Инфоурок / Математика / Конспекты / Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики

Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

Методика изучения показательной функции в школьном курсе математики



Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни, приводящие к понятию показательной функции. Рассмотрим некоторые из них:

  1. Рост числа бактерий в идеальных условиях происходит по такой зависимости:

hello_html_4ec253be.gif , где hello_html_m1c4907bc.gif – время размножения, hello_html_m89f7f8d.gif – число колоний бактерий

  1. hello_html_11edc268.gifрадиоактивный распад веществ : если при радиоактивном распаде количество вещества за сутки уменьшается в двое, то тогда мо истечению x суток масса будет hello_html_832fc29.gif.

  2. hello_html_14eea15a.gifРост древесины происходит по закону
    A- изменение количества древесины во времени;
    A0- начальное количество древесины;
    t-время, к, а- некоторые постоянные.

  3. Давление воздуха убывает с высотой по закону:
    P- давление на высоте h,
    P0 - давление на уровне моря,
    а- некоторая постоянная.

После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение.



Определение: Функция вида hello_html_e5fb066.gifпри a>0, ahello_html_m530e5cb2.gif1 называется показательной функцией.

Следующим этапом в схеме изучения любой функции является исследование ее свойств. Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах: hello_html_m562bcd3c.gif.

Сначала будем рассматривать функции hello_html_m41893595.gif

План исследования функции.

  1. Область определения функции;

  2. Нули функции;

  3. Четность (нечетность);

  4. Промежутки возрастания и убывания функции;

  5. Построение графика.

Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств.

    1. Область определения функции (аналитически)

Неизвестная величина, или аргумент стоит в показателе степени, следовательно, при любом значении х мы можем всегда найти у, следовательно, D(у)= множество R чисел.

    1. Нули функции (аналитически)

если x=0, то у=1; случая, когда у=0 быть не может, так как не существует такого значения х, чтобы при возведении в степень было равным 0. Переведем полученный результат на графический язык: график функции hello_html_m50a9b317.gifпересекает ось ординат в точке (0;1), но не пересекает ось абсцисс. Делаем вывод о том, что график функции располагается выше оси ОХ и эта ось является горизонтальной асимптотой.

    1. Четность (аналитически)

Проверяем, выполняются ли условия четности и нечетности для функции hello_html_m50a9b317.gif.

F(-x)=y(-x)=hello_html_70af5127.gif, то есть данная функция ни четная ни нечетная.

Проиллюстрируем это свойство на примере : x=-1 и x=1, соответственно у=2 и у = hello_html_6eec8aff.gif.

Делаем вывод о том, что график функции не симметричен относительно оси ОУ.

    1. Построение графика функции (по точкам).

Строить график будем по выбранным значения х будем находить значения у.

В качестве х возьмем точки: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

Построим в системе координат точечный график, опираясь на выше исследованные свойства.

hello_html_m4a792839.png

Необходимо доступно объяснить, что построенные точки мы имеем право соединить плавной линией. Это устанавливается при помощи приближенного вычисления.

Если аргументу х придать рациональное значение, то в принципе hello_html_m5c78cbdf.gifвычислить можно. А если аргументу х придать иррациональное значение? Как, например, вычислить hello_html_5046761f.gif ?

Математики нашли выход из положения; вот как они рассуждали.

Известно, что hello_html_5909bbae.gif = 1,7320508... Рассмотрим последовательность

рациональных чисел — десятичных приближений числа hello_html_5909bbae.gif по не-

недостатку:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508;...

Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание

подобных повторов отбросим те члены последовательности, которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую последовательность:

1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508;... .

Соответственно возрастает и последовательность

hello_html_m1b3bfe43.gif

hello_html_11852162.gifВсе члены этой последовательности — положительные числа, меньшие, чем hello_html_m48b14914.gif, т.е. эта последовательность — ограниченная. А по теореме Вейерштрасса, если последовательность возрастает и ограничена, то она сходится. Кроме того, нам известно, что если последовательность сходится, то только к одному пределу. Этот единственный предел договорились считать значением числового выражения hello_html_5046761f.gif . И неважно, что найти даже приближенное значение числового выраженияhello_html_5046761f.gif очень трудно; важно, что это — конкретное число.

Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики в символ hello_html_5046761f.gif . Аналогично можно определить, что такое hello_html_6186b42c.gif и т.д.

Теперь мы можем говорить не только о степенях с произвольными рациональными показателями, но и о степенях с произвольными действительными показателями. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о функции

у=hello_html_m20c4453.gif, определенной на множестве всех действительных чисел.

Вернемся к функции у = hello_html_m5c78cbdf.gif, теперь мы уверенно можем соединить построенные точки плавной линией.

hello_html_maccae35.png

    1. Осталось исследовать еще одно свойство, возрастания и убывания функции. Это свойство считаем с графика и докажем его аналитически:

Функция возрастает на всей числовой прямой, т.е. большему значению аргумента из ее области определения соответствует большее значение функции, или если hello_html_264e8383.gif

hello_html_712534e1.gif и hello_html_m21546963.gif

Рассмотрим разность двух выражений:

hello_html_6e0f90ec.gif, hello_html_7d79b3d1.gif

hello_html_m38729266.gif, следовательно разность в скобках больше 1.

Функция у =2х возрастает на промежутке hello_html_mfcd2afa.gif, так как на всем промежутке большему значению аргумента соответствует большее значение функции (значения функции растут при движении слева на право).

Данный результат можно записать так: hello_html_264e8383.gif, то hello_html_m59e338d4.gif

Путем вычислений значений функции у =2х , докажем, что она возрастает неограниченно.

hello_html_m60261b48.gif

На графике увидим, что равным значениям аргумента соответствуют неравные приращения функции

hello_html_m783bae75.gif

hello_html_60d8c8ef.gif



hello_html_5a82e5f.gif,…

Итак, запишем все основные свойства показательной функции hello_html_m50a9b317.gif:

  1. Д(у)=R; Е(у)=(0;+hello_html_m192b6b21.gif)

  2. Нули функции: х=0,у=1;

  3. Функция является ни четной ни нечетной;

  4. Возрастающая на всей области определения;

  5. Если x<0, у <1,

х>0, y>1.

hello_html_m17d150d2.png

Аналогичная работа строится для исследования функции у =hello_html_m4891e3b6.gif,

Итак, запишем все основные свойства показательной функции hello_html_m86cdec3.gif:

  1. Д(у)=R; Е(у)=(0;+hello_html_m192b6b21.gif);

  2. Нули функции: х=0,у=1;

  3. Функция является ни четной ни нечетной;

  4. Убывающая на всей области определения;

  5. Если x<0, у >1,

х>0, y<1.

hello_html_74de6c0.png hello_html_22448c1a.png hello_html_2e94df21.png

После полученных исследований замечаем, что все свойства одинаковы, кроме возрастания и промежутков знакопостоянства. Это основной вывод, который должны усвоить дети.

hello_html_m4d08f595.png

Дальше обобщаем полученные выводы:

  • Если основание hello_html_m3d629ad6.gif, то показательная функция hello_html_e5fb066.gif  монотонно убывает на всей области определения;

http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter2/section2/paragraph5/images/020205_2.gif





  • Если hello_html_m25646f4b.gif, то показательная функция hello_html_e5fb066.gif   монотонно возрастает на всей области определения.



http://www.mathematics.ru/courses/algebra/content/chapter2/section2/paragraph5/images/020205_1.gif

Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств.

Краткое описание документа:

Изучение показательной функции в школе начинается с того, что рассматриваются процессы из жизни,  приводящие к понятию показательной функции. 

После рассмотрения примеров мы должны выйти на определение показательной функции. Задаем вопрос учащимся: «Что общего определяет эти процессы?» Таким образом, выходим на определение.

Следующим этапом в схеме изучения любой функции является  исследование ее свойств. Изучение свойств будет проходить на фокус - примерах.

Часть свойств изучается аналитически, часть считывается с графика, принимая без доказательств.

Дальнейшее изучение показательных функций сводится к решению показательных уравнений и неравенств.

 

 

Общая информация

Номер материала: 491945

Похожие материалы

Комментарии:

1 месяц назад
Хороший методический материал