Методы решения тригонометрических уравнений

• 1 слайд

  Методы решения
  тригонометрических уравнений
  

• 2 слайд

  Содержание
  Метод замены переменной
  Метод разложения на множители
  Однородные тригонометрические уравнения
  С помощью тригонометрических формул:
  Формул сложения
  Формул приведения
  Формул двойного аргумента
  
  

• 3 слайд

  Метод замены переменной
  С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ∈ [−1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения.
  
  См. примеры 1 – 3
  Иногда используют универсальную тригонометрическую подстановку: t = tg
  x
  2
  

• 4 слайд

  Пример 1
  

• 5 слайд

  Пример 2
  

• 6 слайд

  Пример 3
  

• 7 слайд

  Метод разложения на множители
  Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл:
  f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ⟺ f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0
  и т.д. при условии существования каждого из сомножителей
  
  См. примеры 4 – 5
  

• 8 слайд

  Пример 4
  

• 9 слайд

  Пример 5
  

• 10 слайд

  Однородные тригонометрические уравнения
  Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.
  a sin x + b cos x = 0
  Замечание.
  Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.
  : cos x
  a sin x b cos x 0
  cos x
  +
  cos x
  =
  cos x
  a tg x + b = 0
  tg x = –
  a
  b
  

• 11 слайд

  Однородные тригонометрические уравнения
  a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0
  Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.
  : cos2x
  a tg2x + b tg x + c = 0
  a sin2x b sin x cos x c cos2x 0
  cos2x
  +
  cos2x
  =
  cos2x
  +
  cos2x
  Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.
  Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения
  на множители.
  

• 12 слайд

  Пример 7
  Пример 6
  

• 13 слайд

  Пример 8
  

• 14 слайд

  Пример 9
  

• 15 слайд

  Пример 10
  

• 16 слайд

  Пример 11
  

• 17 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  1. Формулы сложения:
  
  
  sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny
  cos (x + y) = cosx cosy − sinx siny
  tgx + tgy
  tg (x + y) =
  1 − tgx tgy
  sin (x − y) = sinx cosy + cosx siny
  cos (x − y) = cosx cosy + sinx siny
  tgx − tgy
  tg (x − y) =
  1 + tgx tgy
  сtgx сtgy − 1
  сtg (x + y) =
  сtgу + с tgх
  сtgx сtgy + 1
  сtg (x − y) =
  сtgу − с tgх
  

• 18 слайд

  Пример 12
  

• 19 слайд

  Пример 13
  

• 20 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  2. Формулы приведения:
  
  
  
  
  
  

• 21 слайд

  Лошадиное правило
  В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента π/ 2 + α или π + α.
  Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».
  

• 22 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  3. Формулы двойного аргумента:
  
  
  
  
  
  sin 2x = 2sinx cosx
  cos 2x = cos2x – sin2x
  cos 2x = 2cos2x – 1
  cos 2x = 1 – 2sin2x
  tg 2x =
  2tgx
  1 – tg2x
  ctg 2x =
  2ctgx
  ctg2x – 1
  

• 23 слайд

  Пример 14
  

• 24 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  4. Формулы понижения степени:
  
  
  
  
  
  5. Формулы половинного угла:
  
  
  

• 25 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  6. Формулы суммы и разности:
  
  
  

• 26 слайд

  С помощью тригонометрических формул
  7. Формулы произведения:
  
  
  

• 27 слайд

  Мнемоническое правило
  “Тригонометрия на ладони”
  Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
  Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки.
  Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец,
  то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”.
  Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°.
  Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°.
  Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
  Для cos отсчет происходит в обратном порядке.