Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни,  приводящие к понятию показательной функции.  Рассмотрим некоторые из них:

1.     Рост  числа бактерий в идеальных условиях  происходит по такой зависимости:

 , где  – время размножения,  – число колоний бактерий

2.     радиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет .

3.     Рост древесины происходит по закону
A- изменение количества древесины во времени;
A0- начальное количество древесины;
t-время, к, а- некоторые постоянные.

4.     Давление воздуха убывает с высотой по закону:                          
P- давление на высоте h,
P0 - давление на уровне моря,
а- некоторая постоянная.

После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение.

Определение: Функция вида при a>0, a1 называется показательной функцией.

Следующим этапом в схеме изучения любой функции является  исследование ее свойств. Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах:  .  

Сначала будем рассматривать функции

План исследования функции.

1.                 Область определения функции;

2.                 Нули функции;

3.                 Четность (нечетность);

4.                 Промежутки возрастания и убывания функции;

5.                 Построение графика.

Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств.

1.                 Область определения функции (аналитически)

Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при любом значении  х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел.

2.                 Нули функции (аналитически)

если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения х, чтобы при возведении в степень было равным 0.  Переведем полученный результат на графический язык: график  функции пересекает ось ординат в точке (0;1), но не пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси  ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой.

3.                 Четность (аналитически)

Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции .

F(-x)=y(-x)=, то есть данная функция ни четная ни нечетная.

Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = .

Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ.

4.                 Построение графика функции (по точкам).

Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у.

В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные свойства.

Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить плавной линией.  Это устанавливается при помощи приближенного вычисления.

Если аргументу х  придать рациональное значение, то в принципе вычислить можно.  А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить  ?

Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.

Известно, что  = 1,7320508... Рассмотрим последовательность

рациональных чисел — десятичных приближений числа  по не-

недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;...

Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание

подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Соответственно возрастает и последовательность

Все члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем , т.е. эта последовательность — ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения  . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выражения  очень трудно; важно,  что это — конкретное число.

Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ     . Аналогично можно определить, что такое  и т.д.

Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции

у=, определенной на множестве всех действительных чисел.

Вернемся к функции у = , теперь мы уверенно можем соединить построенные точки плавной линией.

5.                 Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это свойство считаем с графика и докажем его аналитически:

Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует большее значение функции, или если 

 и

Рассмотрим разность двух выражений:

,  

, следовательно разность  в скобках больше 1.

Функция у =2^х  возрастает на промежутке , так как на всем промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения функции растут при движении слева на право).

Данный результат можно записать так: , то 

Путем вычислений значений функции  у =2^х , докажем, что она возрастает неограниченно.

На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные приращения функции

,…

Итак, запишем все основные свойства показательной функции :

1.  Д(у)=R; Е(у)=(0;+)

2.     Нули функции: х=0,у=1;

3.     Функция является ни четной ни нечетной;

4.     Возрастающая на всей области определения;

5.     Если x<0, у <1,

          х>0, y>1.

Аналогичная работа строится для исследования функции  у =,

Итак, запишем все основные свойства показательной функции :

1.  Д(у)=R; Е(у)=(0;+);

2.     Нули функции: х=0,у=1;

3.     Функция является ни четной ни нечетной;

4.     Убывающая на всей области определения;

5.     Если x<0, у >1,

          х>0, y<1.

После полученных исследований  замечаем, что все свойства одинаковы, кроме возрастания и промежутков знакопостоянства.  Это основной вывод, который должны усвоить дети.

Дальше обобщаем полученные выводы:

ü   Если основание , то показательная функция   монотонно убывает на всей области определения;

ü   Если , то показательная функция    монотонно возрастает на всей области определения.

Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств.