Методика реализации межпредметных связей при организации практического занятия по математике «Производная функция и ее приложение»

Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПО «Комсомольский-на-Амуре Металлургический техникум»

Методическая разработка

Тема: Методика реализации межпредметных связей

 при организации практического занятия по математике

«Производная функция и ее приложение»

Преподаватель:

Грибанова Г.Ф.

Рассмотрено

на заседании ПЦК ЕНД

«___»___________ 2014 г.

___________ /Коростылева Н.И./

2014

Тема: Производная функция и ее приложения

Вид занятия: Практическое занятие

Цели урока:

1. Обобщение теоретических знаний по теме «Производная»
2. Применение знаний к решению задач с использованием физического и геометрического смысла производной.
3. Развитие умений и навыков решения задач
4. Привитие интереса к предмету через межпредметные связи.

Дидактическое обеспечение:

ТСО: ПК, экран, проектор.

Учебно-дидактический материал: таблицы, карточки-задания, раздаточный материал.

План  урока

I.                   Повторение ранее изученного материала.

1.        Выбрать соответствие между формулами дифференцирования (устно).

2.        Самостоятельная работа (дифференцированная оценка знаний)

II.                Творческая работа студентов

Сообщение на тему: «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники»

III.            Решение задач на приложение понятия производной (предварительная подготовка группы)

1)      Физический смысл производной

а) презентация задачи;

б) решение задач по физическому смыслу производной.

2)   Геометрический смысл производной

      а) презентация задачи;

      б) решение задач по геометрическому смыслу производной.

3)   Решение задач на max и min

      а) презентация задачи;

      б) решение задач на max и min.

4)   Построение графиков с помощью производной

IV.    Самостоятельная работа по решению задач (при наличии времени)

V.           Итоги урока. Выставление оценок.

Ход занятия

Повторение

1.            Составить соответствие:                                                               Ответы

1)      (xⁿ)`                    1) cos x                                                          1          -           2

2)      (e^x)`                    2) nx^n-1                                                                             2          -           12

3)      (sin x)`                3) 1                                                                 3          -           1

4)      (tg x)`                 4) 0                                                                 4          -           10

5)      (a^x)`                    5)                                                     5          -           13

6)      (ln x)`                 6) –sin x                                                         6          -           7

7)      (coa x)`               7) 1/x                                                              7          -           6

8)      (c)`                      8) c                                                                 8          -           4

9)      (u+v)`                 9) u`+v`                                                          9          -           9

10)  (uv)`                  10)                                                      10        -           14

11)  (u-v)`                  11) u`-v`                                                         11        -           11

12)  (cx)`                   12)                                                              12        -           8

13)  (x)`                     13) a^xln a                                                        13        -           3

14)  `                     14) u`v+uv`                                                    14        -           5

2.            Самостоятельная работа «Найти производные»

Критерии оценки:    10 заданий – «5»

8 заданий – «4»

               5 заданий - «3»

I.                                 II.                               III.                              IV.

1) y=2x-4                    1) y=3x+6                   1) y=7x+1                   1) y=5x - 8

2) y=x²-3x                  2) y=x³+4x                 2) y=x⁵ – 2x                2) y=3x – x²

3) y=cosx+2                3) y=3 – cosx              3) y=2 – sin x             3) y=sin x +1

4) y=sin x – 5             4) y=4+sin x               4) y=cos x+2              4) y=2 – cos x

5) y=e^x+x²                        5) y=x³ – e^x                      5) y=e^x – x⁵                      5) y=e^x+x³

6) y=ln x+2x               6) y=ln x – 3x             6) y=2x – ln x             6) y=ln x +4x

7) y=x²cos x              7) y=x³sin x               7) y=x⁴cos x              7) y=x^2∙sin x

8) y=                8) y=                8) y=                8) y=

9) y=3^x+x                   9) y=5^x – x                 9) y=2^x – 3x                9) y=3^x – 4x 

10) y=        10) y=         10) y=         10) y= 

I.             Историческая справка.

         Творческая работа студентов - сообщение «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники».

II.          Применение производной к решению задач (применение ПK; Презентация)

1)            Физический смысл производной

а)      Презентация:

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону S=3t² - 2t+4. Найти скорость движения тела в конце пятой секунды.

V=S`(t).        S`=(3t²-2t+4)`=6t-2

S`(5)=6∙5-2=28(м/c)            v=28(м/с)

Задача 2. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется по закону H=200t-4,9t². Найти скорость тела в конце  10- ой секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой высоты может достичь?

V=H`(t)        V=200-9,8t, при t=10с

V(t)=200-9,8∙10=102(м/с)

В момент наивысшей высоты, скорость тела равна нулю, тогда

200-9,8t=0 => t=(с)

S(t)=200∙20,4-4,9∙20.4²2040.8(м)

Задача 3. Рассмотрим задачу из раздела теоретической механики:

При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол φ=5+6t-t² радиан.

Найти:

а) Угловую скорость ω вращения маховика в момент времени t=2(c)

б) Момент времени t, когда вращение прекратиться.

Определение: Угловой скоростью ω называется скорость изменения угла φ за время ∆ t.

ω=φ`(t).

ω=φ`(t)=(5+6t-t<sup>2</sup>)`=6-2t

a) t=2.           Ω=6-2∙2=2(рад/с)

б) Угловое ускорение – это производная от угловой скорости ω по времени t.

ε=ω`(t)          ε=(6-2t)`=-2(рад/с)

в) во время остановки маховика ω=0, тогда 6-2t=0       t=3/в конце третьей секунды маховик остановится.

б) Задачи для самостоятельного решения:

1)   Материальная точка движется по закону S=2t³-6t²+4t. Найти скорость точки в конце третьей секунды

v=S`(t)          v=6t²-12t+4

                     v(3)=6∙9-12∙3+4=42(м/с)

2)   Тело брошено вертикально вверх. В какой момент времени оно достигнет наивысшей точки S=2+9t-5t²

v=S`(t)          v=9-10t           v=0 – тело в наивысшей точке.

9-10t=0         t=9/10(c)

2)      Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной впервые дана в конце XVII в. Лейбницем. «Значение производной функции y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой же точке х.

k=f`(x)=tg φ

Задача 1. Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы y=px². Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавным? длина моста l=20м, стрела провеса f=0,5

                                             Пусть угол наклона касательной х α, тогда tg α=y`(x)

                                             tg α=(px²)`=2px                      точка 0(10;0,5)

                                             р= для 0 (10;0,5)

                                              p=

                                              tg α=2∙0.005∙10=0.1              по таблице <α=?

б) задачи для самостоятельного решения

1) найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x³ в точке (-2;-8)

y`=3x<sup>2</sup>                                   tg α =y`(x) =3∙(-2)²=12

3)            Решение задач на max и min

а) Презентация задачи:

задача 1. Сопротивление f догори движению автомобиля при скорости движения v (км/ч) выражается

1. на асфальте f=14.5+0.25v

2. на хорошем шоссе f=24-2/3v+1/30v²

3. на бульварной мостовой f=29-2/3v+1/15v²

4. на грунтовой дороге f=36.5-3/4v+1/30v²

Определить для тех случаев, когда это возможно, скорость, при которой сопротивление будет наименьшим

1.                                                                                      Функция линейная v=0.25 – min – нет

2.                                                                                      v=-2/3+2/15v v=10км/ч

3.                                                                                      v=-2/3+2/15v v=5км/ч

4.                                                                                      м=-3/4+1/15v v=11.25км/ч

задача 2. Разложить число 100 на слагаемые так, чтобы их произведение было наибольшим

Пусть 1 число – х, тогда 2 (100-х) составим произведение y=x∙(100-x) =>y =100x-x²

y`=100-2x

y`=0                                      100-2x=0       x=50

y`            +               -                       x=50 – max

y                    50                               оба числа равны 50

б) Задачи для самостоятельного решения

1) найти такое число , чтобы разность между этим числом и квадратом его была наименьшей

Пусть число х, тогда его квадрат х²

у=х²-х

у`=2x-1                                 y`=0   2x-1=0            y`         -           +

                                                         2x=1                y               1/2

                                                                       X=1/2

2) каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь его была наибольшей? (квадрат со стороной 30м).

4) применение производной к построению графиков

1. Презентация

а) алгоритм построения графиков

б) построить график функции:

у=х²+2х-3

1.                      ОДЗ: xR

2.                      y(-x)=(-x)²+2(-x)-3 – не является четной; не является нечетной

3.                      найдем точки пересечения с осями:

с ОХ:      х²+2х-3=0

у=0         х_1,2=               х_1,2=-3;1

с ОУ:      у=0²+2∙0-3=-3

х=0

4.                      найдем пересечение точки:

у`=(x<sup>2</sup>+2x-3)`=2x+2

y`=0        2x+2=0

               x=-1

5.                      определим промежутки монотонности                                   y

y`     -                  +                                                         -3         -1         1                      x

y             -1                    x

                                                                                                  -3

6. у(-1)=-4

б) задача для самостоятельного решения.

Построить график функции у=8-2х-х²

III.       Самостоятельная работа (при наличии времени)

1)      Построить графики функций

2)      Решить задачи на max и min (раздаточный материал)

Литература

Г.М. Яковлев «Алгебра и начала анализа». 1ч

Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11кл

В.М. Богомолов «Практические задания по математике»