Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения по специальности: 15.02.08 - Технология машиностроения

МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по дисциплине «Математика» для студентов заочной формы обучения по специальности: 15.02.08 - Технология машиностроения

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:



КОМИТЕТ ПО НАУКЕ И ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ ПРАВИТЕЛЬСТВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА


САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ЛЕНИНГРАДСКИЙ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ТЕХНИКУМ им. Ж. Я. КОТИНА»












МЕТОДИКО-ДИДАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ


по дисциплине «Математика»




для студентов заочной формы обучения


по специальности:

15.02.08 - Технология машиностроения




















2015г.



Составитель: Мозговая И.В., преподаватель СП ГБОУ СПО «Ленинградский машиностроительный техникум им. Ж. Я. Котина»




Рассмотрена и одобрена на заседании цикловой комиссии

Протокол № 7 от 14.05.2015 г.

Председатель предметно-цикловой комиссии:

__________________/Сергеева И.В./


Согласована на заседании методического совета

Протокол № 7 от 28.05.2015 г.


Заместитель директора по УР:

__________________/Семенова С.А./




































Содержание


Введение……………………………………………………………………………………………4


Глава I. Теория пределов

1. Последовательности, виды последовательностей.....................................................................5

2. Предел последовательности........................................................................................................6

3. Функции (повторение).................................................................................................................8

4. Предел функции в точке..............................................................................................................9



Глава II. Дифференциальное исчисление

1. Производная, механический и геометрический смысл производной,

уравнение касательной правила дифференцирования...............................................................12

2.Приложения производной к исследованию функции.............................................................14

3.Дифференциал, приложения дифференциала..........................................................................19



Глава III. Интегральное исчисление

1. Первообразная. Неопределенный интеграл............................................................................22

2. Определенный интеграл...........................................................................................................29

3. Приложения интеграла............................................................................................................ 31


Контрольная работа……………………………………………………………………………...34





























ВВЕДЕНИЕ


Решение обучающимися задач по высшей математике часто сопряжено со многими трудностями. Помочь преодолеть эти трудности, научить применять теоретические знания к решению задач - основное назначение данного пособия.

Предлагаемые материалы предназначены для обучения на занятиях и самостоятельного изучения программы по математике. Они позволяют дифферинцировать обучение путем сочетания теоретического материала, подробного разбора основных методов и примеров решения задач.

Весь материал распределен по трем зачетным разделам (главам) программы. Каждая глава состоит из нескольких параграфов, которыми определяется ее теоретическая часть.

Все главы содержат:

-краткое изложение теоретического материала;

-примеры с подобным разбором разных методов решения;

-упражнения для самостоятельного решения;

Итоговая контрольная работа выполняется после изучения курса в соответствии с вариантом. Варианты рассчитаны на группу обучающихся в количестве 25 человек.

Данное пособие написано в соответствии с Федеральными государственными образовательными стандартами и программой курса «Математика» для средних специальных учебных заведений.

Предназначено для внутреннего пользования.



































ГЛАВА 1.ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ


§ 1. Последовательности, виды последовательностей.


Выпишем в порядке убывания правильные положительные дроби с числителем 1:

hello_html_m3907a0ac.gif;hello_html_m233bf45f.gif;hello_html_m78fc033f.gifhello_html_59f000e1.gif……..

Каждому натуральному числу соответствует правильная дробь: 1hello_html_m7d7c3728.gif; 2hello_html_m191bbc6e.gif; 3hello_html_21d79af6.gif и т.д. В общем случае любому натуральному числу соответствует единственно правильная дробь с числителем 1, т.е. nhello_html_301735ff.gif.

Тhello_html_m23066b98.gifаким образом, между множеством всех натуральных чисел и множества дробей вида hello_html_6029d1b4.gif установлено соответствие. Это соответствие – функция, областью определения которой служит множество hello_html_m53d4ecad.gif1,2,3,4,…n

Аhello_html_m626c2441.gif множеством значений hello_html_47d29406.gif

Функция, определенная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.

Значение функции, соответствующие значениям аргумента 1, 2, 3,… принято называть 1-м, 2-м, 3-м,… n и т.д. членом последовательности.

Последовательность обозначают (а1, а2, а3…..аn) или (аn). Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n-ого члена последовательности.

Пример: Последовательность задана формулой Хn=hello_html_507857b4.gif

Найдите Х1; Х5; Хr-2; Хк; hello_html_m6ee93c80.gif

Подставим вместо n последовательность 1, 5, к-2, к, к+3, получим:

hello_html_m34cec4d5.gif

hello_html_mc3c0e5c.gifhello_html_2a8b1f75.gif

hello_html_229ec00b.gif



Рассмотрим примеры:

  1. n)= hello_html_22bcc7ca.gif

Заметим, что каждый член данной последовательности начиная, со второго, больше предыдущего, т.е. аn+1hello_html_m53d4ecad.gif> аn для любого n. Такую последовательность называют возрастающей.

Последовательность (аn) называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.

  1. n) = 1;hello_html_m7a3bd09b.gifкаждый член этой последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего, т.е. Хn+1 < Хn для любого типа n. Такую последовательность называют убывающей.

3) (Zn) = 1; 1; 2; 2; 3; 3; …у этой последовательности Zn+1 hello_html_m78774d40.gifZn; такую последовательность называют неубывающей.

4) (Yn) = 2; 2; 1/2; 1/2; 1/3; 1/3;…..у этой последовательности Yn+1 hello_html_m7ceebba.gifYn такую последовательность называют невозрастающей.

Возрастающие, убывающие, неубывающие, невозрастающие последовательности называют монотонными.

5) (Вn) = -1; 1; -1; 1; ….(-1)n- не является монотонной.

Последовательность (Хn) называется ограниченной сверху (ограниченной снизу), если можно указать такое число M(m), что для всех членов этой последовательности выполняется первенство Хnhello_html_m7ceebba.gifM (Xnhello_html_m78774d40.gifm). Числа M и m называют соответственно верхней и нижней границами последовательности (Хn). Тот факт, что последовательность ограничена сверху числом М (снизу числом m) геометрически означает, что ни одна точка Хn не лежит правее точки М (левее точки m).

Последовательность (Хn) называется ограниченной, если существуют два числа M и m такие, что для всех n выполняется неравенство m hello_html_m7ceebba.gifXnhello_html_m7ceebba.gifM. Тот факт, что последовательность ограничена числами M и m геометрически означает, что все её члены помещаются в промежутке hello_html_79672440.gif.

Последовательность (Хn) называется постоянной, если все её члены совпадают.

Пример: Доказать, что последовательность (Хn)= hello_html_m46c8b624.gif ограничена снизу и сверху.

Хn =hello_html_m2dbe10e3.gifhello_html_m34669b0e.gifn=1+hello_html_m7c6d94a4.gif); т.е. последовательность ограничена снизу.

Хn =1+ hello_html_m6b2a39db.gif- правильная дробь hello_html_m2c705c3c.gif 1<hello_html_26eeb4e8.gif




§ 2 Предел последовательности


Рhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifассмотрим последовательность Хn=hello_html_m7c6d94a4.gif. Замечаем, что при возрастании номера n члены последовательности приближаются к нулю, причем расстояние между нулём и точками изображающие члены последовательности могут быть как угодно малыми. В этом случае говорят, что предел последовательности (Хn) равен нулю, т.е. hello_html_m2c1a969d.gif

hello_html_m7e7d56c6.gifХ

hello_html_m21d09e22.gifhello_html_m6c24e978.gifhello_html_m1f0d496d.gifhello_html_280f7123.gifhello_html_m7850d8a0.gifhello_html_281c995e.gifhello_html_623e5dff.gif

Число а называют пределом последовательности Хn если для любого hello_html_m69c7e7cd.gif все члены последовательности Хn кроме, может быть, конечного их числа, лежат в hello_html_363d9209.gif - окрестности (а-hello_html_363d9209.gif; а +hello_html_363d9209.gif) точки а, т.е. найдется такое натуральное число N, что при n>N будет выполнено неравенство

n –а)< hello_html_363d9209.gif.

Последовательность может иметь только один предел. Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Если последовательность (Хn) имеет пределом число а, то пишут hello_html_288491fa.gif

Последовательность называется бесконечной малой, если её предел равен нулю hello_html_m316ef156.gif

Последовательность называется бесконечно большой, если её предел равен бесконечности hello_html_m22beb0af.gif

Если (аn) –бесконечно большая последовательность, то последовательность hello_html_6354522.gifhello_html_m138767d9.gifбесконечно малаяЕсли (аn) – бесконечно малая, то hello_html_m138767d9.gif - бесконечно большая.

Теоремы о пределах

1)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m78af7d85.gif

2)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3daeef18.gif след. hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m3fc8d51a.gif Сhello_html_m289d78ff.gifR

3) hello_html_m57ea2406.gif



Примеры: Разделить числитель и знаменатель на n и применить теорему о пределе частного

1) hello_html_m631502b6.gif

2) hello_html_m7aafd814.gifhello_html_790f38b1.gif

3) hello_html_m7b6c40c4.gif

4) hello_html_m4becaf51.gif


5) hello_html_87b36d0.gif




Упражнения для самостоятельного решения


1) Вычислить пять первых членов последовательности.

а) Хn=2n+5

б) Хn=hello_html_3939bcbe.gif

в) Хn=hello_html_76e9d5f6.gif

г) Хn= 4n2+3n+1


2) Напишите общий член последовательности:

а) 1; hello_html_6f451682.gif

б) 1; 7; 13; 19;…

в) 2; 4; 8; 16; 32;…

г) 1; 7; 17; 31; …

  1. Даны последовательности:


а) Хn= hello_html_5419a463.gif б) Хn= hello_html_3d0d3a16.gif в) Хn= hello_html_m2cb3c9f0.gif г) Хn= hello_html_m1c6dbb64.gif

Докажите, что последовательности а и б – возрастающие, в и г – убывающие.

  1. Даны последовательности:

а) Хn= 3n-1 б) Хn= hello_html_m34011384.gif в) Хn= hello_html_m5be40cf6.gif г) Хn= hello_html_2196d84.gif д) Хn= hello_html_5c349cd8.gif

Какие из них являются ограниченными?

  1. Вычислите пределы последовательностей:

а) hello_html_m5ae5fb4e.gif г) hello_html_m5ebc0e6c.gif

б) hello_html_m430db87e.gif д) hello_html_1c51793c.gif

в) hello_html_m7f046e1.gif е) hello_html_348a42fd.gif




§ 3 Функции (повторение)


Функцией называют соответствие двух множеств D и Е, где Dhello_html_5b671b52.gif и Е hello_html_m289d78ff.gifR, при котором каждому элементу х hello_html_m289d78ff.gifD соответствует единственный элемент у hello_html_m289d78ff.gif Е.

Множество D называют областью определения функции, а множество Е – множеством значения функции. О.О.Ф. обозначают D (ƒ ), а множество её значений – Е(ƒ ).

Функция у=ƒ (х), полностью определяется заданием множество пар (х; ƒ(х)), где х пробегает все множество D (ƒ), а ƒ(х) – соответствующие значения функции.

Для каждой функции необходимо и достаточно задать закон соответствия ƒ, по которому для каждого значения аргумента можно указать единственное значение функции и область определения.

Функция может быть задана: аналитически, таблицей, функциональной шкалой, словесно или еще каким-либо способом.


Задачи:

1) Дана функция ƒ(х)=х3-2х+х-1

Найти: ƒ(-1); ƒ(2)

Подставим в функцию вместо х значение –1 и 2.

ƒ(-1)=(-1)3-2·(-1)2+(-1)-1=-5

ƒ(2)=23-2·22+2-1=1


2) Найти области определения функций:

а) у=hello_html_6c65a3aa.gif Функция дробно-рациональная, знаменатель не должен быть равен нулю.

Поэтому: х2-5х+6≠0. Находим: х≠2, х≠3.

Следовательно, область определения функции любое значение кроме х=2 и х=3.

D(у)=hello_html_19522439.gif

б) у=hello_html_m13455345.gif Функция иррациональная, значит выражение, стоящее под корнем, должно быть больше или равно нулю.

Решаем неравенство 2х-4hello_html_md07f7d2.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Находим: хhello_html_m5b5346c2.gif

Значит, D(у)=[2;hello_html_m7449066f.gif

в) у=hello_html_75dd9618.gif Решаем систему неравенств

hello_html_ma5bcfca.gif


Значит, D(у)=[1;hello_html_m7449066f.gif


г) у=hello_html_7ee19495.gif Неравенство hello_html_2e77b40b.gif решаем методом интервалов.


hello_html_3dc6caf1.gifhello_html_m6ff7497b.gif

hello_html_m48c8535c.gif+ - + Значит, D(у)=hello_html_m4183119e.gif

-3 2/3



§ 4 Предел функции в точке


Число b называется пределом функции у = f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что при всех х ≠ а, таких, что |x – a |< δ, выполняется неравенство | f(x) – a | < ε.

Данное определение предполагает, что функция у = f(x) определена в некоторой окрестности точки а, кроме, быть может, самой точки а.

Указанный предел обозначается так: hello_html_27dfa499.gif

Геометрически существование предела функции в точке означает, что для любого числа ε> 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2δ > 0, высотой 2ε и центром в точке (а; b), что все точки графика данной функции на интервале (а– δ; а + δ), за исключением, быть может, точки М(аf(а)), лежат в этом прямоугольнике – см. рис.:

hello_html_631e1f64.png







Критерий Коши существования предела функции в точке.

Число b – предел функции у = f(x) при х, стремящемся к а, тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 можно указать такую проколотую  δ- окрестность точки а, что для любых чисел х1 и х2, содержащихся в этой окрестности, выполняется неравенство
|
 f(x1) – f(x2) | < ε.


Пример: Доказать, что hello_html_m5e4009bc.gif

Зададим произвольноеhello_html_4c7e1fa5.gif и покажем, что существует hello_html_7271e522.gifтакое, что из неравенства hello_html_m710549b8.gif вытекает неравенство hello_html_64385fbe.gif Имеем hello_html_m49a1fd90.gif, hello_html_12f00339.gif,. Значит, если положить hello_html_m44053a46.gif, то выполнение неравенства hello_html_m6b1f8f80.gif влечет за собой выполнение неравенства hello_html_5d5c1293.gif. Таким образом, согласно определению заключаем, что hello_html_m5e4009bc.gif

Практически предел функции находят не на основании определения предела функции, а на основании теорем о пределе функции, аналогичных теоремам о пределе числовой последовательности.


1) hello_html_1508812e.gif

2hello_html_1d06507b.gifhello_html_1d06507b.gif) hello_html_m69cca78c.gifhello_html_m7ea5ac75.gifhello_html_m5569b00c.gif

3) hello_html_m3d3c1b13.gifhello_html_6c65be54.gifhello_html_m495c0a51.gif

hello_html_1d06507b.gifhello_html_1d06507b.gif4) hello_html_5ae9cb57.gifhello_html_6c5cbc82.gifhello_html_m36e0a716.gif

hello_html_1d06507b.gifhello_html_1d06507b.gif5) hello_html_3eb6a11c.gifhello_html_299b78ad.gif

6) hello_html_4d003cba.gifhello_html_m4b0249a1.gif

7) hello_html_7cac011c.gifhello_html_m160fefc4.gif



Замечательные пределы:

1hello_html_645808b7.gif) hello_html_7930ebe7.gif 3)hello_html_2e1adbfa.gif 1a)hello_html_3ecb6b3e.gif

2)hello_html_6cfe5f30.gif 4) hello_html_m5a2797c8.gif 2a) hello_html_21117431.gif







Примеры:


1) hello_html_m47713a82.gifhello_html_m37f8fb3b.gifhello_html_4154691a.gif

2)hello_html_m56da4c57.gifhello_html_mc4b6549.gifhello_html_m5b27b615.gif

3) hello_html_4a36b152.gif

4)hello_html_39a52a5c.gif

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке а, если предел функции в точке а существует и равен значению в этой точке, т.е. если hello_html_17ec3f3e.gif.

Таким образом, если в точке а функция непрерывна, то:

  1. существует предел функции в точке а;

  2. этот предел совпадает со значением функции в точке х=а.

Если одно из указанных условий непрерывности функции в точке х=а нарушено, то в этой точке функция имеет разрыв и эту точку называют точкой разрыва функции.

Упражнения для самостоятельного решения

  1. Является ли функция f(x) непрерывной в точке х0=2, если hello_html_m784a5e3b.gif

и f(2)=4 ?

Ответ обоснуйте.

  1. Является ли функция f(x) непрерывной в точке х0=7, если hello_html_3d813cc7.gif

и f(7)=-5? Ответ обоснуйте.

  1. Вычислите пределы функции:

1) hello_html_eda0009.gif 7) hello_html_m7c3bf517.gif

2) hello_html_27a1fa75.gif 8) hello_html_mad689a2.gif

3) hello_html_55e23dc5.gif 9) hello_html_37f5419e.gif

4) hello_html_m21853e4d.gif 10) hello_html_4167ab7c.gif

5) hello_html_374bb399.gif 11) hello_html_54b2ad6.gif

6) hello_html_m4cbb0357.gif 12) hello_html_m61856612.gif

ГЛАВА II. ДИФФЕРИНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ



§ 1. Производная; механический и геометрический смысл производной;

уравнение касательной; правила дифференцирования.


Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции (hello_html_m2ba4c4a2.gifв этой точке к приращению аргумента hello_html_m510d59bb.gif, когда последнее стремится к нулю:

hello_html_m22abc148.gif


а) При прямолинейном движении точки скорость V в данный момент t = t0 есть производная от пути S по времени t, вычисленная при t=t0 hello_html_2846feb4.gif . Ускорение а в данный момент t=t0 есть производная от скорости V по времени t, вычисленная при t=t0hello_html_m16c4047d.gif

б) Производная в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у=f(x) в этой точке.

hello_html_5941a0ea.gif

hello_html_m6c1a5e44.gifhello_html_4df454f9.gif

hello_html_m2de41005.gify y

hello_html_m2de41005.gifhello_html_m2de41005.gifhello_html_4105c6c4.gif

hello_html_m2752995f.gifhello_html_772ecd09.gif

hello_html_3b160589.gifhello_html_m6caa952.gif

hello_html_m6accf222.gifhello_html_c5d7265.gifα α

hello_html_3566d46d.gif

hello_html_66d9a938.gifhello_html_66d9a938.gifhello_html_66d9a938.gif

0 x0 x 0 x0 x 0 x0 x


hello_html_m7ca50a54.gifhello_html_m35a9a94d.gifhello_html_3e2c2ca9.gif

в) Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х0:

hello_html_m3dce186d.gif


Таблица производных


1. hello_html_m182d29d1.gif 6. hello_html_m4c56d32a.gif 11. hello_html_30fe9c22.gif

2. hello_html_m19b1a565.gif 7. hello_html_3110025e.gif 12. hello_html_m14140d0f.gif

3. hello_html_772cad62.gif 8. hello_html_m6c5986f5.gif 13. hello_html_med90071.gif

4. hello_html_2babe037.gif 9. hello_html_46e18492.gif 14. hello_html_5ac757f1.gif

5. hello_html_12b0901e.gif hello_html_m5799a24d.gif hello_html_363b5954.gif


hello_html_m6a8cc160.gif


Правила дифференцирования.


hello_html_m32fd8f7f.gif

hello_html_m5e195b0f.gifhello_html_m3c385447.gifhello_html_md9dcb05.gif

hello_html_mb8a437e.gifhello_html_m14da865a.gif


Пример:

1.hello_html_m1ba6c18e.gifhello_html_26f65bb7.gif

2. hello_html_65f9f367.gifhello_html_26f65bb7.gif

hello_html_79cfd410.gif


Второй производной функции

у=f(x) называется производная от производной hello_html_m224630ab.gifи обозначается hello_html_m5e766167.gif.


Упражнение для самостоятельного решенияhello_html_m53d4ecad.gif


Вычислить производные следующих функций:

hello_html_m57b2216d.gifhello_html_m79913f7.gif

hello_html_m61553e2.gifhello_html_49f45d10.gif

hello_html_m67c03233.gifhello_html_7d93ff47.gif

hello_html_m4d2ae4d7.gifhello_html_m373ee0c8.gif

hello_html_m1f4b8681.gifhello_html_m4702dbd3.gif


11.Точка движется прямолинейно по закону S=2t3 +t2 –4. Найти скорость и ускорение в момент времени t=4.

12.Тело массой 10 кг движется прямолинейно по закону S=3t2 +t+4. Найти кинетическую энергию (Ек=mV2/2) через 4 с после начала движения.

13.Напишите уравнение общей касательной к параболам у=х2 +2х и у=х2 - 4х.

Решение : hello_html_m51f2e7d1.gif

hello_html_m33ec8720.gif

hello_html_m1268d921.gifх12-3; -(х2-3)2=hello_html_mcc860dc.gif; hello_html_m5ed8684f.gif

Подставим полученное значение в уравнение касательной.

hello_html_2b3ecd17.gif; hello_html_239e0537.gif





§ 2 Приложение производной к исследованию функции


Функция у=f(x) называется возрастающей в промежутке (а, в), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что х12 имеет место неравенство f(x1)< f(x2) (рис.1).

Функция у=f(x) называется убывающей в промежутке (а, в), если для любых х1 и х2, принадлежащих этому промежутку и таких, что х12 имеет место неравенство f(x1)> f(x2) (рис.2).

hello_html_70b08afe.gifhello_html_70b08afe.gifhello_html_1212aebf.gif

y у=f(x) y у=f(x)

hello_html_mdd1e313.gifhello_html_3cc67c97.gifhello_html_mdd1e313.gif

f(x2) f(x1)

hello_html_m71327c4d.gifhello_html_62a6d64e.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m1154bee0.gif

hello_html_711d87e4.gifhello_html_m1154bee0.giff(x1)

hello_html_77de3b61.giff(x2)

hello_html_7188c03a.gifhello_html_m5f16e53e.gifhello_html_259f0e95.gif

hello_html_343addde.gifhello_html_343addde.gif

0 a x1 x2 b x 0 a x1 x2 b x


Рис.1

Рис.2


Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции у=f(x) характеризуются знаком её производной: если в некотором промежутке hello_html_m26d528db.gif, то функция возрастает в этом промежутке; если же hello_html_4c182ec4.gif

то функция убывает в этом промежутке.


Пример: Исследовать на монотонность f(x)=х3- 6х2 + 4

Находим производную и критические точки

hello_html_m244abd04.gifhello_html_3c0018f9.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_mdc63bc0.gifhello_html_m16492e48.gifhello_html_31ab8d11.gif+ - + х

hello_html_6096a26.gifhello_html_m5afdc040.gifhello_html_4380c11d.gif0 4

f(x)

Итак, в промежутках hello_html_19402f86.gif- функция возрастает, а hello_html_c155522.gif - убывает.


Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых производная hello_html_31ab8d11.gif обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку х0 производная hello_html_31ab8d11.gif меняет знак, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум: минимум в том случае, когда производная меняет знак, с минуса на плюс, и максимум – когда с плюса на минус.

Если при переходе через критическую точку х0 производная не меняет знака, то функция f(x) в точке х0 не имеет экстремума.


Пример: Исследовать на экстремум у=х3-3х2

Находим производную и критические точки.


hello_html_2cffa3af.gifhello_html_m4bad0250.gifhello_html_70006109.gif



hello_html_31ab8d11.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gif+ - +

hello_html_m561c8db0.gifhello_html_6096a26.gifhello_html_m697b7f35.gifhello_html_6096a26.gif

hello_html_m1739a961.giff(x) hello_html_m53d4ecad.gif 0 2

hello_html_7466ea14.gif

max min

fmax=f(0)=0 fmin=f(2)=-4



Кривая у=f(х) называется выпуклой вниз (вогнутой) в промежутке (а, в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Кривая у=f(х) называется выпуклой вверх в промежутке (а, в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называют промежутками выпуклости графика функции.

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у=f(x) характеризуется знаком её второй производной:

  • если в некотором промежутке hello_html_m1710b187.gif, то кривая выпукла вниз в этом промежутке (рис.1),

  • если же hello_html_m49837d65.gif, то кривая выпукла вверх в этом промежутке (рис.2).

hello_html_m2423a864.gifhello_html_6ef580af.gif

hello_html_7e9b3592.gifhello_html_7e9b3592.gifhello_html_489b6537.gify y

hello_html_m71327c4d.gifhello_html_90b3b5c.gifA B

hello_html_1163b303.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_28da94f9.gifM M B


A

hello_html_m641356ed.gif

hello_html_66d9a938.gif0 a b x 0 a b x


Рис.1 hello_html_m1710b187.gif рис.2 hello_html_m49837d65.gif


Пример: Найти промежутки выпуклости f(x)=x4-2x3+6x-4

Находим производные первого и второго порядков

hello_html_4f6b51af.gifhello_html_2b507e29.gifhello_html_20da07ff.gif


hello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_6762230e.gif+ - + x

hello_html_3c0018f9.gifhello_html_m6e5e1919.gif

hello_html_m6b460ec7.gifhello_html_m4acb1304.giff(x) 0 1



На промежутках hello_html_4916f54b.gifкривая выпукла вниз, на (0; 1) кривая выпукла вверх.

Точка графика функции у=f(х), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика называется точкой перегиба. Точками перегиба может служить только критические точки, принадлежащей области определения функции у=f(x), в которой вторая производная hello_html_6762230e.gif обращается в нуль или терпит разрыв. Если при переходе через критическую точку х0 вторая производная hello_html_6762230e.gif меняет знак, то график функции имеет точку перегиба (х0; f0)).






Пример: Найти точки перегиба кривой f (x)=6х23

Находим производные первого и второго порядков

hello_html_m122062d1.gifhello_html_m24c40308.gifhello_html_5925e77b.gifhello_html_m1923dbc.gifhello_html_m41ff2b75.gif

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_6762230e.gif+ - Точка (2; 16)-точка перегиба

hello_html_66d9a938.gifhello_html_m6b460ec7.gifhello_html_21ee9ac0.giff(x) 2 х



Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

  1. найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

  2. найти значения функции на концах промежутка;

  3. сравнить полученные значения и выбрать набольшее и наименьшее.



Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=x2-4x+3 в промежутке hello_html_m6659f030.gif

1)hello_html_22fa4af8.gifhello_html_8061637.gifhello_html_m486c1ce0.gifhello_html_2b91634a.gif -наименьшее значение

2) hello_html_14ba8762.gifhello_html_2fd36250.gif- наибольшее значение


Общая схема для построения графиков функций.

  1. Область определения функции

  2. Четность, нечетность и периодичность

  3. Точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)

  4. Асимптоты

  5. Производная, критические точки, значение функции в критических точках

  6. Монотонность и экстремумы

  7. Производная второго порядка, промежутки выпуклости, точки перегиба

  8. Контрольные (опорные) точки

  9. Построение графика.

Пример: Построить график функции: hello_html_2a283d92.gif

hello_html_7572739.gif

2)Функция не является ни четной ни нечетной, ни периодичной

  1. х=0, у=0 – график проходит через начало координат

  2. Так как hello_html_3a50d857.gifвертикальная асимптота.

Находим наклонную асимптоту у=kx+b.

hello_html_m5f58db7f.gif

hello_html_308548f6.gif

Следовательно у=х+3 – наклонная асимптота

5) hello_html_62197a48.gifhello_html_52f2f42f.gifи терпит разрыв х=3

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gif6) hello_html_3e25cfc7.gif + - - +

hello_html_343addde.gifhello_html_m4f5f609a.gifhello_html_m697b7f35.gifhello_html_m697b7f35.gifhello_html_m4f5f609a.giff(0)=0 f(6)=12

f(x) 0 3 6 x

hello_html_m43ced1ec.gifhello_html_29cc65b2.gifmax min


7) hello_html_7b9400ca.gif



hello_html_m1efacbb4.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_6290dfb7.gif+ - hello_html_7ef2060a.gif и терпит разрыв при х=3, точек перегиба нет

hello_html_m43ced1ec.gifhello_html_29cc65b2.giff(x) 3 x


8) hello_html_m2a61cb27.gifhello_html_m56d4d185.gifhello_html_m112362c1.gifhello_html_b36904d.gif

hello_html_m5042ea85.gifhello_html_5c34c426.gif



hello_html_213b2c9f.gifhello_html_m5bcfd79a.gifhello_html_4945e20b.gif y

hello_html_m3e1e94f2.gif

hello_html_m311f0002.gifhello_html_m1154bee0.gifhello_html_m7315ca15.gif 16

14

hello_html_m311f0002.gif

hello_html_m311f0002.gifhello_html_m4695504e.gifhello_html_m197e212a.gifhello_html_m2b549b5a.gif 12

10

hello_html_m311f0002.gif

hello_html_m311f0002.gif 8

6

hello_html_m311f0002.gif

hello_html_m311f0002.gif 4

hello_html_m311f0002.gif 2

hello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m769b67f4.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_259f0e95.gifhello_html_77de3b61.gif x

hello_html_m7fce22a9.gifhello_html_m20597265.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m5f16e53e.gif-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

hello_html_m65022cf7.gif -2

hello_html_m311f0002.gif

hello_html_m311f0002.gifhello_html_m1fdbc78f.gif-4

Y=x+3 -6

hello_html_m311f0002.gif

hello_html_m311f0002.gif


hello_html_m311f0002.gifX=3










Упражнения для самостоятельного решения


  1. Найдите промежутки монотонности следующих функций:

1) hello_html_3fb226bd.gif 6) у= ln x2

2) hello_html_md6ff763.gif 7) hello_html_m333374f3.gif

3) hello_html_6d52847.gif 8) hello_html_m7eed5464.gif

4) hello_html_m6f98dee4.gif 9) hello_html_3a975.gif

5) hello_html_80fe95d.gif

  1. Исследуйте на экстремум следующие функции:

1) hello_html_m3e991c68.gif 4) hello_html_5e69354a.gif

2) hello_html_2d60c8fc.gif hello_html_3cb4080c.gif

3) hello_html_1929230d.gif hello_html_m45502e69.gif


  1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции в заданных промежутках:

1) hello_html_m560f9dd6.gif

2) hello_html_424894aa.gif


  1. Найдите промежутки выпуклости кривых:

1) hello_html_4a7ba350.gif

2) hello_html_m737cd49b.gif

  1. Найдите точки перегиба следующих кривых:

1) hello_html_m50e219ce.gif

hello_html_m68f63f09.gif

hello_html_4eab14a6.gif


  1. Исследуйте следующие функции и постройте графики:

1) hello_html_mf2d491c.gif

hello_html_m4e641b96.gif

















§3 Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям.


Дифференциалом функции у=f(x) называется производной этой функции hello_html_31ab8d11.gif

на произвольное приращение аргумента hello_html_6bc98980.gifhello_html_1ce9f1e6.gif

Поэтому hello_html_m192b0129.gif - дифференциал первого порядка

hello_html_3bbdfb2c.gif- дифференциал второго порядка.



Основные правила и формулы вычисления дифференциалов.


Основные формулы дифференцирования могут быть представлены через дифференциалы следующим образом:

hello_html_m15ba9daf.gif

hello_html_1167ff66.gif

hello_html_m1a2c1b6c.gif

hello_html_m1d80df09.gif

hello_html_717c1fd9.gif

hello_html_5b7c9c2f.gif

hello_html_79a000f1.gifhello_html_m7fd7c4fe.gif

hello_html_4b710c3b.gifhello_html_m2d0bef32.gif

hello_html_m22006f0d.gifhello_html_m382e6bb.gif

hello_html_m6ee6bde1.gifhello_html_7a19eee7.gif

hello_html_m5e5ad5bc.gifhello_html_m476bb3be.gif

hello_html_m71c5dfd1.gifhello_html_138c31df.gif

  1. Найти дифференциалы первого порядка:

hello_html_58484407.gifhello_html_4fbcbad.gif

hello_html_m1323711f.gifhello_html_6af2dab8.gif

hello_html_m173984b2.gifhello_html_m4ff549a0.gif

hello_html_633e2208.gifhello_html_m33946135.gif

  1. Найти дифференциалы второго порядка:

hello_html_m4731cc76.gif

hello_html_87e539a.gif

hello_html_32d6c959.gifhello_html_58b611cf.gif

hello_html_62456d2d.gifhello_html_363f87ec.gifhello_html_m22c1d66d.gifhello_html_135e0cc4.gif



Вычисление приближенного числового значения функции.


Пусть дана функция у= f (x); приращение этой функции hello_html_m7c947cd1.gif, её дифференциал hello_html_69a422d6.gif. При достаточно малых (близких к нулю) приращениях аргумента hello_html_a2aade.gif будем считать, что hello_html_m1b399c39.gifт.е., что приращение функции приближено равно её дифференциалу.

Заменим приращение функции её дифференциалом, получим hello_html_m6ebf6b31.gif

Откуда hello_html_aa1ba27.gif

Применение этой формулы дает значительное упрощение вычисления числового значения функции; геометрически это соответствует замене участка кривой отрезком касательной.

Найти приближенное значение функции f(x)= 5x3-2x+3 при х=2,01

Полагая х=2 и hello_html_m5b7be761.gif, получим:

hello_html_85ce108.gif

hello_html_1c457aff.gif

hello_html_6c3eb262.gif



Приближенное вычисление степеней


Рассмотрим функцию f(x)=xn. Пусть аргумент Х получает малое приращение hello_html_m5823d67a.gif .

Вычислим приближенное значение функции hello_html_15c7669a.gif применяя формулу

hello_html_3d67da8.gif

Имеем hello_html_m417690df.gif, откуда hello_html_m463bb111.gif

Найти приближенное значение (4,012)2

Полагая hello_html_m4c6b3ca0.gif hello_html_38c94c16.gif


Приближенное вычисление корней


Рассмотрим функцию hello_html_87e54d9.gif

Пусть аргумент Х получает малое приращение hello_html_a2aade.gif hello_html_m339c3dc7.gif

Применим формулу hello_html_3d67da8.gif

hello_html_87e54d9.gifhello_html_71a1d1a.gifоткуда hello_html_m66211a5c.gif


Найти приближенное значение hello_html_m54b44f92.gif

hello_html_71c7f3eb.gif




Приближенное вычисление обратных величин

Рассмотрим функцию: hello_html_7a67980b.gif

Пусть аргумент Х получает малое приращение hello_html_m1f57b246.gif

Применим формулу hello_html_5d95d70d.gif

hello_html_7a67980b.gifhello_html_3f7db483.gifоткудаhello_html_1eadc058.gif

Найти приближенное значение hello_html_m740cd9da.gifhello_html_m2acc138e.gif




































ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ


§ 1. Первообразная, неопределенный интеграл


Функция F(х) называется первообразной для функции f(x) в промежутке hello_html_m66f99925.gifесли в любой точке этого промежутка её производная равна f(x):

hello_html_2cb6b22c.gif

Отыскание первообразной функции по заданной ею производной f(х) или по дифференциалу f(x)dx есть действие, обратное дифференцированию - интегрирование.

Совокупность первообразных для функции f(x) или для дифференциала f(x)dx называется неопределенным интегралом и обозначается символом hello_html_m72f1d130.gif

Таким образом hello_html_33a38a4b.gif если hello_html_2eb58b32.gif

Здесь f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, С – произвольная постоянная.


Основные свойства:

  1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: hello_html_40ecfa4a.gif

  2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

hello_html_m3a012cbe.gifhello_html_m6634efb3.gif

  1. Неопределенный интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: hello_html_m323a4c3c.gif

  2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла: hello_html_m78169655.gif

  3. Есть hello_html_3b5e2b18.gif и u=g(x) - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то hello_html_m3724b2b3.gif

Основные формулы интегрирования:


hello_html_mc87b6d.gifhello_html_4ff91c08.gif

hello_html_c751ca.gifhello_html_m2c2d8b77.gif

hello_html_m65e5b9ae.gif hello_html_2c298e56.gifhello_html_588f09bb.gifhello_html_m7d4f8702.gif

hello_html_m7c424b07.gifhello_html_66df54f1.gif

hello_html_f233f6b.gifhello_html_2793342.gif

hello_html_2cf89689.gif



Непосредственное интегрирование


Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2. данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.


Примеры: Найти следующие интегралы:

hello_html_39b966d4.gifhello_html_7902146d.gif

hello_html_5005edbf.gifhello_html_7e7065ca.gif

hello_html_20078a87.gif

hello_html_32ff47c4.gif

hello_html_m495a5605.gifтак как dx=d(1+x)

hello_html_7a00072b.gifтак как hello_html_3a4e297f.gif

hello_html_m3504e47c.gif

hello_html_3c384ab3.gifтак как hello_html_33d806a7.gif

hello_html_m1dc61529.gifтак как hello_html_4690a0d4.gif

hello_html_55bafa35.gifтак как hello_html_4284cd0b.gif

hello_html_m775b148a.gifтак как hello_html_8e257b.gif

hello_html_770b2d4a.gifтак как hello_html_29652fc8.gif то hello_html_m2a9ea59a.gif

hello_html_4be34617.gif

16)hello_html_5a7c4f67.gif

17)hello_html_m33ac592b.gif

18)hello_html_m6cb44f7b.gif

19)hello_html_m7a8e951d.gif

20)hello_html_m77961ead.gif

Упражнения для самостоятельного решения


Найти следующие интегралы:

1)hello_html_m1b0383e2.gif 13)hello_html_m59488f00.gif

2)hello_html_30bd1bf.gif 14)hello_html_m2067d584.gif

3)hello_html_534fedca.gif 15)hello_html_m4b7db5a4.gif

4)hello_html_7fa3cf8e.gif 16)hello_html_4d861703.gif

5)hello_html_m287572d6.gif 17)hello_html_28ba5fe.gif

6)hello_html_7ff0e874.gif 18)hello_html_56801f3c.gif

7)hello_html_6e8472b9.gif 19)hello_html_m6e0defaf.gif

8)hello_html_m2fbae6d9.gif 20)hello_html_11e3bf93.gif

9)hello_html_4f04a301.gif 21)hello_html_m7382da94.gif

10)hello_html_4b314811.gif 22)hello_html_m408bf29d.gif

11)hello_html_m7eca2e30.gif 23)hello_html_m15dfcff9.gif

12)hello_html_m3115ebaf.gif 24)hello_html_m62f6f2b3.gif









Интегрирование методом замены переменной


Интегрирование методом замены переменной (способ подстановки) заключается в преобразовании интеграла hello_html_m429f8741.gif в интегралhello_html_63cd92db.gifкоторый легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла hello_html_m429f8741.gif заменяем переменную х новой переменной и с помощью подстановки x=g(u). Дифференцируя это равенство получим hello_html_m70f17a6b.gif

Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем hello_html_2ca540cc.gif

После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки hello_html_3f82e966.gif он приводится к переменной х.



Примеры:

1)hello_html_m6e1f84fa.gif

3х+2=u 3dx=du hello_html_m69a4429c.gif

2)hello_html_2a58769e.gif

4x+1=u

4dx=du hello_html_6faff60c.gif

3)hello_html_1a2a25eb.gif

2x3+1=u

6x2dx=du hello_html_m193cefac.gif

4)hello_html_maa94f2b.gif

x2+1=u

2xdx=du hello_html_ebb03ed.gif

5)hello_html_m2810742d.gif

5x5+1=u

15x2dx=du hello_html_m7d71194d.gif

6) hello_html_af16e5b.gif

cos kx = u

-k sin kxdx = du

hello_html_m1db5f314.gif


7)hello_html_mdcc96a2.gif

5x2=u 10xdx=du hello_html_fea25db.gifdu

8) hello_html_m7539f0ea.gif

-3x2+1=u

-6xdx=du hello_html_174d5d3c.gifdu

9)hello_html_m4bd48a33.gif

hello_html_m2e21f133.gif

hello_html_m57f6a8a7.gifdu hello_html_4c8008d0.gifdu

10)hello_html_m107b5fde.gif

3x=u 3xln3dx=du hello_html_md5399ca.gif



Упражнения для самостоятельного решения


Найти следующие интервалы:

1)hello_html_m2c85c003.gif 9)hello_html_m39321fd4.gif


hello_html_m1ca9235c.gifhello_html_m43ce7245.gif


3)hello_html_5fcc5de9.gifhello_html_m3a91b5cd.gif


4)hello_html_3ac17d97.gif 12)hello_html_m5f0eef3c.gif


5)hello_html_5998cc7a.gifhello_html_m131a4dd2.gif

hello_html_m5d9a5109.gif14)hello_html_m7868be38.gif


7)hello_html_6fc4a110.gif 15)hello_html_394cd853.gif

8)hello_html_137df840.gifhello_html_m1ac1cb88.gif

Интегрирование по частям.


Интегрируя обе части равенства d(uv)=udv+vdu, получимhello_html_m7b239e6e.gif откуда hello_html_4909a509.gif

С помощью этой формулы вычисление интеграла hello_html_18631bac.gif сводится к вычислению интеграла hello_html_m4e885bb2.gif если последний окажется проще исходного.


Примеры:


hello_html_m3953f9dc.gif

u=x dv=sin xdx du=dx hello_html_m30066c1f.gif т.е. v=-cos x

2)hello_html_m3fa6926.gif

u=ln x; hello_html_m207df1af.gifhello_html_4becbce5.gifhello_html_73b8075f.gifhello_html_459da99a.gif




Упражнения для самостоятельного решения

Найти следующие интегралы:

1)hello_html_562bb9c5.gif 5) hello_html_7a40e727.gif

2) hello_html_7d7c7af4.gif 6) hello_html_m1b5b2086.gif

3) hello_html_m8c00328.gif 7) hello_html_403f351d.gif

4) hello_html_m6a741b77.gif




Интегрирование некоторых тригонометрических функций.


При вычислении интегралов вида hello_html_236ab178.gifилиhello_html_e994cd7.gif от четной степени синуса или косинуса используются формулы понижения степени

hello_html_513d4dd7.gifhello_html_m687e22d3.gif

При вычислении интегралов вида hello_html_4e0127bf.gif или hello_html_md465841.gif от нечетной степени синуса или косинуса нужно отделить от нечетной степени один множитель и ввести новую переменную, полагая cos x = t в первом интеграле и sin x = t - во втором.

При вычислении интегралов вида hello_html_17cfe8e5.gif , hello_html_4c5f180a.gifhello_html_m1d95a7b8.gif применяются формулы:

hello_html_m737faac1.gif

hello_html_3b847a7c.gif

hello_html_69f3cf6c.gif

Примеры:


1)hello_html_m231495ca.gif

hello_html_7e137579.gif

hello_html_49b1cf61.gif

hello_html_c8ad996.gif

3)hello_html_30b0e481.gif

hello_html_m48fd5c0.gif

4)hello_html_m64fd9182.gif (см. 3)

Рассмотрим hello_html_51c22eb7.gif tgx=u hello_html_m1170fa55.gif

hello_html_m2c83af80.gif

cosx=u -sinxdx=duhello_html_177c6307.gifhello_html_33fbaf6.gif

hello_html_4cdb28c4.gifhello_html_m6c9ea22.gif



Упражнения для самостоятельного решения


Найти следующие интегралы:

hello_html_m73fefdb5.gif7)hello_html_m3b6cbe7f.gif

hello_html_57a76c75.gifhello_html_2e234286.gif

hello_html_5f47971a.gifhello_html_m233d2649.gif

hello_html_m7833c4b8.gifhello_html_783f3c1b.gif

hello_html_d7625e1.gifhello_html_m66ea6503.gif

hello_html_ma6cd68f.gif


§ 2. Определенный интеграл


hello_html_421be524.gifт.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.


Свойства:

hello_html_m5c222a8b.gif

hello_html_1b38457d.gif

hello_html_m4f9927b6.gif

hello_html_m79af3694.gif

hello_html_7e770596.gif



Непосредственное интегрирование


Примеры:

hello_html_6ce80742.gif

hello_html_m580dcb87.gif

hello_html_25879a60.gif

hello_html_m5a5192ab.gif

hello_html_604b291a.gif

hello_html_m137e7719.gif

hello_html_m4d3a7359.gif

hello_html_m39a75d49.gif

hello_html_6351dc9.gif


Упражнения для самостоятельного решения


Вычислите определенные интеграл:

hello_html_m71b92833.gifhello_html_m5c705a36.gif

hello_html_42bfcb11.gifhello_html_m6f61ab37.gif

hello_html_m5383b364.gifhello_html_m66ef6a64.gif

hello_html_m786b53e.gifhello_html_76ef6193.gif

hello_html_106a1852.gifhello_html_m7bfbfbc.gif

hello_html_m1668b9bd.gifhello_html_5debc619.gif

hello_html_cc98327.gifhello_html_m45ca5823.gif

hello_html_mb5392f2.gif






Интегрирование методом замены переменной (подстановки)


Примеры:

hello_html_6a8cdcbd.gif

2x-1=u 2dx=du dx=hello_html_77b44ee.gif un=2hello_html_22f2bb71.gif ub=2hello_html_138f4d83.gif

hello_html_21e31052.gif

5x -1=u 5dx=du hello_html_1b62167c.gif un=5hello_html_m77f9e0aa.gif ub=5hello_html_6992f268.gif


hello_html_m386d2210.gif

2x3+1=u 6x2dx=du

hello_html_m6851d565.gifun=1; ub=3


Упражнения для самостоятельного решения

Вычислить с помощью подстановок следующие определенные интегралы:


hello_html_6bd07ebf.gifhello_html_e1bdb7e.gif

hello_html_m4433ad75.gifhello_html_5313e9f9.gif

hello_html_5652e266.gifhello_html_m67f9a041.gif

hello_html_m6f15df5.gifhello_html_2831ab62.gif

hello_html_m5a9247b3.gifhello_html_m4f708c0.gif

hello_html_m14e899cc.gifhello_html_1d8d3713.gif




§ 3 Приложения интеграла


I. Вычисление площади плоской фигуры hello_html_6cc65291.gif


1) Дано: у2=х , hello_html_m443f75ed.gif х=1, х=4

S-? hello_html_m7ff8fc2c.gif

уhello_html_70b08afe.gif hello_html_73159c9b.gif

hello_html_5951fc3b.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_2935edba.gifhello_html_5e6c80ac.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_m4695504e.gifhello_html_711d87e4.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_be45e8f.gif3 hello_html_m58c1ae2d.gif

hello_html_5951fc3b.gifhello_html_59e5f253.gifhello_html_m5f16e53e.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_7e0a5019.gifhello_html_32a8a2bc.gifhello_html_32a8a2bc.gif1

hello_html_m7e7d56c6.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_2d2985a9.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gif0 Ответ: hello_html_2cba819f.gif

1 4 9 х





2) Дано: у=sin x, y=0, x=0, x

S-?

hello_html_7e9b3592.gifhello_html_5951fc3b.gifhello_html_m7e949b99.gifhello_html_m4695504e.gifhello_html_m71327c4d.gifhello_html_5e952daa.gifhello_html_m26a1febb.gifhello_html_m2ad2aab1.gif

hello_html_m4e4680bd.gifhello_html_32a8a2bc.gifОтвет: 2кв.ед.

hello_html_7e0a5019.gif

hello_html_3c0018f9.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_be45e8f.gif

0 hello_html_m6cbd1217.gif π х



3) Дано: у=х2 , у=2х

S-?

уhello_html_m4944f143.gifhello_html_m47eca677.gifhello_html_607a1bdb.gif Пределы интегрирования (точки пересечения графиков функции)

hello_html_m197e212a.gifх2=2х х2-2х=0 х(х-2)=0

х=0 х=2 hello_html_6553bc2b.gif(кв.ед.)

Оhello_html_711d87e4.gifhello_html_711d87e4.gifhello_html_m4695504e.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_30e267e9.gifhello_html_18c66177.gifтвет: hello_html_m76ad9b75.gif

hello_html_m7eaa7d36.gif

-1 0hello_html_m561c8db0.gif 1 2 х



II. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Ох. hello_html_m25094413.gifaxb


Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой y2=2x, прямой х=3 и осью Ох.

Решение Применим формулу

hello_html_16fa7f4e.gif


III. Вычисление объема тела, образованного вращением вокруг оси Оy. hello_html_m2a1382a7.gif. ayb


Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной параболой y=x2, прямой y=4.

Решение Применим формулу

hello_html_m56bad267.gif



II. Вычисление пути hello_html_m429a28e0.gif

1.Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_m17547287.gif. Найти путь, пройденной точкой за 10 с от начала движения.

hello_html_m50c58b26.gifОтвет:1110м

2.Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_m5fcbe8d5.gif. Найти путь, пройденный точкой за 4-ю секунду.

hello_html_m6a089199.gifОтвет: 83м



III. Вычисление работы hello_html_6ef2b813.gif.

Часто используется закон Гука: F =kx. Сжатие х винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 0,04м, если для сжатия её на 0,01м нужна сила 10Н.

Так как х=0,01м при F=10H, то используем закон Гука. Находим

hello_html_m3ab9525b.gif

т.е. hello_html_m7b4a3907.gif Ответ: 0,8 Дж



Упражнения для самостоятельного решения

а) Вычислите площади фугур, ограниченных указанными линиями:

1) х-у+2=0, у=0, х=-1, х=2

2) у=х2, у=0, х=0, х=3

3) у=х2+1, у=0, х=-1, х=2

4) у=hello_html_m28744251.gif

5) у=cosx, y=0, x=0, hello_html_m3ee0df79.gif

6) y=x2,y=-3x

7) y=x2, y=2-x2

б) 1) Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_m73e4dad4.gif. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до её остановки.

2) Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_7e682622.gif. Найти путь, пройденный точкой за 5с от начала движения.

3) Скорость движения точки изменяется по закону hello_html_6fb1ff6e.gif. Найти путь, пройденный точкой за 2-ю секунду.















КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Выполняется в соответствии с вариантом


1. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1. а) hello_html_m4a0da35c.gif б) hello_html_66226bc8.gif

в) hello_html_211793d8.gif г) hello_html_m748d698b.gif

2. а) hello_html_m69b063a9.gif б) hello_html_m60b4bb63.gif

в) hello_html_7f328649.gif г) hello_html_7a987ce9.gif

3. а) hello_html_18bf50b2.gif б) hello_html_m3a76ccf4.gif

в) hello_html_4a7bebdd.gif г) hello_html_7b7e189.gif

4. а) hello_html_m213c39c1.gif б) hello_html_m67d34018.gif

в) hello_html_m50cfa489.gif г) hello_html_m215f955c.gif

5. а) hello_html_1de698ec.gif б) hello_html_6a8b69aa.gif

в) hello_html_m47fb9302.gif г) hello_html_1b5fc86e.gif

6. а) hello_html_me489938.gif б) hello_html_m5db81f1b.gif

в) hello_html_546f9e57.gif г) hello_html_m6a40eebf.gif

7. а) hello_html_m348f269f.gif б) hello_html_m2a38d69a.gif


в) hello_html_m766c51e0.gif г) hello_html_5f38743a.gif

8. а) hello_html_5541d379.gif б) hello_html_3493d85c.gif

в) hello_html_m43eea063.gif г) hello_html_m5740964f.gif

9. а) hello_html_7c0abac9.gif б) hello_html_m5ffa1229.gif

в) hello_html_m294c529a.gif г) hello_html_m4e4590bd.gif


10. а) hello_html_m502ae0ab.gif б) hello_html_m3b566bec.gif


в) hello_html_622141a1.gif г) hello_html_m3be08ae5.gif


11. а) hello_html_262fb816.gif б) hello_html_m31641a3c.gif

в) hello_html_6d32c2d5.gif г) hello_html_1f975c4d.gif

12. а) hello_html_me489938.gif б) hello_html_46e76498.gif

в) hello_html_m62f92b93.gif г) hello_html_m905bc29.gif

13. а) hello_html_m1e6770ad.gif б) hello_html_m6ae9399d.gif

в) hello_html_m71a8d0f5.gif г) hello_html_m2b04ce45.gif

14. а) hello_html_m3789981f.gif б) hello_html_m60acf02c.gif

в) hello_html_2d5d365a.gif г) hello_html_m5baae74f.gif

15. а) hello_html_m16efdb34.gif б) hello_html_57315571.gif

в) hello_html_717ffce5.gif г) hello_html_m744c277e.gif

16. а) hello_html_4063b811.gif б) hello_html_40841ae2.gif

в) hello_html_m6564e7d6.gif г) hello_html_710a4da0.gif

17. а) hello_html_m5264bad5.gif б) hello_html_5a16b866.gif

в) hello_html_5953c29.gif г) hello_html_m301953ba.gif

18. а) hello_html_303b521f.gif б) hello_html_m4c82a294.gif

в) hello_html_m42fb5cae.gif г) hello_html_m5aece7aa.gif

19. а) hello_html_48c4e182.gif б) hello_html_m6e7e6231.gif

в) hello_html_m66eeea8d.gif г) hello_html_m25669e49.gif

20. а) hello_html_2ef55abf.gif б) hello_html_2f67880c.gif

в) hello_html_m5716335f.gif г) hello_html_5a9ba74b.gif

21. а) hello_html_m5defd9d5.gif б) hello_html_2bf6a294.gif

в)hello_html_58e2df7c.gif г) hello_html_4167ab7c.gif


22. а)hello_html_83441f8.gif б)hello_html_5aff0218.gif


в)hello_html_m5c28678a.gif г) hello_html_54b2ad6.gif

23. а) hello_html_27a1fa75.gif б) hello_html_m65517ba9.gif

в)hello_html_1061db34.gif г)hello_html_m7c3bf517.gif


24. а) hello_html_55e23dc5.gif б) hello_html_55b3ae9b.gif


в) hello_html_693fdad2.gif г)hello_html_m9318b04.gif

25. а) hello_html_m66398c45.gif б) hello_html_7f4f424b.gif

в) hello_html_m337c52f2.gif г)hello_html_m424ebf82.gif


2. Найти производные функций

1. а) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7796202.gif б) hello_html_6ee12f3e.gif

2. а) hello_html_569f4a6e.gif б) hello_html_6ac9dae7.gif

3. а) hello_html_m7d3ea371.gif б) hello_html_13d6ed21.gif

4. а) hello_html_2133405e.gif б) hello_html_14981392.gif

5. а) hello_html_m670ecc5.gif б) hello_html_1e2898ff.gif

6. а) hello_html_m2e41119b.gif б) hello_html_m386fb6f5.gif

7. а) hello_html_m74e0ac53.gif б) hello_html_m71061137.gif

8. а) hello_html_m3de53226.gif б) hello_html_425ddb56.gif

9. а) hello_html_m49f75543.gif б) hello_html_m432504f4.gif

10. а) hello_html_1cdf6c31.gif б) hello_html_m7d6814d.gif

11. а) hello_html_m4bad7dd1.gif б) hello_html_m639d0f18.gif

12. а) hello_html_464d0709.gif б) hello_html_70245cf2.gif

13. а) hello_html_m2c559a82.gif б) hello_html_7962296f.gif

14. а) hello_html_1ddcb83d.gif б) hello_html_m533ebe86.gif

15. а) hello_html_3b726efb.gif б) hello_html_16f7be6e.gif

16. а) hello_html_3e9bf465.gif б) hello_html_653f218a.gif

17. а) hello_html_m4f64064.gif б) hello_html_5def4d.gif

18.а) hello_html_73c349b7.gif б) hello_html_618a83e6.gif

19.а) hello_html_19c92924.gif б) hello_html_m427cf9dc.gif

20. а) hello_html_7ec4f7d7.gif б) hello_html_644df773.gif

21. а) hello_html_m28a44c3e.gif б) hello_html_5ff9f8b6.gif

22. а) hello_html_95601de.gif б) hello_html_m4cae81a7.gif

23. а) hello_html_m6040bbe5.gif б) hello_html_73760bf0.gif

24. а) hello_html_2cfee57a.gif б) hello_html_2cd4a71a.gif

25. а) hello_html_m4b70ffaa.gif б) hello_html_4bc59ed7.gif



3. Найти неопределенные и определенные интегралы. В двух первых примерах проверить результаты дифференцированием.

1

hello_html_m526dbd2e.gif

hello_html_2259b930.gif

hello_html_m5703aac.gif

hello_html_78c01d8.gif

2

hello_html_7af7e694.gif

hello_html_m13879128.gif

hello_html_2b505e91.gif

hello_html_m197eadf9.gif

3

hello_html_m29066746.gif

hello_html_54769d6b.gif

hello_html_72e11b45.gif

hello_html_m17771a20.gif

4

hello_html_m3330f72f.gif

hello_html_mfb362a0.gif

hello_html_561f1804.gif

hello_html_644201fb.gif

5

hello_html_7e7fa175.gif

hello_html_m3f4908c4.gif

hello_html_m44a5aeeb.gif

hello_html_m4f0803d2.gif

6

hello_html_386ae21e.gif

hello_html_m213186b9.gif

hello_html_m6527d44c.gif

hello_html_2193ff3e.gif

7

hello_html_m4fcae69b.gif

hello_html_635cc674.gif

hello_html_m68d5fcfb.gif

hello_html_m4d97d9f.gif

8

hello_html_m39a1639f.gif

hello_html_m626927fc.gif

hello_html_2ae6d79d.gif

hello_html_60fe7e2c.gif

9

hello_html_26d4f5a6.gif

hello_html_m7875e0b0.gif

hello_html_m3fb70ffa.gif

hello_html_778810d6.gif

10

hello_html_758af201.gif

hello_html_m32cecc53.gif

hello_html_5fa20d22.gif

hello_html_57c19b91.gif

11

hello_html_m4bddb1be.gif

hello_html_m612837f1.gif

hello_html_2c5909dd.gif

hello_html_m52646ff2.gif

12

hello_html_314f6a69.gif

hello_html_m2e89bb7d.gif

hello_html_ma1377d1.gif

hello_html_me0616fb.gif

13

hello_html_m75de305b.gif

hello_html_m50a3524b.gif

hello_html_m6078e7c8.gif

hello_html_54a0166.gif

14

hello_html_m139c69ed.gif

hello_html_11c15fe0.gif

hello_html_m490c50ba.gif

hello_html_m35a0f930.gif

15

hello_html_m3e051734.gif

hello_html_m237edd52.gif

hello_html_m64648163.gif

hello_html_m5cb605dd.gif

16

hello_html_7a82f24b.gif

hello_html_m3e8739d6.gif

hello_html_768735c0.gif

hello_html_569a106d.gif

17

hello_html_5d9b8fd7.gif

hello_html_m4f9f8317.gif

hello_html_3177b2f2.gif

hello_html_78bfd324.gif

18

hello_html_m2f87b168.gif

hello_html_m2629ee3a.gif

hello_html_51b71c82.gif

hello_html_m2bb1dcb5.gif

19

hello_html_m334b704b.gif

hello_html_m704238a3.gif

hello_html_m577a6482.gif

hello_html_2458e2aa.gif

20

hello_html_2565c20e.gif

hello_html_62bb797b.gif

hello_html_m2221846a.gif

hello_html_m6a48696f.gif

21

hello_html_3d661601.gif

hello_html_a4f65d3.gif

hello_html_m7d7cbd58.gif

hello_html_m157041b0.gif

22

hello_html_29797a43.gif

hello_html_m7f976527.gif

hello_html_m5b96847f.gif

hello_html_m498d9805.gif

23

hello_html_7a3273b9.gif

hello_html_m2b5728a1.gif

hello_html_596c13f5.gif

hello_html_28e29971.gif

24

hello_html_mf21f4e8.gif

hello_html_164a199c.gif

hello_html_42defdd4.gif

hello_html_480281f1.gif

25

hello_html_6c7e03df.gif

hello_html_m71392896.gif

hello_html_259e775b.gif

hello_html_20baba2.gif





4. Сделайте чертеж и вычислите площадь фигуры или объем тела:

  1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_m785af9fc.gif и прямой hello_html_m6d169857.gif

  2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_4b8f4c5e.gif и осью Ох.

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_7372a182.gif

  4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_3608ffeb.gif и осью Ох.

  5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами у=х2 и у=hello_html_45443a93.gif.

  6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями xy=1, x=2, x=3, y=0

  7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми hello_html_1d108ad3.gif у=х2.

  8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиямиhello_html_2f6637c2.gif и hello_html_me6ccb8.gif

  9. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_5b0b326b.gif и осью Ох.

  10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_m7c9ea02.gif

  11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями hello_html_ad984e3.gif.

  12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_m6d28ca69.gif и осью Ох.

  13. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=(1-х)2, прямой х=2 и осями Ох и Оу.

  14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_4ef3c7bc.gif и прямой hello_html_m59a14f7f.gif

  15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_m88d0d60.gif и осью Ох.

  16. Вычислить площадь фигуры, ограниченной hello_html_2c62f371.gif и осью Ох.

  17. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой у=х2+1, прямыми у=х, х=1 и осью Оу.

  18. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой hello_html_2d9a97b9.gif и прямой hello_html_72963ed2.gif

  19. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y=x3, x=2, x=0, y=0

  20. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой hello_html_m6160a6b7.gif и кубической параболой hello_html_mca6a769.gif

  21. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной hello_html_66e4cb15.gif и hello_html_28b36727.gif

  22. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной hello_html_ea2a81f.gifhello_html_314a8ca1.gif

  23. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной hello_html_6015388c.gifhello_html_6c730fe5.gif

  24. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной hello_html_38e5c916.gifhello_html_m12d4a0f.gif

  25. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной hello_html_69463e5e.gif и hello_html_m53579aa0.gif



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 22.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров210
Номер материала ДВ-279151
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх