Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / «Методика обучения решению текстовых задач по теме: «Отношения и пропорции»
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

«Методика обучения решению текстовых задач по теме: «Отношения и пропорции»

библиотека
материалов




Севастопольский городской гуманитарный университет

Институт последипломного образования

















Курсовая работа

на курсах повышения квалификации


Тема: «Методика обучения решению

текстовых задач по теме: «Отношения и пропорции»














слушателя курсов повышения квалификации

Свергун Татьяны Леонидовны

учителя математики II категории

общеобразовательной школы № 16





г. Севастополь

2011 год

Содержание


I Введение

II Основная часть

  1. Теоретическая часть

    1. . Некоторые особенности в обучении математике

    2. . Отношения и пропорции

1.3. Отношения и пропорции в костюме

1.4.Решение задач по химии с помощью пропорции

2. Практическая часть

III Заключение

IV Литература








































ВВЕДЕНИЕ



В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач - обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи по теме «Отношения и пропорции», потому что эти понятия широко используются как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Тема моей курсовой работы «Методика обучения решению текстовых задач по теме «Отношения и пропорции»». Данная тема является актуальной в современное время, так как появилась из практической необходимости. Пропорция широко применяется в математике, химии, и других науках. Отношения и пропорции нужны и важны и при этом им мало уделяется внимания и времени в школе. В учебнике не достаточное количество задач, которое требуется для усвоения материала.

Задачи, решаемые с помощью пропорций, по традиции изучаются в курсе математики 6 класса. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомиться с двумя практически важными зависимостями — прямой и обратной пропорциональностями, научиться их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостей мало связано с потребностями самого арифметического курса или с потребностями обучения решению задач в 6 классе — в учебниках нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя было бы решить без пропорций.

При изучении главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый.



























1.1 Некоторые особенности в обучении математике

Исторически сложились две стороны назначения математической науки: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с мышлением человека, с овладением определенным методом познания. Исходя из этого, и определяются методы обучения математике. Математическая подготовка необходима для понимания принципов устройства и использования современной техники, восприятия научных и технических понятий. Математика является языком современной науки. Значения математического образования для формирования духовной сферы человека обусловлено тем громадным запасом общечеловеческих и общекультурных ценностей, которые накопила математическая наука в ходе своего развития.

В процессе обучения в арсенал приемов и методов человеческого мышления естественным образом включается индукция и дедукция, общение и конкретизация, анализ и синтез, классификация и систематизация, абстрагирование, аналогия. Объекты математических умозаключений и правила их конструирования вскрывают механизм логических построений, вырабатывают умение формулировать, обосновывать и доказывать суждения, тем самым развивать логическое мышление. В ходе решение задач, представляющих основной вид учебной деятельности на уроках математики, развиваются творческая и прикладная стороны мышления.

Принципиальным положением организации школьного математического образования должна стать технология уровневой дифференциации обучения математике в основной школе. Это означает, что, осваивая общий курс, одни школьники в своих результатах ограничиваются обязательным уровнем подготовки, другие в соответствии со своими склонностями и способностями достигают более высоких результатов. При этом достижения обязательного уровня должно стать непременной обязанностью учащихся в их учебной деятельности. В то же время каждый имеет право самостоятельно решить, ограничатся ли этим уровнем или продвигается дальше. Именно на этом пути осуществляется гуманистические начала в обучение математике.

У практического интеллекта, кроме связанной с этим названием способности решать практические задачи, есть и другие атрибуты: здравый смысл, смекалка, « золотые руки », интуиция. Долгое время развитием этих сторон интеллекта ребенка школа относительно пренебрегала или сводила их главным образом к приобретению учащимися элементарных трудовых умений и навыков, относящиеся к малоквалифицированной работе. В условиях перехода к рыночным отношениям и самостоятельной экономической деятельности людей значение практического интеллекта особенно возросло, так как каждому человеку теперь необходимо вести расчетливый и продуманный образ жизни.

В структуру практического интеллекта входят следующие качества ума: предприимчивость, экономичность, расчетливость, умение быстро и оперативно решать возникающие задачи. Предприимчивость проявляется в том, что в сложной жизненной ситуации человек способен находить несколько решений возникшей проблемы, а главное – том, что какая бы проблема перед ним ни возникла, он всегда готов и в состоянии отыскать ее оптимальное решение, а практическом плане. Предприимчивый человек из любой ситуации сможет найти выход.

Расчетливость проявляется в умении заглядывать далеко вперед, предвидя последствия тех или иных решений и действий, точно определять их результат и оценивать, чего он может стоить.

Наконец, умение оперативно решать поставленные задачи – это динамическая характеристика практического интеллекта, проявляется в количестве времени, которое проходит с момента возникновения задачи до ее практического решения.

Развитым можно считать такое практическое мышление, которое обладает всеми указанными свойствами. Экономичность сформировать у детей проще, чем другие качества практического ума, но делать это надо систематически, пробуждая детей в школе и дома самостоятельно производить расчеты материальных затрат на интересующие их дела ( а такие обязательно найдутся)

В процессе обучения математике задачи выполняют разнообразные функции. Учебные математические задачи являются очень эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математических теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется половина учебного времени уроков математики. Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков учащихся.











1.2. Отношения и пропорции

Соблюдение пропорций и их значение столь велико и значимо, что без них практически невозможно обойтись не только в изобразительном искусстве и архитектуре, но и в науке, технике, медицине и многих других сферах жизнедеятельности человека. Вот почему такое пристальное внимание уделяют изучению столь важного и необходимого предмета, как пропорция.

При изучении темы «Отношения» следует пояснить учащимся постановку задачи «найдите отношение». Подчеркнуть, что по сути отношение является частным, но практически оно имеет отдельную смысловую нагрузку: отношение чисел используют тогда, когда надо сравнить две величины.

При рассмотрении примеров отношений ( скорость, масштаб, цена) обратить внимание на то, что отношение может представлять собой частное одинаковых по природе величин(например, масштаб карты), и тогда оно выражается просто числом, или разных (например, скорость – отношение расстояния к времени), и тогда, кроме числового значения отношения, существенной является также единица измерения (в примере со скоростью – км/ч). Говоря о цене как примере отношения, стоит обратить внимание на то, что количество товара может выражаться не только в единицах измерения массы, объема и т.п., но и просто в штуках.

В учебнике «Математика 6 класс » (А.Г. Мерзляк., В.Б. Полонский., М.С. Якир) не вводится понятие «неверная пропорция»: пропорция определяется как равенство ( а не как запись двух отношений, которые могут оказаться и неравными.


В сильном классе можно продемонстрировать вывод основного свойства пропорции.

При изучении данной темы учащиеся должны усвоить, каким образом использовать пропорции при решении текстовых задач. Задания №622 – 625 содержат основные типовые задачи. Следует уделять особое внимание тому, чтобы учащиеся научились выявлять связь между данными задачами и на основании ее строить пропорцию с помощью короткой записи задачи.

Тема «Процентное отношение двух чисел» является логическим продолжением предыдущей. Здесь следует повторить с учащимися правила преобразования обыкновенной дроби в десятичную. Довольно стандартной ошибкой является то, что учащиеся забывают о необходимости умножения на 100 при преобразовании обыкновенной (или десятичной) дроби в процентное отношение.

Следует подробно рассмотреть текстовые задачи, в которых рассматривается процентное отношение смесей и его изменение вследствие изменения количества компонентов смеси (процессы высушивания, смешивания смесей с разной концентрацией и т.п.), а также ознакомить учащихся с понятием «концентрация раствора».

Следует уделить внимание наглядной демонстрации понятия «прямая пропорциональная зависимость». Часто для рассмотрения берется пример зависимости пройденного пути от времени, однако при рассмотрении такого примера надо обратить внимание на равномерность движения (тоесть на постоянную скорость).

Учащиеся должны усвоить два способа деления числа на пропорциональные части: с помощью составления уравнения и с помощью подсчета общего количества частей.


Изучение и постижение законов гармонии способно направить творческую деятельность архитекторов и художников на созидание новых, созвучных объективным законам восприятия и гармонии природы, произведений. Знание и изучение этих законов формирует мировоззрение и профессиональное отношение к творчеству и жизни. Об этом красноречиво свидетельствует утверждение: «Красота предмета образуется пропорциями, становясь строгой соразмерностью и гармоничностью». К сожалению, нередко приходится слышать и видеть, как рисовальщики, даже имея за плечами немалый опыт, пренебрежительно относятся к пропорциям, сосредотачиваясь всецело на передаче характера и формы предмета. Между тем, из-за нарушенных пропорциональных величин изображение предмета, особенно живой формы, такой, как голова или фигура человека, приобретает уродливый вид, не говоря уже о недостаточной убедительности. Это относится не только к студентам, но и ко всем, кто недооценивает значение пропорции в учебном академическом рисунке. Пропорция в рисунке при создании реалистического изображения занимает главное положение наряду с такими понятиями, как композиция, объемная форма, конструкция и анатомия.
Хорошие пропорции в рисунке предполагают наличие полного сходства с изображаемым предметом. Иначе говоря, чем точнее определены пропорции предмета на рисунке, тем большего сходства с натурой достигает его изображение.
Следует помнить, что все тела, а также и их части должны сравниваться или соизмеряться друг с другом по признаку пропорциональных отношений.
Чтобы правильно определять соотношения частей предмета, рисующий должен, помимо знаний, обладать чувством пропорции. Чувство пропорции подразумевает наличие хорошего глазомера, а глазомер, как правило, развивается в процессе длительных упражнений в рисовании с натуры. Тренируя глазомер, необходимо развивать аналитическое мышление. Полагаясь только на глазомер, можно вновь повторить свои ошибки. Подобный подход недопустим при рисовании более сложных предметных форм, особенно таких, как голова человека. Немало примеров, когда студенты, полагаясь на глазомер, становятся заложниками натуры, срисовывая подряд все, что видит глаз. Такое рисование следует исключить из своей практики, так как это не грамотное рисование, а всего лишь слепое поверхностное копирование. Великий педагог П.П.Чистяков писал: «... Прежде всего расположи фигуру на бумаге, а затем приступай к ее построению. Построить — это значит взять правильные пропорции и поставить фигуру».

Для большей убедительности приведем множество примеров, касающихся возможности соблюдения пропорции не только в изобразительном искусстве и архитектуре, но и в области науки: в физике, химии, математике, технике и т.д. К примеру, когда в строительной технологии нарушаются пропорции составов строительных материалов и размеров элементов конструкций, это может привести к разрушению сооружений. Архитектор, нарушая пропорции сооружения, тем самым разрушает принципы пропорциональной соразмерности его элементов. Если живописец нарушает пропорции в технологии грунтовки холста, это может привести к разрушению и холста и красочного слоя. В химии точные весовые пропорции реагентов обусловливают возможность получения необходимого вещества. Когда мы посещаем заповедники человеческой культуры и встречаемся с произведениями зодчества, музыкой или картинами художников, нас охватывает особое чувство необъяснимого волнения и восторга от увиденного и услышанного. И наоборот, когда эстетические качества сооружения или картины оставляют желать лучшего, мы испытываем чувство сожаления или равнодушия.

Сопоставляя выдающиеся памятники искусства и архитектуры, созданные в определенные исторические периоды культурами различных народов, и изучая их композиционную структуру, мы приходим к убеждению, что принципы пропорциональной соразмерности элементов являются непременным условием формирования облика объекта.

Пренебрежение пропорцией приводит к безграмотному, несостоятельному рисунку. Нетрудно представить, что если изображенный предмет непропорционален в своих отношениях, то он становится менее убедительным. Это очевидно в изображении головы человека, где лицевая часть доминирует в своих объемных размерах по отношению к черепной (мозговой) части, или когда голова человека по отношению к остальной фигуре слишком мала или велика и т.п. При изображении предметов нередко пренебрегают различиями в их размерах, пытаясь акцентировать внимание лишь на их конфигурации и форме, искажая тем самым пропорции и гармонию целого.

По мнению древних греков, гармония есть связь различных частей в единое целое. Для того чтобы получить это единое целое, необходимо связать части между собой таким образом, чтобы они представляли собой законченное единство.

Выдающиеся памятники древнего искусства и архитектуры обязаны своими соразмерностями и пропорциями человеку. Об этом свидетельствует фундаментальный тезис античной философии: «Человек — мера вещей».
Именно человек является эталоном или модулем пропорционального строя архитектурных объектов древнего мира. Пропорция человеческого тела имеет решающее значение при определении создаваемых вещей, оказывает влияние на формируемое им предметное окружение. Сообразно пропорциям человеческого тела зодчие устанавливали соразмерность и пропорцию храмов, сооружений и построек.

Пропорция есть соответствие между членами всего произведения и его целым по отношению к части, принятой за исходную, на чем и основана всякая соразмерность. Без соразмерности и пропорции не может быть правильной композиции, если в ней не будет членения, сопоставимого с телом хорошо сложенного человека. Так, например, основной мерой в Древней Руси являлась давно известная, так называемая тьмутараканская сажень — 142 см. Она соответствовала двойному шагу человека. При пропорциональном сложении тела эта мера соотносится как 1 и ^/5 — 1 . Новгородская мерная трость, в которой сопряжены парные меры Древней Руси, заключает в себе пропорцию храмов конца XII века, промеренных ею. Новгородская мерная трость, как и меры античного Рима и классической Греции, принадлежит двойному квадрату — канону строителей египетских пирамид. Этими мерами соизмеряли архитектурные сооружения в Древней Руси, привнося в архитектуру свойство взаимопроникновения, т.е. гармонию. Вот почему человек является камертоном гармонического строя архитектуры и искусства.


Герой романа «Путешествия в некоторые отдаленные страны света Лемюэля Гулливера, сначала хирурга, а потом капитана нескольких кораблей» рассказывает следующее:

«Пятистам плотникам и инженерам было поручено немедленно изготовить самую большую повозку, какую только им приходилось делать. Это была деревянная платформа на двадцати двух колесах, около семи футов в длину и четырех в ширину, возвышавшаяся на три дюйма от земли» (1 дюйм = 2,54 см. 1 фут =30,48 см)

О другом своем путешествии Гулливер сообщает: «Королева приказала своему придворному столяру смастерить ящик, который мог бы служить мне спальней. Этот столяр был замечательный мастер; в три недели он соорудил по моим указаниям деревянную комнату в шестнадцать футов длины и ширины и двенадцать футов высоты, с открывающимися окнами, дверью и двумя шкафами, как обыкновенно устраиваются спальни в Лондоне»

Не трудно догадаться, что в первом случае Гулливер рассказывает о своем путешествии в Лилипутию, а во втором – в Великанию. Из приведенных отрывков видно, что гигантская повозка, построенная стараниями лилипутских инженеров и плотников, была меньше, чем небольшой (по великанским масштабам) ящик. Иначе говоря, нечто огромное было меньше чего-то маленького.


Но была ли огромной лилипутская повозка и маленькой великанская «кукольная» спальня? И повозка, и спальня соответствовали росту Гулливера: по лилипутским меркам повозка была огромной, по меркам великанов ящик был маленьким.

Большой - маленький. Слова «большой» и «маленький» содержат не оценку истинных размеров предметов, а лишь указание на относительные размеры одного предмета по сравнению каких – то других.

Примером этого может послужить роман «Путешествие Гулливера».


Например, это размеры модели машин, а модель - это уменьшенная копия оригинала. hello_html_m5429aa35.gifhello_html_m5429aa35.gif модель оригинал

Также перед тем, как построить какое-то здание сооружают его макет. Макет-это тоже уменьшенная копия оригинала. hello_html_m6ca45859.gifhello_html_m6ca45859.gif оригинал макет

Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя на

латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение». С тех пор вот уже 2000 лет пропорций в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a,6,c,d:

hello_html_2bc7f28d.gif Пропорции начали изучать еще в древности. В 4 веке до н.э. древнегреческий математик Евдокс дал определение пропорции, составленной из величин любой природы.


Древнегреческие математики превратили пропорцию в весьма гибкий аппарат исследования. Пропорции могут состоять из натуральных чисел, величин. Роль теории пропорций заметно уменьшилась после того, как было осознано, что отношение величин является числом, а потому пропорция - это просто равенство чисел. Это позволило применять вместо пропорции уравнения, а вместо преобразования пропорций -алгебраические преобразования.



Пропорция в искусстве также определяет соотношение величин элементов художественного произведения либо соотношение отдельных элементов и всего произведения в целом. В эстетике пропорции, как и симметрия, является составным элементом категории меры и выражает закономерность структуры эстетического образа.


Симметрия воспринимается слишком статично, скованно и только единство симметрии и асимметрии создает подлинную гармонию красоты. Так вот, в качестве меры соотношения симметричного и асимметричного часто выступает пропорция. Возьмем простой пример: деление отрезка прямой. Если отрезок разделить по полам, зеркально-симметрично, то такое деление выглядит уравновешенным, мертвым. Если же точку деления взять слишком близко к одному из концов отрезка, то новая конфигурация будет чересчур неуравновешенной и беспокойной. Только некоторая «золотая середина», которая в данном случае отнюдь не является геометрической серединой, обеспечит нам желаемое единство симметрии и асимметрии.

Такое деление отрезка было известно еще Пифагору и называлось им золотой пропорцией.

Золотая пропорция определяется как деление отрезка на две неравные части, при котором меньшая из них так относится к большей, как последняя ко всей длине отрезка.

Золотое сечение мы находим всюду: в изобразительном и прикладном искусстве, в архитектуре и музыке, в литературе, в предметах быта и машинах.


hello_html_m653c68f2.jpg


Многочисленные исследования показали, что на точке золотого сечения обычно бывает кульминация в поэтических, драматургических и музыкальных произведениях. Золотое сечение мы находим в общей композиции произведения и в соотношении его частей.

Но золотое сечение было не единственным каноном пропорциональности в искусстве.




«Ты ползал вокруг могучих развалин, чтобы вымолить у них тайну пропорции» И.В.Гете

Роль пропорций осознавали древнегреческие и древнеегипетские зодчие.

hello_html_m5d3fb1d1.jpgВ чем заключается сила архитектурных пропорций? В том, что архитектурные пропорции – это математика зодчего. А математика – это универсальный язык науки, поэтому мы можем сказать, что пропорции – это универсальный язык архитектуры, язык всеобъемлющий и всесильный, как всеобъемлюща и всесильна математика. Не случайно в высказываниях архитекторов о пропорциях, так часто встречаются слова «внутренняя красота», «простота», «всеобщность».


Пропорции являются важным и надежным средством зодчего для достижения хрупкого и тонко сбалансированного равновесия между целым и его частями, имя которому – гармония. Но по сравнению с композитором или скульптором архитектор находится в более сложном положении, так как на пути к гармонии он должен заботиться не только о «красоте», но также и о «пользе», и «прочности».





hello_html_6e4f6177.jpg



На языке пропорций говорили зодчие всех времен и всех архитектурных направлений: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники, представители барокко и классицизма, поклонники «модерна» и «хай-тека».



Пропорция - равенство между отношениями четырёх величин a, 6, c, d:

hello_html_2bc7f28d.gif

Или а : в = с : d,

где а и d – это крайние члены пропорции, а в и с – средние члены пропорции





Пример 1: Мальчик шел со скоростью 5 км/ч. За какое время он пройдет 20 км?

Решение: S = V ∙ t, t = S / V t = 20 / 5 t = 4

Ответ: за 4 часа мальчик пройдет 20 км.


Пример 2 : 2,7 м. ткани стоят 918 рублей. Сколько стоят 14,5 м той же ткани?

Решение: составим пропорцию 2.7 : 918 = 14.5 : х 2.7 х = 918 ∙ 14.5 2.7 х = 13311 х = 4930

Ответ: 4930 рублей стоят 14.5 м. той же ткани.



hello_html_2798217f.gif





«Закономерные» отношения

hello_html_m31963839.gifhello_html_45cf3d91.gif Прямо пропорциональные Обратно пропорциональные широко используются в разнообразнейших расчетах,производимых школьниками,инженерами,администраторами и т.д.

Прямо прпорциональные величины :

длина окружности и ее радиус;

размеры предметов и размеры отбрасываемых ими теней;

глубина колодца и работа, которую требуется совершить,чтобы достать из него ведро воды.




Обратно пропорциональные величины:

продолжительность звучание одного такта, и число тактов используемых за одну минуту;

hello_html_161b0a63.gif



длины сторон прямоугольника, выложенного из 60 костей домино.





1.3.Отношения и пропорции в костюме

3.1. Понятие об отношениях частей формы одежды

Форма одежды может иметь различные членения, это объясняется зависимостью её от форм тела человека, характера материала, назначения, требований, предъявляемых к данному виду одежды.
Отношением называется результат сравнения двух однородных величин. Положительное восприятие отношения двух сравниваемых величин свидетельствует об их согласованности, соразмерности.
Простейшим видом согласованности является тождество, то есть полное сходство (равенство, повторение линий, площадей, массы, фактур, цвета). Пользоваться тождественными отношениями следует осторожно, так как многократное повторение отдельных элементов быстро вызывает утомление.
Небольшие различия в линиях, площадях, массах, фактурах, цвете свидетельствует о нюансных отношениях. Чем больше различий, тем активнее, динамичнее воздействует на восприятие человека это отношение.
Ярко выраженное различие в линиях, площадях, массах, фактурах, цвете называется контрастным отношением. Пределом использования контрастных отношений будет восприятие целой формы как целостности, ещё не разрушенной различиями.

3.2. Определение понятия «пропорции»

Пропорции – это соразмерность, определённое соотношение частей (форм) между собой и с предметом в целом.

В костюме пропорции играют особенно важную роль: от того, в каких соотношениях находятся отдельные его части между собой и фигурой человека, зависит образная выразительность костюма и внешний облик самого человека. При этом надо принимать во внимание форму и величину головного убора или причёски, форму и высоту каблука, количество и характер украшений, а также цветовое решение костюма. Все эти компоненты оказывают влияние на характер пропорций.

Пропорции бывают следующих видов (рис. 4.1):
• пропорции равенства - это когда части костюма равны между собой (принцип одинаковости); такое членение вызывают ощущение покоя, статики;
• пропорции неравенства – это когда части костюма не равны между собой (принцип разнообразия); такое членение вызывает ощущение движения, динамики. Неравенство может быть незначительным или построенным по принципу контраста;
• пропорции «золотого сечения» (разновидность пропорций неравенства) выражается следующими соотношениями: 3:5 (5:3), 5:8 (8:5), 8:13 (18:8) и т.д. В каждом из этих отношений сумма двух чисел образует целое, которое относится к большему числу так, как большее к меньшему.

hello_html_m5ab8ee4c.jpg<>

1 - «равенство» ; 2 - «неравенство» ; 3 - «золотое сечение» 3:5
Рис. 4.1. Виды пропорций.

Длина одежды и положение линии талии очень подвержены влиянию моды, но какие бы пропорции не были модны, наиболее гармоничными считаются пропорции, построенные по правилам “золотого сечения”.
В основе строения человеческой фигуры также лежит принцип “золотого сечения”, так как это соотношение выражает естественное членение фигуры линией талии на две неравные части (3:5).

3.3. Роль отношений и пропорций частей формы одежды в создании образной выразительности в костюме

В зависимости оттого, что входит в понятие красоты в ту или иную эпоху, возникают конкретные формы костюма с соответствующими пропорциями.
Стиль готики характеризуется вытянутыми удлинёнными пропорциями, отношение длины лифа к длине юбки было 1:6, 1:7. Эпоха Возрождения напротив тяготела к некоторой «приземлённости», монументальности; характерны пропорции «золотого сече-ния», но при этом отношение ширины одежды в плечевом поясе к ширине юбки почти равно единице.
В эпоху классицизма – снова вытянутые пропорции, соотношение длины лифа и юбки: спереди 1:6, со спины 1:7 (шлейф).
Стиль Ампир делает пропорции более умеренными, так как юбки в нижней части расширяются и появляются внизу оборки.
Очень сильно усложняется пропорциональное решение костюма в XX в., когда юбки укоротились и стала видна значительная часть ног. На изменении соотношений открытой части ног и платья основывается в значительной мере формирование и изменение моды.

В 1925 году в моду входят пропорции равенства, талия опускается на бёдра, величины юбки и лифа становятся равными. В дальнейшем юбки укорачиваются, линия членения опускается ещё ниже, пропорции становятся 2 к 1. Такие пропорции придали некоторую неустойчивость фигуре.
Какие бы пропорции не были в моде, при работе над композицией одежды надо считаться с пропорциями фигуры человека.

Подведем итоги:

Существуют следующие отношения частей формы одежды: тождество, нюанс, контраст.

Пропорции – это соразмерность, определённое соотношение частей (форм) между собой и с предметом в целом.

Пропорции бывают следующих видов: пропорции равенства, неравенства, «золотого сечения».

Пропорция «золотого сечения» выражается следующими соотношениями: 3:5 (5:3).

В каждом из этих отношений сумма двух чисел образует целое, которое относится к большему числу так, как большее к меньшему.


В зависимости оттого, что входит в понятие красоты в ту или иную эпоху, возникают конкретные формы костюма с соответствующими пропорциями. Какие бы пропорции не были в моде, при работе над композицией одежды надо считаться с пропорциями фигуры человека.

1.4.Решение задач по химии с помощью пропорции

Рассмотрим прием решения задач на пропорции, который, видимо, принадлежит учителям химии, утомленным плохим знанием учащимися процентных расчетов. Он сводится к совету: в записи

400 г раствора — 100 %

20 г соли — x %

отделите двумя чертами числовые данные в двух строках, сблизьте две черточки до получения знака
« = » и решите полученную пропорцию:

400/20= 100/х .

Иногда в процессе решения пропорция не фиксируется в явном виде. Например, в пособии для учащихся «500 задач по химии» (Просвещение, 1981) дана краткая запись решения:

б) 32 г серы соединяются с 32 г кислорода, а

х г » 8 г »

x = 32·8/32 = 8 (г).

в) 32 г серы соединяются с 48 г кислорода, а

х г » 8 г »

x = 32·8/48 = 5,33(г).

Как видим, здесь пропорции остались «за кадром», учащиеся могут умножать и делить числа «крест-накрест». Ничего предосудительного в таком способе оформления решения нет, им вполне можно пользоваться при решении большого числа однотипных задач на уроках химии. Правда, мы бы не стали применять громоздкий общий прием в очевидном случае «б» и использовать знак « = » вместо « ≈ » в случае «в». Но мы уверены, что если учащийся не разбирается в пропорциях и не может объяснить смысл своих действий, то решение задач по образцу дает мало пользы его для развития.

Химикам хорошо! Они имеют дело с прямой пропорциональностью. А учащиеся 6 класса (особенно пропустившие объяснение учителя) иногда приносят из дома такой способ решения первой задачи без пропорции: «перемножим числа крест-накрест: 20 умножим на 100, x – на 400, приравняем полученные результаты и найдем x». Таких учащихся трудно учить применению пропорций, так как они считают более простым свой способ, но эта трудность легко снимается после попыток решать способом «крест-накрест» задачи на обратную пропорциональность.

Отметим, что правило «умножай и дели крест-накрест» сродни правилам, которые применяли в старину при решении арифметических задач. Воспользуемся этим обстоятельством и вернемся еще раз к истории вопроса. Но сначала уточним терминологию.

В давние времена для решения многих типов задач существовали специальные правила их решения. Знакомые нам задачи на прямую и обратную пропорциональность, в которых по трем значениям двух величин нужно найти четвертое, назывались задачами на тройное правило (простое тройное правило). Если же для трех величин были даны пять значений и требовалось найти шестое, то правило называлось пятерным. Аналогично для четырех величин существовало «семиричное» правило. Эти правила назывались еще задачами на сложное тройное правило.

Во вводной статье к первому параграфу нашей книги мы привели фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором отражено почти мистическое отношение обучающих к тройному правилу, а само изложение материала имеет ярко выраженный рецептурный характер. Обучение по правилам было широко распространено и в России. Желая описать методику обучения решению задач времен Л.Ф. Магницкого, сошлемся на С.И. Шохор-Троцкого, который в своей «Методике арифметики для учителей средних учебных заведений» писал: «Насколько преизобиловали правилами книги по арифметике встарину – можно судить по весьма почтенному для своего времени труду Леонтия Магницкого... В книге первой... кроме множества правил о целых и дробных числах, изложены правила, называемые автором «подобными» (ныне называемые тройными)... автор различает: правило тройное в целых, правило тройное в долях, правило тройное сократительное, правило «возвратительное» (обратно-пропорциональное), правило пятерное, правило «семиричное»..., а затем, в виде применения этих правил, предлагает ряд «статей»: статью тройную торговую («в целых» и «в долях»), тройную торговую о куплях и продажах, тройную торговую в товарных овощах и «с вывескою» (то есть о вычислении тары товара), о «прикупах» и о «накладах», «вопросную» о тройном правиле, «вопросную же со времены», «деловую в тройном правиле», торговую «меновную в тройном правиле»... [26]

Далее С.И. Шохор-Троцкий приводит фрагмент из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, из которого хорошо видно, что рецептурный стиль изложения материала, характерный для более ранних европейских источников, в первом российском учебнике арифметики еще не был преодолен. В этом фрагменте, посвященном применению пятерного правила, сначала дается определение правила и пример на его применение (текст задачи здесь выделен курсивом), потом рецепт для получения ответа; в других случаях рекомендуется поступать так же.

«Пятерное правило есть, егда случаются таковые сметы творити, яже не могут иным чином или правилом уразуметися, токмо через сие пятерное или пятиперечневое, глаголется же и тройно-сугубое... понеже пять перечней [чисел] в правиле поставляется, а шестый изобретается...: некто име сто рублев в купечестве един год, и приобрете ими токмо 7 рублей, и паки отдал в купечество 1000 рублев на 5 годов, колико ими приобрящет, и ты твори сице, поставив почину тройнаго правила:

год год

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

И умножай два перечня иже от левыя руки между собою, также прочыя три иже к правой руке, такожде между собою порядком умножай, и произведение их раздели тем произведением еже от дву первых произведеся: яко же зде». [там же]

О возможности использования задач такого рода в процессе обучения мы еще поговорим, а пока, следуя правилу, получим верный ответ:

(7·1000·5):(100·1) = 350 (р.).

Во времена С.И. Шохор-Троцкого еще сохранилась традиция решения задач по правилам. Наиболее известным учебником арифметики того времени был учебник А.П. Киселева (первое издание в 1884 г.). Чтобы читатель получил представление о методике изложения материала, связанного с задачами на тройное правило, в этом учебнике, смог представить себе практику обучения школьников решению задач на прямую и обратную пропорциональность в то время, приведем несколько выдержек из 9-го издания этого учебника (1896 г.). Наши комментарии в тексте выделены курсивом.

Простое тройное правило.

Задачи на это правило решаются способом пропорций или приведением к единице.

Задача. 8 аршин сукна стоят 30 руб.; сколько стоят 15 аршин этого сукна?

С п о с о б п р о п о р ц и й. Обозначим буквою x стоимость
15-ти арш. сукна и расположим числа так:

Количество аршин. Стоимость их.

8 арш. . . . . . . . 30 руб.

15 » . . . . . . . x »

Так как стоимость сукна пропорциональна количеству аршин, то

x : 30 = 15 : 8.

Откуда: x = 30·15/8 = 56 1/4 руб.

П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. Чтобы решить задачу этим способом, узнаем сначала, сколько рублей стоит 1 аршин (от этого самый способ наз. приведением к единице). Ход решения для ясности расположим строчками:

8 арш. стоят 30 руб.

1 арш. стоит 30/8 руб.

8 арш. стоят 30/8 ·15 = 56 1/4 руб.

Заметим, что изложить материал в учебнике можно было бы проще. Ведь второй способ решения задачи является всего лишь другой записью решения по действиям:

1) 30 : 8 = 30/8 (руб.); 2) 30/815 = 56hello_html_0.gif (руб.)Таким способом, но с выражением стоимости сукна в копейках, учащиеся должны были уметь решать задачу еще до изучения действий с дробями. Способ приведения к единице с намеренным сохранением сократимых дробей был необходим для изложения решения задачи на сложное тройное правило, для «окончательной формулы», для обучения школьников последовательному изменению сначала одной величины (как здесь), а потом и нескольких величин (как при решении задач на сложное тройное правило).

Также двумя способами (сначала с помощью пропорции, потом приведением к единице) решена и задача на обратную пропорциональность.

Способ решать такие задачи, в которых дано по одному соответствующему значению двух величин, прямо или обратно пропорциональных, а требуется найти, какое значение примет одна из них, если другая получит новое данное значение, наз. простым тройным правилом.

Далее приведена задача на сложное тройное правило, сложность которой превышает потребности первоначального обучения – здесь было бы достаточно взять три величины, а не четыре (то есть взять задачу на пятерное правило, как у Л.Ф. Магницкого, а не на «семиричное»).

Сложное тройное правило.

Задача. Для освещения 18 комнат в 48 дней издержано 120 фун. керосина, причем в каждой комнате горело по 4 лампы. На сколько дней достанет 125 фунт. керосина, если освещать 20 комнат и в каждой комнате будет гореть по 3 лампы?

С п о с о б п р о п о р ц и й. Расположим данные этой задачи в две строки:

18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы

20 »х » – 125 » – 3 »

Если оставить без изменения число фунтов и ламп (эти величины взяты в скобки), то можно найти x1 – число дней, соответствующих 20 комнатам, решив задачу на простое тройное правило.

18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы

20 »х1» – 120 » – 4 »

х1 = 48·18/20 = 216/5 (дней).

Далее заменим 120 фунтов на 125, не меняя других данных задачи:

20 комн. – 216/5 дня – 120 фун. – 4 лампы

20 »х2» – 125 » – 4 »

 

х2 = 216·125/5·120 = 45 (дней).

Теперь заменим 4 лампы на 3 лампы:

20 комн. – 45 дн. – 125 фун. – 4 лампы

20 »х » – 125 » – 3 »

х = 45·4/3 = 60 (дней).

Способ решать такие задачи, когда данных величин более двух, наз. сложным тройным правилом.

П р и в е д е н и е к е д и н и ц е. ... Расположим, для удобства, данные и искомое числа так, чтобы x стояло в последнем справа столбце:

18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.

20 » 125 » 3 » x »

Теперь узнаем, какое окажется число дней, если будет освещаться 1 комната, керосина будет 1 фунт и в каждой комнате будет 1 лампа. Это мы узнаем, приводя к 1 постепенно одно условие за другим.

18 комн. 120 фун. 4 лампы 48 дн.

1 » 120 » 4 » 48·18 »

1 » 1 » 4 » 48·18/120 »

1 » 1 » 1 » 48·18·4/120 »

Теперь будем постепенно заменять единицы числами, заданными в вопросе задачи:

1 комн. 1 фун. 1 лам. 48·18·4/120 дней.

20 » 1 » 1 » 48·18·4/120·20 »

20 » 125 » 1 » 48·18·4·125/120·20 »

20 » 125 » 3 » 48·18·4·125/120·20·3 »

Остается полученную формулу сократить и вычислить.

О к о н ч а т е л ь н а я ф о р м у л а. При достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило можно сразу писать окончательную формулу для x. Покажем, как это делается. Возьмем решенную выше задачу:

                      18 комн. – 48 дн. – 120 фун. – 4 лампы

20 »  – х » – 125 » – 3 »

Число дней было бы 48, если бы освещалось 18 комнат; если бы освещалась только одна комната, то дней было бы 48·18, а при освещении 20 комнат дней должно быть 48·18/20 (при одинаковых прочих условиях). Такое число дней было бы при условии 120 фунтов керосина; если бы керосина был 1 фунт, то число дней было бы 48·18/20·120, а при 125 фунтах керосина оно должно быть 48·18·125/20·120. Такое число дней было бы при условии 4-х ламп; при 1 лампе оно было 48·18·125·4/20·120, а при 3 лампах оно должно быть:

x = 48·18·125·4/120·20·3 , или x = 48·18/20·125/120·4/3.

Правило. Чтобы получить искомое число, достаточно данное значение той же величины умножить последовательно на отношения данных значений остальных величин, беря отношение нового значения к прежнему, если величина прямо пропорциональна той, значение которой отыскивается, и прежнего значения к новому, когда величина обратно пропорциональна той, значение которой отыскивается.

Запоминать и безошибочно применять это правило было, видимо, не так уж просто. Обратим внимание на то, что к окончательной формуле предполагалось переходить «при достаточном навыке в решении задач на сложное тройное правило» двумя первыми способами. Стоит ли удивляться, что такое обучение было сложным и малополезным для учащихся, вызывало возражения у учителей и методистов. Так, например, в программе для I и II ступени семилетней школы единой трудовой школы 1921 года достаточно определенно записано: «Все же остальные «правила» представляют собою пережитки прошлого и чепуху даже не натуральную, а искусственную». И дальше: «Сложное тройное правило охватывает коллекцию искусственных задач, которые давно следует выбросить из школьного обихода вследствие их бессмысленности».

Столь резкая категоричность авторов программы, видимо, была связана не столько с самими задачами (их условия вполне можно было приблизить к опыту ребенка), сколько с малополезной методикой обучения школьников решению задач «по правилам». Приведенные выше фрагменты текста из учебника А.П. Киселева дают представление о методике изложения интересующего нас материала в дореволюционных учебниках. Заметим, что в переработанном в 1938 г. варианте учебника задачи на сложное тройное правило все же сохранились и разбору одной такой задачи – сразу на «семеричное» правило – посвящено чуть больше страницы учебника. Однако здесь рассматривается только «окончательная формула» и правило не формулируется. Очевидно, что это изменение не решило проблему использования задач рассматриваемого типа.

Лишь упростив методику использования такого рода задач, можно с пользой для дела сохранить в практике школы целый класс традиционных задач. Как мы увидим позже, многие из них могут иметь достаточно близкое к практике содержание, а проведение подготовительной работы при обучении решению задач на простое тройное правило и построение цепочки задач от простого к сложному повысят доступность задач этого типа. Правда, остается нерешенным вопрос: нужно ли обучать всех учащихся решению таких задач? Ответ на него зависит от того, в чем мы видим практическую ценность обучения решению текстовых задач – только в обучении решению встречающихся в практике задач или, кроме того, в развитии мышления школьников в процессе решения самых разнообразных, в том числе и искусственных, задач. Достижению второй цели вполне может способствовать использование в учебном процессе задач на сложное тройное правило. Разумеется, требование уметь решать такие задачи не может быть обязательным для всех учащихся, но участие в разборе их решение, тренировка в различении прямой и обратной пропорциональностей будут полезны каждому из них.

Таким образом, сами пропорции ненамного обогащают арсенал способов решения задач, используемых школьниками в процессе изучения всего курса математики 6 класса, а без нарастания сложности задачи на прямую и обратную пропорциональность не оказывают желаемого влияния на развитие школьников. На небольшом числе несложных однотипных задач не всегда удается достичь еще одной важной цели – научить школьников хорошо различать прямую и обратную пропорциональности.

Мы не утверждаем, что в былые времена задачи на прямую и обратную пропорциональность использовались намного эффективнее. Но все же более разнообразные задачи, включая задачи «на сложное тройное правило», оставляли учителю возможность для развития наиболее сильных учащихся. Вот почему учителям рекомендуется использовать в своей работе со всеми учащимися, особенно с наиболее подготовленными из них, эти теперь уже практически забытые задачи. Быть может, задачу про керосиновые лампы надо сделать последней в цепочке задач, решая которые ученик сможет не только понимать решения, предлагаемые учителем, но и самостоятельно продвигаться вперед от простого к сложному. Такая работа была бы полезнее топтания на месте при решении однотипных задач одинаковой сложности, она позволила бы дать учащимся хорошую тренировку в различении прямой и обратной пропорциональности. С чего же надо начинать?

Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование свойств пропорций для упрощения их решения. Например, для решения пропорции
х/5 = 1/10 можно правую и левую части равенства умножить на 5 или поменять местами средние члены пропорции.

Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости между ними.

В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию.

Тем самым учащиеся освоят минимальный круг умений, предусмотренный действующей программой по математике. Только после этого для подготовки к решению более сложных задач на пропорциональные величины (сложное тройное правило) нужно показать учащимся способ решения изученных задач вообще без пропорций. Пусть требуется решить задачу:

Со скоростью 80 км/ч товарный поезд прошел 720 км. Какое расстояние пройдет за то же время пассажирский поезд, скорость которого 60 км/ч?

Путь пропорционален скорости при постоянном времени движения, значит, с уменьшением скорости в 80/60  раза путь уменьшится в 80/60  раза.

720 : 80/60 = 540 (км).

Таким же приемом решается задача, если скорость не уменьшилась, а увеличилась, если величины не прямо, а обратно пропорциональны. Разумеется, первому применению этого приема должны предшествовать вопросы, задаваемые при решении предыдущих задач: во сколько раз увеличилась (уменьшилась) эта величина? Первые ответы на них должны выражаться целыми числами, а потом дробями, всегда получаемыми делением большего значения величины на меньшее. Только после того как учащиеся научатся определять, как изменится значение второй величины при соответствующем изменении первой, можно переходить к решению задач сначала с двумя величинами (тройное правило), потом с тремя и четырьмя величинами (сложное тройное правило).













































2.


Математические диктанты по теме "Отношения и пропорции".

Тема. Отношения

В букете 7 роз, 6 гвоздик, 5 ромашек. Найти отношение:

1. Количества роз к количеству гвоздик

2. количества ромашек к количеству гвоздик

3.Количества роз к общему количеству цветов в букете

4. Количества гвоздик к общему количеству цветов

5. Ромашек к сумме роз и гвоздик

Тема. Отношения

В коробке 3 красных, 7 белых,и 10 желтых мячей. Сколько процентов составляют:

1. красные мячи от желтых

2. белые мячи от желтых

3. красные от общего количества мячей

4. белые от общего количества мячей

5. красные от суммы белых и желтых мячей (ответ округлить до десятых)

Тема. Пропорции

Вставить пропущенные слова:

1.Пропорция-________________ двух отношений.

2 Основное свойство пропорции: В_________ пропорции _________________ крайних членов равно ________________ средних членов

3. как называются числа х и у в пропорции х:а=в:у?

4.как называются числа m  и   n в пропорции а: m= n:в?

5.Найти неизвестный член пропорции 21:х=36:12 

Тема. Пропорция

Найти неизвестный член пропорции:

  1. х:14=36:7 2/9=y/185/3=10/x

  2. Решить задачу: Велосипедист за 3 часа проезжает 75 км. За какое время проедет велосипедист 125 км с той же скоростью?

  3. Четыре гнома посадили для Белоснежки 8 кустов роз. Сколько кустов роз посадят за то же время три гнома?

Тема Прямая и обратная пропорциональные зависимости

  1. Решить задачу: Для перевозки груза машине грузоподъемностью 6 т нужно сделать 10 рейсов. Сколько рейсов понадобится сделать машине грузоподъемностью 4 т для перевозки этого же груза.

  2. За 12 кг яблок заплатили 150 рублей. Сколько кг яблок можно купить на 200 рублей.

  3. Для изготовления 12 приборов необходимо 360 г металла. Сколько металла нужно взять, чтобы изготовить 9 таких приборов?

  4. Вставить пропущенные слова: Две величины называются прямо пропорциональными, если при ___________ (_________) одной из них в несколько раз другая ___________ (____________) во столько же раз.

  5. Вставить пропущенные слова: Две величины называются обратно пропорциональными, если при ___________ (_________) одной из них в несколько раз другая ___________ (____________) во столько же раз.  

Тема. Масштаб

  1. Масштаб карты 1:1000000. Расстояние между городами 3 км. Каким будет это расстояние на карте?

  2. Масштаб карты 1:100. Каково расстояние между городами в действительности, если на  карте оно отображается отрезком длиной 7,2 см.

  3. Масштаб карты 1:100000. Отрезком какой длины обозначается на ней расстояние в 50км?

  4. Расстояние между пунктами на карте равно 8 см, а на местности 6 км. Какую длину будет иметь на этой карте отрезок в 9км?

  5. Расстояние между пунктами на карте равно 8см, а на местности 160км. Каков масштаб этой карты?

Тема. Длина окружности. Площадь круга.

  1. Найти длину окружности радиусом 2,3см. Число округлить до сотых

  2. Найти длину окружности диаметром 5,1м. Число округлить до десятых

  3. Определить площадь круга радиусом 8м. Число округлить до сотых

  4. Найти радиус окружности, если ее длина 6,28 см . Число округлить до сотых

  5. Определить диаметр окружности, если ее длина 44м.  Число считать равным 22/7.



Урок самостоятельного изучения темы.

Отношения и пропорции

  1. Продолжи ряд в обе стороны:

    1. 3, 9, 27;

    2. 20, 10, 5

    3. 0,5 : 1; 1 : 2; 2 : 4.

    4. (напиши свой пример)

  1. Какую часть первая фигура составляет от второй?

    1. hello_html_29c49c1f.png2) hello_html_47c72377.png3) hello_html_2113a90e.png

  2. Верно ли, что вторая фигура составляет от первой 1/4 часть? Покажите это на рисунках:

    1. 2) hello_html_m205fc6db.png3) hello_html_39dfed4.png4) hello_html_61804a1a.png


иначе говорят, что вторая фигура относится к первой , как 1 к 4 и записывают 1/4 или 1:4.

  1. Нарисуйте две фигуры так, чтобы первая фигура относилась ко второй как 1:3. Как иначе можно сформулировать это задание?

  2. hello_html_dc98384.pngДана фигура. Постройте другую фигуру так, чтобы она

1) относилась к данной как а) 1:2 (1/2) б) 2:1

2) чтобы площадь построенной фигуры относилась к площади данной фигуры как а) 1:2; б) 2:1.

  1. Для приготовления варенья взяли 4кг сахара и 6кг вишни. Найдите отношение массы сахара к массе вишни. Сколько сахара нужно взять для приготовления варенья из 12кг вишни? Запишите разные отношения по тексту задачи.

  2. Начерти два прямоугольника, у которых ширина составляет 5/7 его длины.

    1. Переформулируй задание, используя слова "относится", "отношение".

    2. Сколько прямоугольников можно начертить, у которых отношение сторон равно 5/7?

    3. Запиши отношение длины к ширине у начерченного прямоугольника.

    4. Начерти прямоугольник с отношением сторон 2 к 7. Запиши отношения:

hello_html_42bb413e.png

  1. Сплав состоит из меди и олова. Количество меди относится к количеству олова как 2 к 3. Покажите состав сплава на рисунке.

  2. Возьмите любые два числа. Составьте из них отношение. Сколько отношений можно составить из двух чисел? Сколько различных рисунков можно сделать для этих отношений?

  3. Даны два числа3 и 5. Какие записи являются записями отношений первого числа ко второму: 3/5; 3 к 5; 5 к 3; 5/3; 3:5; 5:3; 3; 5; 35?

  4. Посмотри предложенные выше задания и ответь на вопросы:

    1. С каким новым понятием ты работал при их выполнении?

    2. Назови номера задач, в которых рассматривали отношения

а) чисел; б) фигур; в) величин.

    1. Существенным ли является порядок записи членов отношения? Ответ подтверди ссылками на соответствующие задачи.

    2. Сколько различных отношений можно составить из двух чисел?

  1. Заполните пропуски в таблице результатов встречи двух команд по футболу:


    Забито

    Пропущено

    hello_html_2b403371.png

     

     

    мячей

    мячей

    Рисунок

    1 команда

     

     

     

     

    2 команда

     

     

     

     

  2. Прочтите разными способами: 2/5; 3:7.

  3. Что означают записи 2/1, 3:3, 3/4, если речь идет о

    1. результатах игр двух команд? В каком случае первая команда выиграла, проиграла, сыграла вничью?

    2. о содержании двух веществ в растворе или сплаве;

    3. о прохождении части пути.

Предложите сами две ситуации для выяснения смысла этих записей.

  1. Что означают отношения:

hello_html_m729cd6f4.png

  1. Составьте различные отношения. Для этого вы можете обратиться к различным справочникам, газетам, журналам.

  2. Стороны квадратов относятся как 2:5. Как относятся их площади? Попытайтесь сначала угадать ответ, а потом проверить его.

  3. Стороны двух кубов относятся как 2:5. Как относятся их площади? Попытайтесь сначала угадать ответ, а потом проверьте его.

  4. Во сколько раз увеличилась бы ваша масса, если бы все ваши линейные размеры увеличились в два раза? Происходит ли так в процессе роста ребенка?

  5. Приведите примеры различных ситуаций, в которых используются отношения чисел, фигур, величин.

  6. Считая, что число ступенек лестницы между этажами одинаково, запишите отношение числа ступенек при подъеме с первого этажа на восьмой к числу ступенек при подъеме с третьего этажа до седьмого.

  7. Для приготовления рассыпчатых каш жидкости берут примерно 1,5 литра на 1 кг крупы. Для приготовления вязкой каши берут 3 литра жидкости на 1 кг крупы.

    1. Какую кашу приготовили, если на :

а) 0,5 кг риса взяли 1,5 литра молока;

б) 2 кг гречки взяли 3 литра воды?

    1. Какой вместимости нужно взять кастрюлю, чтобы сварить рассыпчатую кашу из 1,5 кг крупы?

  1. Для приготовления вишневого варенья на 6 кг вишни берут 4 кг сахара. Сколько нужно взять сахара для приготовления варенья из 12 кг, 3 кг вишни?

  2. На одной карте указан масштаб 1см: 2 км, на другой - 1 : 200 000. Сравните эти масштабы.

  3. Из чисел 2, 6, 12, 8, 4, 36 составьте различные отношения. Найдите среди них равные отношения. Запишите соответствующие равенства.

  4. В таблице приведены сведения о движении двух велосипедистов. Найдите для каждого велосипедиста отношение пути ко времени. Что оно означает?

     

    Путь, км

    Время, ч

    hello_html_50e076ff.png

    1 велосипедист

    60

    3

     

    2 велосипедист

    40

    2

     

  5. Сравните полученные отношения. Сделайте соответствующую запись.

  6. Используя условия задачи №22, составьте две пропорции. Назовите в них крайние, средние члены. Что они означают?

  7. Найдите свойства пропорций.

  8. Заполните пропуски в таблице

     

    Первое

    отношение

    Второе

    отношение

    Пропорция

    Крайние члены пропорции

    Средние члены пропорции

    1)

    hello_html_15780d45.png

    hello_html_6e26437b.png

     

     

     

    2)

     

     

     

    150 р. и 4 кг

    200 р. и 3 кг

    3)

     

     

    hello_html_2f12c1d7.png

     

     

    4)

    hello_html_m9a18a2e.png

     

     

     

    2 ч и 350 км

    5)

     

     

     

    1,2 и 5

    0,6 и 2hello_html_m647f15f5.png

  9. Расстояние в 120 км велосипедист проехал за 4 часа. За сколько времени при той же скорости будет пройдено расстояние в 180 км?

Изучи решения.

Решения:

1 способ

    1. 120 : 4 = 30 (км/ч) скорость велосипедиста

    2. 180 : 30 = 6 (ч) время, затраченное на 180 км

2 способ

Отношение пути ко времени в первом случае 120/4.

Во втором случае 180/t. Так как скорость движения одна и та же, то отношения равны. Получаем пропорцию: hello_html_19212278.png

Воспользуйтесь основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних членов), получим: 120 * t = 4 * 180

hello_html_m4e8c48e2.png

t = 6

Ответ. Велосипедист проедет расстояние 180 км за 6 часов.

Для составления пропорции коротко записи ведут так:

120 4

 

120

180

 

или

|

|

180 t

 

4

t

Значения одной величины записывают в одинаковых строчках или столбцах. Затем составляют пропорцию по строкам:

hello_html_19212278.png

  1. Составьте несколько задач, которые можно решать с помощью пропорций. Можете использовать результаты задания 15.

  2. На рисунке изображена девочка, стоящая возле башни. Рост девочки равен 1 м 50 см. Найдите высоту башни.

  3. Земля делает полный оборот 3600 около своей оси за 24 часа. На какой угол она повернется за 3 часа, 9 часов?

  4. Оркестр, состоящий из 120 музыкантов, играет симфонию в течение 40 минут. Сколько минут будут играть ту же симфонию 40 музыкантов?

  5. Три курицы снесли 3 яйца за 3 дня. Сколько яиц снесут 6 таких же куриц за 6 дней?

  6. Составьте рассказ на тему "Отношения и пропорции вокруг нас".

Контрольные вопросы и задания для само- и взаимопроверки.

  1. Что называют отношением двух чисел?

  2. Что показывает отношение двух чисел?

  3. Как узнать какую часть число а составляет от числа b? Приведи пример.

  4. Прочти вслух разными способами 35 : 27.

  5. Что такое пропорция?

  6. Как называются числа x и y в пропорции x : a = b : y?

  7. Как называются числа m и n в пропорции a : m = n : b?

  8. Сформулируйте основное свойство пропорции.

  9. Перечислите способы получения верной пропорции из данной.

  10. Останется ли пропорция верной, если поменять местами какой-нибудь средний ее член с одним из крайних? Приведите пример.

  11. Останется ли пропорция верной, если оба средних члена поменять местами с крайними членами? Проверьте ваш ответ на пропорции 3 : 4 = 9 : 12.

  12. Отношение a к b равно 2/7. Найдите обратное отношение.

  13. Чему будет равно отношение m к n, если отношение n к m равно 1,25?

  14. Какую часть урока заняла самостоятельная работа, которая длилась 20 минут, если продолжительность урока 40 минут, 45 минут?

  15. В классе 36 учащихся. Из них 15 мальчиков, остальные девочки. Какую часть учащихся составляют мальчики? Какую - девочки? Чему равно отношение числа девочек к числу мальчиков и что оно показывает?

  16. Запишите пропорцию:

    1. 5 так относится к 3, как 2 относится к 1,2;

    2. 0,9 так относится к 1/3, как 45 относится к 16hello_html_m6cb3f9c1.png;

    3. отношение 2/7 к 0,1 равно отношению 14 к 4,9.

Проверьте полученные пропорции, определяя отношения чисел.

  1. Из каких отношений 0,6 : 5; 4,2 : 7; 3/4 : 6,25 можно составить верную пропорцию?

Самостоятельная работа

  1. Всадник, двигаясь со скоростью 18 км/ч, преодолел некоторое расстояние за 1,5 ч. За какое время проедет это расстояние экипаж, скорость которого на 3 км/ч меньше скорости всадника?

  2. Решите уравнение hello_html_1a2b288.png

  3. Для изготовления 10 деталей требуется 3 1/3 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?

  4. Деталь на чертеже, выполненном в масштабе 1 : 5, имеет длину 2,1см. Какую длину будет имет эта же деталь на чертеже, выполненном в масштабе 3 : 1?

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены общие методические рекомендации к изучению темы, методические рекомендации к проведению урока, некоторые особенности в обучении математике, основные понятия по теме: « Отношения и пропорции», связь данной темы с архитектурой, изобразительным искусством, химией. А также использование пропорции при пошиве одежды.

В приложении поданы презентации по теме «Отношения и пропорции» , а именно: «Витамины и здоровье», «Практическое применение пропорций в искусстве» .

Основные задачи, которые ставились перед началом написания курсовой работы, были выполнены.





Конспекты уроков с презентациями поданы в приложении.















 hello_html_1fe9468.gif



hello_html_253b1c03.gif



ЛИТЕРАТУРА:


1. 3000 конкурсных задач по математике. - М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

2. Арифметика: Учеб. для 6 кл. ощеобразоват. учреждений/С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. - М.: Просвещение, 2000.

3. Б.Варга Язык. Музыка. Математика - М: «Мир», 1981

4. . Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. - М.: Мнемозина, 2001.

5. Поляков С. Зачем нужна математика тем, кому она не нужна? // Школьное обозрение. - 2002. - №4. - с. 41 - 43.

6. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/ Сост. А.П. Савин, В.В. Станцо, А.Ю. Котова: Под общ. ред. О.Г. Хинн - М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ»», 1999.

7. Энциклопедический словарь юного математика - М: «Педагогика» , 1989



Краткое описание документа:

В настоящее время уделяется большое внимание школьному образованию как первой ступени образовательного процесса. Одна из важнейших его задач - обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи по теме "Отношения и пропорции", потому что эти понятия широко используются как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

Тема моей курсовой работы "Методика обучения решению текстовых задач по теме " Отношения и пропорции". Данная тема является актуальной в современное время, так как появилась из практической необходимости. Пропорция широко применяется в математике, химиии и других науках. Отношения и пропорции нужны и важны и при этом им мало уделяется внимания и времени в школе. В учебнике не достаточное количество задач, которое требуется для усвоения материала.

Задачи, решаемые с помощью пропорций, по традиции изучаются в курсе математики 6 класса. Считается, что именно в этом возрасте учащиеся должны научиться решать пропорции, ознакомиться с двумя практически важнымизависимостями - прямой и обратной пропорциональностями, научиться их различать и решать соответствующие задачи. Изучение пропорций и указанных зависимостеймало связано с потребностями самого арифметического курсаили с потребностями обучения решению задач в 6 классе - в учебниках нет задач на прямую и обратную пропорциональность, которые нельзя  было бы решить без пропорций.

Автор
Дата добавления 31.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров1508
Номер материала 353452
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх