Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Методическая разработка Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ

библиотека
материалов


Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №531 Красногвардейского района

Санкт-Петербурга












МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ





Подготовила

учитель математики

Смирнова Галина Васильевна










г. Санкт-Петербург
2015









Применение тригонометрических формул при решении планиметрических задач в ЕГЭ


Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике

и их значения от некоторых углов


В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к гипотенузе равно синусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего к углу, к гипотенузе равно косинусу этого угла;

В прямоугольном треугольнике отношение катета, противолежащего углу, к прилежащему к нему катету, равно тангенсу этого угла

В прямоугольном треугольнике отношение катета, прилежащего углу, к противолежащему к нему катету, равно котангенсу этого угла


Значения тригонометрических функций некоторых углов



hello_html_2e28ff68.gif



300



450



600


hello_html_m4107cffa.gif

hello_html_m41b8770f.gif

hello_html_m4afa92e8.gif

hello_html_m4564b07f.gif


hello_html_m4d610a87.gif

hello_html_m4564b07f.gif

hello_html_m4afa92e8.gif

hello_html_m41b8770f.gif


hello_html_9b5611d.gif

hello_html_mf86a50d.gif


1

hello_html_7136b11e.gif

Задания с решением

1.В треугольнике ABC hello_html_48938799.gif. Найдите AC.

Решение

hello_html_mcb0a6a5.png

Построим hello_html_1acf036b.gif. По свойству равнобедренного треугольника СН будет медианой, а значит АН=4,8. В прямоугольном треугольнике АСН hello_html_m57cfb7de.gif. Значит hello_html_77818962.gif

Найдем hello_html_b37e3db.gif. Рассмотрим основное тригонометрическое тождество для угла А

sin 2hello_html_mf42da8a.gif+ cos 2hello_html_mf42da8a.gif = 1 и подставим в него вместо hello_html_314a0ba.gif его значениеhello_html_m563889e7.gif hello_html_m233bf45f.gif.

Получим соs 2A+ hello_html_m2a3f0a65.gif = 1

Тогда соs 2A = 1-hello_html_m2a3f0a65.gif; соs 2A =1 hello_html_m360a090.gif ; соs 2A =hello_html_29ac1c35.gif

Будем извлекать квадратный корень с учетом того, что A – острый угол и его косинус положителен Получаем hello_html_4ab4a490.gif

Тогда hello_html_7c172bb8.gif

Ответ 5

2. В тупоугольном треугольнике ABC hello_html_m33a18169.png, высота AH равна 20. Найдите hello_html_m435e26fc.png.

Решение

hello_html_7e6f0e69.png

Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_m3702480a.gif. В нем hello_html_19b0bc46.gif.По теореме Пифагора hello_html_20028ed3.gif

Тогда hello_html_aefc0ac.gif

Ноhello_html_3122daf3.gif, так как эти углы смежные. Тогда hello_html_m4a16183d.gif

По формулам приведения получаемhello_html_3d6d3c2c.gif

Ответ -0,6

3.В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, hello_html_m3b4de93f.png, тангенс внешнего угла при вершине A равен hello_html_m22289429.png. Найдите AC.

Решение

hello_html_305d2db8.png

Углы МАС и САH – смежные. Их сумма равна 180º.Тогда по формулам приведения hello_html_med84f44.gif

Построим CH – высоту. Тогда она и медиана и потому AH=4.Из треугольника ACH hello_html_m518fd113.gif Откуда hello_html_m2d245450.gif Найдем hello_html_m49474719.gif.

hello_html_m1c9a2fd5.gifПодставим в это тождество найденное значение тангенса.

hello_html_m3891e5b4.gifhello_html_4b4ee215.gifhello_html_6c215367.gif

hello_html_m7fcbdace.gifhello_html_2d3784a4.gifПолучаем hello_html_6bdecdea.gif

Ответ 7


4.В треугольнике АВС угол А равен 45º, угол В равен 30º, ВС = 8. Найти АВ

Решение

hello_html_m2daa9.png

Так как сумма углов в треугольнике 180º, то угол С=180º- 30º-45º=105º,

Применим теорему синусов hello_html_32ace6d6.gif , то есть hello_html_m68e80135.gif

Найдем hello_html_2f7b5ba6.gif. Применим формулы сложения

hello_html_m396757bd.gif

Имеем hello_html_1d8434f7.gif

Ответhello_html_m74a45399.gif

5. Трапеция вписана в окружность радиуса 12. Её большее основание образует с боковой стороной угол, синус которого равен 5/8, а с диагональю – угол, косинус которого равен 4/5. Найти площадь трапеции.

Решение

hello_html_458ac2f1.png

Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная

hello_html_m26b80dfa.gif

Так как окружность описана около трапеции, то она описана и около треугольника ACD.Применим к этому треугольнику теорему синусовhello_html_m6990221f.gif

получаемhello_html_m2fe9765b.gif Отсюда имеем hello_html_6e73d684.gif; hello_html_m1e5c7829.gif

пусть СМ=h – высота. Из треугольника CMА получаемhello_html_m48f13414.gif, то есть hello_html_m59f4d7bd.gif.Тогда hello_html_41c020c1.gif По теореме Пифагора hello_html_4aad2f27.gif

Из треугольника CMD получаем по теореме Пифагора hello_html_25f0cdc4.gifТак как трапеция равнобедренная, то hello_html_7952c7da.gif

hello_html_m4991c5b6.gif

Тогда площадь трапеции равна S=hello_html_25a97b09.gif

Задания для самостоятельного решения

  1. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_276213f5.png. Найдите hello_html_m11c5ca85.png.

  2. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m68725df5.png. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  3. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m43b2f437.png, hello_html_m35e2ae92.png. Найдите BC.

  4. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_594b628b.png, hello_html_m4f234635.png. Найдите AB.

  5. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m3e99fb30.png, hello_html_3f5e1b17.png. Найдите BC.

  6. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m452d09a8.png, hello_html_m35e2ae92.png. Найдите AB.

  7. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m29cbcfc2.png, hello_html_5a9a8be9.png. Найдите AB.

  8. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_4bfa1bc9.png, hello_html_468592b4.png. Найдите hello_html_m79c0c425.png.

  9. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_4bfa1bc9.png, hello_html_26edb6dc.png. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  10. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_39406a91.png, hello_html_4c4a339d.png. Найдите hello_html_m11c5ca85.png.

  11. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, CH  — высота, hello_html_m98a547.png, hello_html_415fff85.png. Найдите BH.

  12. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, CH  — высота, hello_html_m98a547.png, hello_html_m1d97b331.png. Найдите AH.

  13. В треугольнике ABC hello_html_5a4007bb.png, hello_html_m4f234635.png. Найдите AB.

  14. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, hello_html_5f11307d.png, hello_html_m4f234635.png. Найдите AC.

  15. В треугольнике ABC hello_html_3a90193b.png, hello_html_4bfa1bc9.png. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  16. В треугольнике ABC hello_html_3dcb6f0a.png, hello_html_m3b4de93f.png. Найдите hello_html_m79c0c425.png.

  17. В треугольнике ABC hello_html_11e23383.png, hello_html_39406a91.png. Найдите hello_html_m11c5ca85.png.

  18. В треугольнике ABC hello_html_5a4007bb.png, hello_html_m35e2ae92.png. Найдите высоту CH.

  19. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, hello_html_110f412b.png, hello_html_m3c76722c.png. Найдите высоту CH.

  20. В треугольнике ABC hello_html_m33a18169.png, высота CH равна 20. Найдите hello_html_m79c0c425.png.

  21. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 4, hello_html_m3b4de93f.png. Найдите hello_html_13af9102.png.

  22. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 20, hello_html_4bfa1bc9.png. Найдите hello_html_m208462e4.png.

  23. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, AH  — высота, hello_html_4bfa1bc9.png, hello_html_331332da.png. Найдите hello_html_13af9102.png.

  24. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, AH  — высота, hello_html_m3b4de93f.png, hello_html_45c37801.png. Найдите hello_html_m208462e4.png.

  25. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, CH  — высота, hello_html_37de2e99.png, hello_html_331332da.png. Найдите hello_html_m79c0c425.png.

  26. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, высота CH равна 20, hello_html_37de2e99.png. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  27. В тупоугольном треугольнике ABC hello_html_m33a18169.png, высота AH равна 20. Найдите hello_html_m435e26fc.png.

  28. В тупоугольном треугольнике ABC hello_html_m33a18169.png, AH  — высота, hello_html_65e16f1f.png. Найдите hello_html_m742e4b93.png.

  29. В тупоугольном треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 24, hello_html_m23ea12fa.png. Найдите hello_html_m435e26fc.png.

  30. В тупоугольном треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 4, hello_html_53a4d3f5.png. Найдите hello_html_7d8e9988.png.

  31. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 7, hello_html_209f9be8.png. Найдите hello_html_13af9102.png.

  32. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 24, hello_html_7c9db1a7.png. Найдите hello_html_m208462e4.png.

  33. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, высота AH равна 4, hello_html_m338e0d6a.png. Найдите hello_html_2fc8a968.png.

  34. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, CH  — высота, hello_html_m6830c66f.png, hello_html_m5bb79846.png. Найдите BH.

  35. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, CH  — высота, hello_html_m2d400abe.png, hello_html_m5bb79846.png. Найдите AH.

  36. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_2e81e67e.png. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  37. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m4f234635.png. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

  38. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_3f5e1b17.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  39. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m4f234635.png. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

  40. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_2e81e67e.png. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

  41. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m35e2ae92.png. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  42. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_4e50ef16.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  43. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_70b1bcec.png. Найдите синус внешнего угла при вершине B.

  44. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m35e2ae92.png. Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

  45. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m3c76722c.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  46. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m68725df5.png. Найдите синус внешнего угла при вершине

  47. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m29539090.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  48. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_3548e483.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине B.

  49. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m3b4de93f.png, hello_html_m29cbcfc2.png. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  50. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_4bfa1bc9.png, hello_html_468592b4.png. Найдите косинус внешнего угла при вершине A.

  51. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_39406a91.png, hello_html_m29cbcfc2.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  52. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_63706015.png, hello_html_37c11735.png. Найдите тангенс внешнего угла при вершине A.

  53. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, hello_html_m43088e1.png, hello_html_4f64e413.png. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  54. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен 0,1. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  55. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_7c651e4f.png. Найдите hello_html_m79c0c425.png.

  56. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m63e8224.png. Найдите hello_html_m11c5ca85.png.

  57. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_7c651e4f.png. Найдите hello_html_m201cef22.png.

  58. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_12c9ba1f.png. Найдите hello_html_m668502.png.

  59. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m3b3b7117.png. Найдите hello_html_m492664e6.png.

  60. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен -0,1. Найдите hello_html_m79c0c425.pngЗадание B6 (№ 27394)

  61. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m20c6b049.png. Найдите hello_html_m11c5ca85.png.

  62. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m3b3b7117.png. Найдите hello_html_m201c8c38.png.

  63. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m1f3f29dd.png. Найдите hello_html_m668502.png

  64. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, косинус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m3b3b7117.png, hello_html_m43b2f437.png. Найдите BC.

  65. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, тангенс внешнего угла при вершине A равен hello_html_m22289429.png, hello_html_13cc6b74.png. Найдите AC.

  66. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, тангенс внешнего угла при вершине A равен hello_html_68a5ea69.png, hello_html_13cc6b74.png. Найдите BC

  67. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_7c651e4f.png, hello_html_594b628b.png. Найдите AB.

  68. В треугольнике ABC угол C равен hello_html_69114da8.png, синус внешнего угла при вершине A равен hello_html_m63e8224.png, hello_html_m3e99fb30.png. Найдите BC.

  69. В треугольнике ABC hello_html_m33a18169.png, hello_html_m2efb9a1f.png. Найдите синус внешнего угла при вершине A.

  70. В треугольнике ABC hello_html_83ed7f4.png, hello_html_m3b4de93f.png, тангенс внешнего угла при вершине A равен hello_html_m22289429.png. Найдите AC.

  71. В параллелограмме hello_html_1d3d1d64.pnghello_html_m1a71ba0b.png. Найдите hello_html_m201c8c38.png.

  72. hello_html_33934e70.jpg

  73. В параллелограмме ABCD hello_html_m68b025c9.png. Найдите hello_html_m201cef22.png.

  74. Найдите синус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс. 

hello_html_m4470c514.jpg

  1. Найдите косинус угла наклона отрезка, соединяющего точки O(0, 0) и A(6, 8), с осью абсцисс.

hello_html_663572db.jpg

Теорема синусов и теорема косинусов


ТЕОРЕМА синусов: Во всяком треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов. Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной около треугольника окружности, то есть:hello_html_m20d9c962.gif

ТЕОРЕМА косинусов: Во всяком треугольнике квадрат стороны, лежащей против некоторого угла, равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними, то есть: hello_html_m6fa6a246.gif

Следствие.

В треугольнике квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный. В треугольнике квадрат большей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

В треугольнике квадрат большей стороны больше суммы квадратов двух других сторон тогда и только тогда, когда треугольник тупоугольный.

ТЕОРЕМА Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Задания с решениями

1.Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна hello_html_57c6e99d.gif, а острый угол равен 60º.

Решение

hello_html_m212adc4.jpghello_html_m53d4ecad.gif

Так как угол А равен 60º, то угол D равен 120º. Применим теорему косинусов к треугольнику ADC.

hello_html_6d4db6f1.gif, то есть hello_html_646e4b91.gif.

Так как hello_html_m1d333d4d.gif, то получаем

hello_html_m7872b011.gif

hello_html_m7fe793ae.gif

hello_html_m66437f50.gif

hello_html_m7f72bbbc.gif

Ответ 15


2.Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен hello_html_m1f4803a3.png. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение

hello_html_m20a038be.jpg


По теореме синусов hello_html_m3db9332d.gif

Тогда hello_html_6001cfaf.gif . Откуда получаем hello_html_m657ea0dc.gif, 2R= 2, R=1

Ответ 1


3.Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Решение

hello_html_7a31498.jpg

По теореме синусов hello_html_m3db9332d.gif, но hello_html_m2495b877.gif.

Тогда получаем hello_html_5367a1d9.gif. Откуда следует, что hello_html_m433c22b8.gif.

Так как угол С тупой, то угол С равен 150º

Ответ 150º

4. Площадь треугольника АВС равна 50, АС = 10, угол С равен 30 º.Найти АВ

Решение

hello_html_599d69e0.png

Площадь треугольника АВС можно найти по формуле hello_html_54cfb09e.gif.С учетом того, что АС = 10, угол С равен 30º,а S=50, получим уравнение hello_html_mc67a36e.gif.

Тогда hello_html_723c9740.gif, hello_html_mcbe8b0e.gif, hello_html_m660a161.gif.

Найдем АВ по теореме косинусов.hello_html_2527829c.gif

hello_html_m22878e0f.gif

hello_html_m4065b168.gif

hello_html_m49f40ba3.gif

Ответ hello_html_m25bb849e.gif

5. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение


hello_html_m494dd935.png


Проведем высоту СК. Так как треугольник равнобедренный, то СК медиана и АК=КВ=24

Из треугольника АСК найдем по теореме Пифагора СК.hello_html_7123acd4.gif

hello_html_c6ba578.gif

Из треугольника АСК найдем синус угла А.hello_html_2365bad1.gif

По теореме синусов для треугольника АВС имеем hello_html_m4c8407a9.gif.

Тогда hello_html_15882643.gif, 2R=50, R=25.

Ответ 25.

6. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен hello_html_24c530b4.gif , Основание треугольника равно 6 .Найти длину боковой стороны

Решение

hello_html_m7d99ba87.png

Обозначим hello_html_299783ef.gifПрименим теорему косинусов hello_html_m1c9e4d05.gif

Подставим значения hello_html_m41df67a2.gif

Получаем hello_html_m684aabad.gif

hello_html_m69893c6.gif

hello_html_77212b8c.gif

hello_html_m40120084.gif

Ответ hello_html_m5a964b1d.gif

7. Стороны треугольника равны 25 , 39 и 56 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов.

Решение

hello_html_7a31498.jpghello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Пусть АС=39,ВС=25,АВ=56.Тогда больший из углов –это угол С

Определим вид угла С.hello_html_m5eefad67.gif, hello_html_m6b8f7770.gif.Так как hello_html_m448af629.gif>hello_html_m2a4a2297.gif, то угол С тупой.

Найдем площадь по формуле Герона.

hello_html_1320d5bf.gifhello_html_m281105a3.gif

hello_html_m443c9998.gif

С другой стороны, hello_html_54cfb09e.gif

Получаем hello_html_3a42d765.gif, откуда hello_html_262f1124.gifТогда так как угол С тупой, то


hello_html_262a26ea.gif

Вторым способом можно найти косинус угла С по теореме косинусов: hello_html_m489fe248.gif

hello_html_m525760c9.gif

hello_html_24e5de17.gif

Ответhello_html_44549f6d.gif

8. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 .найти отрезки, на которые делит гипотенузу биссектриса прямого угла треугольника.

Решение



hello_html_65ccd46c.png



Пусть АС=8, ВС=6

По теореме Пифагора найдем АВ.hello_html_m708377e2.gif

Пусть СМ – биссектриса. Обозначим АМ=х, тогда МВ=10-х

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеемhello_html_5829dee.gif, то есть получаем уравнение hello_html_2c60880c.gif. Откуда hello_html_55db7684.gif, hello_html_m51c8a99d.gif

То есть АМ=hello_html_m2329822c.gif, тогда МВ=10-hello_html_m2329822c.gif=hello_html_m62151c35.gif

Ответ hello_html_m2329822c.gif,hello_html_m62151c35.gif



Задания для самостоятельного решения


  1. Сторона AB треугольника ABC равна 40. Противолежащий ей угол C равен hello_html_m31024ce9.gif. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

hello_html_m20a038be.jpg

  1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 36, равен hello_html_m31024ce9.gif. Найдите сторону AB этого треугольника.

hello_html_2d8d87e2.jpg



  1. Угол C треугольника ABC, вписанного в окружность радиуса 3, равен hello_html_m31024ce9.gif. Найдите сторону AB этого треугольника.

hello_html_2d8d87e2.jpg

  1. Сторона AB треугольника ABC равна 1. Противолежащий ей угол C равен hello_html_m5fa78ad5.png. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

hello_html_m68265c7c.jpg


  1. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=10 , АС = 4, угол А равен 45º

  2. Найти площадь треугольника АВС и длину стороны ВС , если АВ=8 , АС = 14, угол А равен 60º

  3. Площадь треугольника АВС равна 60, АС = 15, угол С равен 30º.Найти ВС .

  4. В треугольнике АВС угол А равен 60º, угол В равен 45º, АС = 10. Найти ВС.

  5. В параллелограмме стороны равны 4 и 8 , а один из углов равен 135º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  6. В параллелограмме стороны равны 7 и 4 , а один из углов равен 150 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  7. В параллелограмме стороны равны 10 и 5 , а один из углов равен 120 º . Найти площадь параллелограмма и его диагонали

  8. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 4\5 , Основание треугольника равно 10 .Найти длину боковой стороны.

  9. В равнобедренном треугольнике косинус угла при вершине равен 3\5 , Основание треугольника равно 8 .Найти длину боковой стороны

  10. Стороны треугольника равны 25 , 29 и 36 .Найти площадь треугольника и косинус большего из углов

  11. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти площадь треугольника и косинус меньшего из углов

  12. Стороны треугольника равны 29, 25 и 6 .Найти медиану треугольника, проведенную к меньшей стороне.

  13. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13, а основание 10.Найти длину отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит биссектрису угла при вершине треугольника.

  14. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противолежащий катет на отрезки длиной 4 и 5. Найти площадь треугольника.



Автор
Дата добавления 28.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров228
Номер материала ДВ-206078
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх