Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / "Методы решения задач с параметрами"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

"Методы решения задач с параметрами"

библиотека
материалов

МКОУ «Лодейнопольская средняя общеобразовательная школа № 68»

_________________________________________________________________________________________________________________________________


Выступление на заседании МО


















Методы решения задач

с параметрами














Прокушева Наталья Геннадьевна


г. Лодейное Поле

2013-2014


Задачи с параметрами


Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Если в уравнении (неравенстве) некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение (неравенство) параметрическим.

Как правило, неизвестные обозначаются последними буквами латинского алфавита: x, y, z, …, а параметры – первыми: a, b, c, …

Решить уравнение (неравенство) с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они. Два уравнения (неравенства), содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения (неравенства) является решением второго и наоборот.

Естественно, такой небольшой класс задач многим не позволяет усвоить главное: параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, – степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Так, деление на выражение, содержащее параметр, извлечение корня четной степени из подобных выражений требуют предварительных исследований. Как правило, результаты этих исследований влияют и на решение, и на ответ.

Как начинать решать такие задачи? Не надо бояться задач с параметрами. Прежде всего, надо сделать то, что делается при решении любого уравнения или неравенства- привести заданное уравнение ( неравенство) к более простому виду, если это возможно: разложить рациональное выражение на множители, разложить тригонометрический многочлен на множители, избавиться от модулей, логарифмов, и т.д.. затем необходимо внимательно еще и еще прочитать задание.

При решении задач, содержащих параметр, встречаются задачи, которые условно можно разделить на два большие класса. В первый класс можно отнести задачи, в которых надо решить неравенство или уравнение при всех возможных значениях параметра. Ко второму классу отнесем задания, в которых надо найти не все возможные решения, а лишь те из них, которые удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.


Основные типы задач с параметрами


Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;
2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

Комментарий. Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.


Основные методы решения задач с параметром


Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Комментарий. По мнению авторов, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной плоскости (x; a).

Комментарий. Исключительная наглядность и красота графического способа решения задач с параметром настолько увлекает изучающих тему «Задачи с параметром», что они начинают игнорировать другие способы решения, забывая общеизвестный факт: для любого класса задач их авторы могут сформулировать такую, которая блестяще решается данным способом и с колоссальными трудностями остальными способами. Поэтому на начальной стадии изучения опасно начинать с графических приемов решения задач с параметром.

Способ III (решение относительно параметра). При решении этим способом переменные x и a принимаются равноправными и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признается более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных x и a и заканчиваем решение.

Перейдем теперь к демонстрации указанных способов решения задач с параметром.


1. Линейные уравнения и неравенства с параметрами

Линейная функция: hello_html_m5bb43fd4.png – уравнение прямой с угловым коэффициентом hello_html_7c35a1bd.png. Угловой коэффициент равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси hello_html_meb13e68.png.

Линейные уравнения с параметрами вида hello_html_md5395f0.png

Если hello_html_515789e0.png, уравнение имеет единственное решение.

Если hello_html_4418e2b1.png, то уравнение не имеет решений, когда hello_html_m6027611a.png, и уравнение имеет бесконечно много решений, когда hello_html_mf141150.png.


Пример 1. Решить уравнение |x| = a.

Решение:

  1. a > 0, => x1,2 = ±a

  2. a = 0, => x = 0

  3. a < 0, => решений нет.

Ответ: x1,2 = ±a при a > 0; x = 0 при a = 0; решений нет при a < 0.


Пример 2. Решить уравнение |3 – x| = a.

Решение:

  1. a > 0, => 3 – x = ±a, => x = 3 ± a

  2. a = 0, => 3 – x = 0. => x = 3

  3. a < 0, => решений нет.

Ответ: x1,2 = 3 ±a при a > 0; x = 3 при a = 0; решений нет при a < 0.


Пример 3. Решить уравнение m²xm = x + 1.

Решение:

m²xm = x + 1

m²xx = m + 1

(m² – 1)x = m + 1

  1. m² – 1 0, т.е. m± 1, hello_html_m323cfb9f.gif, hello_html_5f00e620.gif

  2. m = – 1, 0 · x = 0, x Є R

  3. m = 1, 0 · x = 2, решений нет.

Ответ: hello_html_5f00e620.gif при m± 1; x Є R при m = –1; решений нет при m = 1.


Пример 4. При всех значениях параметра а решить уравнение: (a2 – 4)x = a + 2.

Решение: Разложим коэффициент при hello_html_3d406800.png на множители. hello_html_f9f44be.png.

Если hello_html_m582efe3b.png, уравнение имеет единственное решение: hello_html_m3e31d39b.png.

Если hello_html_m23b821f.png, уравнение не имеет решений.

Если hello_html_m69e1309a.png, то уравнение имеет бесконечно много решений hello_html_7e38f093.png.


Пример 6. При всех значениях параметра a решить уравнение: hello_html_8eeb0ef.gif.

Решение: ОДЗ: hello_html_m7b657872.png. При этом условии уравнение равносильно следующему: hello_html_m452eacd4.png. Проверим принадлежность к ОДЗ: hello_html_m69ca6e89.png, если hello_html_m612cb3ca.png. Если же hello_html_be54460.png, то уравнение не имеет решений.


Пример 7. При всех значениях параметра а решить уравнение: | х + 3| – a| x – 1| = 4.

Решение: Разобьем числовую прямую на 3 части точками, в которых выражения под знаком модуля обращаются в нуль и решим 3 системы:

1) hello_html_20025c9f.png , если hello_html_mf472872.png. Найденный hello_html_3d406800.pngбудет решением, если hello_html_m3a8070f6.png.

2) hello_html_m65d7420c.png , если hello_html_mf07847f.png. Найденный hello_html_3d406800.png удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, является решением при hello_html_mf07847f.png. Если же hello_html_47796d30.png, то решением является любой hello_html_1a571f7b.png.

3) hello_html_3d17e0be.png, если hello_html_mf472872.png. Найденный hello_html_3d406800.png не удовлетворяет нужному неравенству, следовательно, не является решением при hello_html_mf472872.png. Если же hello_html_ec11606.png, то решением является любой x > 1.

Ответ: hello_html_6dac7bcb.png при hello_html_m41f58f4c.png; hello_html_1a571f7b.png при hello_html_47796d30.png;

hello_html_m59316aef.pngпри hello_html_ec11606.png; hello_html_m531fd5fd.png является также решением при всех hello_html_m511c9b9c.png.


Пример 8. Найти все а, при каждом из которых хотя бы одно из решений уравнения 15x – 7a = 2 – 3ax + 6a меньше 2 .

Решение: Найдем решения уравнения при каждом hello_html_m511c9b9c.png. hello_html_m3177ac94.png hello_html_2e360f7f.png, если hello_html_m5404f368.png. Решим неравенство: hello_html_f886a27.png hello_html_20f8871b.png.

При hello_html_54c004cc.png уравнение не имеет решений.

Ответ: а Î (–5 , 4) .


Линейные неравенства с параметрами


Например: Решить неравенство: kx < b.

Если k > 0, то hello_html_m602d4a2c.gif. Если k < 0, то hello_html_4d0fb36d.gif. Если k = 0, то при b > 0 решением является любой x Є R, а при hello_html_43aeab68.gif решений нет.

Аналогично решите остальные неравенства в рамочке.


Пример 1. Для всех значений параметра а решить неравенство hello_html_m6113325a.gif.

Решение:

hello_html_m6113325a.gifhello_html_m41ab0bfa.gif. Если скобка перед x положительна, т.е. при hello_html_1d4f3f88.gif, то hello_html_m484a8463.gif. Если скобка перед x отрицательна, т.е. при hello_html_7bf477d9.gif, то hello_html_73cd9461.gif. Если же a = 0 или a = hello_html_3658dfcc.gif, то решений нет.

Ответ: hello_html_m484a8463.gif при hello_html_1d4f3f88.gif; hello_html_73cd9461.gif при hello_html_7bf477d9.gif;

решений нет при a = 0 или a = hello_html_3658dfcc.gif.


Пример 2. Для всех значений параметра а решить неравенство |х – а| – |x + a| < 2a .

Решение:

При a =0 имеем неверное неравенство 0 < 0, т.е. решений нет. Пусть a > 0, тогда при x < –a оба модуля раскрываются с минусом и получаем неверное неравенство 2a < 2a, т.е. решений нет. Если x Є [–a; a] , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a, т.е. x > –a, т.е., решением является любой x Є (–a; a]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a, т.е. , решением является любой x Є (a; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a; +∞).

Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a. Т.о., при a < 0 решений нет.

Ответ: x Є (–a; +∞) при a > 0, решений нет при hello_html_18dc8f9f.gif.


Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .

 

Пример 3. Найти все а, при каждом из которых все решения неравенства hello_html_m5c338d13.gif удовлетворяют неравенству 2xa² + 5 < 0.

Решение:

Решением неравенства |x| ≤ 2 является множество A =[–2; 2], а решением неравенства 2xa² + 5 < 0 является множество B = (–∞; hello_html_mc885f7e.gif) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (hello_html_773a7d07.png). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда hello_html_5e7f137a.pnghello_html_m5e84dd94.png.

Ответ: a Є (–∞; –3)U(3; +∞).

Пример 4. Найти все значения a , при которых неравенство hello_html_379ba70c.gif выполняется для всех x из отрезка [1, 3] .

Решение:

Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.

–3a + 2 < 2a + 4 hello_html_51cd29b3.gif и –3a + 2 > 2a + 4 hello_html_18e3b899.gif. Т.о., при hello_html_7d30a252.gif x Є (–3a + 2; 2a + 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы  

hello_html_3f2973f1.png.

При hello_html_34783600.gif x Є (2a + 4; –3a + 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка [1, 3], нужно, чтобы

hello_html_m12f80c30.png.

При a = –hello_html_bf40cc1.gif (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: hello_html_246d0588.png.

Ответ: hello_html_m3e5b085c.gif.

Пример 5. При каких значениях параметра а неравенство hello_html_e7396fd.gif справедливо при всех отрицательных значениях х?

Решение:

Функция hello_html_5a8eb4cc.gif монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.

Вhello_html_b5c7bb5.gifыясним знак коэффициента при hello_html_m5a6082e.gif hello_html_m273d8473.gif

a ≤ –3,

a ≥ 1; (a² + 2a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.

hello_html_b5c7bb5.gifa ≤ –3,

Пусть a ≥ 1. Тогда функция f(x) монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f(x) ≤ 0 <=> 3a² – a – 14 ≤ 0 <=> hello_html_m72d34eb4.gif

hello_html_b5c7bb5.gifa ≤ –3,

Вместе с условиями a ≥ 1; получим: hello_html_670e7b42.gif

Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f(x) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.

Ответ: hello_html_670e7b42.gif.

2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами

Квадратичная функция: hello_html_m64d43f25.gif.

В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.

  1. Если a = 0, то имеем линейное уравнение bх + c=0.

  2. Если a ≠ 0 и дискриминант уравнения D = b² – 4ac < 0, то уравнение не имеет действительных решений.

  3. Если, a ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х =hello_html_4940d65.gif или, как ещё говорят, совпадающие корни х­1 = х2 = hello_html_4940d65.gif.

  4. Если a ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня hello_html_2757a70c.gif.


Пример 1. При каких значениях a уравнение x² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?

Решение:

x² – ax + 1 = 0

D = a² – 4 · 1 = a² – 4

hello_html_m46894868.gif

ahello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gif² – 4 < 0 + – +

(hello_html_4c81cb5e.gifa – 2)(a + 2) < 0 –2 2


Ответ: при a Є (–2; 2)


Пример 2. При каких значениях а уравнение а(х² – х + 1) = 3х + 5 имеет два различных действительных корня?

Решение:

а(х² – х + 1) = 3х + 5, а ≠ 0

ах² – ах+ а – 3х – 5 = 0

ах² – (а + 3)х + а – 5 = 0

D = (a +3)² – 4a(a – 5) = a² +6a + 9 – 4a² + 20a = –3a² + 26a + 9

3a² + 26a + 9 > 0

3a² – 26a – 9 < 0

D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784

ahello_html_m1b839108.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m7eaa7d36.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gif1 = hello_html_m6dc185a1.gif; a2 = hello_html_969c777.gif + – +

hello_html_m2f9988b7.gif 0 9


Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)


Пример 3. Решить уравнение hello_html_m572ee374.gif.

Решение:

hello_html_m572ee374.gif hello_html_m5253b294.gif

ОДЗ: x ≠1, xa

x – 1 + xa = 2, 2x = 3 + a, hello_html_m21e2eda2.gif

1) hello_html_m38feb8f0.gif; 3 + a ≠ 2; a ≠ –1

2) hello_html_359124ef.gif; 3 + a ≠ 2a; a ≠ 3

Ответ: hello_html_m21e2eda2.gif при a Є (–∞; –1) U (–1; 3) U (3; +∞);

решений нет при a = –1; 3.


Пример 4. Решить уравнение |x²–2x–3| = a.

Решение:

Рассмотрим функции y = |x²–2x–3| и y = a.

hello_html_644d5c09.png

При a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4  два решения;
при 0 < a < 4  – четыре решения;
при a = 4 – три решения.

 






Ответ:

при a < 0 нет решений;
при a = 0 и a > 4  два решения;
при  0 < a < 4  – четыре решения;
при  a = 4 – три решения.


Пример 5. Найти все значения a, при каждом из которых уравнение |x²–(a+2)x+2a| = |3x–6|
имеет ровно два корня. Если таких значений a больше одного, в ответе укажите их произведение.

Решение:

Разложим квадратный трехчлен x²–(a+2)x+2a  на множители.
hello_html_m138dca53.png;
hello_html_m5aee4c2b.png;
hello_html_23953622.png   hello_html_12622a5d.png;
hello_html_m4245a444.png
Получим |(x–2)(xa)| = 3|x–2|.
Это уравнение равносильно совокупности
hello_html_9d01d4.pnghello_html_m330c53f5.pnghello_html_m167dac2.png
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a + 3 = 2  и a – 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a являются a1 = –1; a2 = 5; a1 · a2 = –5.

Ответ: –5.


Пример 6. Найти все значения a, при которых корни уравнения  ax² – 2(a + 1)xa + 5 = 0 положительны.

Решение:

Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.

1. a = 0 –2x + = 0;

hello_html_10b9a0c1.png.

  1. a ≠ 0

hello_html_1ae3bbea.png

hello_html_42985e4f.png
hello_html_m7f0e06ef.pnghello_html_m690996b6.png

hello_html_6a9d8cbe.pnghello_html_336ee454.pnghello_html_m26f5fce6.png


Ответ: a Є [0; 1] U [2; 5].

Пример 7. При каких значениях параметра  a уравнение |x² – 4x + 3| = ax  имеет 3 корня.

Решение:

Построим графики функций y = |x² – 4x + 3| и y = ax.


hello_html_37e7090c.png

 

На отрезке [1; 3] построен график функции
hello_html_m67038c91.png.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y = ax  будет являться касательной к графику  y = x ²+ 4x – 3  на
отрезке [1; 2].

Уравнение касательной имеет вид y = f(x0) + f ’(x0)(xx0),
hello_html_7cc7a432.png 
hello_html_63a9b3e6.png
hello_html_467fd9b6.png
Т.к. уравнение касательной y = a, получим систему уравнений hello_html_6c022c9e.pnghello_html_4a663e96.png

Т.к. x0 Є [1; 2], hello_html_767864f5.png

Ответ: при a = 4 – 2hello_html_m980c3de.gif.


Квадратные неравенства с параметрами

Пример. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых среди решений неравенства  hello_html_m50a29159.gif нет ни одной точки отрезка [7; 96].

Решение:

Сhello_html_2ac7fd01.gifначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка [7; 96].
Пусть hello_html_m52bbcd4b.gif, ax = t²

t ≥ 0

При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x можно выразить через t, если a ≠ 0. Поэтому случай, когда a = 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a = 0, тогда х > 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a ≠ 0, тогда hello_html_m96034e.gif и неравенство hello_html_m50a29159.gif примет вид hello_html_m3c81bf37.gif, hello_html_36689d48.gif
hello_html_5daaa268.png

Решение неравенства зависит от значений a, поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a > 0, то hello_html_m6878cc73.gifпри hello_html_4f3bfbc4.gif, или в старых переменных,

hello_html_m47461e93.png

Рhello_html_2ac7fd01.gifешение не содержит ни одной точки заданного отрезка [7; 96], тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,

16a ≥ 96.   Отсюда, a Є [6; 7].
2). Если а < 0, то hello_html_36689d48.gif; hello_html_m60a0cae4.gif; t Є (4a; a). Так как t ≥ 0, то решений нет.

Ответ: [6; 7].


  1. Иррациональные уравнения с параметрами

При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.

Пример 1. Решить уравнение hello_html_m76d87196.gif.

Решение:

ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.

x + 1 = a².

Если x = a² – 1, то условие выполняется.

Ответ: x = a² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.


Пример 2. Решить уравнение hello_html_m7cd19918.gif.

Рhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifешение:

ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,

a – x ≥ 0; xa;

x + 3 = a – x,

2x = a – 3,

hello_html_2bd594d0.gif

hello_html_m3544cdd1.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_7fb3c877.gifhello_html_me792a00.gif <=> hello_html_5b04984e.gif <=> hello_html_3cbeba7a.gif <=> a ≥ –3.

Ответ: hello_html_2bd594d0.gif при a ≥ –3; решений нет при a < –3.


Пример 3. Сколько корней имеет уравнение hello_html_64930835.gif в зависимости от значений параметра а?

Решение:

Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]
hello_html_m43dfddfd.png

Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x² + y² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции hello_html_m60e7d25d.gif. Если заменить у на а, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.
hello_html_636fc3d3.pnghello_html_m6976ee33.png

По графику видим ответ.

Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;

при а Є [–2; 2), два корня;

при а = 1, один корень.


Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_2c9fc7df.gif имеет единственное решение?

Решение:

1 способ (аналитический):

hello_html_481456b9.png

hello_html_481456b9.png

Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение

2 способ (графический):

hello_html_m91839df.png

hello_html_5de97be5.png

Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение


Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение hello_html_m44ae04f7.png= 2 + х имеет единственное решение.

Решение:

Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у1 = 2 + х и у2 = hello_html_m44ae04f7.png

Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а = 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ на соответсвующее значение влево (при положительных а) или вправо (при отрицательных а) (рис.2)

hello_html_m19c27245.png

hello_html_m21cdab59.png

Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.

Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.






  1. Тригонометрические уравнения с параметрами.

Пример 1. Решите уравнение sin(–x + 2x – 1) = b + 1.

Решение:

hello_html_m58380cf5.pnghello_html_m71ec0e0.png
Учитывая нечетность функции hello_html_4a1a17ac.gif, данное уравнение сведем к равносильному hello_html_4253e18a.gif.

 1. b = –1

hello_html_371b18e3.gif



hello_html_7da026e3.png


 

hello_html_18aa3d9.png


 

hello_html_a578699.png

(*)

2. b = 0

hello_html_m20dbaf97.png


 

hello_html_m69638234.png


 

hello_html_41b4a7c5.png 

(**)

3. b = –2

hello_html_m6482c571.png


 

hello_html_86f75f5.png


 

hello_html_4546682a.png 

(***)

4. |b + 1| > 1

hello_html_m6efcf23d.pngРешений нет.


5. bЄ(–1; 0)

hello_html_m219fffcf.png


 

hello_html_m38a0889e.png


 

hello_html_m68956b94.png

(∆)

6. bЄ(–2; –1)

hello_html_m2079282d.png


 

hello_html_m2f17711a.png


hello_html_m6e9e157b.png

hello_html_m2ca33a07.png

(∆∆)


Пример 2. Найдите все значения параметра p, при которых уравнение hello_html_25a4152c.gif не имеет решений.

Решение:

Выразим cos 2x через sinx.
hello_html_m360ea9a.png
Пусть  hello_html_m4d49aefe.gifтогда задача свелась к нахождению всех значений p, при которых уравнение  hello_html_m6cfcb91a.gif не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически  не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде hello_html_m3dff6320.gif, и теперь эскиз графика левой части hello_html_4389390e.gif строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y = p + 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е. hello_html_m6ebdf8bd.png

Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).


Системы уравнений с параметрами


  1. Системы двух линейных уравнений с параметрами

 

Система уравнений hello_html_3a93462.png

 

Решениями системы двух линейных уравнений являются точки пересечения двух прямых: hello_html_m5e42dc5d.png и hello_html_1cb298a5.png .

 

Возможны 3 случая:

 1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. hello_html_4ebd61c4.png. В этом случае система имеет единственное решение.

 

hello_html_m71b19f02.png 

 

2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. hello_html_228ba370.png.

hello_html_m3868633b.png 

  

В этом случае система решений не имеет .

 

3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. hello_html_4a05dae1.png. В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.


 Пример 1. При всех значениях а и b решить систему уравнений

hello_html_6c0297c6.pnghello_html_22371ca9.png.

 Решение. Выразим из первого уравнения hello_html_3d406800.png и подставим во второе уравнение. Получим: hello_html_580bf6b5.png.

 

 

Если hello_html_1debc76a.png - единственное решение. Если hello_html_41f9eb30.png , то если hello_html_5f4d42f6.png , то решений бесконечно много: hello_html_m8fa8f16.png . Если

 

 

жеhello_html_m52c5d244.png , то решений нет.

  

Пример 2. При каком значении параметра а система уравнений

 

2(a + 1)x + 2y = 21

5(a - 3)x + y = 13 не имеет решений?

 

 

 

Решение. Система не имеет решений, если hello_html_m7249614c.png.

 Т.е. hello_html_m2d189f7.png.

 Ответ. hello_html_1854e895.png .

  

Пример 3. При всех значениях а решить систему уравнений

hello_html_27ee46e9.png

 Решение. Система равносильна совокупности двух систем:

hello_html_m620cab7e.png

 Прямые параллельны , если hello_html_m29635b59.png. При этом прямые не совпадают, поэтому при hello_html_47796d30.png решений нет.

 Если hello_html_mf07847f.png, то выражая hello_html_m60168ccc.png из второго уравнения и подставляя в первое, получим: hello_html_m751b86d2.png.

  

Пример 4. Найти все такие значения а, что для любого значения b найдётся хотя бы одно с такое, что система уравнений

hello_html_5e95a635.png имеет хотя бы одно решение.

Решение. Прямые не параллельны, если hello_html_226dcd7c.png

В этом случае система имеет единственное решение при любом c.

По условию задачи система должна иметь решение при всех b.

Если hello_html_m17740a10.png то система принимает вид: hello_html_m754cceae.png . Чтобы при hello_html_m4970e58a.png система также имела решения, нужно, чтобы уравнение hello_html_m663f4698.pngотносительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. hello_html_5d7170f8.png

 Аналогично, если hello_html_m7aab7bad.png то система принимает вид: hello_html_2c197150.png Чтобы при hello_html_1ba94300.png система также имела решения, нужно, чтобы уравнение

 hello_html_m6f79c083.pngотносительно c имело хотя бы одно решение. Т.о., дискриминант этого уравнения должен быть неотрицательным, т.е. hello_html_b7a1eb9.png

  

  1. Системы двух линейных неравенств с параметрами

 

Пример 1. При каких значениях а система неравенств

hello_html_m110cecfe.png не имеет решений?

 Решение. Система имеет решения hello_html_m53b29bc8.png только если hello_html_ma44efd9.png .

 Ответ: при hello_html_666c7db0.png решением будет любой hello_html_m45e14c8f.png;

при hello_html_m55fae707.png решений нет.

 

 Пример 2. При каких значениях а система неравенств

hello_html_m7e2efcf3.png имеет хотя бы одно решение?

Решение. При hello_html_be54460.png первое неравенство не имеет решений. А тогда и вся система не имеет решений.

Пусть hello_html_5c242178.png , тогда hello_html_3aa534a6.png и эта система не имеет решений, так как hello_html_m33cbae4f.png , а hello_html_m2b741e52.png . Пусть hello_html_m10f00659.png , тогда hello_html_m7d169852.png т.е.

решения есть при hello_html_m10f00659.png, и , так как при hello_html_m163d2ef9.png выполнено неравенство hello_html_1725d0b8.png , то решение запишется в виде hello_html_60a5d20d.png .

Ответ: при hello_html_m5726a91a.png решением будет любой hello_html_m763d9929.png;

 

при hello_html_m71f3977.png решений нет.


Пример 3. При всех значениях а решить систему

hello_html_5affed11.png

Решение. Перепишем систему неравенств в виде hello_html_49d766d3.png . Рассмотрим все возможные случаи.

1) hello_html_m2cbb9e51.png . Тогда система неравенств принимает вид hello_html_3e00ea16.png . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: hello_html_m39e6ddf0.png при

 

всех hello_html_m2cbb9e51.png. Поэтому x > (4a+1)/(a+4) .

 

 

 

2) hello_html_ec11606.png . Тогда первое неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .

 

 

3) hello_html_m35fd65.png . Тогда система неравенств принимает вид hello_html_2cbf6f11.png . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: hello_html_6a8a2ac8.png

при всех hello_html_6582439e.png . Поэтому (4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) .

 4) hello_html_5db34c3.png . Тогда второе неравенство не верно. А значит, и вся система не имеет решений .

 5) hello_html_m44eecf55.png . Тогда система неравенств принимает вид hello_html_m760f401b.png . Сравним между собой выражения в правых частях . Имеем: hello_html_m39e6ddf0.png при всех hello_html_m44eecf55.png .

Поэтому x < (2a-3)/(a-1) .

 Ответ: x < (2a-3)/(a-1) при a < -4;

(4a+1)/(a+4) < x < (2a-3)/(a-1) при -4 < a < 1;

при hello_html_ec11606.png и при hello_html_5db34c3.png решений нет.

  

Пример 4. При всех значениях а решить систему

hello_html_14f79f88.png

Решение. hello_html_42938404.png

При hello_html_ec11606.png система не имеет решений.

Пусть hello_html_m2cbb9e51.png , тогда hello_html_m506ad5da.png и эта система не имеет решений.

Пусть hello_html_m1e58a6e3.png , тогда hello_html_m2c75401.png и эта система будет иметь решения, если выполнено неравенство: hello_html_41d3d855.png.

Ответ. hello_html_m3b99e245.png .


  1. Система квадратных уравнений


Пример. Указать при каких значениях параметра a система уравнений имеет два решения

hello_html_m584cb2c4.png

Решение:

Если x < 0, y = hello_html_m583ca81f.gif– не имеет смысла. Поэтому, ОДЗ x ≥ 0.
hello_html_4975f612.pnghello_html_c92ca8e.pnghello_html_2005c07a.png

hello_html_486fe73.gif; hello_html_m2da1e139.gif.
Т.к. x ≥ 0, то корни могут оба положительные или один положительный, а другой равен 0.

1. Если корни положительные, то
hello_html_e2c0d37.pnghello_html_m777e2e33.pnghello_html_e26cf7b.pnghello_html_19e40dda.pnghello_html_1e3504e7.pnghello_html_m7b8b46c1.pnghello_html_36ccaba5.png; hello_html_5c1e56f0.png.


2. Если x1 > 0; x2 = 0,  то

hello_html_75a7124a.pnghello_html_m4040aec1.pnghello_html_19e40dda.pnghello_html_m2f1d80be.pnghello_html_19e40dda.pnghello_html_7afad3f7.pnghello_html_m7b8b46c1.pnghello_html_m169e4b3f.png.

Объединяя решения  п.1 и п.2, получим a Є [1; 2].

Ответ:  a Є [1; 2].



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Задачи с параметрами относятся к наиболее сложным из задач, предлагающихся как на Едином государственном экзамене, так и на дополнительных конкурсных экзаменах в ВУЗы.

 

Они играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Затруднения, возникающие при их решении связаны с тем, что каждая задача с параметрами представляет собой целый класс обычных задач, для каждой из которых должно быть получено решение.

Наиболее понятный для школьников способ решения таких задач состоит в том, что сначала находят все решения, а затем отбирают те, которые удовлетворяют дополнительным условиям. Но это удается не всегда. Встречаются большое количество задач, в которых найти все множество решений невозможно, да нас об этом и не просят. Поэтому приходится искать способ решить поставленную задачу, не имея в распоряжении всего множества решений данного уравнения или неравенства, например, поискать свойства входящих в уравнение функций, которые позволят судить о существовании некоторого множества решений.

Надеюсь, что данные материалы помогут в работе коллег над данным видом задач.

Автор
Дата добавления 19.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров5048
Номер материала 398722
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх