Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Мини-учебник по геометрии (11 класс)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Мини-учебник по геометрии (11 класс)

Выберите документ из архива для просмотра:

15.5 КБ Thumbs.db
10.38 МБ Пирамиды.doc
1.62 МБ рис1.bmp
1.62 МБ рис2.bmp
1.62 МБ рис3.bmp
1.62 МБ рис4.bmp
1.62 МБ рис5.bmp
2.15 МБ рис6.bmp
2.15 МБ рис7.bmp
2.15 МБ рис8.bmp

Выбранный для просмотра документ Пирамиды.doc

библиотека
материалов

Харцызская общеобразовательная школа

с углубленным изучением отдельных предметов №24










Положение высоты в некоторых видах пирамид



11 класс

Мини – учебник по геометрии


______________________


______________________





hello_html_31562cd.gifhello_html_22c4d48e.gif



Составитель:

учитель математики

Заставная Н.Н.










г. Харцызск

2014г.



Период:

Информационно- познавательный

Девиз:

«Привет, проблема!»

Механизм:

Анализ восприятия

Доминанта:

Анализ, синтез, запоминание





Внимательно изучи таблицу «Положение высоты в некоторых видах пирамид». Определи, как ты воспринимаешь и владеешь полученной информацией.


Полностью hello_html_599e7637.png

Наполовину hello_html_m3f9b9809.png

Непонятно hello_html_12bd68cb.png





ПОЛОЖЕНИЕ ВЫСОТЫ В НЕКОТОРЫХ ВИДАХ ПИРАМИД




  1. Если все боковые ребра пирамиды равны или наклонены под одним углом к плоскости основания, или образуют равные углы с высотой пирамиды, то основание высоты является центром окружности, описанной около основания (и обратно)


Если в пирамиде hello_html_m8a98498.gif : hello_html_m377d5ef0.gif, или hello_html_m65384aed.gif, или hello_html_4928ed1d.gif и hello_html_e8afbc.gif плоскости hello_html_m762edda1.gif, то hello_html_m578559b.gif - центр описанной около основания окружности (hello_html_m8300b5f.gif).



Верно и обратное:


hello_html_m176bf775.png

Если в пирамиде hello_html_m8a98498.gif: hello_html_e8afbc.gif плоскости hello_html_m762edda1.gif, и hello_html_m578559b.gif - центр окружности, описанной около основания, то hello_html_m377d5ef0.gif и hello_html_m65384aed.gif, и hello_html_4928ed1d.gif


Для решения используют прямоугольный hello_html_m380658bf.gif, в котором hello_html_m25849c3a.gif, hello_html_260ef0cc.gif - радиус описанной около основания окружности, hello_html_38173bcf.gif - угол наклона бокового ребра hello_html_13e966f9.gif к плоскости основания.





  1. Если все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом, то основанием высоты пирамиды является центр окружности, вписанной в основание (и обратно)


Если в пирамиде hello_html_m8a98498.gif:

грани hello_html_7cb0f2ab.gif, hello_html_m42e99b06.gif, hello_html_471ac22e.gif, hello_html_59e065b8.gif одинаково наклонены к основанию hello_html_2a308c1c.gif(то есть соответствующие линейные углы равны hello_html_2be6d7e0.gif) и hello_html_e8afbc.gif плоскости hello_html_m762edda1.gif, то hello_html_m578559b.gif - центр окружности, вписанной в основание (hello_html_54a5ef4a.gif - радиус вписанной окружности).



Верно и обратное:


hello_html_m460f5a0f.png

Если в пирамиде hello_html_m8a98498.gif:

hello_html_e8afbc.gifплоскости hello_html_m762edda1.gif, и hello_html_m578559b.gif - центр окружности, вписанной в основание, то hello_html_2be6d7e0.gif, т.е. все боковые грани пирамиды наклонены к основанию пирамиды под одинаковым углом.


Для решения используют прямоугольный hello_html_c4d611.gif, в котором hello_html_648dd934.gif, hello_html_9835e66.gif - радиус вписанной окружности (hello_html_74a82ef9.gif),hello_html_7c27169d.gif - угол наклона боковой грани hello_html_7cb0f2ab.gif к основанию (hello_html_7c27169d.gif - линейный угол двугранного угла при ребре hello_html_4ce04bc3.gif).

Для такого вида пирамид справедлива формула:

hello_html_2db89ddb.gif,

где hello_html_74ce89cf.gif - угол наклона всех боковых граней к основанию.


  1. Если только две боковые грани пирамиды одинаково наклонены к основанию или общее боковое ребро этих граней образует равные углы со смежными с ними сторонами основания, то это общее боковое ребро проектируется на прямую, содержащую биссектрису угла между смежными с этим ребром сторонами основания (и обратно).


Если в пирамидеhello_html_7c0f53ed.gif грани hello_html_7cb0f2ab.gif и hello_html_1033ae84.gif одинаково наклонены к основанию hello_html_1e2bae50.gif (то есть hello_html_m5d4f63c.gif) или hello_html_211cd0dc.gif и hello_html_e8afbc.gif плоскости hello_html_m762edda1.gif, то hello_html_6df5ad.gif - биссектриса hello_html_79f89bb6.gif (или прямая hello_html_1b80d082.gif содержит биссектрису hello_html_79f89bb6.gif).


hello_html_7c9fe5b2.png



Если в пирамидеhello_html_7c0f53ed.gifhello_html_e8afbc.gif плоскости и hello_html_6df5ad.gif - биссектриса hello_html_79f89bb6.gif(или прямая hello_html_1b80d082.gif содержит биссектрису hello_html_79f89bb6.gif), то hello_html_m5d4f63c.gif (грани hello_html_7cb0f2ab.gif и hello_html_1033ae84.gif одинаково наклонены к основанию hello_html_1e2bae50.gif) и hello_html_211cd0dc.gif.

hello_html_mc318f8d.png



  1. Если только одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, то высотой пирамиды будет высота этой грани.




Если в пирамидеhello_html_7c0f53ed.gif плоскость hello_html_1033ae84.gif перпендикулярна плоскости hello_html_1e2bae50.gif и hello_html_5ae8f52f.gif, то hello_html_m480033e2.gif - высота пирамиды (hello_html_615e3426.gif).


hello_html_m261bd751.png




  1. Если две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет их общее боковое ребро.





Если плоскость hello_html_7cb0f2ab.gif перпендикулярна плоскости hello_html_1e2bae50.gif и плоскость hello_html_1033ae84.gif перпендикулярна плоскости hello_html_1e2bae50.gif, то hello_html_13e966f9.gif - высота пирамиды (hello_html_m10397e04.gif).

hello_html_4d682da5.png







  1. Если две не смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, то высотой пирамиды будет отрезок прямой, по которой пересекаются плоскости этих граней.


Если плоскость hello_html_7cb0f2ab.gif перпендикулярна плоскости hello_html_m13ad17dd.gif, плоскость hello_html_m14473a84.gif перпендикулярна плоскости hello_html_m13ad17dd.gif и плоскость hello_html_7cb0f2ab.gif пересекает плоскость hello_html_m14473a84.gif по прямой hello_html_m480033e2.gif (hello_html_m41ef68c5.gif плоскости hello_html_m13ad17dd.gif), то hello_html_m480033e2.gif - высота пирамиды.

hello_html_4af00f82.png



hello_html_77a0cbae.gif


hello_html_m1e4c2e23.png


hello_html_6f5aac04.png

Подумай, насколько самостоятельно ты сможешь решать предложенные задачи и в каких вопросах тебе необходимо обратится за помощью к учителю.






hello_html_201ef3e8.png


Прочитай, задумайся – это интересно!

Выдающийся математик - Архимед

Великий математик, механик и инженер древности Архимед родился в 287 г. до н. э. (предположительно) в Сиракузах - богатом торговом городе Сицилии. Отцом его был астроном Фидий, который привил сыну с детства любовь к математике, механике и астрономии. В Александрии Египетской - научном и культурном центре того времени - Архимед познакомился со знаменитыми александрийскими учеными, астрономом Кононом, разносторонним ученым Эратосфеном, с которыми потом переписывался до конца жизни. В знаменитой Александрийской библиотеке Архимед познакомился с трудами Демокрита, Евдокса и других замечательных греческих геометров, о которых он упоминал в своих сочинениях.

Уже при жизни Архимеда вокруг его имени создавались легенды, поводом для которых служили его поразительные изобретения, производившие ошеломляющее действие на современников.

Всем известен рассказ о том, как Архимед сумел определить, сделана ли корона царя Гиерона из чистого золота. Благодаря этому случаю был открыт основной закон гидростатики.

Другая легенда рассказывает, что построенный Гиероном в подарок египетскому царю Птолемею роскошный корабль Сирокосия, никак не удавалось спустить на воду. Архимед соорудил систему блоков, с помощью которых он смог проделать это один, движением руки. Этот случай послужил поводом его крылатых слов ..Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю.

hello_html_m4f99cfdb.jpg

Архимед прославился и другими механическими конструкциями. Изобретённый им бесконечный, или архимедов, винт для вычерпывания воды до сих пор применяется в Египте. Архимед построил планетарий, или, «небесную сферу», при движении которой можно было наблюдать движение пяти планет, восход Солнца и Луны, фазы и затмения Луны, исчезновение обоих тел за линией горизонта. Инженерный гений Архимеда с особой силой проявился во время осады Сиракуз римлянами в 212 г.до н.э. А ведь в это время ему было 75 лет. Изобретённые Архимедом механические машины помогали успешно бороться с римскими войсками, которые, в конце концов, отказались взять город штурмом и перешли к его осаде.

Знаменитый историк древности Полибий писал: «Такова чудесная сила одного человека, одного дарования…римляне могли бы быстро овладеть городом, если бы кто-либо изъял из среды сиракузян одного старца».

Архимед был убит римским солдатом после взятия Сиракуз вследствие измены.

Плутарх сохранил нам яркий рассказ о его смерти: «К Архимеду подошел солдат с мечом в руке, что бы убить его. Но Архимед настойчиво просил его подождать одну минуту, чтобы задача, которой он занимался, не осталась не решенной; солдат ,которому не было дела до его доказательства, пронзил его своим мечом»

Архимед был замечательным механиком – практиком и теоретиком, но основным делом его жизни была математика. По словам Плутарха, Архимед был просто одержим ею. Он забывал о пище, совершенно не заботился о себе. Его работы относились почти ко всем областям математики того времени.

Так, он нашел все полуправильные многогранники, которые теперь носят его имя, значительно развил учения о конических сечениях, дал геометрический способ решения кубических уравнений вида hello_html_2c74921.gif, корни которых он находил с помощью пересечения параболы и гиперболы Архимед провёл и полное исследование этих уравнений.

Но главное его внимание было сосредоточено на трех типах проблем.

  1. Определение площадей криволинейных фигур или объёмов тел. Греки до Архимеда умели находить площади прямолинейных фигур, площадь круга, объём призмы, пирамиды цилиндра и конуса, но только Архимед нашел общий метод, позволяющий найти любую площадь или объём. Идеи Архимеда легли в основу интегрального исчисления. Сам Архимед определил с помощью своего метода площади и объёмы почти всех тел, которые рассматривались в античной математике. Лучшим своим достижением он считал определение поверхности и объёма шара. Он просил выбить на своей могиле шар, вписанный в цилиндр.

  2. Как определить касательную в любой точке кривой. Древние греки умели находить касательную к окружности, эллипсу, гиперболе и параболе. Первый общий метод решения и этой задачи был найден Архимедом. Этот метод лёг в основу дифференциального исчисления.

  3. В математике, физике и астрономии очень важно уметь находить наибольшие и наименьшие значения изменяющихся величин – их экстремумы. Например, как среди цилиндров, вписанных шар, найти цилиндр, имеющий наибольшей объём? Все такие задачи могут быть решены с помощью дифференциального исчисления. Архимед первым увидел связь этих задач с проблемами определения касательных и показал, как с их помощью можно решать задачи на экстремумы.


Огромное значение для развития математики имело вычисленное Архимедом отношение длины окружности к диаметру, т.е. число hello_html_1bfc1af9.gif,с большой степенью точности.

Идеи Архимеда почти на две тысячи лет опередили своё время. Только в XVII в. ученые смогли продолжить и развить труды великого греческого математика. Только тогда было раскрыто их подлинное значение.

Лейбниц, один из творцов дифференциального и интегрального исчислений, писал Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаёшь удивляться всем новейшим открытиям геометров



Как Вы считаете, можем ли мы оценить Архимеда, только как учёного, зная его открытия?

Мог ли он совершить их, если бы не имел целью улучшение жизни граждан своего города?

Как Вы считаете, должен ли учёный иметь гражданскую позицию или заниматься только наукой?

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________


Период:

нормативно - регуляционный

Девиз:

«Освоим изученное!»

Механизм:

добывание, осмысление, нормирование

Доминанта:

мышление, личностная адаптация


Тебе предстоит решить 5 задач. Выбери уровень сложности: достаточный (средний) или высокий. Отметь, насколько понятным было решение каждой задачи, закрась ту часть круга, которая соответствует твоему уровню понимания решения.





Думай

Решай

Записывай

hello_html_24baa416.png

*Достаточный уровень сложности

**Высокий уровень сложности


Задача 1

Основанием пирамиды является прямоугольник со стороною hello_html_e1c33a8.gif. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен. Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом hello_html_m154a5599.gif.

Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, площадь которого равна hello_html_m4167b76a.gif, а угол при основании - hello_html_m154a5599.gif. Все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания угол hello_html_2e28ff68.gif. Найдите объем пирамиды.


Задача 2

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом hello_html_57e43d8a.gif. найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной hello_html_m2b5da43f.gif и углом hello_html_m154a5599.gif при основании. Все двугранные углы при ребрах основания равны hello_html_2e28ff68.gif. Найдите объем пирамиды.


Задача 3

Основанием пирамиды является правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом hello_html_6f3b1042.gif. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна 12 см.

Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной hello_html_e1c33a8.gif и углом hello_html_2e28ff68.gif при основании. Боковая грань пирамиды, которая основание этого треугольник, перпендикулярна к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом hello_html_m154a5599.gif. Найдите объем пирамиды.


Задача 4

Основанием пирамиды hello_html_1f66ba55.gif является прямоугольный треугольник hello_html_1e2bae50.gif, в котором hello_html_m48c64ff3.gif, hello_html_4a76af0d.gif, hello_html_m11a7d808.gifсм. Боковая граньhello_html_3a852109.gif перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом hello_html_57e43d8a.gif. Найдите длину ребра hello_html_m4c1c4af1.gif.

Основание пирамиды hello_html_m6a82c604.gif - прямоугольник hello_html_m13ad17dd.gif. Боковая грань hello_html_m12456649.gif перпендикулярна плоскости основания, грани hello_html_5af84a9d.gif и hello_html_m19c0a916.gif наклонены к плоскости основания под углом hello_html_2e28ff68.gif, а грань hello_html_m12ff264d.gif - под углом hello_html_m154a5599.gif. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна hello_html_33391d9.gif.


Задача 5

Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с гипотенузой hello_html_cf73747.gif и острым углом hello_html_2e28ff68.gif. Две боковые грани, содержащие стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья – наклонена к ней под углом hello_html_m154a5599.gif. Определите боковую поверхность пирамиды.

В основании пирамиды лежит квадрат. Две боковые смежные грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углом hello_html_m154a5599.gif. Определите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равно hello_html_5d7ba65f.gif.










Подведи итог своей работы

hello_html_870041e.png


Подчеркни, во сколько баллов ты оцениваешь свой результат работы.



1 2 3 4 5


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 27.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров339
Номер материала ДВ-383229
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх