов исходного множества, называемой комбинаторной конфигурацией. Поэтому можно сказать, что целью комбинаторного анализа является изучение комбинаторных конфигураций, в частности вопросов их существования, алгоритмов построения, решения задач на перечисление. Примерами комбинаторных конфигураций являются перестановки, размещения и сочетания; блок-схемы и латинские квадраты .

Возникновение основных понятий и развитие комбинаторики шло параллельно с развитием других разделов математики, таких, как алгебра, теория чисел, теория вероятностей, с которыми комбинаторный анализ тесно связан. Ещё математикам Древнего Востока были известны, например, формула, выражающая число сочетаний через биномиальные коэффициенты, и формула Бинома Ньютона с натуральным показателем n. С мистическими целями изучались магические квадраты 3-го порядка.

Большой вклад в развитие комбинаторных методов был сделан Г. Лейбницем, Я. Бернулли, Л. Эйлером. С 50-х гг. XX века интерес к комбинаторному анализу начал возрождаться, что связано с бурным развитием кибернетики, дискретной математики, теории планирования и теории информации. На формирование направления исследований в дальнейшем оказывают влияние два фактора. С одной стороны, выбор объектов исследований, с другой – формулировка целей исследования, зависящая в конечном счёте от сложности изучаемых объектов. Если исследуемая комбинаторная конфигурация имеет сложный характер, то целью исследования является выяснение условий её существования и разработка алгоритмов построения.

Другое направление комбинаторного анализа связано с теоремами выбора, т.е. теоремами, связанными с выбором элементов из данного множества, тем или иным способом соответствующих семейству подмножеств этого множества. В основе целого ряда результатов этого направления лежит теорема Холла о существовании системы различных представителей (трансверсали) семейства подмножеств некоторого множества.

Теорема Холла. Семейство S тогда и только тогда имеет систему различных представителей, когда объединение каждых k множеств из S содержит, по крайней мере, k различных элементов, .

В комбинаторике изучают вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов).

Рождение комбинаторики как раздела математики связано с трудами Б. Паскаля и П. Ферма по теории азартных игр. Большой вклад в развитие комбинаторных методов внесли Г.В. Лейбниц, Я. Бернулли и Л. Эйлер.

Французский философ, писатель, математик и физик Блез Паскаль (1623–1662) рано проявил свои выдающиеся математические способности. Круг математических интересов Паскаля был весьма разнообразен. Паскаль доказал одну
из основных теорем проективной геометрии (теорема Паскаля), сконструировал суммирующую машину (арифмометр Паскаля), дал способ вычисления биномиальных коэффициентов (треугольник Паскаля), впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции, сделал существенный шаг в развитии анализа бесконечно малых, сыграл важную роль в зарождении теории вероятности. В гидростатике Паскаль установил ее основной закон (закон Паскаля). “Письма к провинциалу” Паскаля явились шедевром французской классической прозы.

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) — немецкий философ, математик, физик и изобретатель, юрист, историк, языковед. В математике наряду с И. Ньютоном разработал дифференциальное и интегральное исчисление. Важный вклад внес в комбинаторику. С его именем, в частности, связаны теоретико-числовые задачи.

Готфрид Вильгельм Лейбниц имел мало внушительную внешность и поэтому производил впечатление довольно невзрачного человека. Однажды в Париже он зашел в книжную лавку в надежде приобрести книгу своего знакомого философа. На вопрос посетителя об этой книге книготорговец, осмотрев его с головы до ног, насмешливо бросил: “Зачем она вам? Неужели вы способны читать такие книги?” Не успел ученый ответить, как в лавку вошел сам автор книги со словами: “Великому Лейбницу привет и уважение!” Продавец никак не мог взять втолк, что перед ним действительно знаменитый Лейбниц, книги которого пользовались большим спросом среди ученых.

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, - возникла в XVII в. Долгое время комбинаторика лежала вне основного русла развития математики. Положение дел резко изменилось после появления быстродействующих вычислительных машин и связанным с этим расцветом конечной математики. В настоящее время комбинаторные методы применяются в теории случайных процессов, статистике, математическом программировании, вычислительной математике, и т.д.

С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определённом порядке и отыскивать среди разных положений наилучшие, люди столкнулись ещё в доисторическую эпоху, выбирая лучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов – во время работы. По мере усложнения производственных и общественных отношений всё шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании.

Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника. Приспособления таких игр археологи находили в древних захоронениях, например в пирамиде египетского фараона Тутанхамона.


О таких играх английский поэт Уордсворд писал:

^ Не нужно нам владеть клинком,

Не ищем славы громкой.

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мыслить, тонким.

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

Толчком к развитию комбинаторики послужили азартные игры, прежде всего игра в кости (два или три кубика с нанесёнными на них точками выбрасывали на стол, и выигрывал тот, у кого сумма очков оказалась больше). Игроки пытались понять, почему одни суммы выпадают чаще, другие – реже. Задача оказалась совсем не простой, особенно в случае трёх или даже четырёх костей.

Этой проблемой в XVI в. Занимались известные итальянские математики Джироламо Кардано, Никколо Тарталья, в XVII в. – Галилео Галилей, крупнейшие математики Франции Блез Паскаль и Пьер Ферма. Работы последних ознаменовали рождение двух новых ветвей математики – комбинаторики и теории вероятностей.

Но не только азартные игры послужили толчком к исследованиям математиков. Ещё одна причина – тайна переписи. Шифрами пользовались короли, дипломаты и заговорщики, а также сами учёные. Изобретались всё более и более сложные шифры, а для кодирования и расшифровки информации привлекались математики. Так, ещё в конце XVI в., во время войны Франции с Испанией, расшифровкой переписки между противниками французского короля Генриха III и испанцами занимался Франсуа Виет. Навыки в работе со сложными шифрами помогали учёным при разгадке письменности древних народов.

В дальнейшем полем для приложения комбинаторных методов оказалась биология, химия, физика. И, наконец, роль комбинаторики коренным образом изменилось с появлением компьютеров: она превратилась в область, находящуюся на магистральном пути развития науки.

§ 4. Историческая справка для проведения занятий по теме « Теория вероятностей».

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 20°, то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» — случайное. Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны. Поэтому теория вероятностей не ставит перед собой задачу предсказать, произойдет единичное событие или нет, — она просто не в силах это сделать.

По-иному обстоит дело, если рассматриваются случайные события, которые могут многократно наблюдаться при осуществлении одних и тех же условий S, т. е. если речь идет о массовых однородных случайных событиях. Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Установлением этих закономерностей и занимается теория вероятностей.

Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события, позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя, как было уже сказано, нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI—XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654—1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру, Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период связан с именами П. Л. Чебышева (1821—1894) и его учеников А.А.Маркова(1856—1922) и А. М.Ляпунова (1857—1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С. Н. Бернштейн, В. И. Романовский, А. Н. Колмогоров, А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, Н. В. Смирнов и др.). В настоящее время ведущая роль в создании новых ветвей теории вероятностей также принадлежит советским математикам.

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.

Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр.

Слово “азарт”, под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего “случай”, “риск”. Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным образом не от умения игрока, а от случайности.

Схема азартных игр была очень проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые попытки этого рода связаны с именами известных учёных – алгебраиста Джероламо Кардано (1501 – 1576) и Галилео Галилея (1564 – 1642). Однако честь открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать случайные величины, но и производить определенные математические операции с ними, принадлежит двум выдающимися ученым – Блезу Паскалю (1623 – 1662) и Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости.

Азартные игры практиковались в ту пору главным образом среди знати, феодалов и дворян. Особенно распространенной была игра в кости. Было замечено. что при многократном бросании однородного кубика, все шесть граней которой отмечены соответственно числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 число очков от 1 до 6 выпадают в среднем одинаково часто, иными словами, выражаясь языком математики, выпадение определённого числа очков имеет вероятность, равную 1/6 (т.е. отношению числа случаев, благоприятствующих событию к общему числу всех случаев). Аналогично вероятность появления на верхней грани кости чётного числи очков равна 3/6 ,так как из шести равновозможных случаев чётное число появляется только в трёх.

Решение порой довольно сложных задач, с которыми обращались заинтересованные лица к Паскалю, Ферма, Гюйгенсу, способствовало разработке основных понятий и общих принципов теории вероятностей, в том числе и правил действия над ними. Отсюда не следует, конечно, заключать, что основоположники теории вероятностей рассматривали азартные игры как единственный или главный предмет разрабатывавшейся ими новой отрасли науки.

На развитие теории вероятностей оказали влияние более серьёзные потребности науки и запросы практики, в первую очередь страховое дело, начатое в некоторых странах ещё в 16в. В 16-17вв. учреждение страховых обществ и страхование судов от пожара распространились во многих европейских странах.

Азартные игры были для ученых только удобной моделью для решения задач и анализа понятий теории вероятности. Об этом заметил ещё Гюйгенс в своей книге “О расчётах в азартной игре” (1657), которая была первой книгой в мире по теории вероятностей. Он писал: “...при - внимательном изучении предмета читатель заметит, что он занимается не только игрой, а что здесь даются основы глубокой и весьма интересной”. Гюйгенс впервые ввёл важное для теории вероятностей понятие математического ожидания, которое получило дальнейшее развитие а трудах Даниила Бернулли, Даламбера и др. Понятие математического ожидания находит немало применений а разных других областях человеческой деятельности.

Таким образом, в 60-е годы 17в. были выработаны первые понятия и некоторые элементы теории вероятностей. В последующие два века учёные столкнулись с множеством новых задач, связанных с исследованием случайных явлений.

Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

Глава 2. Конспекты уроков для проведения занятий.

§ 5.Конспект урока по  теме «Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач».

                                       Конспект занятия по теме:

 « Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач на подсчёт числа сочетаний».

                                  План проведения занятия№58.

Дата:14.12.2013

Дисциплина: Математика.

Преподаватель: Мурашова Валентина Ивановна, ГБОУ СПО « Серпуховский машиностроительный техникум Московской области»

Аудитория: студенты 1 курса ( группа141).

Тема занятия: « Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач на подсчёт числа сочетаний».

Тип урока: комбинированный урок.

Цель:

1. Образовательная:

Систематизация , углубление и обобщение знаний по данной теме, полученных студентами при изучении её в школьном курсе, введение понятия сочетания, вывод формулы  для подсчёта числа сочетаний, используя понятия размещений и перестановок, изучение свойства чисел сочетаний, показ различия между сочетаниями и размещениями, привитие практических навыков  при подсчёте числа сочетаний, во время решения задач практического содержания, во время решения уравнений с сочетаниями. Закрепление знаний, полученных на предыдущем занятии (размещения и перестановки), развитие вычислительных навыков.

      2.Воспитательная:

 формирование устойчивого интереса к предмету, приучать к     эстетическому оформлению записи в тетради, умению        выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие

   3.Развивающая:

 развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, умение обобщать и классифицировать полученную информацию: формирование устойчивого интереса к предмету, приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование. Подготовка презентации для проведения занятия,

мультимедийный проектор, компьютер.

Время на проведение занятия- 90 минут.

                                                          Ход занятия

Этапы урока и их содержание	Деятельность		Время
	Учителя	Ученика
1.Организационный этап. 1.1.Проверка присутствующих. 1.2. Проверка готовности студентов к занятию.	организационная Приветствие присутствующих на занятии, преподаватель отмечает отсутствующих в журнале. Проверка наличия у студентов тетрадей, письменных принадлежностей, подготовка к занятию классной доски, подключение дежурным аппаратуры для просмотра презентации.	отчёт старосты о составе студентов группы	3
2.Постановка цели. 14.12.2013. Занятие № 58 Тема занятия: « Формулы числа сочетаний. Решение комбинаторных задач на подсчёт числа сочетаний».	На доске записывается число, номер занятия, тема занятия.	В тетради записывают число, номер занятия, тему занятия.	1
3.Проверка домашнего задания. На дом было предложено подготовить теоретический материал по теме  « Перестановки» и «Размещения» и решить практические задачи. Выполнение домашнего задания проверяем следующим образом: два студента у доски готовят индивидуальные ответы по теме « Перестановки» и «Размещения», письменное задание проверяем чтением вслух задач и примеров, наиболее сложные задания разбираем у доски. Заслушивание индивидуальных ответов.	Сначала заслушивает решения задач по ходу проверки домашнего задания, вносит  коррективы в их решение ( если это необходимо),задаёт дополнительные вопросы, затем вместе со всеми заслушивает индивидуальные ответы, выставляет оценки за индивидуальные ответы и за выполнение домашнего задания, ТЕМ СТУДЕНТАМ , У КОТОРЫХ РЕШЕНИЕ ОРИГИНАЛЬНОЕ .И ТЕМ, КТО ОТВЕЧАЛ УСТНО, на дополнительные вопросы.	2 человека готовят у доски ответы по теоретическому материалу, в это время остальные проверяют письменное домашнее задание (чтение вслух) ,затем слушают индивидуальные ответы, задают дополнительные вопросы, добавляют ответы.	10-12
4.Этоп мотивации к изучению нового материала. 4.1. Формулировка темы и цели урока.(слайд №1,2 презентации к занятию ) 4.2.  Историческая справка по теме занятия.( слайды №3,4,5)	Преподаватель говорит об актуальности изучения данной темы, о том какие навыки должны быть привиты у студентов в результате проведения занятия, о месте и роли изучаемого вопроса в разделе «Теория вероятностей». Демонстрация  слайдов.	Слушают преподавателя, отвечают на вопросы. Записывают в тетрадь понятие комбинаторики. Историческую справку читают отдельные студенты по очереди вслух, остальные слушают.	10
5.Этап усвоения новых знаний.			(17)
5.1.Повторение.( слайд №6)	Демонстрация  слайда, выслушивание ответов, проверка правильности выполненного задания со слайда.	Ответ на вопросы, решение письменного задания в тетради.	3
5.2.Изучение нового материала (Слайд №6)	Вводит понятие сочетания, показывает, как оно обозначается, выводит формулу связи сочетаний с перестановками и размещениями.	Записывают в тетрадь Определение, вывод формулы и саму формулу.	4
5.3.Решение примеров по теме занятия. Пример№1 ( слайд8). Пример№2 ( слайд9). Пример №3 ( слайд10).	Приводится необходимое количество примеров. Преподаватель следит за точностью ответов, фиксирует их, следит за точностью формулировок, направляет обсуждение в сторону верного решения задач.	Студенты производят все записи, отвечают на вопросы, решают, обсуждают, записывают решения в тетради.	10
6. Этап закрепления нового материала. 6.1. Решение примеров по теме занятия самостоятельно с последующей проверкой решений с помощью презентации. Пример№4 ( слайд11). Решение ( слайд №12) Пример№5 ( слайд13). Решение ( слайд №14) Пример №6 ( слайд15). Решение ( слайд №16)	Студентам предлагается решить самостоятельно 3 задачи поочерёдно с последующей самопроверкой с помощью презентации верности решения. Преподаватель проверяет  выполнение решений задач в тетради, индивидуально консультирует студентов, если в этом есть необходимость, отвечает на их вопросы, демонстрирует презентацию с задачами и решениями этих задач.	Производят записи задач и решений задач в тетради, сравнивают своё решение с верным.	20
7.Этап проверки усвоения нового материала. Проверка усвоения материала проводится методом группового коллективного решения. Группа разбивается на 4 подгруппы .Вам предлагается решить 8 задач. Задачи записаны на слайде №17. От каждой группы принимается только один листок с ответами на задачи. ( условия задач не записываем). На листочке должны быть указаны фамилии всех участников группы. Старший по группе напротив каждой фамилии указывает выставляет 3 оценки  –за участие в групповом обсуждении; - за оформление конспекта занятия; - за выполнение домашнего задания к данному уроку и сдаёт листок преподавателю.	Организует работу в группах, следит за порядком в аудитории.	Выполняют работу в группах.	20
8.Заключительный этап занятия (Этап рефлексии).	Подводит итоги занятия, отвечает на вопросы, возникшие в результате его проведения, выявляет типовые ошибки в результате выполнения заданий по закреплению нового материала. Результаты по групповому решению задач будут проанализированы преподавателем  и оценки будут выставлены на следующем занятии.	Задают вопросы, проверяют верность решённых задач, сравнивают ответы.	5
9.Этап информации о домашнем задании. Слайд № 17. 1.Подготовить теоретический материал по теме занятия. См. [1] §15.3. 2.Решить задачи:   №15.8-15.13 3.Подготовиться к самостоятельной работе по теме «Комбинаторика»	Объявляет, обосновывает и выставляет все оценки в журнал.	Записывают задание в тетрадь.	2
			90 мин.

§ 6. Конспект занятия по теме:

 « События, виды случайных событий, действия над случайными     событиями»

Дата: 18.12.2013г.

Дисциплина: Математика.

Преподаватель: Мурашова Валентина Ивановна, ГБОУ СПО « Серпуховский машиностроительный техникум Московской области»

Аудитория: студенты 1 курса ( группа141).

Тема урока:   «   События, виды случайных событий, действия над случайными событиями.»

Тип урока: урок смешанного типа ( урок изучения нового материала и закрепления его)

Цели занятия:

1.Образовательная: Познакомить студентов с понятием случайного события и его видами, введение понятия операций над случайными событиями ,показать различия  между событиями совместными и несовместными, закрепить понятия суммы и произведения событий,  закрепить эти понятия в ходе решения задач, развивать логическое мышление учащихся. Систематизация и углубление знаний студентов, полученных в школе, по данной теме.

2.Воспитательная: Формировать навыки использование моделей при воспроизведении случайных опытов.

3.Развивающая: Развитие навыков исследовательской работы, творческой стороны мышления, развитие логического мышления, формирование навыков вероятностной интуиции.

Оборудование. Подготовка студентами докладов ( историческая справка), подготовка презентации для проведения занятия,

мультимедийный проектор, компьютер.

Время -45 минут.

                          Ход занятия

Этапы урока и их содержание	Деятельность		Время
	Учителя	Ученика
1.Организационный этап. 1.1.Проверка присутствующих. 1.2. Проверка готовности студентов к занятию.	организационная Приветствие присутствующих на занятии, преподаватель отмечает отсутствующих в журнале. Проверка наличия у студентов тетрадей, письменных принадлежностей, подготовка к занятию классной доски, подключение дежурным аппаратуры для просмотра презентации.	отчёт старосты о составе студентов группы	3
2.Постановка цели. 18.12.2013. Занятие № 61 Тема занятия: «События, виды случайных событий, действия над случайными     событиями.»	На доске записывается число, номер занятия, тема занятия.	В тетради записывают число, номер занятия, тему занятия.	1
3.Проверка домашнего задания. Анализ самостоятельной работы по теме «Комбинаторика», которая проходила на предыдущем занятии.	Анализирует допущенные ошибки, объясняет верные решения, объявляет результаты, выставляет оценки.	Слушают преподавателя.	3
4.Этоп мотивации к изучению нового материала. 4.1. Формулировка темы и цели урока.(слайд №1,2 презентации к занятию ) 4.2.  Историческая справка по теме занятия	Преподаватель говорит об актуальности изучения данной темы, о том какие навыки должны быть привиты у студентов в результате проведения занятия, о месте и роли изучаемого вопроса в разделе «Теория вероятностей». Демонстрация  слайдов.	Запись в тетрадь темы задания. Записывают в тетрадь понятие теории вероятностей, как науки. Историческую справку читает студент, заранее её подготовивший. Остальные слушают.	5
5.6.7.Этап усвоения новых знаний, этап закрепления нового материала и этап проверки усвоения нового материала.
Примечание: Заранее подготовленный материал  в виде презентации даёт прекрасную возможность совмещения этих этапов занятия, т.к .изучение нового материала проходит параллельно с его закреплением и опросом студентов.( см. презентацию).	.
(Слайд №3) События .Виды событий.	Показывает слайд и комментирует его.	Зарисовывают схему в тетрадь.	1
( Слайд№4) Случайное событие, примеры сл. Событий.	Показывает слайд и комментирует его.	Запись определения и одного из примеров.	1
( Слайд №5) Назовите случайные события в предложенных опытах.	Показывает слайд, фиксирует ответы студентов.	Думают, отвечают.	2
(Слайд №6) Верные ответы на предыдущее задание.	Показывает слайд и комментирует его.	Слушают, смотрят правильные ответы.	2
(Слайд №7)Достоверные и невозможные события. Определение, примеры.	Показывает слайд и комментирует его.	Слушают, смотрят, записывают определения, примеры.	1
(Слайд №8)Противоположные события. Определение. Примеры.	Показывает слайд и комментирует его.	Слушают, смотрят, записывают определения, примеры.	1
(Слайд №9)Задание. Указать событие, противоположное данному.	Показывает слайд и фиксирует ответы.	Отвечают устно.	2
(Слайд №10) Задание. Указать событие, для которого данное является противоположным.	Показывает слайд и фиксирует ответы.	Отвечают устно	2
(Слайд №11)Полная группа событий. Примеры.	Показывает слайд и комментирует его.	Слушают, смотрят.	1
(Слайд №12)Совместные и несовместные события. Теория.	Показывает слайд и комментирует его.	Записывают определение.	2
(Слайд №13) Совместные и несовместные события. Примеры.	Показывает слайд и комментирует его.	Запись некоторых примеров.	1
(Слайд №14)Задание. Совместны ли следующие события?	Показывает слайд и фиксирует ответы.	Отвечают устно	2
(Слайд №15)Задание. Выяснить ,совместны или несовместны события.	Показывает слайд и фиксирует ответы.	Отвечают устно	2
(Слайд№16) Задание. Определение совместности и несовместности пар событий.	Показывает слайд и фиксирует ответы.	Отвечают устно	2
(Слайд№17)Равновозможные события. Определение. Примеры.	Показывает слайд и комментирует его.	Записывают определение.	1
(Слайд№18)Сумма событий.	Показывает слайд	Записывают определение	1
(Слайд№19)Примеры суммы событий.	Показывает слайд и комментирует его.	Запись некоторых примеров.	1
(Слайд№20)Изображение суммы событий на диаграммах Эйлера-Венна.	Показывает слайд и комментирует его.	Делают рисунок в тетради.	1
(Слайд№21)Произведение событий. Определение.	Показывает слайд и комментирует его.	Записывают определение.	1
(Слайд №22)Примеры произведения событий.	Показывает слайд и комментирует его.	Запись некоторых примеров.	2
(Слайд №23) Изображение произведения  событий на диаграммах Эйлера-Венна.	Показывает слайд и комментирует его.	Делают рисунок в тетради.	1
8.Заключительный этап занятия (Этап рефлексии).	Подводит итоги занятия	Задают вопросы.	2
9.Этап информации о домашнем задании. Слайд № 24.( см. презентацию)	Объявляет, обосновывает и выставляет все оценки в журнал.	Записывают задание в тетрадь.	1
			45 мин.

Заключение. Решение поставленных задач потребовало использования следующих методов исследования: анализ психолого-педагогической, математической и методической литературы по проблеме исследования, учебников и учебных пособий по математике; беседы с учителями, тестирование учащихся, проведение опытной проверки, подготовка презентаций для проведения занятий.

Список литературы: 1. Грес П.В. Математика для гуманитариев: Уч. пособие / П.В. Грес. - М.: Юрайт, 2000. - 112 с. 2 Баврин И.И., Матросов В.Л. Высшая математика: Учеб. для студ. Высш. учеб. заведений. - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2002. - 400 с.: ил. 3. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Айрис-пресс, 2004. - 256 с. - (Высшее образование). 4.  Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Уч. пособие / В.Е. Гмурман. - М.: Высш. шк., 2002. - 405 с. 5.  Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие / В.Е. Гмурман - М.: Высш. шк., 2003. - 497 с. 6. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. - 6-е изд. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. - 576 с. 7 Курс математики (для гуманитарных специальностей вузов): Учебно-методическое пособие / ЧГАКИ. - Челябинск, 200. - 45 с.  8.С.М. Никольский «Элементы математического анализа» гл. 11 пар. 1-5.  9.И.И. Ежов, А.В. Скороходов «Элементы комбинаторики». 10.Учебник «Алгебра и начала анализа» под редакцией                            Г.Н. Яковлева. 11.Методические рекомендации по математике выпуск №7, 8                    М. «Высшая школа» 1986 год.

Приложения: 6.Теоретический материал и задачи для проведения занятия по теме« События, виды случайных событий, действия над ними».

Приложение 1.Задачи по теме « Сочетания» из ЕГЭ с решениями и комментариями.

                          Правила комбинаторики в задаче B10

Решая задачи по теории вероятностей, мы постоянно используем одну и ту же формулу, которая одновременно является классическим определением вероятности:

где k — число благоприятных исходов, n — общее число исходов .

И эта формула прекрасно работает до тех пор, пока задачи были легкими, а числа, стоящие в числителе и знаменателе — очевидными.

Однако последние пробные экзамены показали, что в настоящем ЕГЭ по математике могут встречаться значительно более сложные конструкции. Отыскание значений n и k становится проблематичным. В таком случае на помощь приходит комбинаторика. Ее законы работают там, где искомые значения не выводятся непосредственно из текста задачи.

Рассмотрим простые правила и разберем конкретные задачи, которые действительно встречаются на ЕГЭ.

Число сочетаний и факториалы

Определение

Пусть имеется n объектов (карандашей, конфет, бутылок водки — чего угодно), из которых требуется выбрать ровно k различных объектов. Тогда количество вариантов такого выбора называется числом сочетаний из n элементов по k. Это число обозначается C_n^k и считается по специальной формуле.

Обозначение

Замечание

Выражение n! читается как «эн-факториал» и обозначает произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно: n! = 1 · 2 · 3 · ... · n.

Кроме того, в математике по определению считают, что 0! = 1

Для лучшего понимания разберем несколько простейших комбинаторных задач:

Задача

У бармена есть 6 сортов зеленого чая. Для проведения чайной церемонии требуется подать зеленый чай ровно 3 различных сортов. Сколькими способами бармен может выполнить заказ?

Решение

Тут все просто: есть n = 6 сортов, из которых надо выбрать k = 3 сорта. Число сочетаний можно найти по формуле:

Ответ

20

Задача

В группе из 20 студентов надо выбрать 2 представителей для выступления на конференции. Сколькими способами можно это сделать?

Решение

Опять же, всего у нас есть n = 20 студентов, а выбрать надо k = 2 студента. Находим число сочетаний:

Обратите внимание: красным цветом отмечены множители, входящие в разные факториалы. Эти множители можно безболезненно сократить и тем самым значительно уменьшить общий объем вычислений.

Ответ

190

Задача

На склад завезли 17 серверов с различными дефектами, которые стоят в 2 раза дешевле нормальных серверов. Директор купил в школу 14 таких серверов, а сэкономленные деньги своровал и купил дочке шубу из меха соболя за 200 000 рублей. Сколькими способами директор может выбрать бракованные серверы?

Решение

В задаче довольно много лишних данных, которые могут сбить с толку. Наиболее важные факты: всего есть n = 17 серверов, а директору надо k = 14 серверов. Считаем число сочетаний:

Красным цветом снова обозначены множители, которые сокращаются. Итого, получилось 680 комбинаций. В общем, директору есть из чего выбрать.

Ответ

680

Как видите, число сочетаний из n по k считается достаточно просто. Проблема в том, что многие школьники никогда не работали с факториалами. Для них это новый и незнакомый математический объект, и для его освоения требуется некоторая тренировка.

Хорошая новость состоит в том, что во многих задачах формулы C_n^k оказывается вполне достаточно для нахождения ответа. Но есть и плохая новость: в тех редких случаях, когда нужны дополнительные правила, решение задачи резко усложняется. Эти правила мы сейчас и рассмотрим.

Закон умножения

Определение

Закон умножения в комбинаторике: число сочетаний (способов, комбинаций) в независимых наборах умножается.

Другими словами, пусть имеется A способов выполнить одно действие и B способов выполнить другое действие. Путь также эти действия независимы, т.е. никак не связаны между собой. Тогда можно найти число способов выполнить первое и второе действие по формуле: C = A · B.

Задача

У Пети есть 4 монеты по 1 рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, достал из кармана 1 монету номиналом 1 рубль и еще 1 монету номиналом 10 рублей, чтобы купить сигарету за 11 рублей у бабули в подземном переходе. Сколькими способами он может выбрать эти монеты?

Решение

Итак, сначала Петя достает k = 1 монету из n = 4 имеющихся монет номиналом 1 рубль. Число способов сделать это равно C₄¹ = ... = 4.

Затем Петя снова лезет в карман и достает k = 1 монету из n = 2 имеющихся монет номиналом 10 рублей. Здесь число сочетаний равно C₂¹ = ... = 2.

Поскольку эти действия независимы, общее число вариантов равно C = 4 · 2 = 8.

Ответ

8

Задача

В корзине лежат 8 белых шаров и 12 черных. Сколькими способами можно достать из этой корзины 2 белых шара и 2 черных?

Решение

Всего в корзине n = 8 белых шаров, из которых надо выбрать k = 2 шара. Это можно сделать C₈² = ... = 28 различными способами.

Кроме того, в корзине имеется n = 12 черных шаров, из которых надо выбрать опять же k = 2 шара. Число способов сделать это равно C₁₂² = ... = 66.

Поскольку выбор белого шара и выбор черного — события независимые, общее число комбинаций считается по закону умножения: C = 28 · 66 = 1848. Как видим, вариантов может быть довольно много.

Ответ

1848

Закон умножения показывает, сколькими способами можно выполнить сложное действие, которое состоит из двух и более простых — при условии, что все они независимы.

Именно этой формулы многим не хватило для решения задачи B10 на пробном ЕГЭ по математике. Разумеется, существуют и другие методы решения, в которых комбинаторика не используется — и мы обязательно рассмотрим их ближе к настоящему экзамену. Однако ни один из них не сравнится по надежности и лаконичности с теми приемами, которые мы сейчас изучаем.

Закон сложения

Если закон умножения оперирует «изолированными» событиями, которые не зависят друг от друга, то в законе сложения все наоборот. Здесь рассматриваются взаимоисключающие события, которые никогда не случаются одновременно.

Например, «Петя вынул из кармана 1 монету» и «Петя не вынул из кармана ни одной монеты» — это взаимоисключающие события, поскольку вынуть одну монету и при этом не вынуть ни одной невозможно.

Аналогично, события «Выбранный наугад шар — белый» и «Выбранный наугад шар — черный» также являются взаимоисключающими.

Определение

Закон сложения в комбинаторике: если два взаимоисключающих действия можно выполнить A и B способами соответственно, то эти события можно объединить. При этом возникнет новое событие, которое можно выполнить X = A + B способами.

Другими словами, при объединении взаимоисключающих действий (событий, вариантов) число их комбинаций складывается.

Можно сказать, что закон сложения — это логическое «ИЛИ» в комбинаторике, когда нас устраивает любой из взаимоисключающих вариантов. И наоборот, закон умножения — это логическое «И», при котором нас интересует одновременное выполнение и первого, и второго действия.

Задача

В корзине лежат 9 черных шаров и 7 красных. Мальчик достает 2 шара одинакового цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Решение

Если шары одинакового цвета, то вариантов немного: оба они либо черные, либо красные. Очевидно, что эти варианты — взаимоисключающие.

В первом случае мальчику предстоит выбирать k = 2 черных шара из n = 9 имеющихся. Число способов сделать это равно C₉² = ... = 36.

Аналогично, во втором случае выбираем k = 2 красных шара из n = 7 возможных. Число способов равно C₇² = ... = 21.

Осталось найти общее количество способов. Поскольку варианты с черными и красными шарами — взаимоисключающие, по закону сложения имеем: X = 36 + 21 = 57.

Ответ

57

Задача

В ларьке продаются 15 роз и 18 тюльпанов. Ученик 9-го класса хочет купить 3 цветка для своей одноклассницы, причем все цветы должны быть одинаковыми. Сколькими способами он может составить такой букет?

Решение

По условию, все цветы должны быть одинаковыми. Значит, будем покупать либо 3 розы, либо 3 тюльпана. В любом случае, k = 3.

В случае с розами придется выбирать из n = 15 вариантов, поэтому число сочетаний равно C₁₅³ = ... = 455. Для тюльпанов же n = 18, а число сочетаний — C₁₈³ = ... = 816.

Поскольку розы и тюльпаны — это взаимоисключающие варианты, работаем по закону сложения. Получаем общее число вариантов X = 455 + 816 = 1271. Это и есть ответ.

Ответ

1271

Дополнительные условия и ограничения

Очень часто в тексте задачи присутствуют дополнительные условия, накладывающие существенные ограничения на интересующие нас сочетания. Сравните два предложения:

1.      Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа?

2.      Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет?

Чувствуете разницу? В первом случае мы вправе брать любые цвета, какие нам нравятся — дополнительных ограничений нет. Во втором случае все сложнее, поскольку мы обязаны выбрать ручку красного цвета (предполагается, что она есть в исходном наборе).

Очевидно, что любые ограничения резко сокращают итоговое количество вариантов. Ну и как в этом случае найти число сочетаний? Просто запомните следующее правило:

Пусть имеется набор из n элементов, среди которых надо выбрать k элементов. При введении дополнительных ограничений числа n и k уменьшаются на одинаковую величину.

Другими словами, если из 5 ручек надо выбрать 3, при этом одна из них должна быть красной, то выбирать придется из n = 5 − 1 = 4 элементов по k = 3 − 1 = 2 элемента. Таким образом, вместо C₅³ надо считать C₄².

Теперь посмотрим, как это правило работает на конкретных примерах:

Задача

В группе из 20 студентов, среди которых 2 отличника, надо выбрать 4 человека для участия в конференции. Сколькими способами можно выбрать этих четверых, если отличники обязательно должны попасть на конференцию?

Решение

Итак, есть группа из n = 20 студентов. Но выбрать надо лишь k = 4 из них. Если бы не было дополнительных ограничений, то количество вариантов равнялось числу сочетаний C₂₀⁴.

Однако нам поставили дополнительное условие: 2 отличника должны быть среди этих четырех. Таким образом, согласно приведенному выше правилу, мы уменьшаем числа n и k на 2. Имеем:

Ответ

153

Задача

У Пети в кармане есть 8 монет, из которых 6 монет по рублю и 2 монеты по 10 рублей. Петя перекладывает какие-то три монеты в другой карман. Сколькими способами Петя может это сделать, если известно, что обе монеты по 10 рублей оказались в другом кармане?

Решение

Итак, есть n = 8 монет. Петя перекладывает k = 3 монеты, из которых 2 — десятирублевые. Получается, что из 3 монет, которые будут переложены, 2 уже зафиксированы, поэтому числа n и k надо уменьшить на 2. Имеем:

Ответ

6

В обоих примерах я намеренно пропустил детали работы с факториалами — попробуйте выполнить все расчеты самостоятельно. Разумеется, для этих задач существуют и другие способы решения. Например, с помощью закона умножения. В любом случае, ответ будет один и тот же.

В заключение отмечу, что в первой задаче мы получили 153 варианта — это намного меньше, чем исходные C₂₀⁴ = ... = 4845 вариантов. Аналогично, 3 монеты из 8 можно переложить C₈³ = ... = 56 способами, что значительно больше 6 способов, которые мы получили в последней задаче.

Эти примеры наглядно демонстрируют, что введение любых ограничений значительно сокращает нашу «свободу выбора».

Приложение .Теоретический материал и задачи для проведения занятия по теме« События, виды случайных событий, действия над ними».                   

Определение1.Случайным событием ( или, короче, просто событием ) называется всякий факт, который в опыте со случайным исходом может произойти или не произойти. События мы будем обозначать большими буквами латинского алфавита.

Рассмотрим несколько примеров событий.

 1. Опыт - бросание монеты; событие A - появление герба.

 2. Опыт - бросание трех монет; событие B - появление трех гербов.

 3. Опыт передача группы из n сигналов; событие C - искажение хотя бы одного из них.

 4. Опыт - выстрел по мишени; событие D - попадание.

 5. Опыт - вынимание наугад одной карты из колоды; событие  Е - появление туза.

 6. Тот же опыт, что в примере 5; событие F - появление карты червонной масти.

Типы случайных событий.

Определение 2. Достоверное событие – это событие, которое обязательно происходит при каждом проведении рассматриваемого эксперимента. Этому событию соответствует всё множество исходов данного эксперимента.

Примеры достоверных событий

 - выпадение не более шести очков при бросании игральной кости.

- камень, брошенный вверх рукой вернется на Землю, а не станет её искусственным спутником .

Определение 3.Невозможное событие – это событие, которое никогда не может произойти при проведении данного эксперимента. Этому событию соответствует пустое множество исходов данного эксперимента

Примеры:

- при бросании кубика выпало 7 очков;

- выпадение 12 очков при бросании одной игральной кости .

Определение 4.Противоположное событие. Противоположным событию А называется событие , состоящее в непоявлении события А.

Примеры:

 Опыт: Один выстрел по мишени. Событие А - попадание в десятку. Противоположное событие   - непопадание в десятку.

 Опыт: Подбрасывание монеты( однократное). А — выпадение герба,— выпадение решки.

Опыт: Стрельба по мишени: Событие А – в результате стрельбы по мишени хотя бы одна пуля попала в цель. Что означает событие Ā?

Задание. Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

а) мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня;

б) явка на выборы была от 40% до 47%;

в) из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два;

г) на контрольной  я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

Задание.Назовите события, для которого противоположным является такое событие:

 а) на контрольной работе больше половины класса получили пятёрки;

б) все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в) в нашем классе все умные и красивые

;г) в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или три доллара одной бумажкой.

Определение 5.Говорят, что несколько событий в данном опыте образуют полную группу, если в результате опыта неизбежно должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

1) Появление "1", "2", "3", "4", "5", "6" очков при бросании игральной кости;

2) Два попадания, два промаха и одно попадание, один промах при двух выстрелах по мишени.

Определение 6. Два события называются несовместными, если появление одного из них ,в результате опыта , исключает появление другого. В противном случае ( когда появление одного события в результате опыта не исключает появления другого, события называются совместными. Иначе: несколько событий в данном опыте называются несовместимыми если никакие два из них не могут появиться вместе.

 Примеры несовместимых событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании монеты;

2) Два попадания и два промаха при двух выстрелах;

3) Выпадение двух, выпадение трех и выпадение пяти очков при однократном бросании игральной кости.

Примеры совместных событий:

1.Опыт: Однократное подбрасывание игральной кости. События « На верхней грани оказалось 6 очков» и  «На верхней грани оказалось чётное число очков»

2.Опыт: Вынимание из колоды карты. События « Вынутая карта- дама» и « Вынута карта масти пик».

3. « Натуральное числа- кратно 3», « натуральное число кратно 2»

 Задание: Совместны ли следующие события?

 а) А – «У квадратного уравнения, составленного случайным образом,  есть действительные корни; В – «Дискриминант  квадратного уравнения отрицателен»

б) А – «У квадратного уравнения, составленного случайным образом нет действительных корней; В – «Дискриминант квадратного уравнения  отрицательный».

 Из полной колоды карт вынимается одна карта. Выяснить, являются совместными или несовместными события:

а) вынута карта красной масти и вынут валет; б) вынут король и вынут туз.

Задание:  Из событий составить всевозможные пары и выявить среди них пары совместных и пары несовместных событий:

а) идёт дождь ; б) на небе нет ни облачка; в) наступило лето

 Задание:  Укажите, какие из описанных пар событий являются совместными, а какие несовместными.

Из набора домино вынута одна костяшка, на ней:

 а) одно число очков больше 3, другое число 5;

б) одно число не меньше 6, другое число не больше 6;

в) одно число 2, сумма обоих чисел равно 9;

г) оба числа больше 3, сумма чисел равна 7

Определение 7. Несколько событий называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основание считать, что ни одно из них не является более объективно возможным, чем другое.

Заметим, что равновозможные события не могут проявляться иначе, чем в опытах, обладающих симметрией возможных исходов; наше незнание о том, какое из них вероятнее, не есть основание для того, чтобы считать события равновозможными.

Примеры равновозможных событий:

1) Выпадение герба и выпадение решки при бросании симметричной, "правильной монеты";

2) Появление карты "червонной", "бубновой", "трефовой" или "пиковой" масти при вынимании карты из колоды.

С опытами, обладающими симметрией исходов, связываются особые группы событий: они образуют полную группу, несовместимы и равновозможны.

Действия над случайными событиями

Определение 8.Суммой (объединением) нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания. (, )
Если события А и В совместны, то сумма А+В означает, что наступает событие А, или событие В, или оба события вместе.  Если события несовместны, то событие А+В заключается в том, что наступить А или В, тогда +    заменяется словом «или».

Пример. В урне находятся красные, белые и черные шары. Вынимается один шар. Возможные события: А – «вынут красный шар», В – «вынут белый шар», С – « вынут черный шар». Тогда А+В означает, что произошло событие «вынут не черный шар», В+С – «вынут не красный шар».

Пример. Событие А - идет дождь, а собитие В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;

Событие А - пошли на дискотеку, событие  В - пошли в библиотеку, Событие  А + В - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку.
^ На диаграмме Эйлера-Венна сумму событий можно изобразить так (прямоугольник – изображение множества всех возможных исходов опыта W):

Диаграмма, иллюстрирующая сумму несовместных событий.

W

Сумма трех совместных события:


 Определение 9.Произведением (пересечением) нескольких событий называется событие, состоящие в одновременном  появлении  всех этих событий в результате испытания ()

Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти».

 Значит, А*В означает «вынута дама пик».

Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А – « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков > 2», С – «число выпавших очков четное». Тогда АВС – «выпало 4 очка».

Пример: пусть А - из урны вынут белый шар, В - из урны вынут белый шар, то АВ - из урны вынуты два белых шара;

          А - идет дождь, В - идет снег, то АВ - дождь со снегом;

          А - число четное, В - число кратное 3, то АВ - число кратное 6.
На диаграмме Эйлера-Венна пересечение (произведение) изображают так:

Задание:

 Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

1. 
   А – учитель вызвал к доске ученика, В – учитель вызвал к доске ученицу (учитель вызвал к доске ученика или ученицу).
2. 
   Родила царица в ночь А – не то сына, В – не то дочь (царица родила сына или дочь).

      3. « Случайно выбранная цифра меньше 5»- (событие А), « Случайно выбранная цифра больше 6»-(событие В)

      4. « Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз»- (событие А), « Из 10 выстрелов в цель попали ровно  не более 6 раз» (событие В).

Примеры:

1. А— выигрыш по займу 1; В — выигрыш по займу 2. Тогда АВ — выигрыш хотя бы по одному из займов (в частности, сразу по двум).

2.  А — прохождение I тура на конкурсе, В — прохождение II тура. Тогда АВ — успешное прохождение I и II туров.