Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Мини-курс по теории вероятностей
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Мини-курс по теории вероятностей

Выберите документ из архива для просмотра:

190.23 КБ Задачи B10 с монетами.mht
24.03 КБ Занятие 1.docx
27.91 КБ Занятие 2.docx
29.27 КБ Занятие 3.docx
196.9 КБ Правила комбинаторики в задаче B10.mht
174.87 КБ Тест по теории вероятностей (1 вариант).mht
1.89 МБ Урок 1.pptx
1.33 МБ Урок 2.pptx
1.19 МБ Урок 3.pptx
858.64 КБ Урок 4.pptx

Выбранный для просмотра документ Занятие 1.docx

библиотека
материалов

Занятие 1


В нашей жизни часто приходится иметь дело со случайными явлениями, то есть ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть, например мы не можем точно сказать при подбрасывании монеты упадет она вверх гербом или цифрой. Аналогично не можем точно сказать, сколько очков выбьет стрелок на соревнованиях. Говоря о случайных событиях в нашем сознании возникает представление о вероятности явления.

Под испытанием в теории вероятностей принято принимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание.

Пример: бросаем кубик – это испытание. Бросаем два кубика – другое испытание.

Результатом испытания является событие.

Событие бывает:

  • достоверное (всегда происходит в результате испытания);

  • невозможное (никогда не происходит);

  • случайное (может произойти или не произойти в результате испытания).

Например:

  1. выпадет восемь очков (невозможное);

  2. выпадет не более 6 очков (достоверное);

  3. выпадет число три (случайное).

Когда мы говорим о соблюдении набора условий данного испытания, мы имеем в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом может быть большое количество неконтролируемых факторов (например, погода, ветер и т.д.), которые трудно или невозможно учесть. Следовательно, значение неконтролируемых факторов могут быть различными при каждом повторении испытания, поэтому результаты испытания оказываются случайными. Событие может произойти или не произойти.

Теория вероятностей рассматривает именно такие события, при этом предполагается, что испытание может быть повторено любое количество раз.

Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо – событие. Другой пример события – это выпадение определенного числа очков при бросании игральной кости.

В теории вероятности события обозначаются заглавными латинскими буквами: A, B, C, D

Определение: События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания.

События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания.

Пример: испытание – один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка.

События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка.

Определение: Событие А называется независимым от события В, если вероятность появления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Пример: Уточним понятие независимых событий. Будем бросать две монеты и обозначим как событие A тот факт, что первая монета упадет гербом, событие B – вторая монета упадет гербом, событие C – на одной (и только на одной) монете выпадет герб. Тогда события A, B, C попарно независимы, но два из них полностью определяют третье. Действительно, A и B независимы, так как результаты второго броска никак не зависят от первого броска, A и C (а также B и C) могут показаться зависимыми, но перебором вариантов можно получить, что p(AC) = 1/4 = p(A)p(C), значит, они по определению независимые. С другой стороны, легко убедиться, что любые два события однозначно определяют третье. На этом примере хорошо видно, что события могут быть попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Операции над событиями

1.Сумма

Событие С называется суммой А+В, которое представляет собой событие, состоящее из появлении хотя бы одного из событий А и В.

Пример: Бросается кубик событие А – выпадет число 2. Событие В – выпадет нечетное число. Тогда событие С=А+В. Будет состоять в выпадении двойки или нечетного числа

2. Произведение

Событие C называется произведением A и B, если оно состоит из всех событий, входящих и в A, и в B.

Пример: С=А∙В (А- выпадет 3, В – выпадет нечетное число). Тогда С состоит в выпадении только числа 3, так как 3 является нечетным числом.

3.Противоположное

Событие называется противоположным событию A, называется событие, состоящее в непоявлении события А. Обозначается противоположное событие символом hello_html_m2fb827e3.gif.

Пример: Противоположными событиями являются промах и попадание при выстреле, или выпадении герба или цифры при одном подбрасывании монеты.

Вероятность событий

а)статистический подход.

Рассмотрим некоторое количество испытаний, в результате которых появилось событие А. Пусть было произведено n испытаний, в результате которых событие А появилось ровно m раз. Тогда отношение hello_html_m111ee78a.gif- называют относительной частотой.

Также при большом количестве повторений испытания частость событий мало изменяется и стабилизируется около определенного значения, а при небольшом количестве повторений она может принимать различные значения. Каждое такое значение в конкретном случае принято называть вероятностью события А и обозначают Р(А).

Так как n всегда больше либо равно N, то вероятность заключена в интервале: hello_html_m166921bf.gif.

Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадет герб, а в 50% – цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний.

б)классическое определение.

В некоторых случая вероятности событий могут быть легко определены исходя из условий испытаний. Пусть испытание имеет n возможных исходов, то есть событий, которые могут появиться в результате данного испытания. При каждом повторении возможно появление только одного из данных исходов (то есть все n исходов несовместны). Кроме того, по условиям испытания нельзя сказать какие исходы появляются чаще других, то есть все исходы являются равновозможными. Допустим теперь что при n равновозможных исходах интерес представляет событие А, которое появляется только при m исходах и не появляется при остальных n-m исходах. И принято говорить, что в данном испытании имеется n случаев, из которых m благоприятствуют появлению события А. В таком случае вероятность можно вычислить, как отношение числа случаев благоприятствующих появлению события А (т.е. m), к общему числу всех исходов n: hello_html_m3bee6c89.gif.

Пример 1. Из колоды с 36 перемешанными картами наудачу извлекается одна карта. Извлечение каждой карты из 36 является равновозможным событием. Поэтому вероятность извлечения "короля" составляет 4/36 = 1/9, карты выбранной масти – 9/36 = 1/4, карты выбранного цвета – 18/36 = 1/2.

Пример 2. Бросают две игральные кости. Требуется найти вероятность того, что сумма очков делится на 5. Возможные суммы очков, делящиеся на 5, равны 5 и 10. Событию "сумма очков равна 5" благоприятствуют события (1; 4), (2; 3), (3; 2), (4; 1), а событию "сумма очков равна 10" – события (4; 6), (5; 5), (6; 4). Таким образом, число благоприятствующих исходов равно 7, общее число равновозможных исходов – 6 " 6 = 36, поэтому вероятность события "сумма очков делится на 5" будет 7/36.

Пример 3. Вероятность извлечения белого шара (событие Б) из урны, содержащей три черных и четыре белых шара: p(Б) = 4/7.


Выбранный для просмотра документ Занятие 2.docx

библиотека
материалов

Занятие 2

Определение. Совокупность событий А1, А2, …, Аn называется полной группой событий, если выполняются следующие условия:

а) она описывает все возможные исходы;

б) события попарно независимы и не совместны.

Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Нам также известны вероятности hello_html_m1daba19.gif, hello_html_32067ced.gif, …, hello_html_m3e6a78b5.gif. Как можно найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает.

Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появлении одного из несовместных событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятности каждого из этих событий на собственную условную вероятность:

hello_html_5141a20e.gif.

Эту формулу также называют формулой полной вероятности.

Пример: В проведении операции по освобождению заложников участвуют 2 группы снайперов: 10 человек с винтовкой ОП21 и 20 человек с АКМ47. Вероятность поражения из ОП21 – 0,85, а АКМ47 – 0,65. Найти вероятность того, что при одном выстреле произвольного снайпера преступник будет поражен.

Решение. Пусть событие А – “преступник поражен”. Разобьем это событие на более простые. Преступник может быть поражен либо из ОП21, либо из АКМ47. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен ОП21 (событие Н1) равна 10/30. Вероятность того, что произвольный снайпер вооружен АКМ47 (событие Н2) равна 20/30.

Вероятность того, что преступник поражен равна:

hello_html_m592b86ce.gif

Составим задачу: Пусть дано событие А, оно может наступить при появлении одного из несовместных Событий В1, В2,…, Вn, которые образуют полную группу. Так как нам заранее не известно, какое событие наступит, их называют гипотезами. Допустим, что произведено испытание в результате, которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить как изменились вероятности гипотез, в связи с тем что событие А уже наступило. Другими словами определим следующие условные вероятности:

hello_html_m1a64be4a.gif, hello_html_m242b9bf6.gif, …, hello_html_3089c939.gif.

Определить данные вероятности можно при помощи формулы Бейеса:

hello_html_54b19929.gif,

Заменив hello_html_m2cc05e95.gif получим:

hello_html_2e647d9f.gif.

Пример: На склад поступило 1000 подшипников. Из них 200 изготовлены на 1-м заводе, 460–на 2-м и 340 – на 3-м. Вероятность того, что подшипник окажется нестандартным, для 1-го завода равна 0,03, для 2-го – 0,02, для 3-го – 0,01. Взятый наудачу подшипник оказался нестандартным. Какова вероятность того, что он изготовлен 1-м заводом?

Решение: Пусть A – событие, состоящее в том, что взятый Подшипник нестандартный, а – Н1, Н2, Н3, гипотезы, что он изготовлен соответственно 1-м, 2-м или 3-м заводом. Вероятности указанных гипотез составляют : P(H1)=200/1000=0.2, P(H2)=460/1000=0.46, P(H1)=340/1000=0.34.

Из условия задачи следует, что р1Н1(А)=0,03; р2Н2(А)=0,02; р3Н3(А)=0,01.

Найдем вероятность того, что подшипник, оказавшийся нестандартным, изготовлен 1-м заводом. По формуле Бейеса имеем:

hello_html_m4e681a7f.gif


Выбранный для просмотра документ Занятие 3.docx

библиотека
материалов

Занятие 3


  • Задана серия из n испытаний. Событие А в каждом испытании может произойти с вероятностью p и не произойти с вероятностью q = 1 – p. Событие А происходит в каждом испытании независимо от того, произошло ли оно в предыдущем испытании.

  • Тогда вероятность того, что в серии из n испытаний событие А наступит ровно k раз будет вычисляться по формуле:

hello_html_m7ae58128.gif

Формула бернулли



Изучение случайных величин требует связи этих величин с определенными событиями, которые заключаются в попадании случайной величины в некоторый интервал и для которых определены вероятности. Другими словами необходимо связать случайную величину с полем данного испытания.

Для лучшего понимания рассмотрим пример. При бросании кости могли появиться цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, так как это зависит от многих случайных величин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле число очков есть величина случайная; и числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 – есть возможные значения этой величины.

Определение: Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.

Будем обозначать случайные величины прописными (заглавными) буквами: X, Y, Z, а их возможные значения соответствующими строчными буквами x, y, z. Если величина Х имеет три значения то они будут обозначены так: х1, х2, х3 .

Обычно рассматриваются два типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Рассмотрим следующий пример: Число мальчиков пошедших в секцию бальных танцев среди 100 пришедших туда людей есть случайная величина, которая может принимать следующие значения 0, 1, 2, …, 100. Эти значения отделены друг от друга промежутками, в которых нет возможных значений Х . таким образом в этом примере случайная величина принимает отдельные изолированные значения.

Приведем второй пример: расстояние, которое пролетит диск при метании, есть величина случайная. Действительно величина зависит от многих факторов, например от ветра, температуры и других факторов, которые не могут быть полностью учтены. Возможные значения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а;b).

В данном примере случайная величина может принять любое из значений промежутка (а;b). Здесь нельзя отделить одно возможное значение от другого промежутком, не содержащим возможных значений случайной величины.

Уже из сказанного можно заключить о том, что целесообразно будет различать случайные величины, принимающие лишь отдельные изолированные значения, и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток.

Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Еще примерами непрерывных случайных величин могут быть спортивный результат в беге или прыжках, рост и масса тела человека, сила мышц и другие.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Для задания дискретной случайной величины не достаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, в виде формулы и графически.

При табличном задании первая строка содержит возможные значения, а вторая – их вероятности:

Х

x1

x2

xn

p

p1

p2

pn


Сумма вероятностей второй строки таблицы равнеа единице:

hello_html_m3ba483bc.gif.

Если множество возможных значений Х бесконечно, то ряд hello_html_m4e477585.gif сходится и его сумма равна единице.

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (хi; pi), а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Для непрерывной случайной величины график выглядит в виде кривой непрерывной на данном промежутке.


Как известно закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Также для решения многих задач не нужно знать распределения случайной величины, а достаточно знать лишь некоторые обобщающие числовые характеристики этого распределения.

Одной из таких характеристик является математическое ожидание. Для более наглядного определения рассмотрим подход к этому понятию на конкретном примере.

Пусть имеется дискретная случайная величина Х, которая может принимать значения х1, х2, …, хn. Вероятности которых соответственно равны р1, р2, …, рn. Тогда математическое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством:

hello_html_m746456fb.gif.

Пример: Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:

Х

-4

6

10

Р

0,2

0,3

0,5


Решение: М(Х)=-4∙0,2+6∙0,3+10∙0,5=6

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайно величины вокруг ее среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена. Именно такие задачи решает дисперсия.

Определение: Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонений случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсия обозначается, как D(x)

D(Х)=M[X-М(Х)]2=M[(x-x)2]

Пример: Найти дисперсию случайной величины Х, которая задана следующим законом распределения:


Х

1

2

5

p

0,3

0,5

0,2


Решение. Найдем математическое ожидание:

hello_html_5bbeae2c.gif.

По определению:

hello_html_4f096e19.gif.

Используя формулу D(Х)=M(X)2-[М(Х)]2 можно найти дисперсию гораздо быстрее:

hello_html_m18a86bbb.gif.

Для оценки рассеяния всевозможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие величины.

Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии hello_html_m7e47137c.gif

  1. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х и построить многоугольник распределения, заданной законом распределения:

Х

-4

6

10

р

0,2

0,3

0,5

а) б)

Х

0,21

0,54

0,61

р

0,1

0,5

0,4




В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 р. и десять выигрышей по 1 р. Найти закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца лотерейного билета.

  1. Дискретная случайная величина имеет только 2 возможных значения х и у, причем x


Выбранный для просмотра документ Урок 1.pptx

библиотека
материалов
Теория вероятностей Урок 1. Комбинаторика. Случайные события. Операции над сл...
Комбинаторные соединения Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают...
Перестановки Перестановка из n различных элементов - соединение, элементы кот...
Перестановки с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна Выполни...
Размещения Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Размещения с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Сочетания Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Сочетания с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Случайные события Испытание - наблюдение какого-либо явления при соблюдении о...
Случайные события Результатом испытания является событие: достоверное (всегда...
Определения События A и B называются несовместными, если они никогда не могут...
Операции над событиями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Вероятность события Количественная характеристика степени случайности события...
Свойства вероятностей Вероятность невозможного события равна нулю: P(0) = 0 ....
Классическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Статистическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергее...
Геометрическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергее...
Решение задач Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 4. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 5. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 6. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 7. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 8. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Домашнее задание В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Каков...
Домашнее задание В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2...
Спасибо за внимание!
29 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Теория вероятностей Урок 1. Комбинаторика. Случайные события. Операции над сл
Описание слайда:

Теория вероятностей Урок 1. Комбинаторика. Случайные события. Операции над случайными событиями. Вероятность события. Свойства вероятностей. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 2 Комбинаторные соединения Комбинаторика – раздел математики, в котором изучают
Описание слайда:

Комбинаторные соединения Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются простейшие «соединения»: перестановки, размещения, сочетания, которые могут быть упорядоченными и неупорядоченными. Соединение – группа и совокупность элементов, упорядоченная или неупорядоченная, которые выбираются из некоторого исходного множества. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 3 Перестановки Перестановка из n различных элементов - соединение, элементы кот
Описание слайда:

Перестановки Перестановка из n различных элементов - соединение, элементы которого выбираются из n заданных элементов в определенном порядке. Количество всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле: Pn = n! Число n называется порядком перестановки. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 4 Перестановки с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна Выполни
Описание слайда:

Перестановки с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 5 Размещения Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Размещения Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 6 Размещения с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Размещения с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 7 Сочетания Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Сочетания Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 8 Сочетания с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Сочетания с повторениями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 9 Случайные события Испытание - наблюдение какого-либо явления при соблюдении о
Описание слайда:

Случайные события Испытание - наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного набора условий, который каждый раз должен выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое испытание производиться при другом наборе условии, то считается, что это уже другое испытание. Пример: бросаем кубик – это испытание. Бросаем два кубика – другое испытание. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 10 Случайные события Результатом испытания является событие: достоверное (всегда
Описание слайда:

Случайные события Результатом испытания является событие: достоверное (всегда происходит в результате испытания); невозможное (никогда не происходит); случайное (может произойти или не произойти в результате испытания). Например при испытании «бросание кубика»: выпадет восемь очков (невозможное); выпадет не более 6 очков (достоверное); выпадет число три (случайное). Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 11 Определения События A и B называются несовместными, если они никогда не могут
Описание слайда:

Определения События A и B называются несовместными, если они никогда не могут произойти в результате одного испытания. (A · В = 0) События А и В называются совместными, если они могут произойти в результате одного испытания. Пример: испытание – один раз подбрасываем монету. События: а) выпадет орел; б) выпадет решка. События А и В не совместны так как при подбрасывании одной монеты одновременно не выпадет орел и решка. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 12 Операции над событиями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Операции над событиями Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 13 Вероятность события Количественная характеристика степени случайности события
Описание слайда:

Вероятность события Количественная характеристика степени случайности события, называется вероятностью случайного события. Обозначается P(A) или р. События А и В называются равновозможными, если они происходят с одинаковой вероятностью. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 14 Свойства вероятностей Вероятность невозможного события равна нулю: P(0) = 0 .
Описание слайда:

Свойства вероятностей Вероятность невозможного события равна нулю: P(0) = 0 . Вероятность достоверного события равна единице: Р(Е) = 1. Вероятность случайного события изменяется от 0 до 1: 0 ≤ Р(А) ≤ 1. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А·В). Если А и В несовместные, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В). Если А и В независимы, то вероятность Р(А·В) = Р(А) · Р(В). Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 15 Классическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Классическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 16 Статистическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергее
Описание слайда:

Статистическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 17 Геометрическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергее
Описание слайда:

Геометрическое определение вероятности Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 18 Решение задач Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Решение задач Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 19 Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 20 Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 21 Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 22 Задача 4. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 4. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 23 Задача 5. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 5. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 24 Задача 6. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 6. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 25 Задача 7. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 7. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 26 Задача 8. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 8. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 27 Домашнее задание В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Каков
Описание слайда:

Домашнее задание В партии из 20 изделий 5 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 2 изделий являются дефектными. В цехе работают три станка. Вероятность отказа в течение смены для станков соответственно равна 0,1, 0,2 и 0,15. Найти вероятность того, что в течение смены безотказно проработают два станка. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 28 Домашнее задание В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2
Описание слайда:

Домашнее задание В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны наудачу извлечены 2 шара. Найти вероятность того, что они разного цвета. Какова вероятность того, что пятизначное число состоит из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 29 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ Урок 2.pptx

библиотека
материалов
Теория вероятностей Урок 2. Условная вероятность события. Полная вероятность...
Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 4. Среди поступающих на склад деталей 30% из цеха 1, 70% − из цеха 2....
Домашнее задание В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1,...
Домашнее задание В каждой из 3х урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из пе...
Спасибо за внимание!
12 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Теория вероятностей Урок 2. Условная вероятность события. Полная вероятность
Описание слайда:

Теория вероятностей Урок 2. Условная вероятность события. Полная вероятность события. Формула Байеса. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 2 Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 3 Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Условная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 4 Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 5 Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Полная вероятность события Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 6 Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 7 Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 8 Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 9 Задача 4. Среди поступающих на склад деталей 30% из цеха 1, 70% − из цеха 2.
Описание слайда:

Задача 4. Среди поступающих на склад деталей 30% из цеха 1, 70% − из цеха 2. Вероятность брака для цеха 1 равна 0,02, для цеха 2 – 0,03. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена в цехе 1? Ответ: 0,7121. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 10 Домашнее задание В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1,
Описание слайда:

Домашнее задание В ящике содержится 12 деталей, изготовленных на заводе № 1, 20 деталей с завода № 2 и 18 деталей - № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе №1 стандартная равна 0,9, № 2 – 0,6, № 3 – 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная на удачу деталь окажется стандартной. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 11 Домашнее задание В каждой из 3х урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из пе
Описание слайда:

Домашнее задание В каждой из 3х урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны наудачу извлечен шар и помещен во вторую урну. После этого, из второй урны извлечен 1 шар и помещен в третью урну. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный из третьей урны шар окажется белым. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 12 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ Урок 3.pptx

библиотека
материалов
Теория вероятностей Урок 3. Формула Бернулли для определения вероятности. Вып...
Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Случайная величина Случайной величиной Х называется множество всех равновозмо...
Закон распределения СВ Закон по которому каждому значению случайной величины...
Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Числовые характеристики СВ Средним квадратическим отклонением величины Х назы...
Задача 4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятн...
Задача 5. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Случайная величина...
Задача 6. В ящике находится 6 деталей. Четыре из них стандартные. Наудачу изв...
Домашнее задание Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того что герб выпаде...
Спасибо за внимание!
15 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Теория вероятностей Урок 3. Формула Бернулли для определения вероятности. Вып
Описание слайда:

Теория вероятностей Урок 3. Формула Бернулли для определения вероятности. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 2 Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 3 Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 1. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 4 Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 2. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 5 Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Задача 3. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 6 Случайная величина Случайной величиной Х называется множество всех равновозмо
Описание слайда:

Случайная величина Случайной величиной Х называется множество всех равновозможных исходов некоторого случайного события, или это функция элементарных исходов: Х = f(ω). Дискретная случайная величина – случайна величина, принимающая дискретные значения. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 7 Закон распределения СВ Закон по которому каждому значению случайной величины
Описание слайда:

Закон распределения СВ Закон по которому каждому значению случайной величины Х ставится в соответствие его вероятность P(X). Его можно задать таблично, в виде формулы и графически (многоугольник распределения или полигон). Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 8 Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 9 Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна
Описание слайда:

Числовые характеристики СВ Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 10 Числовые характеристики СВ Средним квадратическим отклонением величины Х назы
Описание слайда:

Числовые характеристики СВ Средним квадратическим отклонением величины Х называют квадратный корень из дисперсии: . Мода CB Х: наивероятнейшее значение случайной величины Х. Медиана CB Х: значение случайной величины Х, такое, что вероятность того, что случайная величина примет значение меньше или больше медианы равна 0,5. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 11 Задача 4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятн
Описание слайда:

Задача 4. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте. Ответ: Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна X 0 1 2 3 р 0,729 0,243 0,027 0,001

№ слайда 12 Задача 5. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Случайная величина
Описание слайда:

Задача 5. Две игральные кости одновременно бросают 2 раза. Случайная величина Х – число выпадений четного числа. Найти закон распереления св, мат.ожидание и дисперсию этой величины. Ответ: М(Х)=1. D(X)=0,5 Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна X 0 1 2 р 1/4 1/2 1/4

№ слайда 13 Задача 6. В ящике находится 6 деталей. Четыре из них стандартные. Наудачу изв
Описание слайда:

Задача 6. В ящике находится 6 деталей. Четыре из них стандартные. Наудачу извлекли из ящика 3 детали. Составить закон распределения CВ Х – число стандартных деталей среди отобранных. Найти мат.ожидание и моду. Ответ: М(Х)=2, Mo(Х)=4/9. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна X 0 1 2 3 р 1/9 2/9 4/9 8/27

№ слайда 14 Домашнее задание Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того что герб выпаде
Описание слайда:

Домашнее задание Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того что герб выпадет: 1) ровно 2 раза, 2) менее 2х раз, 3) не менее 2х раз. Выполнила: Дмитриева Александра Сергеевна

№ слайда 15 Спасибо за внимание!
Описание слайда:

Спасибо за внимание!

Выбранный для просмотра документ Урок 4.pptx

библиотека
материалов
Задачи по теории вероятностей в ЕГЭ Задачи с монетами. Задачи, решаемые с пом...
Задачи с монетами
Метод перебора комбинаций – стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации...
Метод перебора комбинаций Этот метод еще называется «решение напролом». Состо...
Задача 1 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите...
Специальная формула вероятности Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность...
Задача 4 Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпад...
Задача 5 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите...
Задачи, решаемые с помощью построения дерева вероятностей.
В следующих задачах для решения удобно использовать дерево вероятностей. В ч...
Задача 6 Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На к...
Задача 7 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На к...
Задача 8 В некотором эксперименте вероятность события А равна 0,3. Если событ...
Задача 9 Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Пер...
Задача 10 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц...
Задача 11 В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть н...
Задача 12 Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в ми...
17 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Задачи по теории вероятностей в ЕГЭ Задачи с монетами. Задачи, решаемые с пом
Описание слайда:

Задачи по теории вероятностей в ЕГЭ Задачи с монетами. Задачи, решаемые с помощью построения дерева вероятностей.

№ слайда 2 Задачи с монетами
Описание слайда:

Задачи с монетами

№ слайда 3 Метод перебора комбинаций – стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации
Описание слайда:

Метод перебора комбинаций – стандартный алгоритм. Выписываются все комбинации орлов и решек, после чего выбираются нужные; Специальная формула вероятности – стандартное определение вероятности, специально переписанное так, чтобы было удобно работать с монетами.

№ слайда 4 Метод перебора комбинаций Этот метод еще называется «решение напролом». Состо
Описание слайда:

Метод перебора комбинаций Этот метод еще называется «решение напролом». Состоит из трех шагов: Выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например: ОР, РО, ОО, РР. Число таких комбинаций — это n; Среди полученных комбинаций отмечаем те, которые требуются по условию задачи. Считаем отмеченные комбинации — получаем число k; Осталось найти вероятность: p = k : n.

№ слайда 5 Задача 1 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите
Описание слайда:

Задача 1 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орлов и решек выпадет одинаковое количество. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Задача 2

№ слайда 6 Специальная формула вероятности Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность
Описание слайда:

Специальная формула вероятности Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле: где число сочетаний из n элементов по k считается по формуле:

№ слайда 7 Задача 4 Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпад
Описание слайда:

Задача 4 Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Задача 3

№ слайда 8 Задача 5 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите
Описание слайда:

Задача 5 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка.

№ слайда 9 Задачи, решаемые с помощью построения дерева вероятностей.
Описание слайда:

Задачи, решаемые с помощью построения дерева вероятностей.

№ слайда 10 В следующих задачах для решения удобно использовать дерево вероятностей. В ч
Описание слайда:

В следующих задачах для решения удобно использовать дерево вероятностей. В части задач дерево построено прямо в условии. В других задачах это дерево следует построить.

№ слайда 11 Задача 6 Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На к
Описание слайда:

Задача 6 Павел Иванович совершает прогулку из точки A по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Найдите вероятность того, что Павел Иванович попадет в точку G.

№ слайда 12 Задача 7 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На к
Описание слайда:

Задача 7 Павел Иванович совершает прогулку из точки А по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Часть маршрутов приводит к поселку S, другие — в поле F или в болото M. Найдите вероятность того, что Павел Иванович забредет в болото.

№ слайда 13 Задача 8 В некотором эксперименте вероятность события А равна 0,3. Если событ
Описание слайда:

Задача 8 В некотором эксперименте вероятность события А равна 0,3. Если событие А наступает, то вероятность события С равна 0,2, а в противоположном случае вероятность события С равна 0,4. Найдите вероятность события С.

№ слайда 14 Задача 9 Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Пер
Описание слайда:

Задача 9 Две фабрики одной фирмы выпускают одинаковые мобильные телефоны. Первая фабрика выпускает 30% всех телефонов этой марки, а вторая — остальные телефоны. Известно, что из всех телефонов, выпускаемых первой фабрикой, 1% имеют скрытые дефекты, а у выпускаемых второй фабрикой — 1,5%. Найдите вероятность того, что купленный в магазине телефон этой марки имеет скрытый дефект.

№ слайда 15 Задача 10 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц
Описание слайда:

Задача 10 Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц из этих двух хозяйств. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

№ слайда 16 Задача 11 В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть н
Описание слайда:

Задача 11 В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

№ слайда 17 Задача 12 Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в ми
Описание слайда:

Задача 12 Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Курс из четырех объемных занятий для выработкизнаний, умений и навыков у обучающихся 10-11х классов, необходимых для решения любой задачи В10 ЕГЭ.

Презентации содержат теорию и практические задания. Все задания приведены с ответами. 

Конспекты уроков содержат дополнительные материалы.

Включает конспеты и презентации к каждому уроку, а также тест по теории вероятностей с ответами.

Используются интернет ресурсы и сайт репетитора по математике Павла Бердова http://www.berdov.com/

Курс опубликован на сайте ЗАВУЧ.ИНФО и доступен для скачивания по ссылке http://www.zavuch.ru/methodlib/358/93887/

 

Автор
Дата добавления 28.10.2014
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров586
Номер материала 104741
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх