Мини-исследование "100 вопросов к египетскому треугольнику"

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Ширинская средняя общеобразовательная школа №4

                            Секция математики

 

100 вопросов к египетскому треугольнику

Автор:

Вильбик Александра Вячеславовна,

 ученица 8 класса

Руководитель:  

Миронова Ольга  Юрьевна,

учитель математики

высшая квалификационная категория

Шира – 2015

Содержание

Введение                                                                                                            2

I.       Основная часть                                                                                       

         1.1     Египетский треугольник в планиметрии                                       4

         1.2    Основные формулы элементов треугольника                               5

II.      Основные этапы работы. Определение величин и отношений

         2.1     Длины основных элементов треугольника. Площади

и периметры.                                                                                   6

2.2     Величин углов треугольника. Значения тригонометрических       функций углов                                                                                10

2.3     Подобие треугольников                                                                 11

2.4    Дополнительные задачи                                                                 12

Заключение                                                                                                       15

Литература                                                                                                        16

ВВЕДЕНИЕ

         Треугольник является первой фигурой, которую нельзя разложить на более простые фигуры  и поэтому считается фундаментом любой вещи, имеющей границы и форму" (Джордано Бруно). Математики называют треугольник двумерным симплексом, что по латыни означает "простейший". Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих исследований и измерений.

         Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта (Рис. 1). Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур [1]      

         Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами Древнего Египта.

 

Рис. 1   Часть папируса писца Ахмеса

         С таким треугольником удобно работать, так как его стороны – целочисленные.

          В процессе изучения темы «Прямоугольные треугольники», сформировалась   гипотеза  о том, что если  есть желание «уплотнить» знания по геометрии, то можно составить и решить не менее 100   задач на нахождение различных величин и отношений треугольника.  

Актуальность работы заключается в том, большинство задач решается с помощью вспомогательных треугольников. Выполнение мини исследования  по теме «Прямоугольные треугольники» является средством повышения качества знаний по геометрии. Если задачи будет иметь несколько способов решения, то изучать различные геометрические задачи лучше на примере одного треугольника.

Объект исследования: изучение темы «Прямоугольные треугольники»

Предмет исследования: процесс обобщения и систематизации знаний по теме «Египетский треугольник»

Цель: апробация эффективного метода обобщения и систематизации знаний по теме «Египетский треугольник» для подтверждения гипотезы

 Пути  решения:

§  Изучить теоретический материал учебника и дополнительных источников информации

§   Провести исследование на нахождение наибольшего количества величин и отношений треугольника

§   Осуществить проверку найденных величин

§  Подтвердить гипотезу

                                      Часть I      Основная часть

1.1        Египетский треугольник в планиметрии

         Не исключено, что, термин «Египетский треугольник» дал Пифагор, побывав по настоянию Фалеса в Египте.
         Всё дело в том, что древнеегипетские строители пирамид нуждались  и придумали способ  построения  прямого угла: веревка разбивается на 12 равных частей, границы между соседними частями помечаются, а концы верёвки соединяются. Затем верёвка натягивается тремя людьми так, чтобы она образовала треугольник, а расстояния составляли бы, соответственно, 3 части, 4 части и 5 частей. В таком случае треугольник окажется прямоугольным,   стороны 3 и 4 будут катетами, а сторона 5 - гипотенузой, так что угол между сторонами 3 и 4 будет прямым [2]      
         Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два треугольника с внутренним углом равным 51°50'.  Основной "геометрической идеей" пирамиды Хеопса является "золотой" прямоугольный треугольник(Рисунок1.1)  .                            
         Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такой треугольник называют "священным" или "египетским" треугольником.  Для египетского треугольника со сторонами 3:4:5 справедливо равенство: 3²  + 4²  = 5², а это и есть знаменитая теорема Пифагора.   Пирамида Хефрена наглядное подтверждение того что знаменитая теорема была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором [3]      

Рис. 1. 1  "Священный" или "египетский" треугольник.

1.2         Основные формулы элементов треугольника [4]        

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, причем коэффициент пропорциональности равен диаметру описанной около треугольника окружности:

 

 Формулы площади треугольника:

a, b — катеты; c — гипотенуза; h — высота, проведенная к гипотенузе c.

S = ab/2   ;    S = ch/2

Синус, косинус, тангенс и котангенс острых углов треугольника: (Рисунок 1. 2)  

 Рис. 1. 2  Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

Высота к гипотенузе: (Рисунок 1.3)

h=√ab ;  h= ab ∕c

Проекции катетов   на гипотенузу:
CA=√c∙a

CB=√c∙в

Рис. 1.3 Отношение высоты к гипотенузе.

Часть II      Основные этапы работы

Данная  работа представляет пример обобщения и систематизации знаний по теме «Египетский треугольник» с катетами 3 и 4 (Рисунок 2.1) 

Работа творческая исследовательская носит  апробационный характер и открывает широкие возможности для расширения эоны ближайшего развития (далее-ЗБР) даже  при минимальных базовых знаниях.

 

Рис.  2.1   «Египетский треугольник» с катетами 3 и 4

Рекомендация: при выполнении работы разумно выполнять чертеж по заданным величинам, чтобы найденные величины можно было проверить с помощью линейки и транспортира.

2.1 Длины основных элементов треугольника

         Древнегреческий ученый Герон (I век)  впервые применил знак   вместо слова треугольник.

         Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской геометрии. Термин  «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет  начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».

         Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол»           [5]

1) ВА=5, т.к  по т. Пифагора  а²+в²=с²
                                                3²+4²=с²

                                                9+16=25  

                                                √25=5 = ВА- гипотенуза

* Высота треугольника, проведенная к гипотенузе

         2) СН=h=катет·катет/гип.=3·4/ 5=2.4   

         3) ВС=√гип· ВН =>9 = 5 ВН

                                      ВН =9/5=1.8 – проекция катета ВС на гипотенузу

         4) АС=√гип· НА =>16=5 НА
                            НА =  16/5=3.2 – проекция катета СА на гипотенузу

         *проверка: ВА = ВН + НА =3.2+1.8=5

 

Рис.  2.2   «Египетский треугольник» с катетами 3 и 4

5) РBCA=3+4+5=12
6) SBCA=а·h/2= 4·3/2=6
7) РHCA=2.4+4+3.2=9.6
8) SHCA=a·h/2=3.2·2.4/2=3.84
9) РHCB=1.8+3+2.4=7.2
10) SHCB=1.8·2.4/2=2.16

* Медианы треугольника

 

Рис.  2.3  Медианы треугольника

   11)    CF=FA=2

   DB=CD=1.5   =>поделены медианами

   BL=LA=2.5

   12) BF= по Т. Пифагора √9+4=√13

    13) АD= по Т. Пифагора √16+2.25=√18.25

   14) LC=1/2 АВ=2,5 – медиана, построенная из прямого угла равна половине

   гипотенузы

   15) LО:СО=1:2

             16) LO=2.5./3=0.83

   17) СО=2∙2.5/3=1.6

   18) ВО:ОF=1:2
   19) OF=√13/3

   20) BO=2√13/3

   21) DО:ОA=1:2

   22) DO=√18.25/3
   23) OA=2√18.25/3

             По свойству медиан следует:

   24) медиана делит ∆ АВС на два равновеликих =>SDCA =SBAD=3

   *проверка: S DCA=1.5·4/2=3

   25) SDCA =SBAD= SСВF =SBAF = SBCL =SLCA= 3

   26) PDCA=4+1.5+√18.25=5.5+√18.25

   27) РСВF=2+3+√13=5+√13

   28) PBAD=1.5+5+√18.25=6.5+√18.25

   29) PBAF=5+2+√13=7+√13

   30) PBCL= 2.5 +2.5+3=8

   31) PLCA=2.5+2.5+4=9

   * Средние линии треугольника

Рис.  2.4  Средние линии  треугольника

   32) СК=КА=МN=2

   33) СМ=ВМ=КN=1.5

   34) ВN=NА=МК=2.5

По свойству средних линий следует:

 ∆МСК=∆КМN=∆КNА=∆МВN по III признаку =>

   35) РМСК =РКМN =РКNА =РМВN =1.5+2.5+2=6

   *проверка: РBCA=2РМСК=12 

   36) SМСК =SКМN =SКNА =SМВN =2·1.5/2=1.5

   *проверка: SBCA=4SМСК=1.5·4=6

   СМNК – прямоугольник

            37) SСМNК =2·1.5=3

   38) Р СМNК =1.5+1.5+2+2=7

   АСМN – трапеция

            39) РАСМN =2.5+2+4+1.5=10

   40)SАСМN=(2+4)/2·1.5=4.5

   ВСКN – трапеция

            41) РВСКN =3+2+2.5+1.5=9

   42)SВСКN =(3+1.5)/2·2=4.5

   МКАВ – трапеция

            43) РМКАВ =5+2.5+2+1.5=11

   44)SМКАВ=SBCA-SМСК=6-1.5=4.5

   ВMКN-параллелограмм

   45)SВMКN = SBCA-SМСК -SКNА=6-1.5-1.5=3

   *проверка: SВMКN= SКNА·2=3

   46)РВMКN=2.5+2.5+1.5+1.5=8

    АNMК- параллелограмм

    47)SАNMК = SBCA-SМСК -SМВN=6-1.5-1.5=3

   *проверка: SАNMК = SКNА·2=3

   48) Р АNMК =2.5+2.5+2+2=9

   2.2    Величины углов треугольника, значения тригонометрических

   функций углов 

                                  

   ∆АВС:

   49)Sin A=BC/BA=3/5=0.6

   50)Т.к Sin А=0.6=>∟А=37˚

   51)Sin B=CA/BA=4/5=0.8

   52)Т.к Sin B=0.8=>∟B=53˚

   Заметим, что:

   53)∟НСА=180˚-90˚-37˚=53˚

   54)∟НСВ=180˚-90˚-53˚=37˚

   55)CosA=CA/BA=4/5=0.8=Sin B

   56)CosB=BC/BA=3/5=0.6=Sin A

   57)Tg A=BC/CA=3/4=0.75

   58)Tg B=CA/BC=4/3=1.3

   Заметим, что:

   59)Ctg A=CA/BC=4/3=1.3=Tg B

   60)Ctg B=BC/CA=3/4=0.75=Tg A

   ∆BHC

   61)Sin B=CH/BC=2.4/3=0.8

   62)Sin C=BH/BC=1.8/3=0.6

   63)Cos B=BH/BC=1.8/3=0.6

   64)Cos C=CH/BC=2.4/3=0/8

   65)Tg B=CH/BH=2.4/1.8=1.3

   66)Tg C=BH/CH=1.8/2.4=0.75

   67)Ctg B=BH/HC=1.8/2.4=0.75

   68)Ctg C=CH/BH=2.4/1.8=1.3

   ∆CHA

   69)Sin A=CH/CA=2.4/4=0.6

   70)Sin C=HA/CA=3.2/4=0.8

   71)Cos A=HA/CA=3.2/4=0.8

   72)Cos C=CH/CA=2.4/4=0.6

   73)Tg A=CH/HA=2.4/3.2=0.75

   74)Tg C=HA/CH=3.2/2.4=1.3

   75)Ctg A=HA/CH=3.2/2.4=1.3

   76)Ctg C=CH/HA=2.4/3.2=0.75

 2.3    Подобие треугольников

∆ CВA~∆ CHA по I признаку подобия треугольников

77)k= ВA/ CA =5/4

∆ CВA~∆ CHВ по I признаку подобия треугольников

78)k= ВA/ CВ =5/3

∆ CНA~∆ CHВ по I признаку подобия треугольников

79)k= СA/ CВ =4/3

   ∆МNК~∆АВС

   80) СА/МN=ВА/МК=ВС/NК=4/2=5/2.5=3/1.5=2,  k=2

2.3 Дополнительные задачи

№1.  Найдите угол между высотой и медианой, проведенными к гипотенузе

81) LH=√2.5²-2.4²=√0.49=0.7

82)∆ LCH: sin LCH  = LH/LC=0,7/2,4=0,29

            ∟LCH=16˚

83)∟LCA=90˚-37˚-16˚=37˚=∟А =>∆ CLA-равнобедренный

84) ∟BCL=90˚-37˚-16˚=37˚

85)∟CLA=180˚-37˚-37˚==106˚

86)∟CLH=180˚-90˚-16˚=74˚

87)S HLC = 0.7∙2.4/2=0.84

88)P HLC=0.7+2.5+2.4=5.6

∆ HLC:

89)Sin L=2.4/2.5=0.96

90)Cos L=0.7/2.5=0.028

91) Tg L= 2.4/0.7=3.42

92)Ctg L=0.7/2.4=0.29

№2.  Найдите площадь треугольника, образованного высотой и медианой (проведенными к гипотенузе), и средней линией треугольника параллельной катету АС

93)∟MOC=180˚-90˚-37˚=53˚

94)∟HOL=∟MOC=53˚ - вертикальный

95)∟HLO=180˚-90˚-53˚=37˚ => ∆ MOC~∆HOL по I признаку верно

k= MC/ HL=2.14

96)∟CLO=180˚-16˚-127˚=37˚

97)∟COL=180˚-53˚=127˚

∆HOL:

98) Tg L= OH/HL

       Tg 37˚=OH/0.7

       OH=0.7tg37˚

        OH=0.53

99) S HOL= 0.5∙0.7/2=0.18

100) S COL=S HCL- S HOL=0.84-0.17=0.66

*проверка с помощью Интернет-ресурсов: http://www.fxyz.ru

№3 (С4  ЕГЭ)     Расстояние между параллельными прямыми равно 4. На одной из них лежит точка С, а на другой – точки А и В, причем треугольник – равнобедренный и его боковая сторона равна 5. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

 

Заключение

         Данная работа посвящена апробации эффективного метода обобщения и систематизации знаний по теме «Египетский треугольник».

         Результаты  исследования (подтверждения гипотезы) показали, что даже при минимальных базовых знаниях можно открыть широкие возможности для расширения ЗБР. Таким образом, выполнение такого мини исследования является не только методом обобщения, систематизации и «уплотнения» знаний, но и эффективным методом  формирования и получения навыков научно - исследовательской деятельности различного объема.

         Полученные результаты исследования дают возможность утверждать, что доступность мини исследования с одной стороны, и результативность  его применения с другой стороны, способствует повышению качества знаний.

Литература

1.               Сайт «Академик»: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/243657  (последнее посещение 26.03.2015 в 13.00)

2.                Портал Vikent.ru:  http://vikent.ru/enc/2254/ ( последнее посещение 23.03.2015 в 11.50)

3.              Журнал «DasInok»: http://dasinok.ru/interesnoe/egipetskii-treugolnik.html

4.             Геометрия. 7 - 9 классы. Атанасян Л.С. и др.  20-е изд. - М.: Просвещение, 2010. 

5.       Блог учителя математики «Аксиома»: http://aksioma72.blogspot.ru/p/blog-

          page_3183.html  ( последнее посещение 23.02.2015 в 21.50)