Исследовательская и проектная деятельность учащихся

МУНИЦИПАЛЬНЫЙ ЭТАП

   муниципального этапа

Российской научной конференции школьников

«Открытие»

Секция: математика

Тема: «Законы геометрии в рисунках Эшера»

Автор: Миронова Марина Михайловна, Миронова Ирина Михайловна

Научный руководитель: Кужель Ольга Анатольевна

Место выполнения работы: МБОУ «Лицей №3»

2012

Содержание

•      Введение…………………………………………………………………………………………3

•      Цель работы…………………………………………………..............................................3

•      Задачи…………………………………………………………..............................................3

•      Биография Эшера……………………………………………………………………………..4

•      Исследование №1………………………………………………………………………………5

•      Исследование №2………………………………………………………………………………5

•      Исследование №3……………………………………………………………………………...5

•      Исследование №4……………………………………………………………………………..6

•      Практическое применение………………………………………………………………….7

•      Изразцы Эшера……………………………………………………………………………….8

•      Заключение…………………………………………………………………………………...10

•      Использованная литература……………………………………………………………..11

Введение

Большинство из нас, людей, живущих в современном мире, даже не знают, что был когда – то такой талантливый художник,  дар которого был феноменальным. Его имя Мауриц  Эшер. Необыкновенные рисунки, которые он создавал, используя различные геометрические способы, до сих пор привлекают внимание настоящих ценителей прекрасного.

Цель работы: Исследовав некоторые из самых знаменитых  рисунков Эшера, доказать, что они созданы  с помощью различных способов геометрического переноса.

Задачи:

     Найти практическое применение

рисунков Эшера;

     Выяснить какие из рисунков

называются изразцами.

Объект исследования: геометрический перенос в рисунках Маурица Эшера.

Предмет исследования: рисунки Эшера.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы.

Биография Эшера.

Мауриц  Корнелис Эшер (1898 – 1972) один из наиболее известных художников-графиков в мире. Его работы любимы миллионами людей по всему миру.

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Эшер играл с архитектурой, перспективой и пространством. Его творчество продолжает впечатлять и удивлять миллионы людей по всему миру. В  работах этого художника мы замечаем его наблюдения за миром, который нас окружает и выражением его фантазии. Эшер показывает нам, что реальность прекрасна и очаровательна.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

В 1970-м - операция и длительная госпитализация. Эшер переезжает в Rosa-Spier-Foundation Laaren в дом для престарелых художников. Публикуется "De werelden van M.C.Escher ( Мир Эшера ).

М.С Эшер умирает в 1972 году в лютеранской больнице Хилверсума (Hilversum).

Исследование №1.

Рассмотрим этот рисунок художника, на котором изображены   паучки коричневого цвета. Но, если посмотреть на него внимательнее, можно заметить двух паучков синего цвета. Давайте разберемся, каким же способом Эшер добился столь поразительного эффекта. Представьте себе точку  О, через которую проведены четыре прямые. Вероятно,  это похоже на центральную симметрию, в которой перенос изображения  осуществляется относительно данной точки,  на нашем рисунке т. О. Следовательно, это  произведение искусства Эшер создал как раз, используя данный метод.

Исследование №2 «Многогранники»

Рассмотрим следующий рисунок художника, на котором изображены геометрические объемные фигуры. Чтобы  узнать каким способом Эшер создал эту картину, давайте представим вектор  , относительно которого можно провести две белые линии параллельные данному вектору, которые

 фигуру желтого цвета преобразуют в фигуру розового цвета, так из фигуры розового цвета можно получить фигуру зеленого цвета, значит,

такого эффекта, когда одна фигура выходит из другой фигуры, можно добиться, только в совершенстве  овладев  методом параллельного переноса.

Исследование №3

«Спирали и мозаика»

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными, нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость. На данном рисунке присутствуют:  искаженная мозаика и спиралевидные  траектории полета птиц и рыб. Однако Эшер не смог обойтись и без своей любимой симметрии.

Геометрический метод построения косых изображений состоит в том, что сначала картину расчерчивают на квадратные клетки, затем матрицу растягивают, превращая ее в трапецию, после чего художник копирует картину, заполняя трапециевидные клетки и тщательно следя за возможно более точным соответствием содержимого каждой растянутой клетки содержимому квадратного оригинала.

Исследование №4

«Логика пространства»

Попытаемся рассмотреть данный рисунок с точки зрения стереометрии.

Выделим для начала пространственные плоскости, их  больше пяти, следовательно

рисунок представляет собой трехмерное изображение. 

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемых особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом.

Исследование №5 «Золотое сечение или божественная пропорция»

Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – теорема Пифагора,

другое- деление отрезка в среднем

 и крайнем отношении.

И. Кеплер

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении) — деление непрерывной величины на две части в таком отношении, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая ко всей величине.

Знание законов золотого сечения или непрерывного деления, как его называют некоторые исследователи учения о пропорциях, помогают художнику творить осознанно и свободно. Используя закономерности золотого сечения, можно исследовать пропорциональную структуру любого художественного произведения, даже если оно создавалось на основе творческой интуиции. Эта сторона дела имеет немаловажное значение при изучении классического наследия и при искусствоведческом анализе произведений всех видов искусств.

 Сейчас с уверенностью можно сказать, что золотая пропорция - это та основа формообразования, применение которой обеспечивает многообразие композиционных форм во всех видах искусства и дает основание создать научную теорию композиции и единую теорию пластических искусств. Оно также является основным геометрическим методом создания  эшером  его рисунков. Композиция  данного рисунка построена на "золотых треугольниках", точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника.

Ось полотна находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения.

Таким образом, Эшер использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение

Практическое применение

Исследовав рисунки Эшера, мы пришли к выводу о том, что их можно применять на практике.

Способы применения:

 Я бы хотела посоветовать учителям математики использовать рисунки Эшера при объяснении тем по геометрии, связанных с движением: центральная симметрия, осевая симметрия, параллельный перенос  и др.

1).Использование учителями математики на уроках геометрии, для наглядной демонстрации темы урока;

Так же рисунки этого  художника можно использовать для украшения интерьера своей комнаты, дома, квартиры, однако, способы такого применения существуют  разные, мы  выявили лишь несколько из них.                         

2). Роспись стен под рисунки Эшера;

3).Использовать  рисунки  как картины  знаменитых  художников;

4). Использовать рисунки Эшера, нанесенные на строительные  материалы, например, керамическую плитку, для   отделки помещений.  

5).Использование рисунков Эшера как чертежи для создания редких  зданий.

6) Использование рисунков художника для украшения одежды, добавив ей  ярких  цветов и неповторимый стиль.

Так могут выглядеть фасады домов Старого Оскола, украшенные рисунками Эшера.

Наша модель платья.

Изразцы Эшера

Для того  чтобы выяснить, какие из рисунков Эшера являются изразцами,

давайте сначала обратимся  к толкованию слова изразцы.

Изразцы́ (Кафель от нем. Kachel) — керамические (глиняные) плитки специальной коробчатой формы, разновидность кафеля, предназначенная для облицовки стен, печей, каминов, фасадов зданий и др.

Многие рисунки Эшера содержат взаимосвязанные изразцы в форме птиц, рыб, рептилий, бабочек и других животных. Будучи совсем юным, живописец искал пути, которые дали бы возможность соединить элементы, казалось бы, по своей природе несоединимые, то есть не имеющие общих граней.

Получив высшее образование в художественной школе, Эшер занялся проблемой профессионально. В 24 года он посетил Испанию, и в Гранаде увидел причудливые панно из керамических плиток, созданных древними дизайнерами, и украшавшими Мавританский дворец XIII столетия. Эти первые впечатления вдохновили художника на создание удивительных образцов мозаики.

Эшер испробовал множество различных способов создания необычного вида плиток.

Метод его стал очень прост после того, как художник выполнил несколько работ, и буквально ошеломил архитекторов и строителей. Предположим, у вас имеется набор красных и черных плиток. Можно выложить их, например, в форме шахматной доски, чередуя красные и черные. В этом случае повторяющейся единицей был бы блок из четырех квадратов: двух красных и двух черных. Стыкуя блоки один с другим, можно создать не ограниченное размером огромное полотно. Если бы все плитки были одного цвета, повторяющейся единицей была бы одна единственная.

Чтобы сделать работы интересными, мастер часто скрывал основной геометрический образец, стыкуя различные формы и цвета. Когда смотришь на одну из таких мозаик, кажется, что каждая керамическая плитка выполнена в виде рыбы. Казалось бы, ничего особенного: рыбы каким-то образом соединены в многократно повторяющийся рисунок. Нет ничего проще, чем вынуть одну из общего рисунка. Однако сделать это не удастся. И все из-за того, что повторяющаяся единица вовсе не одна рыба, а несколько. Имеющие различную окраску, они и составляют основной блок. Каждый из образцов — загадка, шарада. Невозможно угадать, какова форма основы рисунка.

Американский математик Дорис Шатчнейдер, исследуя записи Эшера, пришел к выводу, что тот создал собственную математическую систему для классификации изразцов. Он использовал специальные символы для описания того, как состыковать их между собой. Система позволила ему найти множество способов для скрепления самых невероятных форм, которые, казалось бы, по всем математическим канонам нельзя соединить воедино. Даже при самом близком рассмотрении невозможно приметить ни одного связующего элемента или материала. Над секретом Эшера до сих пор ломают головы дизайнеры всего мира. Однако пока еще никому не удалось разгадать тайну гениального художника, а его панно, выложенные самыми невероятными рисунками, — плоды мастерства и воображения, украшают лишь стены музеев да еще… редкие частные коллекции.

Рисунки  Эшера, состоящие из взаимосвязанных изображений  птиц, животных, расположенных согласно законам симметрии или параллельного переноса, называются изразцами.

Заключение

«Чтобы жить в своеобразном мире, принять то, чего мы не можем понять, ждать спокойно то, что нас ожидает, вы должны быть мудрее меня»

М. К. Эшер.

·         Во время   создания работы мы узнали много нового о жизни голландского художника, а также познакомились с некоторыми из его самых известных работ, рассмотрев которые, мы

смогли доказать, что при их  создании Эшер пользовался различными способами геометрических преобразований.

·         Так же мы выявили некоторые способы практического применения

рисунков голландского художника и узнали какие из его работ называются изразцами.  

Использованная литература

     http://www.ssa.ru;

     http://www.mcescher.ru;

     http://www.ivd.ru;

     http://www.liveinternet.ru;