Методика развития логического мышления учащихся при обучении математике в основной школе

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

             Авторская разработка

 

 

 

                на тему: «Методика развития логического

                           мышления учащихся при обучении

                                     математике в основной школе».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                        Содержание.                                                             Стр.

 

   1. Введение.__________________________________________________     3

 

 

  2. Актуальность проблемы развития

  логического мышления учащихся________________________________   4

 

 

3. История проблемы развития логического

     мышления учащихся.__________________________________________    7

 

 

  4.Содержание проблемы развития логического

мышлении при обучении математике в школе.__________________________________________________________      8

 

 

 

5. Методика развития логического мышления учащихся

 при обучении математике в основной школе________________________________________________________      11

 

 

6. Пути решения проблемы развития логического               

          мышления учащихся.______________________________________     26

 

 

 

7.Список литературы._____________________________________________  29

 

                                             

 

 

 

 

                 

 

                                                                       2

                                         Введение.

 

 

                    В моей работе рассматриваются  некоторые важные проблемы, касающиеся логического аспекта преподавания: логические проблемы преподавания математики и  методика развития логического мышления учащихся при обучении математике в основной школе.

 

                 Мной были освещены следующие вопросы: актуальность проблемы развития логического мышления учащихся; история проблемы развития логического мышления; содержание проблемы развития логического мышления при обучении математики в школе; методика развития логического мышления при изучении математики ;пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.  

 

             Данная  работа может быть использована как учебное пособие по курсу методики математики и в семинарах, посвященных актуальным проблемам преподавания математики в средней школе.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                         

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                   3              

     1. Актуальность проблемы развития

                                       логического мышления учащихся.

            Об актуальности проблемы развития логического мышления школьников можно говорить в различных аспектах.

     Во-первых, проблема развития логического мышления должна иметь свое отражение в школьном курсе математики в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части, в силу большого числа логических ошибок, допускаемых учащимися в усваиваемом содержании школьного курса математики, где предъявляются  наиболее высокие требования по сравнению с другими школьными предметами по логической организации материала.

   Во-вторых, необходимо четко поставить, сформулировать про­блему в силу того, что разные авторы под развитием логического мышления подразумевают различные задачи. В статьях, рекомендациях, как правило, поднимаются отдельные аспекты общей  за­дачи развития логического мышления. Есть необходимость в целом сформулировать проблему.

          Существуют различные трактовки терминов «логика мышления », «логического мышления». В педагогике, в методике преподавания математики эти понятия отдельными  авторами понимаются очень широко как обеспечение связей в мыслях. Такое понимание охватывает и логику поиска нового знания и логику оформления имеющегося знания и здравого  смысла. Также имеет место смешение элементарных психологических операций процесса мышления и логических форм., Нередко к логическим операциям относятся элементарные операции мышления : анализ, синтез, сравнение и т. д.

           Кроме того, часто понятия диалектическое и логическое мышления четко не разделяются.

           В реальном процессе мышления творческое и логическое мышление тесно переплетены, взаимопроникают, но не тождественны.

           В целях изучения проблемы развития логического мышления эти два понятия целесообразно разделить. Тогда логическое мышление – мышление, проходящее в рамках формальной логики, отвечающее требованиям формальной логики. Логическое мышление в таком понимании не является творческим, т. к. согласно законам и правилам формальной логики нельзя вывести из посылок ничего такого, что не было бы в этих посылках заключено.Известные математики, изучавшие процесс открытия нового знания (Ж. Адамар, А. Пуанкаре),психологи , изучавшие процесс мышления(Я. А. Пономарев, А. Ф. Эсаулов и др.), разделяют творческое и логическое мышление. Логические размышление предполагают отсутствие скачка

                                                  4     

 

мысли, пропуска отдельных звеньев в рассуждении и всего рассуждения, т. е. озарения, инсайта , интуиции.

            Задача развития логического мышления учащихся ставится и определенным образом решается в общей школе. Во всех школьных программах по математике как одна из целей обучения предмета отмечена- развитие логического мышления.

            Но программы по математике пока не содержат расшифровку  этой цели. Поэтому каждый учитель понимает ее по-своему и по-своему ее решает. Есть необходимость осознавать проблему развития логического мышления во всей широте и многогранности и уметь ее реализовывать в обычном учебном процессе, не привлекая дополнительного содержания, лишь расставляя в обычном учебном материале определенные акценты.

         Выработка умений учащихся логически  мыслить протекает быстрее, если обучение определенным образом организовано, если осознаются отдельные логические формы. С осознанием отдельных логических форм человек начинает более четко мыслить и выражать свои мысли в речи.

         Существующее положение дел  в усвоении норм логического мышления не может считаться удовлетворительным в общей школе, т. к. многие учащиеся, выпускники школ допускают различные логические ошибки при определении понятий , их классификации, путают прямую и обратную теоремы, свойства и признаки понятий, не умеют подводить под определение , не умеют строить отрицание высказываний и т. д. Учащиеся путают определение понятия, признак, свойство. Вместо признака, требуемого при решении задачи, приводится определение или свойство, вместо определения признак и т. д.Многочисленные ошибки наблюдаются при установлении связи между понятиями, при классификации понятий, при выяснении, которая из двух теорем является следствием другой.

             Таким образом, существует необходимость в процессе обучения обращать специальное внимание на развитие логического мышления.

              Почему проблема развития логического мышления чаще всего поднимается в школьном курсе математики? Существуют методические работы по развитию мышления , в том числе и логического , в школьных курсах русского языка, истории и т.д. В русском языке, чтобы оградить себя от возможных грамматических ошибок, приходится постоянно рассуждать логически. Логически мыслить можно учить через любую науку , любой школьный предмет. Но на школьную математику в этом плане ложится самая большая нагрузка. Ни в одном школьном предмете нет цепочек получения новых суждений, т. е. нет сложных формальных доказательств. В других школьных предметах доказательства фрагментарны, состоят из одного- двух шагов.

 

                                                      5

Наличие многошаговых доказательств –одно из проявлений специфики математики-науки и школьного предмета. Отсутствие полноценного школьного курса математики существенно отражается на логическом и общем развитии человека.

          Особую актуальность проблема развития логического мышления приобретает в связи с реализацией идей гуманизации и гуманитаризации  школьного математического образования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                          6

                            2. История проблемы развития логического

                                                 мышления учащихся.

 

           История проблемы развития логического мышления при обучении математике связана определенным образом с проблемами строгости доказательства в самой науке математике. Известные из истории математики первые доказательства таковыми не являются с современной точки зрения .

           Логика формальных рассуждений- формальная логика дошла до настоящего времени из древних времен благодаря работам древнегреческого мыслителя Аристотеля, в которых разработана теория дедукции, т. Е. Правил логического вывода, независящих от содержания рассуждений. Аристотелю принадлежит открытие формального характера логического вывода, состоящего в том, что в рассуждениях одни предложения выводятся из других независимо от их содержания, в силу своей определенной структуры, формы. Отсюда и название формальной логики.

             Формальная логика возникает тогда, когда развитие специальных наук и вообще человеческого мышления сделало актуальным вопрос о том, как надо рассуждать, чтобы получать правильные выводы.

            В связи с появлением неевклидовых геометрий, осознанием проблемы непротиворечивости системы научных знаний возникает потребность в совершенствовании аппарата доказательств. В 19 веке в результате  применения в формальной логике математических методов возникает математическая логика.

              Математическая логика  значительно обогатила курс формальной логики, введя большую строгость  в математические доказательства на основании новых требований к получению новых суждений.

   Ответ на вопрос, заниматься ли развитием логического мышления учащихся, отечественные психологи и методисты давали однозначно положительный , в отличии от зарубежных, например, Ж. Пиаже, отстаивавшего положение о независимости развития логических структур от обучения.

            Методист И. А. Гибш, выделяя аспекты проблемы развития логического мышления, подчеркивал необходимость формирования умений учащихся по подведению объектов под определение, классификации понятий, выведению следствий из определений, развитию умений пользоваться суждениями и умозаключениями, получать новые  умозаключения на основании правил вывода и законов логики, пользоваться терминами « необходимо» и « достаточно», использовать различные приемы и выводы доказательств. В недалеком прошлом крайнюю точку зрения в плане развития логического мышления учащихся отстаивал методист

 А. А. Столяр , который считал необходимым на определенном этапе обучения знакомить учащихся с элементами математической логики.

        В работе  И. Л. Никольской и Е. Е. Семенов выделены знания  и умения , которыми по мнению авторов, выпускник должен владеть: уметь правильно формулировать  определение знакомого понятия, классифицировать, понимать значение связок «и» и

                                                             7

                                                             

«или» , уметь строить отрицание утверждений, содержащих кванторы, понимать смысл терминов «если…..,то…», « тогда и только тогда, когда», «не более», « не менее» и т. д.

 

 

                  3.Содержание проблемы развития логического мышления при обучении математике в школе.

 

         Основной задачей формальной логики является отделение правильных способов рассуждения от неправильных. Рассуждения можно считать  верными лишь в том случае, если из истинных суждений – посылок нельзя получить ложное суждение – ложное заключение. Рассуждение, допускающее получение ложного заключения из истинных посылок, не только не расширяет наши знания об окружающем мире, но доставляет о нем неправильную информацию. Поэтому такие рассуждения не допустимы.

       Совокупность общественной практики, являющейся критерием истинности получаемых суждений из имеющихся, вылилась в ряд правил, законов, которые зависят только от формы рассуждений , от взаимосвязей составных частей рассуждения, но не от их содержания. От сюда понятна важность законов и правил вывода. О формах мышления и правилах вывода не ведется разговора ни в одном школьном предмете, хотя все предметы их широко используют. И это, вероятно, справедливо- не обязательно знать законы пищеварения, чтобы правильно переваривать пищу.

       Далее приведем формулировки отдельных законов и правил вывода и продемонстрируем примеры их использования при проведении рассуждений в школьном курсе математики. Несмотря на сложность соответствующих логических конструкций, они занимают значительное место в школьной практике.

         Наиболее древнюю историю имеют законы достаточного основания, тождества, исключенного третьего, исключение противоречия. По поводу закона достаточного основания можно сказать, что ни одно явление не может считаться действительным без указания его основания. Его схематическая запись:.

  

         Обосновать утверждение - привести его достаточное основание.

Обоснованием утверждения, что в ромбе АВСД диагонали перпендикулярны, будет истинность суждения, что в любом ромбе диагонали перпендикулярны.

          Краткая запись закона тождества –А=А. Согласно этому закону не

  допускается разночтения; в одно и то же понятие, термин вкладывается                                                   постоянный смысл, чтобы общающиеся понимали друг друга. Нарушение этого закона

                                                           8

– подмена значения термина. В то же время значение терминов со временем меняется, т. к. жизнь не стоит на месте.

                Закон исключения третьего имеет вид А- истинно. Пример: две прямые в пространстве являются либо скрещивающимися, либо таковыми не являются.

            Закон исключения противоречия можно схематически записать следующим образом: А - ложно. Пример: две плоскости параллельны и имеют общую точку- ложное высказывание.

             Кроме перечисленных имеют место следующие законы и правила, названия которых не так часто употребляется в повседневной жизни: закон двойного отрицания, отрицание конъюнкции высказываний, отрицание дизъюнкции высказываний,

закон отрицания импликации, закон отрицания эквивалентности, и т.д.

         Приведенные выше примеры используются при доказательстве теорем, независимо от сложности их конструкций, от того, кто его использует.

        Говоря о логической составляющей в обучении учащихся остановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в порядок , выясним, какой смысл вкладывал М. В. Ломоносов в известные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

          Установить порядок на некотором множестве объектов- значит  пронумеровать их. Существуют определения строгого и нестрогого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения « предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на множестве суждений можно установить с помощью отношения « следовать»,    « быть следствием».Теорема о вписанном угле треугольника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение « предшествовать» - отношение строгого порядка, отношение « следовать» - пример отношение нестрогого порядка.

           Дедуктивное построение курса математик и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

    Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащимися, изучающими дедуктивно построенный математический курс.

Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом.

Учащиеся должны уметь:

- формулировать определение понятий с использованием различных связок и кванторов;

- приводить примеры понятий, подводить объекты под определения различных конструкций;

-приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определений различных логических конструкций;

 

                                                         9

- понимать отношение между двумя понятиями;

 

-проводить классификацию известных понятий;

-понимать смысл терминов «следует» , « следовательно» , « если…, то…»;

-выделять условие и заключение теоремы;

-строить отрицание утверждений различной структуры;

-различать свойства и признаки понятий;

-уметь проводить полученное доказательство;

-понимать смысл терминов « хотя бы один» , « не более» , « не менее» , « все» , « некоторые»;

-использовать отдельные методы доказательства- метод от противного, полную индукцию, доказательство методом исключения;

-понимать основные принципы построение дедуктивной теории.

           Овладение перечисленными действиями по упорядочению изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                    10

 

                            4 Методика развития логического мышления учащихся при    

                                      обучении     математике в основной школе.

 

Формирование теоретико-множественных понятий

у учащихся начальных классов

                   Совершенно очевидно, что нельзя успешно использовать теоретико-множественные понятия в обучении математике без достаточной предварительной подготовки учащихся, состоящей в формировании у них этих понятий и усвоении ими теоретико-множественного языка. Эта подготовка окажется тем основательнее, чем раньше она начнется.

                Формирование первых теоретико-множественных понятий

на возможно более ранней ступени обучения имеет общеобразовательное и воспитательное значение, выходящее за рамки их применения к трактовке других математических понятий. Отношения между множествами и операции над ними представляют собой конкретную интерпретацию логических отношений и операций:

отрицание высказывания — дополнение множества,

дизъюнкция высказываний — объединение множеств,

конъюнкция высказываний — пересечение множеств,

импликация — включение одного множества в другое,

правило силлогизма — транзитивность включения и т. д.

               Несомненно, что традиция ограничиваться в начальных классах лишь обучением учащихся алгоритмам четырех арифметических операций в настоящее время выглядит архаизмом. С современной точки зрения обучение логическим операциям в их простейшем теоретико-множественном истолковании является не менее важной целью.

                Рассмотрим описание системы упражнений для формирования первых теоретико-множественных понятий.

                Система упражнений рассчитана на реализацию следующей программы формирования первых представлений и понятий.

«Множество (конечное, исключая пустое и единичное множества).

Отношение принадлежности объекта к множеству и его отрицание. Задание множества перечислением элементов и описанием (с помощью ха-

характеристического свойства).

           Отношение включения и его отрицание. Подмножество. Равенство

множеств. Выделение подмножества с помощью свойства.

Дополнение множества. Объединение и пересечение множеств.

Составление множества всех упорядоченных пар элементов данного

множества. Выделение подмножества упорядоченных пар, удовлетворяю-

удовлетворяющих некоторому отношению (>, =, <).

 

                                                     11

 

          

.                                                               

Применение и дальнейшее расширение теоретико-множественных понятий при изучении числовых множеств

            Число — основное понятие математики как науки и как учебного предмета в школе. Развитие понятия числа в сознании учащихся в некоторой степени повторяет историческое развитие, которое это понятие прошло в течение тысячелетий, начиная с первых шагов практической деятельности людей, когда формировалось понятие натурального числа, как отражение простейших потребностей этой деятельности. Вполне естественно, что и современное учение о числе базируется на арифметике натуральных чисел.

Множество натуральных чисел описывается аксиоматически.

Дальнейшее развертывание учения о числе состоит в последовательном расширении множества натуральных чисел по следующей схеме: NCRDK,

где N — множество натуральных чисел;

С — множество целых чисел;

R—множество рациональных чисел;

D — множество вещественных чисел;

К — множество комплексных чисел.

Множество натуральных чисел служит фундаментом, на котором строятся все другие множества. Это построение удовлетворяет четырем условиям.

Пусть множество А расширяется до множества В, тогда

эти четыре условия сформулируются следующим образом:

1. Множество А есть подмножество множества В (АВ).

2. Все операции и отношения элементов из А определены также и для элементов  множества В, причем их смысл для элементов из А, рассматриваемых уже как элементы расширенного множества В, должен совпадать с тем, какой они имели в множестве А до расширения.

3. В множестве В выполнима операция, которая невыполнима или не всегда выполнима в множестве А. (В этом условии заключена основная цель расширения множества А.)

4. Расширение В должно быть минимальным среди всех расширений множества А, удовлетворяющих условиям 1—3,

т. е. таким, чтобы не существовало никакое подмножество В,

содержащее А и удовлетворяющее тем же условиям. (Исходи именно из условия 4, отражающего логическую завершенность схемы расширения, множество натуральных чисел расширяется до целых, а не сразу до рациональных или действительных чисел.)

            Конструкция расширения числового множества может

быть осуществлена различными путями. Одна из идей, лежащих в основе этих конструкций, получила, название теории пар.

          Согласно этой идее, целое число определяется как пара натуральных чисел (их разность), рациональное число--как пара целых чисел (их частное), вещественное

                                                             12

число — как пара классов рациональных чисел (сечение), комплексное число—как пара вещественных чисел (а, в) =а+ вi (всюду под «парой» имеется в виду «упорядоченная пара»).

             В установившейся школьной практике до сих пор сохраняется историческая последовательность развития понятия  числа, отличающаяся от приведенной выше схемы тем, что дроби исторически появились намного раньше отрицательных чисел. Уже древнегреческие математики пользовались положительными дробями, в то время как многие мате-

математики XVI в. не признавали еще отрицательных чисел.

               Исправлением исторической схемы развития понятия числа достигнута большая логическая стройность с точки зрения алгебраической структуры, определяемой в числовых множествах операциями сложения и умножения. Первая введенная в множестве натуральных чисел операция — сложение.  Расширением множества натуральных чисел до множества целых чисел получаем группу [С,+] целых чисел относительно сложения.

Возникает вопрос: нельзя ли привести в соответствие схему развития понятия числа в школьном курсе с развитием этого понятия в современной науке?

           Школьная схема обычно обосновывается педагогическими соображениями, исходящими из того, что понятие дроби (положительной) доступнее пониманию учащихся, чем понятие отрицательного числа.

             Вообще, соображения психолого-педагогического порядка, касающиеся доступности учебного материала, могут несомненно служить достаточным основанием и для отклонения в школьном преподавании от логики

научной системы.

          Однако в данном случае вряд ли такое отклонение оправдано. Его можно оправдать, если главное внимание в обучении уделять отдельному числу, а не структуре числового множества. Неправильное определение большей доступности дробей связано здесь с тем, что традиционная методика считает предметом изучения дроби, а не множество положительных рациональных чисел, отрицательные числа, а не множество целых чисел. В действительности же, изучая отношение порядка и операции, мы изучаем структуру множества и доступность определяется простотой этой структуры.

В нашем случае структура множества целых чисел проще структуры множества положительных рациональных чисел, так как первое — дискретное множество, а второе — плотное.

             Когда говорят, что дробь легче представить наглядно

с помощью различных пособий, то уместно спросить: что нагляднее изображается с помощью точек прямой — дискретное множество целых чисел или же плотное, но не непрерывное множество рациональных чисел? К тому же следует иметь в виду, что именно изображение чисел точками прямой является наиболее важным наглядным пособием при изучении числовых множеств.

              В последнее время разрабатывается методика и проводится экспериментальная

                                                          13

работа по введению в школьном обучении отрицательных чисел раньше дробей.

                  Усовершенствование методики изучения числовых множеств предполагает применение и дальнейшее расширение теоретико-множественных понятий, имеющихся уже у учащихся в результате предшествующей подготовки.

Рассмотрим следующие вопросы:

A. Разъяснение идеи развития понятия числа.

Б. Изучение свойств структуры числовых множеств.

¯B. Изучение отношений между различными числовыми

множествами.

А. Описанная выше  общая схема расширения данного числового множества предполагает построение нового множества, содержащего в качестве подмножества данное множество (вообще множество, изоморфное данному).

            Важнейшим моментом процесса расширения понятия о числе в школьном обучении является разъяснение основной цели этого расширения, т. е  мы дополняем множество А  множеством    и  образуем расширенное множество В = AU. Поэтому мы употребляем  словосочетания «введение отрицательных чисел» и «образование понятия о множестве целых чисел».

Мы не можем ограничиваться в обучении чисто формальным обоснованием необходимости введения новых чисел для обеспечения выполнимости операций. Учащимся было бы непонятно, почему мы добиваемся, чтобы, например, операция вычитания всегда выполнялась. Может быть, практика,

жизнь никогда не требует, чтобы мы умели вычитать из меньшего числа большее. В таком случае различные расширения числового множества выглядели бы для учащихся чисто теоретическими увлечениями, не вызванными  потребностями практики.

         Поэтому в школьном обучении перед введением новых чисел приводятся обычно примеры практических задач, неразрешимых или не всегда разрешимых в известном множестве чисел. Чтобы сделать эти задачи всегда разрешимыми, мы и расширяем имеющееся множество чисел. Иногда в школьном обучении необходимость введения новых чисел объясняется, с одной стороны, потребностями практики, а с другой стороны, как будто не связанными с ними потребностями математики.

На примере развития понятия о числе мы и должны показать, как математика развивает и  совершенствует свой аппарат под влиянием потребностей практики. Получается следующая схема обучения: от потребностей

практики в разрешимости задач к потребностям математики

в выполнимости операций и от этих последних к новым числам, вооружающим математику средствами для удовлетворения потребностей практики.

Б. Все изучаемые числовые множества упорядочены отношением «меньше» (<) или «больше» (>). Очевидно, что никаких затруднений не вызывает изучение свойств этого отношения. Уже в начальных классах на множестве натуральных чисел можно показать, что для любых двух различных чисел а и в имеет место:

 

 

                                                           14

1) а < в или в < а и 2) а < в, то в >а и 3) если с < в и в < с, то а < с.

                                                              

           На базе отношения порядка («меньше») мы разъясняем

более сложные отношения «лежит между» и «непосредственно следует за».

          Отношение «лежит между» сложно в том смысле, что высказывание, выражающее это отношение через отношение «меньше», имеет сложную логическую структуру: «с лежит между а и в» означает «а < с и с<в или в < с и с < а». Его название заимствовано из геометрического языка, наглядно изображается в геометрической интерпретации чисел точками прямой.

           Отношение «непосредственно следует за» сложно в том же смысле: «в непосредственно следует за а» означает «а < в и не существует числа х такого, что а < х и х < в» или, используя отношение «лежит между», «а < в и не существует

числа х, лежащего между а и в»..Его труднее истолковать с помощью геометрической интерпретации.

            По окончании средней школы учащиеся должны уметь

охарактеризовать известные им числовые множества примерно следующим образом:

а) Множество N натуральных чисел — бесконечное, упорядоченное, дискретное, с начальным и без конечного элемента, замкнутое относительно сложения и умножения и незамкнутое относительно вычитания и деления.

б) Множество С целых чисел — бесконечное, упорядоченное, дискретное, без начального и без конечного элемента, замкнутое относительно сложения, умножения и вычитания, незамкнутое относительно деления.

в) Множество рациональных чисел — бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элемента, плотное в себе, замкнутое относительно сложения, умножения, вычитания и деления (за исключением, разумеется, деления на 0, которое исключается).

г) Множество вещественных чисел — бесконечное, упорядоченное, без начального и конечного элемента, плотное в себе, полное, замкнутое относительно сложения, умножения, вычитания, деления и операции определения предела любой сходящейся последовательности вещественных чисел.

В. В процессе изучения различных числовых множеств возникает необходимость выяснения отношений между ними и выполнения различных операций над ними.

            В связи с этим разрабатывается система упражнений ,преследующая следующие  три цели:

1) дальнейшее изучение элементов теории множеств,

2) применение этих знаний для лучшего понимания изучаемых числовых множеств,

3) подготовка к введению в логику высказываний.

Применение и дальнейшее расширение теоретико-множественных понятий в курсе геометрии

                Параллельно с формированием и применением теоретико-

множественных понятий в учении о числе необходимо использовать имеющиеся в

 

                                                            15

курсе геометрии широкие возможности применения и дальнейшего расширения этих понятий.

            Рассмотрим три основных направления развития теоретико-множественных идей в курсе геометрии.

              Первое направление связано с трактовкой геометрической

фигуры как множества точек, второе — с понятием геометрического преобразования, третье — с разъяснением отношений между различными множествами (классами) геометрических фигур и их применением к анализу силлогистических умозаключений, из которых строятся доказательства геометрических теорем.

               Применение одной и той же теоретико-множественной

концепции как в учении о числе, так и в геометрии сближает эти области и устраняет изоляцию геометрии в школьном обучении: над числовыми множествами и над множествами точек (геометрическими фигурами) выполняем одни и те же операции. Исходя из небольшого числа геометрических фигур, рассматриваемых как множества точек, путем объединения и пересечения этих множеств получаем большое

разнообразие новых геометрических фигур.

            После решения упражнений, в которых учащиеся знакомятся с по-

понятиями дополнения множества, объединения и пересечения

множеств, можно решать и на геометрическом материале

упражнения, закрепляющие представления учащихся в этой

области.

                  С помощью двух пересекающихся кругов легко выясняется коммутативность операций над множествами, с помощью трех попарно пересекающихся кругов- ассоциативность этих операций. Очевидно, эти упражнения целесообразно решать, когда учащиеся уже знакомы с одноименными свойствами арифметических операций. В таком случае уча-

учащиеся без труда обнаруживают сходство в свойствах операций над множествами и над числами.

             В дальнейшем с помощью трех попарно пересекающихся

кругов можно иллюстрировать и два дистрибутивных свойства операций над множествами, показывая при этом, что обычные операции сложения и умножения чисел обладают лишь одним дистрибутивным свойством (умножения относительно сложения),

                 Изучая геометрические фигуры на плоскости, мы

должны их рассматривать как множества точек, представляющие собой подмножества универсального множества — множества точек плоскости.

Термин «плоскость» (как и термин «прямая») применяется  для обозначения определенного множества точек, а также и для обозначения носителя этого множества.  В проективной геометрии обозначают эти понятия различными терминами: множество точек плоскости называют плоским полем, а тер-

термин «плоскость» применяется для обозначения носителя этого множества. (Аналогично множество точек прямой называют прямолинейным рядом точек,

                                                              16

 а термин «прямая» обозначает лишь носителя этого ряда.) Такое различение удобно в связи с рассмотрением геометрических преобразований на плоскости, когда устанавливается соответствие между двумя плоскими полями с общим носителем (или в связи с рассмотрением преобразований на прямой, когда устанавливается соответствие между двумя рядами точек с общим носителем).

             Не касаясь конкретной методики изучения геометрических преобразований, отметим лишь некоторые трудности в усвоении общего

понятия геометрического преобразования, которые наблюдаются в имеющейся практике, и выясним причины, этих затруднений.

1. Мы изучаем геометрические преобразования (виды движения и гомотетию) на плоскости. Это значит, что преобразованию подвергается множество точек плоскости (мы говорим просто плоскость, но имеется в виду именно множество точек плоскости, здесь двойственность в понимании термина «плоскость» отнюдь не помогает выяснению ситуации)

и результатом этого преобразования является это же множество точек плоскости.

         Когда мы говорим о преобразовании «плоскости», это

вызывает непонимание именно потому, что учащиеся понимают под плоскостью не множество точек, а носителя этого множества, который не подвергается никакому преобразованию, они относят преобразование лишь к той отдельной фигуре, которую преобразовывали. Необходимо уточнить, что речь идет о преобразовании множества точек плоскости, что каждой точке плоскости сопоставляется точка этой же плоскости по заданному закону или правилу.

           После того как учащиеся ознакомились с понятием функции, целесообразно показать, что понятия «геометрическое преобразование» и «функция» совпадают с точностью до природы элементов множеств и, способа задания закона соответствия. Каждое геометрическое преобразование устанавливает некоторую функцию, только области определения и изменения этой функции являются не числовыми, а точечными множествами, числовая же функция «преобразовывает» одно

множество (чисел) в другое (или в это же) по определенному закону.

Такое сопоставление способствует, выяснению положения о том, что в геометрическом преобразовании на плоскости множество точек плоскости играет роль областей определения и изменения функции, устанавливаемой в данном преобразовании.

                Такая связь между понятиями «геометрическое преобразование» и «функция» в обучении отражает связь в современной трактовке этих, понятий как модели более общего и абстрактного теоретико-множественного понятия отображения и способствует лучшему усвоению этих понятий учащимися.

2. Наблюдения показывают, что учащиеся затрудняются ответить на вопрос, чем определяется данное геометрическое преобразование, или когда можно считать геометрическое преобразование заданным. Аналогичный вопрос ставится и в учении о функциях. Функция считается заданной, если 1) задана область определения и 2) каким-то способом указано правило, по которому для каждого значения аргумента из

 

                                                         17

заданной области определения функции можем определить соответствующее ему значение функции. Очевидно, также четко необходимо выяснить этот вопрос относительно геометрических преобразований.

3. При изучении функции нас интересует умение находить для каждого значения аргумента (из области определения) соответствующее значение функции. При изучении же геометрических преобразований нас интересует не только преобразование отдельных точек плоскости, но и преобразование

определенных подмножеств точек плоскости, фигур (отрезка, прямой, треугольника, круга и т. д.).                                               

                 В связи с этим также возникают некоторые трудности. Учащиеся затрудняются ответить на очень важный вопрос: какие свойства фигур сохраняются неизменными (инвариантны) в данном преобразовании, а какие меняются. 

               С этой точки зрения важно классифицировать рассматриваемые преобразования по инвариантным свойствам фигур. Фактически мы имеем дело в школе с тремя группами преобразований: .

а) преобразования, не деформирующие фигуры, т. е. различные виды движений, переводящие любую фигуру в равную ей, при этом лишь осевая симметрия меняет ориентацию фигуры; 

б) преобразования, изменяющие размеры, но сохраняющие форму фигур,

т. е. переводящие любую фигуру в подобную ей (гомотетия), и вообще преобразования подобия (композиция гомотетии и движения);

в) преобразования, изменяющие и размеры, и форму фи-

фигур, сохраняющие лишь прямолинейное расположение точек

и параллельность прямых; это — афинные преобразования, которые пока программой не предусмотрены, но мы с ними

неизбежно встречаемся при изображении пространственных тел на плоскости (изображая, например, правильную шестиугольную пирамиду с помощью параллельного проектирования, мы чертим в основании шестиугольник, вообще неправильный, но не произвольный, противоположные стороны его должны быть параллельны). Очевидно, что афинные преобразования должны найти себе место в школьной программе.

Важно, чтобы учащиеся понимали, какое «воздействие» на различные фигуры имеет каждое изучаемое геометрическое преобразование.

              В доказательствах геометрических теорем широко применяются силлогистические формы умозаключений. Но для того, чтобы научить учащихся (VIII—IX классов) производить логический анализ этих умозаключений с целью выяснения их безошибочности или обнаружения ошибки, нет надобности изучать в школе аристотелевскую силлогистик. Те правила вывода, которые выражаются средствами логики высказываний, удобно разъяснить учащимся на языке этой логики ,другие же правила логического вывода, представляющие собой различные модусы

категорического силлогизма, могут подвергаться анализу без специального изучения

 

                                                       18

силлогистики, на базе теоретико-множественных идей.

            Категорический силлогизм с теоретико-множественной точки зрения представляет собой решение следующей задачи трех множеств (или трех классов). Известны отношения между множествами А и В (AR ₁B) и между множествами В и С (BR ₂C). Требуется определить отношение R₃ между множествами А и С.

           Модусы силлогизма дают заключение об отношении  R₃

между множествами А и С во всех тех и только в тех случаях, когда известные отношения R ₁и R₂ между А и В и между В и С соответственно однозначно определяют отношение между множествами А и С. В тех же случаях, когда отношение R₃не определяется однозначно отношениями R₁ и R_2, т. е. множества А и С могут находиться в различных отношениях, допускаемых отношениями R ₁и R₂, категорический силлогизм никакого заключения не дает (из посылок AR ₁B

и BR ₂C не следует никакое заключение типа AR ₃C).

           Геометрия строится аксиоматически, или дедуктивно. Это значит, что предложения геометрии выводятся логическим путем из некоторых исходных предложений, называемых аксиомами. (Слово «дедукция»

происходит от латинского «deduction», означающего «выведение».)

 

        Процесс логического вывода одних предложений из других называется доказательством.

           Аксиомы геометрии представляют собой результаты простейшего опыта, их истинность подтверждается только практикой. Аксиомы логически недоказуемы, потому что они являются исходными, первоначальными, предложениями данной теории, нет в этой теории предшествующих им предложений, из которых можно было бы их вывести логическим путем.

Таким образом, недоказуемость предложения, принятого в качестве аксиомы, не является свойством присущим этому предложению независимо от того, принимается оно или нет в качестве аксиомы.

              Работа по разъяснению понятия аксиомы и сущности аксиоматического метода должна вестись в течение длительного времени в старших классах.

               Каждое доказательство состоит из применения к аксиомам, определениям и ранее уже доказанным предложениям (теоремам) определенных правил логического вывода (умозаключений).

Доказательство вообще имеет сложную структуру, представляя собой определенную, строгую последовательность шагов.

           Каждый шаг доказательства состоит из применения некоторого правила вывода к аксиомам, определениям, ранее уже доказанным теоремам или предложениям, полученным в результате предшествующих шагов данного доказательства. Таким образом, каждый шаг доказательства в свою очередь

представляет собой некоторое доказательство, состоящее из применения одного какого-нибудь правила вывода (из имеющегося запаса таких правил). Такое доказательство, имеющее простейшую логическую структуру, назовем

                                                              19

простым доказательство, не являющееся простым, назовем сложным, или составным.

              Доказательства геометрических теорем вообще являются

составными, т. е. состоят из определенной последовательности, или цепочки, простых доказательств. Под логическим анализом доказательства надо понимать выяснение его логической структуры, т. е. представление

доказательства в виде последовательности шагов или простых доказательств и выяснение сущности каждого шага:

а) какие предложения принимаются за истинные (посылки);

б) какое правило вывода применяется к посылкам;

в) какое новое истинное предложение (заключение) получается в результате этого применения.

 

                 Существенным является то, что в правилах вывода

указывается лишь вид посылок и заключения, их структура, и никогда не упоминается их содержание.

 

Изучение и  применение логических операций и правил вывода в курсе алгебры

             Логические знания, приобретаемые учащимися в курсе геометрии находят применение и дальнейшее развитие в курсе алгебры.

Ниже показано, как эти знания применяются к уточнению понятий школьной алгебры и какое в связи с этим применением они получают дальнейшее развитие.

Мы рассмотрим основные понятия учений о тождественных преобразованиях.

Аналогично тому, как в обычных языках из букв, взятых из данного алфавита, составляются слова, представляющие собой основные языковые образования, в алгебре из букв а, в, с, ..., х, у, ... злаков операций « + », «*», .:. и скобок «( )», образующих своеобразный алфавит алгебры, составляются алгебраические выражения, основные образования алгебры, представляющие собой своеобразные слова этого «языка».

Подобно тому как не всякая конечная последовательность букв русского алфавита образует слово русского языка, не всякая конечная последовательность символов из алфавита алгебры образует алгебраическое выражение.

Понятие алгебраического выражения может быть уточнено с помощью следующего определения:

[а] Буквы а, в, с, ..., х, у, ... — суть алгебраические выражения.

[б] Если А и В — алгебраические выражения, то и (А +В),

(А — В), (А*В), (А:В) также алгебраические выражения.

 

В приведенном выше определении содержится схема конструкции алгебраических выражений: указаны исходные алгебраические выражения [а] и правила, посредством которых из данных выражений можно получить новые [б].

 

                                               20

(Такое определение называется индуктивным.)

Исходя из этого определения, нетрудно установить для любой заданной конечной последовательности символов, составляет ли она или нет алгебраическое выражение.

Ввиду того, что при записи более сложных алгебраических выражений в соответствии с данным определением приходится применять много скобок, принимается ряд соглашений для упрощения правописания алгебраических выражений.

       Эти соглашения состоят в следующем:

1) Опускаются внешние скобки, т. е. те скобки, которые заключают в себе все остальные символы выражения.

2) Считают, что знаки умножения и деления связывают сильнее, чем знаки сложения и вычитания, т. е. операции умножения и деления выполняются раньше операций сложения и вычитания в данном выражений, если только скобками не определен иной порядок выполнения операций.

       Мы уже знакомы с некоторыми операциями, выполняемыми над высказываниями. Часть логики, имеющая своим предметом изучение этих и других операций над высказываниями, называется логикой, или алгеброй высказываний.     

        Эта необыкновенная алгебра во многом похожа на обыкновенную, но во многом отличается от нее, в чем мы убедимся в дальнейшем. Здесь мы рассматриваем лишь одно понятие из алгебры высказываний, аналогичное понятию алгебраического выражения из обыкновенной алгебры.

В алгебре высказываний, как и в обыкновенной алгебре, имеется свой алфавит, состоящий из букв А, В, С, ..., X, Y, ..., обозначающих элементарные высказывания, знаков операций «—», «», «», и скобок

 «( )». Сложные высказывания выражаются с помощью конечных последовательностей символов этого алфавита, называемых формулами алгебры высказываний. Однако не всякая конечная последовательность символов этого алфавита образует формулу. Дадим определение формулы алгебры высказываний аналогичное приведенному выше определению алгебраического выражения обыкновенной алгебры, т.е. индуктивное определение, состоящее из трех частей: в первой части указаны исходные формулы, во второй — правила, посредством которых из данных формул образуются новые, в третьей указывается, что первые две части исчерпывают

всевозможные формулы.

Определение: (а) Элементарные высказывания

А, В, С, .... X, Y...

суть формулы; _

(б) Если  f и —формулы, то и (или), (f),(f),(f)

тоже формулы.

(в) Других формул, кроме перечисленных в (а) и (б), нет.

 

 

                                                        21

          Для упрощения правописания формул алгебры высказываний принимаются следующие соглашения:

1) Опускаются внешние скобки, т. е. те, которые включают внутри себя все тотальные символы, образующие формулу.

2) Считается, что знак « » связывает сильнее, чем знаки «» и «», а знак «» — сильнее знака «».

           Выше понятие алгебраического выражения рассматривалось лишь с формальной точки зрения, как конструкция из букв, знаков операций и скобок, составленная по определенным правилам. Но алгебраическое выражение можно трактовать и с функциональной точки зрения, как выражающее некоторую функцию от входящих в него букв.

Наряду с изучением конструкции алгебраических выражений с самого начала курса алгебры необходимо выяснить их функциональную сущность.

Этой цели служат, в частности, упражнения на определение числового значения алгебраического выражения при различных системах числовых значений входящих в него букв.

В результате решения таких упражнений приходим к следующим выводам:

а) всякое алгебраическое выражение может принимать

различные числовые значения (является переменной);

б) числовые значения алгебраического выражения зависят

от числовых значений входящих в него букв (алгебраическое

выражение выражает некоторую функцию);

в) не при всяких системах числовых значений букв алгебраическое         

выражение имеет числовое значение (некоторые

системы значений букв не являются допустимыми).

В дальнейшем, после усвоения понятия функции, учащиеся должны

видеть в каждом алгебраическом выражении задание какой-то функции.

Применяя функциональную символику, мы можем писать

                           Каждая формула алгебры высказываний определяет некоторую функцию от переменных для высказываний, входящих в эту      формулу. Если вместо переменных подставить конкретные высказывания, то и функция, определяемая данной формулой, обратится в высказывание, истинное или ложное в зависимости от значений истинности подставленных высказываний, причем значение функции зависит только от значений истинности высказываний — аргументов и не зависит от их содержания.

            Здесь имеет место сходство с функциональной точкой зрения на алгебраическое выражение в обыкновенной алгебре. Так же как числовая, функция от числовых аргументов принимает различные числовые значения в зависимости от числовых значений аргументов, функция, определяемая формулой алгебры высказываний, принимает различные значения истинности в зависимости от значений

                                                  22

истинности   высказываний — аргументов. Так как здесь и аргументы и функция

  представляют собой переменные, могущие принимать два значения: (И — истинное высказывание или Л—ложное вы- высказывание), то такие функции в отличие от знакомых нам  числовых функций называют функциями-высказываниями или    логическими функциями.

             Так же как в обыкновенной алгебре термин «значение» применяется как сокращение термина «числовое значение», в алгебре высказываний термин «значение» применяется как сокращение термина «значение истинности».

                     Отмеченная аналогия позволяет применять в алгебре  высказываний функциональную символику и писать, например,  что

          A (B C)  = f(A, В, С).                               

                             

     Так как всякая формула содержит конечное число  переменных, а    каждая из них может принимать лишь два значения (И или Л), то число  всевозможных наборов значений переменных — аргументов всегда конечно, и логическая функция в отличие от обычных числовых функций, аргументы которых могут принимать бесконечное множество значений, может быть полностью заданной с помощью таблицы, в которой даны ее значения, соответствующие всевозможным наборам значений аргументов. В частности, логические операции, которые мы знаем, определяют логические функции, которые мы задали соответствующими таблицами.

         Если логическая функция задана формулой, то нетрудно по этой формуле составить таблицу значений функции.

         Поясним на примере приведенной выше функции метод составления соответствующей таблицы, называемой таблицей истинности

 

                            A (B C)  = f(A, В, С).               

 

 

метод составления соответствующей таблицы, называемой таблицей истинности

 

 

1	2	3	4	5	6	7	8	9
А	В	С	B C	A (B C)				A (B C)
Л	Л	Л	Л	Л	И	И	И	И
Л	Л	И	И	Л	И	И	И	И
Л	И	Л	И	Л	И	Л	Л	Л
Л	И	И	И	Л	И	Л	Л	Л
И	Л	Л	Л	Л	Л	И	Л	Л
И	Л	И	И	И	Л	И	Л	И
И	И	Л	И	И	Л	Л	Л	И
И	И	И	И	И	Л	Л	Л	И

 

 

         В первых слева трех столбцах выписываем всевозможные наборы значений трех переменных А, В, С (их всего 8). В четвертом столбце выписываем значения дизъюнкции B C, соответствующие наборам значений  переменных В и С в столбцах 2 и 3 на основании определения дизъюнкции. В пятом столбце выписываем значения конъюнкции

A (B C),соответствующие значениям А и B C  в столбцах 1

и 4 по определению конъюнкции.

В столбцах 6 и 7 выписываем значения отрицаний высказываний А и В, соответствующие значениям этих высказываний в столбцах 1 и 2, а в столбце 8 - значения конъюнкции , соответствующие значениям  и  в столбцах 6 и 7. Наконец, в девятом столбце определяем значения нашей функции как дизъюнкции сложных высказываний, значения которых даны в столбцах 5 и 8.

       Понятие логической функции, как и понятие геометрического преобразования, представляет собой интересный для учащихся пример нечисловой функции от нечислового аргумента и поэтому способствует расширению понятия учащихся о функции и их лучшему пониманию общей идеи, заложенной в этом понятии.

          Как и понятие «алгебраическое выражение», понятие «тождественные алгебраические выражения» допускает две трактовки: формальную и функциональную, которые должны находить отражение в школьном обучении.

         С формальной точки зрения два алгебраических выражения считаются тождественными, если применением свойств операций к одному из них можно получить другое. С этой точки зрения выражение а(в + с) тождественно выражению ва + са, так как одно из этих выражений может быть получено из другого с помощью применения дистрибутивного

свойства умножения относительно сложения и коммутативного свойства умножения.

         С функциональной точки зрения два алгебраических выражения считаются тождественными, если они принимают равные числовые значения при любых (одинаковых) системax допустимых числовых значений букв.

         С этой точки зрения выражения а(в + с) и ва + са тождественны, так как при подстановке в них любых одинаковых троек чисел вместо букв а, в, с соответственно они принимают равные числовые значения.

         Тождество двух алгебраических выражений обозначается

обычным знаком равенства

          В школьной практике доказательство тождества А = В записывается в виде цепочки А = А₁ = А₂... = В. Как видно из предыдущего, эта простая запись обозначает довольно сложную логическую конструкцию и в установившейся практике обучения сущность ее не разъясняется учащимся.

Очевидна целесообразность проведения логического анализа доказательства тождества (в старших классах), что значительно облегчается благодаря применению знаний начал логики высказываний.

                                                              24

            В алгебре высказываний имеется понятие, аналогичное понятию тождественных выражений обыкновенной алгебры: эквивалентные, или равные, формулы.

              Равенство формул алгебры высказываний, как и тождество выражений в обыкновенной алгебре, допускает две трактовки: формальную и функциональную.

            С формальной точки зрения две формулы равны, если

применением свойств логических операций к одной из этих

формул можно получить другую.

              С функциональной точки зрения две формулы равны, если

принимают равные значения (истинности) при любых (одинаковых) наборах значений (истинности) входящих в них букв. Таким образом, равные формулы выражают в различной форме одну и ту же логическую функцию.

         В отличие от обыкновенной алгебры в алгебре высказываний функциональная точка зрения дает нам способ доказательства равенства формул, так как множество всевозможных наборов значений букв в любых формулах конечно. Например, равенство формул  и легко доказывается с помощью таблицы истинности, подтверждающей, что эти формулы выражают одну и ту же логическую функцию в различной форме. (Составление таблицы может быть предложено учащимся в качестве самостоятельной работы.)

           Нетрудно заметить, что доказанное равенство выражает свойство дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции и совершенно аналогично тождеству а(в + с) = = ав + ас, выражающему свойство дистрибутивности умножения относительно сложения в обыкновенной алгебре. Но в обыкновенной алгебре нет свойства дистрибутивности сложения относительно умножения, т. е. нет тождества а + вс=(а+в)(а+с), а в алгебре высказываний имеет место и свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции, т. е. равенство

                                        АВС=(АВ) (АС).

 

 (Можно предложить учащимся доказать это равенство, а также равенства, выражающие свойства коммутативности и ассоциативности дизъюнкции и конъюнкции.)

             Целесообразно сопоставить свойства сложения и умножения в обыкновенной алгебре со свойствами дизъюнкции и конъюнкции в алгебре высказываний. Это сопоставление способствует лучшему усвоению аппарата каждой из этих алгебр.

          (Можно предложить учащимся доказать те свойства логических операций, которые еще не доказаны.)

              С помощью свойств логических операций мы можем преобразовывать формулы алгебры высказываний, подобно тому как мы преобразовываем выражения обыкновенной алгебры, используя свойства ее операций. Учащимся могут быть предложены упражнения на преобразование формул и доказательство равенств.

 

 

                                                    25

 

    5. Пути решения проблемы развития логического                       

                                    мышления учащихся.

 

          Для решения задач развития логического мышления не требуется включения в курс дополнительного математического материала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

         В системе работы учителя по развитию логического мышления учащихся могут иметь место различные уровни.

1.     Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным фактором, направляющим в этом случае процесс развития, является усваиваемое содержание предмета.

2.     Организация деятельности учащихся по осознанию логической составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

3.     Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под понятие и многое другое.

 

       Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях систематизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

1.  Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания взаимосвязей между компонентами системы.

2.  Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

3.  Уровень логично организованных знаний.

 

Последний уровень характеризуется пониманием целостности системы знаний, пониманием места отдельных элементов системы знаний в этой системе. Т. е. систематизацией изученного материала.

     Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

Пример1.

При изучении равнобедренного и равностороннего треугольника на ряду с другими заданиями можно предложить учащимся следующие вопросы:

- Верно ли сформулировано определение: треугольник, у которого две стороны равны и два угла равны, называется равнобедренным?

-Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

-Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным,

                                                         26

некоторые равнобедренные треугольники являются равносторонними?

-Какими могут быть неравносторонние треугольники?

-Верно ли сформулировано предложение: биссектриса угла равнобедренного треугольника является его медианой и высотой.

 

Пример 2.

При закреплении понятия рациональное выражение по отношению к ряду выписанных выражений можно спросить:

-Все ли приведенные выражения являются целыми? Почему?

-Все ли приведенные выражения являются дробными? Почему?

-Что значит, что выражение не является рациональным?

 

          Примеры подобного рода по логическому упорядочению материала могут быть приведены при изучении любого другого раздела курса.

          В качестве примера в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению признаков и свойств понятий. В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема « Отношение периметров  подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.

         Рассмотрим формулировку теоремы : « Четырехугольник у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом».

В этой теореме условие попарного равенства противоположных сторон четырехугольника является приметой ,показателем, знаком того , что четырехугольник является параллелограммом.

          Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком или свойством некоторого понятия  является рассматриваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы- теорема выражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы- теорема является его признаком.

        Первоначальная беседа о свойствах и признаках может быть проведена в начале курса геометрии при изучении признаков равенства треугольников , когда учащиеся научатся выделять в формулировке теоремы условие и заключение , когда накопится запас признаков и свойств  равных треугольников. При рассмотрение свойств и признаков равных треугольников параллельно следует рассматривать свойства и признаки не математических понятий, например, можно выделить свойства и признаки  таких понятий как « космонавт», « подводная лодка», « ангина».

       Рассматривая  приведенные примеры можно с учащимися отметить, что и  в жизни  и в математике свойства описывают имеющееся, данное понятие, но наличие не

 

                                                      27

каждого свойства позволяет узнать понятие среди других.

      При сопоставлении свойств равных треугольников, подчеркивается наличие этого понятия- равных треугольников- в условиях всех теорем- свойств. Общим в формулировках всех признаков понятия является наличие этого понятия в заключении теоремы. Следовательно, чтобы определить, свойством или признаком рассматриваемого понятия является теорема, необходимо выполнить следующие операции:

1)    Сформулировать теорему в форме « если- то»;

2)    Определить, в условие или заключение теоремы входит рассматриваемое понятие;

3)    Сделать вывод: если рассматриваемое понятие содержится в условии теоремы, то теорема выражает свойство этого понятия, если же рассматриваемое понятие содержится в заключении теоремы, то теорема выражает признак понятия.

 

         После того как учащиеся научатся определять, свойством или признаком  некоторого понятия является некоторая теорема, можно переходить к обучению  учащихся устанавливать зависимость между признаками и свойствами понятия. Это становится возможным после знакомства учащихся с понятием о взаимно обратных  теоремах.

          Следует отметить с учащимися также , что для получения некоторых признаков понятия иногда оказывается недостаточно одного свойства, свойства приходится комбинировать. Система упражнений для формирования рассматриваемого приема учебной работы учащихся по распознаванию свойств и признаков понятия кроме традиционных упражнений на применение свойств и признаков понятий должна содержать и следующее:

1) определить, свойством или признаком понятия является та или иная теорема;

2) сформулировать свойство некоторого понятия;

3)сформулировать признак некоторого понятия;

4) сгруппировать свойства какого- либо понятия;

5) выделить признаки какого- либо понятия;

6)составить предложение,  обратное свойству понятия  и определить , является ли оно признаком данного понятия;

7) составить признак понятия.

 

         Аналогично, в явном или неявном виде может быть организовано изучение других приемов –составляющих общей задачи развитие логического мышления учащихся при обучении математике.

        Как можно видеть , формирование приемов умственной деятельности и учебной работы по логической организации изучаемого материала, а значит, и развитие логического мышления может проводится на традиционно изучаемом материале с определенным углублением в структуру этого материала.

 

                                                        28

 

                                            Список литературы.

 

 

1. Л В. Виноградова. Методика преподавания математики в средней школе.

Ростов- на-Дону.: Феникс, 2005-253стр.

 

2.Г И. Саранцев. Методика обучения математике в средней школе. М.: Просвещение, 2002.-224стр.

 

3. А. А. Столяр. Логические проблемы преподавания математики.-Минск: «Высшая школа» , 1965- 254стр.

 

4. Научно- методический журнал « Математика в школе».

 

5. Е. С. петрова. Теория и методика обучения математике.- Саратов: Изд. СГУ, 2004-84стр.

 

6. А. А. Темербекова. Методика преподавания математики М: ВЛАДОС, 2003 .-176.

 

 

 

 

 

 

 

 

                            

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                           29