Методика работы со стереометрической задачей на нахождение длины отрезка и угла между плоскостями (11 класс)

• 1 слайд

  \
  
  
  
  
  Методика работы
  со стереометрической задачей на нахождение длины отрезка и угла между плоскостями
  
  
  
  
  
  
  Выполнила:
  Потеха В.В.
  учитель математики
  МБОУ Гетуновская СОШ
  
  
  
  
  
  
  

• 2 слайд

  *Задача №14
  (ЕГЭ-2016, С.39)
  В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а
  боковое ребро А𝐴1 = 5.
  1) Найдите длину отрезка A1К, где К – середина ребра ВС.
  2) Найдите тангенс угла между плоскостями ВСA1 и ВВ1С1.
  
  

• 3 слайд

  I этап: Анализ условия задачи и построение чертежа
  а) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите длину отрезка A 1 К, где К – середина ребра ВС.
  
  
  
  - Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче?
  О какой призме идёт речь?
  - Как выполняем построение правильной треугольной призмы?
  а) строится верхнее основание;
  б) строятся боковые рёбра перпендикулярно основанию;
  в) строится нижнее основание.
  Выполните построение призмы.
  - Что известно о призме?
  А 𝟏
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  Что требуется найти?
  К
  ?
  Дано:
  𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 - правильная треугольная призма
  АВ = 8 3
  А 𝐴 1 = 5
  Найти:
  A 1 К, где К – середина ребра ВС.
  

• 4 слайд

  II этап: Поиск способа решения задачи
  а) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите длину отрезка A 1 К, где К – середина ребра ВС.
  А 𝟏
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  ?
  - Что нужно найти в задаче?
  𝐴 1 К - ?
  - Из какой фигуры можно найти А1К?
  Δ A 1 АК - прямоугольный
  - Что надо знать, чтобы найти длину искомого отрезка?
  - Известны ли эти элементы?
  Δ АКС – прямоугольный
  - Из какой фигуры можно найти неизвестный элемент?
  АК² = АС² - КС²
  - Итак, наметим план решения.
  1)
  а) Из Δ АКС найти АК.
  2)
  б) Из Δ A 1 АК найти 𝐴 1 К.
  
  𝐴 1 А
  КА
  𝟓
  

• 5 слайд

  а) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите длину отрезка A 1 К, где К – середина ребра ВС.
  III. Оформление решения задачи
  Используя составленный план решения, оформите решение данной задачи самостоятельно и сравните с представленным.
  A
  1. Рассмотрим Δ АКС – прямоугольный, т.к. АК – медиана (по условию), значит, высота правильного Δ АВС;
  ВК = КС = ВС 2 = 8 3 2 = 4 3 .
  АК² = АС² - КС² (по теореме Пифагора)
  АК² = (8 3 )² - (4 3 )² = 144;
  АК = 144 = 12.
  2. Рассмотрим Δ A 1 АК – прямоугольный, т.к. призма прямая;
  A 1 К² = A 1 А 2 +А К 2 (по теореме Пифагора)
  A 1 К² = (5 ) 𝟐 +(12)² = 169;
  A 1 К = 169 = 13.
  
  
  Ответ: 13.
  а) Из Δ АКС найти АК.
  б) Из Δ A 1 АК найти 𝐴 1 К.
  А 𝟏
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  

• 6 слайд

  б) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите тангенс угла между плоскостями ВС A 1 и ВВ 1 С 1 .
  
  
  I этап: Анализ условия задачи и построение чертежа
  А 𝟏
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  - Что требуется найти?
  - Как показать угол между данными плоскостями?
  1. (ВС A 1 )  ( ВВ 1 С 1 ) = ВС.
  1
  2. A1К  ВС.
  2
  3. КЕ ВС.
  Е
  3
  4
  4.  A 1 КЕ −искомый угол.
  

• 7 слайд

  б) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите тангенс угла между плоскостями ВС A 1 и ВВ 1 С 1 .
  II этап: Поиск способа решения задачи
  А 𝟏
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  Е
  - Что требуется найти в задаче?
  ?
  tg A 1 КЕ - ?
  - Из какого треугольника можно найти тангенс  A 1 КЕ ?
  - Какие стороны необходимо рассмотреть, чтобы найти тангенс искомого угла?
  А 𝟏
  К
  Е
  A 1 𝐸
  КЕ
  - Известны ли нужные элементы?
  
  A 1 𝐸 = АК (уже находили)
  5
  - Итак, наметим план решения.
  1) Описать построение линейного угла.
  2)
  Δ𝐴1ЕК
  

• 8 слайд

  б) В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 сторона основания АВ = 8 3 , а боковое ребро А 𝐴 1 = 5. Найдите тангенс угла между плоскостями ВС A 1 и ВВ 1 С 1 .
  III. Оформление решения задачи
  Используя составленный план решения, оформите решение данной задачи самостоятельно и сравните с представленным.
  Описать построение линейного угла.
  tg A 1 КЕ .
  1. Построим линейный угол между плоскостями (ВС A 1 ) и (ВВ 1 С 1 ):
  а) (ВС A 1 )  ( ВВ 1 С 1 ) = ВС;
  б) A1К  ВС, т.к. 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 – правильная призма, значит, A1С = A1В; ВК = КС (по условию), значит, A1К – высота Δ𝐴1ВС;
  в) КЕ  ВС, т.к. 𝐴𝐵𝐶𝐴 1 𝐵 1 𝐶 1 – правильная призма, Е – середина В1С1.
  Следовательно,  A 1 КЕ −искомый угол.
  2. Рассмотрим Δ𝐴1ЕК – прямоугольный;
  tg A 1 КЕ = A 1 𝐸 𝐾𝐸 ;
  КЕ = 5;
  A 1 𝐸 = АК = 12 (т.к. Δ АВС = Δ 𝐴 1 В 1 С 1 );
  tg A 1 КЕ = 12 5 =2,4.
  
  Ответ: 2,4.
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  Е
  А 𝟏
  

• 9 слайд

  IV. Подведение итогов работы над задачей
  2. Прием использования цвета на чертеже, помогает…
  … лучше разобраться в условии задачи, увидеть необходимые элементы.
  3. Поиску способа решения задачи помогают:
  а) составление граф-схемы;
  4. Оформлению решения задачи помогает…
  … составленный план.
  1. Какие алгоритмы рассматривались в задаче?..
  б) вопросы: «Из какой фигуры можно найти…?», «Что надо знать, чтобы
  найти…?», «Известны ли элементы....?», «Какие стороны необходимо рассмотреть, чтобы найти…?»;
  в) выносной чертёж;
  б) алгоритм построения линейного угла;
  а) алгоритм построения прямой призмы;
  5. Как иначе доказать, что А1К перпендикулярно ВС?
  A
  В
  С
  В 𝟏
  С 𝟏
  8 3
  5
  К
  Е
  А 𝟏
  Воспользоваться теоремой о трёх перпендикулярах.
  

• 10 слайд

  Спасибо за внимание!